जोड़ और घटाव भिन्नों को कैसे हल करें। विभिन्न हर के साथ बीजीय अंशों का जोड़ और घटाव (मूल नियम, सरलतम मामले)

ध्यान दें!अपना अंतिम उत्तर लिखने से पहले, देखें कि क्या आप प्राप्त अंश को कम कर सकते हैं।

एक ही हर के साथ भिन्नों का घटाव, उदाहरण:

,

,

एक से सही अंश घटाना।

यदि सही इकाई में से किसी भिन्न को घटाना आवश्यक हो, तो इकाई को गलत भिन्न के रूप में स्थानांतरित कर दिया जाता है, इसका हर घटाए जाने वाले अंश के हर के बराबर होता है।

एक से सही भिन्न घटाने का एक उदाहरण:

घटाए गए भिन्न का हर = 7 अर्थात्, हम इकाई को एक अनियमित भिन्न 7/7 के रूप में निरूपित करते हैं और समान हर वाले भिन्नों के घटाव के नियम के अनुसार घटाते हैं।

एक पूर्णांक से एक सही अंश घटाना।

भिन्न घटाव नियम -एक पूर्णांक से सही (प्राकृतिक संख्या):

• हम दिए गए भिन्नों का अनुवाद करते हैं, जिनमें एक पूर्णांक भाग होता है, गलत अंशों में। हमें सामान्य शब्द मिलते हैं (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उनके अलग-अलग हर हैं), जिन्हें हम ऊपर दिए गए नियमों के अनुसार गिनते हैं;
• इसके बाद, हम प्राप्त भिन्नों के अंतर की गणना करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें लगभग उत्तर मिल जाएगा;
• हम व्युत्क्रम परिवर्तन करते हैं, अर्थात, हम गलत अंश से छुटकारा पाते हैं - हम अंश में पूरे भाग का चयन करते हैं।

पूर्णांक से सही भिन्न घटाएं: प्राकृत संख्या को मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करें। वे। हम प्राकृत संख्या में एक इकाई लेते हैं और इसे एक अनियमित भिन्न के रूप में परिवर्तित करते हैं, भाजक घटाए गए भिन्न के समान होता है।

भिन्नों को घटाने का एक उदाहरण:

उदाहरण में, हमने इकाई को गलत भिन्न 7/7 से बदल दिया और 3 के बजाय हमने एक मिश्रित संख्या लिख ​​दी और भिन्नात्मक भाग से अंश घटा दिया।

भिन्न हर के साथ अंशों का घटाव।

या, इसे दूसरे शब्दों में कहें, भिन्न भिन्नों का घटाव.

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने का नियम।भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, पहले इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर (LCN) में लाना आवश्यक है, और इसके बाद ही समान हर वाले भिन्नों के साथ घटाना आवश्यक है।

अनेक भिन्नों का उभयनिष्ठ हर है एलसीएम (कम से कम सामान्य गुणक)प्राकृतिक संख्याएँ जो इन भिन्नों के हर हैं।

ध्यान!यदि अंश और हर के अंतिम भिन्न में समान गुणनखंड हों, तो भिन्न को रद्द कर देना चाहिए। एक खराब भिन्न को मिश्रित भिन्न के रूप में सर्वोत्तम रूप से दर्शाया जाता है। जहां संभव हो, अंश को रद्द किए बिना घटाव के परिणाम को छोड़ना उदाहरण का एक अधूरा समाधान है!

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने की प्रक्रिया।

• सभी हरों के लिए एलसीएम खोजें;
• सभी भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणनखंड डालें;
• सभी अंशों को एक अतिरिक्त कारक से गुणा करें;
• हम परिणामी उत्पादों को अंश में लिखते हैं, सभी अंशों के तहत एक सामान्य भाजक पर हस्ताक्षर करते हैं;
• भिन्नों के अंशों को घटाएं, अंतर के तहत आम भाजक पर हस्ताक्षर करें।

इसी प्रकार अंश में अक्षर होने पर भिन्नों का जोड़ और घटाव किया जाता है।

भिन्नों का घटाव, उदाहरण:

मिश्रित अंशों का घटाव।

पर मिश्रित भिन्नों को घटाना (संख्या)पूरे भाग से अलग, पूरे भाग को घटाएँ, और भिन्नात्मक भाग को भिन्नात्मक भाग से घटाएँ।

पहला विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

यदि भिन्नात्मक भाग वहीघटाव के भिन्नात्मक भाग के हर और अंश (इससे घटाना) घटाए गए भिन्नात्मक भाग का अंश (इसे घटाना)।

उदाहरण के लिए:

दूसरा विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

जब भिन्नात्मक भागों में विभिन्नहर शुरू करने के लिए, हम भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में लाते हैं, और उसके बाद हम पूरे भाग को पूर्ण से और भिन्नात्मक भाग को भिन्नात्मक भाग से घटाते हैं।

उदाहरण के लिए:

मिश्रित भिन्नों को घटाने का तीसरा विकल्प।

घटा का भिन्नात्मक भाग घटाए गए भिन्न के भाग से कम होता है।

उदाहरण:

चूंकि भिन्नात्मक भागों में अलग-अलग हर होते हैं, जिसका अर्थ है, दूसरे विकल्प की तरह, हम पहले सामान्य भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं।

घटाए गए भिन्नात्मक भाग का अंश घटाए गए भिन्नात्मक भाग के अंश से कम होता है।3 < 14. इसलिए, हम पूरे भाग से एक इकाई लेते हैं और इस इकाई को एक ही हर और अंश के साथ एक अनियमित भिन्न के रूप में लाते हैं। = 18.

अंश में दायीं ओर से हम अंशों का योग लिखते हैं, फिर हम अंश में दाहिनी ओर से कोष्ठक खोलते हैं, अर्थात हम सब कुछ गुणा करते हैं और समान देते हैं। हर में कोष्ठक न खोलें। हर में काम छोड़ने की प्रथा है। हम पाते हैं:

मिश्रित भिन्नों को साधारण भिन्नों की तरह ही घटाया जा सकता है। भिन्नों की मिश्रित संख्याओं को घटाने के लिए, आपको कई घटाव नियमों को जानना होगा। आइए इन नियमों को उदाहरणों के साथ देखें।

एक ही हर के साथ मिश्रित भिन्नों का घटाव।

इस शर्त के साथ एक उदाहरण पर विचार करें कि घटाए गए पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग क्रमशः घटाए गए पूर्ण और भिन्नात्मक भागों से अधिक हैं। इन शर्तों के तहत, कटौती अलग से होती है। पूरे भाग को पूरे भाग से और भिन्नात्मक भाग को भिन्नात्मक भाग से घटाएँ।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें:

मिश्रित भिन्नों \ (5 \ फ़्रेक (3) (7) \) और \ (1 \ फ़्रेक (1) (7) \) को घटाएँ।

\ (5 \ फ़्रेक (3) (7) -1 \ फ़्रेक (1) (7) = (5-1) + (\ फ़्रेक (3) (7) - \ फ़्रेक (1) (7)) = 4 \ फ़्रेक (2) (7) \)

घटाव की शुद्धता को जोड़ कर जांचा जाता है। आइए घटाव की जाँच करें:

\ (4 \ फ़्रेक (2) (7) +1 \ फ़्रेक (1) (7) = (4 + 1) + (\ फ़्रेक (2) (7) + \ फ़्रैक (1) (7)) = 5 \ फ़्रेक (3) (7) \)

उस स्थिति के साथ एक उदाहरण पर विचार करें जब घटाए गए का भिन्नात्मक भाग क्रमशः घटाए गए अंश का अंश कम होता है। इस मामले में, हम घटते हुए में से एक को पूरे में से उधार लेते हैं।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें:

मिश्रित भिन्न घटाव \ (6 \ फ़्रेक (1) (4) \) और \ (3 \ फ़्रेक (3) (4) \) करें।

घटा हुआ \ (6 \ फ़्रेक (1) (4) \) का भिन्नात्मक भाग घटाए गए \ (3 \ फ़्रेक (3) (4) \) के भिन्नात्मक भाग से कम होता है। अर्थात्, \ (\ frac (1) (4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\ (\ शुरू (संरेखित) और 6 \ फ़्रेक (1) (4) -3 \ फ़्रेक (3) (4) = (6 + \ फ़्रेक (1) (4)) - 3 \ फ़्रेक (3) (4) = (5 + \ रंग (लाल) (1) + \ फ़्रेक (1) (4)) - 3 \ फ़्रेक (3) (4) = (5 + \ रंग (लाल) (\ फ़्रेक (4) (4) ) + \ फ़्रेक (1) (4)) - 3 \ फ़्रेक (3) (4) = (5 + \ फ़्रेक (5) (4)) - 3 \ फ़्रेक (3) (4) = \\\\ & = 5 \ फ्रैक (5) (4) -3 \ फ्रैक (3) (4) = 2 \ फ्रैक (2) (4) = 2 \ फ्रैक (1) (4) \\\\ \ एंड (एलाइन) \ )

अगला उदाहरण:

\ (7 \ फ़्रेक (8) (19) -3 = 4 \ फ़्रेक (8) (19) \)

एक पूर्णांक से मिश्रित भिन्न को घटाना।

उदाहरण: \ (3-1 \ फ़्रेक (2) (5) \)

घटाए गए 3 में भिन्नात्मक भाग नहीं होता है, इसलिए हम इसे तुरंत घटा नहीं सकते। आइए 3 के पूर्णांक भाग से एक उधार लें, और फिर घटाव करें। हम इकाई को \ (3 = 2 + 1 = 2 + \ frac (5) (5) = 2 \ frac (5) (5) \) के रूप में लिखेंगे।

\ (3-1 \ फ़्रेक (2) (5) = (2 + \ रंग (लाल) (1)) - 1 \ फ़्रेक (2) (5) = (2 + \ रंग (लाल) (\ फ़्रेक (5 ) (5))) - 1 \ फ़्रेक (2) (5) = 2 \ फ़्रेक (5) (5) -1 \ फ़्रेक (2) (5) = 1 \ फ़्रेक (3) (5) \)

विभिन्न हरों के साथ मिश्रित भिन्नों का घटाव।

शर्त के साथ एक उदाहरण पर विचार करें यदि अलग-अलग हरों के साथ कम और घटाए गए भिन्नात्मक भाग। आपको एक सामान्य हर लाने की जरूरत है, और फिर घटाव करना है।

अलग-अलग हर \ (2 \ फ़्रेक (2) (3) \) और \ (1 \ फ़्रेक (1) (4) \) के साथ दो मिश्रित भिन्नों को घटाएँ।

सामान्य भाजक 12 है।

\ (2 \ फ़्रेक (2) (3) -1 \ फ़्रेक (1) (4) = 2 \ फ़्रेक (2 \ बार \ रंग (लाल) (4)) (3 \ बार \ रंग (लाल) (4) ) -1 \ फ़्रेक (1 \ बार \ रंग (लाल) (3)) (4 \ बार \ रंग (लाल) (3)) = 2 \ फ़्रेक (8) (12) -1 \ फ़्रेक (3) (12) ) = 1 \ फ़्रेक (5) (12) \)

विषय पर प्रश्न:
मिश्रित भिन्नों को कैसे घटाएं? मिश्रित भिन्नों को कैसे हल करें?
उत्तर: आपको यह तय करने की आवश्यकता है कि व्यंजक किस प्रकार का है और, व्यंजक के प्रकार से, समाधान एल्गोरिथम लागू करें। पूरे भाग से पूरे को घटाएं, भिन्नात्मक भाग से भिन्नात्मक भाग को घटाएं।

किसी पूर्णांक से भिन्न को कैसे घटाएं? किसी पूर्णांक से भिन्न को कैसे घटाएं?
उत्तर: आपको एक पूर्णांक से एक इकाई लेने और इस इकाई को भिन्न के रूप में लिखने की आवश्यकता है

\ (4 = 3 + 1 = 3 + \ फ़्रेक (7) (7) = 3 \ फ़्रेक (7) (7) \),

और फिर पूरे को पूरे से घटाएं, भिन्नात्मक भाग को भिन्नात्मक भाग से घटाएं। उदाहरण:

\ (4-2 \ फ़्रेक (3) (7) = (3 + \ रंग (लाल) (1)) - 2 \ फ़्रेक (3) (7) = (3 + \ रंग (लाल) (\ फ़्रेक (7) ) (7))) - 2 \ फ़्रेक (3) (7) = 3 \ फ़्रेक (7) (7) -2 \ फ़्रेक (3) (7) = 1 \ फ़्रेक (4) (7) \)

उदाहरण 1:
एक से सही भिन्न घटाएँ: a) \ (1- \ frac (8) (33) \) b) \ (1- \ frac (6) (7) \)

समाधान:
क) हम हर 33 के साथ इकाई को भिन्न के रूप में निरूपित करते हैं। हमें प्राप्त होता है \ (1 = \ frac (33) (33) \)

\ (1- \ फ़्रेक (8) (33) = \ फ़्रेक (33) (33) - \ फ़्रेक (8) (33) = \ फ़्रेक (25) (33) \)

b) हम हर 7 के साथ इकाई को भिन्न के रूप में निरूपित करते हैं। हमें \ (1 = \ frac (7) (7) \) मिलता है।

\ (1- \ फ़्रेक (6) (7) = \ फ़्रेक (7) (7) - \ फ़्रेक (6) (7) = \ फ़्रेक (7-6) (7) = \ फ़्रेक (1) (7) \)

उदाहरण # 2:
एक पूर्णांक से मिश्रित भिन्न घटाएं: a) \ (21-10 \ frac (4) (5) \) b) \ (2-1 \ frac (1) (3) \)

समाधान:
a) हम एक पूर्णांक से 21 इकाइयाँ उधार लेते हैं और इसे इस तरह लिखते हैं \ (21 = 20 + 1 = 20 + \ frac (5) (5) = 20 \ frac (5) (5) \)

\ (21-10 \ फ़्रेक (4) (5) = (20 + 1) -10 \ फ़्रेक (4) (5) = (20 + \ फ़्रेक (5) (5)) - 10 \ फ़्रेक (4) ( 5) = 20 \ फ़्रेक (5) (5) 10 \ फ़्रेक (4) (5) = 10 \ फ़्रेक (1) (5) \\\\\)

बी) आइए पूर्णांक 2 से एक इकाई उधार लें और इसे इस तरह लिखें \ (2 = 1 + 1 = 1 + \ frac (3) (3) = 1 \ frac (3) (3) \)

\ (2-1 \ फ़्रेक (1) (3) = (1 + 1) -1 \ फ़्रेक (1) (3) = (1 + \ फ़्रेक (3) (3)) - 1 \ फ़्रेक (1) ( 3) = 1 \ फ़्रेक (3) (3) -1 \ फ़्रेक (1) (3) = \ फ़्रेक (2) (3) \\\\\)

उदाहरण # 3:
मिश्रित भिन्न से एक पूर्णांक घटाएं: a) \ (15 \ frac (6) (17) -4 \) b) \ (23 \ frac (1) (2) -12 \)

क) \ (15 \ फ़्रेक (6) (17) -4 = 11 \ फ़्रेक (6) (17) \)

बी) \ (23 \ फ़्रेक (1) (2) -12 = 11 \ फ़्रेक (1) (2) \)

उदाहरण संख्या 4:
मिश्रित भिन्न से सही भिन्न घटाएं: a) \ (1 \ frac (4) (5) - \ frac (4) (5) \)

\ (1 \ फ़्रेक (4) (5) - \ फ़्रेक (4) (5) = 1 \\\\\)

उदाहरण # 5:
गणना \ (5 \ फ़्रेक (5) (16) -3 \ फ़्रेक (3) (8) \)

\ (\ शुरू (संरेखित) और 5 \ फ़्रेक (5) (16) -3 \ फ़्रेक (3) (8) = 5 \ फ़्रेक (5) (16) -3 \ फ़्रेक (3 \ बार \ रंग (लाल) (2)) (8 \ गुना \ रंग (लाल) (2)) = 5 \ फ़्रेक (5) (16) -3 \ फ़्रेक (6) = (5 + \ फ़्रेक (5) (16)) - 3 \ फ़्रेक (6) (16) = (4 + \ रंग (लाल) (1) + \ फ़्रेक (5) (16)) - 3 \ फ़्रेक (6) (16) = \\\\ & = ( 4 + \ रंग (लाल) (\ फ़्रेक (16) (16)) + \ फ़्रेक (5) (16)) - 3 \ फ़्रेक (6) (16) = (4 + \ रंग (लाल) (\ फ़्रेक ( 21 ) (16))) - 3 \ फ़्रेक (3) (8) = 4 \ फ़्रेक (21) (16) -3 \ फ़्रेक (6) (16) = 1 \ फ़्रेक (15) (16) \\\ \ \ अंत (संरेखित करें) \)

इस पाठ में एक ही हर के साथ बीजीय भिन्नों के जोड़ और घटाव को शामिल किया जाएगा। हम पहले से ही जानते हैं कि समान भाजक के साथ सामान्य अंशों को कैसे जोड़ना और घटाना है। यह पता चला है कि बीजीय अंश समान नियमों का पालन करते हैं। एक ही हर के साथ भिन्नों के साथ काम करने की क्षमता बीजगणितीय अंशों के साथ काम करने के नियमों को सीखने में एक आधारशिला है। विशेष रूप से, इस विषय को समझने से अधिक जटिल विषय में महारत हासिल करना आसान हो जाएगा - भिन्न हर के साथ भिन्नों का जोड़ और घटाव। पाठ के भाग के रूप में, हम एक ही हर के साथ बीजीय अंशों के जोड़ और घटाव के नियमों का अध्ययन करेंगे, साथ ही कई विशिष्ट उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे।

एक ही हर के साथ बीजीय भिन्नों के जोड़ और घटाव का नियम

फॉर्म-मू-ली-आरयू-एम राइट-वी-लो ऑफ फोलिएशन (यू-ची-ता-निया) अल-गेब-रा-आई-चे-ड्रो-बे के साथ ओडी-ना-को-वी-मी zn-me-na-te-la-mi (यह साधारण-ven-dro-beys के लिए ana-lo-gic-ny right-vi-lom के साथ sov-pa-da-em है): यह लेयरिंग या vy के लिए है -ची-ता-निया अल-गेब-रा-ए-चे-ड्रो-बे एक-पर-आप जानते हैं-मुझे-ना-ते-ला-मी आवश्यक है -हो-दी-मो सो-टू- संख्या-ली-ते-लेई के साथ-द-वेट-यू-यू-अल-गेब-रा-ए-चे-योग डालें, और ज़्न-मी-ना-टेल बिना मी-नॉट के छोड़ दें।

हम इसे राइट-हा-लो, और सामान्य-नस ड्रॉ-बीट्स के उदाहरण पर और अल-गेब-रा-ए-चे-ड्रो-बी हिट के उदाहरण पर लेंगे।

साधारण भिन्नों के लिए नियम लागू करने के उदाहरण

उदाहरण 1. भिन्न जोड़ने के लिए:।

समाधान

हम संख्या जोड़ते हैं-चाहे-ते-चाहे ड्रॉ-बीट, और साइन-मी-ना-टेल वही रहेगा। उसके बाद, हम संख्या और हर को साधारण गुणकों और सो-क्र-टिम में विभाजित करते हैं। बाय-लो-चिम: .

नोट: एक मानक त्रुटि, जिसे मैं इस तरह के उदाहरणों की तरह निर्णय लेते समय अनुमति देता हूं, -klyu-cha-it-Xia के लिए निम्नलिखित तरीके से समाधान: ... यह एक घोर गलती है, क्योंकि ज्ञान-ना-टेल वही रहता है जो मूल ड्रॉ में था।

उदाहरण 2. भिन्न जोड़ने के लिए:.

समाधान

दान-नया ज़ा-दा-चा पिछले वाले से कुछ अलग नहीं है:।

बीजीय भिन्नों के लिए नियम लागू करने के उदाहरण

आम-लेकिन-वेन-ड्रो-बीट पे-री-डायम से लेकर अल-गेब-रा-ए-चे-स्किम तक।

उदाहरण 3. भिन्न जोड़ने के लिए:.

समाधान: जैसा कि पहले ही ऊपर कहा जा चुका है, अल-गेब-रा-ए-चे-ड्रो-बी की परत किसी भी तरह से समान-निया-लेकिन-वेन-निह ड्रॉ-बीट शब्द से भिन्न नहीं है। इसलिए, समाधान विधि समान है:।

उदाहरण 4. आप भिन्न की शान हैं :.

समाधान

आप-ची-ता-ति अल-गेब-रा-ए-चे-ड्रो-बी से-चाहे-चा-इट-शब्द से केवल उन लोगों के साथ जो संख्या में पीआई-सी-वा-एट-स्या अंतर हैं- प्रारंभिक ड्रा-बी के ली-ते-लेई। इसीलिए ।

उदाहरण 5. आप भिन्न की शान हैं :.

समाधान: ।

उदाहरण 6. सरल कीजिए:।

समाधान: ।

कमी के बाद नियम के आवेदन के उदाहरण

अंश में, जो-वह-स्वर्ग-लो-चा-इस-स्या में पुन-जुल-ता-वे शब्द या वाय-ची-ता-निया, सह-सुंदर निया संभव है। इसके अलावा, आपको al-geb-ra-i-che-dro-bey के ODZ के बारे में नहीं भूलना चाहिए।

उदाहरण 7. सरल करें:।

समाधान: ।

वहीं। सामान्य तौर पर, यदि ओडीजेड इतो-हाउल के साथ प्रारंभिक ड्रॉ-बीट कोव-पा-यस-एट का ओडीजेड, तो इसे छोड़ा जा सकता है (आखिरकार, भिन्न, ओट-वे-वो में नया द्वारा, भी होगा co-ot-ot-otv-yu-si-ni-ni-n-re-men-ny के साथ मौजूद नहीं है)। लेकिन यदि प्रारंभिक ड्रॉ-हिट का ODZ और उत्तर सह-पा-दा-एट नहीं है, तो ODZ को इंगित किया जाना चाहिए।

उदाहरण 8. सरल कीजिए:।

समाधान: । इस मामले में, y (आरंभिक ड्रॉ-बीट का ODZ, ODZ re-zul-ta-ta के साथ cov-pa-da-et नहीं करता है)।

भिन्न हर के साथ भिन्नों का जोड़ और घटाव

अलग-अलग संकेतों के साथ अल-गेब-रा-और-चे-अंशों को मोड़ना-सांस लेना और पढ़ना-मैं-ना-ते-ला-मील, प्रो-वे-डेम एना-लो-ग्यू के साथ सामान्य-नो-वेन-मी- dro-by-mi और pe-re-not-sem उसे al-geb-ra-i-th भिन्नों में विभाजित करें।

रास-स्मोट-रिम आम ड्रॉ-बीट्स के लिए सबसे सरल उदाहरण है।

उदाहरण 1।लेट-लाइव फ्रैक्शंस:।

समाधान:

ड्रॉ-बीट शब्द का राइट-हा-लो याद रखें। ना-चा-ला अंश के लिए, सामान्य zn-me-na-te-lyu में आना आवश्यक-हो-दी-मो है। साधारण-वेन-ड्रो-बीट के लिए एक सामान्य ज्ञान-मी-ना-ते-ला की भूमिका में, आप-स्टू-पा-एट न्यूनतम समापवर्तक(एनओसी) प्रारंभिक संकेतों के-मी-ना-ते-लेई।

परिभाषा

सबसे छोटी संख्या उसी संख्या पर होती है, जिसे एक-बार-पर-संख्या पर विभाजित किया जाता है और।

एनओसी खोजने के लिए, आपको नो-मी-ना-ते-क्या सरल सेटों में विभाजित करना होगा, और फिर उन सभी उत्पादों का चयन करना होगा, जो राई दोनों संकेतों के बीच अंतर में शामिल हैं-मी-ना-ते- लेई

; ... फिर संख्याओं के LCM में दो दो और दो त्रिक शामिल होने चाहिए:।

एक सामान्य ज्ञान-मी-ना-ते-ला खोजने के बाद, प्रत्येक ड्रॉ-बीज के लिए यह आवश्यक है कि वह आधा निवासी (तथ्य-टी-चे-स्की, एक आम भाजक को एक में डालना) हर के साथ-से-पशु चिकित्सक-tstvu-uu-si-tel)।

तब प्रत्येक अंश बड़ी चतुराई से आधा कुआं से आधा भरा गुणक बन जाता है। ऑन-रे-चा-इट-ज़िया फ्रैक्शंस के साथ वन-टू-यू-नो-मी-ऑन-ते-ला-मी, पुट-टू-डी-वैट और आप-पढ़ें कुछ हम पर हैं -देखो पिछले सबक।

बाय-लो-चा-ईट: .

उत्तर:.

अब अल-गेब-रा-ए-चे-ड्रो-बे की परत पर अलग-अलग चिह्नों-मी-ना-ते-ला-मील पर विचार करें। स्ना-चा-ला रस-स्मोट-रिम अंश, मुझे-ना-ते-अगर को-दैट-रिह अंक-ला-मील हैं।

विभिन्न हरों के साथ बीजीय भिन्नों का जोड़ और घटाव

उदाहरण 2।लेट-लाइव फ्रैक्शंस:।

समाधान:

निर्णय की अल-गो-लय अब-सो-लुट-नो एना-लो-गि-चेन पहले-डू-शू-मु-मी-रू। इन ड्रा-बीट्स का एक सामान्य भाजक प्राप्त करना आसान है: और उनमें से प्रत्येक के लिए अप-टू-आधा-निबल सेट।

.

उत्तर:.

तो, फॉर-मू-ली-रु-एम अलग-अलग zn-me-na-te-la-mi के साथ al-geb-ra-i-che-dro-bey की लेयरिंग की अल-गो-ताल और आप-ची-ता-निया:

1. सबसे छोटा आम भाजक ड्रा-हिट ज्ञात कीजिए।

2. ड्रा-बीई अंश में से प्रत्येक के लिए ऊपर और नीचे सेट खोजें)।

3. डू-मैनी-लाइव नंबर-चाहे-ते-चाहे सह-उत्तर-टू-द-यू-थ-यू-थ-ओ-एन-टी-एन-टी-टी-टी-टी-एल पर।

4. ले-लाइव या यू-ऑनर फ्रैक्शन, राइट-वी-ला-मील ले-डाउन और यू-ची-ता-निया ड्रॉ-बीट का समान ज्ञान-मी-ना-ते-ला-मील का उपयोग करें।

रास-स्मोट-रिम अब ड्रो-बाय-मील के साथ एक उदाहरण है, साइन-मी-ऑन-ते-ले टू दैट-रिह कम-टू-बी-वीन यू-आरए-द-नीया में।

पाठ सामग्री

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना

भिन्नों के योग दो प्रकार के होते हैं:

1. समान हर के साथ भिन्न जोड़ना
2. भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना

सबसे पहले, आइए समान हर वाले भिन्नों के योग का अध्ययन करें। यहाँ सब कुछ सरल है। समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, उनके अंश जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें। उदाहरण के लिए, भिन्न जोड़ें और। अंश जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि आप पिज्जा के बारे में सोचते हैं, जिसे चार भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2।अंश जोड़ें और।

उत्तर गलत अंश है। यदि समस्या का अंत आता है, तो गलत अंशों से छुटकारा पाने का रिवाज है। गलत भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको इसमें पूरे भाग का चयन करना होगा। हमारे मामले में, पूरे भाग को आसानी से पहचाना जा सकता है - दो को दो से विभाजित करना एक के बराबर है:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि आप पिज्जा के बारे में सोचते हैं, जिसे दो भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 3... अंश जोड़ें और।

फिर से, अंश जोड़ें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि आप पिज्जा के बारे में सोचते हैं, जिसे तीन भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 4.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। अंशों को जोड़ा जाना चाहिए, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए:

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं और पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको 1 पूर्ण और अधिक पिज़्ज़ा मिलता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने में कोई कठिनाई नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना

अब आइए जानें कि भिन्न हरों के साथ भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। भिन्नों को जोड़ते समय, उन भिन्नों के हर समान होने चाहिए। लेकिन वे हमेशा एक जैसे नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, आप जोड़ और भिन्न कर सकते हैं क्योंकि उनके हर समान हैं।

लेकिन भिन्नों को तुरंत नहीं जोड़ा जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

एक ही हर में भिन्न लाने के कई तरीके हैं। आज हम उनमें से केवल एक पर विचार करेंगे, क्योंकि शेष विधियाँ एक शुरुआत के लिए कठिन लग सकती हैं।

इस पद्धति का सार यह है कि पहले दोनों भिन्नों के हरों के लिए (LCM) मांगा जाता है। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है। दूसरे भिन्न के साथ भी ऐसा ही करें - LCM को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त होता है।

फिर भिन्नों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न समान हर वाले भिन्नों में परिवर्तित हो जाते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ना है।

उदाहरण 1... भिन्नों को जोड़ें और

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों में से सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज पाते हैं। पहली भिन्न का हर 3 है, और दूसरी भिन्न का हर 2 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 6 है।

एलसीएम (2 और 3) = 6

अब हम भिन्नों पर लौटते हैं और। सबसे पहले, एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करें और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त करें। एलसीएम संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 6 को 3 से विभाजित करने पर हमें 2 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 2 पहला अतिरिक्त कारक है। हम इसे पहले अंश में लिखते हैं। ऐसा करने के लिए भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाकर उसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त गुणनखंड लिखिए:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम एलसीएम को दूसरी भिन्न के हर से विभाजित करते हैं और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करते हैं। एलसीएम संख्या 6 है, और दूसरी भिन्न का हर 2 संख्या है। 6 को 2 से विभाजित करने पर हमें 3 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 3 दूसरा अतिरिक्त कारक है। हम इसे दूसरे अंश में लिखते हैं। फिर से, हम दूसरी भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा खींचते हैं और इसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त गुणनखंड लिखते हैं:

अब हम जोड़ने के लिए तैयार हैं। यह आपके अतिरिक्त कारकों द्वारा अंशों और हरों को गुणा करने के लिए बनी हुई है:

गौर से देखिए कि हम क्या हासिल कर चुके हैं। हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न समान हर वाले भिन्न में बदल गए। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ना है। आइए इस उदाहरण को अंत तक समाप्त करें:

इस प्रकार, उदाहरण समाप्त होता है। यह जोड़ने के लिए निकला है।

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा छठा पिज़्ज़ा मिलता है:

एक ही (सामान्य) भाजक के लिए अंशों की कमी को एक चित्र का उपयोग करके भी चित्रित किया जा सकता है। भिन्नों को कम करने और एक सामान्य हर के लिए, हमें भिन्न मिलते हैं और। इन दो भिन्नों को पिज्जा के समान स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा। फर्क सिर्फ इतना है कि इस बार उन्हें बराबर शेयरों (एक ही हर में घटाकर) में बांटा जाएगा।

पहली तस्वीर एक अंश (छह टुकड़ों में से चार) को दर्शाती है, और दूसरी तस्वीर एक अंश (छह टुकड़ों में से तीन) को दर्शाती है। इन टुकड़ों को एक साथ रखने पर हमें (छः में से सात टुकड़े) मिलते हैं। यह भिन्न गलत है, इसलिए हमने इसमें पूरा भाग चुना है। नतीजतन, हमें (एक पूरा पिज्जा और दूसरा छठा पिज्जा) मिला।

ध्यान दें कि हमने इस उदाहरण का बहुत विस्तार से वर्णन किया है। शिक्षण संस्थानों में, इस तरह के विस्तृत तरीके से लिखने की प्रथा नहीं है। आपको दोनों हरों और उनके लिए अतिरिक्त कारकों के एलसीएम को जल्दी से खोजने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही अपने अंश और हर द्वारा पाए गए अतिरिक्त कारकों को जल्दी से गुणा करना होगा। स्कूल में रहते हुए, हमें इस उदाहरण को इस प्रकार लिखना होगा:

लेकिन सिक्के का एक नकारात्मक पहलू भी है। यदि गणित के अध्ययन के पहले चरण में आप विस्तृत नोट्स नहीं बनाते हैं, तो इस तरह के प्रश्न सामने आने लगते हैं "वह आंकड़ा कहाँ से आया है?" "अंश अचानक पूरी तरह से भिन्न भिन्नों में क्यों बदल जाते हैं? «.

भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ना आसान बनाने के लिए, आप निम्न चरण-दर-चरण निर्देशों का उपयोग कर सकते हैं:

1. भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए;
2. LCM को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करें;
3. भिन्नों के अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त कारकों से गुणा करें;
4. समान भाजक वाले भिन्न जोड़ें;
5. यदि उत्तर गलत भिन्न निकलता है, तो उसके पूरे भाग का चयन करें;

उदाहरण 2।व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

आइए ऊपर दिए गए निर्देशों का उपयोग करें।

चरण 1. भिन्नों के हरों का एलसीएम ज्ञात कीजिए

दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। भिन्नों के हर संख्या 2, 3 और 4 हैं।

चरण 2. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करें

हम एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 12 को 2 से विभाजित करने पर, हमें 6 मिलता है। हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड मिलता है। हम इसे पहले भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को दूसरी भिन्न के हर से भाग देते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 4 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम एलसीएम को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और तीसरे भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 मिलता है। हमें तीसरा अतिरिक्त कारक मिलता है। हम इसे तीसरे अंश पर लिखते हैं:

चरण 3. भिन्नों के अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें

हम अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त कारकों से गुणा करते हैं:

चरण 4. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ें

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न समान (सामान्य) भाजक वाले भिन्नों में बदल गए। इन अंशों को जोड़ना बाकी है। हम जोड़ते हैं:

जोड़ एक पंक्ति में फिट नहीं हुआ, इसलिए हमने शेष व्यंजक को अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया। गणित में इसकी अनुमति है। जब कोई व्यंजक एक पंक्ति में फिट नहीं होता है, तो उसे अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया जाता है, और आपको हमेशा पहली पंक्ति के अंत में और एक नई पंक्ति की शुरुआत में एक समान चिह्न (=) लगाना चाहिए। दूसरी पंक्ति पर समान चिह्न इंगित करता है कि यह उस व्यंजक की निरंतरता है जो पहली पंक्ति पर था।

चरण 5. यदि उत्तर गलत भिन्न निकलता है, तो उसमें पूरे भाग का चयन करें

हमें अपने उत्तर में गलत अंश मिला है। हमें इसमें से पूरे हिस्से को सेलेक्ट करना है। हाइलाइट करें:

जवाब मिला

समान हर से भिन्नों को घटाना

भिन्नों के घटाव दो प्रकार के होते हैं:

1. समान हर से भिन्नों को घटाना
2. भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाना

पहले, आइए समान हर वाले भिन्नों के घटाव का अध्ययन करें। यहाँ सब कुछ सरल है। एक भिन्न से दूसरे को घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, और हर को वही छोड़ देना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए एक व्यंजक का मान ज्ञात करें। इस उदाहरण को हल करने के लिए, पहले भिन्न के अंश से दूसरे भिन्न के अंश को घटाएं और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें। तो ये करते है:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि आप पिज्जा के बारे में सोचते हैं, जिसे चार भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 2।व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

फिर से, पहले भिन्न के अंश से दूसरे भिन्न के अंश को घटाएं, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि आप पिज्जा के बारे में सोचते हैं, जिसे तीन भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 3.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। पहले भिन्न के अंश से, आपको शेष भिन्नों के अंशों को घटाना होगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को घटाने में कुछ भी मुश्किल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. एक भिन्न से दूसरे को घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;
2. यदि उत्तर गलत भिन्न निकलता है, तो आपको उसमें पूरे भाग का चयन करना होगा।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाना

उदाहरण के लिए, आप भिन्न में से भिन्न घटा सकते हैं, क्योंकि इन भिन्नों का हर समान होता है। लेकिन आप भिन्न में से भिन्न नहीं घटा सकते, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

सार्व भाजक उसी सिद्धांत के अनुसार पाया जाता है जिसका उपयोग हमने भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते समय किया था। सबसे पहले दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे पहले अंश के ऊपर लिखा जाता है। इसी तरह, एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे दूसरे अंश के ऊपर लिखा जाता है।

फिर भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न समान हर वाले भिन्नों में परिवर्तित हो जाते हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे अंशों को कैसे घटाना है।

उदाहरण 1।एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

इन भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, इसलिए आपको उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा।

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर 3 है, और दूसरी भिन्न का हर 4 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 12 है।

एलसीएम (3 और 4) = 12

अब वापस भिन्नों पर और

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। ऐसा करने के लिए, हम एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। पहले भिन्न के ऊपर चार लिखें:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम एलसीएम को दूसरी भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 मिलता है। दूसरे भिन्न के ऊपर तीन लिखें:

अब हम घटाने के लिए तैयार हैं। यह भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न समान हर वाले भिन्न में बदल गए। हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे अंशों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को अंत तक समाप्त करें:

जवाब मिला

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। अगर आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

यह समाधान का विस्तृत संस्करण है। स्कूल में, हमें इस उदाहरण को छोटे तरीके से हल करना होगा। ऐसा समाधान इस तरह दिखेगा:

भिन्नों की कमी और एक सामान्य हर को भी आकृति का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। इन भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाने पर, हमें भिन्न और प्राप्त होते हैं। इन अंशों को एक ही पिज्जा स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा, लेकिन इस बार उन्हें समान भागों में विभाजित किया जाएगा (एक ही हर में घटाया गया):

पहला चित्र एक अंश (बारह टुकड़ों में से आठ) को दर्शाता है, और दूसरा चित्र एक अंश (बारह टुकड़ों में से तीन) को दर्शाता है। आठ टुकड़ों में से तीन टुकड़े करने पर हमें बारह में से पांच टुकड़े मिलते हैं। अंश और इन पांच टुकड़ों का वर्णन करता है।

उदाहरण 2।व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

इन भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, इसलिए आपको पहले उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा।

आइए इन भिन्नों के हरों का एलसीएम ज्ञात करें।

भिन्नों के हर 10, 3 और 5 हैं। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 30 . है

एलसीएम (10, 3, 5) = 30

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करते हैं।

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। LCM संख्या 30 है, और पहली भिन्न का हर 10 है। 30 को 10 से विभाजित करने पर, हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 3 मिलता है। हम इसे पहले भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम दूसरी भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग दें। LCM संख्या 30 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 3 है। 30 को 3 से विभाजित करने पर, हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 10 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम तीसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। एलसीएम को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 30 है, और तीसरी भिन्न का हर 5 है। 30 को 5 से भाग देने पर, हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे तीसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

सब कुछ अब घटाव के लिए तैयार है। यह भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न समान (सामान्य) भाजक वाले भिन्नों में बदल गए। हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे अंशों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को समाप्त करें।

उदाहरण की निरंतरता एक पंक्ति में फिट नहीं होगी, इसलिए हम निरंतरता को अगली पंक्ति में स्थानांतरित करते हैं। एक नई लाइन पर बराबर चिह्न (=) के बारे में मत भूलना:

जवाब में, हमें सही अंश मिला, और सब कुछ हमें सूट करता है, लेकिन यह बहुत बोझिल और बदसूरत है। हमें इसे आसान बनाना चाहिए था। क्या किया जा सकता है? आप इस अंश को छोटा कर सकते हैं।

एक भिन्न को कम करने के लिए, आपको इसके अंश और हर को (जीसीडी) संख्या 20 और 30 से विभाजित करना होगा।

तो, हम संख्या 20 और 30 की जीसीडी पाते हैं:

अब हम अपने उदाहरण पर लौटते हैं और अंश के अंश और हर को जीसीडी से विभाजित करते हैं, यानी 10 से

जवाब मिला

भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा, और हर को वही छोड़ देना होगा।

उदाहरण 1... भिन्न को 1 से गुणा करें।

भिन्न के अंश को 1 . से गुणा करें

रिकॉर्डिंग को आधा 1 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 1 बार पिज्जा खाते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है

गुणन के नियमों से हम जानते हैं कि यदि गुणक और गुणनखंड को उलट दिया जाए, तो गुणनफल नहीं बदलेगा। यदि व्यंजक को इस प्रकार लिखा जाता है, तब भी गुणनफल बराबर होगा। फिर से, एक पूर्णांक और भिन्न को गुणा करने का नियम काम करता है:

इस रिकॉर्ड को एक का आधा लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 1 पूरा पिज़्ज़ा है और हम उसका आधा लेते हैं, तो हमारे पास पिज़्ज़ा होगा:

उदाहरण 2... व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

अपनी भिन्न के अंश को 4 . से गुणा करें

उत्तर गलत अंश है। आइए इसमें पूरे भाग का चयन करें:

एक्सप्रेशन को दो चौथाई 4 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 4 बार पिज्जा लेते हैं, तो आपको दो पूरे पिज्जा मिलते हैं।

और यदि हम गुणक और गुणक को स्थानों में अदला-बदली करते हैं, तो हमें व्यंजक प्राप्त होता है। यह भी 2 के बराबर होगा। इस अभिव्यक्ति को चार पूरे पिज्जा से दो पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है:

भिन्नों का गुणन

भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों को गुणा करना होगा। यदि उत्तर गलत भिन्न निकलता है, तो आपको उसमें पूरे भाग का चयन करना होगा।

उदाहरण 1।व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

हमें जवाब मिला। इस अंश को छोटा करना वांछनीय है। भिन्न को 2 से कम किया जा सकता है। फिर अंतिम निर्णय निम्नलिखित रूप लेगा:

पिज्जा के आधे हिस्से से पिज्जा लेने के रूप में अभिव्यक्ति को समझा जा सकता है। मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज्जा है:

इस आधे का दो तिहाई कैसे प्राप्त करें? सबसे पहले, आपको इस आधे हिस्से को तीन बराबर भागों में बांटना होगा:

और इन तीन टुकड़ों में से दो लो:

हम पिज्जा बनाएंगे। याद रखें कि तीन भागों में विभाजित होने पर पिज्जा कैसा दिखता है:

इस पिज़्ज़ा से एक स्लाइस और हमने जो दो स्लाइस लिए हैं, उनके आयाम समान होंगे:

दूसरे शब्दों में हम बात कर रहे हैं उसी पिज़्ज़ा साइज़ की। इसलिए, व्यंजक का मान है

उदाहरण 2... व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

हम पहली भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं:

उत्तर गलत अंश है। आइए इसमें पूरे भाग का चयन करें:

उदाहरण 3.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

हम पहली भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं:

उत्तर एक सही अंश है, लेकिन इसे कम कर दें तो अच्छा होगा। इस भिन्न को कम करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश और हर को 105 और 450 के सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) से विभाजित करना होगा।

तो, आइए संख्या 105 और 450 की GCD ज्ञात करें:

अब हम अपने उत्तर के अंश और हर को जीसीडी से विभाजित करते हैं, जो अब हमें मिला है, यानी 15 से

एक पूर्णांक का भिन्न प्रतिनिधित्व

किसी भी पूर्णांक को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है। इससे, पाँच अपना मान नहीं बदलेगा, क्योंकि व्यंजक का अर्थ है "एक से विभाजित पाँच की संख्या", और यह, जैसा कि आप जानते हैं, पाँच के बराबर है:

रिवर्स नंबर

अब हम गणित के एक बहुत ही रोचक विषय से परिचित होंगे। इसे "बैक नंबर" कहा जाता है।

परिभाषा। संख्या का व्युत्क्रमए एक संख्या है, जिसे गुणा करने परए एक देता है।

आइए एक चर के बजाय इस परिभाषा में स्थानापन्न करें एसंख्या 5 और परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:

संख्या का व्युत्क्रम 5 एक संख्या है, जिसे गुणा करने पर 5 एक देता है।

क्या आप कोई ऐसी संख्या ज्ञात कर सकते हैं जिसे 5 से गुणा करने पर एक प्राप्त हो? यह पता चला है कि आप कर सकते हैं। आइए पाँचों को भिन्न के रूप में निरूपित करें:

फिर इस भिन्न को अपने आप से गुणा करें, बस अंश और हर के स्थान बदल दें। दूसरे शब्दों में, हम भिन्न को अपने आप से गुणा करते हैं, केवल उल्टा:

इसका परिणाम क्या होगा? यदि हम इस उदाहरण को हल करना जारी रखते हैं, तो हमें एक मिलता है:

इसका मतलब है कि 5 का व्युत्क्रम एक संख्या है, क्योंकि जब 5 से गुणा किया जाता है, तो एक प्राप्त होता है।

व्युत्क्रम किसी अन्य पूर्णांक के लिए भी पाया जा सकता है।

आप किसी अन्य भिन्न के लिए व्युत्क्रम भी पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, बस इसे पलट दें।

भिन्न को किसी संख्या से भाग देना

मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज्जा है:

आइए इसे समान रूप से दो में विभाजित करें। प्रत्येक को कितना पिज्जा मिलेगा?

यह देखा जा सकता है कि पिज्जा के आधे हिस्से को विभाजित करने के बाद, दो समान स्लाइस होते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक पिज्जा बनाता है। तो सभी को पिज्जा मिलता है।

भिन्नों का विभाजन पारस्परिक संख्याओं का उपयोग करके किया जाता है। व्युत्क्रम संख्याएँ आपको भाग को गुणा से बदलने की अनुमति देती हैं।

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको इस भिन्न को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा।

इस नियम का उपयोग करते हुए, हम अपने आधे पिज़्ज़ा के विभाजन को दो भागों में लिखते हैं।

तो, आपको भिन्न को संख्या 2 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यहाँ विभाज्य भिन्न है, और भाजक संख्या 2 है।

किसी भिन्न को 2 से भाग देने के लिए, आपको इस भिन्न को भाजक 2 के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा। 2 का व्युत्क्रम भिन्न है। तो आपको से गुणा करना होगा

भिन्न साधारण संख्याएँ हैं और इन्हें जोड़ा और घटाया भी जा सकता है। लेकिन इस तथ्य के कारण कि उनके पास एक भाजक है, उन्हें पूर्णांकों की तुलना में अधिक जटिल नियमों की आवश्यकता होती है।

सबसे सरल मामले पर विचार करें जब एक ही हर के साथ दो भिन्न हों। फिर:

समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, उनके अंश जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

समान हर वाले भिन्नों को घटाने के लिए, पहले भिन्न के अंश से दूसरे के अंश को घटाएं और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

प्रत्येक व्यंजक में भिन्नों के हर बराबर होते हैं। भिन्नों के जोड़ और घटाव की परिभाषा से, हम प्राप्त करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है: बस अंशों को जोड़ें या घटाएं और बस।

लेकिन इस तरह के साधारण कार्यों में भी लोग गलती करने में सफल हो जाते हैं। जो सबसे अधिक बार भुला दिया जाता है वह यह है कि भाजक नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, जब उन्हें जोड़ा जाता है, तो वे भी जोड़ना शुरू कर देते हैं, और यह मौलिक रूप से गलत है।

हर को जोड़ने की बुरी आदत से छुटकारा पाना काफी आसान है। घटाव के लिए भी ऐसा ही करने की कोशिश करें। परिणामस्वरूप, हर शून्य होगा, और भिन्न (अचानक!) अपना अर्थ खो देगा।

इसलिए, एक बार और सभी के लिए याद रखें: जोड़ और घटाव के दौरान हर नहीं बदलता है!

साथ ही, अनेक ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ते समय अनेक गलतियाँ करते हैं। संकेतों के साथ भ्रम है: माइनस को कहां रखा जाए और प्लस को कहां रखा जाए।

इस समस्या का समाधान भी बहुत आसान है। यह याद रखने के लिए पर्याप्त है कि अंश के चिह्न से पहले के माइनस को हमेशा अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है - और इसके विपरीत। और हां, दो सरल नियमों को न भूलें:

1. प्लस और माइनस माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक सकारात्मक बनाते हैं।

आइए विशिष्ट उदाहरणों के साथ इन सबका विश्लेषण करें:

कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

पहले मामले में, सब कुछ सरल है, लेकिन दूसरे में, हम अंशों को अंशों में जोड़ते हैं:

अगर हर अलग हो तो क्या करें

आप भिन्न हर के साथ भिन्न को सीधे नहीं जोड़ सकते। कम से कम, यह विधि मेरे लिए अज्ञात है। हालाँकि, मूल भिन्नों को हमेशा फिर से लिखा जा सकता है ताकि हर समान बन जाएँ।

भिन्नों को परिवर्तित करने के कई तरीके हैं। उनमें से तीन पर "एक सामान्य भाजक के लिए अंशों को कम करना" पाठ में चर्चा की गई है, इसलिए यहां हम उन पर ध्यान नहीं देंगे। आइए उदाहरणों को बेहतर ढंग से देखें:

कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

पहले मामले में, हम "क्रिस-क्रॉस" विधि का उपयोग करके भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं। दूसरे में, हम एलसीएम की तलाश करेंगे। ध्यान दें कि 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3। इन विस्तारों में अंतिम कारक समान हैं, और पहले वाले कोप्राइम हैं। इसलिए, एलसीएम (6; 9) = 2 3 3 = 18।

यदि किसी भिन्न का पूर्णांक भाग हो तो क्या करें

मैं आपको खुश कर सकता हूं: भिन्नों के लिए अलग-अलग भाजक अभी तक की सबसे बड़ी बुराई नहीं हैं। बहुत अधिक त्रुटियाँ तब होती हैं जब भिन्नों में संपूर्ण भाग का चयन किया जाता है।

बेशक, ऐसे अंशों के लिए जोड़ और घटाव के लिए स्वयं के एल्गोरिदम हैं, लेकिन वे जटिल हैं और एक लंबे अध्ययन की आवश्यकता है। नीचे दी गई सरल योजना का बेहतर उपयोग करें:

1. पूर्णांक भाग वाले सभी भिन्नों को गलत में बदलें। हमें सामान्य पद मिलते हैं (विभिन्न हरों के साथ भी), जिनकी गणना ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार की जाती है;
2. दरअसल, परिणामी भिन्नों के योग या अंतर की गणना करें। नतीजतन, हम व्यावहारिक रूप से उत्तर पाएंगे;
3. यदि समस्या में यही सब आवश्यक था, तो हम उलटा परिवर्तन करते हैं, अर्थात। हम गलत अंश से छुटकारा पाते हैं, इसमें पूरे भाग को उजागर करते हैं।

अनुचित भिन्नों को पास करने और पूरे भाग को हाइलाइट करने के नियमों को "संख्यात्मक अंश क्या है" पाठ में विस्तार से वर्णित किया गया है। यदि आपको याद नहीं है, तो इसे दोहराना सुनिश्चित करें। उदाहरण:

कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

यहाँ सब कुछ सरल है। प्रत्येक व्यंजक के अंदर हर बराबर होते हैं, इसलिए यह सभी भिन्नों को गलत में बदलने और गिनने के लिए बना रहता है। हमारे पास है:

चीजों को सरल रखने के लिए, मैंने पिछले उदाहरणों में कुछ स्पष्ट चरणों को छोड़ दिया है।

पिछले दो उदाहरणों के लिए एक छोटा नोट, जहां एक हाइलाइट किए गए पूर्णांक वाले अंशों को घटाया जाता है। दूसरे भिन्न के सामने माइनस का अर्थ है कि वह संपूर्ण भिन्न है जिसे घटाया जाता है, न कि केवल उसका संपूर्ण भिन्न।

इस वाक्य को फिर से पढ़ें, उदाहरणों पर एक नज़र डालें - और इसके बारे में सोचें। यह वह जगह है जहाँ शुरुआती बड़ी संख्या में गलतियाँ करते हैं। वे टेस्ट पेपर पर ऐसी समस्याएं देना पसंद करते हैं। इस पाठ के लिए परीक्षाओं में आप उनका कई बार सामना भी करेंगे, जो जल्द ही प्रकाशित किया जाएगा।

सारांश: सामान्य गणना योजना

अंत में, मैं एक सामान्य एल्गोरिथम दूंगा जो आपको दो या दो से अधिक अंशों का योग या अंतर खोजने में मदद करेगा:

1. यदि एक या अधिक भिन्नों का एक पूरा भाग है, तो इन भिन्नों को गलत में बदलें;
2. किसी भी तरह से आपके लिए सुविधाजनक तरीके से सभी भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएं (जब तक कि निश्चित रूप से, समस्या लेखकों ने ऐसा नहीं किया);
3. समान हर के साथ भिन्नों के जोड़ और घटाव के नियमों के अनुसार परिणामी संख्याओं को जोड़ें या घटाएं;
4. हो सके तो परिणाम कम करें। यदि भिन्न गलत है, तो पूरे भाग का चयन करें।

याद रखें कि उत्तर रिकॉर्ड करने से ठीक पहले, समस्या के अंत में पूरे भाग का चयन करना बेहतर है।