डिग्री में त्रिभुज के सभी कोनों की कुल राशि। त्रिभुज के कोनों के योग पर प्रमेय

प्रमेय। त्रिभुज के आंतरिक कोनों का योग दो प्रत्यक्ष कोनों के बराबर है।

किसी प्रकार का त्रिभुज एवीएस (चित्र 208) लें। नंबर 1, 2 और 3 के साथ अपने आंतरिक कोणों को दर्शाते हैं। आइए इसे साबित करें

∠1 + ∠2 + ∠3 \u003d 180 °।

त्रिभुज के कुछ शीर्ष के माध्यम से कटौती, उदाहरण के लिए,, प्रत्यक्ष एमएन एयू के समानांतर।

शीर्ष पर हम तीन कोण प्राप्त हुए: ∠4, ∠2 और ∠5। उनकी राशि कोण को तैनात किया गया है, इसलिए, यह 180 डिग्री के बराबर है:

∠4 + ∠2 + ∠5 \u003d 180 °।

लेकिन ∠4 \u003d ∠1 समानांतर प्रत्यक्ष एमएन और वक्ताओं और सेकेंड एवी के साथ अंतर्निहित कोणों का आंतरिक मार्ग है।

∠5 \u003d ∠3 समानांतर प्रत्यक्ष एमएन और वक्ताओं और दक्षिण सूर्य के साथ अंतर्निहित कोणों की आंतरिक पिछली है।

तो, ∠4 और ∠5 को बराबर ∠1 और ∠3 के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

नतीजतन, ∠1 + ∠2 + ∠3 \u003d 180 डिग्री। प्रमेय साबित हुआ है।

2. त्रिभुज के बाहरी कोण की संपत्ति।

प्रमेय। त्रिभुज का बाहरी कोण दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर है, इससे संबंधित नहीं है।

वास्तव में, एबीसी त्रिकोण (चित्र 20 9) ∠1 + ∠2 \u003d 180 डिग्री - ∠3 में, लेकिन ∠VD, इस त्रिभुज का बाहरी कोण, ∠1 और ∠2 के नजदीक नहीं है, यह भी 180 ° है - ∠3।

इस तरह:

∠1 + ∠2 \u003d 180 ° - ∠3;

∠BCD \u003d 180 ° - ∠3।

नतीजतन, ∠1 + ∠2 \u003d ∠BCD।

त्रिभुज के बाहरी कोण की व्युत्पन्न संपत्ति त्रिभुज के बाहरी कोने पर पहले सिद्ध प्रमेय की सामग्री को स्पष्ट करती है, जिसमें यह तर्क दिया गया था कि त्रिभुज का बाहरी कोण त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोने से अधिक है, नहीं इससे संबंधित; अब यह स्थापित किया गया है कि बाहरी कोण आंतरिक कोणों के बराबर है, इससे संबंधित नहीं है।

3. 30 डिग्री के कोण के साथ एक आयताकार त्रिकोण की संपत्ति।

प्रमेय। आरओटीएस एक आयताकार त्रिभुज हाइपोटेन्यूज़ के आधे के बराबर 30 डिग्री के कोण के खिलाफ झूठ बोल रहा है।

मान लीजिए कि कोण कोण के आयताकार त्रिभुज बी 30 डिग्री (चित्र 210) के बराबर है। फिर इसके तेज कोण के अलावा 60 डिग्री होगा।

हम साबित करते हैं कि वक्ताओं के वक्ताओं आधे हाइपोटेन्यूज एवी के बराबर हैं। हम सीधे कोण सी के शीर्ष के लिए स्पीकर के साथ सीएटीएटी जारी रखेंगे और एयू के खंड के बराबर सेगमेंट सेमी को स्थगित कर देंगे। बिंदु वी के साथ कनेक्ट करने के लिए बिंदु एम। डब्लूएमएम के परिणामस्वरूप त्रिभुज डॉ त्रिभुज के बराबर है। हम देखते हैं कि एवीएम त्रिभुज का हर कोण 60 डिग्री के बराबर है, इसलिए, यह त्रिभुज समतुल्य है।

वक्ताओं के वक्ताओं आधे एएम के बराबर हैं, और चूंकि एएम एबी के बराबर है, तो वक्ताओं आधे हाइपोटेनस एवी के बराबर होंगे।

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त्रिभुज के कोनों का योग।

Smirnova I. N., गणित शिक्षक।
एक खुले पाठ की सूचना संभावना।

विधिवत पाठ का उद्देश्य: विभिन्न प्रकार की प्रशिक्षण गतिविधियों में आईसीटी उपकरण का उपयोग करने के लिए आधुनिक तरीकों और तकनीकों के साथ शिक्षकों को पेश करने के लिए।
थीम सबक: त्रिभुज के कोनों का योग।
पाठ का नाम: "ज्ञान केवल तब जानता है कि जब उसे अपने विचारों के प्रयासों से अधिग्रहित किया जाता है, स्मृति नहीं।" एलएन टॉल्स्टॉय।
विध्वंसक नवाचार जो पाठ पर आधारित होंगे।
सबक आईसीटी (गणितीय प्रयोगों का उपयोग, नए ज्ञान प्राप्त करने के रूपों में से एक के रूप में, प्रयोगात्मक परीक्षण परिकल्पना) का उपयोग कर वैज्ञानिक अनुसंधान के तरीकों को दिखाएगा; प्रयोगात्मक परीक्षण परिकल्पनाएं)।
पाठ मॉडल का अवलोकन।

1. प्रमेय के अध्ययन की प्रेरणा।
2. प्रशिक्षण और पद्धतिगत किट "लाइव गणित" का उपयोग करके गणितीय प्रयोग के दौरान प्रमेय की सामग्री का प्रकटीकरण।
3. प्रमेय के प्रमाण की आवश्यकता की प्रेरणा।
4. प्रमेय की संरचना पर काम करें।
5. प्रमेय के प्रमाण के लिए खोजें।
6. प्रमेय का प्रमाण।
7. प्रमेय और उसके प्रमाण के शब्द को तेज करना।
8. प्रमेय का उपयोग।

ग्रेड 7 में ज्यामिति सबक
पाठ्यपुस्तक के अनुसार "ज्यामिति 7-9"
इस विषय पर: "त्रिभुज के कोनों का योग।"

पाठ का प्रकार: एक नई सामग्री का अध्ययन करने वाला सबक।
उद्देश्य सबक:
शैक्षिक: त्रिभुज के कोनों के योग के बारे में प्रमेय साबित करें; कार्यक्रम "लिविंग गणित", व्याख्यात्मक संबंधों के विकास के साथ काम करने के कौशल प्राप्त करें।
विकसित होना: तुलना, सामान्यीकरण और व्यवस्थापन के रूप में सोचने की ऐसी तकनीकों का संचालन करने की क्षमता में सुधार करना।
शैक्षिक: स्वतंत्रता और कौशल की शिक्षा योजनाबद्ध योजना के अनुसार काम करती है।
उपकरण: मल्टीमीडिया कैबिनेट, इंटरैक्टिव बोर्ड, प्रैक्टिकल वर्क की योजना के साथ कार्ड, लाइव मैथमैटिक्स प्रोग्राम।

सबक की संरचना।

1. ज्ञान का वास्तविकता।
   1. पाठ की शुरुआत को संगठित करना।
   2. नए मा-क्षेत्र के अध्ययन को प्रेरित करने के लिए समस्या कार्य को निर्धारित करना।
   3. एक सीखने का कार्य।
2. 1. व्यावहारिक काम "त्रिकोण के कोनों का योग"।
   2. त्रिभुज के कोनों के योग पर प्रमेय का सबूत।
3. 1. एक समस्या का समाधान।
   2. तैयार किए गए चित्रों पर कार्यों को हल करना।
   3. पाठ को सारांशित करना।
   4. होमवर्क सेट करना।

कक्षाओं के दौरान।

1. ज्ञान का वास्तविकता।

   पाठ योजना:

   1. प्रायोगिक रूप से स्थापित करें और परिकल्पना को दबाएं किसी भी त्रिकोण के कोणों के योग पर।
   2. इस धारणा को साबित करें।
   3. स्थापित तथ्य को सुरक्षित करें।
2. नए ज्ञान और कार्रवाई के तरीकों का गठन।
   1. व्यावहारिक काम "त्रिकोण के कोनों का योग"।

      छात्र कंप्यूटर के लिए बैठते हैं और वे व्यावहारिक कार्य की योजना के साथ कार्ड वितरित किए जाते हैं।

      विषय पर व्यावहारिक कार्य "त्रिभुज के कोनों का योग" (नमूना कार्ड)

      प्रिंट कार्ड
      

      छात्र व्यावहारिक काम के परिणाम और प्रति डेस्क बैठते हैं।
      व्यावहारिक कार्य के परिणामों पर चर्चा करने के बाद, परिकल्पना को आगे रखा जाता है कि त्रिभुज कोणों का योग 180 डिग्री है।
      अध्यापक: क्यों हम अभी तक तर्क नहीं दे सकते कि कोणों का योग बिल्कुल कोई त्रिभुज 180 डिग्री है।
      पुतली: पूरी तरह से सटीक निर्माण करना या कंप्यूटर पर भी बिल्कुल सटीक माप का उत्पादन करना असंभव है।
      यह दावा है कि त्रिभुज के कोनों का योग 180 डिग्री है, केवल हमारे द्वारा विचार किए गए त्रिकोणों को संदर्भित करता है। हम अन्य त्रिकोणों के बारे में कुछ भी नहीं कह सकते हैं, क्योंकि हमने अपने कोनों को माप नहीं दिया था।
      अध्यापक: यह कहना अधिक सही होगा: हमारे द्वारा विचार किए गए त्रिकोणों में लगभग 180 डिग्री के बराबर कोण का कोण होता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि त्रिभुज के कोनों की राशि बिल्कुल 180 डिग्री है और, किसी भी त्रिकोण के लिए, किसी भी त्रिभुज के लिए, हमें अभी भी उचित तर्क धारण करने की आवश्यकता है, जो कि अनुमोदन की वैधता को साबित करने के लिए, अनुभव द्वारा सुझाया गया है।
      

   2. त्रिभुज के कोनों के योग पर प्रमेय का सबूत।

      छात्र एक नोटबुक खोलते हैं और "त्रिभुज कोणों के योग" के विषय को लिखते हैं।

      प्रमेय की संरचना पर काम करें।

      प्रमेय बनाने के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:
      • माप प्रक्रिया में क्या त्रिकोण का उपयोग किया गया था?
      • प्रमेय की स्थिति में क्या शामिल है (क्या दिया गया है)?
      • मापने के दौरान हमें क्या मिला?
      • प्रमेय का समापन क्या है (मुझे क्या साबित करना चाहिए?
      • त्रिभुज के कोनों के योग के बारे में प्रमेय तैयार करने का प्रयास करें।

      बिल्डिंग ड्राइंग और संक्षिप्त प्रमेय

      इस स्तर पर, छात्रों को एक ड्राइंग बनाने और लिखने के लिए आमंत्रित किया जाता है, जिसे दिया जाता है और आप क्या साबित करना चाहते हैं।

      एक ड्राइंग और प्रमेय की एक संक्षिप्त प्रविष्टि का निर्माण।

      दानर: एबीसी त्रिकोण।
      साबित करना
      ட ए + ட बी + ட सी \u003d 180 डिग्री।

      प्रमेय के प्रमाण के लिए खोजें

      साक्ष्य के लिए खोज करते समय, आपको प्रमेय की स्थिति या निष्कर्ष को तैनात करने का प्रयास करना चाहिए। त्रिभुज के कोनों के योग पर प्रमेय में निराशाजनक की स्थिति को तैनात करने का प्रयास करता है, इसलिए निष्कर्ष निकास की तैनाती वाले छात्रों के साथ करना उचित है।
      अध्यापक: किन बयानों में कोनों में कहा गया है, जिनमें से मूल्यों का योग 180 डिग्री है।
      पुतली: यदि दो समानांतर सीधे क्रॉस छेड़छाड़ की जाती है, तो आंतरिक एक तरफा कोनों की राशि 180 डिग्री होती है।
      आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री है।
      अध्यापक: आइए पहले अनुमोदन का उपयोग करने का प्रयास करें। इस संबंध में, दो समानांतर सीधी रेखाओं और सुरक्षित करना आवश्यक है, लेकिन इसे बनाना आवश्यक है ताकि त्रिकोण कोणों की सबसे बड़ी संख्या आंतरिक हो या उनमें शामिल हो। इसे कैसे प्राप्त किया जा सकता है?
      

      प्रमेय के प्रमाण के लिए खोजें।

      

      पुतली: त्रिभुज के सीधे समानांतर त्रिभुज के शीर्षक के माध्यम से आचरण, फिर पार्श्व पक्ष अनुक्रमिक होगा। उदाहरण के लिए, वर्टेक्स वी के माध्यम से।
      अध्यापक: इन प्रत्यक्ष और सेकेंड के साथ बनाए गए आंतरिक एकतरफा कोणों का नाम दें।
      पुतली: कोनों डीबीए और आप।
      अध्यापक: क्या कोण 180 ° होंगे?
      पुतली: ட डीबीए और ட बीएसी।
      अध्यापक: ABD के कोण के बारे में क्या कहा जा सकता है?
      पुतली: इसका मूल्य एबीसी और एसवीके कोणों की मात्रा के बराबर है।
      अध्यापक: प्रमेय साबित करने के लिए हमें क्या मंजूरी मिल रही है?
      पुतली: ட डीबीसी \u003d ட एसीबी।
      अध्यापक: यह क्या कर रहे हैं?
      पुतली: आंतरिक कोठरी झूठ बोल रही है।
      अध्यापक: हम क्या तर्क दे सकते हैं कि वे बराबर हैं?
      पुतली: समानांतर सीधी रेखाओं और अनुक्रमिक के साथ झूठ बोलने वाले कोणों के आंतरिक कवरेज की संपत्ति द्वारा।

      सबूत की खोज के परिणामस्वरूप, प्रमेय का प्रमाण तैयार किया गया है:
      

      प्रमेय की सबूत योजना।

      1. त्रिभुज के एक कोने में से एक के माध्यम से, एक सीधा, समानांतर विरोधी पक्ष खर्च करें।
      2. झूठ बोलने वाले कोणों की आंतरिक दरों की समानता को साबित करें।
      3. आंतरिक एक तरफा कोनों की राशि रिकॉर्ड करें और त्रिभुज के कोनों के माध्यम से उन्हें व्यक्त करें।

      सबूत और इसका रिकॉर्ड।

      
      1. हम बीडी करते हैं || एसी (एक्सीम समानांतर सीधी रेखाएं)।
      2. ட 3 \u003d ட 4 (चूंकि यह बीडी || एयू और दक्षिण सूर्य के साथ अंतर्निहित कोण ले जाएगा)।
      3. ட ए + ட एवीडी \u003d 180 डिग्री (क्योंकि यह बीडी || एयू और बिक्री एवी के साथ एक तरफा कोनों है)।
      4. ட ए + ட avd \u003d ட 1 + (ட 2 + ட 4) \u003d ட 1 + ட 2 + ட 3 \u003d 180 डिग्री, जो साबित करने के लिए आवश्यक था।

      प्रमेय और उसके प्रमाण के शब्द को तेज करना।

      प्रमेय के शब्दों को समझने के लिए, छात्रों को निम्नलिखित कार्यों को करने के लिए आमंत्रित किया जाता है:

      1. शब्द वह प्रमेय जिसे हमने अभी साबित किया है।
      2. प्रमेय के हालत और समापन को हाइलाइट करें।
      3. प्रमेय किस तरह के आंकड़े लागू होते हैं?
      4. शब्द "अगर ..., तो ..." शब्द के साथ शब्द।
3. ज्ञान का आवेदन, कौशल और कौशल का गठन।

1) त्रिभुज कोणों का योग 180 डिग्री है।

सबूत

एबीसी "- एक मनमाने ढंग से त्रिभुज। वर्टेक्स बी डायरेक्ट कट, समांतर डायरेक्ट एसी (इस तरह के प्रत्यक्ष एसी को डायरेक्ट यूक्लिडा कहा जाता है)। हम बिंदु डी को नोट करते हैं ताकि अंक ए और डी प्रत्यक्ष बीसी के विभिन्न पक्षों के साथ झूठ बोल सकें। DBC और एसीबी समानांतर सीधे एसी और बीडी के साथ सुरक्षित बीसी द्वारा गठित आंतरिक के रूप में बराबर होते हैं। इसलिए, शिखर पर त्रिभुज कोणों का योग बी और सी एबीडी कोण के बराबर है। सभी तीन त्रिकोण कोणों के बराबर हैं एबीडी और बीएसी कोण की राशि। चूंकि ये कोण समानांतर एसी और बीडी के लिए आंतरिक एकतरफा हैं। माध्यमिक एबी, तो उनकी राशि 180 डिग्री है। प्रमेय साबित हुआ है।
2) इस शीर्ष के साथ त्रिभुज के बाहरी कोण को इस शीर्ष पर त्रिभुज कोण के नजदीक कोण कहा जाता है।

प्रमेय: त्रिभुज का बाहरी कोण त्रिभुज के दो कोनों के बराबर है, इससे संबंधित नहीं है

साक्ष्य। एबीसी को यह त्रिकोण होने दें। त्रिभुज में कोनों की मात्रा पर प्रमेय द्वारा
∠ एबीसी + ∠ बीसीए + ∠ कैब \u003d 180 º।
इसका अर्थ है
∠ एबीसी + ∠ कैब \u003d 180 º - ∠ बीसीए \u003d ∠ बीसीडी
प्रमेय साबित हुआ है।

प्रमेय से निम्नानुसार है:
त्रिभुज का बाहरी कोने किसी भी त्रिभुज कोण से अधिक है, इससे संबंधित नहीं है।
3) त्रिभुज \u003d 180 डिग्री के कोनों का योग। यदि सीधी रेखा (90 डिग्री) के दो कोनों में से एक दो अन्य भी 9 0 हैं। इसलिए उनमें से प्रत्येक 90 से कम है, वे तेज हैं। यदि कोनों में से एक बेवकूफ है, तो दो अन्य लोग 90 से कम के लिए खाते हैं, यानी, वे स्पष्ट रूप से तेज हैं।
4) बेवकूफ - 90 डिग्री से अधिक
एक्राउंड - 90 डिग्री से कम
5) ए। त्रिकोण, जिसमें एक कोनों में से एक 90 डिग्री है।
बी Kartets और hypotenuses
6) 6 °। प्रत्येक त्रिभुज में, अधिकांश पक्षों के खिलाफ एक बड़ा कोने और पीठ: बड़े कोण के खिलाफ सबसे बड़ी तरफ निहित है। किसी भी खंड में एक और केवल एक ही मध्य होता है।
7) पाइथागोरा प्रमेय के अनुसार: हाइपोटेन्यूज का वर्ग कैथेट के वर्गों के योग के बराबर है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक कैथेट से अधिक हाइपोटेन्यूज
8) --- समान 7 के समान
9) त्रिभुज के कोनों का योग 180 डिग्री है। और यदि त्रिभुज का एक जबरदस्त पक्ष दो से अधिक अन्य समर्थन होगा, तो कोणों का योग 180 से अधिक होगा, जो असंभव है। इसलिए, त्रिभुज के प्रत्येक पक्ष दो अन्य पार्टियों के योग से कम है।
10) किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री है।
टी के। यह त्रिकोण आयताकार है, फिर उसके कोनों में से एक सीधे है, यानी 90 डिग्री के बराबर है।
नतीजतन, दो अन्य तेज कोनों की राशि 180-90 \u003d 9 0 डिग्री है।
11) 1. एक आयताकार एबीसी त्रिभुज पर विचार करें जिसमें एंगल ए एक सीधा, कोण बी \u003d 30 डिग्री एक कोने सी \u003d 60 है। हम इसके बराबर एबीसी के त्रिभुज को लेंगे। हम बीसीडी के त्रिभुज को प्राप्त करते हैं जिसमें कोण बी \u003d कोण डी \u003d 60 डिग्री, इसलिए, डीसी \u003d बीसी। लेकिन एसी 1/2 सूर्य के निर्माण पर, जो साबित करने के लिए आवश्यक था। यदि आयताकार त्रिभुज का रोल हाइपोटेन्यूज के आधे के बराबर है, तो इस श्रेणी के खिलाफ झूठ बोलने वाला कोण 30 डिग्री के बराबर है। इसका सुझाव दें। हम आयताकार त्रिकोण एवीसी की जांच करते हैं, जिसमें वक्ताओं का भाषण आधा एयू के बराबर है। hypotenuse। हमने एबीएस त्रिभुज को उसके बराबर त्रिभुज पर लागू किया। एक समतुल्य त्रिभुज बीसीडी प्राप्त करें। समतुल्य त्रिभुज के कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं (क्योंकि बराबर स्ट्रोन के खिलाफ समान कोण होते हैं), इसलिए उनमें से प्रत्येक \u003d 60 डिग्री। लेकिन डीबीसी \u003d 2 एबीसी कोण का कोण, इसलिए एबीसी \u003d 30 डिग्री का कोण, जिसे साबित करने की आवश्यकता थी।

। (स्लाइड 1)

पाठ का प्रकार:एक नई सामग्री का अध्ययन करने वाला सबक।

उद्देश्य सबक:

• शिक्षात्मक:
  • त्रिभुज के कोनों के योग के बारे में प्रमेय पर विचार करें,
  • कार्यों को हल करते समय प्रमेय के उपयोग को प्रदर्शित करें।
• शिक्षात्मक:
  • छात्रों के ज्ञान के सकारात्मक दृष्टिकोण की शिक्षा
  • छात्रों में उनकी शक्तियों में आत्मविश्वास से छुटकारा पाएं।
• विकसित होना:
  • विश्लेषणात्मक सोच का विकास
  • "सीखने के लिए कौशल" का विकास: शैक्षिक प्रक्रिया में ज्ञान, कौशल और कौशल का उपयोग करें,
  • तार्किक सोच का विकास, अपने विचारों को स्पष्ट रूप से तैयार करने की क्षमता।

उपकरण:इंटरएक्टिव बोर्ड, प्रस्तुति, कार्ड।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण

- आज, सबक में, हम आयताकार, समान, समतुल्य त्रिभुजों की परिभाषा को याद करेंगे। त्रिकोण के कोनों के गुणों को दोहराएं। त्रिभुज के कोनों की राशि के बारे में प्रमेय को साबित करने के लिए झूठ बोलने वाले कोणों की आंतरिक एक तरफा और आंतरिक उत्तेजना के गुणों को लागू करना और समस्याओं को हल करते समय इसे कैसे लागू किया जाए।

द्वितीय। मौखिक रूप से(स्लाइड 2)

1) ड्रॉइंग आयताकार, समान, समतुल्य त्रिकोण पर खोजें।
2) इन त्रिकोणों की परिभाषा दें।
3) समतुल्य और समन्वय त्रिभुज के कोणों के गुणों को तैयार करें।

4) चित्रा के द्वितीय एनएच में। (स्लाइड 3)

- इन प्रत्यक्ष के लिए अनुक्रम निर्दिष्ट करें
- आंतरिक एकतरफा कोण, झूठ बोलने वाले कोणों का आंतरिक मार्ग, उनके गुणों को कॉल करें

तृतीय। नई सामग्री का स्पष्टीकरण

प्रमेय।त्रिभुज के कोनों का योग 180 ओ है

प्रमेय के शब्द के अनुसार, लोग एक ड्राइंग बनाते हैं, स्थिति लिखते हैं, निष्कर्ष। प्रश्नों का जवाब, स्वतंत्र रूप से प्रमेय साबित करें।

दिया हुआ: साबित करना

साक्ष्य:

1. त्रिभुज में शीर्ष के माध्यम से, हम प्रत्यक्ष बीडी II एसी खर्च करेंगे।
2. समानांतर सीधी रेखाओं के लिए अनुक्रम निर्दिष्ट करें।
3. सीबीडी और एसीबी कोण के बारे में क्या कहा जा सकता है? (एक कीर्तिमान बनाये)
4. कैब और एबीड कोण के बारे में हम क्या जानते हैं? (एक कीर्तिमान बनाये)
5. सीबीडी कोण एसीबी कोण बदलें
6. एक निष्कर्ष निकालो।

Iv। प्रस्ताव खत्म करो।(स्लाइड 4)

1. त्रिभुज के कोनों का योग बराबर है ...
2. एक त्रिभुज में, कोनों में से एक दूसरे के बराबर होता है, त्रिभुज का तीसरा कोने बराबर होता है ...
3. आयताकार त्रिभुज के तेज कोनों का योग बराबर है ...
4. समान रूप से दृश्य आयताकार त्रिभुज के कोण के बराबर हैं ...
5. समतुल्य त्रिभुज के कोण बराबर हैं ...
6. यदि अनोस-फ्री त्रिभुज के पार्श्व पक्षों के बीच कोण 1000 है, तो आधार पर कोण बराबर हैं ...

वी। कुछ कहानी।(5-7 स्लाइड)

त्रिकोण के कोनों के योग पर प्रमेय का प्रमाण "आंतरिक की राशि त्रिभुज के कोनों दो प्रत्यक्ष "विशेषता के लिए विशेषता) के बराबर हैं (580-500 ग्राम। बीसी)
प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक प्रोक्लस (410-485 जी। एनई),

त्रिभुज एक बहुभुज है जिसमें तीन पक्ष होते हैं (तीन कोण)। अक्सर, पार्टियों को उन छोटे अक्षरों से दर्शाया जाता है जो पूंजी अक्षरों से संबंधित होते हैं जो विपरीत शिखर दर्शाते हैं। इस लेख में, हम इन ज्यामितीय आंकड़ों के विचारों से परिचित होंगे, प्रमेय जो निर्धारित करता है कि त्रिभुज के कोनों का योग बराबर है।

कोनों के प्रकार

तीन शिखर के साथ निम्नलिखित प्रकार के बहुभुज प्रतिष्ठित हैं:

• तीव्र विलेख, जिसमें सभी कोनों तेज होते हैं;
• आयताकार, एक सीधा कोण होने के कारण, इसके फॉर्मूलेशन के साथ, श्रेणियां कहा जाता है, और पक्ष, जिसे प्रत्यक्ष कोने के विपरीत रखा जाता है, को हाइपोटेन्यूज कहा जाता है;
• बेवकूफ जब एक;
• एक आइसोसेलस, जिसमें दो पक्ष बराबर होते हैं, और उन्हें पक्ष कहा जाता है, और तीसरा - त्रिभुज का आधार;
• समान रूप से, तीनों बराबर पक्ष होना।

गुण

प्रत्येक प्रकार के त्रिभुज की विशेषता वाले मुख्य गुण आवंटित करें:

• इसके विपरीत, अधिकांश पक्ष हमेशा एक बड़े कोण होते हैं, और इसके विपरीत;
• इसके विपरीत, समान कोण पक्षों की परिमाण में बराबर होते हैं, और इसके विपरीत;
• किसी भी त्रिभुज में दो तेज कोनों हैं;
• बाहरी कोण किसी भी आंतरिक कोण की तुलना में अधिक, इससे संबंधित नहीं;
• किसी भी दो कोण की मात्रा हमेशा 180 डिग्री से कम होती है;
• बाहरी कोण अन्य दो कोणों के योग के बराबर है जो इसके साथ जुड़े नहीं हैं।

त्रिभुज के कोनों के योग पर प्रमेय

प्रमेय का तर्क है कि यदि आप किसी दिए गए ज्यामितीय आकार के सभी कोण जोड़ते हैं, जो यूक्लिडियन विमान पर स्थित है, तो उनकी राशि 180 डिग्री होगी। आइए इस प्रमेय को साबित करने की कोशिश करें।

आइए हम सीएमएन के शिखर के साथ एक मनमानी त्रिकोण लें।

चरम के माध्यम से, सीएन ले जाएगा (अभी भी प्रत्यक्ष यूक्लिडा प्रत्यक्ष कहा जाता है)। यह बिंदु को नोट करेगा और इस प्रकार बिंदु के और ए सीधी रेखा के विभिन्न पक्षों से स्थित है। हम एएमएन और केएनएम के बराबर कोण प्राप्त करते हैं, जो आंतरिक, निकट में झूठ बोलते हैं और अनुक्रमिक एमएन द्वारा गठित होते हैं, साथ ही प्रत्यक्ष सीएन और एमए के साथ, जो समानांतर होते हैं। यह इस प्रकार है कि एम और एच के शिखर पर स्थित त्रिभुज के कोनों का योग सीएमए कोण के आकार के बराबर है। सभी तीन कोण उस राशि का गठन करते हैं जो सीएमए और एमसीएन कोणों की मात्रा के बराबर है। चूंकि ये कोण अनुक्रमिक सीएम के साथ समांतर प्रत्यक्ष सीएन और एमए के आंतरिक एक तरफा सापेक्ष हैं, इसलिए उनकी राशि 180 डिग्री है। प्रमेय साबित हुआ है।

परिणाम

उपर्युक्त, प्रमेय निम्नलिखित परिणाम का पालन करता है: किसी भी त्रिभुज में दो तेज कोनों होते हैं। इसे साबित करने के लिए, मान लें कि इस ज्यामितीय आकृति में केवल एक तेज कोण है। यह भी माना जा सकता है कि किसी भी कोनों में कोई भी तीव्र नहीं है। इस मामले में, कम से कम दो कोण होना चाहिए, जिसकी परिमाण 90 डिग्री से अधिक या उससे अधिक है। लेकिन फिर कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक होगा। और यह नहीं हो सकता है, क्योंकि प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज के कोनों का योग 180 डिग्री है - कोई और नहीं। यह साबित करने के लिए यही आवश्यक था।

बाहरी कोनों की संपत्ति

त्रिभुज के कोनों का योग क्या है, जो बाहरी हैं? इस प्रश्न का उत्तर दो तरीकों से लागू करके प्राप्त किया जा सकता है। पहला यह है कि प्रत्येक शीर्षक में एक कोनों की मात्रा को ढूंढना आवश्यक है, यानी, तीन कोण। दूसरा इसका तात्पर्य है कि आपको शीर्ष पर सभी छः कोनों की राशि को खोजने की आवश्यकता है। शुरू करने के लिए, हम पहले विकल्प से निपटेंगे। तो, त्रिभुज में छह बाहरी कोनों होते हैं - प्रत्येक शीर्ष दो के साथ।

प्रत्येक जोड़ी के बराबर कोण होते हैं, क्योंकि वे लंबवत होते हैं:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

इसके अलावा, यह ज्ञात है कि त्रिभुज में बाहरी कोण दो आंतरिक के योग के बराबर है, जो इसके साथ अंतर्निहित नहीं हैं। इसलिये,

∟1 \u003d ∟A + ∟С, ∟2 \u003d ∟A + ∟V, ∟3 \u003d ∟в + ∟∟।

यह पता चला है कि बाहरी कोणों की मात्रा जो एक को एक तरफ से ले जाया जाता है उसके बराबर होगा:

∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d ∟A + ∟С + ∟A + ∟V + ∟V + ∟С \u003d 2 x (∟A + ∟V + ∟С)।

इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि कोणों की मात्रा 180 डिग्री के बराबर होती है, यह तर्क दिया जा सकता है कि ∟a + ∟V + ∟C \u003d 180 °। इसका मतलब है कि ∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d 2 x 180 डिग्री \u003d 360 डिग्री। यदि दूसरा विकल्प उपयोग किया जाता है, तो छह कोनों की राशि क्रमशः दो गुना से अधिक होगी। यही है, त्रिभुज के बाहरी कोनों का योग होगा:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 \u003d 2 एक्स (∟1 + ∟2 + ∟2) \u003d 720 °।

सही त्रिकोण

आयताकार त्रिभुज के कोणों का योग क्या है, जो तेज हैं? इस सवाल का जवाब, फिर, प्रमेय से पीछा करता है, जो दावा करता है कि राशि में त्रिभुज में कोनों में 180 डिग्री हैं। और हमारे बयान (संपत्ति) इस तरह लगता है: एक आयताकार त्रिभुज में, राशि में तेज कोनों में 90 डिग्री प्रदान करते हैं। हम उसकी सच्चाई साबित करते हैं।

आइए हम हमें केएमएन का त्रिकोण दें, जिनकी ∟N \u003d 90 °। यह साबित करना आवश्यक है कि ∟K + ∟M \u003d 90 °।

तो, ∟K + ∟M + ∟N \u003d 180 ° के कोणों के योग पर प्रमेय के अनुसार। हमारी हालत में यह कहा जाता है कि ∟n \u003d 90 °। तो यह निकलता है, ∟K + ∟M + 90 डिग्री \u003d 180 डिग्री। यही है, ∟K + ∟M \u003d 180 ° - 90 डिग्री \u003d 90 डिग्री। यही हमें साबित करना चाहिए।

आयताकार त्रिभुज के उपरोक्त गुणों के अतिरिक्त, आप निम्न में जोड़ सकते हैं:

• कैथेट के खिलाफ झूठ बोलने वाले कोण तेज हैं;
• त्रिकोणीय hypotenuse किसी भी कैथेट से अधिक है;
• कैथेट की मात्रा अधिक hypotenuse है;
• त्रिभुज का कैट, जो 30 डिग्री के कोण के विपरीत है, दो गुना कम hypotenuses है, यानी, यह उसके आधे के बराबर है।

इस ज्यामितीय आकार की एक और संपत्ति के रूप में, आप पाइथागोरा प्रमेय का चयन कर सकते हैं। यह दावा करता है कि 90 डिग्री (आयताकार) के कोण के साथ त्रिभुज में कैथेट के वर्गों का योग हाइपोटेन्यूज के वर्ग के बराबर है।

एक उन्नत त्रिकोण के कोणों का योग

इससे पहले, हमने कहा था कि दो बराबर पक्ष वाले तीन शिखर वाले बहुभुज को समान रूप से कहा जाता है। इस ज्यामितीय आकार की यह संपत्ति ज्ञात है: इसके आधार पर कोण बराबर हैं। हम इसे साबित करते हैं।

केएमएन के त्रिभुज को लें, जो एक समान रूप से छेड़छाड़ की गई है, पुस्तक इसकी नींव है।

हमें यह साबित करने की जरूरत है कि ∟k \u003d ∟ तो, मान लीजिए कि एमए केएमएन के हमारे त्रिकोण का द्विभाषी है। आईसीए का त्रिभुज, समानता के पहले संकेत को ध्यान में रखते हुए, एमएनए के त्रिभुज के बराबर है। अर्थात्, स्थिति के अनुसार, यह दिया गया है कि केएम \u003d एनएम, एमए एक आम पार्टी है, ∟1 \u003d ∟2, क्योंकि एमए बिसेक्टर है। इन दो त्रिकोणों की समानता के तथ्य का उपयोग करके, यह तर्क दिया जा सकता है कि ∟k \u003d ∟। तो, प्रमेय साबित हुआ है।

लेकिन हम त्रिभुज के कोनों का योग (एक संतुलित) में रुचि रखते हैं। इस संबंध में, उनके पास अपनी विशेषताएं नहीं हैं, जिन्हें पहले चर्चा की गई प्रमेय से पीछे हट जाएगी। यही है, हम तर्क दे सकते हैं कि ∟K + ∟M + ∟N \u003d 180 °, या 2 x ∟k + ∟m \u003d 180 ° (∟k \u003d ∟n के बाद)। हम इस संपत्ति को साबित नहीं करेंगे क्योंकि त्रिभुज के कोनों के योग पर प्रमेय पहले साबित हुआ है।

त्रिभुज कोनों के गुणों के अलावा, ऐसे महत्वपूर्ण आरोप भी हैं:

• जो आधार के लिए छोड़ा गया था, एक साथ औसत, द्विभाजक कोण है, जो समान पार्टियों के साथ-साथ इसके आधार के बीच है;
• medians (Bisector, ऊंचाइयों), जो इस तरह के ज्यामितीय आकार के किनारों पर किया गया है, बराबर हैं।

समान भुजाओं वाला त्रिकोण

इसे सही भी कहा जाता है, यह त्रिभुज है कि सभी पार्टियां बराबर हैं। और इसलिए कोण भी बराबर हैं। उनमें से प्रत्येक 60 डिग्री है। हम इस संपत्ति को साबित करते हैं।

मान लीजिए कि हमारे पास एक केएमएन त्रिकोण है। हम जानते हैं कि km \u003d nm \u003d kn। और इसका मतलब है कि, एक समेकित त्रिभुज, ∟k \u003d ∟m \u003d ∟ में आधार पर स्थित कोणों की संपत्ति के अनुसार। प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज के कोनों का योग ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 डिग्री है, फिर 3 x ∟k \u003d 180 ° या ∟k \u003d 60 °, ∟M \u003d 60 °, ∟n \u003d 60 °। इस प्रकार, अनुमोदन साबित हुआ है।

जैसा कि प्रमेय के आधार पर उपरोक्त प्रमाण से देखा जा सकता है, कोणों का योग किसी भी अन्य त्रिभुज के कोणों के योग 180 डिग्री है। इस प्रमेय को जरूरत के लिए साबित करने के लिए।

अभी भी एक समतुल्य त्रिभुज की विशेषता विशेषता है:

• इस तरह के ज्यामितीय आंकड़े में औसत, द्विभाजक, ऊंचाई, और उनकी लंबाई की गणना (और x √3): 2 के रूप में की जाती है;
• यदि आप इस बहुभुज सर्कल के आसपास वर्णन करते हैं, तो इसका त्रिज्या बराबर होगा (और x √3): 3;
• एक सर्कल त्रिभुज में एक सर्कल में प्रवेश करने के लिए, इसका त्रिज्या होगा (एक x √3): 6;
• इस ज्यामितीय आकार का क्षेत्र सूत्र द्वारा गणना की जाती है: (ए 2 एक्स √3): 4।

बेवकूफ त्रिकोण

परिभाषा के अनुसार, इसके कोनों में से एक 90 से 180 डिग्री के बीच है। लेकिन इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इस ज्यामितीय आकार का दूसरा कोण तेज है, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि वे 90 डिग्री से अधिक नहीं हैं। नतीजतन, त्रिभुज के कोनों के योग पर प्रमेय बेवकूफ त्रिभुज में कोनों की मात्रा की गणना करते समय काम करता है। यह पता चला है, हम सुरक्षित रूप से जोर दे सकते हैं, उपरोक्त प्रमेय पर भरोसा कर रहे हैं कि बेवकूफ त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री है। फिर, इस प्रमेय को फिर से सबूत की आवश्यकता नहीं है।