अंतराल द्वारा वर्ग समीकरण। अंतराल विधि, उदाहरण, समाधान

इस पाठ में, हम अधिक जटिल असमानताओं के लिए अंतराल द्वारा तर्कसंगत असमानताओं को हल करना जारी रखेंगे। आंशिक रैखिक और आंशिक-वर्गबद्ध असमानताओं और संबंधित कार्यों के समाधान पर विचार करें।

अब हम असमानता पर लौट आए

कुछ संबंधित कार्यों पर विचार करें।

असमानता का सबसे छोटा समाधान खोजें।

प्राकृतिक समाधान असमानता की संख्या पाएं

उन अंतराल की लंबाई पाएं जो असमानता के कई समाधान बनाती हैं।

2. प्राकृतिक विज्ञान का पाताल ()।

3. कंप्यूटर विज्ञान, गणित, रूसी भाषा () पर प्रवेश परीक्षा में 10-11 कक्षाओं की तैयारी के लिए इलेक्ट्रॉनिक शैक्षिक और विधिवत परिसर।

5. शिक्षा केंद्र "प्रशिक्षण प्रौद्योगिकी" ()।

6. गणित में अनुभाग college.ru ()।

1. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित 9 सीएल: सामान्य शिक्षा संस्थानों / ए मॉर्डकोविच, टी। एन मिशौस्टिना, आदि के छात्रों के लिए कार्य - 4 वें एड। - एम।: Mnemozina, 2002.-143 एस।: Il। №№ 28 (बी, बी); 29 (बी, सी); 35 (ए, बी); 37 (बी, सी); 38 (ए)।

व्यावहारिक कार्यों को हल करने में मूल्यों और मात्राओं की तुलना प्राचीन काल से थी। साथ ही, ऐसे शब्द अधिक से कम, उच्च और निम्न, जोर से, सस्ता, सस्ता और अधिक महंगी, आदि के रूप में दिखाई दिए, सजातीय मात्रा की तुलना के परिणामों को दर्शाते हुए।

स्कोर, माप और मूल्यों की तुलना के संबंध में अवधारणाएं अधिक और कम उत्पन्न हुईं। उदाहरण के लिए, प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों को पता था कि किसी भी त्रिभुज का पक्ष दो अन्य दलों के योग से कम था और त्रिभुज में एक बड़े कोण के खिलाफ सबसे बड़ी तरफ है। आर्किमेंट, परिधि की लंबाई की गणना में लगे हुए, यह स्थापित हुआ कि किसी भी सर्कल का परिधि एक अतिरिक्त के साथ तीन गुना व्यास के बराबर है, जो व्यास के सातवें हिस्से से कम है, लेकिन दस सत्तर से अधिक व्यास से कम है।

प्रतीकात्मक रूप से साइन्स\u003e और बी का उपयोग करके संख्याओं और मूल्यों के बीच संबंधों को रिकॉर्ड करता है। रिकॉर्ड्स जिसमें दो संख्याएं संकेतों में से एक से जुड़ी होती हैं:\u003e (अधिक), संख्यात्मक असमानताओं के साथ, आप जूनियर क्लास में मिले थे। आप जानते हैं कि असमानताएं वफादार हो सकती हैं, और गलत हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, \\ (\\ frac (1) (2)\u003e \\ frac (1) (3) \\) सही संख्यात्मक असमानता, 0.23\u003e 0.235 - गलत संख्यात्मक असमानता।

असमानताएं अनिवार्य हैं, अज्ञात और दूसरों के साथ गलत के कुछ मूल्यों पर वफादार हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक 2x + 1\u003e 5 असमानता x \u003d 3 पर वफादार है, और x \u003d -3 पर गलत है। एक अज्ञात के साथ असमानता के लिए, आप एक कार्य डाल सकते हैं: असमानता को हल करने के लिए। अभ्यास में असमानताओं को हल करने के कार्यों को कम से कम समीकरणों को हल करने के कार्यों की तुलना में हल किया जाता है। उदाहरण के लिए, कई आर्थिक समस्याएं शोध और रैखिक असमानताओं को हल करने के लिए कम हो जाती हैं। गणित असमानता के कई वर्गों में, समीकरणों की तुलना में अधिक बार होते हैं।

कुछ असमानताएं एक ही ऑब्जेक्ट के अस्तित्व को साबित करने या अस्वीकार करने के लिए एकमात्र सहायक साधन के रूप में कार्य करती हैं, उदाहरण के लिए, समीकरण की जड़।

संख्यात्मक असमानताएं

आप जानते हैं कि पूर्णांक, दशमलव अंशों की तुलना कैसे करें। समान संप्रदायों के साथ सामान्य अंशों की तुलना करने के नियमों को जानें, लेकिन विभिन्न अंक; एक ही अंक के साथ, लेकिन विभिन्न denominators। यहां आप अपने अंतर के संकेत को ढूंढकर किसी भी दो संख्याओं की तुलना करना सीखेंगे।

अभ्यास में संख्याओं की तुलना व्यापक रूप से लागू होती है। उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्री नियोजित संकेतकों की वास्तविकता के साथ तुलना करता है, डॉक्टर रोगी के तापमान को सामान्य के साथ तुलना करता है, टर्नर मानक के साथ डिस्चार्ज करने योग्य भाग के आकार की तुलना करता है। ऐसे सभी मामलों में, कुछ संख्याओं की तुलना की जाती है। तुलना के परिणामस्वरूप, संख्याएं संख्यात्मक असमानताएं उत्पन्न होती हैं।

परिभाषा। यदि अंतर ए-बी सकारात्मक है तो संख्या संख्या से अधिक है। यदि अंतर ए-बी नकारात्मक है तो संख्या संख्या से कम है।

यदि अधिक बी, तो लिखें: ए\u003e बी; यदि बी से कम, तो लिखें: और इस प्रकार, असमानता ए\u003e बी का अर्थ है कि अंतर ए-बी सकारात्मक है, यानी ए - बी\u003e 0. असमानता ए के लिए किसी भी दो संख्या के लिए ए और बी निम्नलिखित तीन अनुपात से\u003e बी, ए \u003d बी, और संख्याओं की तुलना ए और बी - इसका मतलब यह पता लगाने का मतलब है कि कौन से संकेत\u003e, \u003d या प्रमेय। यदि एक\u003e बी और बी\u003e एस, तो एक\u003e एस।

प्रमेय। यदि आप असमानता के दोनों हिस्सों में एक ही संख्या जोड़ते हैं, तो असमानता संकेत नहीं बदलेगा।
कोरोलरी।अकेले किसी भी व्यक्ति को असमानता के एक हिस्से से दूसरे हिस्से में स्थानांतरित किया जा सकता है ताकि इसके संकेत को विपरीत रूप से लिखा जा सके।

प्रमेय। यदि असमानता के दोनों भाग एक ही सकारात्मक संख्या को गुणा करते हैं, तो असमानता संकेत नहीं बदलेगा। यदि असमानता के दोनों हिस्सों को एक ही नकारात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता संकेत विपरीत में बदल जाएगा।
कोरोलरी। यदि असमानता के दोनों हिस्सों को एक और एक ही सकारात्मक संख्या में विभाजित किया जाता है, तो असमानता का संकेत नहीं बदलेगा। यदि असमानता के दोनों हिस्सों को एक और समान नकारात्मक संख्या में विभाजित किया जाता है, तो असमानता संकेत विपरीत में बदल जाएगा।

आप जानते हैं कि संख्यात्मक समानताओं तक पहुंचा जा सकता है और गुणा किया जा सकता है। इसके बाद, आप सीखेंगे कि असमानताओं के साथ समान क्रियाएं कैसे करें। असमानताओं को जारी करने और गुणा करने के कौशल अक्सर अभ्यास में लागू होते हैं। ये क्रियाएं मूल्यांकन की समस्याओं को हल करने और अभिव्यक्तियों की तुलना करने में मदद करती हैं।

विभिन्न कार्यों को हल करते समय, असमानताओं के बाएं और दाएं भागों को जोड़ना या गुणा करना अक्सर आवश्यक होता है। साथ ही, कभी-कभी वे कहते हैं कि असमानताओं को फोल्ड या गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई पर्यटक पहले दिन 20 किमी से अधिक समय पर पारित हो गया है, और दूसरे में - 25 किमी से अधिक, तो यह तर्क दिया जा सकता है कि दो दिनों में यह 45 किमी से अधिक पारित हो गया है। इसी प्रकार, यदि आयताकार की लंबाई 13 सेमी से कम है, और चौड़ाई 5 सेमी से कम है, तो यह तर्क दिया जा सकता है कि इस आयताकार का क्षेत्र 65 सेमी 2 से कम है।

इन उदाहरणों पर विचार करते समय, निम्नलिखित का उपयोग किया गया असमानताओं के अतिरिक्त और गुणा पर प्रमेय:

प्रमेय। जब असमानताओं को जोड़ा जाता है, तो उसी संकेत को उसी संकेत की असमानता प्राप्त की जाती है: यदि एक\u003e बी और सी\u003e डी, तो ए + सी\u003e बी + डी।

प्रमेय। एक ही संकेत की असमानताओं को गुणा करते समय, जिसमें बाएं और दाएं भाग सकारात्मक होते हैं, उसी संकेत की असमानता प्राप्त होती है: यदि एक\u003e बी, सी\u003e डी और ए, बी, सी, डी सकारात्मक संख्याएं हैं, तो एसी\u003e बीडी।

सख्त असमानताओं के संकेतों के साथ एक संकेत\u003e (अधिक) और 1/2, 3/4 बी, सी के साथ असमानताएं\u003e और एक ही असमानता \\ (a \\ geq b \\ \\) का मतलब है कि संख्या बी के बराबर या बराबर है, यानी। कम नहीं बी।

एक संकेत \\ (\\ geq \\) या एक साइन \\ (\\ leq \\) युक्त असमानताओं को गैर-रणनीतिक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, \\ (18 \\ geq 12, \\; 11 \\ leq 12 \\) - गैर-सख्त असमानता।

सख्त असमानताओं के सभी गुण गैर-गंभीर असमानताओं के लिए मान्य हैं। साथ ही, यदि संकेतों को विपरीत असमानता के विपरीत माना जाता है, तो संकेत\u003e और आप जानते हैं कि कई लागू कार्यों को हल करने के लिए आपको समीकरण या समीकरण प्रणाली के रूप में गणितीय मॉडल बनाना है। इसके बाद, आप सीखेंगे कि कई कार्यों को हल करने के लिए गणितीय मॉडल अज्ञात के साथ असमानताएं हैं। असमानता को हल करने की अवधारणा पेश की जाएगी और यह दिखाया गया है कि यह जांचने के लिए कि संख्या एक विशिष्ट असमानता का समाधान है या नहीं।

असमानताएं देखें
\\ (कुल्हाड़ी\u003e बी, \\ क्वाड एक्स जिसमें ए और बी - सेट संख्या, और एक्स - अज्ञात, कहा जाता है एक अज्ञात के साथ रैखिक असमानता.

परिभाषा। एक अज्ञात के साथ असमानता का समाधान अज्ञात का मूल्य कहा जाता है, जिसमें यह असमानता सही संख्यात्मक असमानता के लिए अपील करती है। असमानता हल करें - इसका मतलब है कि इसके सभी निर्णय ढूंढें या स्थापित करें कि वे नहीं हैं।

समीकरणों का समाधान आपको सबसे सरल समीकरणों में लाकर किया गया था। इसी प्रकार, असमानताओं को हल करते समय, वे सबसे सरल असमानताओं के रूप में जाने के लिए संपत्तियों की मदद से प्रयास कर रहे हैं।

एक चर के साथ दूसरी डिग्री की असमानताओं का समाधान

असमानताएं देखें
\\ (कुल्हाड़ी ^ 2 + bx + c\u003e 0 \\) और \\ (ax ^ 2 + bx + c जहां x एक चर, ए, बी और सी - कुछ संख्याओं और \\ (a \\ neq 0 \\), कहा जाता है एक चर के साथ दूसरी डिग्री की असमानताएं.

असमानता का समाधान
\\ (Ax ^ 2 + bx + c\u003e 0 \\) या \\ (ax ^ 2 + bx + c को अंतराल की नींव के रूप में माना जा सकता है जिसमें फ़ंक्शन \\ (y \u003d ax ^ 2 + bx + c) लेता है सकारात्मक या नकारात्मक मान। ऐसा करने के लिए, यह विश्लेषण करने के लिए पर्याप्त है कि फ़ंक्शन का ग्राफ कैसे हो सकता है \\ (y \u003d ax ^ 2 + bx + c \\) समन्वय विमान में स्थित है: जहां पैराबोला शाखाओं को निर्देशित किया जाता है - ऊपर या नीचे , चाहे पैराबॉल एक्स अक्ष को छेड़छाड़ कर रहा हो और यदि यह पार हो जाता है, तो किस बिंदु पर।

एक चर के साथ दूसरी डिग्री की असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम:
1) स्क्वायर तीन के भेदभाव का पता लगाएं \\ (कुल्हाड़ी ^ 2 + बीएक्स + सी \\) और पता लगाएं कि जड़ें तीन कम हो गई हैं या नहीं;
2) यदि यह तीन कटा हुआ जड़ें हैं, तो वे एक्स अक्ष पर नोट किए जाते हैं और चिह्नित बिंदुओं के माध्यम से योजनाबद्ध रूप से पैराबोला किया जाता है, जिनकी शाखाओं को 0 या उससे कम 0 पर या उससे कम पर निर्देशित किया जाता है) एक्सिस एक्स अंतराल पर पाया गया जिसके लिए पैराबोलास एक्स अक्ष के ऊपर स्थित हैं (यदि असमानता \\ (ax ^ 2 + bx + c\u003e 0 \\)) या x अक्ष के नीचे (यदि असमानता हल हो जाती है)
\\ (अक्ष ^ 2 + बीएक्स + सी अंतराल द्वारा असमानताओं का समाधान

एक समारोह पर विचार करें
f (x) \u003d (x + 2) (x - 3) (x - 5)

इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र सभी संख्याओं का सेट है। कार्यों के शून्य संख्याएं हैं -2, 3, 5. वे अंतराल को निर्धारित करने के कार्य को विभाजित करते हैं \\ ((- \\ unfty; -2), \\; (-2; 3), \\; (3; 5) \\) और \\ ((5; + \\ unfty) \\)

पता लगाएं कि प्रत्येक निर्दिष्ट अंतराल में इस कार्य के संकेत क्या हैं।

अभिव्यक्ति (x + 2) (x - 3) (x - 5) तीन कारकों का एक उत्पाद है। विचाराधीन अंतराल में इनमें से प्रत्येक कारकों का संकेत तालिका में निर्दिष्ट है:

सामान्य रूप से, फ़ंक्शन को सूत्र सेट करने दें
f (x) \u003d (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n),
जहां एक्स-वेरिएबल, और एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन एक दूसरे के बराबर नहीं हैं। संख्या x 1, x 2, ..., x n समारोह के शून्य हैं। प्रत्येक अंतराल में जो फ़ंक्शन के शून्य से परिभाषा क्षेत्र को तोड़ दिया जाता है, फ़ंक्शन साइन सहेजा जाता है, और शून्य के माध्यम से स्विच करते समय यह अपने संकेत को बदलता है।

इस संपत्ति का उपयोग फॉर्म की असमानताओं को हल करने के लिए किया जाता है।
(एक्स - एक्स 1) (एक्स - एक्स 2) ... (एक्स - एक्स एन)\u003e 0,
(x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n) जहां x 1, x 2, ..., x n - एक दूसरे के बराबर नहीं

माना विधि असमानताओं के समाधान को अंतराल कहा जाता है।

हम अंतराल द्वारा असमानताओं के समाधान के उदाहरण देते हैं।

असमानता हल करें:

\\ (x (0.5 - x) (x + 4) स्पष्ट रूप से, फ़ंक्शन f (x) \u003d x (0.5 - x) (x + 4) के शून्य के जेरोस पॉइंट्स \\ (x \u003d 0, \\; x \u003d \\ frac) हैं (1) (2), \\; x \u003d -4 \\)

हम फ़ंक्शन के शून्य के संख्यात्मक अक्ष पर लागू होते हैं और प्रत्येक अंतराल पर साइन की गणना करते हैं:

उन अंतराल का चयन करें जिन पर फ़ंक्शन शून्य के बराबर या बराबर है और उत्तर लिखना है।

उत्तर:
\\ (x \\ _ in \\ in (- \\ unfty; \\; 1 \\ दाएं) \\ cup \\ _ छोड़ दिया [4; \\; + \\ unfty \\ अधिकार) \\)

अंतराल विधि को असमानताओं को हल करने के लिए सार्वभौमिक माना जाता है। कभी-कभी इस विधि को अंतराल की विधि भी कहा जाता है। हम एक चर और अन्य प्रजातियों की असमानताओं के साथ तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के लिए दोनों लागू होते हैं। हमारी सामग्री में हमने इस मुद्दे के सभी पहलुओं पर ध्यान देने की कोशिश की।

इस खंड में आपको क्या इंतजार है? हम अंतराल की विधि का विश्लेषण करेंगे और इसके साथ मामलों के लिए एल्गोरिदम पर विचार करेंगे। हम सैद्धांतिक पहलुओं को उठाएंगे जिन पर विधि का उपयोग आधारित है।

हम विषय की बारीकियों पर विशेष ध्यान देते हैं, जो आमतौर पर स्कूल कार्यक्रम से प्रभावित नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, अंतराल पर संकेतों की व्यवस्था और सामान्य रूप से अंतराल की विधि को तर्कसंगत असमानताओं के लिए बाध्यकारी के बिना नियमों पर विचार करें।

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कलन विधि

स्कूल वर्ष बीजगणित में अंतराल की विधि से परिचित कैसे हो रहा है? आमतौर पर सब कुछ फॉर्म एफ (एक्स) की असमानताओं के समाधान के साथ शुरू होता है< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , > या ≥)। यहां एफ (एक्स) बहुपद या बहुपद अनुपात हो सकता है। बदले में बहुपद, के रूप में दर्शाया जा सकता है:

• एक चर के साथ एक गुणांक 1 के साथ रैखिक biccins का उत्पाद;
• एक वरिष्ठ गुणांक 1 और उनकी जड़ों के नकारात्मक भेदभाव के साथ स्क्वायर तीन-दांव का उत्पाद।

हम ऐसी असमानताओं के कई उदाहरण देते हैं:

(x + 3) · (x 2 - x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) · (x + 5) x + 3\u003e 0,

(x - 5) · (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 · x + 7) · (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 · (x - 1) · (x - 3) 7 ≤ 0।

हम इस प्रजाति की असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम लिखते हैं, क्योंकि हमने उदाहरणों में नेतृत्व किया, अंतराल की विधि:

• हम असमानता के बाईं ओर अभिव्यक्ति के इस संख्यात्मक और अभिव्यक्ति के संख्यात्मक और denominator के शून्य के शून्य को शून्य के बराबर करते हैं और प्राप्त समीकरणों को हल करते हैं;
• हम उन बिंदुओं को निर्धारित करते हैं जो पाया जेरोस से मेल खाते हैं और उन्हें निर्देशांक की धुरी में चिह्नित करते हैं;
• अभिव्यक्ति के संकेत निर्धारित करें F (x) प्रत्येक अंतराल पर असमानता के बाईं ओर से और उन्हें चार्ट पर रखा जाना चाहिए;
• ग्राफ़ के वांछित हिस्सों पर एक हैचिंग लागू करें, निम्न नियम द्वारा निर्देशित: यदि असमानता के संकेत हैं< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки > या ≥, फिर हम "+" चिह्न के साथ चिह्नित स्ट्रोक क्षेत्रों को हाइलाइट करते हैं।

सेल्रेज़ जिसके साथ हम काम करेंगे, एक योजनाबद्ध दृश्य हो सकता है। अनावश्यक विवरण ड्राइंग को अधिभारित कर सकते हैं और इसे हल करना मुश्किल बना सकते हैं। हम स्केल में थोड़ी दिलचस्पी लेंगे। यह बिंदुओं के सही स्थान का पालन करने के लिए पर्याप्त होगा क्योंकि उनके निर्देशांक के मूल्य बढ़ते हैं।

सख्त असमानताओं के साथ काम करते समय, हम एक अपरिपक्व (खाली) केंद्र के साथ एक सर्कल के रूप में बिंदु के पदनाम का उपयोग करेंगे। अविश्वसनीय असमानताओं के मामले में, अंक जो संप्रदाय के शून्य से मेल खाते हैं, हमें खाली चित्रित किया जाएगा, और अन्य सभी साधारण काले हैं।

नोट किए गए बिंदु समन्वय को सीधे कई संख्यात्मक अंतराल में विभाजित करते हैं। यह हमें एक संख्यात्मक सेट का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व प्राप्त करने की अनुमति देता है, जो वास्तव में इस असमानता का समाधान है।

अंतराल की विधि के वैज्ञानिक आधार

अंतराल विधि के आधार पर दृष्टिकोण निरंतर कार्य की निम्न संपत्ति पर आधारित है: फ़ंक्शन अंतराल (ए, बी) पर एक स्थायी संकेत को बरकरार रखता है, जिस पर यह कार्य निरंतर है और गायब नहीं होता है। यह संपत्ति संख्यात्मक किरणों की विशेषता है (- ∞, ए) और (ए, + ∞).

फ़ंक्शन के निर्दिष्ट फ़ंक्शन को बोल्ज़ानो-कौची प्रमेय द्वारा पुष्टि की जाती है, जिसे कई मैनुअल में प्रारंभिक परीक्षणों के लिए तैयार करने के लिए दिया जाता है।

अंतराल पर संकेत की स्थिरता को न्यायसंगत रूप से संख्यात्मक असमानताओं के गुणों पर भी आधारित हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम असमानता एक्स - 5 x + 1\u003e 0 लेते हैं। अगर हमें संख्यात्मक और denominator के शून्य मिलते हैं और उन्हें संख्यात्मक प्रत्यक्ष रूप से लाते हैं, तो हमें अंतराल की एक पंक्ति मिलती है: (− ∞ , − 1) , (- 1, 5) और (5, + ∞)।

किसी भी अंतराल को लें और इस पर दिखाएं कि पूरी श्रृंखला में असमानता के बाईं ओर की अभिव्यक्ति का स्थायी संकेत होगा। इसे एक अंतराल (- ∞, - 1) होने दें। इस अंतर से किसी भी संख्या टी लें। यह शर्तों को पूरा करेगा< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

प्राप्त की गई असमानताओं और संख्यात्मक असमानताओं की संपत्ति का उपयोग करके, हम यह मान सकते हैं कि टी + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения टी अंतराल पर (- ∞, - 1)।

नकारात्मक संख्याओं के कटौती नियम का उपयोग करके, हम तर्क दे सकते हैं कि अभिव्यक्ति टी -5 टी + 1 का मूल्य सकारात्मक होगा। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति का मूल्य x - 5 x + 1 किसी भी अर्थ में सकारात्मक होगा एक्स।अंतराल से (− ∞ , − 1) । यह सब हमें तर्क देता है कि अंतराल में, उदाहरण के लिए लिया गया, अभिव्यक्ति का स्थायी संकेत है। हमारे मामले में, यह "+" संकेत है।

संख्यात्मक और denominator के zerles ढूँढना

ज़ीरोस ढूंढने के लिए एल्गोरिदम सरल है: संख्यात्मक और denominator से अभिव्यक्तियों को शून्य करने और प्राप्त समीकरणों को हल करने के लिए। कठिनाई के मामले में, "गुणक पर अपघटन की विधि द्वारा समीकरणों का समाधान" विषय को संदर्भित करना संभव है। इस खंड में, हम केवल उदाहरण के विचार को सीमित कर देंगे।

अंश x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 पर विचार करें। संख्याओं और denominator के nulls खोजने के लिए, हम समीकरणों को प्राप्त करने और हल करने के लिए उन्हें शून्य से बराबर करते हैं: x · (x - 0, 6) \u003d 0 और x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 \u003d 0.

पहले मामले में, हम दो समीकरणों x \u003d 0 और x - 0, 6 \u003d 0 के संयोजन पर जा सकते हैं, जो हमें दो जड़ें 0 और 0, 6 देता है। ये संख्या के शून्य हैं।

दूसरा समीकरण तीन समीकरणों की कुलता के बराबर है x 7 \u003d 0, (x 2 + 2 · x + 7) 2 \u003d 0, (x + 5) 3 \u003d 0। हम परिवर्तन की एक श्रृंखला करते हैं और x \u003d 0, x 2 + 2 · x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0 प्राप्त करते हैं। पहले समीकरण 0 की जड़, दूसरे समीकरण में कोई जड़ नहीं है, क्योंकि इसका नकारात्मक भेदभाव है, तीसरे समीकरण की जड़ 5 है। यह denominator का शून्य है।

0 इस मामले में, यह एक साथ और शून्य शून्य है, और शून्य द्वारा शून्य से।

सामान्य रूप से, जब असमानता के बाएं हिस्से में, वह अंश जो आवश्यक रूप से तर्कसंगत नहीं होता है, सम संख्या और denominator समीकरण प्राप्त करने के लिए शून्य के बराबर भी होते हैं। समीकरणों का समाधान आपको संख्यात्मक और denominator के शून्य खोजने की अनुमति देता है।

बस अंतराल का संकेत निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, आप इस अंतराल से किसी भी मनमाने ढंग से चयनित बिंदु के लिए असमानता के बाईं ओर अभिव्यक्ति का मूल्य पा सकते हैं। अंतराल के मनमाने ढंग से चयनित बिंदु में अभिव्यक्ति का परिणामी संकेत मूल्य पूरे अंतर के संकेत के साथ मेल खाता है।

उदाहरण पर इस कथन पर विचार करें।

असमानता x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 लें। असमानता के बाईं ओर स्थित संख्या के शून्य अभिव्यक्ति के शून्य में शून्य नहीं है। शून्य denominator नंबर - 3 होगा। हमें एक संख्यात्मक सीधे पर दो अंतराल मिलते हैं (− ∞ , − 3) और (- 3, + ∞)।

अंतराल के अंक निर्धारित करने के लिए, हम प्रत्येक अंतराल पर मनमाने ढंग से किए गए अंक के लिए एक्सपी 2 - एक्स + 4 एक्स + 3 अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करते हैं।

पहले अंतराल से (− ∞ , − 3) ले - 4। के लिये x \u003d - 4 हमारे पास (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 \u003d - 24। हमें एक नकारात्मक मूल्य मिला, जिसका अर्थ है कि संपूर्ण अंतराल हस्ताक्षर "-" के साथ होगा।

गैप के लिए (− 3 , + ∞) शून्य समन्वय वाले बिंदु के साथ गणना को काटें। X \u003d 0 पर हमारे पास 0 2 - 0 + 4 0 + 3 \u003d 4 3 हैं। उन्हें एक सकारात्मक मूल्य मिला, जिसका अर्थ है कि पूरे अंतराल में "+" चिह्न होगा।

आप संकेतों की पहचान करने के लिए एक और तरीका का उपयोग कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम अंतराल में से किसी एक पर एक संकेत पा सकते हैं और इसे सहेज सकते हैं या इसे शून्य के माध्यम से संक्रमण के दौरान बदल सकते हैं। सबकुछ सही तरीके से करने के लिए, नियम का पालन करना आवश्यक है: denominator के शून्य के माध्यम से स्विच करते समय, लेकिन एक संख्या, या एक संख्यात्मक नहीं, लेकिन एक denominator नहीं, हम अभिव्यक्ति की डिग्री के विपरीत संकेत बदल सकते हैं अगर अभिव्यक्ति की डिग्री यह शून्य, अजीब, और यदि डिग्री भी है तो संकेत नहीं बदल सकता है। अगर हमें एक बिंदु प्राप्त हुआ, जो एक साथ संख्या शून्य और denominator शून्य है, तो आप इस शून्य को व्यक्त करने वाले अभिव्यक्तियों की डिग्री की राशि के विपरीत एक विपरीत व्यक्ति को बदल सकते हैं।

अगर हमें इस सामग्री के पहले बिंदु की शुरुआत में असमानता याद है, तो सही अंतराल के चरम अधिकार पर हम "+" चिह्न डाल सकते हैं।

अब आइए उदाहरणों को बदल दें।

असमानता लें (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 और अंतराल विधि द्वारा इसे हल करता है । ऐसा करने के लिए, हमें संख्यात्मक और denominator के शून्य को खोजने और उन्हें समन्वय प्रत्यक्ष पर नोट करने की आवश्यकता है। संख्या के शून्य अंक होंगे 2 , 3 , 4 , डेनोमिनेटर प्वाइंट 1 , 3 , चार । हम उन्हें समन्वय आक्रमण की धुरी पर ध्यान देते हैं।

Denominator नोट खाली अंक के शून्य।

चूंकि हम अविश्वसनीय असमानता से निपट रहे हैं, फिर शेष डैश हम सामान्य बिंदुओं को प्रतिस्थापित करते हैं।

अब अंक को अंतराल पर रखें। चरम दाएं अंतर (4, + ∞) एक + होगा।

दाएं से बाएं आगे बढ़ते हुए, हम बाकी के अंतराल के संकेत उठाएंगे। समन्वय 4 के साथ एक बिंदु के माध्यम से जाओ। यह एक साथ शून्य और denominator शून्य है। कुल मिलाकर, ये शून्य अभिव्यक्ति देते हैं (x - 4) 2 तथा एक्स - 4।। उनकी डिग्री 2 + 1 \u003d 3 मिलाएं और हमें एक विषम संख्या मिलती है। इसका मतलब यह है कि इस मामले में आगे बढ़ने पर संकेत विपरीत में बदल जाता है। अंतराल (3, 4) एक ऋण चिह्न होगा।

समन्वय 3 के साथ बिंदु के माध्यम से अंतराल (2, 3) पर जाएं। यह भी शून्य और संख्याकार, और denominator है। हमें यह दो अभिव्यक्तियों (x - 3) 3 के लिए धन्यवाद मिला (x - 3) 5, जिनमें से डिग्री का योग 3 + 5 \u003d 8 है। एक संख्या प्राप्त करने से हमें अंतराल को अपरिवर्तित करने का संकेत छोड़ने की अनुमति मिलती है।

समन्वय 2 के साथ बिंदु संख्या का शून्य है। अभिव्यक्ति x - 2 की डिग्री 1 (विषम) है। इसका मतलब है कि इस बिंदु के माध्यम से स्विच करते समय, संकेत को विपरीत में बदला जाना चाहिए।

हमने अंतिम अंतराल (- ∞, 1) छोड़ दिया है। समन्वय 1 के साथ बिंदु शून्य denominator है। यह अभिव्यक्ति से प्राप्त किया गया था (x - 1) 4डिग्री के साथ भी 4 । नतीजतन, संकेत वही रहता है। अंतिम ड्राइंग इस तरह का होगा:

अंतराल विधि का उपयोग विशेष रूप से उन मामलों में प्रभावी होता है जहां अभिव्यक्ति मूल्य की गणना बड़ी मात्रा में काम से जुड़ी होती है। एक उदाहरण अभिव्यक्ति मूल्य की गणना करने की आवश्यकता हो सकती है।

एक्स + 3 - 3 4 3 · x 2 + 6 · x + 11 2 · x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 · x - 2 3 5 · (x - 12)

अंतराल के किसी भी बिंदु पर 3 - 3 4, 3 - 2 4।

अब हम ज्ञान प्राप्त करने और अभ्यास में कौशल के उपयोग से निपटेंगे।

उदाहरण 1।

असमानता हल (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0।

फेसला

असमानता को हल करने के लिए अंतराल विधि को लागू करने की सलाह दी जाती है। हमें संख्यात्मक और संप्रदाय के शून्य मिलते हैं। संख्यात्मक 1 और 5 के शून्य, डेनोमिनेटर 7 और 1 के शून्य। हम उन्हें एक संख्यात्मक सीधे पर ध्यान दें। हम अविश्वसनीय असमानता से निपट रहे हैं, इसलिए संप्रदाय के शून्य, हम खाली अंक नोट करते हैं, शून्य संख्या - 5, हम सामान्य चित्रित बिंदु को नोट करते हैं।

शून्य से आगे बढ़ते समय संकेत बदलने के नियमों का उपयोग करके अंतराल का प्रोस्टिब्स। आइए चरम दाएं अंतर के साथ शुरू करें जिसके लिए हम अंतराल से लिया गया बिंदु पर बाईं ओर की बाईं ओर अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें। हमें एक संकेत "+" मिलता है। आइए समन्वय प्रत्यक्ष, संकेतों की व्यवस्था करने के लिए सभी बिंदुओं के माध्यम से उत्तराधिकार में उत्तीर्ण हो जाएं, और हमें मिलता है:

हम अविश्वसनीय असमानता के साथ काम करते हैं ≤। इसका मतलब है कि हमें "-" द्वारा चिह्नित हैचिंग अंतराल को नोट करने की आवश्यकता है।

उत्तर: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

अधिकांश मामलों में तर्कसंगत असमानताओं का समाधान उनके प्रारंभिक परिवर्तन को सही दिमाग में आवश्यक है। केवल उसके बाद अंतराल विधि का उपयोग करने की क्षमता प्रकट होती है। इस तरह के परिवर्तनों के संचालन के लिए एल्गोरिदम सामग्री "तर्कसंगत असमानताओं के निर्णय" पर विचार किया जाता है।

असमानताओं की रिकॉर्डिंग में स्क्वायर तीन-दांव के रूपांतरण के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 2।

असमानता का समाधान खोजें (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 · x - 8\u003e 0।

फेसला

आइए देखें कि भेदभाव वास्तव में असमानता की रिकॉर्डिंग में स्क्वायर तीन-दांव हैं या नहीं। यह हमें यह निर्धारित करने की अनुमति देगा कि असमानता का प्रकार हमें अंतराल विधि को हल करने की अनुमति देता है या नहीं।

ट्रिपल के लिए भेदभाव की गणना करें x 2 + 3 · x + 3: d \u003d 3 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 3< 0 . अब हम तीन-शॉट्स x 2 + 2 · x - 8: d '\u003d 1 2 - 1 · (- 8) \u003d 9\u003e 0 के लिए भेदभाव की गणना करते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, असमानता को प्रारंभिक परिवर्तन की आवश्यकता होती है। ऐसा करने के लिए, तीन चरणों x 2 + 2 · x - 8 की कल्पना करें (x + 4) · (x - 2), और फिर हम असमानता को हल करने के लिए अंतराल विधि लागू करते हैं (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2)\u003e 0।

उत्तर: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

अंतराल की सामान्यीकृत विधि का उपयोग फॉर्म एफ (एक्स) की असमानताओं को हल करने के लिए किया जाता है< 0 (≤ , > , ≥), जहां एफ (एक्स) एक चर के साथ एक मनमानी अभिव्यक्ति है एक्स।.

सभी कार्य एक विशिष्ट एल्गोरिदम के अनुसार किए जाते हैं। साथ ही, अंतराल की सामान्यीकृत विधि के लिए अल्पसंख्यक समाधान के लिए एल्गोरिदम कुछ हद तक अलग होगा जो हमने पहले अलग किया है:

• हमें इस फ़ंक्शन के फ़ंक्शन f और शून्य को निर्धारित करने का क्षेत्र मिलता है;
• हम समन्वय अक्ष सीमा बिंदुओं पर ध्यान देते हैं;
• हम कार्यों के संख्यात्मक प्रत्यक्ष शून्य पर लागू होते हैं;
• अंतराल के संकेत निर्धारित करें;
• हैचिंग लागू करें;
• उत्तर रिकॉर्ड करें।

संख्यात्मक प्रत्यक्ष पर, परिभाषा क्षेत्र के व्यक्तिगत बिंदुओं को ध्यान में रखना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन की परिभाषा की सीमा सेट (- 5, 1] \u200b\u200b∪ (3) ∪ [4, 7) ∪ (10) है . इसका मतलब है कि हमें निर्देशांक के साथ बिंदुओं को नोट करने की आवश्यकता है - 5, 1, 3, 4 , 7 तथा 10 । अंक − 5 और 7 खाली हो जाएगा, बाकी को एक रंगीन पेंसिल द्वारा अलग किया जा सकता है ताकि उन्हें समेकित किया जा सके।

अविश्वसनीय असमानताओं के मामले में शून्य फ़ंक्शन परंपरागत (चित्रित) बिंदुओं, सख्त - खाली अंक द्वारा लागू किया जाता है। यदि शून्य सीमा बिंदुओं या परिभाषा क्षेत्र के अलग-अलग बिंदुओं के साथ मेल खाता है, तो उन्हें अश्वेतता के प्रकार के आधार पर खाली या चित्रित करने के लिए काले रंग में पुनर्निर्मित किया जा सकता है।

प्रतिक्रिया प्रविष्टि एक संख्यात्मक सेट है जिसमें शामिल हैं:

• हैचिंग के साथ बार्न;
• एक प्लस साइन के साथ परिभाषा के क्षेत्र के अलग-अलग बिंदु, यदि हम असमानता से निपट रहे हैं, तो किस प्रकार का संकेत\u003e या ≥ या शून्य चिह्न के साथ, यदि असमानता में संकेत हैं< или ≤ .

अब यह स्पष्ट हो गया कि इस विषय की शुरुआत में नेतृत्व वाले एल्गोरिदम एक सामान्यीकृत अंतराल विधि को लागू करने के लिए एल्गोरिदम का एक विशेष मामला है।

सामान्यीकृत अंतराल विधि को लागू करने का एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 3।

असमानता का निर्धारण करें x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 x - 7< 0 .

फेसला

हम फ़ंक्शन f जैसे कि f (x) \u003d x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 x-7। फ़ंक्शन परिभाषा क्षेत्र खोजें एफ:

x 2 + 2 · x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 d (f) \u003d (- ∞, - 6] ∪ [4, 7) ∪ (7, + ∞)।

अब हम फ़ंक्शन के शून्य पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम तर्कहीन समीकरण का समाधान करेंगे:

x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 \u003d 0

हमें रूट x \u003d 12 मिलता है।

समन्वय की धुरी पर सीमा बिंदुओं को नामित करने के लिए, हम नारंगी रंग का उपयोग करते हैं। अंक - 6, 4 हमें चित्रित किया जाएगा, और 7 खाली छोड़ देंगे। हम पाते हैं:

नोट शून्य रंग काले रंग के खाली बिंदु के साथ, जैसा कि हम सख्त असमानता के साथ काम करते हैं।

व्यक्तिगत अंतराल पर संकेत निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक अंतराल से एक बिंदु पर लें, उदाहरण के लिए, 16 , 8 , 6 तथा − 8 और समारोह के मूल्य की गणना करें एफ:

f (16) \u003d 16 2 + 2 · 16 - 24 - 3 4 · 16 - 3 16 - 7 \u003d 264 - 15 9\u003e 0 f (8) \u003d 8 2 + 2 · 8 - 24 - 3 4 · 8 - 3 8 - 7 \u003d 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 > 0 एफ (- 8) \u003d - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

हम केवल कुछ संकेतों को परिभाषित करते हैं, और हम एक ऋण चिह्न के साथ अंतराल पर एक हैचिंग लागू करते हैं:

जवाब "-" के साथ दो अंतराल का संघ होगा: (- ∞, - 6] ∪ (7, 12)।

जवाब में, हमने समन्वय - 6 के साथ बिंदु चालू कर दिया। यह एक शून्य फ़ंक्शन नहीं है कि सख्त असमानता को हल करते समय हमें प्रतिक्रिया में शामिल नहीं किया जाएगा, और परिभाषा क्षेत्र में प्रवेश करने वाली परिभाषा क्षेत्र की सीमा बिंदु। इस बिंदु पर कार्य का मूल्य नकारात्मक है, इसका मतलब है कि यह असमानता को संतुष्ट करता है।

प्वाइंट 4 हमने प्रतिक्रिया में नहीं किया, जैसा कि उन्होंने पूरे अंतराल को शामिल नहीं किया [4, 7)। इस बिंदु पर, जैसे पूरे निर्दिष्ट अंतर पर, फ़ंक्शन का मूल्य सकारात्मक है, जो असमानता को हल करने के लिए संतुष्ट नहीं करता है।

हम इसे एक स्पष्ट समझ के लिए फिर से लिखते हैं: निम्नलिखित मामलों में रंग बिंदु शामिल किए जाने चाहिए:

• ये बिंदु हैचिंग के साथ अंतर का हिस्सा हैं,
• ये बिंदु फ़ंक्शन को निर्धारित करने के कार्य के अलग-अलग बिंदु हैं, कार्य के मान जिनमें असमानता से संतुष्ट हैं।

उत्तर: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

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अंतराल विधि - आंशिक तर्कसंगत असमानताओं को हल करने का एक आसान तरीका। वैरिएबल के आधार पर तर्कसंगत (या आंशिक-तर्कसंगत) अभिव्यक्ति वाले असमानताओं को तथाकथित।

1. उदाहरण के लिए, ऐसी असमानता पर विचार करें

अंतराल विधि आपको इसे कुछ मिनटों में हल करने की अनुमति देती है।

इस असमानता के बाईं ओर - एक आंशिक तर्कसंगत कार्य। तर्कसंगत, क्योंकि इसमें जड़ें नहीं होती हैं, न ही साइनस, कोई लॉगरिदम नहीं - केवल तर्कसंगत अभिव्यक्ति। दाईं ओर - शून्य।

अंतराल विधि एक आंशिक तर्कसंगत कार्य की निम्नलिखित संपत्ति पर आधारित है।

आंशिक तर्कसंगत कार्य केवल उन बिंदुओं पर संकेत बदल सकता है जिसमें यह शून्य है या अस्तित्व में नहीं है।

हम याद दिलाएंगे, क्योंकि यह गुणक पर मुड़ा हुआ है, वर्ग तीन घटता है, यानी, फॉर्म की अभिव्यक्ति है।

जहां और वर्ग समीकरण की जड़ें।

हम धुरी खींचते हैं और उन बिंदुओं को सेट करते हैं जिनमें संख्यात्मक और denominator शून्य पर लागू होते हैं।

डेनोमिनेटर और बेवकूफ बिंदुओं के शून्य, इन बिंदुओं के बाद से असमानता के बाईं ओर कार्य परिभाषित नहीं किया गया है (शून्य में विभाजित नहीं किया जा सकता है)। नस्टर की असमानता के रूप में, संख्याओं के शून्य और चित्रित। पर और हमारी असमानता का प्रदर्शन किया जाता है, क्योंकि इसके दोनों हिस्सों शून्य हैं।

ये बिंदु धुरी को अंतराल में तोड़ देते हैं।

इन अंतराल में हमारी असमानता के बाईं ओर एक आंशिक तर्कसंगत कार्य का संकेत निर्धारित करें। हमें याद है कि एक आंशिक तर्कसंगत कार्य केवल उन बिंदुओं पर संकेत बदल सकता है जिसमें यह शून्य है या अस्तित्व में नहीं है। इसका मतलब यह है कि अंकों के बीच प्रत्येक अंतराल पर, जहां संख्या या denominator शून्य में बदल जाता है, असमानता के बाईं ओर अभिव्यक्ति का संकेत स्थायी होगा - या तो "प्लस" या "माइनस"।

और इसलिए, इस तरह के अंतराल पर फ़ंक्शन के संकेत को निर्धारित करने के लिए, हम इस अंतर से संबंधित किसी भी बिंदु को लेते हैं। एक जो हमें सुविधाजनक है।
। उदाहरण के लिए, और असमानता के बाईं ओर अभिव्यक्ति के संकेत की जांच करें। "कोष्ठक" में से प्रत्येक नकारात्मक है। बाईं ओर एक संकेत है।

अगला अंतर :. साइन पर जांचें। हमें लगता है कि बाएं हिस्से ने साइन को बदल दिया है।

लेना। सकारात्मक रूप से व्यक्त करते समय, यह पूरी श्रृंखला पर सकारात्मक रूप से सकारात्मक रूप से होता है।

असमानता के बाईं ओर नकारात्मक है।

और अंत में, कक्षा \u003d "TEX" alt \u003d "(! लैंग: एक्स\u003e 7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

हमने पाया कि अभिव्यक्ति क्या अवधि है। यह उत्तर लिखने के लिए बनी हुई है:

उत्तर :.

कृपया ध्यान दें: अंतराल पर संकेत वैकल्पिक। यह हुआ क्योंकि प्रत्येक बिंदु के माध्यम से आगे बढ़ते समय, रैखिक गुणक में से एक ने संकेत बदल दिया, और बाकी ने इसे अपरिवर्तित रखा.

हम देखते हैं कि अंतराल विधि बहुत आसान है। अंतराल की आंशिक तर्कसंगत असमानता विधि को हल करने के लिए, इसे ध्यान में रखें:

या कक्षा \u003d "टेक्स" alt \u003d "(! LANG: \\ Genfrac () () (0) (\\ displaystyle p \\ Left (x \\ दाएँ)) (\\ Displaystyle q \\ Left (x \\ दाएँ))\u003e 0"> !}, या या ।

(बाईं ओर - दाएं - शून्य में एक आंशिक तर्कसंगत कार्य)।

फिर - एक संख्यात्मक प्रत्यक्ष बिंदु पर ध्यान दें जिसमें संख्यात्मक या denominator शून्य पर लागू होता है।
ये बिंदु पूरे अंक को अंतराल पर सीधे तोड़ते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर एक आंशिक तर्कसंगत कार्य अपने संकेत को बचाता है।
यह केवल प्रत्येक अंतराल पर अपने संकेत का पता लगाने के लिए बनी हुई है।
हम इस अंतर से कहीं भी अभिव्यक्ति के संकेत की जांच करके ऐसा करते हैं। उसके बाद, उत्तर लिखें। बस इतना ही।

लेकिन सवाल उठता है: क्या हमेशा वैकल्पिक संकेत है? नहीं हमेशा नहीं! यह चौकस होना जरूरी है और यांत्रिक रूप से और दिमागी संकेतों की व्यवस्था न करें।

2. एक और असमानता पर विचार करें।

कक्षा \u003d "टेक्स" alt \u003d "(! लैंग: \\ Genfrac () () (0) (\\ displaystyle \\ Left (x-2 \\ दाएं) ^ 2) (\\ displaystyle \\ Left (x-1 \\ दाएँ) \\ Left (X-3 \\ दाएँ)\u003e 0"> !}

एक्सिस पर फिर से खुले अंक। अंक और - क्रॉल, क्योंकि यह denominator के शून्य है। बिंदु भी चित्रित किया जाता है, क्योंकि असमानता सख्त है।

संख्या सकारात्मक है, denominator में दोनों गुणक नकारात्मक हैं। उदाहरण के लिए, इस अंतराल से किसी भी संख्या को लेने से जांच करना आसान है। बाईं ओर एक संकेत है:

एक संख्या के साथ सकारात्मक है; संप्रदाय में पहला कारक सकारात्मक है, दूसरा कारक नकारात्मक है। बाईं ओर एक संकेत है:

स्थिति के साथ एक ही! संख्यात्मक सकारात्मक है, संप्रदाय में पहला कारक सकारात्मक है, दूसरा नकारात्मक है। बाईं ओर एक संकेत है:

अंत में, कक्षा \u003d "टेक्स" alt \u003d "के साथ (! लैंग: एक्स\u003e 3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

उत्तर :.

संकेतों का विकल्प क्यों था? क्योंकि जब उसके गुणक के लिए "जिम्मेदार" बिंदु के माध्यम से आगे बढ़ते हैं संकेत नहीं बदले। नतीजतन, हमारे असमानता के संकेत और पूरे बाएं हिस्से को नहीं बदला।

आउटपुट: यदि रैखिक गुणक एक स्पष्ट डिग्री पर है (उदाहरण के लिए, एक वर्ग में), फिर बिंदु के माध्यम से स्विच करते समय, बाएं हिस्से में अभिव्यक्ति का संकेत नहीं बदलता है। लगातार संकेत की स्थिति में, निश्चित रूप से, परिवर्तन।

3. अधिक कठिन मामले पर विचार करें। पिछले एक से, यह इस तथ्य से प्रतिष्ठित है कि असमानता असमानता है:

बाएं भाग पिछले कार्य में समान है। संकेतों की तस्वीर भी होगी:

शायद जवाब वही होगा? नहीं! समाधान जोड़ा गया है क्योंकि, बाईं ओर, और असमानता के सही हिस्सों शून्य हैं - इसलिए, यह बिंदु एक समाधान है।

उत्तर :.

गणित में परीक्षा के कार्य में, यह स्थिति आम है। यहां, आवेदक जाल में आते हैं और अंक खो देते हैं। सावधान रहे!

4. क्या होगा यदि संख्या या denominator रैखिक गुणक पर विघटन करने में विफल रहता है? ऐसी असमानता पर विचार करें:

स्क्वायर तीन-दांव लगाने के लिए यह असंभव है: भेदभाव नकारात्मक है, कोई जड़ें नहीं हैं। लेकिन यह अच्छा है! इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति का संकेत बिल्कुल समान है, और विशेष रूप से - सकारात्मक है। आप द्विघात समारोह के गुणों पर लेख में इसके बारे में अधिक पढ़ सकते हैं।

और अब हम अपनी असमानता के दोनों हिस्सों को मूल्य सकारात्मक के लिए साझा कर सकते हैं। समतुल्य असमानता के लिए आते हैं:

जो आसानी से अंतराल विधि द्वारा हल किया जाता है।

कृपया ध्यान दें - हमने असमानता के दोनों हिस्सों को उस राशि से साझा किया, जिसमें से उन्हें पता था कि यह सकारात्मक था। बेशक, सामान्य रूप से, असमानता को एक परिवर्तनीय मूल्य में गुणा करने या विभाजित करने के लिए आवश्यक नहीं है, जिस पर हस्ताक्षर अज्ञात है।

5 । एक और असमानता पर विचार करें, यह काफी सरल है:

तो मैं इसे गुणा करना चाहता हूं। लेकिन हम पहले से ही स्मार्ट हैं, और हम ऐसा नहीं करेंगे। दरअसल, यह सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकता है। और हम जानते हैं कि यदि असमानता के दोनों हिस्सों को नकारात्मक मूल्य से गुणा किया जाता है - असमानता परिवर्तन का संकेत।

हम अलग-अलग करेंगे - हम सबकुछ एक भाग में एकत्र करेंगे और हम सामान्य संप्रदाय को देते हैं। सही हिस्सा शून्य रहेगा:

कक्षा \u003d "टेक्स" alt \u003d "(! लैंग: \\ Genfrac () () (0) (\\ displaystyle x-2) (\\ displaystyle x)\u003e 0"> !}

और उसके बाद - लागू अंतराल विधि.

अंतराल विधि (या इसे कभी-कभी अंतराल की विधि कहा जाता है) असमानताओं को हल करने की एक सार्वभौमिक विधि है। यह विभिन्न प्रकार की असमानताओं को हल करने के लिए उपयुक्त है, लेकिन हल करने में सबसे सुविधाजनक है तर्कसंगत असमानता एक चर के साथ। इसलिए, बीजगणित के स्कूल वर्ष में, अंतराल विधि तर्कसंगत असमानताओं से बारीकी से जुड़ी हुई है, और इसकी सहायता के साथ अन्य असमानताओं का समाधान व्यावहारिक रूप से ध्यान नहीं देता है।

इस आलेख में, हम अंतराल विधि के विस्तार में विस्तार से विस्तार से विस्तार से विस्तारित होंगे और इसके साथ एक चर के साथ असमानताओं के समाधान की सभी सूक्ष्मताओं को टैप करेंगे। आइए अंतराल द्वारा गुलामणक समाधान के लिए एल्गोरिदम से शुरू करें। इसके अलावा, हम बताएंगे कि किस तरह के सैद्धांतिक पहलू आधारित हैं, और हम विशेष रूप से एल्गोरिदम के चरणों का विश्लेषण करेंगे, हम अंतराल पर संकेतों की परिभाषा पर ध्यान केंद्रित करेंगे। उसके बाद, हम अभ्यास करने और कई विशिष्ट उदाहरणों के समाधान दिखाने के लिए आगे बढ़ते हैं। और निष्कर्ष में, हम सामान्य रूप में अंतराल विधि मानते हैं (यानी, तर्कसंगत असमानताओं के संदर्भ के बिना), दूसरे शब्दों में, एक सामान्यीकृत अंतराल विधि।

नेविगेटिंग पेज।

कलन विधि

स्कूल में अंतराल की विधि के साथ परिचित फॉर्म एफ (एक्स) की असमानताओं को हल करने में शुरू होता है<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, > या ≥), जहां f (x) या तो एक काम के रूप में प्रस्तुत किया जाता है रैखिक बाउंस एक चर x और / या के साथ c 1 स्क्वायर थ्रेस्टीज़ 1 के वरिष्ठ गुणांक के साथ और एक नकारात्मक भेदभाव और उनकी डिग्री, या ऐसे बहुपदों के दृष्टिकोण के साथ। स्पष्टता के लिए, हम ऐसी असमानताओं के उदाहरण देते हैं: (x-5) · (x + 5) 0, (x + 3) · (x 2 -x + 1) · (x + 2) 3 ≥0, .

इस विषय पर और बातचीत करने के लिए, अंतराल की विधि से उपरोक्त दृश्य की असमानताओं के समाधान के लिए एल्गोरिदम को तुरंत रिकॉर्ड करना, और फिर हम इसे समझ लेंगे कि हां, हां क्यों हाँ। तो, अंतराल विधि द्वारा:

• सबसे पहले, संख्यात्मक के शून्य और शून्य के शून्य हैं। इसके लिए, असमानता के बाईं ओर अभिव्यक्ति के संख्यात्मक और संप्रदाय शून्य के बराबर होते हैं, और प्राप्त समीकरण हल किए जाते हैं।
• उसके बाद, पाए गए शून्य के अनुरूप बिंदु डैश द्वारा चिह्नित हैं। एक काफी योजनाबद्ध ड्राइंग, जिस पर पैमाने का निरीक्षण करना आवश्यक नहीं है, मुख्य बात एक दूसरे के सापेक्ष बिंदुओं के स्थान का पालन करना है: एक छोटे समन्वय के साथ बिंदु अधिक समन्वय के साथ सबसे बाएं बिंदु है। उसके बाद, यह पता चला कि क्या चित्रित किया जाना चाहिए: साधारण या पेंट (एक खाली केंद्र के साथ)। जब सख्त असमानता को हल करना (एक संकेत के साथ)< или >) सभी बिंदुओं को पेंट में चित्रित किया गया है। एक गैर-सख्त असमानता (≤ या ≥ के साथ) को हल करते समय, डेनोमिनेटर के शून्य के अनुरूप बिंदु पेंट में बने होते हैं, और दरों के साथ चिह्नित शेष बिंदु सामान्य होते हैं। ये बिंदु समन्वय को कई संख्यात्मक अंतराल में सीधे तोड़ते हैं।
• इसके अलावा, प्रत्येक अंतराल पर हल करने के लिए असमानता के बाईं ओर अभिव्यक्तियों के संकेतों को निर्धारित किया जाता है (जैसा कि किया जाता है, हमें निम्नलिखित वस्तुओं में से एक में विस्तार से बताते हैं), और वे + या के साथ रेखांकित होते हैं - उन पर परिभाषित संकेतों के अनुसार।
• अंत में, एक संकेत के साथ असमानता को हल करते समय< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком > या ≥ - + के साथ चिह्नित अंतराल पर। नतीजतन, यह पता चला है, जो असमानता का वांछित समाधान है।

ध्यान दें कि उपरोक्त एल्गोरिदम स्कूल पाठ्यपुस्तकों में अंतराल की विधि के विवरण के साथ सहमत है।

विधि का आधार क्या है?

अंतराल विधि के अंतर्निहित दृष्टिकोण एक निरंतर कार्य की निम्न संपत्ति के कारण होता है: यदि फ़ंक्शन एफ अंतराल (ए, बी) पर निरंतर है, तो यह शून्य पर नहीं जाता है, फिर यह इस अंतराल पर एक स्थायी संकेत बनी हुई है ( अपने आप से जोड़ें कि एक समान संपत्ति यह संख्यात्मक किरणों (-∞, ए) और (ए, + ∞) के लिए भी मान्य है। और इस संपत्ति, बदले में, बोल्ज़ानो-कौची के प्रमेय से चलती है (इसका विचार स्कूल कार्यक्रम के दायरे से परे है), यदि आवश्यक हो, तो शब्द और प्रमाण, उदाहरण के लिए, पुस्तक में पाया जा सकता है।

अभिव्यक्ति एफ (एक्स) के लिए, पिछले अनुच्छेद में निर्दिष्ट होने के कारण, अंतराल पर संकेत की स्थिरता को उचित ठहराया जा सकता है और अन्यथा, संख्यात्मक असमानताओं के गुणों को धक्का दिया जा सकता है और गुणों के गुणा और संख्याओं के विभाजन के नियमों को ध्यान में रखते हुए और विभिन्न संकेत।

उदाहरण के तौर पर, असमानता पर विचार करें। इसके संख्यात्मक और denominator के शून्य एक संख्यात्मक को सीधे तीन अंतराल (-∞, -1), (-1, 5) और (5, + ∞) में विभाजित करते हैं। हम दिखाते हैं कि अंतराल (-∞, -1) पर, असमानता के बाईं ओर की अभिव्यक्ति में एक स्थायी संकेत है (आप एक और अंतराल ले सकते हैं, तर्क समान होंगे)। इस अंतर से किसी भी संख्या टी लें। यह स्पष्ट रूप से असमानता टी को संतुष्ट करेगा<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

इसलिए हमने अंतराल पर संकेतों को निर्धारित करने के सवाल को आसानी से संपर्क किया, लेकिन हम अंतराल विधि के पहले चरण के माध्यम से कूद नहीं पाएंगे, जो संख्यात्मक और संप्रदाय की खोज का तात्पर्य है।

संख्यात्मक और denominator के शून्य कैसे खोजें?

संख्यात्मक और denominator के शून्य की खोज के साथ, पहले बिंदु में निर्दिष्ट निर्दिष्ट का अंश आमतौर पर किसी भी समस्या उत्पन्न नहीं होता है। इसके लिए, संख्यात्मक और denominator से अभिव्यक्ति शून्य के बराबर हैं, और प्राप्त समीकरण हल हो जाते हैं। इस प्रकार के समीकरणों को हल करने का सिद्धांत लेख में विस्तृत है गुणक द्वारा अपघटन द्वारा समीकरणों को हल करना। यहां, केवल उदाहरण को सीमित करें।

एक अंश पर विचार करें और हमें इसके संख्यात्मक और संप्रदाय के शून्य मिलते हैं। चलो संख्यात्मक शून्य के साथ शुरू करते हैं। हम संख्यात्मक को शून्य से बराबर करते हैं, हम समीकरण X · (x-0.6) \u003d 0 प्राप्त करते हैं, जिससे हम दो समीकरणों x \u003d 0 और x-0.6 \u003d 0 के संयोजन में बदल जाते हैं, जहां से हमें दो जड़ें 0 और 0.6 मिलती हैं । ये संख्या के वांछित शून्य हैं। अब हमें संप्रदाय के शून्य मिलते हैं। संकलन समीकरण x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 \u003d 0, यह तीन समीकरणों की कुलता के बराबर है x 7 \u003d 0, (x 2 + 2 · x + 7) 2 \u003d 0, (x + 5) 3 \u003d 0, और आगे x \u003d 0, x 2 + 2 · x + 7 \u003d 0, एक्स + 5 \u003d 0। इन समीकरणों में से पहले की जड़ स्पष्ट है, यह 0 है, जड़ों के दूसरे समीकरण में नहीं है, क्योंकि इसका भेदभाव नकारात्मक है, और तीसरे समीकरण -5 की जड़ है। इसलिए, हमने संप्रदाय के शून्य को पाया, वहां दो: 0 और -5 थे। ध्यान दें कि 0 संख्या के साथ-साथ संप्रदाय के नल की तरह निकला।

संख्यात्मक और denominator के शून्य खोजने के लिए, सामान्य मामले में, जब असमानता के बाईं ओर, अंश, लेकिन जरूरी नहीं कि तर्कसंगत, भी संख्या और denominator शून्य के बराबर बराबर है, और संबंधित समीकरण हल हो जाते हैं।

अंतराल पर संकेतों को कैसे परिभाषित करें?

प्रत्येक अंतराल पर असमानता के बाईं ओर से अभिव्यक्तियों के संकेत को निर्धारित करने का सबसे विश्वसनीय तरीका यह है कि इस अभिव्यक्ति के मूल्य को प्रत्येक अंतर से एक बिंदु पर गणना करना है। इस मामले में, अंतराल पर वांछित संकेत इस अंतर के किसी भी बिंदु पर अभिव्यक्ति मूल्य के संकेत के साथ मेल खाता है। आइए उदाहरण पर इसे समझाएं।

असमानता लें । इसके बाएं भाग से अभिव्यक्ति में संख्या के शून्य नहीं होते हैं, और शून्य द्वारा denominator संख्या -3 है। यह दो अंतराल (-∞, -3) और (-3, + ∞) के लिए एक संख्यात्मक प्रत्यक्ष विभाजित करता है। हम उन पर संकेतों को परिभाषित करते हैं। ऐसा करने के लिए, इन अंतराल से एक बिंदु पर लें, और उनमें अभिव्यक्ति के मूल्यों की गणना करें। तुरंत ध्यान दें कि गणना आसानी से गणना करने के लिए ऐसे बिंदुओं को लेने की सलाह दी जाती है। उदाहरण के लिए, पहले गैप (-∞, -3) से आप ले सकते हैं -4। X \u003d -4 के साथ है , मुझे एक ऋण चिह्न (नकारात्मक) के साथ एक मूल्य मिला, इसलिए, इस अंतराल पर एक ऋण चिह्न होगा। दूसरे अंतराल (-3, + ∞) पर हस्ताक्षर की परिभाषा पर जाएं। इससे 0 लेना सुविधाजनक है (यदि 0 अंतराल में प्रवेश करता है, तो हमेशा इसे लेने की सलाह दी जाती है, क्योंकि x \u003d 0 के साथ गणना सबसे सरल होती है)। X \u003d 0 के साथ हमारे पास है । यह मान एक चिह्न प्लस (सकारात्मक) है, इसलिए, इस अंतराल पर एक प्लस साइन होगा।

संकेतों को परिभाषित करने के लिए एक और दृष्टिकोण है, जिसमें अंतराल में से एक पर एक संकेत मिलता है और शून्य के माध्यम से आसन्न अंतराल में संक्रमण के दौरान इसके बनाए रखने या बदलने में शामिल होता है। आपको निम्नलिखित नियम का पालन करने की आवश्यकता है। जब आप संख्या के नल के माध्यम से जाते हैं, लेकिन एक denominator नहीं, या denominator के शून्य के माध्यम से, लेकिन एक संख्यात्मक नहीं, साइन परिवर्तन, यदि अभिव्यक्ति की डिग्री यह शून्य, विषम, और भी नहीं बदलता है, अगर भी नहीं । और जब एक बिंदु के माध्यम से स्विचिंग करते हैं, जो एक साथ और शून्य एक संख्या है, और denominator के शून्य, संकेत बदलता है यदि अभिव्यक्तियों की डिग्री का योग जो इस शून्य, अजीब, और यहां तक \u200b\u200bकि परिवर्तन नहीं करता है।

वैसे, यदि असमानता के दाईं ओर अभिव्यक्ति को इस आलेख के पहले पैराग्राफ की शुरुआत में देखा जाता है, तो चरम दाएं अंतराल में एक प्लस साइन होगा।

ताकि सब कुछ स्पष्ट हो जाए, एक उदाहरण पर विचार करें।

हमें असमानता दें और हम इसे अंतराल की विधि से हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें संख्यात्मक 1, 3, 4 और संप्रदाय 1, 3, 4 के शून्य के शून्य मिलते हैं, उन्हें पहले समन्वय प्रत्यक्ष पर चिह्नित करते हैं

तब denominator के शून्य frivolous अंक की छवियों को प्रतिस्थापित करते हैं

और चूंकि हम अविश्वसनीय असमानता को हल करते हैं, तो शेष डैश सामान्य बिंदुओं को प्रतिस्थापित करते हैं

और फिर अंतराल पर संकेतों को निर्धारित करने का क्षण आता है। जैसा कि हमने इस उदाहरण से पहले देखा, चरम दाएं अंतराल (4, + ∞) में एक संकेत होगा +:

हम बाकी के संकेतों को परिभाषित करते हैं, जबकि हम अंतराल से स्प्रे तक दाईं ओर चले जाएंगे। अगले अंतराल (3, 4) की ओर मुड़ना, हम समन्वय 4 के साथ बिंदु के माध्यम से आगे बढ़ते हैं। यह एक संख्या और denominator के रूप में शून्य है, ये शून्य अभिव्यक्ति (x-4) 2 और x-4 देते हैं, उनकी डिग्री का योग 2 + 1 \u003d 3 है, और यह एक अजीब संख्या है, इसका मतलब है कि जब आप जाते हैं तो इसका मतलब है कि जब आप जाते हैं इस बिंदु को आपको संकेत बदलने की जरूरत है। इसलिए, अंतराल पर (3, 4) एक माइनस साइन होगा:

हम समन्वय 3 के साथ बिंदु के माध्यम से घूमते समय अंतराल (2, 3) पर जाते हैं। यह शून्य दोनों संख्याओं और denominator भी है, यह अभिव्यक्ति (x-3) 3 और (x-3) 5 देता है, उनकी डिग्री का योग 3 + 5 \u003d 8 है, और यह एक संख्या भी है, इसलिए, साइन अपरिवर्तित बनी हुई है:

हम अंतराल (1, 2) पर जाते हैं। इसका मार्ग समन्वय 2 के साथ बिंदु को अवरुद्ध कर रहा है। यह संख्या का एक शून्य है, यह अभिव्यक्ति एक्स -2 देता है, इसकी डिग्री 1 के बराबर होती है, यानी, इसलिए, इस बिंदु के माध्यम से स्विच करते समय यह अजीब होता है, संकेत बदल जाएगा:

अंत में, यह अंतिम अंतराल (-∞, 1) पर एक संकेत को परिभाषित करने के लिए बनी हुई है। उसे पाने के लिए, हमें समन्वय 1 के साथ बिंदु को दूर करने की आवश्यकता है। यह denominator का एक शून्य है, यह एक अभिव्यक्ति (x-1) 4 देता है, इसकी डिग्री 4 है, यानी, यह भी, इस बिंदु के माध्यम से संक्रमण में साइन इन नहीं होगा। तो हमने सभी संकेतों को परिभाषित किया, और तस्वीर इस प्रकार को प्राप्त करती है:

यह स्पष्ट है कि माना विधि का उपयोग विशेष रूप से उचित है जब अभिव्यक्ति मूल्य की गणना बड़ी मात्रा में काम से जुड़ी होती है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें अंतराल में कहीं भी .

अंतराल द्वारा असमानता समाधान के उदाहरण

अब आप प्रदान की गई सभी जानकारी एकत्र कर सकते हैं, अंतराल द्वारा असमानताओं को हल करने के लिए पर्याप्त, और कई उदाहरणों के समाधान को अलग कर सकते हैं।

उदाहरण।

असमानता हल करें .

फेसला।

आइए अंतराल विधि असमानता पर निर्णय लें। जाहिर है, अंक शून्य 1 और -5 हैं, और संप्रदाय के शून्य और 1। हम उन्हें एक संख्यात्मक रूप से निर्देशित करते हैं, निर्देशांक और 1 के साथ अंक के साथ, डेनोमिनेटर के शून्य के रूप में पकड़े गए, और संख्याकार -5 के शेष शून्य सामान्य बिंदु को दर्शाते हैं, क्योंकि हम असमानता को हल करते हैं:

अब मैं शून्य के माध्यम से स्विच करते समय साइन को बचाने या बदलने के नियमों के बाद अंतराल पर संकेत डालता हूं। चरम दाएं से ऊपर, निशान + (इस अंतराल के किसी भी बिंदु पर असमानता के बाईं ओर अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करके जांच की जा सकती है, उदाहरण के लिए, x \u003d 3 पर)। एक संकेत के माध्यम से स्विच करते समय, हम 1 के बाद स्विच करते समय बदलते हैं - हम इसे छोड़ देते हैं, और जब आप -5 के माध्यम से जाते हैं, तो एक संकेत फिर से अपरिवर्तित छोड़ दें:

चूंकि हम एक साइन ≤ के साथ असमानता को हल करते हैं, इसलिए यह संकेत द्वारा चिह्नित अंतराल पर हैचिंग को चित्रित करने के लिए बने रहे - और परिणामी छवि पर, उत्तर लिखें।

तो, वांछित समाधान है: .

उत्तर:

.

न्याय इस तथ्य पर ध्यान देने के लिए न्याय करते हैं कि भारी बहुमत में, तर्कसंगत असमानताओं को हल करते समय, वे अंतराल विधि द्वारा उन्हें हल करना संभव बनाने के लिए सही दिमाग में पूर्व परिवर्तित होते हैं। इस तरह के परिवर्तनों को कैसे पूरा करें, हम लेख में विस्तार से चर्चा करेंगे। तर्कसंगत असमानताओं का निर्णयऔर अब हम असमानताओं की रिकॉर्डिंग में स्क्वायर तीन-दांव से संबंधित एक महत्वपूर्ण बिंदु को चित्रित करने का एक उदाहरण देंगे।

उदाहरण।

असमानता का समाधान खोजें .

फेसला।

पहली नज़र में, यह असमानता ऐसा लगता है कि इसकी उपस्थिति अंतराल विधि को लागू करने के लिए उपयुक्त है। लेकिन यह जांच को रोकता नहीं है कि भेदभाव वास्तव में रिकॉर्डिंग में नकारात्मक हैं या नहीं। उन्हें शांत विवेक के लिए गणना करें। तीन-शॉट्स x 2 + 3 · x + 3 के लिए हमारे पास डी \u003d 3 2 -4 · 1 · 3 \u003d -3 है<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0। इसका मतलब यह है कि इसे असमानता देने के लिए रूपांतरण की आवश्यकता है। इस मामले में, यह पर्याप्त रूप से तीन (x + 4) · (x-2) दोनों की कल्पना करने के लिए x 2 + 2 · x-8 है, और अंतराल विधि में असमानता को हल करना जारी है .

उत्तर:

.

सामान्यीकृत अंतराल विधि

सामान्यीकृत अंतराल विधि आपको फॉर्म एफ (एक्स) की असमानताओं को हल करने की अनुमति देती है<0 (≤, >, ≥), जहां एफ (एक्स) एक चर एक्स के साथ मनमानी है। हम लिखते हैं सामान्यीकृत अंतराल विधि के लिए असमानता समाधान का एल्गोरिदम:

• सबसे पहले आपको इस फ़ंक्शन के f और शून्य की आवश्यकता है।
• परिभाषा क्षेत्र के व्यक्तिगत बिंदुओं सहित संख्यात्मक सीधे, सीमा पर ध्यान दिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि फ़ंक्शन परिभाषा का एक सेट उपयोग किया जाता है (-5, 1] \u200b\u200b∪ (3) ∪ (अंतराल पर (-6, 4), एक संकेत को परिभाषित न करें, क्योंकि यह फ़ंक्शन को निर्धारित करने के कार्य का हिस्सा नहीं है)। ऐसा करने के लिए, एक लें प्रत्येक अंतराल से बिंदु, उदाहरण के लिए, 16, 8, 6 और -8, और फ़ंक्शन एफ के मान की गणना करें:
  
  

  यदि प्रश्नों को स्पष्ट किया गया था, तो समारोह, सकारात्मक या नकारात्मक के गणना मूल्य क्या हैं, लेख की सामग्री की जांच करेंगे संख्याओं की तुलना.

  हम केवल कुछ संकेतों को परिभाषित करते हैं, और हम एक ऋण चिह्न के साथ अंतराल पर एक हैचिंग लागू करते हैं:
  

  प्रतिक्रिया में, एक संकेत के साथ दो अंतराल के संयोजन को रिकॉर्ड करना - हमारे पास (-∞, -6] ∪ (7, 12) है। ध्यान दें कि -6 प्रतिक्रिया में शामिल है (संबंधित बिंदु ठोस है, और पेंट नहीं)। तथ्य यह है कि यह शून्य कार्य नहीं है (जो, सख्त असमानता को हल करते समय, हमें प्रतिक्रिया में शामिल नहीं किया जाएगा), और परिभाषा क्षेत्र में प्रवेश करते समय परिभाषा क्षेत्र (यह रंग, काला नहीं) की सीमा बिंदु है। इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मूल्य नकारात्मक है (जैसा कि उचित अंतराल पर शून्य से संकेत से प्रमाणित है), यानी, यह असमानता को संतुष्ट करता है। लेकिन 4 प्रतिक्रिया में शामिल करने के लिए आवश्यक नहीं है (साथ ही पूरे अंतराल ∪ (7, 12) )।

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