विमान पर सीधे समीकरण। प्रत्यक्ष गाइड वेक्टर। वेक्टर सामान्य। सेगमेंट में सीधे रासायनिक समीकरण समीकरण को हल करना और हल करना

समीकरण बनाएं - इसका अर्थ डेटा (ज्ञात) कार्यों और वांछित (अज्ञात) मानों के बीच संबंधों को गणितीय रूप में व्यक्त करना है। कभी-कभी यह कनेक्शन इस समस्या के निर्माण में इतना स्पष्ट रूप से निहित है कि समीकरण का संकलन गणितीय संकेतों की भाषा में समस्या की शाब्दिक रूप से रिटेलिंग है।

उदाहरण 1. पेट्रोव 160 रूबल के लिए काम के लिए मिला। आधे से अधिक राशि जो इवानोव को प्राप्त हुआ। साथ में उन्हें 1120 रूबल मिले। पेट्रोव और इवानोव के काम के लिए उन्हें कितना मिला? एक्स कमाई इवानोवा द्वारा निरूपित। आधी अपनी कमाई 0.5x है; मासिक आय पेट्रोवा 0.5x + 160 एक साथ वे 1120 रूबल कमाते हैं; अंतिम वाक्यांश का गणितीय रिकॉर्ड होगा

(0.5x + 160) + x \u003d 1120।

समीकरण तैयार किया जाता है। स्थापित नियमों के समय पर इसे तय करना, आयवान इवानोव एक्स \u003d 640 रूबल ढूंढना; पेट्रोवा 0.5x + 160 \u003d 480 की कमाई (रगड़।)।

कप, हालांकि, ऐसा होता है कि डेटा और वांछित मानों के बीच संबंध सीधे कार्य में निर्दिष्ट नहीं है; इसे कार्य की शर्तों के आधार पर स्थापित किया जाना चाहिए। व्यावहारिक कार्यों में, यह लगभग हमेशा होता है। उपरोक्त उदाहरण परिभाषित किया गया है; जीवन में, लगभग कभी ऐसा कार्य नहीं मिला है।

समीकरण संकलित करने के लिए, इसलिए, काफी संपूर्ण निर्देश देना असंभव है। हालांकि, पहले यह निम्नलिखित द्वारा निर्देशित होने के लिए उपयोगी है। हम वांछित मूल्य (या कई मात्राओं) का मूल्य किसी प्रकार की यादृच्छिक संख्या (या कई संख्या) ले लेंगे और यह जांचने के लिए एक कार्य डालेंगे कि क्या हमने समस्या के सही समाधान का अनुमान लगाया है या नहीं। अगर हम इस जांच को खर्च करने में कामयाब रहे और या तो हमारा अनुमान तय किया गया है, या गलत क्या है (सबसे अधिक संभावना है कि यह निश्चित रूप से, दूसरा), हम तुरंत वांछित समीकरण (या कई समीकरण) कर सकते हैं। यह है कि हम उन कार्यों को लिखेंगे जिन्हें हमने जांचने के लिए बनाया है, केवल यादृच्छिक रूप से इसके बजाय, हम एक अज्ञात मूल्य का एक क्षारीय संकेत पेश करते हैं। हमें वांछित समीकरण मिलता है।

उदाहरण 2. 1 डीएम 3 में तांबा मिश्र धातु और जस्ता मात्रा का एक टुकड़ा 8.14 किलो वजन का होता है। मिश्र धातु में कितना तांबा निहित है? (Ud। तांबा वजन 8.9 किलो / डीएम 3; जिंक - 7.0 किलो / डीएम 3)।

यादृच्छिक रूप से तांबे की वांछित मात्रा को व्यक्त करने वाली संख्या पर जाएं, उदाहरण के लिए 0.3 डीएम 3। जांचें, हमने सफलतापूर्वक यह संख्या ली। चूंकि 1 किलो / डीएम 3 तांबा का वजन 8.9 किलोग्राम है, फिर 0.3 डीएम 3 का वजन 8.9 * 0.3 \u003d 2.67 (किलो) है। मिश्र धातु में जस्ता वॉल्यूम 1 - 0.3 \u003d 0.7 (डीएम 3) है। उसका वजन 7.0 0.7 \u003d 4.9 (किलो)। जस्ता और तांबा 2,67 + + 4.9 \u003d 7.57 (किलो) का कुल वजन। इस बीच, समस्या की स्थिति के तहत, हमारे टुकड़े का वजन, 8.14 किलो। हमारा अनुमान अस्थिर है। लेकिन हम तुरंत समाधान के समीकरण को प्राप्त करते हैं जो सही उत्तर देगा। 0.3 डीएम 3 की तीव्र संख्या के बजाय, हम एक्स के माध्यम से तांबा (डीएम 3 में) की राशि को दर्शाते हैं। काम के बजाय 8.9 0.3 \u003d 2.67, हम जेनरेट किए गए 8.9 x को पूरा करते हैं। यह मिश्र धातु में तांबे का वजन है। 1 - 0.3 \u003d 0.7 के बजाय 1 - एक्स लें; यह जस्ता वॉल्यूम है। 7.0 0.7 \u003d 4.9 के बजाय हम 7.0 (1 - एक्स) लेते हैं; यह जस्ता वजन है। 2.67 + 4.9 के बजाय 8.9 x + 7.0 (1 - x) लें; यह जस्ता और तांबा का कुल वजन है। स्थिति के तहत, यह 8.14 किलोग्राम है; इसलिए, 8.9 x + 7.0 (1 - x) \u003d 8.14।

इस समीकरण का समाधान x \u003d 0.6 देता है। यादृच्छिक रूप से जांच करना निर्णय विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है; तदनुसार, एक ही समस्या के लिए विभिन्न प्रकार के समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं; हालांकि, उन सभी को एक ही समाधान के वांछित मूल्य के लिए दिया जाएगा, ऐसे समीकरणों को एक दूसरे के बराबर कहा जाता है।

बेशक, समीकरणों की तैयारी में कौशल प्राप्त करने के बाद, यादृच्छिक संख्या पर जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है: वांछित परिमाण के मूल्य के लिए संख्या नहीं है, लेकिन कोई भी पत्र (x, y, आदि) और ऐसा ही करें जैसे कि यह पत्र (अज्ञात) संख्या में से एक था, जिसे हम जांचने जा रहे हैं।

समस्या निवारण आमतौर पर तार्किक तर्क और गणना के माध्यम से किसी भी मूल्य के मूल्य को खोजने के लिए कम किया जाता है। उदाहरण के लिए, गति, समय, दूरी, किसी प्रकार का विषय या किसी चीज़ की संख्या पाएं।

इस तरह के एक कार्य को समीकरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है। इसके लिए, वांछित मान को एक चर द्वारा दर्शाया गया है, फिर समीकरण तार्किक तर्क द्वारा किया जाता है और समीकरण को हल करता है। समीकरण का निर्णय लेना, इस बारे में एक जांच करें कि समाधान समस्या की शर्तों के समीकरण को संतुष्ट करता है या नहीं।

सबक का डिजाइन

एक अज्ञात युक्त रिकॉर्ड अभिव्यक्ति

समस्या का समाधान इस समस्या के समीकरण की तैयारी के साथ है। कार्यों के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में, यह जानने के लिए सलाह दी जाती है कि इस या उस जीवन की स्थिति का वर्णन करने के लिए वर्णमाला अभिव्यक्तियां कैसे बनाएं। यह चरण मुश्किल नहीं है और कार्य को हल करने की प्रक्रिया में अध्ययन किया जा सकता है।

कई स्थितियों पर विचार करें जिन्हें गणितीय अभिव्यक्ति के साथ लिखा जा सकता है।

कार्य 1।। पिता की आयु एक्स। वर्षों। दो साल के लिए माँ। मेरे पिता से छोटे बेटे 3 बार। अभिव्यक्तियों का उपयोग करके प्रत्येक की आयु लिखें।

फेसला:

कार्य 2।। पिता की आयु एक्स। साल, मेरे पिता की तुलना में 2 साल के लिए माँ। बेटा मेरे पिता से छोटा है 3 बार, माँ की छोटी बेटी 3 बार। अभिव्यक्तियों का उपयोग करके प्रत्येक की आयु लिखें।

फेसला:

कार्य 3।। पिता की आयु एक्स। साल, माँ मेरे पिता से 3 साल छोटी के लिए। बेटा मेरे पिता से छोटा है 3 बार, माँ की छोटी बेटी 3 बार। सभी लोग कितने साल के हैं, अगर पिता, माताओं, बेटे और बेटियों की कुल आयु 92 वर्ष की है?

फेसला:

इस कार्य में, अभिव्यक्ति लिखने के अलावा, प्रत्येक परिवार के सदस्य की आयु की गणना करना आवश्यक है।

सबसे पहले हम अभिव्यक्तियों का उपयोग करके प्रत्येक परिवार के सदस्य की आयु लिखते हैं। एक चर के लिए एक्स। हम पिता की उम्र ले लेंगे, और फिर शेष अभिव्यक्तियों को बनाने के लिए इस चर का उपयोग करेंगे:

अब हम प्रत्येक परिवार के सदस्य की उम्र को परिभाषित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें समीकरण को बनाने और हल करने की आवश्यकता है। समीकरण के सभी घटक हमारे लिए तैयार हैं। यह केवल उन्हें एक साथ इकट्ठा करने के लिए बनी हुई है।

पोप, माँ, बेटे और बेटी की उम्र के अलावा 92 साल की कुल आयु समाप्त हो गई:

प्रत्येक उम्र के लिए, हमने गणितीय अभिव्यक्ति के लिए जिम्मेदार ठहराया। ये अभिव्यक्ति हमारे समीकरण के घटक होंगे। आइए इस योजना और तालिका के अनुसार हमारे समीकरण को इकट्ठा करें, जिसे ऊपर दिया गया था। यही है, पिताजी, माँ, बेटे, बेटी के शब्द तालिका में अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करेंगे:

माँ की उम्र के लिए जिम्मेदार अभिव्यक्ति एक्स - 3, स्पष्टता के लिए, इसे कोष्ठक में लिया गया था।

अब हम परिणामी समीकरण को हल करते हैं। शुरू करने के लिए, आप ब्रैकेट को प्रकट कर सकते हैं जहां यह हो सकता है:

अंशों को मुक्त करने के लिए, दोनों भागों को 3 के लिए गुणा करें

हम प्रसिद्ध समान परिवर्तनों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करते हैं:

हमने चर का मूल्य पाया एक्स। । यह चर पिता की उम्र के लिए जिम्मेदार था। तो पिता की उम्र 36 साल पुरानी है।

पिता की उम्र जानकर, आप अन्य परिवार के सदस्यों की उम्र की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको चर के मूल्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है एक्स। उन अभिव्यक्तियों में जो किसी विशेष परिवार के सदस्य की आयु के लिए जिम्मेदार हैं।

कार्य ने कहा कि माँ 3 साल की थी। उसकी उम्र हमने अभिव्यक्ति के माध्यम से चिह्नित किया एक्स -3। परिवर्ती मूल्य एक्स। अब यह ज्ञात है और माँ की उम्र की गणना करने के लिए, आपको व्यक्त करने की आवश्यकता है एक्स - 3। बजाय एक्स। 36 पाए गए मूल्य को प्रतिस्थापित करें

एक्स - 3 \u003d 36 - 3 \u003d 33 साल माँ।

इसी प्रकार, अन्य परिवार के सदस्यों की उम्र निर्धारित है:

चेक:

कार्य 4।। किलोग्राम सेब खड़ा है एक्स। रूबल। अभिव्यक्ति को लिखें जो गणना करता है कि 300 रूबल द्वारा कितने किलोग्राम सेब को खरीदा जा सकता है।

फेसला

यदि एक किलोग्राम सेब लायक है एक्स। रूबल, फिर 300 रूबल आप एक किलोग्राम सेब खरीद सकते हैं।

उदाहरण। किलोग्राम सेब की लागत 50 रूबल है। फिर आप 300 रूबल खरीद सकते हैं, यानी, 6 किलोग्राम सेब।

कार्य 5।। पर एक्स। Rubles को 5 किलो सेब खरीदा गया था। अभिव्यक्ति को लिखें जो गणना करता है कि कितने रूबल सेब का एक किलोग्राम है।

फेसला

यदि 5 किलो सेब का भुगतान किया गया था एक्स। रूबल, फिर एक किलोग्राम रूबल खड़ा होगा

उदाहरण। 300 रूबल के लिए, 5 किलो सेब खरीदा गया था। फिर एक किलोग्राम सेब इसके लायक होंगे, यानी, 60 रूबल।

कार्य 6।। टॉम, जॉन और लियो ऑन चेंज डाइनिंग रूम में गए और सैंडविच और कॉफी के एक सर्कल पर खरीदे गए। सैंडविच खड़ा है एक्स। रूबल, और एक कॉफी मग - 15 रूबल। सैंडविच की लागत निर्धारित करें, अगर यह ज्ञात है कि 120 रूबल को सबकुछ के लिए भुगतान किया गया था?

फेसला

बेशक, यह कार्य तीन कोपेक के रूप में सरल है और इसे समीकरण का सहारा के बिना हल किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, 120 रूबलों में से आपको तीन कॉफी मग (15 × 3) की लागत घटाने की आवश्यकता है, और प्राप्त परिणाम 3 में विभाजित है

लेकिन हमारा लक्ष्य कार्य के लिए एक समीकरण बनाना और इस समीकरण को हल करना है। तो, सैंडविच की लागत एक्स। रूबल। उन्हें केवल तीन खरीदा। तो तीन बार की लागत में वृद्धि, हमें एक अभिव्यक्ति प्राप्त होगी जो वर्णन करती है कि तीन सैंडविच के लिए कितने रूबल का भुगतान किया गया था

3 एक्स - तीन सैंडविच की लागत

और कॉफी के तीन मंडलियों की लागत 15 × 3 के रूप में लिखी जा सकती है। 15 यह एक मग कॉफी की लागत है, और 3 गुणक (टॉम, जॉन और लियो), जो इस लागत को तीन बार बढ़ाता है।

120 रूबल का भुगतान सब कुछ के लिए कार्य की स्थिति के तहत। हमारे पास पहले से ही एक अनुमानित योजना है जिसे आपको करने की आवश्यकता है:

तीन सैंडविच और तीन कॉफी मग की लागत का वर्णन करने वाले अभिव्यक्तियां, हम तैयार हैं। ये अभिव्यक्ति 3 हैं। एक्स। और 15 × 3। समीकरण बनाने और इसे हल करने के लिए योजना का उपयोग करना:

तो, एक सैंडविच की लागत 25 रूबल है।

कार्य केवल तभी हल किया जाता है जब इसके समीकरण को सही ढंग से संकलित किया जाता है। सामान्य समीकरणों के विपरीत जो हम जड़ों को ढूंढना सीखते हैं, कार्यों को हल करने के लिए समीकरणों का अपना स्वयं का आवेदन होता है। इस तरह के एक समीकरण के प्रत्येक घटक को मौखिक रूप में वर्णित किया जा सकता है। समीकरण करके, यह समझना आवश्यक है कि हम इसकी रचना में एक या किसी अन्य घटक में क्या शामिल हैं और इसकी आवश्यकता क्यों है।

यह भी याद रखना जरूरी है कि समीकरण समानता है, जिसके बाद बाएं भाग को सही हिस्से के बराबर होना चाहिए। रचित समीकरण को इस विचार का खंडन नहीं करना चाहिए।

कल्पना कीजिए कि समीकरण दो कटोरे और स्केल की स्थिति दिखाते हुए स्क्रीन के साथ तराजू है।

फिलहाल, स्क्रीन समानता का संकेत दिखाती है। यह स्पष्ट है कि क्यों बाएं कटोरा दायां कटोरे के बराबर है - कटोरे पर कुछ भी नहीं है। पैमानों की स्थिति और निम्नलिखित समानता की मदद से कुछ के कटोरे पर किसी चीज की अनुपस्थिति:

0 = 0

हमने बाएं आवरण पर तरबूज तराजू डाल दिया:

बाएं कटोरे ने सही कप लटका दिया और स्क्रीन ने एक अलार्म बनाया, संकेत दिखाना (≠) के बराबर नहीं है। यह संकेत बताता है कि बाएं कटोरा दाहिने कटोरे के बराबर नहीं है।

अब आइए समस्या को हल करने का प्रयास करें। उन्हें यह पता लगाना चाहिए कि तरबूज का वजन कितना है, जो बाईं कटोरे पर स्थित है। लेकिन कैसे पता लगाने के लिए? आखिरकार, हमारे तराजू केवल यह जांचने के लिए हैं कि बाएं कटोरे दाईं ओर के बराबर है या नहीं।

समीकरण बचाव में आते हैं। याद रखें कि परिभाषा के अनुसार समीकरण है समानताजिसमें परिवर्तन योग्य मान है जिसमें खोजने की आवश्यकता है। इस मामले में तराजू इस समीकरण की भूमिका निभाते हैं, और तरबूज का द्रव्यमान एक चर है, जिसका मूल्य पाया जाना चाहिए। हमारा लक्ष्य इस समीकरण को उचित रूप से संकलित करना है। समझें, तराजू को संरेखित करें ताकि हम तरबूज के द्रव्यमान की गणना कर सकें।

तराजू को संरेखित करने के लिए, आप किसी भी भारी वस्तु को दाएं कटोरे पर डाल सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम वहां 7 किलो वजन डालते हैं।

अब, इसके विपरीत, दायां कटोरा लटका हुआ है। स्क्रीन अभी भी दिखाती है कि कटोरे बराबर नहीं हैं।

आइए बाईं कटोरे पर 4 किलो का वजन डालने की कोशिश करें

अब तराजू स्तरित हैं। यह आंकड़ा दिखाता है कि दाएं कटोरे के स्तर पर बाएं कटोरा। और स्क्रीन समानता का संकेत दिखाती है। यह संकेत बताता है कि बाएं कटोरे दाहिने कटोरे के बराबर है।

इस प्रकार, हमने समीकरण - समानता को एक अज्ञात युक्त प्राप्त किया। बाएं कटोरा समीकरण का बायां हिस्सा है जिसमें घटकों 4 और चर शामिल हैं एक्स। (तरबूज द्रव्यमान), और दायां कटोरा समीकरण के दाहिने तरफ है जिसमें घटक 7 है।

खैर, अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि समीकरण 4 + की जड़ एक्स। \u003d 7 3. इसका मतलब है कि तरबूज का द्रव्यमान 3 किलो है।

इसी तरह, चीजें और अन्य कार्यों के साथ हैं। कुछ अज्ञात मूल्य खोजने के लिए, विभिन्न तत्व बाईं ओर या समीकरण के दाएं भाग के लिए विभिन्न तत्व जोड़ते हैं: नियम, गुणक, अभिव्यक्ति। स्कूल के कार्यों में, ये तत्व पहले ही दिए गए हैं। यह केवल उन्हें ठीक से संरचना करने और समीकरण बनाने के लिए बनी हुई है। हम इस उदाहरण में लगे हुए थे, तरबूज के द्रव्यमान की गणना करने के लिए विभिन्न जनता के वजन की कोशिश कर रहे थे।

स्वाभाविक रूप से, कार्य में दिए गए डेटा को पहले उस फॉर्म का नेतृत्व करना चाहिए जिसमें उन्हें समीकरण में शामिल किया जा सकता है। इसलिए, जैसा कि वे कहते हैं "चाहते हैं कि तुम नहीं चाहते, और आपको सोचना होगा".

निम्नलिखित कार्य पर विचार करें। पिता की उम्र पुत्र और बेटी की उम्र के बराबर है। बेटा अपनी बेटी की तुलना में दोगुना है और उसके पिता की तुलना में बीस साल छोटी है। हर कोई कितना पुराना है?

बेटी की उम्र के माध्यम से अंकित किया जा सकता है एक्स। । अगर बेटा अपनी बेटी की तुलना में दोगुनी है, तो उसकी उम्र 2 के रूप में चिह्नित की जाएगी एक्स। । समस्या के बारे में, ऐसा कहा जाता है कि एक साथ उनकी बेटी और बेटे की उम्र पिता की उम्र के बराबर है। इसलिए पिता की उम्र को राशि से दर्शाया जाएगा एक्स। + 2एक्स।

अभिव्यक्ति में आप समान शर्तों को ला सकते हैं। तब पिता की उम्र को 3 के रूप में दर्शाया जाएगा एक्स।

अब एक समीकरण करें। हमें समानता प्राप्त करने की आवश्यकता है जिसमें आप एक अज्ञात पा सकते हैं एक्स। । हम वजन का उपयोग करते हैं। बाईं कटोरे पर, पिता की उम्र (3) डालें एक्स।), और बेटे की उम्र के दाहिने कटोरा पर (2) एक्स।)

यह स्पष्ट है कि बाएं कटोरे ने सही क्यों लटकाया और क्यों स्क्रीन साइन (≠) दिखाती है। आखिरकार, यह तर्कसंगत है कि पिता की उम्र बेटी की उम्र से अधिक है।

लेकिन हमें तराजू को बराबर करने की आवश्यकता है ताकि आप अज्ञात की गणना कर सकें एक्स। । ऐसा करने के लिए, आपको सही कप में कोई भी संख्या जोड़ने की आवश्यकता है। कार्य में किस प्रकार की संख्या का संकेत दिया जाता है। इस शर्त ने कहा कि पुत्र 20 साल तक पिता से छोटा है। तो तराजू पर रखने के लिए 20 साल एक ही संख्या है।

तराजू को स्तरित किया जाता है यदि हम इन 20 वर्षों को तराजू के दाहिने कटोरे में जोड़ते हैं। दूसरे शब्दों में, मेरे बेटे को पिता की उम्र में बढ़ाएं

अब तराजू स्तरित हैं। समीकरण निकला जिसे आसानी से हल किया जाता है:

एक्स। हमने बेटी की उम्र को दर्शाया। अब हमें इस चर का मूल्य मिला। बेटी 20 साल की उम्र।

खैर, अंत में मैं पिता की उम्र की गणना करता हूं। इस कार्य ने कहा कि यह बेटे और बेटी की उम्र के बराबर था, यानी, (20 + 40) वर्ष।

आइए कार्य के बीच में वापस जाएं और एक पल पर ध्यान दें। जब हम पिता की उम्र और सत्र की उम्र को तराजू पर डालते हैं, तो बाएं कटोरे ने अधिकार बदल दिया

लेकिन हमने दायां कटोरे पर 20 साल के लिए जोड़कर इस समस्या का फैसला किया। नतीजतन, तराजू को स्तरित किया गया था और हम बराबर हो गए

लेकिन यह संभव था कि इन 20 वर्षों को दाहिने अतीत में न जोड़ें, और उन्हें बाईं ओर से घटाएं। हमें समानता मिलेगी और इस मामले में

इस बार समीकरण प्राप्त किया जाता है । समीकरण की जड़ अभी भी 20 के बराबर है

वह है, समीकरण तथा समतुल्य हैं। और हमें याद है कि जड़ों के बराबर समीकरण मेल खाता है। यदि आप सावधानीपूर्वक इन दो समीकरणों को देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि दूसरे समीकरण को विपरीत संकेत के साथ दाईं ओर से बाईं ओर नंबर 20 स्थानांतरित करके प्राप्त किया जाता है। और यह कार्रवाई, जैसा कि पिछले पाठ में संकेत दिया गया था, समीकरण की जड़ों को नहीं बदलता है।

इस तथ्य पर ध्यान देना भी जरूरी है कि कार्य के समाधान की शुरुआत में, प्रत्येक परिवार के सदस्य की उम्र को अन्य अभिव्यक्तियों के माध्यम से नामित किया जा सकता है।

मानते हैं कि बेटे की उम्र के माध्यम से नामित करने के लिए एक्स। और चूंकि वह दो बड़ी बेटी है, फिर अपनी बेटी की उम्र को नामित करने के लिए (बेटे की तुलना में दो बार उसे छोटा करने के लिए समझें)। और पिता की उम्र के रूप में यह अभिव्यक्ति के माध्यम से नामित करने के लिए बेटे और बेटियों की उम्र का योग है। खैर, अंत में, एक तार्किक रूप से सही समीकरण बनाने के लिए, संख्या 20 को बेटे की उम्र में जोड़ा जाना चाहिए, क्योंकि पिता बीस साल के लिए पुराना है। नतीजतन, यह एक पूरी तरह से अलग समीकरण बदल जाता है । इस समीकरण को तय करने दें

जैसा कि आप कार्य के जवाब देख सकते हैं, नहीं बदला। बेटा अभी भी 40 साल पुराना है। बेटियां अभी भी साल पुरानी हैं, और पिता 40 + 20 साल।

दूसरे शब्दों में, कार्य को विभिन्न तरीकों से हल किया जा सकता है। इसलिए, किसी को निराशा नहीं होनी चाहिए कि इस या उस कार्य को हल करना असंभव है। लेकिन आपको यह ध्यान में रखना होगा कि समस्या को हल करने के सबसे सरल तरीके हैं। आप शहर के केंद्र में विभिन्न प्रकार के मार्ग किराए पर ले सकते हैं, लेकिन हमेशा सबसे सुविधाजनक, तेज़ और सुरक्षित मार्ग होता है।

समस्याओं को हल करने के उदाहरण

कार्य 1। केवल 30 नोटबुक के दो पैक। यदि पहले पैक से दूसरे 2 नोटबुक में स्थानांतरित किया गया था, तो पहले पैक में, दूसरे की तुलना में दो बार कई नोटबुक होंगे। प्रत्येक पैक में कितने नोटबुक थे?

फेसला

द्वारा निरूपित करना एक्स। पहले बंडल में नोटबुक की संख्या। यदि सभी नोटबुक 30 थे, और चर एक्स। यह पहले पैक से नोटबुक की संख्या है, दूसरे पैक में नोटबुक की संख्या अभिव्यक्ति 30 के माध्यम से दर्शाया जाएगा - एक्स। । यही है, नोटबुक की कुल संख्या से, हम पहले पैक से नोटबुक की संख्या घटाते हैं और इस प्रकार दूसरे पैक से नोटबुक की संख्या प्राप्त करते हैं।

और इन दो नोटबुक को दूसरे पैक में जोड़ें

आइए मौजूदा अभिव्यक्तियों से समीकरण बनाने का प्रयास करें। नोटबुक के दोनों पैक तराजू पर रखो

बाएं कटोरा भारी है। ऐसा इसलिए है क्योंकि कार्य शर्त में यह कहा जाता है कि दो नोटबुक पहले पैक से लिया गया था और उन्हें दूसरे स्थान पर रखा गया था, पहले पैक में नोटबुक की संख्या दूसरे में दोगुनी थी।

तराजू को संरेखित करने और समीकरण प्राप्त करने के लिए, दाईं ओर दो बार बढ़ाएं। ऐसा करने के लिए, इसे 2 पर गुणा करें

समीकरण प्राप्त किया जाता है। इस समीकरण को बताएं:

पहला बंडल हमने चर के माध्यम से दर्शाया एक्स। । अब हमें इसका अर्थ मिला है। परिवर्तनशील एक्स। 22 के बराबर। इसलिए पहले बंडल में 22 नोटबुक थे।

और हमने अभिव्यक्ति 30 के माध्यम से दूसरे पैक को दर्शाया - एक्स। और परिवर्तन के मूल्य के बाद से एक्स। अब यह ज्ञात है, तो आप दूसरे बंडल में नोटबुक की संख्या की गणना कर सकते हैं। यह 30 - 22 के बराबर है, वह 8 पीसी है।

कार्य 2।। दो लोगों ने आलू को साफ किया। एक मिनट में दो आलू में शुद्ध किया गया था, और दूसरा तीन आलू है। साथ में उन्होंने 400 पीसी को साफ किया। हर किसी ने कितना समय काम किया, अगर दूसरा पहले 25 मिनट के लिए काम करता था?

फेसला

द्वारा निरूपित करना एक्स। पहले व्यक्ति का उद्घाटन समय। चूंकि दूसरे व्यक्ति ने पहले से 25 मिनट अधिक समय तक काम किया, तो उसका समय अभिव्यक्ति के माध्यम से दर्शाया जाएगा

पहले कामकाजी प्रति मिनट 2 आलू को मंजूरी दे दी, और जब से उसने काम किया एक्स। मिनट, फिर उसने 2 मंजूरी दे दी एक्स। आलू।

दूसरे व्यक्ति को प्रति मिनट तीन आलू से मंजूरी दे दी गई थी, और चूंकि उन्होंने मिनटों के लिए काम किया, उन्होंने आलू को मंजूरी दे दी।

साथ में उन्होंने 400 आलू को साफ किया

मौजूदा घटकों से और समीकरण हल करें। समीकरण के बाएं हिस्से में आलू, प्रत्येक व्यक्ति द्वारा शुद्ध, और उनके योग के सही हिस्से में होगा:

परिवर्तनीय के माध्यम से इस समस्या के समाधान की शुरुआत में एक्स। हमने पहले व्यक्ति के शुरुआती समय को चिह्नित किया। अब हमें इस चर का मूल्य मिला। पहले व्यक्ति ने 65 मिनट तक काम किया।

और दूसरे व्यक्ति ने मिनटों के लिए काम किया, और चर के मूल्य के बाद से एक्स। अब यह ज्ञात है, तो आप दूसरे व्यक्ति के संचालन के समय की गणना कर सकते हैं - यह 65 + 25 के बराबर है, जो 9 0 मिनट है।

आंद्रेई पेट्रोविच किसेलावा के बीजगणित पर पाठ्यपुस्तक से कार्य। चाय की किस्मों में से 32 किलो का मिश्रण बनाया गया है। पहले ग्रेड के किलोग्राम की लागत 8 रूबल है, और दूसरी कक्षा 6 रूबल है। 50 कोपेक अन्य विविधता से कितने किलोग्राम लिया जाता है, यदि मिश्रण का एक किलोग्राम (लाभ और हानि के बिना) 7 रूबल है। 10 पुलिस।

फेसला

द्वारा निरूपित करना एक्स। पहली कक्षा की मास चाय। फिर दूसरी कक्षा की चाय का द्रव्यमान अभिव्यक्ति 32 के माध्यम से दर्शाया जाएगा - एक्स।

किलोग्राम चाय पहली कक्षा की लागत 8 rubles। यदि ये आठ रूबल पहले ग्रेड किलोग्राम के किलोग्राम की संख्या को गुणा करते हैं, तो यह जानना संभव होगा कि कितने रूबल हैं एक्स। केजी चाय पहली कक्षा।

एक किलोग्राम चाय दूसरी कक्षा की लागत 6 rubles। 50 कोपेक यदि ये 6 रूबल। 50 कोपेक 32 से गुणा करें। - एक्स। फिर आप यह पता लगा सकते हैं कि कितने रूबल की लागत 32 है - एक्स।केजी चाय दूसरी कक्षा।

यह स्थिति कहती है कि मिश्रण के एक किलोग्राम में 7 rubles खर्च होते हैं। 10 पुलिस कुल मिलाकर, 32 किलो मिश्रण तैयार किया गया था। गुणा 7 रूबल। 10 पुलिस 32 पर, हम यह पता लगा सकते हैं कि मिश्रण के 32 किलोग्राम की लागत कितनी है।

अभिव्यक्ति जो हम समीकरण तैयार करेंगे अब निम्नलिखित रूप लेते हैं:

आइए मौजूदा अभिव्यक्तियों से समीकरण बनाने का प्रयास करें। तराजू के बाईं ओर पहली और दूसरी कक्षा के चाय मिश्रण की लागत रखें, और हम सही कटोरे पर 32 किलोग्राम मिश्रण का मूल्य डालते हैं, जो कि मिश्रण की कुल लागत है, जिसके रूप में चाय की दोनों किस्में:

परिवर्तनीय के माध्यम से इस समस्या के समाधान की शुरुआत में एक्स। हमने पहली कक्षा के द्रव्यमान को चिह्नित किया। अब हमें इस चर का मूल्य मिला। परिवर्तनशील एक्स। 12.8 के बराबर। तो, मिश्रण को तैयार करने के लिए पहली कक्षा की 12.8 किलोग्राम चाय ली गई थी।

और अभिव्यक्ति के माध्यम से 32 - एक्स। हमने दूसरी कक्षा की चाय के द्रव्यमान को लेबल किया और परिवर्तन के मूल्य के बाद से एक्स। अब यह ज्ञात है, तो आप दूसरी कक्षा की चाय के द्रव्यमान की गणना कर सकते हैं। यह 32 - 12.8 के बराबर है, यानी, 1 9 .2। तो मिश्रण की तैयारी के लिए, दूसरी कक्षा की 1 9 .2 किलो चाय ली गई थी।

कार्य 3।। साइकिल चालक ने 8 किमी / घंटा की रफ्तार से कुछ दूरी तय की। उसे एक और महंगा लौटना चाहिए था, जो पहले से 3 किमी लंबा था, और, हालांकि लौट रहा था, 9 किमी / घंटा की रफ्तार से पहुंचे, उन्होंने समय और अधिक समय का उपयोग किया। सड़कों पर कब तक थे?

फेसला

कुछ कार्य उन विषयों को प्रभावित कर सकते हैं जो किसी व्यक्ति ने अध्ययन नहीं किया हो सकता है। यह कार्य कार्यों के इस तरह के चक्र को संदर्भित करता है। यह दूरी, वेग और समय की अवधारणाओं को प्रभावित करता है। तदनुसार, ऐसे कार्य को हल करने के लिए, आपको कार्य में निर्दिष्ट उन चीजों का एक विचार होना चाहिए। हमारे मामले में, आपको यह जानने की जरूरत है कि दूरी, गति और समय क्या है।

आपको दो सड़कों की दूरी खोजने के लिए आवश्यक कार्य। हमें एक समीकरण बनाना होगा जो इन दूरी की गणना करेगा।

याद रखें कि कैसे अंतर-विभाजित दूरी, गति और समय। इनमें से प्रत्येक मान वर्णमाला समीकरण का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है:

इन समीकरणों में से एक के दाहिने हाथ का हम आपके समीकरण को संकलित करने के लिए उपयोग करेंगे। यह पता लगाने के लिए कि आपको कार्य के पाठ पर वापस जाने और अगले पल पर ध्यान देने की आवश्यकता है:

उस समय ध्यान देना चाहिए जहां साइकिल चालक के विपरीत तरीके से समय के लिए समय का उपयोग किया जाता है। यह टिप हमें इंगित करती है कि समीकरण का उपयोग करना संभव है, अर्थाता इसका सही हिस्सा है। यह हमें उस समीकरण को आकर्षित करने की अनुमति देगा जिसमें एक चर हो एस .

इसलिए, हम पहली सड़क की लंबाई को दर्शाते हैं एस । यह पथ साइकिल चालक 8 किमी / घंटा की रफ्तार से चला गया। जिस समय के लिए उन्होंने इस पथ को पार किया वह अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया जाएगा, क्योंकि समय की दूरी की यात्रा की दूरी का अनुपात होता है

साइकिल चालक के लिए वापसी सड़क 3 किमी से अधिक लंबी थी। इसलिए, इसकी दूरी अभिव्यक्ति के माध्यम से दर्शाया जाएगा एस+ 3। यह सड़क साइकिल चालक 9 किमी / घंटा की रफ्तार से चला गया। तो जिस समय के लिए उन्होंने इस मार्ग को पार किया वह अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया जाएगा।

अब मौजूदा अभिव्यक्तियों से एक समीकरण करें

सही कटोरा भारी है। ऐसा इसलिए है क्योंकि कार्य कहता है कि साइकिल चालक ने अधिक समय के लिए रास्ते में बिताया।

स्केल को बराबर करने के लिए इन मिनटों के बाईं ओर जोड़ें। लेकिन सबसे पहले हम मिनटों से घंटों का अनुवाद करेंगे, क्योंकि समस्या में, गति प्रति घंटे किलोमीटर में मापा जाता है, न कि मीटर प्रति मिनट में।

मिनटों से घंटों का अनुवाद करने के लिए, आपको उन्हें 60 तक विभाजित करने की आवश्यकता है

मिनट एक घंटे बनाते हैं। हम इन घंटों को समीकरण के बाईं ओर जोड़ते हैं:

समीकरण प्राप्त किया जाता है । हम इस समीकरण को हल करेंगे। भिन्नताओं से छुटकारा पाने के लिए, भाग के दोनों हिस्सों को 72 से गुणा किया जा सकता है। अगले, ज्ञात समान परिवर्तनों का उपयोग करके, हमें चर का मूल्य मिल जाएगा एस

चर के माध्यम से एस हमने पहली सड़क की दूरी को दर्शाया। अब हमें इस चर का मूल्य मिला। परिवर्तनशील एस 15 के बराबर। अब तक दूरी दूरी 15 किमी है।

और दूसरी सड़क की दूरी हमने अभिव्यक्ति के माध्यम से दर्शाया एस+ 3, और चर के मूल्य के बाद से एस अब यह ज्ञात है, आप दूसरी सड़क की दूरी की गणना कर सकते हैं। यह दूरी 15 + 3 की राशि के बराबर है, यानी, 18 किमी।

कार्य 4।। एक ही गति के साथ राजमार्ग पर दो कारें हैं। यदि पहली बार 10 किमी / घंटा की गति में वृद्धि करेगी, और दूसरा 10 किमी / घंटा की गति को कम करेगा, तो पहला व्यक्ति 3 घंटे के लिए दूसरे से गुजर जाएगा। कारें किस गति से चल रही हैं?

फेसला

द्वारा निरूपित करना वी प्रत्येक मशीन की गति। इसके बाद, कार्य संकेत दिखाता है: पहली कार की गति 10 किमी / घंटा तक बढ़ी है, और दूसरी गति 10 किमी / घंटा को कम करना है। हम इस टिप का उपयोग करते हैं

इसके अलावा कहते हैं कि इस तरह की गति (विस्तारित और 10 किमी / घंटा से कम) पर, पहली कार 2 घंटे में तब तक गुजर जाएगी जब तक कि 3 घंटे तक दूरी। मुहावरा "के रूप में कई" के रूप में समझा जा सकता है "पहली मशीन द्वारा यात्रा की गई दूरी होगी समान रूप से दूसरी मशीन द्वारा यात्रा की दूरी ".

जैसा कि हमें याद है की दूरी सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है। हम इस पत्र समीकरण के दाईं ओर रुचि रखते हैं - यह हमें एक चर युक्त समीकरण को आकर्षित करने की अनुमति देगा वी .

तो, गति से वी + 10 किमी / घंटा पहली कार गुजर जाएगी 2 (वी + 10) किमी और दूसरा गुजर जाएगा 3 (वी - 10) किमी । इस स्थिति के साथ, मशीन एक ही दूरी होगी, इसलिए समीकरण में समानता के इन दो अभिव्यक्तियों को गठबंधन करने के लिए पर्याप्त है। फिर हमें समीकरण मिलता है। मैं इसे हल करता हूं:

कार्य की स्थिति ने कहा कि कारें एक ही गति पर जाती हैं। हमने चर के माध्यम से इस गति की पहचान की वी । अब हमें इस चर का मूल्य मिला। परिवर्तनशील वी 50 के बराबर। इसलिए दोनों मशीनों की गति 50 किमी / घंटा थी।

कार्य 5।। नदी के साथ 9 घंटे के लिए, जहाज उसी तरह है जो प्रवाह के खिलाफ 11 घंटे में है। 2 किमी / घंटा नदी की प्रवाह दर के लिए अपनी खुद की ऊंचाई दर का पता लगाएं।

फेसला

द्वारा निरूपित करना वी जहाज की अपनी गति। नदी की प्रवाह दर 2 किमी / घंटा है। नदी के प्रवाह से, जहाज की गति होगी वी + 2 किमी / घंटा , और वर्तमान के खिलाफ - (V - 2) किमी / घंटा.

समस्या की स्थिति में, यह कहा जाता है कि नदी के साथ 9 घंटे में, मोटर जहाज उसी तरह से गुजरता है कि वर्तमान के खिलाफ 11 घंटे में। मुहावरा "उसी तरह" के रूप में समझा जा सकता है "9 घंटे में नदी द्वारा जहाज द्वारा यात्रा की गई दूरी, समान रूप से 11 घंटे के लिए नदी के वर्तमान के खिलाफ जहाज द्वारा यात्रा की दूरी। यही है, दूरी समान होगी।

दूरी सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है। हम आपके समीकरण को संकलित करने के लिए इस अल्फाबोन समीकरण के दाईं ओर का उपयोग करते हैं।

तो, नदी के प्रवाह से 9 घंटे में, मोटर जहाज गुजर जाएगा 9 (वी + 2) किमी , और वर्तमान के खिलाफ 11 घंटे के लिए - 11 (वी - 2) किमी। चूंकि दोनों अभिव्यक्ति एक ही दूरी का वर्णन करते हैं, इसलिए हम पहली अभिव्यक्ति को दूसरे में समान बनाते हैं। नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं। मैं इसे हल करता हूं:

इसका मतलब है कि इसकी अपनी जहाज की गति 20 किमी / घंटा है।

एक उपयोगी आदत के साथ समस्याओं को हल करते समय यह निश्चित रूप से निर्धारित करना है कि इसके लिए क्या निर्णय लेना है।

मान लीजिए कि उस कार्य को उस समय को खोजने के लिए आवश्यक है जिसके लिए पैदल यात्री निर्दिष्ट पथ को दूर करेगा। हमने चर के माध्यम से समय निर्धारित किया टी इसके अलावा इस चर के समान समीकरण था और इसका मूल्य मिला।

अभ्यास से, हम जानते हैं कि वस्तु के आंदोलन का समय पूर्णांक और आंशिक दोनों ले सकता है, उदाहरण के लिए 2 घंटे, 1.5 घंटे, 0.5 घंटे। फिर हम कह सकते हैं कि इस समस्या का समाधान तर्कसंगत संख्याओं के एक सेट के लिए खोजा जाता है प्रचूंकि 2 एच के प्रत्येक मान, 1.5 घंटे, 0.5 घंटे को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इसलिए, एक वैरिएबल के माध्यम से एक अज्ञात मूल्य को नामित करने के बाद, यह इंगित करना उपयोगी होता है कि यह मान किस सेट से संबंधित है। हमारे उदाहरण में, समय टी तर्कसंगत संख्याओं के सेट से संबंधित है प्र

टी ∈ प्र

आप वैरिएबल के लिए अभी भी एक सीमा दर्ज कर सकते हैं टी यह निर्दिष्ट करके कि यह केवल सकारात्मक मान ले सकता है। दरअसल, यदि किसी निश्चित समय के पथ पर बिताया वस्तु, तो इस बार नकारात्मक नहीं हो सकता है। तो अभिव्यक्ति के बगल में टी∈ प्र हम इंगित करते हैं कि इसका मूल्य शून्य से अधिक होना चाहिए:

टी∈ आर, टी > 0

यदि समीकरण को हल करते हैं, तो हमें चर के लिए एक नकारात्मक मूल्य मिलेगा टी फिर यह निष्कर्ष निकालना संभव होगा कि कार्य को गलत तरीके से हल किया गया है क्योंकि यह निर्णय इस स्थिति को पूरा नहीं करेगा टी∈ प्र , टी> 0 .

एक और उदाहरण। यदि हमने उस कार्य का फैसला किया है जिसमें किसी विशेष काम को करने के लिए लोगों की संख्या को ढूंढना आवश्यक था, तो यह मात्रा हम चर के माध्यम से नामित करेंगे एक्स। । ऐसे कार्य में, प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर निर्णय लिया जाएगा

एक्स। ∈ एन

दरअसल, लोगों की संख्या एक पूर्णांक है, उदाहरण के लिए, 2 लोग, 3 लोग, 5 लोग। लेकिन 1.5 (एक पूरे व्यक्ति और एक व्यक्ति का आधा) या 2.3 (दो पूरे लोग और तीन और दसवें) नहीं।

यहां यह संकेत देना संभव होगा कि लोगों की संख्या शून्य से अधिक होनी चाहिए, लेकिन संख्याओं में कई प्राकृतिक संख्याओं में शामिल हैं एन अपने आप सकारात्मक और बड़े शून्य हैं। इस सेट में कोई नकारात्मक संख्या और संख्या नहीं है। इसलिए, अभिव्यक्ति x\u003e 0 नहीं लिख सकता है।

कार्य 6।। स्कूल की मरम्मत के लिए एक ब्रिगेड पहुंची जिसमें यह बढ़ई की तुलना में रैगर्स की तुलना में 2.5 गुना अधिक था। जल्द ही, फोरमैन में ब्रिगेड में चार और चित्रकार शामिल थे, और दो बढ़ई का अनुवाद किसी अन्य वस्तु में किया गया था। नतीजतन, ब्रिगेड में चित्रकार बढ़ई से 4 गुना अधिक हो गए। मूल रूप से ब्रिगेड में कितने रैंपस और कितने बढ़ई थे

फेसला

द्वारा निरूपित करना एक्स। मूल रूप से मरम्मत के लिए पहुंचने वाले बढ़ई।

बढ़ई की संख्या एक पूर्णांक, बड़ा शून्य है। इसलिए, हम संकेत देते हैं कि एक्स। स्वामित्व कई प्राकृतिक संख्या

एक्स।∈ एन

माल्यारोव बढ़ई से 2.5 गुना अधिक था। इसलिए, चित्रकारों की संख्या के रूप में चिह्नित किया जाएगा 2.5x.

और चित्रकारों की संख्या 4 से बढ़ेगी

अब निम्नलिखित अभिव्यक्तियों के माध्यम से बढ़ई और चित्रकारों की संख्या नामित की जाएगी:

आइए मौजूदा अभिव्यक्तियों से समीकरण बनाने की कोशिश करें:

दायां कटोरा अधिक है, क्योंकि ब्रिगेड में शामिल होने के बाद अभी भी चार मैट हैं, और दो बढ़ई को किसी अन्य वस्तु के लिए आंदोलन, ब्रिगेड में चित्रकारों की संख्या बढ़ई से 4 गुना अधिक हो गई। तराजू को बराबर करने के लिए, आपको बाएं कप को 4 बार बढ़ाने की आवश्यकता है:

समीकरण प्राप्त किया। मैं इसे हल करता हूं:

चर के माध्यम से एक्स। बढ़ई की प्रारंभिक मात्रा का संकेत दिया गया था। अब हमें इस चर का मूल्य मिला। परिवर्तनशील एक्स। 8. तो 8 बढ़ई शुरू में ब्रिगेड में थे।

और कच्चे की संख्या अभिव्यक्ति 2.5 के माध्यम से नामित की गई थी एक्स। और चर के मूल्य के बाद से एक्स। अब यह ज्ञात है, तो आप चित्रकारों की संख्या की गणना कर सकते हैं - यह 2.5 × 8 के बराबर है, जो 20 है।

हम कार्य की शुरुआत में लौटते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि स्थिति देखी गई है एक्स।∈ एन परिवर्तनशील एक्स। 8 के बराबर, और प्राकृतिक संख्याओं के सेट के तत्व एन ये सभी संख्याएं 1, 2, 3 और इसी तरह से अनंत तक शुरू हो रही हैं। उसी सेट में हमने पाया गया नंबर 8 शामिल है।

8 ∈ एन

चित्रकारों की संख्या के बारे में भी कहा जा सकता है। संख्या 20 प्राकृतिक संख्याओं के सेट से संबंधित है:

20 ∈ एन

समस्या के सार और समीकरण के सही संकलन को समझने के लिए, कटोरे के साथ तराजू के मॉडल का उपयोग करना आवश्यक नहीं है। आप अन्य मॉडलों का उपयोग कर सकते हैं: सेगमेंट, टेबल्स, स्कीम। आप अपने मॉडल के साथ आ सकते हैं जो कार्य के सार का वर्णन करेगा।

कार्य 9।। बर्तन से 30% दूध डाला। नतीजतन, यह 14 लीटर बनी हुई है। कितने दूध लीटर मूल रूप से बिडॉन में थे?

फेसला

वांछित मूल्य बिडॉन में लीटर की प्रारंभिक संख्या है। एक पंक्ति के रूप में लीटर की संख्या चित्रित करें और इस पंक्ति को x के रूप में चिह्नित करें

ऐसा कहा जाता है कि बर्तन से 30% दूध डाला गया था। हम आकृति में लगभग 30% पर प्रकाश डाला

परिभाषा के आधार पर कुछ सौवां है। यदि 30% दूध डाला गया था, तो शेष 70% बिडॉन में बने रहे। ये 70% कार्य में दर्शाए गए 14 लीटर आते हैं। हम आंकड़े में शेष 70% को हाइलाइट करते हैं

अब आप एक समीकरण बना सकते हैं। याद रखें कि संख्या का प्रतिशत कैसे प्राप्त करें। इसके लिए, 100 से विभाजित कुछ की कुल संख्या और परिणाम की आवश्यक संख्या से गुणा किया जाता है। हम देखते हैं कि 14 लीटर का गठन 70% उसी तरह प्राप्त किया जा सकता है: लीटर की प्रारंभिक संख्या एक्स। 100 से विभाजित और परिणाम 70 तक गुणा किया जाता है। यह सब नंबर 14 के बराबर है

या एक सरल समीकरण प्राप्त करें: 70% 0.70 के रूप में लिखें, फिर एक्स द्वारा गुणा करें और इस अभिव्यक्ति को 14 से बराबर करें

तो शुरुआत में बिडॉन में 20 लीटर दूध था।

कार्य 9।। उन्होंने दो स्वर्ण और चांदी मिश्र धातु ली। इन धातुओं में से एक धातु में 1: 9 के संबंध में है, और अन्य 2: 3. प्रत्येक मिश्र धातु को 15 किलो एक नया मिश्र धातु प्राप्त करने के लिए कितना होना चाहिए, जिसमें सोने और चांदी को 1: 4 के रूप में माना जाएगा?

फेसला

आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि 15 किलो नए मिश्र धातु में कितना सोना और चांदी निहित होगी। यह कार्य कहता है कि इन धातुओं की सामग्री 1: 4 के संदर्भ में होनी चाहिए, यानी, मिश्र धातु के एक हिस्से में सोने होना चाहिए, और चार भाग चांदी हैं। फिर मिश्र धातु में पूरे हिस्से 1 + 4 \u003d 5 होंगे, और एक भाग का द्रव्यमान 15: 5 \u003d 3 किलो होगा।

हम परिभाषित करते हैं कि 15 किलो मिश्र धातु में कितना सोना निहित होगा। इसके लिए, 3 किलो सोने के हिस्सों की संख्या से गुणा करें:

3 किलो × 1 \u003d 3 किलो

हम परिभाषित करते हैं कि 15 किलो मिश्र धातु में कितने चांदी निहित होंगी:

3 किलो × 4 \u003d 12 किलो

तो, 15 किलो के द्रव्यमान के मिश्र धातु में 3 किलो सोने और 12 किलो चांदी होगी। अब आइए मूल मिश्र धातुओं पर लौटें। उनमें से प्रत्येक का उपयोग करें। द्वारा निरूपित करना एक्स। पहले मिश्र धातु का द्रव्यय, और दूसरे मिश्र धातु के द्रव्यमान को 15 के बाद दर्शाया जा सकता है - एक्स।

कार्य में दिए गए सभी रिश्तों को व्यक्त करें और उन्हें निम्न तालिका भरें:

पहले मिश्र धातु में, सोने और चांदी 1: 9 के संबंध में हैं। फिर कुल भाग 1 + 9 \u003d 10 होंगे। इनमें से, सोना होगा , और चांदी .

इस डेटा को तालिका में ले जाएं। ग्राफ में पहली पंक्ति में 10% ब्राउज़ करें "मिश्र धातु में सोने का प्रतिशत", 90% भी कॉलम की पहली पंक्ति में ब्राउज़ करें "मिश्र धातु में चांदी का प्रतिशत", और अंतिम गणना में "मिश्र धातु द्रव्यमान" चलो एक चर बनाते हैं एक्स। इसलिए हमने पहले मिश्र धातु के द्रव्यमान को चिह्नित किया:

इसी तरह, हम दूसरे मिश्र धातु के साथ करते हैं। इसमें सोने और चांदी 2: 3 के संबंध में हैं: फिर कुल भाग 2 + 3 \u003d 5. होंगे, इनमें से, सोना होगा , और चांदी .

इस डेटा को तालिका में ले जाएं। 40% कॉलम में दूसरी पंक्ति में लाता है "मिश्र धातु में सोने का प्रतिशत", 60% भी दूसरी पंक्ति में ब्राउज़ करें "मिश्र धातु में चांदी का प्रतिशत", और अंतिम गणना में "मिश्र धातु द्रव्यमान" आइए अभिव्यक्ति 15 - एक्स। चूंकि हमने दूसरे मिश्र धातु के द्रव्यमान को चिह्नित किया है:

अंतिम स्ट्रिंग भरें। 15 किलो वजन वाले परिणामी मिश्र धातु में 3 किलो सोने का होगा, जो है मिश्र धातु और चांदी मिश्र धातु। आखिरी गिनती में, 15 प्राप्त मिश्र धातु का द्रव्यमान लिखें

अब इस तालिका के अनुसार, आप समीकरण बना सकते हैं। हम याद रखते हैं। यदि हम अलग-अलग दोनों मिश्र धातुओं के सोने को जोड़ते हैं और इस राशि को मिश्र धातु प्राप्त करने के द्रव्यमान के बराबर जोड़ते हैं, तो हम यह पता लगा सकते हैं कि मूल्य के बराबर क्या है एक्स।.

सोने के पहले मिश्र धातु में 0.10 था एक्स। और दूसरे मिश्र धातु में सोना 0.40 (15 - एक्स।)। फिर परिणामी मिश्र धातु में सोने का द्रव्यमान पहले और दूसरे मिश्र धातुओं के सोने के लोगों का योग होगा और यह द्रव्यमान नए मिश्र धातु का 20% है। और नए मिश्र धातु का 20% 3 किलो सोने का है, जो पहले हमारे द्वारा गणना की गई है। नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं 0,10एक्स।+ 0.40(15 − एक्स।) = 3 । इस समीकरण को बताएं:

शुरू में एक्स। हमने पहले मिश्र धातु के द्रव्यमान को चिह्नित किया। अब हमें इस चर का मूल्य मिला। परिवर्तनशील एक्स। 10 के बराबर। और हमने 15 के बाद दूसरे मिश्र धातु के द्रव्यमान को नामित किया - एक्स। , और चर के मूल्य के बाद से एक्स। अब यह ज्ञात है, तो आप दूसरे मिश्र धातु के द्रव्यमान की गणना कर सकते हैं, यह 15 - 10 \u003d 5 किलो के बराबर है।

इसका मतलब है कि 15 किलो वजन वाले एक नए मिश्र धातु को प्राप्त करना जिसमें सोने और चांदी को 1: 4 के रूप में माना जाएगा, आपको दूसरे मिश्र धातु के पहले और 5 किलोग्राम के 10 किलोग्राम लेने की आवश्यकता है।

समीकरण को परिणामी तालिका के दूसरे कॉलम का उपयोग करके खींचा जा सकता है। फिर हमें समीकरण मिलेगा 0,90एक्स।+ 0.60(15 − एक्स।) = 12. इस समीकरण की जड़ भी 10 के बराबर है

कार्य 10।। 6% और 11% की तांबा सामग्री के साथ दो परतों का अयस्क है। 8% की तांबा सामग्री के साथ एक समृद्ध 20 टन के साथ मिश्रित होने पर आपको गरीब अयस्क लेने की कितनी आवश्यकता है?

फेसला

द्वारा निरूपित करना एक्स। बड़े पैमाने पर अयस्क। चूंकि आपको 20 टन अयस्क प्राप्त करने की आवश्यकता है, फिर अमीर अयस्क को 20 लिया जाएगा - एक्स। । चूंकि गरीब अयस्क में तांबा सामग्री 6% है, फिर में एक्स। असभ्य टन 0.06 होगा एक्स। टन तांबा। एक समृद्ध अयस्क में, तांबा सामग्री 11% है, और 20 में - एक्स। समृद्ध अयस्क के टन 0.11 (20 -) में शामिल होंगे एक्स।) तांबा टन।

परिणामी 20 टन अयस्क में, तांबा सामग्री 8% होनी चाहिए। तो 20 टन तांबा अयस्क में 20 × 0.08 \u003d 1.6 टन शामिल होंगे।

परामर्श अभिव्यक्ति 0.06। एक्स। और 0.11 (20 - एक्स।) और इस राशि को 1.6 तक बराबर करें। हमें समीकरण मिलता है 0,06x +।0,11(20 − एक्स।) = 1,6

इस समीकरण को बताएं:

इसका मतलब 8% की तांबा सामग्री के साथ 20 टन अयस्क प्राप्त करना है, आपको 12 टन गरीब अयस्क लेने की आवश्यकता है। अमीरों को 20 - 12 \u003d 8 टन लिया जाएगा।

टास्क 11।। औसत गति को 250 से 300 मीटर / मिनट एथलीट बढ़ाकर 1 मिनट तेज दूरी पर दौड़ने लगी। दूरी की लंबाई क्या है?

फेसला

दूरी (या दूरी की दूरी) की लंबाई निम्नलिखित वर्णमाला समीकरण द्वारा वर्णित की जा सकती है:

हम आपके समीकरण को संकलित करने के लिए इस समीकरण के दाहिने हाथ का उपयोग करते हैं। प्रारंभ में, एथलीट 250 मीटर प्रति मिनट की गति से दूरी चला गया। इस गति के साथ, दूरी की लंबाई अभिव्यक्ति 250 द्वारा वर्णित की जाएगी टी

तब एथलीट ने अपनी गति को 300 मीटर प्रति मिनट में बढ़ा दिया। इस गति के साथ, दूरी की लंबाई अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित की जाएगी 300t।

ध्यान दें कि दूरी की लंबाई एक स्थायी मूल्य है। इस तथ्य से कि एथलीट गति बढ़ाएगा या इसे कम करेगा, दूरी की लंबाई अपरिवर्तित रहेगी।

यह हमें अभिव्यक्ति 250 की बराबरी करने की अनुमति देता है टी 300 अभिव्यक्ति के लिए। टी क्योंकि दोनों अभिव्यक्ति समान दूरी की लंबाई का वर्णन करते हैं

250टी = 300टी

लेकिन यह काम कहता है कि 300 मीटर की दूरी पर एक मिनट की रफ्तार से, एक एथलीट ने 1 मिनट की दूरी की दूरी तय की। दूसरे शब्दों में, 300 मीटर प्रति मिनट की गति से, आंदोलन का समय कम हो जाएगा। इसलिए, समीकरण 250 में टी= 300टी सही समय पर आपको इकाई को कम करने की आवश्यकता है:

प्रति मिनट 250 मीटर की गति से, एक एथलीट 6 मिनट में दूरी चलाता है। गति और समय जानना, आप दूरी की लंबाई निर्धारित कर सकते हैं:

एस \u003d 250 × 6 \u003d 1500 मीटर

और 300 मीटर की गति से एक मिनट के एथलीट के लिए दूरी चलती है टी- 1, वह, 5 मिनट में है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, दूरी की लंबाई में परिवर्तन नहीं होता है:

एस\u003d 300 × 5 \u003d 1500 मीटर

कार्य 12।। राइडर एक पैदल यात्री के साथ पकड़ रहा है जो सामने 15 किमी दूर है। कितने घंटे बाद, सवार एक पैदल यात्री के साथ पकड़ लेंगे यदि हर घंटे पहले 10 किमी दूर ड्राइव करता है, और दूसरा केवल 4 किमी दूर होता है?

फेसला

यह कार्य है। इसे इस गति से राइडर और पैदल यात्री के बीच प्रारंभिक दूरी को विभाजित करके और राइडर और पैदल यात्री के बीच प्रारंभिक दूरी को विभाजित करके हल किया जा सकता है।

संक्षिप्तता की दर कम गति को कम करने के द्वारा निर्धारित की जाती है:

10 किमी / घंटा - 4 किमी / घंटा \u003d 6 किमी / घंटा (तालमेल गति)

प्रत्येक घंटे, 15 किलोमीटर दूर 6 किमी तक कम हो जाएगा। यह पता लगाने के लिए कि यह पूरी तरह से घटता है (जब राइडर पैदल यात्री के साथ पकड़ लेगा), आपको 15 से विभाजित 15 की आवश्यकता होती है

15: 6 \u003d 2.5 एच

2,5 सी। ये दो पूर्णांक और आधे घंटे हैं। और आधा घंटा 30 मिनट है। तो राइडर 2 घंटे 30 मिनट के बाद पैदल यात्री चलाएगा।

मैं इस समस्या को समीकरण के साथ हल करूंगा।

उसके बाद, उसके बाद, एक राइडर 10 किमी / घंटा की रफ्तार से जारी किया गया था। और पैदल यात्री दर केवल 4 किमी / घंटा है। इसका मतलब है कि सवार थोड़ी देर के बाद एक पैदल यात्री दिखाएगा। इस बार हमें खोजने की जरूरत है।

जब सवार एक पैदल यात्री के साथ पकड़ रहा है, तो इसका मतलब यह होगा कि उन्होंने एक साथ एक ही दूरी पारित की है। राइडर और पैदल यात्री द्वारा यात्रा की गई दूरी को निम्नलिखित समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:

हम आपके समीकरण को संकलित करने के लिए इस समीकरण के दाहिने हाथ का उपयोग करते हैं।

राइडर द्वारा यात्रा की गई दूरी को अभिव्यक्ति 10 द्वारा वर्णित किया जाएगा टी । चूंकि पैदल यात्री राइडर पर बाहर चला गया और 15 किमी को दूर करने में कामयाब रहे, फिर उनके द्वारा पारित दूरी अभिव्यक्ति 4 द्वारा वर्णित की जाएगी टी + 15 .

उस समय जब राइडर पैदल यात्री ड्राइव करेगा, तो दोनों एक ही दूरी को पारित करेंगे। यह हमें सवार और पैदल यात्री द्वारा यात्रा की दूरी की बराबरी की अनुमति देता है:

यह सबसे सरल समीकरण निकला। मैं इसे हल करता हूं:

स्वयं समाधान के लिए कार्य

कार्य 1. एक शहर से दूसरी यात्री ट्रेन तक कमोडिटी की तुलना में 45 मिनट तक आती है। शहरों के बीच की दूरी की गणना, यदि यात्री ट्रेन की गति 48 किमी / घंटा है, और वाणिज्यिक 36 किमी / घंटा है।

फेसला

इस कार्य में ट्रेन की गति प्रति घंटे किलोमीटर में मापा जाता है। इसलिए, 45 मिनट, कार्य में संकेत दिया, हम घंटों में स्थानांतरित करते हैं। 45 मिनट यह 0.75 घंटे है

उस समय को दर्शाता है जिसके लिए व्यापार ट्रेन चर के माध्यम से शहर में आती है टी । चूंकि यात्री ट्रेन इस शहर में 0.75 घंटे तेजी से आती है, इसलिए उसके आंदोलन का समय अभिव्यक्ति के माध्यम से दर्शाया जाएगा टी -0,75

यात्री ट्रेन ओवरकैम 48 ( टी -0.75) किमी, और व्यापार 36 टी किमी। चूंकि हम एक ही दूरी के बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए हम पहली अभिव्यक्ति को दूसरे स्थान पर समान बनाते हैं। नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं 48(टी -0.75) = 36टी । मैं इसे हल करता हूं:

अब हम शहरों के बीच की दूरी की गणना करते हैं। इसके लिए, ट्रेडिंग ट्रेन की गति (36 किमी / घंटा) अपने आंदोलन के दौरान होशियार होगी टी परिवर्ती मूल्य टी अब यह ज्ञात है - यह तीन बजे के बराबर है

36 × 3 \u003d 108 किमी

दूरी की गणना करने के लिए, आप यात्री ट्रेन की गति का उपयोग कर सकते हैं। लेकिन इस मामले में चर का मूल्य

परिवर्ती मूल्य टी समान रूप से 1.2। तो कारें 1.2 घंटे में मिलीं।

उत्तर:कारें 1.2 घंटे में मिलीं।

कार्य 3. संयंत्र के तीन कार्यशालाओं में केवल 685 कर्मचारी। दूसरी कार्यशाला में, श्रमिक पहले की तुलना में तीन गुना अधिक हैं, और तीसरे में - दूसरे कार्यशाला की तुलना में 15 श्रमिकों से कम हैं। प्रत्येक कार्यशाला में कितने कर्मचारी?

फेसला

रहने दो एक्स। श्रमिक पहली कार्यशाला में थे। दूसरी कार्यशाला में, यह पहले की तुलना में तीन गुना अधिक था, इसलिए दूसरी कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या अभिव्यक्ति 3 के माध्यम से दर्शाया जा सकता है एक्स। । तीसरी कार्यशाला में दूसरे में 15 कर्मचारी कम थे। इसलिए, तीसरे कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या अभिव्यक्ति 3 के माध्यम से दर्शाया जा सकता है एक्स -15 .

यह कार्य कहता है कि केवल कर्मचारी 685 थे। इसलिए, आप अभिव्यक्तियां जोड़ सकते हैं एक्स।, 3एक्स।, 3एक्स -15 और इस राशि को संख्या 685 तक समझें। नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं x +।3एक्स + (3एक्स -15) = 685

चर के माध्यम से एक्स। पहली कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या का संकेत दिया गया था। अब हमें इस चर का मूल्य मिला, यह 100 के बराबर है। इसलिए पहली कार्यशाला में 100 कर्मचारी थे।

दूसरी कार्यशाला में 3 थे एक्स। श्रमिक, वह है, 3 × 100 \u003d 300। और तीसरी कार्यशाला में 3 थी एक्स -15, वह है, 3 × 100 - 15 \u003d 285

उत्तर:पहली कार्यशाला में तीसरे - 285 में, दूसरे - 300 में 100 कर्मचारी थे।

कार्य 4. सप्ताह के दौरान दो मरम्मत की दुकानों को मोटर्स की योजना 18 के अनुसार मरम्मत करनी चाहिए। पहली कार्यशाला ने 120% योजना की, और दूसरा 125% है, इसलिए सप्ताह के दौरान 22 इंजन की मरम्मत की गई। एक सप्ताह के लिए मोटर्स की मरम्मत करने की क्या योजना हर कार्यशाला थी?

फेसला

रहने दो एक्स। मोटर्स को पहली कार्यशाला की मरम्मत करनी चाहिए थी। तब दूसरी कार्यशाला की मरम्मत की जानी चाहिए 18 − एक्स।मोटर्स.

चूंकि पहली कार्यशाला ने अपनी योजना 120% की पुष्टि की, इसका मतलब है कि यह 1.2 की मरम्मत की गई है एक्स। मोटर्स। और दूसरी कार्यशाला ने अपनी योजना 125% की पुष्टि की, जिसका अर्थ है कि इसकी मरम्मत 1.25 (18 - एक्स।) मोटर्स।

यह कार्य कहता है कि 22 इंजनों की मरम्मत की गई। तो आप अभिव्यक्ति जोड़ सकते हैं 1,2एक्स।और 1.25 (18) - एक्स।) , फिर इस राशि को संख्या 22 तक बराबर करें। नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं 1,2x +।1,25(18 - एक्स।) = 22

चर के माध्यम से एक्स। मोटर्स की संख्या को चिह्नित किया गया था, जो पहली कार्यशाला की मरम्मत करना था। अब हमें इस चर का अर्थ मिला है, यह 10 के बराबर है। इसलिए पहली कार्यशाला को 10 मोटर्स की मरम्मत की जानी चाहिए।

और अभिव्यक्ति के माध्यम से 18 - एक्स। दूसरी कार्यशाला की मरम्मत की जाने वाली मोटरों की संख्या को चिह्नित किया गया था। तो दूसरी कार्यशाला की मरम्मत की जानी चाहिए 18 - 10 \u003d 8 इंजन।

उत्तर:पहली कार्यशाला को 10 इंजनों और दूसरे - 8 इंजनों की मरम्मत की जानी चाहिए।

कार्य 5. माल की कीमत 30% बढ़ी है और अब 91 रूबल है। कीमत बढ़ाने से पहले माल की कितनी कीमत है?

फेसला

रहने दो एक्स। कीमतों में वृद्धि से पहले rubles लागत माल। यदि कीमत 30% की वृद्धि हुई है, तो इसका मतलब है कि यह 0.30 में वृद्धि हुई है एक्स। रूबल। कीमत में वृद्धि के बाद, उत्पाद 91 रूबल की लागत शुरू हो गई। एक्स को 0.30 से मिलाएं एक्स। और इस राशि को 91 तक समझें। नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं संख्या में 10% की कमी के साथ, यह 45 हो गया। संख्या के प्रारंभिक मूल्य को खोजने के लिए। एक्स -

उत्तर:12% नमक समाधान प्राप्त करने के लिए, 10% समाधान के 1 किलो में 0.25 किलोग्राम 20% समाधान जोड़ना आवश्यक है।

कार्य 12. पानी में दो नमक समाधान दिए जाते हैं, जिनकी सांद्रता 20% और 30% के बराबर होती है। 25 किलोग्राम 25.2% समाधान प्राप्त करने के लिए एक जहाज में प्रत्येक समाधान के कितने किलोग्राम मिश्रित किया जाना चाहिए?

फेसला

रहने दो एक्स। पहले समाधान का सीजी लिया जाना चाहिए। चूंकि इसे 25 किलो समाधान तैयार करना आवश्यक है, फिर दूसरे समाधान का द्रव्यमान अभिव्यक्ति 25-एक्स के माध्यम से नामित किया जा सकता है।

पहले समाधान में, 0.20x किलो लवण निहित होंगे, और दूसरा 0.30 (25 - एक्स) किलो लवण है। परिणामी समाधान में, नमक सामग्री 25 × 0.252 \u003d 6.3 किलो होगी। परामर्श अभिव्यक्ति 0.20x और 0.30 (25 - x), फिर हम इस राशि को 6.3 तक समान बनाते हैं। नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

तो पहला समाधान आपको 12 किलो लेने की आवश्यकता है, और दूसरा 25 - 12 \u003d 13 किलो।

उत्तर:पहला समाधान आपको 12 किलो लेने की आवश्यकता है, और दूसरा 13 किलो।

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विमान पर सीधे समीकरण।
प्रत्यक्ष गाइड वेक्टर। वेक्टर सामान्य

विमान पर सीधी रेखा सबसे सरल ज्यामितीय आकारों में से एक है, जो आपको युवा वर्गों से परिचित है, और आज हम सीखते हैं कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तरीकों से इसका सामना करना है। सामग्री को मास्टर करने के लिए, आप एक सीधी रेखा बनाने में सक्षम होना चाहिए; जानें कि समीकरण प्रत्यक्ष रूप से, प्रत्यक्ष रूप से, मूल और प्रत्यक्ष निर्देशांक के माध्यम से समन्वयित अक्षरों के समानांतर रूप से गुजर रहा है। यह जानकारी विधियों में पाया जा सकता है। प्राथमिक कार्यों के चार्ट और गुणमैंने इसे माथन के लिए बनाया, लेकिन रैखिक फ़ंक्शन के बारे में अनुभाग बहुत सफल और विस्तृत साबित हुआ। इसलिए, प्रिय टीपोट्स, पहले वार्प। इसके अलावा, आपको इसके बारे में बुनियादी ज्ञान की आवश्यकता है वैक्टरअन्यथा, सामग्री की समझ अपूर्ण होगी।

इस पाठ में, हम उन तरीकों पर विचार करेंगे जिनके साथ आप विमान पर प्रत्यक्ष समीकरण कर सकते हैं। मैं व्यावहारिक उदाहरणों की उपेक्षा करने की सलाह नहीं देता (भले ही यह बहुत आसान लगे), क्योंकि मैं उन्हें प्राथमिक और महत्वपूर्ण तथ्यों, तकनीकी तकनीकों की आपूर्ति करूंगा जो भविष्य में उच्च गणित के अन्य वर्गों सहित आवश्यक होंगे।

• कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी समीकरण कैसे करें?
• कैसे ?
• सामान्य समीकरण लाइन पर गाइड वेक्टर कैसे खोजें?
• समीकरण को सीधे बिंदु और सामान्य के वेक्टर को कैसे बनाया जाए?

और हम शुरू करते हैं:

एक कोणीय गुणांक के साथ सीधे समीकरण

समीकरण के प्रसिद्ध "स्कूल" दृश्य कहा जाता है एक कोणीय गुणांक के साथ सीधे समीकरण। उदाहरण के लिए, यदि प्रत्यक्ष समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है, तो इसके कोणीय गुणांक :. इस गुणांक के ज्यामितीय अर्थ पर विचार करें और इसका मूल्य प्रत्यक्ष स्थान को कैसे प्रभावित करता है:

ज्यामिति का कोर्स साबित हुआ है कॉर्नर गुणांक प्रत्यक्ष बराबर टेंगेंट अंगला सकारात्मक धुरी दिशा के बीच और यह प्रत्यक्ष: और कोण "unscrewed" वामावर्त है।

ड्राइंग को क्लच न करने के लिए, मैंने केवल दो सीधी रेखाओं के लिए कोनों को आकर्षित किया। "लाल" सीधे और इसके कोने गुणांक पर विचार करें। उपरोक्त के अनुसार: ("अल्फा" का कोण एक हरे रंग के आर्क के साथ चिह्नित है)। एक कोणीय गुणांक के साथ सीधे "नीले" के लिए, समानता उचित है ("बीटा" का कोण ब्राउन आर्क द्वारा इंगित किया गया है)। और यदि कोण का स्पर्शक ज्ञात है, तो यदि आवश्यक हो तो यह खोजना आसान है और कोने ही रिवर्स फ़ंक्शन का उपयोग - Arctanens। जैसा कि वे कहते हैं, त्रिकोणमितीय तालिका या microcalcator हाथ में। इस तरह, कोणीय गुणांक Abscissa धुरी के लिए आगे झुकाव की डिग्री की विशेषता है.

इस मामले में, निम्नलिखित मामले संभव हैं:

1) यदि कोणीय गुणांक नकारात्मक है: तो रेखा, मोटे तौर पर बोलते हुए, ऊपर से नीचे तक जाती है। उदाहरण - ड्राइंग पर सीधे "ब्लू" और "रास्पबेरी"।

2) यदि कोणीय गुणांक सकारात्मक है: तो रेखा ऊपर की ओर जाती है। उदाहरण - "ब्लैक" और "लाल" ड्राइंग पर सीधे।

3) यदि कोणीय गुणांक शून्य है: समीकरण फॉर्म लेता है, और संबंधित सीधे समांतर धुरी। उदाहरण - "पीला" सीधे।

4) प्रत्यक्ष, समानांतर अक्षों के परिवार के लिए (अक्षीय गुणांक को छोड़कर, ड्राइंग में कोई उदाहरण नहीं है) मौजूद नहीं होना (स्पर्शक 90 डिग्री परिभाषित नहीं है).

मॉड्यूल के कोणीय गुणांक जितना अधिक, स्टीपर सीधे शेड्यूल चला जाता है.

उदाहरण के लिए, दो सीधे विचार करें। यहां, इसलिए सीधी रेखा में सबसे अच्छी ढलान है। मैं आपको याद दिलाता हूं कि मॉड्यूल आपको संकेत को ध्यान में रखने की अनुमति नहीं देता है, हम केवल रुचि रखते हैं सम्पूर्ण मूल्य कोने गुणांक।

बदले में, सीधे से सीधे तेज .

वापस: मॉड्यूल के कम कोणीय गुणांक, बेहतर अधिक आम है.

सीधे लाइनों के लिए काफी असमानता, इसलिए, एक चंदवा से अधिक प्रत्यक्ष। बच्चों की स्लाइड, ताकि चोट और शंकु न लगाएं।

तुम्हें यह क्यों चाहिए?

उपर्युक्त तथ्यों के ज्ञान के अपने पीड़ितों को विस्तारित करें, आपको तुरंत अपनी त्रुटियों को देखने की अनुमति मिलती है, विशेष रूप से, चार्ट बनाने के दौरान त्रुटियां - यदि यह ड्राइंग में निकला "स्पष्ट रूप से कुछ गलत है।" अधिमानतः आप के लिए तुरंत ही यह स्पष्ट था कि, उदाहरण के लिए, सीधे बहुत अच्छा और ऊपर की ओर जाता है, और सीधे - बहुत रंग, धुरी के लिए निकटता से दबाया जाता है और ऊपर से नीचे आता है।

ज्यामितीय कार्यों में, कई सीधी रेखाओं को अक्सर वर्णित किया जाता है, इसलिए वे आसानी से किसी चीज़ से दर्शाए जाते हैं।

पदनाम: सीधे छोटे लैटिन पत्र निर्दिष्ट :. लोकप्रिय विकल्प प्राकृतिक प्रतिस्थापन सूचकांक के साथ एक ही पत्र का पदनाम है। उदाहरण के लिए, उन पांच सीधी रेखाएं जिन्हें हमने केवल माना जाता है, के माध्यम से अंकित किया जा सकता है .

चूंकि कोई भी प्रत्यक्ष विशिष्ट रूप से दो बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है, इसलिए इसे इन बिंदुओं द्वारा दर्शाया जा सकता है: आदि। पदनाम स्पष्ट रूप से तात्पर्य है कि अंक प्रत्यक्ष हैं।

यह थोड़ा गर्म करने का समय है:

कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी समीकरण कैसे करें?

यदि कुछ प्रत्यक्ष से संबंधित बिंदु है, और इस सीधी रेखा के कोणीय गुणांक, इस प्रत्यक्ष के समीकरण सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

उदाहरण 1।

एक कोणीय गुणांक के साथ एक प्रत्यक्ष समीकरण करें, अगर यह ज्ञात है कि बिंदु इस प्रत्यक्ष से संबंधित है।

फेसला: समीकरण सूत्र को निर्देशित करता है । इस मामले में:

उत्तर:

चेक यह प्राथमिक प्रदर्शन किया जाता है। सबसे पहले, हम परिणामी समीकरण को देखते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि हमारे कोने गुणांक अपनी जगह पर है। दूसरा, बिंदु निर्देशांक को इस समीकरण को पूरा करना होगा। उन्हें समीकरण के लिए स्थानापन्न करें:

सही समानता प्राप्त की जाती है, इसका मतलब है कि बिंदु प्राप्त समीकरण को संतुष्ट करता है।

उत्पादन: समीकरण सही ढंग से पाया जाता है।

आत्म समाधान के लिए अधिक चालाक उदाहरण:

उदाहरण 2।

समीकरण प्रत्यक्ष बनाएं, अगर यह ज्ञात है कि धुरी की सकारात्मक दिशा में झुकाव का उसका कोण है, और बिंदु इस लाइन से संबंधित है।

यदि कठिनाई, सैद्धांतिक सामग्री को रीयल करें। अधिक सटीक, अधिक व्यावहारिक, कई सबूत मैं छोड़ देता हूं।

आखिरी कॉल आउट किया गया, स्नातक बॉल बाहर निकला, और विश्लेषणात्मक ज्यामिति हमारे लिए देशी स्कूल के द्वार पर इंतजार कर रही है। चुटकुले समाप्त हो गया ... और शायद बस शुरू करें \u003d)

नास्तिक रूप से, हैंडल सामान्य समीकरण के साथ परिचित और परिचित है। क्योंकि जाने में विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, यह है:

सामान्य समीकरण प्रत्यक्ष दृश्य है:, कुछ संख्या कहां हैं। उसी समय गुणांक एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं, क्योंकि समीकरण इसका अर्थ खो देता है।

एक सूट में खुला और एक कोणीय गुणांक के साथ समीकरण टाई। सबसे पहले, हम सभी घटकों को बाईं ओर ले जाते हैं:

"XOM" के साथ शब्द को पहले स्थान पर रखा जाना चाहिए:

सिद्धांत रूप में, समीकरण में पहले से ही फॉर्म है, लेकिन गणितीय शिष्टाचार के नियमों के अनुसार, पहली अवधि (इस मामले में) का गुणांक सकारात्मक होना चाहिए। संकेत बदलें:

इस तकनीकी सुविधा को याद रखें! पहला गुणांक (अक्सर) सकारात्मक है!

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, समीकरण प्रत्यक्ष हमेशा सामान्य रूप से निर्दिष्ट किया जाएगा। खैर, यदि आवश्यक हो, तो एक कोणीय गुणांक के साथ "स्कूल" दिमाग का नेतृत्व करना आसान है (प्रत्यक्ष, समन्वय के समानांतर अक्षों के अपवाद के साथ)।

आइए हम मुझसे पूछें बहुत हो चुका सीधे निर्माण करने के लिए जानते हैं? दो बिंदु। लेकिन बाद में इस orcupy मामले के बारे में, अब वे तीर के साथ छड़ पर शासन करते हैं। प्रत्येक प्रत्यक्ष में एक पूरी तरह से परिभाषित ढलान है जिसके लिए यह "अनुकूलित" करना आसान है वेक्टर.

वेक्टर, जो समानांतर है, को डायरेक्ट लाइन गाइड वेक्टर कहा जाता है।। जाहिर है, किसी भी प्रत्यक्ष असीम रूप से कई गाइड वैक्टर होंगे, और वे सभी को कॉललाइनर (सह-निर्देशित या नहीं - कोई फर्क नहीं पड़ता)।

गाइड वेक्टर मैं निम्नानुसार संकेत दूंगा :.

लेकिन एक वेक्टर एक सीधी रेखा बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है, वेक्टर मुफ़्त है और विमान के किसी भी बिंदु से बंधे नहीं है। इसलिए, लाइन से संबंधित कुछ बिंदु जानना अतिरिक्त रूप से आवश्यक है।

बिंदु और गाइड वेक्टर पर समीकरण प्रत्यक्ष कैसे करें?

यदि सीधी रेखा से संबंधित एक निश्चित बिंदु ज्ञात है, और इस लाइन के मार्गदर्शक वेक्टर, इस प्रत्यक्ष के समीकरण को सूत्र द्वारा संकलित किया जा सकता है:

कभी-कभी इसे बुलाया जाता है कैनोनिकल समीकरण प्रत्यक्ष .

क्या करना है निर्देशांक में से एक शून्य के बराबर, हम नीचे व्यावहारिक उदाहरणों में पता लगाते हैं। वैसे, नोटिस - दोनों एक बार में निर्देशांक शून्य नहीं हो सकते हैं, क्योंकि शून्य वेक्टर एक विशिष्ट दिशा निर्दिष्ट नहीं करता है।

उदाहरण 3।

बिंदु और गाइड वेक्टर पर समीकरण प्रत्यक्ष बनाएं

फेसला: सूत्र के लिए प्रत्यक्ष समीकरण। इस मामले में:

अनुपात के गुणों का उपयोग करके, हम अंशों से छुटकारा पाएं:

और सामान्य मन को समीकरण दें:

उत्तर:

इस तरह के उदाहरणों में ड्राइंग, एक नियम के रूप में, करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन समझने की खातिर:

ड्राइंग में, हम शुरुआती बिंदु देखते हैं, मूल गाइड वेक्टर (इसे विमान के किसी भी बिंदु से स्थगित किया जा सकता है) और प्रत्यक्ष बनाया गया है। वैसे, कई मामलों में, एक कोणीय गुणांक के समान समीकरण के साथ सीधे सुविधाजनक रूप से सुविधाजनक बनाने के लिए। हमारा समीकरण फॉर्म में कनवर्ट करना आसान है और इसे सीधी रेखा बनाने के लिए एक और बिंदु चुनना आसान बनाता है।

जैसा कि अनुच्छेद की शुरुआत में उल्लेख किया गया है, प्रत्यक्ष असीम रूप से कई गाइड वैक्टर, और उनमें से सभी कॉललाइनर हैं। उदाहरण के लिए, मैंने तीन ऐसे संस्करणों को आकर्षित किया: । परिणामस्वरूप, जो भी गाइड वेक्टर चुना गया है, वही समीकरण हमेशा प्राप्त किया जाता है।

हम समीकरण को बिंदु पर निर्देश देंगे और मार्गदर्शिका वेक्टर:

हम अनुपात को नष्ट करते हैं:

हम दोनों भागों को -2 पर विभाजित करते हैं और एक परिचित समीकरण प्राप्त करते हैं:

जो वेक्टरों का भी परीक्षण करना चाहते हैं या किसी अन्य कॉललाइनर वेक्टर।

अब चलो निर्णय लें:

सामान्य समीकरण लाइन पर गाइड वेक्टर कैसे खोजें?

बहुत सरल:

यदि प्रत्यक्ष समन्वय प्रणाली में समग्र समीकरण द्वारा प्रत्यक्ष दिया जाता है, तो वेक्टर इस लाइन के गाइड वेक्टर है।

डायरेक्ट के गाइड वैक्टर खोजने के उदाहरण:

दावा आपको अनगिनत सेट से केवल एक गाइड वेक्टर खोजने की अनुमति देता है, लेकिन हमें और आवश्यकता नहीं है। हालांकि कुछ मामलों में गाइड वैक्टर के निर्देशांक को कम करने के लिए सलाह दी जाती है:

इस प्रकार, समीकरण प्रत्यक्ष निर्दिष्ट करता है, जो अक्ष के समानांतर होता है और प्राप्त गाइड वेक्टर के समन्वय आसानी से -2 द्वारा विभाजित होता है, गाइड वेक्टर के रूप में बिल्कुल आधार वेक्टर प्राप्त करता है। तार्किक।

इसी प्रकार, समीकरण प्रत्यक्ष, समांतर अक्ष को निर्दिष्ट करता है, और, वेक्टर के निर्देशांक को 5 में विभाजित करता है, हम ओआरटी के गाइड वेक्टर के रूप में प्राप्त करते हैं।

अब प्रदर्शन किया उदाहरण 3।। उदाहरण बढ़ गया, इसलिए मैं याद दिलाता हूं कि इसमें हमने बिंदु और गाइड वेक्टर पर एक सीधा समीकरण किया है

पहले तोप्रत्यक्ष समीकरण के अनुसार, इसके गाइड वेक्टर को पुनर्स्थापित करें: - सबकुछ ठीक है, स्रोत वेक्टर प्राप्त किया गया था (कुछ मामलों में, कॉललाइनर स्रोत वेक्टर प्राप्त किया जा सकता है, और आमतौर पर संबंधित निर्देशांक की आनुपातिकता पर नोटिक आसान होता है)।

दूसरे, बिंदु निर्देशांक समीकरण को पूरा करना चाहिए। हम उन्हें समीकरण के लिए प्रतिस्थापित करते हैं:

विश्वसनीय समानता प्राप्त की जाती है, जिसे हम बहुत खुश हैं।

उत्पादन: कार्य सही ढंग से किया जाता है।

उदाहरण 4।

बिंदु और गाइड वेक्टर पर समीकरण प्रत्यक्ष बनाएं

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है। सबक के अंत में समाधान और उत्तर। केवल चर्चा की गई एल्गोरिदम की जांच करना बेहद वांछनीय है। हमेशा कोशिश करें (यदि संभव हो) ड्राफ्ट पर चेक करें। गलतियों को अनुमति देने के लिए बेवकूफ है जहां उनके 100% से बचा जा सकता है।

इस घटना में कि गाइड वेक्टर शून्य के निर्देशांक में से एक, बहुत ही सरल है:

उदाहरण 5।

फेसला: सूत्र उपयुक्त नहीं है, क्योंकि दाईं ओर का संप्रदाय शून्य है। एक निकास है! अनुपात के गुणों का उपयोग करके, फॉर्मूला को फॉर्मूला को फिर से लिखें, और गहरे रट के साथ आगे लुढ़का:

उत्तर:

चेक:

1) लाइन गाइड वेक्टर को पुनर्स्थापित करें:
- मूल गाइड वेक्टर में परिणामी वेक्टर कॉललाइनरिन।

2) समीकरण के बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें:

विश्वसनीय समानता प्राप्त की जाती है

उत्पादन: कार्य सही ढंग से पूरा हुआ

एक सवाल है, फॉर्मूला के साथ क्यों होना चाहिए, यदि कोई सार्वभौमिक संस्करण है, जो किसी भी मामले में काम करेगा? दो कारण हैं। पहले, एक अंश के रूप में सूत्र बहुत बेहतर याद किया जाता है। और दूसरी बात, एक सार्वभौमिक सूत्र की कमी यह है कि ध्यान से जोखिम बढ़ता है निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते समय।

उदाहरण 6।

समीकरण प्रत्यक्ष रूप से बिंदु और गाइड वेक्टर बनाओ।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है।

चलो omnipresent दो बिंदुओं पर लौटें:

समीकरण को दो बिंदुओं के लिए निर्देश कैसे बनाएं?

यदि दो अंक ज्ञात हैं, तो डेटा डेटा के माध्यम से सीधे गुजरने के समीकरण को सूत्र द्वारा संकलित किया जा सकता है:

वास्तव में, यह एक प्रकार का सूत्र है और यही कारण है कि: यदि दो अंक ज्ञात हैं, तो वेक्टर इस लाइन की सीधी रेखा होगी। सबक पर चायदानी के लिए वैक्टर हमने सबसे सरल कार्य माना - दो बिंदुओं के साथ वेक्टर के निर्देशांक कैसे ढूंढें। इस समस्या के अनुसार, गाइड वेक्टर के निर्देशांक:

ध्यान दें : अंक "बदली गई भूमिकाएं" और सूत्र का उपयोग कर सकते हैं । यह निर्णय समकक्ष होगा।

उदाहरण 7।

समीकरण को दो अंकों के साथ सीधे बनाएं .

फेसला: हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

सौच विज्ञापनों:

और डेक खींचो:

यह अब आंशिक संख्या से छुटकारा पाने के लिए सुविधाजनक है। इस मामले में, आपको दोनों भागों को 6 से गुणा करने की आवश्यकता है:

कोष्ठक प्रकट करें और समीकरण को ध्यान में लाएं:

उत्तर:

चेक स्पष्ट - शुरुआती बिंदुओं के निर्देशांक प्राप्त समीकरण से संतुष्ट होना चाहिए:

1) बिंदु निर्देशांक का विकल्प:

सच्ची समानता।

2) बिंदु निर्देशांक को स्थानापन्न करें:

सच्ची समानता।

उत्पादन: समीकरण सीधे सही ढंग से तैयार किया गया है।

यदि एक कम से कम एक बिंदुओं से समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है, एक त्रुटि की तलाश करें।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस मामले में ग्राफिक चेक मुश्किल है क्योंकि एक सीधा बनाने के लिए और यह देखने के लिए कि वह उससे संबंधित है या नहीं , इतना आसान नहीं।

मैं कुछ तकनीकी क्षणों को नोट करूंगा। शायद यह कार्य दर्पण सूत्र का उपयोग करने के लिए अधिक लाभदायक है और, एक ही बिंदु पर एक समीकरण बनाओ:

ताकी छोटे अंश। यदि आप चाहते हैं, तो आप परिणाम के रूप में समाधान को अंत तक ला सकते हैं, वही समीकरण बाहर निकलना चाहिए।

दूसरा बिंदु अंतिम उत्तर को देखना और अनुमान लगाना है कि इसे सरल बनाना अभी भी आसान है या नहीं? उदाहरण के लिए, यदि समीकरण निकला, तो सलाह दी जाती है कि यहां दो बार में कटौती की जाए: - समीकरण एक ही प्रत्यक्ष सेट करेगा। हालांकि, यह बातचीत का विषय है पारस्परिक स्थान.

जवाब प्राप्त हुआ उदाहरण 7 में, मैंने, बस मामले में, यदि 2, 3 या 7 पर समीकरण के सभी गुणांक विभाजित नहीं हैं। हालांकि, अक्सर, इस तरह के संक्षेप समाधान के दौरान किए जाते हैं।

उदाहरण 8।

समीकरण प्रत्यक्ष अंक के माध्यम से गुजरना .

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, जो आपको गणना की तकनीक को बेहतर ढंग से समझने और काम करने की अनुमति देता है।

पिछले पैराग्राफ के समान: यदि सूत्र में संप्रदायों में से एक (गाइड वेक्टर का समन्वय) शून्य पर खींचा जाता है, फिर इसे फॉर्म में फिर से लिखना। और फिर, ध्यान दें कि यह कितना अजीब और भ्रामक दिखने लगा। मुझे व्यावहारिक उदाहरण देने के लिए कोई विशेष अर्थ नहीं दिखता है, क्योंकि इस तरह के एक कार्य को वास्तव में वास्तव में तेज किया गया है (देखें संख्या 5, 6)।

वेक्टर सीधे सामान्य (सामान्य वेक्टर)

सामान्य क्या है? सरल शब्द, सामान्य एक लंबवत है। यही है, इस लाइन के लिए सामान्य सीधे लंबवत के वेक्टर। जाहिर है, उनमें से कोई भी असीम रूप से बहुत कम (साथ ही साथ मार्गदर्शक) हैं, और सीधे स्टैंड के सभी मानदंडों को कॉललाइनर (लेपित या नहीं - कोई अंतर नहीं होगा)।

उनके साथ डिस्सेप्लर गाइड वैक्टर के मुकाबले भी आसान होगा:

यदि प्रत्यक्ष समन्वय प्रणाली में समग्र समीकरण द्वारा प्रत्यक्ष दिया जाता है, तो वेक्टर सामान्य रेखा का वेक्टर होता है।

यदि गाइड वेक्टर के निर्देशांक को समीकरण से धीरे-धीरे "बाहर खींचना" है, तो सामान्य वेक्टर के निर्देशांक केवल "हटाने के लिए" निर्देशांक।

सामान्य वेक्टर हमेशा ऑर्थोगोनल गाइड वेक्टर सीधे होता है। उपयोग कर इन वैक्टरों की ऑर्थोगोनिटी में सुनिश्चित करें स्केलर काम:

मैं गाइड वेक्टर के समान समीकरणों के साथ उदाहरण दूंगा:

क्या समीकरण को सीधे बनाना, एक बिंदु और सामान्य वेक्टर को जानना संभव है? यह चुटक द्वारा महसूस किया जाता है। यदि वेक्टर ज्ञात है, तो दिशा विशिष्ट रूप से परिभाषित की गई है और 90 डिग्री के कोण के साथ सबसे प्रत्यक्ष दिशा "हार्ड डिजाइन" है।

समीकरण को सीधे बिंदु और सामान्य के वेक्टर को कैसे बनाया जाए?

यदि सीधी रेखा से संबंधित एक निश्चित बिंदु ज्ञात है, और इस सीधे के सामान्य वेक्टर, इस प्रत्यक्ष के समीकरण सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

यह बिना किसी भिन्नता और अन्य नेफानों के खर्च करता है। यहां हमारे पास एक सामान्य वेक्टर है। इसे प्यार करना। और सम्मान \u003d)

उदाहरण 9।

समीकरण को बिंदु और सामान्य के वेक्टर को सीधे बनाएं। लाइन गाइड वेक्टर खोजें।

फेसला: हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

सामान्य समीकरण प्रत्यक्ष प्राप्त होता है, एक चेक करते हैं:

1) समीकरण से सामान्य के वेक्टर के निर्देशांक "निकालें": - हाँ, वास्तव में, स्थिति से स्रोत वेक्टर (या तो कॉललाइनर स्रोत वेक्टर प्राप्त किया जाना चाहिए)।

2) जांचें कि बिंदु समीकरण को संतुष्ट करता है या नहीं:

सच्ची समानता।

हमने आश्वस्त होने के बाद कि समीकरण सही ढंग से किया गया है, हम कार्य का दूसरा, अधिक आसानी से हिस्सा करेंगे। लाइन गाइड वेक्टर खींचो:

उत्तर:

ड्राइंग में, स्थिति इस तरह दिखती है:

प्रशिक्षण उद्देश्यों के लिए, एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक समान कार्य है:

उदाहरण 10।

समीकरण को बिंदु और सामान्य वेक्टर पर सीधे बनाएं। लाइन गाइड वेक्टर खोजें।

पाठ का अंतिम खंड कम आम के लिए समर्पित होगा, लेकिन विमान पर सीधे समीकरणों के महत्वपूर्ण प्रकार भी होंगे

समीकरण सीधे सेगमेंट में है।
पैरामीट्रिक रूप में प्रत्यक्ष समीकरण

सेगमेंट में प्रत्यक्ष समीकरण में एक दृश्य है जहां गैर-शून्य स्थिरांक हैं। इस फॉर्म में कुछ प्रकार के समीकरणों को प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष आनुपातिकता (चूंकि मुक्त सदस्य शून्य है और दाएं भाग में इकाई प्राप्त नहीं हुई है)।

यह, मूर्तिकला बोलना, "तकनीकी" समीकरण का प्रकार। एक सामान्य कार्य यह सुनिश्चित करना है कि सामान्य समीकरण सीगमेंट में सीधे समीकरण के रूप में जमा करने के लिए सीधे है। यह सुविधाजनक क्या है? समीकरण सीधे सेगमेंट में है, आपको सीधे समन्वय अक्ष के साथ सीधे चौराहे को छेड़छाड़ करने की अनुमति देता है, जो उच्च गणित के कुछ कार्यों में बहुत महत्वपूर्ण है।

धुरी के साथ चौराहे बिंदु का पता लगाएं। मैं "igrek" रीसेट करता हूं, और समीकरण फॉर्म लेता है। वांछित बिंदु स्वचालित रूप से प्राप्त किया जाता है :.

इसी तरह अक्ष के साथ - वह बिंदु जिसमें सीधी रेखा ऑर्डिनेट एक्सिस को पार करती है।

यह आलेख विमान पर प्रत्यक्ष समीकरण का विषय जारी रखता है: इस तरह के एक प्रकार के समीकरण पर विचार करें क्योंकि सामान्य समीकरण सीधे है। हम प्रमेय से पूछते हैं और अपना प्रमाण देते हैं; हम इसका पता लगाएंगे कि इस तरह के एक अधूरा सामान्य समीकरण सीधे है और सामान्य समीकरण से अन्य प्रकार के समीकरणों के प्रत्यक्ष रूप से संक्रमण कैसे करें। सभी सिद्धांतों को चित्रों के साथ समेकित किया जाएगा और व्यावहारिक कार्यों को हल करना होगा।

मान लीजिए विमान पर, आयताकार समन्वय प्रणाली ओ एक्स वाई दिया जाता है।

प्रमेय 1।

पहली डिग्री के किसी भी समीकरण में एक लुक एएक्स + + सी \u003d 0 द्वारा, जहां ए, बी, सी - कुछ वैध संख्याएं (ए और बी एक ही समय में बराबर नहीं हैं) आयताकार समन्वय प्रणाली में प्रत्यक्ष रेखा को परिभाषित करती है विमान। बदले में, विमान पर आयताकार समन्वय प्रणाली में कोई भी प्रत्यक्ष समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है जिसमें एक एक्स + बी वाई + सी \u003d 0 के कुछ सेट के कुछ सेट, बी, सी के साथ होता है।

सबूत

निर्दिष्ट प्रमेय में दो अंक होते हैं, हम उनमें से प्रत्येक को साबित करेंगे।

1. हम साबित करते हैं कि समीकरण एक एक्स + बी वाई + सी \u003d 0 प्रत्यक्ष विमान निर्धारित करता है।

मान लीजिए कि कुछ बिंदु एम 0 (x 0, y 0), जिनमें से निर्देशांक एक एक्स + बी वाई + सी \u003d 0 समीकरण के अनुरूप हैं। इस प्रकार: एक एक्स 0 + बी वाई 0 + सी \u003d 0। समीकरणों के बाएं और दाएं भागों से सबमिट करें + + c \u003d 0 समीकरण के बाएं और दाएं भागों एक x 0 + 0 + c \u003d 0 द्वारा, हम एक नया समीकरण प्राप्त करते हैं (x - x 0) ) + बी (वाई - वाई 0) \u003d 0। यह एक एक्स + बी वाई + सी \u003d 0 के बराबर है।

परिणामी समीकरण ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) \u003d 0 वैक्टरों की लंबवतता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है एन → \u003d (ए, बी) और एम 0 एम → \u003d (एक्स - एक्स 0) , वाई - वाई 0)। इस प्रकार, अंक एम (एक्स, वाई) का सेट आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा, वेक्टर एन → \u003d (ए, बी) की दिशा के लिए लंबवत है। हम मान सकते हैं कि यह मामला नहीं है, लेकिन फिर वैक्टर एन → \u003d (ए, बी) और एम 0 एम → \u003d (एक्स 0, वाई - वाई 0) लंबवत नहीं होगा, और समानता ए (एक्स - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 यह सच नहीं होगा।

नतीजतन, समीकरण ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) \u003d 0 विमान पर आयताकार समन्वय प्रणाली में कुछ प्रत्यक्ष परिभाषित करता है, और इसलिए समकक्ष समीकरण एक x + + c \u003d 0 समान प्रत्यक्ष निर्धारित करता है । इसलिए हमने प्रमेय का पहला हिस्सा साबित किया।

1. हम सबूत देते हैं कि आयताकार प्रणाली में प्रत्यक्ष निर्देशांक प्रत्यक्ष डिग्री समीकरण को x + b y + c \u003d 0 पर सेट किया जा सकता है।

विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में सेट करें; बिंदु एम 0 (x 0, y 0), जिसके माध्यम से यह सीधी रेखा गुजरती है, साथ ही इस प्रत्यक्ष एन → \u003d (ए, बी) के सामान्य वेक्टर।

मान लीजिए कि कुछ बिंदु एम (एक्स, वाई) भी है - फ्लोटिंग पॉइंट सीधे है। इस मामले में, वैक्टर एन → \u003d (ए, बी) और एम 0 एम → \u003d (एक्स - एक्स 0, वाई - वाई 0) एक दूसरे के लिए लंबवत हैं, और उनके स्केलर उत्पाद शून्य है:

n →, m 0 m → \u003d a (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0

मैं समीकरण को एक एक्स + बी वाई - ए एक्स 0 - बी वाई 0 \u003d 0 को फिर से लिखता हूं, हम सी परिभाषित करते हैं: सी \u003d - ए एक्स 0 - बी वाई 0 और अंतिम परिणाम में हम समीकरण को एक्स + बी वाई + सी \u003d 0 प्राप्त करते हैं।

इसलिए, हमने प्रमेय का सिद्ध और दूसरा हिस्सा है, और सामान्य रूप से सभी प्रमेय साबित हुए।

परिभाषा 1।

समीकरण एक एक्स + बी वाई + सी \u003d 0 - यह है सामान्य समीकरण प्रत्यक्ष आयताकार समन्वय प्रणाली में विमान पर ओ एक्स वाई।

सिद्ध प्रमेय पर निर्भर करते हुए, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि निश्चित आयताकार समन्वय प्रणाली में विमान पर निर्दिष्ट प्रत्यक्ष रेखा और उसके सामान्य समीकरण अनजाने में जुड़े हुए हैं। दूसरे शब्दों में, प्रारंभिक रेखा अपने सामान्य समीकरण से मेल खाती है; सामान्य समीकरण रेखा निर्दिष्ट प्रत्यक्ष से मेल खाती है।

प्रमेय के प्रमाण से यह भी होता है कि गुणांक x और y के साथ गुणांक ए और बी सामान्य वेक्टर लाइन के निर्देशांक हैं, जो डायरेक्ट ए एक्स + बी वाई + सी \u003d 0 के समग्र समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है।

एक सामान्य रेखा समीकरण के एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें।

एक समीकरण 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 दें, जो किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा से मेल खाता है। सामान्य वेक्टर यह सीधे - यह एक वेक्टर है N → \u003d (2, 3)। चित्र में दी गई सीधी रेखा चित्र।

निम्नलिखित पर भी तर्क दिया जा सकता है: डायरेक्ट, जिसे हम ड्राइंग में देखते हैं, समग्र समीकरण 2 एक्स + 3 वाई -2 \u003d 0 द्वारा निर्धारित किया जाता है, क्योंकि निर्दिष्ट प्रत्यक्ष के सभी बिंदुओं के निर्देशांक इस समीकरण से मेल खाते हैं।

हम एक समीकरण λ · · x + λ · b y + λ · c \u003d 0 प्राप्त कर सकते हैं, कुल समीकरण के दोनों हिस्सों को संख्या λ तक गुणा कर सकते हैं, शून्य के बराबर नहीं। परिणामी समीकरण प्रारंभिक सामान्य समीकरण के बराबर है, इसलिए, विमान पर एक ही प्रत्यक्ष वर्णन करेगा।

परिभाषा 2।

पूर्ण सामान्य समीकरण प्रत्यक्ष - ऐसा सामान्य समीकरण सीधे एक्स + बी वाई + सी \u003d 0 है, जिसमें संख्याएं ए, बी, शून्य से अलग होती हैं। अन्यथा, समीकरण है अधूरा.

हम एक अपूर्ण सामान्य रेखा समीकरण के सभी विविधताओं का विश्लेषण करेंगे।

1. जब ए \u003d 0, ≠ 0, सी ≠ 0 में, सामान्य समीकरण फॉर्म बी वाई + सी \u003d 0 लेता है। ऐसा अपूर्ण सामान्य समीकरण आयताकार समन्वय प्रणाली ओ एक्स सी डायरेक्ट में निर्दिष्ट करता है, जो ऑक्स अक्ष के समानांतर है, क्योंकि किसी भी वैध मान एक्स के साथ, वैरिएबल वाई एक मूल्य लेगा - सी बी। दूसरे शब्दों में, सामान्य समीकरण एक x + b y + c \u003d 0 प्रत्यक्ष है, जब ए \u003d 0, ≠ 0 में, अंक (x, y) के ज्यामितीय स्थान सेट करता है, जिनमें से एक ही संख्या के बराबर होता है - सी बी।
2. यदि a \u003d 0, ≠ 0 में, सी \u003d 0, सामान्य समीकरण फ़ॉर्म y \u003d 0 लेता है। इस तरह के एक अधूरा समीकरण Abscissa एक्सिस ओ एक्स निर्धारित करता है।
3. जब ≠ 0, बी \u003d 0, सी ≠ 0, हम एक अपूर्ण सामान्य समीकरण एक एक्स + सी \u003d 0 प्राप्त करते हैं, जो आदेश के सीधे, समांतर धुरी निर्दिष्ट करते हैं।
4. एक ≠ 0, बी \u003d 0, सी \u003d 0 दें, फिर अपूर्ण सामान्य समीकरण फॉर्म x \u003d 0 ले जाएगा, और यह समन्वय प्रत्यक्ष ओ y का समीकरण है।
5. अंत में, ≠ 0 पर, ≠ 0, सी \u003d 0 में, अपूर्ण सामान्य समीकरण फ़ॉर्म को x + b y \u003d 0 लेता है। और यह समीकरण एक सीधी रेखा का वर्णन करता है जो निर्देशांक की उत्पत्ति से गुजरता है। वास्तव में, संख्याओं की जोड़ी (0, 0) समानता के अनुरूप x + b y \u003d 0, a · 0 + b · 0 \u003d 0 के बाद से।

हम ग्राफिक रूप से उपरोक्त सभी प्रकार के अपूर्ण रूप से सामान्य रेखा समीकरण को चित्रित करते हैं।

उदाहरण 1।

यह ज्ञात है कि निर्दिष्ट सीधी रेखा समन्वय की धुरी के समानांतर और बिंदु 2 7, - 11 के माध्यम से गुजरती है। निर्दिष्ट प्रत्यक्ष के सामान्य समीकरण को रिकॉर्ड करना आवश्यक है।

फेसला

ऑर्डिनेट की सीधी, समांतर धुरी एक एक्स + सी \u003d 0 के समीकरण द्वारा दिया जाता है, जिसमें ≠ 0। इसके अलावा, इस स्थिति को उस बिंदु के निर्देशांक द्वारा दिया जाता है जिसके माध्यम से प्रत्यक्ष, और इस बिंदु के निर्देशांक एक अपूर्ण सामान्य समीकरण की शर्तों से मेल खाते हैं x + c \u003d 0, यानी। सही समानता:

A · 2 7 + c \u003d 0

सी को परिभाषित करना संभव है यदि यह एक गैर-शून्य मान देता है, उदाहरण के लिए, ए \u003d 7। इस मामले में, हम प्राप्त करते हैं: 7 · 2 7 + सी \u003d 0 ⇔ सी \u003d - 2। हम दोनों गुणांक ए और सी जानते हैं, हम उन्हें समीकरण में एक एक्स + सी \u003d 0 में प्रतिस्थापित करते हैं और हम आवश्यक समीकरण प्रत्यक्ष प्राप्त करते हैं: 7 x - 2 \u003d 0

उत्तर: 7 x - 2 \u003d 0

उदाहरण 2।

ड्राइंग सीधी रेखा दिखाता है, इसके समीकरण को रिकॉर्ड करना आवश्यक है।

फेसला

उपर्युक्त चित्र हमें समस्या को हल करने के लिए आसानी से स्रोत डेटा लेने की अनुमति देता है। हम ड्राइंग में देखते हैं कि निर्दिष्ट सीधे समांतर धुरी ओ एक्स और बिंदु (0, 3) के माध्यम से गुजरता है।

प्रत्यक्ष, जो Abscissa की आंखों के समानांतर है, अधूरा सामान्य समीकरण b y + c \u003d 0 निर्धारित करता है। मान बी और सी खोजें। बिंदु (0, 3) के निर्देशांक, क्योंकि यह इसके माध्यम से एक निश्चित सीधी रेखा को पास करता है, वे समीकरण प्रत्यक्ष बी वाई + सी \u003d 0 को संतुष्ट करेंगे, फिर समानता समानता है: · 3 + c \u003d 0 में। शून्य के अलावा कुछ मूल्य के लिए निर्दिष्ट करें। मान लीजिए, \u003d 1 में, इस मामले में, समानता से · 3 + c \u003d 0 में हम सी: सी \u003d - 3 पा सकते हैं। ज्ञात मानों का उपयोग करें और सी, हम आवश्यक प्रत्यक्ष समीकरण प्राप्त करते हैं: वाई - 3 \u003d 0।

उत्तर: वाई - 3 \u003d 0।

सामान्य समीकरण विमान के निर्दिष्ट बिंदु के माध्यम से सीधे गुजर रहा है

निर्दिष्ट प्रत्यक्ष सीधे बिंदु एम 0 (x 0, y 0) के माध्यम से गुजरता है, फिर इसके निर्देशांक लाइन के सामान्य समीकरण के अनुरूप हैं, यानी सही समानता: एक x 0 + b y 0 + c \u003d 0। हम समग्र पूर्ण समीकरण के बाएं और दाएं भाग से इस समीकरण के बाएं और दाएं भागों को दूर करते हैं। हम प्राप्त करते हैं: ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + सी \u003d 0, यह समीकरण प्रारंभिक कुल के बराबर है, बिंदु एम 0 (x 0, y 0) के माध्यम से गुजरता है और एक सामान्य वेक्टर है n → \u003d (ए, बी)।

हमारे द्वारा प्राप्त परिणाम सीधे इस बिंदु के किसी बिंदु के प्रत्यक्ष और निर्देशांक के सामान्य वेक्टर के प्रसिद्ध निर्देशांक के साथ प्रत्यक्ष समीकरण को रिकॉर्ड करना संभव बनाता है।

उदाहरण 3।

बिंदु एम 0 (- 3, 4), जिसके माध्यम से सीधी रेखा गुजरती है, और इस सीधे के सामान्य वेक्टर N → \u003d (1, - 2)। प्रत्यक्ष दिए गए समीकरण को रिकॉर्ड करना आवश्यक है।

फेसला

प्रारंभिक स्थितियां हमें समीकरण की तैयारी के लिए आवश्यक डेटा प्राप्त करने की अनुमति देती हैं: ए \u003d 1, बी \u003d - 2, एक्स 0 \u003d - 3, वाई 0 \u003d 4। फिर:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) \u003d 0 ⇔ 1 · (एक्स - (3)) - 2 · वाई (वाई - 4) \u003d 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 \u003d 0

कार्य अन्यथा हल किया जा सकता है। सामान्य समीकरण प्रत्यक्ष में एक x + b y + c \u003d 0 है। निर्दिष्ट सामान्य वेक्टर आपको गुणांक ए और बी के मूल्यों को प्राप्त करने की अनुमति देता है, फिर:

एक x + b y + c \u003d 0 ⇔ 1 · x - 2 · y + c \u003d 0 ⇔ x - 2 · y + c \u003d 0

अब हम कार्य की निर्दिष्ट स्थिति का उपयोग करके मूल्य सी पाएंगे, बिंदु एम 0 (- 3, 4) जिसके माध्यम से प्रत्यक्ष है। इस बिंदु के निर्देशांक समीकरण एक्स - 2 · वाई + सी \u003d 0, यानी के अनुरूप हैं। - 3 - 2 · 4 + सी \u003d 0। इसलिए सी \u003d 11। आवश्यक समीकरण प्रत्यक्ष फ़ॉर्म लेता है: x - 2 · y + 11 \u003d 0।

उत्तर: एक्स - 2 · वाई + 11 \u003d 0।

उदाहरण 4।

प्रत्यक्ष 2 3 एक्स - वाई दिया गया है - 1 2 \u003d 0 और बिंदु एम 0, इस सीधी रेखा पर झूठ बोल रहा है। केवल इस बिंदु का एब्सिसा ज्ञात है, और यह 3 के बराबर है। निर्दिष्ट बिंदु के क्रम को परिभाषित करना आवश्यक है।

फेसला

बिंदु m 0 के रूप में x 0 और y 0 के निर्देशांक के पदनाम निर्दिष्ट करें। स्रोत डेटा में यह संकेत दिया जाता है कि x 0 \u003d - 3। चूंकि बिंदु किसी दिए गए प्रत्यक्ष से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि इसके निर्देशांक इस पंक्ति के कुल समीकरण को पूरा करते हैं। फिर समानता सच होगी:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 \u003d 0

निर्धारित वाई 0: 2 3 · (- 3) - वाई 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - वाई 0 \u003d 0 ⇔ वाई 0 \u003d - 5 2

उत्तर: - 5 2

सामान्य समीकरण से संक्रमण अन्य प्रकार के समीकरणों को प्रत्यक्ष और पूर्व में प्रत्यक्ष है

जैसा कि हम जानते हैं, इसके कई प्रकार के समीकरण और विमान पर समान प्रत्यक्ष हैं। समीकरण के दृष्टिकोण की पसंद समस्या की स्थितियों पर निर्भर करता है; यह चुनना संभव है कि इसे हल करने के लिए अधिक सुविधाजनक है। यहां एक प्रजाति के समीकरण को किसी अन्य प्रजाति के समीकरण में परिवर्तित करना बहुत उपयोगी है।

शुरू करने के लिए, हम फॉर्म के सामान्य समीकरण से एक एक्स + बी वाई + सी \u003d 0 को कैननिकल समीकरण एक्स - एक्स 1 ए एक्स \u003d वाई - वाई 1 ए वाई में संक्रमण पर विचार करते हैं।

यदि ए और ≠ 0, तो हम बी वाई को सामान्य समीकरण के दाईं ओर के हिस्से में स्थानांतरित करते हैं। बाएं हिस्से में हम कोष्ठक के लिए एक सहन करते हैं। नतीजतन, हमें मिलता है: एक एक्स + सी ए \u003d - बी वाई।

इस समानता को अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: एक्स + सी ए - बी \u003d वाई ए।

मामले में यदि ≠ 0 में, हम समीकरण के बाएं हिस्से में केवल एक एक्स शब्द शब्द में छोड़ देते हैं, तो दूसरा दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है, हम प्राप्त करते हैं: एक एक्स \u003d - बी वाई - सी। हम सहन करते हैं - ब्रैकेट में, फिर: एक एक्स \u003d - बी वाई + सी बी।

हम अनुपात के रूप में समानता को फिर से लिखते हैं: एक्स - बी \u003d वाई + सी बी ए।

बेशक, परिणामी सूत्रों को याद रखने के लिए आवश्यक नहीं है। सामान्य समीकरण से कैनोलिक में संक्रमण में कार्य एल्गोरिदम को जानना पर्याप्त है।

उदाहरण 5।

सामान्य समीकरण 3 y-4 \u003d 0 पर सेट है। इसे कैनोलिक समीकरण में परिवर्तित करना आवश्यक है।

फेसला

हम प्रारंभिक समीकरण 3 वाई -4 \u003d 0 के रूप में लिखते हैं। इसके बाद, हम एल्गोरिदम के अनुसार कार्य करते हैं: टर्म 0 एक्स बाईं ओर में शेष है; और सही हिस्से में, हम सहन करते हैं - ब्रैकेट के लिए 3; हमें मिलता है: 0 x \u003d - 3 y - 4 3।

हम अनुपात के रूप में प्राप्त समानता लिखते हैं: x - 3 \u003d y - 4 3 0। तो, हमें कैनोनिकल प्रजातियों का समीकरण मिला।

उत्तर: एक्स - 3 \u003d वाई - 4 3 0.

सामान्य समीकरण सीधे पैरामीट्रिक को बदलने के लिए, पहले संक्रमण को कैनोलिक रूप में संक्रमण करें, और फिर कैननिकल समीकरण से संक्रमण पैरामीट्रिक समीकरणों के लिए सीधे है।

उदाहरण 6।

डायरेक्ट समीकरण 2 एक्स - 5 वाई - 1 \u003d 0 द्वारा सेट किया गया है। इस सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों को रिकॉर्ड करें।

फेसला

हम सामान्य समीकरण से कनौनिक तक संक्रमण करते हैं:

2 x - 5 y - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 5 ⇔ x 5 \u003d y + 1 5 2

अब हम λ के बराबर प्राप्त कैनोलिक समीकरण के दोनों हिस्सों को ले लेंगे, फिर:

x 5 \u003d λ y + 1 5 2 \u003d λ ⇔ x \u003d 5 · λ y \u003d - 1 5 + 2 · λ, λ ∈ आर

उत्तर: x \u003d 5 · λ y \u003d - 1 5 + 2 · λ, λ ∈ आर

सामान्य समीकरण को एक कोणीय गुणांक y \u003d k x + b के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है, लेकिन केवल ≠ 0 में। बाएं हिस्से में संक्रमण के लिए, हम बी वाई शब्द छोड़ते हैं, शेष को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। हम प्राप्त करते हैं: बी वाई \u003d - एक एक्स - सी। हम बी पर प्राप्त समानता के दोनों हिस्सों को विभाजित करते हैं, शून्य से अलग: y \u003d - एक बी एक्स - सी बी।

उदाहरण 7।

सामान्य समीकरण सेट किया गया है: 2 x + 7 y \u003d 0। समीकरण को एक कोणीय गुणांक के साथ समीकरण को परिवर्तित करना आवश्यक है।

फेसला

हम एल्गोरिदम पर आवश्यक कार्यों का उत्पादन करेंगे:

2 x + 7 y \u003d 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y \u003d - 2 7 x

उत्तर: Y \u003d - 2 7 x।

सामान्य समीकरण से, डायरेक्ट एक्स ए + वाई बी \u003d 1 के सेगमेंट में समीकरण प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है। इस तरह के एक संक्रमण को पूरा करने के लिए, हम संख्या सी को समानता के दाहिने हिस्से में स्थानांतरित करते हैं, हम प्राप्त समानता के दोनों हिस्सों को विभाजित करते हैं - सी और अंततः, हम चर के साथ गुणांक स्थानांतरित करते हैं x और y:

एक एक्स + बी वाई + सी \u003d 0 ⇔ ए एक्स + बी वाई \u003d - सी ⇔ ⇔ ए - सी एक्स + बी - सी वाई \u003d 1 ⇔ एक्स - सी ए + वाई - सी बी \u003d 1

उदाहरण 8।

सामान्य समीकरण प्रत्यक्ष x - 7 y + 1 2 \u003d 0 को सीमांकन में सीधे समीकरण में बदलना आवश्यक है।

फेसला

हम 1 2 को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं: x - 7 y + 1 2 \u003d 0 ⇔ x - 7 y \u003d - 1 2।

हम समानता के दोनों हिस्सों में -1/2 में विभाजित होते हैं: x - 7 y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1।

उत्तर: एक्स - 1 2 + वाई 1 14 \u003d 1।

आम तौर पर, वापसी संक्रमण भी स्थित है: अन्य प्रकार के समीकरण से सामान्य व्यक्ति तक।

समीकरण सेगमेंट में प्रत्यक्ष है और एक कोणीय गुणांक के साथ एक समानता के बाईं ओर में सभी शर्तों को एकत्र करके, कोणीय गुणांक के साथ एक समीकरण है:

एक्स ए + वाई बी ⇔ 1 ए एक्स + 1 बी वाई - 1 \u003d 0 ⇔ ए एक्स + बी वाई + सी \u003d 0 वाई \u003d के एक्स + बी ⇔ वाई - के एक्स - बी \u003d 0 ⇔ ए एक्स + बी वाई + सी \u003d 0

कैनोलिक समीकरण कुल निम्नलिखित योजना में परिवर्तित हो गया है:

x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay ⇔ ay · (x - x 1) \u003d ax (y - y 1) ⇔ ⇔ Ayx - अक्ष - AIX 1 + अक्ष 1 \u003d 0 ⇔ ⇔ x + b y + c \u003d 0।

पैरामीट्रिक से स्थानांतरित करने के लिए, संक्रमण को संक्रमण, और फिर कुल:

x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ⇔ a x + b y + c \u003d 0

उदाहरण 9।

पैरामीट्रिक समीकरण X \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 को निर्देशित करने के लिए सेट हैं। इस लाइन के सामान्य समीकरण को रिकॉर्ड करना आवश्यक है।

फेसला

हम पैरामीट्रिक समीकरणों से कनौनिक तक संक्रमण करते हैं:

x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 + 0 · λ ⇔ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 4 0

चलो कैनोनिकल से कुल तक जाते हैं:

x + 1 2 \u003d y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) \u003d 2 (y - 4) ⇔ y - 4 \u003d 0

उत्तर: वाई - 4 \u003d 0

उदाहरण 10।

समीकरण सेगमेंट x 3 + y 1 2 \u003d 1 में लाइन पर सेट किया गया है। कुल समान समीकरण में संक्रमण को पूरा करना आवश्यक है।

फेसला:

आवश्यक रूप में समीकरण को फिर से लिखें:

x 3 + y 1 2 \u003d 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0

उत्तर: 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0।

एक सामान्य प्रत्यक्ष समीकरण ड्राइंग

ऊपर, हमने इस तथ्य के बारे में बात की कि सामान्य समीकरण सामान्य वेक्टर के प्रसिद्ध निर्देशांक और उस बिंदु के निर्देशांक के साथ लिखा जा सकता है जिसके माध्यम से सीधी रेखा गुजरती है। इस तरह के प्रत्यक्ष समीकरण ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) \u003d 0 द्वारा निर्धारित किया जाता है। हमने एक उपयुक्त उदाहरण भी अलग किया।

अब अधिक जटिल उदाहरणों पर विचार करें जिसमें शुरुआत के लिए सामान्य वेक्टर के निर्देशांक को निर्धारित करना आवश्यक है।

उदाहरण 11।

एक सीधी रेखा, समानांतर प्रत्यक्ष 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0। बिंदु एम 0 (4, 1) भी ज्ञात है, जिसके माध्यम से निर्दिष्ट सीधी रेखा गुजरती है। प्रत्यक्ष दिए गए समीकरण को रिकॉर्ड करना आवश्यक है।

फेसला

शुरुआती स्थितियां हमें बताती हैं कि सीधे समानांतर, जबकि सामान्य वेक्टर सीधे होता है, जिसके समीकरण को लिखने की आवश्यकता होती है, गाइड वेक्टर डायरेक्ट एन → \u003d (2, 3): 2 एक्स - 3 वाई + 3 \u003d 0 । अब हम एक सामान्य रेखा समीकरण तैयार करने के लिए सभी आवश्यक डेटा जानते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) \u003d 0 ⇔ 2 (एक्स - 4) - 3 (वाई - 1) \u003d 0 ⇔ 2 एक्स - 3 वाई - 5 \u003d 0

उत्तर: 2 x - 3 y - 5 \u003d 0।

उदाहरण 12।

निर्दिष्ट प्रत्यक्ष सीधे लाइन x - 2 3 \u003d y + 4 5 के लिए लंबवत निर्देशांक के मूल के माध्यम से गुजरता है। किसी दिए गए सीधी रेखा का सामान्य समीकरण बनाना आवश्यक है।

फेसला

निर्दिष्ट सीधे वेक्टर प्रत्यक्ष वेक्टर डायरेक्ट एक्स - 2 3 \u003d वाई + 4 5 होगा।

फिर n → \u003d (3, 5)। निर्देशांक की उत्पत्ति के माध्यम से प्रत्यक्ष पास, यानी बिंदु ओ (0, 0) के माध्यम से। आइए एक सामान्य समीकरण प्रत्यक्ष रूप से दिए गए हैं:

ए (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) \u003d 0 ⇔ 3 x + 5 y \u003d 0

उत्तर: 3 x + 5 y \u003d 0।

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विभाग VI।

समीकरणों का परिवर्तन।

___________

1 डिग्री समीकरणों का समाधान और संकलन

§ 5. एक unshort के साथ एक समीकरण ड्राइंग।

कोई भी अंकगणितीय कार्य यह है कि गैर-मजबूत जांचों पर और इन मुफ्त मूल्यों और अन्य, अज्ञात के बीच इन अनुपातों के अनुसार, नहीं मिले हैं। बीजगणित अंकगणितीय कार्यों को आरक्षित करने का एक विशेष तरीका देता है। यह विधि इस तथ्य पर आधारित है कि अंकगणितीय कार्यों की मौखिक रूप से स्पष्ट स्थितियों को बीजगणितीय भाषा में अनुवादित किया जा सकता है, यानी बीजगणित सूत्रों द्वारा व्यक्त किया गया।

सामान्य रूप से बीजगणितीय भाषा पर समस्या की अभिव्यक्तिपूर्ण स्थितियों के शब्दों और अभिव्यक्तिपूर्ण स्थितियों का अनुवाद सूत्र कहा जाता है।

समस्या की शर्तों के मुताबिक, एक अज्ञात के समीकरण का अर्थ है कि यह बीजगणितीय भाषा पर इन स्थितियों का अनुवाद कर रहा है ताकि इन शर्तों का पूरा सेट एक समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सके, जो एक अज्ञात है। इसके लिए यह आवश्यक है कि समस्या की शर्तों के बीच स्वतंत्र अलग-अलग समस्याओं की संख्या में अज्ञात संख्या के बराबर है।

इन कार्यों को पूरा करने वाले समीकरणों के संकलन को प्राप्त करने के कार्यों की चरम विविधता को देखना बेहद विविधतापूर्ण है। शुद्ध समीकरणों के संकलन के लिए सामान्य नियम। लेकिन एक सामान्य संकेत है जो जब हम बीजगणितीय भाषा के लिए कार्य के लिए शर्तों का अनुवाद करते हैं तो हमारे तर्क का नेतृत्व करते हैं और हमें अंतिम सीई की उपलब्धि में जाने के लिए तर्क की शुरुआत से अनुमति देते हैं। यह एक सामान्य संकेत है, या समीकरण की संरचना का सामान्य सिद्धांत है, हम एक लूट व्यक्त करेंगे:

कार्य की शर्तों को बनाने के लिए, एक अज्ञात के समीकरण, आपको इसकी आवश्यकता है:

1) अज्ञात के बीच चयन करें, जो कार्य में हैं या सीधे संकेतित हैं, या इसका मतलब है, कुछ पहले के लिए स्वीकार्य है, और इसे कुछ पत्रों को एकजुट करने के लिए नामित करता है, उदाहरण के लिए, एच ;

2) इस पदनाम और पदनामों के माध्यम से, कार्य में डेटा, जो सभी मूल्यों को व्यक्त करने के लिए सीधे बोलता है, या जो इस तरह के अभिव्यक्तियों की तैयारी को देखते हुए निहित किया जाता है, धीरे-धीरे के कार्य में सभी डेटा को ध्यान में रखा जाता है संख्या और सभी को डेन या स्थिति के अज्ञात मूल्यों से संबंधित;

3) संकलित या बस रिकॉर्ड किए गए अभिव्यक्तियों के बीच खोजने के लिए सभी स्थितियों की इस तरह की भागीदारी की इस तरह की भागीदारी के पद, जो इन स्थितियों में से एक के आधार पर, अपने आप के बीच बराबर होना चाहिए, और इन अभिव्यक्तियों का व्यापार करने के लिए समानता का संकेत है।

इस सिद्धांत को दो कार्यों को भेजने के लिए स्वीकार करें:

कार्य 1 I. एक वॉलेट में सिक्के की संख्या दो दोगुनी छोटी है, यहां तक \u200b\u200bकि दूसरे में भी। यदि आप पहले छह सिक्का से बाहर निकलते हैं, और दूसरे में आठ सिक्कों को जोड़ने के लिए, तो पहले में सीओईएस की संख्या सात गुना meee, दूसरे में रसायन होगी। पता लगाएं कि हर बटुए में कितने सिक्के?

यह कार्य उल्लेखनीय है या बहुत अज्ञात मूल्य नहीं है। हम सहकर्मी बटुए के सिक्कों की पहली अज्ञात संख्या के लिए और इसके माध्यम से मान्यता प्राप्त करेंगे एक्स। हम उन सभी मूल्यों के अर्थ को प्रोत्साहित करेंगे जिनके लिए कार्य की शर्तें हैं।

साथी साथी पर्स की संख्या है एच । दूसरे और पहले वाललेट्स में सिक्कों की संख्या को याद करें 2 । तो दूसरी बिल्ली के सिक्कों की संख्या 2एक्स।

सहकर्मी से, बाहर ले जाओ 6 मोन। इसलिए, पहली बिल्ली में एक सुसंगत रहेगा एच -6 .

दूसरे ऐड में 8 सिक्के। नतीजतन, दूसरे वॉलेट में सिक्के होंगे 2एच +8 । दूसरे के सिक्कों और पहले वॉलेट की संख्या के बीच नया संबंध है। यह भी बराबर है 7 । इस आधार पर, समीकरण को हल करके किया जाता है, हम प्राप्त करते हैं एक्स \u003d 10 , जिसके बाद अन्य अज्ञात की पहचान करना मुश्किल नहीं है, जिसके बारे में हमने यहां उल्लेख किया है।

अगर हमें दूसरे वॉलेट के सिक्कों की पहली अज्ञात संख्या के लिए स्वीकार किया गया था और इसे पिछले पदनाम से अलग करने के लिए नामित किया जाएगा डब्ल्यू , यह एक और समीकरण बनने के लिए कितना आसान है, यह है ( डब्ल्यू + 8 ):( डब्ल्यू / 2 -6 )=7 जो कार्य को भी अनुमति देता है और उत्तर देता है डब्ल्यू=20 .

पहले अज्ञातों के लिए इसे बाहर निकालने के बाद पहले वॉलेट में MONVT संख्या की संख्या लेना संभव होगा। 6 सिक्के; फिर, इसे अज्ञात को दर्शाते हुए जेड और उसी तरह जा रहा है जैसे हम पहले समीकरण की तैयारी में चले गए, हमें समीकरण मिलेगा से! जेड = 4 .

लेकिन समीकरण के मार्ग को बदलना संभव होगा, उदाहरण के लिए, इस तथ्य से कि हम पहले सिक्कों की संख्या के बीच संशोधित संबंधों को ध्यान में रखते हैं, और समीकरण के संकलन के बारे में भी आधारित होगा जो इसके बारे में जानता है प्रारंभिक संबंध इस मामले में, समीकरण का संकलन इस तरह किया जाएगा:

गणना के बाद पहले वॉलेट के सिक्कों की संख्या वहाँ है जेड । की तैनाती 6 सिक्के। तो पहले वॉलेट के सिक्कों की प्रारंभिक संख्या z +।6. सिक्के संख्याओं के बीच संशोधित संबंध 7 । इसलिए, दूसरे वॉलेट के सिक्कों की एक संशोधित संख्या 7जेड जोड़ा 8 सिक्के। नतीजतन, दूसरे वॉलेट के सिक्कों की प्रारंभिक संख्या 7जेड - 8 । सिक्कों की संख्या के बीच प्रारंभिक संबंध यह बराबर है 2 । इस आधार पर, हमारे पास पिछले एक के साथ संयुक्त रूप से एक समीकरण है, हालांकि इससे अलग है।

यदि, इस दूसरे तरीके से जा रहा है, तो हमने इसे जोड़ने के बाद दूसरे वॉलेट के पहले अज्ञात संख्या के लिए स्वीकार किया 8 सिक्के, फिर, मतभेदों के लिए इसे अज्ञात को दर्शाते हुए तथा समीकरण मिलेगा ( तथा -8 ):( तथा / 7 + 6 )=2 से! तथा =28 .

ये स्पष्टीकरण बताते हैं कि, समीकरणों की तैयारी के लिए एक ही सामान्य नियम द्वारा निर्देशित, हमें अभी भी इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए प्रत्येक कार्य में कई प्रकार मिलते हैं। सबसे अच्छा तरीका यह है कि आसान काम की शर्तों को व्यक्त करता है और संकलन के लिए और समीकरण को हल करने के लिए तेजी से लीड करता है। इस मामले में, पहले और तीसरे तरीके समीकरण को हल करने के लिए समान रूप से सुविधाजनक हैं, लेकिन पहला अभी भी आसान है और इसलिए बाकी से बेहतर है।

समीकरणों को चित्रित करने के निर्दिष्ट नियम को लागू करके, यह याद रखना चाहिए कि किसी भी ईएडीचा की सटीकता में, प्रत्येक दिए गए नंबर और प्रत्येक स्पष्ट स्थितियों को ध्यान में रखा जाना चाहिए।

कार्य 2। शहर से लेकिन अ दिन में गुजरने वाले यात्री बाहर आ रहे हैं 20 जरूर। दो दिन बाद, वह शहर से बाहर आता है में एक और यात्री जो दैनिक से गुजरता है 30 जरूर। बीच की दूरी लेकिन अ तथा में समान रूप से 190 जरूर। क्या यह पूछ रहा है कि दोनों यात्री कब मिलेगा?

पहला रास्ता। हम बाहर निकलने वाले पहले यात्री के आंदोलन के पहले अज्ञात समय को ले लेंगे लेकिन अ बैठक से पहले, और आखिरी स्थिति में कि दूरी के बीच की दूरी पर लेकिन अ तथा में समान रूप से 190 जरूर। तब तर्क तो नेतृत्व किया जाएगा:

Iirolims कि पहली बैठक में गया था एच दिन। हर दिन वह पारित हो गया 20 जरूर। इसलिए उसने सब कुछ दिया 20एच जरूर।

दूसरा बाद में बाहर आया 2 दिन। तो वह बैठक में चला गया एच -2 दिन। हर दिन वह पारित हो गया 30 जरूर। नतीजतन, उसने सब कुछ पारित किया 30 (एच -2 ) जरूर। एक साथ दोनों यात्री पास हुए [ 20एच + 30 (एच -2 )] के नीचे। के बीच की सभी दूरी लेकिन अ तथा में समान रूप से 190 जरूर। इस आधार पर, हम समीकरण पाते हैं

20एच + 30 (एच -2 ) =190 ,

से एक्स \u003d5 । इससे हम देखते हैं कि पहला यात्री चला गया 5 दिन और पास 100 मील, दूसरा चला गया 3 दिन और पास 90 जरूर।

दूसरा रास्ता। हम पहली यात्री द्वारा बैठक से बाहर निकलने के लिए पहली अज्ञात दूरी तय करेंगे, और आखिरी स्थिति में कि दूसरा यात्री बाद में पहले से बाहर आया था 2 दिन। फिर तर्क इस तरह से व्यवहार करेगा:

हम मानते हैं कि पहली बैठक में गई डब्ल्यू जरूर। हर दिन वह पारित हो गया 20 जरूर। इसलिए वह सब कुछ चला गया डब्ल्यू / 20 दिन।

दूसरा पूरा हुआ ( 190 -डब्ल्यू ) जरूर। हर दिन वह पारित हो गया 30 जरूर। तो वह बस दिनों में चला गया।

दोनों के आंदोलन के समय के बीच का अंतर है और बराबर है 2 । इसलिए, हम समीकरण पाते हैं से! डब्ल्यू =100 .

तीसरा रास्ता। पहला अज्ञात दूसरे यात्री के आंदोलन से बाहर निकलने का समय है में आपको देखें, आखिरी स्थिति यह है कि पहला पूरक दैनिक रूप से गुजरता है 20 जरूर।

हमने कहा कि दूसरा बैठक में जाता है जेड दिन। तो पहला पास होगा ( जेड +2 ) दिन। से गुजरना 30 वर्टिक, दूसरा सब होगा 30जेड जरूर। चूंकि दोनों को जाने की आवश्यकता है 190 जरूरी है, तो पहला रहेगा ( 190 -30जेड ) जरूर। ऐसा करने के लिए, उन्हें प्रतिदिन दैनिक पर करना चाहिए। चूंकि यह अभिव्यक्ति बराबर है 20 फिर समीकरण प्राप्त किया जाता है, जहां से z \u003d 3।

चौथा तरीका।पहला अज्ञात बैठक में दूसरे यात्री द्वारा यात्रा की गई दूरी है, अंतिम शर्त यह है कि दूसरा पहले के 10 वें संस्करणों के माध्यम से जाता है।

हम मानते हैं कि दूसरा बैठक में पारित हो गया तथा जरूर। इसका मतलब है कि पहला अभी भी रहा ( 190 -तथा ) जरूर। दूसरे के रिलीज से पहले, वह पहले ही पास हो चुका है 40 एक जाल, फिर दूसरे की रिहाई के बाद वह अभी भी जाने में सक्षम था ( 150 -तथा ) जरूर। दोनों के साथ एक साथ गुजरने वाली दूरी में अंतर है ( 2तथा-150 ) जरूर। उनके समग्र आंदोलन का समय है तथा / 30 दिन। जिंदा, दूसरा दिन पहले की तुलना में अधिक गुजरता है ( 2तथा-150 ) : तथा / 30 जरूर। चूंकि यह अभिव्यक्ति बराबर है 10 , फिर समीकरण प्राप्त करें ( 2तथा-150 ) : तथा / 30 =10 जो देता है तथा = 90 .

पिछली स्पष्टीकरण से पता चलता है कि एक ही कार्य में समीकरणों की तैयारी के लिए विधियों की विविधता लगातार मूल्यवान मूल्यों और शर्तों को ध्यान में रखते हुए लगातार किए गए क्रम के क्रम पर निर्भर करती है।

231. दो चेहरों में 38 रूबल हैं, और पहले 6 वें नियमों में दूसरे की तुलना में अधिक पैसा है। प्रत्येक से कितना पैसा?

231. दो चेहरों में 114 रूबल हैं, और पहले 18 वें नियमों में दूसरे की तुलना में अधिक पैसा है। हर किसी के लिए कितना पैसा?

232. विंडोज 15 की एक खिड़की में दूसरे की तुलना में कम, दोनों सदनों में 51 खिड़कियां। प्रत्येक में कितनी खिड़कियां?

232. विंडोज 6 की एक विंडो में दूसरे की तुलना में कम; कुल मिलाकर, दोनों सदनों में 62 खिड़कियां। प्रत्येक में कितनी खिड़कियां?

233. दो जेब में 81 रूबल हैं। पहला पैसा दूसरे की तुलना में दोगुना छोटा है। प्रत्येक में कितना पैसा?

233. दो जेब में 72 रूबल हैं। पहला पैसा दूसरे की तुलना में पांच गुना कम है। प्रत्येक में कितना पैसा?

234. पिता पुत्र यात्रा से बड़े हैं, और उनमें से दोनों का योग 48 साल पुराना है। दोनों की उम्र निर्धारित करें।

234. पिता आधे में पुत्र से बड़ा है, और दोनों वर्षों की राशि 13 साल के बराबर है। दोनों की उम्र निर्धारित करें।

235. पुत्र सभी की तुलना में छोटा है, और उनके वर्षों का अंतर 27 वर्षों के बराबर है। प्रत्येक कैसे मरना है?

235. पिता के पिता से छोटा बेटा, और अंतर 32 वर्ष का है। हर कोई कितना पुराना है?

236. तीन टोकरी में 47 सेब हैं, और पहली और दूसरी पंक्ति में, और तीसरे से 2 सेब में दूसरों की तुलना में अधिक है। प्रत्येक टोकरी में कितने सेब?

236. तीन टोकरी में 110 सेब हैं, और पहले और तीसरे बराबर में, और दूसरे में 4 से अधिक सेब के लिए प्रत्येक में कम से कम। प्रत्येक टोकरी में कितने सेब?

237. चांदी के तीन टुकड़े 48 पाउंड एक साथ वजन करते हैं। पहला 12 एफ से भारी है। और पहले 9 पाउंड का तीसरा कठिन। प्रत्येक टुकड़ा कितना वजन करता है?

237. चांदी के तीन टुकड़े एक साथ 33 एफ वजन करते हैं .. पहला प्रति 5 पाउंड का पहला व्यक्ति है, और तीसरा पहले 2 पाउंड के लिए आसान है। प्रत्येक टुकड़ा कितना वजन करता है?

238. 5 साल के लिए 20 साल और उससे अधिक उम्र की बेटी के लिए पिता से छोटा बेटा। सभी तीन वर्षों की राशि 60 साल के बराबर है। हर कोई कितना पुराना है

238. मां 21 साल के लिए बेटे से बड़ी है और पिता से 7 साल तक छोटी है। तीनों के वर्षों की राशि 64 साल के बराबर है। हर कोई कितना पुराना है?

239. तीन अलमारियों पर केवल 66 किताबें हैं, और नीचे तीन बार, और मध्य दोगुनी ऊपर जितनी ऊपर है। प्रत्येक शेल्फ पर कितनी किताबें?

23 9. तीन अलमारियों पर केवल 60 किताबें हैं, और नीचे छह गुना अधिक, और औसत से पांच गुना अधिक पर। प्रत्येक शेल्फ पर कितनी किताबें?

240. वन, बगीचे और घास का मैदान एक साथ 10800 पी .. मीडो बगीचे की तुलना में 2 बार अधिक महंगा है, और जंगल तीन बार घास की तुलना में अधिक कीमती है। उनमें से प्रत्येक अलग से क्या है?

240. वन, बगीचे और घास का मैदान 17600 पी एक साथ खड़े हो जाओ .. जंगल 3 बार बगीचे की तुलना में अधिक महंगा है, और जंगल की लग 4 बार। उनमें से प्रत्येक अलग से क्या है?

241. संख्या 21 को दो हिस्सों में विभाजित करें ताकि दूसरे भाग के पहले भाग का दूसरा अंश 3/4 है।

241. संख्या 48 को दो हिस्सों में विभाजित करें, इसलिए, दूसरे भाग की पसंद का बिंदु पहले दूसरे भाग का परिणाम था।

242. संख्या 88 को ऐसे दो हिस्सों को विभाजित करें ताकि 5 से पहले भाग के विभाजन से निजी हो, और दूसरा 6 बराबर था।

242. संख्या 55 को ऐसे दो हिस्सों को विभाजित करने के लिए ताकि 7 से पहले भाग के विभाजन से निजी हो। दूसरा 4 के बराबर था।

243. दो संख्या 85 का योग, और उनके अंतर 15. दोनों संख्याओं को खोजें।

243. दो संख्या 72 की राशि, और उनके अंतर 8. दोनों संख्याओं को खोजें।

244. दो संख्या 8 का अंतर, और उनमें से एकाधिक अनुपात अंश 3/2 है। इन नंबरों को बढ़ाएं।

244. दो संख्या 12 का अंतर, और उनमें से एकाधिक अनुपात अंश 5/3 है। इन नंबरों को ढूंढें।

245. संख्या 46 को दो घंटे में विभाजित करें ताकि पहले भाग के विभाजन से 3 और दूसरे से 7 के अंतर के बीच अंतर 2 था।

245. संख्या 59 को दो भागों में अलग करें ताकि पहले भाग के विभाजन में अंतर 3 और दूसरे से 5 में अंतर 1 1 है।

246. संख्या 75 को दो भागों में विभाजित करें ताकि दोनों भागों के बीच तीन अंतर।

246. संख्या 56 को दो हिस्सों में अलग करें ताकि छोटे हिस्से दोनों भागों के बीच तीन-बार अंतर से अधिक हो।

247. दो संख्याओं का योग 64. कम से कम एक बड़ी संख्या को विभाजित करते समय, यह निजी 3 और अवशेष में निकलता है 4. इन संख्याओं को ढूंढें।

247. दो संख्याओं का योग 45. एक छोटे से एक बड़ी संख्या को विभाजित करते समय, यह निजी 5 और अवशेष में निकलता है 3. इन नंबरों को ढूंढें।

248. दो संख्याओं का अंतर 35 है। कम संख्या में विभाजित करते समय, यह निजी 4 और अवशेष में बाहर निकलता है 2. इन संख्याओं को ढूंढें।

248. दो नंबर 23 का अंतर। कम संख्या में विभाजित करते समय, यह निजी 2 में और अवशेष 11 में निकलता है। इन नंबरों को ढूंढें।

249. अज्ञात दो संख्याओं में से एक 5 पर एक से अधिक है। यदि आप एक छोटी संख्या को 4 से विभाजित करते हैं, और 3 से अधिक, तो पहला निजी दूसरे से 4 कम होगा। दोनों संख्या खोजें।

24 9. दो अज्ञात संख्याओं में से एक 15 से अधिक है। यदि इसे बड़ी संख्या में विभाजित किया गया है, और 2 से कम, तो पहले निजी को दूसरे से 3 कम करने के लिए। दोनों संख्या खोजें।

250. दो अज्ञात संख्याओं में से एक 6 पर एक से कम है। यदि यह आधे में एक बड़ी संख्या में बांटा गया है, तो प्राप्त निजी एक और संख्या से कम तीन इकाइयां होगी। दोनों संख्या खोजें।

250. दो अज्ञात संख्याओं में से एक 18 से कम है। यदि यह तीन की संख्या में बांटा गया है, तो प्राप्त निजी दो इकाइयां एक और संख्या से अधिक होगी। दोनों संख्या खोजें।

251. एक टैंक में दो बार पानी की तुलना में पानी; यदि आप पहले से दूसरी 16 बाल्टी तक पहुंचे हैं, तो दोनों पानी बराबर होंगे। प्रत्येक में कितना पानी?

251. एक जलाशय में, दूसरे की तुलना में तीन गुना अधिक पानी; यदि आप पहले 22 से पहले 22 बाल्टी से बाहर निकलते हैं, तो दोनों पानी बराबर होंगे, प्रत्येक में कितना पानी होगा?

252. दो तस्करी में बाजार में केवल 220 अंडे हैं; अगर उनमें से दूसरे ने पहले 14 अंडे दिए, तो उनमें से प्रत्येक अंडे की संख्या समान होती। कितने अंडे हैं?

252. बाजार में दो तस्करी में केवल 186 अंडे हैं; यदि उनमें से दूसरे ने पहले 10 अंडे दिए हैं, तो उनमें से प्रत्येक अंडे की संख्या समान होती। कितने अंडे हैं?

253. किसी के पास बाईं ओर की तुलना में सही जेब में rubles से 4 गुना अधिक है; यदि यह दाएं जेब से बाएं 6 आर तक स्थित है, तो दाईं ओर बाईं ओर केवल 3 गुना अधिक पैसा होगा। हर जेब में कितना पैसा?

253. बाईं ओर की तुलना में दाईं जेब में 3 गुना अधिक में कोई भी syet; यदि आप बाएं जेब से दाएं 5 रूबल में स्थानांतरित करते हैं, तो बाईं ओर की तुलना में पांच गुना अधिक पैसा होगा। हर जेब में कितना पैसा?

254. दो श्रमिकों के कारखाने की गणना करते समय, उनमें से पहले 12 रूबल के काम के लिए दूसरे से अधिक, और उसके बाद, उसके बाद, दूसरे कार्यकर्ता ने 2 रूबल का भुगतान किया। कर्ज। यह पता चला कि पहला घुड़सवार घर दूसरे से तीन गुना अधिक है। हर कोई कितना काम करता था?

254. दो श्रमिकों के कारखाने की गणना करते समय, उनमें से पहले को दूसरे से कम 20 रूबल मिला, लेकिन साथ ही दूसरा कार्यकर्ता उसके 2 रूबल लौट आया। कर्ज। यह पता चला कि पहला घुड़सवार घर दूसरे दो बार था। हर कोई कितना काम करता था?

255. एक लड़के के पास 30 कोपेक हैं, दूसरा 11 कोपेक है .. कितनी बार वे एक पैसा देने के लिए आते हैं ताकि पहला दूसरा दूसरे के रूप में दो गुना हो गया हो?

255. एक लड़के में 48 कोपेक हैं, एक और 22 कोपेक .. उन्हें कितनी बार एक कोपेक खर्च करना पड़ता है, ताकि पहली बार दूसरी तुलना में तीन गुना अधिक पैसा हो।

256. पिता 40 वर्ष, और पुत्र 12 साल। कितने साल पहले, पिता अपने वरिष्ठ बेटे में थे?

256. पिता 49 वर्ष, और पुत्र 11 साल। पिता के तीन गुना कितना पुराना होगा?

257. एक भूस्वामी की एक भेड़ें दूसरे की तुलना में चार गुना अधिक होती है। अगर दोनों 9 भेड़ें खरीदीं, तो पहली भेड़ दूसरे की तुलना में तीन गुना अधिक थी। कितने भेड़ें हैं?

257. एक प्रेमोक में एक भेड़ें दूसरे की तुलना में तीन गुना कम होती है। यदि दोनों 10 भेड़ पर बेचे गए थे, तो पहला दूसरे की तुलना में कम भेड़ कम हो जाएगा। कितने भेड़ें हैं?

258. पिता अपने बेटे की तुलना में 39 साल से अधिक पुराना है, और 7 साल बाद बूढ़ा बेटा 4 गुना होगा। दूसरा कितना पुराना है?

258. पिता और बेटे 88 साल पहले, और 8 साल पहले, उनके पिता 7 गुना से बड़े थे। दूसरा कितना पुराना है?

259. एक जलाशय 48 बाल्टी में, और 22 बाल्टी पानी में। पहले कास्ट पानी से दूसरे से दोगुना, और फिर पहले में तीन गुना अधिक पानी था। प्रत्येक से कितने बाल्टी डाली जाती हैं?

25 9. एक जलाशय 42 बाल्टी में, और अन्य 8 बाल्टी पानी में। पहले मूल्यवान पानी में दूसरे की तुलना में तीन गुना अधिक था, और फिर यह दूसरे की तुलना में पहले चार गुना अधिक पानी में निकला। प्रत्येक में कितने बाल्टी हैं?

260. कार्ड में अलग-अलग खेलते हुए दो चेहरे, खेल की शुरुआत में, पहले 72 रूबल, दूसरे 21 रूबल थे। पहले एक दूसरे से पहले तीन गुना अधिक खो गया। खेल के बाद दूसरे की तुलना में पहले दो गुना अधिक पैसा निकला। दूसरा कितना जीता और पहले खो गया?

260. कार्ड में अलग-अलग खेलते हुए दो चेहरे, खेल की शुरुआत में पहले 25 रूबल थे, दूसरे 12 रूबल थे। पहले दूसरे के रूप में दो बार जीत गया। खेल के बाद यह दूसरे पैसे से दूसरे पैसे से अधिक पैसा निकला। आपने दूसरा कितना खो दिया और पहला जीता?

261. एक ही संख्या के पी के लिए पूर्व याबोक की संख्या के पहले समय भाग 2/7 के लिए बेचा गया स्पेसिंग; तब उसके पास केवल 8 सेब थे। इसमें कितने सेब थे?

261. स्प्रेडर ने उसी नंबर के 5/6 के लिए, उसके लिए आवेदन की संख्या के पहले समय 1/9 के लिए बेचा; फिर उसके पास केवल 4 सेब थे। इसमें कितने सेब थे?

262. पानी के साथ टैंक से पहले पानी की कुल मात्रा का एक तिहाई डाला गया था, फिर अवशेष के 5/6 और फिर केवल 6 बाल्टी बनी हुई थीं। टैंक में कितना पानी था?

262. पानी कास्ट के साथ टैंक से सभी राशियों में से पहला भाग 3/5 था, फिर 3/4 अवशेष और फिर केवल 5 बाल्टी बाकी थीं। टैंक में कितना पानी था?

263. एक समाज में 40 लोग पुरुष, महिलाएं और बच्चे थे। महिलाओं की संख्या 3/5 पुरुषों की संख्या थी, और बच्चों की संख्या पुरुषों और महिलाओं की संख्या के 2/3 थी। कितने पुरुष, महिलाएं और बच्चे थे?

263. एक समाज में 72 लोग पुरुष, महिलाएं और बच्चे थे। पुरुषों की संख्या महिलाओं की संख्या 2/3 थी, और बच्चों की संख्या 4/5 पुरुष और महिलाओं की संख्या एक साथ थी। कितने पुरुष, महिलाएं और बच्चे थे?

264. 30 Arshin Sukna के लिए दो किस्मों का भुगतान केवल 128 rubles; Arshyn पहली ग्रेड लागत 4 1/2 आर।, और दूसरे 4 आर के Arshin .. अभिभावकों ने अन्य किस्मों को कितना खरीदा?

264. 27 Arshin Sukna के लिए दो किस्मों का भुगतान केवल 120 आर।; Arshin प्रथम श्रेणी की लागत 5 rubles; Arshin दूसरा 3 आर। 75 के .. अर्शिन ने अन्य सर्ट को कितना खरीदा?

265. चाय व्यापारी ने 38 पाउंड दो किस्मों को बेचा, 3 पी की कीमत। प्रति पौंड प्रथम श्रेणी और 1 पी। 60 k। दूसरी कक्षा के प्रति पाउंड, और एक ही समय में पूरे पहले ग्रेड 22 रूबल के लिए दूसरे से अधिक उलट दिया गया। कुछ अन्य विविधता में कितने बेचे जाते हैं?

265. चाय व्यापारी ने दो किस्मों के 110 पंजे बेचे, 4 1/2 पी की कीमत। प्रति पौंड प्रथम श्रेणी और 2 पी। 25 के। दूसरी कक्षा का प्रति पाउंड, और पहले ग्रेड 45 rubles दूसरे से कम के लिए एक ही समय में पुनर्प्राप्त। कुछ अन्य विविधता में कितने बेचे जाते हैं?

266. ठेकेदार ने एक कर्मचारी को 9 0 कोपेक का भुगतान करने की स्थिति के साथ काम पर रखा। प्रत्येक कार्य दिवस के लिए और इससे 40 कोपेक कटौती। प्रत्येक गैर-कार्य दिवस के लिए। 12 दिनों के बाद, कार्यकर्ता को 6 पी प्राप्त हुआ। 90 के .. उसने कितने दिन काम किया?

266. ठेकेदार ने एक कर्मचारी को 80 कोपेक का भुगतान करने की स्थिति के साथ एक कर्मचारी को नियुक्त किया। प्रत्येक कार्य दिवस के लिए और 50 कोपेक को घटाएं। प्रत्येक गैर-कार्य दिवस के लिए। 50 दिनों के बाद, कार्यकर्ता को 21 आर प्राप्त हुआ। 80 में .. उसने कितने दिन टहलते थे?

267. लेकिन अ तथा में इस शर्त के साथ बिलियर्ड बजाना कि विजेता पार्टी हारने वाले 76 के से प्राप्त करती है।; 20 दलों के बाद यह निकला में मैंने केवल 4 आर जीता। 50 से .. उसने कितने पार्टियां जीतीं?

267 लेकिन अ तथा में इस शर्त के साथ बिलियर्ड पर खेलते हैं कि विजेता पार्टी को हारने वाले को 50 प्राप्त होता है; 12 दलों के बाद यह निकला लेकिन अ केवल 2 आर जीता .. उसने कितने पार्टियों को खो दिया?

268. दो कूरियर एक ही समय में दो शहरों से निकलते हैं जो 300 मील की दूरी पर हैं, और एक और के लिए। एक घंटे 12 मील की दूरी पर, दूसरा 13 मील दूर। वे कब मिलेंगे?

268. दो कूरियर एक ही समय में 280 मील की दूरी पर और एक दूसरे की ओर स्थित दो शहरों से निकल गए। मील के एक घंटे 11, दूसरे 17 मील की दूरी पर गुजर रहा है। वे कब मिलेंगे?

269. रेलवे के दो स्टेशनों के साथ, मील के 77 की दूरी में स्थित, एक ही समय में दो ट्रेनें हैं और 31 1/2 की गति, संदर्भ और मील प्रति मील के 18 2/3 की गति के साथ एक दिशा में जाती हैं घंटा, और पहला दूसरे के लिए जाता है। वह कब पकड़ जाएगा?

26 9. रेलवे के दो स्टेशनों से, जो कि मील के 38 की दूरी पर हैं, एक ही समय में दो ट्रेनें हैं और एक दिशा में जाते हैं और मील के 25 1/4 और प्रति घंटे 20 1/2 मील की गति के साथ एक दिशा में जाते हैं , और पहला दूसरे के लिए जाता है। वह कब पकड़ जाएगा?

270. दिन के 12 घंटे में स्टेशन से, यात्री ट्रेन 32 वें स्थान से बाहर आ रही है। एक बजे। एक ही स्टेशन से 45 मिनट के बाद, कूरियर ट्रेन, जो 42 वी बनाता है। एक बजे। किस घंटे कूरियर ट्रेन यात्री को पकड़ लेगी?

270. 9 बजे स्टेशन से यात्री ट्रेन 28 वी द्वारा बाहर आती है। एक बजे। एक घंटे बाद एक ही स्टेशन से एक चौथाई के साथ, एक कूरियर ट्रेन 40 वी से बाहर आती है। एक बजे। किस घंटे कूरियर ट्रेन यात्री को पकड़ लेगी?

271. 1 वर्ष 2 महीने के बाद 224 रूबल का लाभ प्राप्त करने के लिए, विकास में 6% को किस पूंजी को दिया जाना चाहिए?

271. 7 महीने में 182 रूबल का लाभ पाने के लिए 8% की वृद्धि के लिए किस पूंजी को दी जानी चाहिए?

272. 1 वर्ष 5 महीने के बाद 280 रूबल को लाभ पहुंचाने के लिए पूंजी 4400 रूबल के विकास में कितने प्रतिशत दिए जाने चाहिए। 50 के।?

272. कपिलिगाल 1800 आर के विकास को कितने प्रतिशत दिए जाने चाहिए। 11 महीने के बाद 93 रूबल को लाभ पहुंचाने के लिए। 60 के।?

273. एक व्यापारी, 29 9 रूबल के लिए सामान बेचने, 15% लाभ बचाया। उसके लिए सामान क्या है?

273. व्यापारी, 161 रूबल के लिए उत्पाद बेचते हुए, 7 1/2% लाभ प्राप्त हुए। उसके लिए सामान क्या है?

274. 429 पी की राशि में माल बेचते समय। 2 1/2% की हानि प्राप्त की गई थी। सामान क्या है?

274. 366 पी की राशि में माल बेचते समय। वितरित नुकसान 8 1/2% माल क्या है?

275. इस शब्द से 10 महीने पहले बिल के अनुसार, 8% के वाणिज्यिक खाते के साथ 1120 रूबल का भुगतान किया गया था। मुद्रा बिल खोजें।

275. इस शब्द से 3 महीने पहले के 3 महीने के लिए बिल के अनुसार, 839 पी का भुगतान किया गया था। 60 पुलिस। 7% के वाणिज्यिक लेखांकन के साथ। मुद्रा बिल खोजें।

276. पूल को 3 बजे एक पाइप के साथ रखा जाता है, दूसरा 5 बजे। यदि आप एक ही समय में दोनों पाइप खोलते हैं तो यह किस समय भरा जाएगा?

276. बेसियन 7 1/2 घंटे में एक पाइप से भरा हुआ है, दूसरा 5 बजे। यदि आप एक ही समय में दोनों पाइप खोलते हैं तो यह किस समय भरा जाएगा?

277. पूल 4 बजे एक पाइप से भरा हुआ है, और दूसरे के माध्यम से सभी 6 बजे डाल सकते हैं। दोनों पाइप की एक साथ कार्रवाई के साथ पूल किस समय भरा जाएगा?

277. पूल एक पाइप से 2 1/3 घंटों में भरा हुआ है, और दूसरे के माध्यम से इसे 2 घंटे में मिल सकता है। 48 मीटर। स्कूप दोनों पाइप के साथ एक ही समय में एक पूल से भरा जाएगा?

278. 3 घंटे 36 मिनट के लिए दो कर्मचारी एक साथ सह; एक पहले इसे 6 बजे पूरा कर सकता है। दूसरा काम एक ही काम क्या करेगा?

278. दो कर्मचारी 12 बजे एक साथ सह; एक पहले इसे 20 बजे पूरा कर सकता है। दूसरा काम क्या काम करता है?

279. पूल में तीन पाइप आयोजित किए गए; पहले दो पानी के माध्यम से, यह तीसरे आइटम के माध्यम से बहता है। पहली पाइप के माध्यम से, पूल को दूसरे के माध्यम से 2 बजे से भरा जा सकता है, और तीसरे के माध्यम से सभी पानी पूल से 6 बजे तक पता लगा सकते हैं। यदि आप तीनों पाइप खोलते हैं, तो पूल किस समय भरा जाता है?

279. पूल में तीन पाइप आयोजित किए गए थे; पहले दो पानी के माध्यम से, यह तीसरे आइटम के माध्यम से बहता है। पहले पाइप के माध्यम से, पूल को 2 बजे, दूसरे के माध्यम से 5 बजे भर दिया जा सकता है, और दुल्हन तीसरा पूरा पानी पूल से 10 बजे तक पता लगा सकता है। यदि आप तीनों पाइप खोलते हैं, तो पूल किस समय भरा जाता है?

280. पूल में बिताए गए तीन पाइपों में से, इसे 5 बजे भरता है, दूसरा 15 बजे भरता है, और तीसरे के माध्यम से, पूरा पूल 3 बजे बहता है। क्या समय है फुल पूल, सभी पाइपों के एक साथ कार्य का पालन करता है?

280. पूल में बिताए गए तीन पाइपों में से, यह पहली बार इसे 6 बजे भरता है, दूसरा 18 बजे भरता है, और तीसरे के माध्यम से, पूरा पूल 3 बजे बहता है। सभी पाइप की एक साथ कार्रवाई के साथ पूर्ण स्विमिंग पूल क्या समय है?

281. मैं ट्रेन हूं रेलवे से आता है लेकिन अ में में प्रति घंटे 30 मील की औसत गति के साथ, फिर से रिटर्न में में लेकिन अ प्रति घंटे 28 मील की रफ्तार से। सभी पास और वापस यह 14 1/2 घंटे में बनाता है। कितना कर सकता है लेकिन अ इससे पहले में?

281. आईआईजी ट्रेन से आ रहा है लेकिन अ में में प्रति घंटे 24 वर्क्स की औसत गति के साथ, फिर से रिटर्न में में लेकिन अ प्रति घंटे 30 संस्करणों की गति के साथ। सभी यात्रा और वापस 11 1/4 घंटे लगते हैं। कितना कर सकता है लेकिन अ इससे पहले में?

282. का लेकिन अ में में एक ट्रेन बाहर आई, जो 20 मील के एक घंटे में गुजर रही थी। थोर 8 घंटे से ट्रेन छोड़ दें में में लेकिन अ30 सी पास। एक बजे। दूरी ए.यू. 350 वी के बराबर है .. किस दूरी पर लेकिन अ ट्रेनें मिलेंगे?

282. से लेकिन अ में में एक ट्रेन बाहर आई, जो 24 सर्वों के एक घंटे में गुजर रही थी। 5 घंटे के बाद ट्रेन से आता है में में लेकिन अ28 में गुजर रहा है। एक बजे। दूरी ए.यू. 380 वी के बराबर, किस दूरी पर में ट्रेनें मिलेंगे?

283. तीन संख्याओं का योग 70 है। डिवीजन के दौरान दूसरा नंबर निजी 2 में दिया गया है और अवशेष 1 में, दूसरे विभाजन के दौरान तीसरा निजी 3 और अवशेष में देता है 3. इन नंबरों को ढूंढें।

283. तीन संख्याओं का योग 60 है। डिवीजन के दौरान दूसरा नंबर निजी 3 में और अवशेष 2 में दिया गया है, विभाजन में तीसरा दूसरे स्थान पर निजी 2 में देता है और शेष में 4. संख्याएं।

284. चेली को ढूंढना, जो 5 द्वारा विभाजन में अवशेष 2 में देता है, और जब 8 पर विभाजन अवशेषों को 5 में देता है, यह जानकर कि पहला निजी तीन और सेकंड क्या है।

284. उस संख्या को खोजने के लिए, जो 7 से विभाजित होने पर, अवशेष 2 में देता है, और 9 के विभाजन में अवशेष 4 में देता है, जानता है। पहला निजी दो और दूसरा।

285. किसी को, गरीबों के साथ पैसे वितरित करना चाहते हैं, गणना की जाती है कि यदि हर कोई 15 कोपेक देता है, तो इसमें 10 पुलिस नहीं है। और यदि हर कोई 13 कोपेक देता है, तो यह 6 से बनेगा। अनावश्यक। अनावश्यक कितने भीख मांग रहे थे और कितना पैसा?

285. कोई, जो मेरे पास उसके पास था, उसे वितरित करना चाहता था, मैंने गणना की कि अगर हर कोई 8 पुलिस देता है, तो 4 कोपेक बने रहेंगे। अनावश्यक, और यदि हर कोई 9 कोपेक देता है, तो यह पर्याप्त 2 कोपेक नहीं है .. कितने भिखारी और कितने पैसे थे?

286. इंजीनियर कुछ दूरी पर टेलीग्राफ ध्रुव स्थान रखता है। अगर उसने उन्हें दूसरे से 25 बीज की दूरी पर रखा था, तो एक और 150 खंभे लेना आवश्यक होगा, और यदि उसने 5-बैठे कॉलम के बीच की दूरी में वृद्धि की है, तो 70 खंभे एक हो जाएंगे मेमना। कितनी बड़ी दूरी और कितने खंभे बने हैं?

286. कुछ दूरी पर प्लेसमेंट इंजीनियर टेलीग्राफ डंडे। अगर उसने उन्हें दूसरे से 30 बीजों की दूरी पर रखा था, तो उसके पास अतिरिक्त 100 खंभे शेष होंगे, और यदि उन्होंने 4 सोहेन पर पदों की दूरी को कम कर दिया था, तो 180 ध्रुवों को लेना आवश्यक होगा। कितनी बड़ी दूरी और कितने खंभे बने हैं?

287. किसी नौकर को भर्ती करते समय कोई व्यक्ति 144 रूबल पैसे का भुगतान करने के लिए सेवा के वर्ष के लिए वादा करता था। और कपड़े दें। नौकर 7 महीने के बाद लिया गया था और कपड़ों के भुगतान और 54 रूबल में प्राप्त किया गया था। क्या लागत कपड़े?

287. किसी व्यक्ति को किसी नौकर को भर्ती करते समय 75 रूबल का भुगतान करने और कपड़े देने के लिए 7 महीने की सेवा में उन्हें वादा किया। नौकर 5 महीने में हुआ और कपड़ों के भुगतान में प्राप्त हुआ और 45 रूबल। कपड़े क्या हैं?

288. 195 rubles के लिए 46 पाउंड चीनी के लिए। 73 पाउंड से अधिक; 9 पाउंड चीनी 37 पाउंड से 30 रूबल सस्ता है। चाय और पाउडर चीनी का पाउंड क्या है?

288. 40 पाउंड से कम चीनी 238 रूबल द्वारा 21 पाउंड चाय पॉक; 15 पाउंड 2 रूबल हैं। 4 तालाब चीनी से अधिक महंगा। चाय और पाउडर चीनी का पाउंड क्या है?

289. भूस्वामी ने एक ही उपयुक्त शुल्क के लिए दो किसानों को काम पर रखा। उनमें से एक 40 दिनों में उन्होंने 7 पी दिया। 50 के। पैसा और जई के 3 1/2 तिमाहियों, एक और 24 दिनों के लिए 4 rubles। 80 के। पैसा और जई के 2 चौथाई। जई का एक चौथाई क्या है?

289. भूस्वामी ने एक ही उपयुक्त शुल्क के लिए दो किसानों को काम पर रखा। उनमें से एक 56 दिनों में उन्होंने 14 पी दिया। पैसा और जई के 8 क्वार्टर, एक और 88 दिनों 13 आर के लिए। 50 कश्मीर। पैसा और जई के 15 चौथाई। एक चौथाई जई क्या खर्च?

290. 25 Arshin Sukna और 21 Arsh के लिए। मखमली 247 रूबल। यह ज्ञात है कि 10 Arsh। मखमल 13 arshin sukna से अधिक 18 rubles के लायक है। Arshin और दूसरा क्या है?

290. 15 Arshin मखमल और 52 ARSH के लिए। सुक्कना 276 रूबल। यह ज्ञात है कि 2 Arsh। मखमल 17 वें rubles, 11 Arsh द्वारा खड़ा है। सुक्कना Arshin और दूसरा क्या है?

291. कुछ दो अंकों की संख्या की संख्या 12 है। यदि 18 वांछित संख्या से लिया गया है, तो उसी संख्या द्वारा इंगित संख्या, लेकिन रिवर्स ऑर्डर में लिखी गई। यह नंबर खोजें।

2 9 1. कुछ दोहरे अंकों की संख्या के अंकों और दर्जनों के अंतर का अंतर 3. के बराबर है। यदि आप वांछित संख्या में 27 जोड़ते हैं, तो संख्या उसी संख्या द्वारा इंगित की गई संख्या, लेकिन रिवर्स ऑर्डर में लिखी गई संख्या। यह नंबर खोजें।

292. कुछ दो अंकों की संख्या में, इकाइयों की संख्या दो बार दसियों की संख्या। यदि संख्या की संख्या समाप्त हो जाएगी, तो हमें वांछित 36 से कम संख्या मिलती है। इस नंबर को ढूंढें।

2 9 2. कुछ दो अंकों की संख्या में, इकाइयों की संख्या से तीन गुना कम दसियों की संख्या। यदि संख्या की संख्या समाप्त हो जाएगी, तो हमें वांछित 36 से अधिक संख्या मिलती है। इस नंबर को ढूंढें।

293.a. के साथ चेकर्स खेलता है में और वह प्रत्येक चार दलों में से तीन जीतता है, फिर साथ खेलता है से और उत्तरार्द्ध प्रत्येक तीन दलों में से दो जीतता है। संपूर्ण लेकिन अ 21 बैच खेला और उनमें से 15 जीता। कितने पक्षियों के साथ खेला जाता है में और एस। से?

293. लेकिन अ के साथ चेकर्स खेलता है में और हर आठ पार्टियों से तीनों को खो देता है, फिर साथ खेलता है से और हर पांच पार्टियों में से दो को खो देता है। आम तौर पर लेकिन अ 26 पार्टियों को खेला और उनसे हार गए। 10 कितने पक्ष खेले में और एस। से?

294. जो अब एक घंटा है, यदि दोपहर से पास की गई घड़ियों के 1/5 घंटे मध्यरात्रि तक 1/3 घंटे के घंटे के बराबर होते हैं?

2 9 4. जो अब एक घंटा है, अगर दोपहर से गुजरने वाले 1/11 संख्याएं आधी रात तक शेष घंटों की संख्या के 1/13 के बराबर होती हैं?

295. मछली के वजन को ढूंढना, यह जानकर कि इसकी पूंछ का वजन 2 एफ है।, सिर जितना पूंछ और शरीर का आधा वजन होता है, और धड़ का वजन जितना होता है और पूंछ।

2 9 5. मछली का वजन ज्ञात करें, यह जानकर कि उसके सिर का वजन 7 एफ है। पूंछ का वजन शरीर के आधे वजन का वजन होता है, और धड़ का वजन कितना पूंछ और सिर होता है।

296. कुछ राशि को दो व्यक्तियों में विभाजित किया जाना चाहिए ताकि पहले और दूसरे के हिस्सों में संख्या 5 और 3 के रूप में, और पहले का हिस्सा 50 रूबल है। कुल राशि के 5/9 से अधिक। हर किसी का हिस्सा कैसा है?

2 9 6. एक निश्चित राशि को दो व्यक्तियों के बीच विभाजित किया जाना चाहिए ताकि पहले और दूसरे के हिस्से स्वयं के बीच 7 और 4 के रूप में हैं, और दूसरे का हिस्सा 21 रूबल था। सभी सुमी के 5/12 से कम। हर किसी का हिस्सा कैसा है?

297. 420 rubles के नुकसान के साथ बेचा गया उत्पाद; यदि यह 570 पी के लिए बेचा गया था, तो लाभ होने वाली हानि से लाभ 5 गुना अधिक होगा। सामान क्या है?

2 9 7. 520 पी के लिए लाभ के साथ बेचा गया उत्पाद; यदि यह 320 रूबल के लिए बेचा गया था, तो यह एक नुकसान होगा जो 3/7 उलट मुनाफा कमाता है। सामान क्या है?

298. तीन टुकड़ों में निहित अर्नीन सिटीज़ की संख्या में 2: 3: 5 शामिल हैं। यदि आप दूसरे 6 Arsh से 4 Arshin के पहले टुकड़े से काट दिया। और तीसरे 10 एआरएस से।, पूरे सिटीज़ की शेष राशि 5/6 पूर्व होगी। प्रत्येक टुकड़े में कितने Arshin?

2 9 8. अर्हिन सिट्ज की रेखाएं, तीन टुकड़ों में निहित, 3: 5: 8 के रूप में संबंधित हैं। यदि आप दूसरे 20 Arsh से पहले 10 Arshin से काट दिया। और तीसरे 30 एआरएस से।, पूरे सिटीज़ की शेष राशि 5/8 पूर्व होगी। प्रत्येक टुकड़े में कितने Arshin?

299. जलाशय से, पूरे पानी का आधा आधा आधा और इसमें आधा पानी, फिर आधा अवशेष और आधा पानी, अंत में आधा अवशेष और आधा पानी; उसके बाद, जलाशय में 6 बाल्टी बने रहे। पहले कितना पानी था?

29 9. टैंक से, इसमें पूर्व पानी और एक तिहाई बाल्टी का तीसरा हिस्सा डाला जाता है, फिर संतुलन का एक तिहाई और एक तिहाई बाल्टी का एक और अवशेष और बाल्टी का एक तिहाई हिस्सा होता है; उसके बाद, जलाशय में 7 बाल्टी छोड़ दी गई। शुरुआत में कितने पानी थे?

300. कई व्यक्ति कुछ राशि को निम्नानुसार विभाजित करते हैं; पहले 100 पी प्राप्त करता है। और शेष राशि का पांचवां हिस्सा, दूसरा 200 रूबल और नए शेष का पांचवां हिस्सा, तीसरा 300 रूबल और अवशेषों का पांचवां हिस्सा इत्यादि। यह पता चला कि पूरी राशि बराबर भागों में विभाजित है। यह राशि कैसे है, शेयर में कितने प्रतिभागी और हर किसी को कितना मिला?

300. कई लोग निम्नानुसार कुछ राशि साझा करते हैं: पहले 50 रूबल और शेष राशि का छठा हिस्सा, दूसरा 100 रूबल और नई शेष राशि का छठा, तीसरा 150 रूबल और अवशेषों का छठा, आदि। यह बदल गया यह है कि पूरी राशि बराबर भागों में विभाजित है। यह राशि कैसे है, शेयर में कितने प्रतिभागी और हर किसी को कितना मिला?

निम्नलिखित कार्य पिछले लोगों से भिन्न होते हैं जो डेटा को स्पष्ट रूप से लगाया जाता है, यह पत्र है। ये कार्य पिछले के रूप में समान प्रकार से संबंधित हैं। हल करते समय, उन्हें उन तकनीकों में से सबसे महत्वपूर्ण दोहराया जाता है जो पहले उपयोग किए गए थे, लेकिन डेटा के एक निहित डेटा के कारण, तर्कों में अधिक सामान्य और एक ही समय में अपहरण चरित्र की तुलना में होता है। नए अभ्यास में, यह पूर्व में भी आवश्यक है, मुख्य रूप से अज्ञात के माध्यम से मुख्य रूप से अज्ञात और इन पदनामों के माध्यम से व्यक्त करने के बारे में देखभाल करता है, जिनमें से सभी मान सीधे बोलते हैं, या इसमें निहित हैं, और साथ ही आपको लगातार सभी पदों, समस्या में डेटा, और डेटा से संबंधित सभी स्थितियों को ध्यान में रखना होगा, जब सभी शर्तों का उपयोग इस मामले में किया जाएगा, तो कैसे बनाना है आवश्यक समीकरण।

301. दो संख्याओं का अंतर एस प्र । दोनों संख्या खोजें।

301. दो संख्याओं की गुणवत्ता डी , कम से कम एक छोटे से एकाधिक अनुपात प्र । दोनों संख्या खोजें।

302. संख्या को विभाजित करें लेकिन अ तीन भागों ताकि पहला भाग दूसरे से अधिक था टी और तीसरे से कम पी समय।

302. संख्या को विभाजित करें लेकिन अ तीन भागों के लिए ताकि पहला भाग दूसरे से कम हो टी और तीसरे से अधिक में पी समय।

303. एक संख्या बी। लेकिन अ एक बार दूसरे की तुलना में छोटा। अगर पहले, पहले टी , और दूसरे के लिए पी तब पहली राशि में होगा बी एक बार दूसरे से कम। इन नंबरों को ढूंढें।

303. एक संख्या में लेकिन अ एक बार दूसरे की तुलना में छोटा। यदि आप पहले दिन से दूर लेते हैं टी , और दूसरे से पी तब पहला अंतर अंदर होगा बी एक बार एक बार। इन नंबरों को ढूंढें।

304. अपने denominator से कम अंशों की संख्या लेकिन अ ; यदि अंश दोनों सदस्यों से हैं बी टी / पी । अंश के सदस्यों को खोजें।

304. अंश के लिए अंश के संख्यात्मक संख्या के लिए लेकिन अ । यदि आप अंश के दोनों सदस्यों को जोड़ते हैं बी यह अंश के बराबर अंश निकलता है टी / पी । अंश के सदस्यों को खोजें।

305. संख्या को विभाजित करें लेकिन अ आर अधिक दूसरे और में प्र एक बार तीसरे से कम।

305. संख्या को विभाजित करें लेकिन अ ऐसे तीन भागों के लिए पहले होने के लिए। में आर दूसरे और में कम समय प्र तीसरे से एक बार।

306. अंश का denomoter एक बड़ा संख्या है लेकिन अ समय। यदि आप संख्या संख्या में जोड़ते हैं बी और denominator से संख्या घटाएं से यह अंश के बराबर अंश निकलता है क। / एल । अंश के सदस्यों को खोजें।

306. अपने संख्यात्मक की छोटी संख्या का संप्रदाय लेकिन अ समय। यदि संख्या संख्या से कटौती बी और denominator को संख्या जोड़ें से , फिर अंश, अंश के बराबर क। / एल । अंश के सदस्यों को खोजें।

307. संख्या को विभाजित करें टी दो भागों में ताकि अंतर पहले भाग के विभाजन से निजी हो लेकिन अ और दूसरा बी रोलिंग आर

307. संख्या को विभाजित करें टी दो भागों में ताकि पहले भाग के विभाजन से निजी की राशि लेकिन अ और दूसरा बी के बराबर होगा एस .

308. हर कार्य दिवस के लिए कार्यकर्ता प्राप्त करता है लेकिन अ कोपेक, और प्रत्येक गैर-काम के लिए यह इससे कटौती की जाती है बी कोपेक के चूक के बाद पी दिन साफ \u200b\u200bकार्यकर्ता राजस्व बराबर एस टुकड़े। कितने व्यावसायिक दिन और कितने काम नहीं कर रहे हैं?

308. हर कार्य दिवस के लिए कार्यकर्ता प्राप्त करता है लेकिन अ कोपेक और प्रत्येक गैर-काम के लिए इसके साथ कटौती के साथ बी कोपेक के चूक के बाद पी दिनों में कर्मचारी को 5 रूबल का भुगतान करना होगा, कितने व्यावसायिक दिन और कितने गैर-काम कर रहे हैं?

309. दो संख्याओं का अंतर डी । जब घटाने योग्य को विभाजित किया जाता है प्र और अवशेष आधे अंतर के बराबर है। इन नंबरों को ढूंढें

309. दो संख्याओं का अंतर डी । कटौती योग्य अवशेष को विभाजित करते समय प्राप्त किया जाता है आर और अंतर के आधे के बराबर निजी। इन नंबरों को ढूंढें।

310. कई Arshin Sukna के लिए। पॉपअप लेकिन अ रूबल; यदि आपने एक क्लंक को और अधिक खरीदा से बी

310. कई Arshin Sukna भुगतान के लिए लेकिन अ रूबल; यदि आपने एक क्लंक कम खरीदा है से Arshin, तो भुगतान करना आवश्यक होगा बी रूबल। कितने Arshin खरीदा?

311. किस संख्या को गुणा किया जा रहा है ए। संख्या से बढ़ेगा टी ?

311. किस संख्या में विभाजित किया जा रहा है लेकिन अ संख्या से घट जाएगा टी ?

312. जब घर पर बेचते हैं म। रूबल प्राप्त हुए आर प्रतिशत क्षति। उसने खुद को विक्रेता की कीमत क्या की?

312. के लिए एक घर बेचते समय टी रूबल प्राप्त हुए आर प्रतिशत लाभ। उसने खुद को विक्रेता की कीमत क्या की?

313. दो कूरियर दो स्थानों से एक ही समय में चले जाते हैं लेकिन अ तथा में और एक दिशा में जाओ लेकिन असेवा मेरे में और आगे। ISTER प्रति घंटे गुजर रहा है लेकिन अ मस्टो, दूसरा बी जरूर। दूरी ए.यू. समान रूप से डी जरूर। कब और किस दूरी पर लेकिन अ पहला कूरियर दूसरे के साथ पकड़ जाएगा?

313. दो कूरियर दो स्थानों से एक ही समय में चले जाते हैं लेकिन अ तथा में और वे एक दूसरे से मिलने जाते हैं। प्रति घंटे पहले पास लेकिन अ मस्टो, दूसरा बी जरूर। दूरी ए.यू. समान रूप से डी जरूर। कब। और किस दूरी से लेकिन अ दोनों कूरियर मिलेंगे?

314. चालक दल के सामने के पहिये में एक सर्कल है लेकिन अ पैर, पीछे की परिधि बी पैर का पंजा। चालक दल को सामने वाले पहिया पर किस दूरी पर जाना चाहिए पी बिग रियर हो जाता है?

314. चालक दल के सामने वाले पहिये में एक सर्कल है लेकिन अ पीछे की तुलना में छोटे पैर। फ्रंट व्हील बनाने के लिए चालक दल को किस दूरी पर पास करना होगा टी , और पीछे पी मुड़ता है?

315. पूल में दो पाइप आयोजित किए जाते हैं, जो दोनों इसे भरते हैं, पहले एक अलग कार्रवाई के साथ लेकिन अ घंटे, दूसरा भी एक अलग कार्रवाई के साथ है बी घंटे। दोनों पाइपों की एक साथ कार्रवाई के साथ टोकरी किस समय भर जाएगी?

315. पूल में दो पाइप आयोजित किए गए थे, जिनमें से एक अलग कार्रवाई के साथ पहले इसे भरता है लेकिन अ घंटे, और दूसरा एक भी पूरे पूल को बाहर निकालता है बी घंटे। दोनों पाइप के एक साथ व्यवहार के साथ पूल किस समय भरा जाएगा?

316. चालक दल के पीछे के पहिये का चालक दल लेकिन अ एक बार फ्रंट व्हील की अधिक परिधि। चालक दल टी पैर, और उसी समय पहिया रखा सेवा मेरे रोल्स बिग बैक हैं। दोनों पहियों और क्रांति की संख्या की मंडलियों की पहचान करें।

316. सामने के पहिये का सर्कल लेकिन अ पीछे की परिधि से कम है। चालक दल टी पैर, और साथ ही पीछे के पहिया में रखा गया सेवा मेरे समय कम क्रांति, सामने की जाँच। दोनों पहियों और क्रांति की संख्या की परिधि को छोड़ दें।

317. एक शहर की आबादी सालाना बढ़ जाती है आर पिछले वर्ष की आबादी के साथ तुलना। वर्तमान समय में शहर में टी

317. एक शहर की आबादी सालाना घट जाती है आर पिछले वर्ष की आबादी के साथ तुलना। शहर में वर्तमान समय में टी रहने वाले। 3 साल पहले कितने लोग थे?

318. डवी श्रमिक, एक ही समय में काम करते हुए, सह काम लेकिन अ घंटे। पहले एक ही नौकरी का चयन करेगा बी , जल्द ही एक सेकंड के साथ। प्रत्येक कार्यकाल किस समय काम खत्म करेगा?

318. डवी श्रमिक, एक ही समय में काम करते हुए, कमशॉट्स लेकिन अ घंटे। एक एहसास गलत काम करता है बी , एक बार एक मेडलेनी, एसईएम एक सेकंड। प्रत्येक श्रमिक किस समय काम करता है?

319. नाविक, रोइंग riping नौकायन पी ऋषि बी। टी घंटे; अदालत के खिलाफ Geby Agage, यह भस्म हो गया है तथा दूर करने के लिए घंटे अधिक दूरी। प्रवाह की घड़ी की गति निर्धारित करें।

319. बोटमैन, अर्थ तैरने के खिलाफ रोइंग पी सेडा बी। टी घंटे; पाठ्यक्रम में रोइंग, यह खपत करता है तथा मेनी फिर एक दूरी में तैरने के लिए देखता है। लक्ष्य की समय गति निर्धारित करें।

320. बातचीत लेकिन अ गति के साथ चलता है वी प्रति सेकंड हो सकता है। क्या गति दूसरे को स्थानांतरित करना था में, उस तरह की खतरनाक से जानें टी पहले के बाद, अगर यह शब्द द्वारा overtaken किया गया था लेकिन अ के माध्यम से तथा सेकंड पोस्ट इस शब्द के आंदोलन को शुरू करने के लिए?

320. बात ए। गति के साथ चलता है वी प्रति सेकंड हो सकता है। किस गति को आगे बढ़ाना चाहिए मेंएक ही mest से बाहर निकलना तथा सेकंड बाद अगर यह पकड़ रहा है लेकिन अके माध्यम से और पद के लिंग ने अपना रास्ता शुरू करना शुरू कर दिया?

321. दो किस्मों में से, माल में लेकिन अ रूबल और बी। बी प्रति पाउंड रूबल, रचना डी टी प्रति पाउंड rubles प्राप्त एस rubles नुकसान। मिश्रण बनाने के लिए अन्य किस्मों में से कितने पाउंड गए?

321. दो किस्मों में, माल, सेनो लेकिन अ रूबल और बी। बी प्रति पाउंड रूबल, रचना डी पाउंड Smei। इस चेक को बेचते समय टी प्रति पाउंड rubles प्राप्त एस rubles लाभ। मोम के संकलन के लिए अन्य किस्मों के कितने पाउंड गए?

322. बी स्विमिंग पूल टी कगार, दो पाइपों का प्रदर्शन किया गया। पहले पूल में डालता है लेकिन अ प्रति घंटे vedes। दूसरा पूरे पूल को डालता है बी घंटे। पाइप के बारे में एक साथ सीखा, जबकि स्कोल घंटे एक स्विमिंग पूल से भरे जाएंगे?

322. पूल में, जो टी वेद, दो पाइपों का प्रदर्शन किया गया। पहले पूरे पूल को भरता है लेकिन अ घंटे। दूसरा प्रति घंटा पूल से बाहर निकलता है बी बाल्टी। बेसिन दोनों पाइपों के साथ-साथ उपयोग से कितने घंटे भर जाएंगे?

323. अभी भी संख्या लेकिन अ तीन भागों के लिए ताकि पहले दूसरे को संदर्भित किया जा सके टी: पी। , और दूसरा तीसरा, जैसे पी क्यू।

323. अभी भी संख्या लेकिन अ तीन भागों ताकि दूसरा पहले से संबंधित हो टी: पी। , और दूसरे के लिए तीसरा, जैसा पी क्यू।

324. दो खमीर लेकिन अ तथा में पी सलाद, एक ही बल के साथ रावरों द्वारा संचालित एक-दूसरे दो नौकाओं पर तैरता है। मामले में, मामले में तैर रहा है, सभी दूरी पारित करता है ए.यू. में टी घंटे; दूसरा, लक्ष्य के खिलाफ तैर रहा है, अधिक से अधिक समय का उपयोग करता है तथा घंटे। प्रवाह की घड़ी की गति को छोड़ दें।

324. दो मीटर लेकिन अ तथा में उस अवधि पर जो दूसरे से अलग हो जाते हैं पी सलाद, एक ही बल के साथ रावरों द्वारा संचालित एक-दूसरे दो नौकाओं पर तैरता है। शिक्षण के खिलाफ फ्लेयर करना, सभी दूरी है ए.यू. में टी घंटे; दूसरा, प्रवाह के भीतर तैर रहा है, यह एक ही दूरी पर सबसे छोटे से कम का उपयोग करता है तथा घंटे। प्रवाह की घड़ी की गति निर्धारित करें।

325. तीन व्यक्तियों की राजधानी की पहचान करें, यह जानकर कि दूसरे के साथ पहले की आवश्यकता है टी रूबल, दूसरा तीसरे के साथ पी रूबल, और राजधानी में है आर एक बार तीसरी राजधानी तीसरी है।

325. तीन व्यक्तियों की राजधानी को हटाएं, यह जानकर कि आपके पास तीसरे के साथ पहला है टी रूबल, दूसरा तीसरे के साथ पी रूबल, और राजधानी पहले में है आर एक बार दूसरी राजधानी।

326. दूरी में दो दो मीटर की ओर दो पेड़ की ओर बढ़ते हैं डी मीटर। पहली गति पर चलता है वी प्रति सेकंड मीटर। दूसरे स्वाद को कितनी तेजी से स्थानांतरित करना चाहिए, यह गया एच पहले देर से पहले और सभी तक जाना चाहिए पी सेकंड?

326. दो पेड़ दूरी में दो एमई में से एक की ओर बढ़ते हैं डी मीटर। पहली चाल चलती है वी प्रति सेकंड मीटर। यदि यह हुआ तो दूसरे स्वाद को कितनी तेजी से आगे बढ़ाना चाहिए एच पहले सेकंड पहले और सभी को जाना चाहिए पी सेकंड?

327. बिल शामिल वाणिज्यिक आर % प्रति पी अद्यतित, लेखांकन अधिक गणितीय, भी मर गया आर % और किसके लिए पी चलो, पर लेकिन अ रूबल। नौकायन में मुद्रा खोजें।

327. Vexel, व्यावसायिक रूप से ध्यान में रखा गया आर % प्रति पी जाओ खड़ा है टी रूबल सस्ता, एक उपभोक्ता के लेखा के साथ रसायन, नमूना था आर % और किसके लिए पी एलईडी बिल उपलब्ध राशि क्या है?

328. दो वक्रता खमीर से बने होते हैं लेकिन अ तथा बीदूरी में स्थित है डी वर्ट, और एक knitter, पहले घंटे हैं यू संस्करण और दूसरा वी बनाम; पहले पूर्वगामी लेकिन अ पर एच में। परिभाषित करें कि कब और जीडीई कूरियर बना देगा?

328. दो कूरियर मेस से चुनें लेकिन अ तथा बी दूरी में स्थित है डी वासना, और वे दोनों एक ही दिशा में हैं, पहले-घंटे पहले तथा जरूरी है वी बनाम; अन्य pervago से लेकिन अ पर एच दूसरे से पहले घंटे बी। तय करें कि पहली कूरियर कब और वापस पकड़ लेगा?

329. अभी भी संख्या लेकिन अ Takia में, तीन भागों, जो लागू होने पर टी , दूसरा पहले कम हो गया म। और गुणा करने के लिए सेट अप पी , और तीसरा विभाजन पर पी , प्राप्त परिणाम बराबर होंगे।

329. अभी भी संख्या लेकिन अ Takia में, तीन भागों कि अगर पहले समझा जा सकता है टी , दूसरी पहली वृद्धि टी , फिर गुणा करें पी , और तीसरा विभाजन पर पी , यह समान परिणामों को बदल देगा।

330. पूल में तीन पाइप आयोजित किए गए ए, बी। तथा से। के ज़रिये लेकिन अ तथा से पानी के माध्यम से मजबूत में लेकिन अ तथा मेंपूल बी द्वारा भरा हुआ है टी घंटे जब लेकिन अ तथा सी। में पी घंटे जब में तथा से में आर घंटे। पूल किस समय अंतिम तीन पाइपों से भरा होगा?

330. पूल में तीन पाइप आयोजित किए गए ए, बी। तथा से। के ज़रिये लेकिन अ पानी के माध्यम से मजबूत में तथा से का अनुसरण करना संयुक्त के मामले में लेकिन अ तथा में पूल बी द्वारा भरा हुआ है टी घंटे जब लेकिन अ तथा से में पी घंटे, पाइप में तथा से में पूरा पूल डालें आर घंटे। सभी तीन पाइपों के एक साथ होने के साथ किस समय हद तक संपूर्ण पूल है?