पिरामिड का आयतन। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के लिए आयतन सूत्र। समस्या समाधान के उदाहरण

यहां हम आयतन की अवधारणा से संबंधित उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे। ऐसे कार्यों को हल करने के लिए, पिरामिड के आयतन के सूत्र को जानना अनिवार्य है:

एस

एच - पिरामिड की ऊंचाई

आधार कोई भी बहुभुज हो सकता है। लेकिन परीक्षा में ज्यादातर समस्याओं में, स्थिति, एक नियम के रूप में, सही पिरामिड के बारे में है। मैं आपको इसकी एक विशेषता की याद दिलाता हूं:

एक नियमित पिरामिड के शीर्ष को इसके आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

नियमित त्रिकोणीय, चतुर्भुज और हेक्सागोनल पिरामिड के प्रक्षेपण को देखें (शीर्ष दृश्य):

आप इसे ब्लॉग पर पढ़ सकते हैं, जहाँ आपने पिरामिड का आयतन ज्ञात करने से जुड़े कार्यों पर चर्चा की थी।कार्यों पर विचार करें:

27087. एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसके आधार की भुजाएँ 1 के बराबर हों और ऊँचाई तीन के मूल के बराबर हो।

एस- पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच- पिरामिड ऊंचाई

आइए पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें, यह एक नियमित त्रिभुज है। आइए सूत्र का उपयोग करें - एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा आसन्न भुजाओं के गुणनफल के आधे के बराबर होता है, जिसका अर्थ है:

उत्तर: 0.25

27088. एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई पाएं, जिसके आधार के किनारे 2 के बराबर हैं, और मात्रा तीन की जड़ के बराबर है।

पिरामिड की ऊँचाई और उसके आधार की विशेषताओं जैसी अवधारणाएँ आयतन सूत्र द्वारा संबंधित हैं:

एस- पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच- पिरामिड ऊंचाई

हम आयतन को ही जानते हैं, हम आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, क्योंकि हम त्रिभुज की भुजाओं को जानते हैं, जो कि आधार है। संकेतित मानों को जानकर, हम आसानी से ऊँचाई ज्ञात कर सकते हैं।

आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करेंगे - त्रिभुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा आसन्न भुजाओं के आधे गुणनफल के बराबर होता है, जिसका अर्थ है:

इस प्रकार, इन मानों को वॉल्यूम सूत्र में प्रतिस्थापित करके, हम पिरामिड की ऊंचाई की गणना कर सकते हैं:

ऊंचाई तीन है।

उत्तर: 3

27109. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में, ऊंचाई 6 है, किनारे का किनारा 10 है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

पिरामिड के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस- पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच- पिरामिड ऊंचाई

हम ऊंचाई जानते हैं। आपको आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा। मैं आपको याद दिला दूं कि एक नियमित पिरामिड का शीर्ष उसके आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आधार एक वर्ग है। हम इसका विकर्ण ज्ञात कर सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें (नीले रंग में हाइलाइट किया गया):

वर्ग के केंद्र को बिंदु B से जोड़ने वाला खंड टांग है, जो वर्ग के विकर्ण का आधा है। इस पैर की गणना पाइथागोरस प्रमेय द्वारा की जा सकती है:

अत: BD = 16. एक चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का प्रयोग करते हुए एक वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

अत:

इस प्रकार, पिरामिड का आयतन बराबर है:

उत्तर: 256

27178. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में, ऊंचाई 12 है, मात्रा 200 है। इस पिरामिड के किनारे का पता लगाएं।

पिरामिड की ऊंचाई और उसका आयतन और आयतन ज्ञात है, इसलिए हम वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, जो कि आधार है। किसी वर्ग का क्षेत्रफल जानकर हम उसका विकर्ण ज्ञात कर सकते हैं। इसके अलावा, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा एक समकोण त्रिभुज पर विचार करते हुए, हम पार्श्व किनारे की गणना करते हैं:

वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (पिरामिड का आधार):

आइए वर्ग के विकर्ण की गणना करें। चूँकि इसका क्षेत्रफल 50 है, भुजा पचास के मूल के बराबर होगी और पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

बिंदु O विकर्ण BD को आधे में विभाजित करता है, जिसका अर्थ है कि समकोण त्रिभुज OB = 5 का पैर है।

इस प्रकार, हम गणना कर सकते हैं कि पिरामिड का पार्श्व किनारा किसके बराबर है:

उत्तर: 13

245353. आकृति में दिखाए गए पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए। इसका आधार एक बहुभुज है, जिसकी आसन्न भुजाएँ लंबवत हैं, और पार्श्व किनारों में से एक आधार तल के लंबवत है और 3 के बराबर है।

जैसा कि कई बार कहा गया है - पिरामिड के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस- पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच- पिरामिड ऊंचाई

आधार से लंबवत पार्श्व किनारा तीन है, जिसका अर्थ है कि पिरामिड की ऊंचाई तीन है। पिरामिड का आधार एक बहुभुज है जिसका क्षेत्रफल बराबर है:

इस प्रकार:

उत्तर: 27

27086. पिरामिड का आधार एक आयत है जिसकी भुजाएँ 3 और 4 हैं। इसका आयतन 16 है। इस पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

बस इतना ही। आपको सफलता!

सादर, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख।

पुनश्च: यदि आप हमें सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बता सकते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।

अंतरिक्ष में किसी भी ज्यामितीय आकृति की मुख्य विशेषता उसका आयतन है। इस लेख में, हम विचार करेंगे कि आधार पर एक त्रिभुज के साथ एक पिरामिड क्या है, और यह भी दिखाएगा कि त्रिकोणीय पिरामिड की मात्रा कैसे प्राप्त करें - नियमित रूप से पूर्ण और छोटा।

यह क्या है - एक त्रिकोणीय पिरामिड?

प्राचीन मिस्र के पिरामिडों के बारे में सभी ने सुना है, हालांकि, वे आयताकार नियमित हैं, त्रिकोणीय नहीं। आइए समझाएं कि त्रिकोणीय पिरामिड कैसे प्राप्त करें।

एक मनमाना त्रिभुज लें और उसके सभी शीर्षों को इस त्रिभुज के तल के बाहर स्थित किसी एक बिंदु से जोड़ दें। गठित आकृति को त्रिभुजाकार पिरामिड कहा जाएगा। इसे नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विचाराधीन आकृति चार त्रिभुजों से बनी है, जो सामान्यत: भिन्न हैं। प्रत्येक त्रिभुज पिरामिड की एक भुजा या फलक होता है। इस पिरामिड को अक्सर टेट्राहेड्रोन कहा जाता है, जो कि चार-तरफा वॉल्यूमेट्रिक आकृति है।

पक्षों के अलावा, पिरामिड में किनारे भी होते हैं (उनमें से 6 हैं) और कोने (उनमें से 4 हैं)।

त्रिकोणीय आधार

एक आकृति जो एक मनमाना त्रिभुज और अंतरिक्ष में एक बिंदु का उपयोग करके प्राप्त की जाती है, आमतौर पर एक अनियमित झुकाव वाला पिरामिड होगा। अब कल्पना करें कि मूल त्रिभुज की भुजाएँ समान हैं, और अंतरिक्ष में बिंदु त्रिभुज के तल से h दूरी पर इसके ज्यामितीय केंद्र के ठीक ऊपर स्थित है। इस प्रारंभिक डेटा का उपयोग करके बनाया गया पिरामिड सही होगा।

स्पष्ट रूप से, एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के किनारों, भुजाओं और शीर्षों की संख्या उतनी ही होगी जितनी कि एक मनमाना त्रिभुज से बने पिरामिड के लिए।

हालाँकि, सही आकृति में कुछ विशिष्ट विशेषताएं हैं:

• इसकी ऊंचाई, ऊपर से खींची गई, ज्यामितीय केंद्र (मध्यिकाओं के चौराहे के बिंदु) में आधार को बिल्कुल काट देगी;
• ऐसे पिरामिड की पार्श्व सतह तीन समरूप त्रिभुजों से बनती है, जो समद्विबाहु या समबाहु हैं।

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड न केवल एक विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक ज्यामितीय वस्तु है। प्रकृति में कुछ संरचनाओं का अपना रूप होता है, उदाहरण के लिए, हीरे की क्रिस्टल जाली, जहां एक कार्बन परमाणु सहसंयोजक बंधों में से चार परमाणुओं से जुड़ा होता है, या एक मीथेन अणु, जहां एक पिरामिड के शीर्ष हाइड्रोजन परमाणुओं द्वारा बनते हैं। .

त्रिकोणीय पिरामिड

आप निम्न व्यंजक का उपयोग करके आधार पर एक मनमाना एन-गॉन के साथ बिल्कुल किसी भी पिरामिड का आयतन निर्धारित कर सकते हैं:

यहां प्रतीक एस ओ आधार के क्षेत्र को दर्शाता है, एच पिरामिड के शीर्ष से चिह्नित आधार तक खींची गई आकृति की ऊंचाई है।

चूँकि एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा a की लंबाई के आधे गुणनफल के बराबर होता है, जो इस तरफ गिरा दिया जाता है, त्रिभुजाकार पिरामिड के आयतन का सूत्र निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

वी = 1/6 × ए × एच ए × एच

एक सामान्य प्रकार के लिए, ऊंचाई निर्धारित करना आसान काम नहीं है। इसे हल करने के लिए, सबसे आसान तरीका एक सामान्य समीकरण द्वारा दर्शाए गए बिंदु (शीर्ष) और एक विमान (त्रिकोणीय आधार) के बीच की दूरी के लिए सूत्र का उपयोग करना है।

सही के लिए इसका एक विशिष्ट रूप है। इसके लिए आधार (समबाहु त्रिभुज) का क्षेत्रफल इसके बराबर है:

इसे V के सामान्य व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

वी = √3 / 12 × ए 2 × एच

एक विशेष स्थिति वह स्थिति होती है जब एक चतुष्फलक की सभी भुजाएँ समान समबाहु त्रिभुज बन जाती हैं। इस मामले में, इसकी मात्रा केवल इसके किनारे के पैरामीटर के ज्ञान के आधार पर निर्धारित की जा सकती है। संबंधित अभिव्यक्ति है:

काटे गए पिरामिड

यदि शीर्ष वाले ऊपरी भाग को एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में काट दिया जाता है, तो आपको एक छोटी आकृति मिलती है। मूल के विपरीत, इसमें दो समबाहु त्रिभुजाकार आधार और तीन समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज होंगे।

नीचे दी गई तस्वीर दिखाती है कि कागज से बना एक नियमित रूप से छोटा त्रिकोणीय पिरामिड कैसा दिखता है।

एक काटे गए त्रिकोणीय पिरामिड का आयतन निर्धारित करने के लिए, इसकी तीन रैखिक विशेषताओं को जानना आवश्यक है: आधारों के प्रत्येक पक्ष और आकृति की ऊंचाई, ऊपरी और निचले आधारों के बीच की दूरी के बराबर। आयतन के लिए संगत सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

वी = √3 / 12 × एच × (ए 2 + ए 2 + ए × ए)

यहाँ h आकृति की ऊँचाई है, A और a क्रमशः बड़े (निचले) और छोटे (ऊपरी) समबाहु त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई हैं।

समस्या का समाधान

पाठक के लिए लेख में दी गई जानकारी को स्पष्ट करने के लिए, हम एक उदाहरण के साथ दिखाएंगे कि कुछ लिखित सूत्रों का उपयोग कैसे करें।

माना त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन 15 सेमी 3 है। ज्ञात हो कि यह आंकड़ा सही है। पार्श्व पसली का एपोथेम ए बी पाया जाना चाहिए यदि यह ज्ञात हो कि पिरामिड की ऊंचाई 4 सेमी है।

चूँकि आकृति का आयतन और ऊँचाई ज्ञात है, आप इसके आधार की भुजा की लंबाई की गणना करने के लिए उपयुक्त सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। हमारे पास है:

वी = √3 / 12 × ए 2 × एच =>

ए = 12 × वी / (√3 × एच) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 सेमी

ए बी = (एच 2 + ए 2/12) = √ (16 + 25.98 2/12) = 8.5 सेमी

आकृति के एपोथेम की गणना की गई लंबाई उसकी ऊंचाई से अधिक निकली, जो कि किसी भी प्रकार के पिरामिड के लिए सही है।

पिरामिड एक बहुफलक है जिसके आधार पर एक बहुभुज होता है। सभी फलक, बदले में, त्रिभुज बनाते हैं जो एक शीर्ष पर अभिसरित होते हैं। पिरामिड त्रिभुजाकार, चतुर्भुज आदि होते हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि आपके सामने कौन सा पिरामिड है, इसके आधार पर कोनों की संख्या गिनने के लिए पर्याप्त है। स्कूली पाठ्यक्रम में ज्यामिति की समस्याओं में "पिरामिड ऊंचाई" की परिभाषा बहुत आम है। लेख में हम इसे खोजने के विभिन्न तरीकों पर विचार करने का प्रयास करेंगे।

पिरामिड के भाग

प्रत्येक पिरामिड में निम्नलिखित तत्व होते हैं:

• पार्श्व चेहरे, जिसमें तीन कोने होते हैं और शीर्ष पर अभिसरण होते हैं;
• एपोथेम वह ऊंचाई है जो उसके ऊपर से उतरती है;
• पिरामिड का शीर्ष एक बिंदु है जो किनारे के किनारों को जोड़ता है, लेकिन आधार के तल में नहीं होता है;
• आधार एक बहुभुज है जिसका कोई शीर्ष नहीं है;
• पिरामिड की ऊंचाई एक खंड है जो पिरामिड के शीर्ष को पार करती है और इसके आधार के साथ एक समकोण बनाती है।

पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें यदि इसका आयतन ज्ञात हो

सूत्र के माध्यम से वी = (एस * एच) / 3 (सूत्र में वी मात्रा है, एस आधार क्षेत्र है, एच पिरामिड की ऊंचाई है), हम पाते हैं कि एच = (3 * वी) / एस। सामग्री को समेकित करने के लिए, आइए समस्या को तुरंत हल करें। त्रिभुजाकार आधार 50 सेमी 2 है, जबकि इसका आयतन 125 सेमी 3 है। त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई अज्ञात है, जिसे हमें खोजने की जरूरत है। यहां सब कुछ सरल है: हम अपने सूत्र में डेटा सम्मिलित करते हैं। हमें एच = (3 * 125) / 50 = 7.5 सेमी मिलता है।

पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें यदि आप विकर्ण की लंबाई और उसके किनारों को जानते हैं

जैसा कि हमें याद है, पिरामिड की ऊंचाई उसके आधार के साथ एक समकोण बनाती है। और इसका मतलब है कि ऊंचाई, किनारे और आधा विकर्ण एक साथ बनते हैं। कई, निश्चित रूप से, पाइथागोरस प्रमेय को याद करते हैं। दो मापों को जानकर तीसरी मात्रा ज्ञात करना कठिन नहीं होगा। प्रसिद्ध प्रमेय a² = b² + c² को याद करें, जहां a कर्ण है, और हमारे मामले में पिरामिड का किनारा; बी - पहला पैर या आधा विकर्ण और सी - क्रमशः, दूसरा पैर, या पिरामिड की ऊंचाई। इस सूत्र से, c² = a² - b²।

अब समस्या: एक नियमित पिरामिड में, विकर्ण 20 सेमी है, जबकि पसली की लंबाई 30 सेमी है। ऊंचाई ज्ञात करना आवश्यक है। हम हल करते हैं: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500। इसलिए c = 500 = लगभग 22.4।

काटे गए पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

यह एक बहुभुज है जिसके आधार के समानांतर एक खंड होता है। एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई एक रेखा खंड है जो इसके दो आधारों को जोड़ती है। यदि दोनों आधारों के विकर्णों की लंबाई और साथ ही पिरामिड के किनारों की लंबाई ज्ञात हो, तो सही पिरामिड पर ऊँचाई पाई जा सकती है। मान लें कि बड़े आधार का विकर्ण d1 है, जबकि छोटे आधार का विकर्ण d2 है, और किनारे की लंबाई l है। ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आप आरेख के दो ऊपरी विपरीत बिंदुओं से ऊँचाई को उसके आधार तक कम कर सकते हैं। हम देखते हैं कि हमें दो समकोण त्रिभुज मिले हैं, उनके पैरों की लंबाई ज्ञात करना बाकी है। ऐसा करने के लिए, छोटे वाले को बड़े विकर्ण से घटाएं और 2 से विभाजित करें। तो हम एक पैर पाते हैं: a = (d1-d2) / 2। उसके बाद, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हमें केवल दूसरा चरण खोजना है, जो कि पिरामिड की ऊंचाई है।

आइए अब पूरी बात को व्यवहार में देखें। हमारे सामने एक कार्य है। काटे गए पिरामिड के आधार पर एक वर्ग है, बड़े आधार के विकर्ण की लंबाई 10 सेमी है, जबकि छोटा 6 सेमी है, और किनारा 4 सेमी है। ऊंचाई खोजने की आवश्यकता है। शुरू करने के लिए, हम एक पैर पाते हैं: ए = (10-6) / 2 = 2 सेमी। एक पैर 2 सेमी है, और कर्ण 4 सेमी है। यह पता चला है कि दूसरा पैर या ऊंचाई 16-4 होगी = 12, यानी एच = √12 = लगभग 3.5 सेमी।

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पाठ मकसद.

शैक्षिक: पिरामिड के आयतन की गणना के लिए एक सूत्र व्युत्पन्न करें

विकासशील: शैक्षणिक विषयों में छात्रों की संज्ञानात्मक रुचि विकसित करना, व्यवहार में अपने ज्ञान को लागू करने की क्षमता।

शैक्षिक: ध्यान, सटीकता को शिक्षित करने, छात्रों के क्षितिज को व्यापक बनाने के लिए।

उपकरण और सामग्री: कंप्यूटर, स्क्रीन, प्रोजेक्टर, प्रस्तुति "पिरामिड का आयतन"।

1. फ्रंटल पोल। स्लाइड्स 2, 3

पिरामिड किसे कहते हैं, पिरामिड का आधार, पसलियां, ऊंचाई, अक्ष, एपोथेम। किस पिरामिड को नियमित, चतुष्फलकीय, कटा हुआ पिरामिड कहा जाता है?

एक पिरामिड एक बहुफलक होता है जिसमें एक समतल होता है बहुभुज, अंकइस बहुभुज के तल में नहीं पड़ा है और सभी खंडइस बिंदु को बहुभुज के बिंदुओं से जोड़ना।

इस बिंदुबुलाया सर्वोच्चपिरामिड, और एक समतल बहुभुज पिरामिड का आधार है। सेगमेंटपिरामिड के शीर्ष को आधार के शीर्ष से जोड़ने को कहते हैं पसलियां . ऊंचाईपिरामिड - सीधापिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक उतारा गया। एपोथेम - साइड फेस हाइटसही पिरामिड। पिरामिड के साथ तल परसही झूठ एन-gon, ए आधार ऊंचाईके साथ मेल खाता है नींव का केंद्रबुलाया सही एन-पक्षीय पिरामिड। एक्सिस एक नियमित पिरामिड को उसकी ऊँचाई वाली सीधी रेखा कहा जाता है। एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड को चतुष्फलक कहा जाता है। यदि पिरामिड को आधार के तल के समांतर समतल द्वारा पार किया जाता है, तो यह पिरामिड को काट देगा, समानदिया हुआ। शेष कहा जाता है कटा हुआ पिरामिड।

2. पिरामिड के आयतन की गणना के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति V = SH / 3 स्लाइड 4, 5, 6

1. मान लीजिए कि SABC एक त्रिभुजाकार पिरामिड है जिसका शीर्ष S और आधार ABC है।

2. आइए इस पिरामिड को समान आधार और ऊंचाई वाले त्रिकोणीय प्रिज्म में जोड़ें।

3. यह प्रिज्म तीन पिरामिडों से बना है:

1) इस SABC पिरामिड का।

2) पिरामिड एससीसी 1 बी 1.

3) और एससीबीबी पिरामिड 1.

4. दूसरे और तीसरे पिरामिड में समान आधार CC 1 B 1 और B 1 BC हैं और शीर्ष S से समांतर चतुर्भुज BB 1 C 1 C के फलक तक खींची गई कुल ऊंचाई है। इसलिए, उनके पास समान आयतन हैं।

5. पहले और तीसरे पिरामिड में भी समान आधार SAB और BB 1 S होते हैं और शीर्ष C से समांतर चतुर्भुज ABB 1 S के फलक तक समान ऊँचाई खींची जाती है। इसलिए, उनका आयतन भी समान होता है।

इसका मतलब है कि तीनों पिरामिडों का आयतन समान है। चूँकि इन आयतनों का योग प्रिज्म के आयतन के बराबर है, इसलिए पिरामिडों के आयतन SH / 3 हैं।

किसी भी त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है।

3. नई सामग्री का समेकन। व्यायाम समाधान।

1) टास्क № 33 पाठ्यपुस्तक से ए.एन. पोगोरेलोवा। स्लाइड 7, 8, 9

आधार की तरफ? और किनारे के किनारे b नियमित पिरामिड का आयतन ज्ञात करें, जिसके आधार पर स्थित है:

1) त्रिकोण,

2) एक चतुर्भुज,

3) षट्भुज।

एक नियमित पिरामिड में, ऊंचाई आधार के चारों ओर वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। फिर: (आवेदन)

4. पिरामिड के बारे में ऐतिहासिक जानकारी। स्लाइड्स 15, 16, 17

पिरामिड से जुड़ी कई असामान्य घटनाओं को स्थापित करने वाले हमारे समकालीनों में से सबसे पहले फ्रांसीसी वैज्ञानिक एंटोनी बोवी थे। बीसवीं शताब्दी के 30 के दशक में चेप्स के पिरामिड की खोज करते हुए, उन्होंने पाया कि छोटे जानवरों के शरीर जो गलती से राजा के कमरे में आ गए थे, ममीकृत हो गए थे। बॉवी ने पिरामिड के आकार से इसका कारण खुद बताया और, जैसा कि यह निकला, गलत नहीं था। उनके कार्यों ने आधुनिक शोध का आधार बनाया, जिसके परिणामस्वरूप, पिछले 20 वर्षों में, कई किताबें और प्रकाशन सामने आए हैं, जो पुष्टि करते हैं कि पिरामिड की ऊर्जा का मूल्य लागू हो सकता है।

पिरामिडों का रहस्य

कुछ शोधकर्ताओं का तर्क है कि पिरामिड में ब्रह्मांड की संरचना, सौर मंडल और मनुष्य के बारे में बड़ी मात्रा में जानकारी है, जो इसके ज्यामितीय रूप में एन्कोडेड है, या बल्कि, एक ऑक्टाहेड्रोन के रूप में, जिसका आधा पिरामिड है। ऊपर के साथ पिरामिड जीवन का प्रतीक है, ऊपर से नीचे - मृत्यु, दूसरी दुनिया। उसी तरह डेविड के स्टार (मैगन डेविड) के घटक भागों के रूप में, जहां ऊपर की ओर निर्देशित त्रिकोण उच्च कारण, भगवान की चढ़ाई का प्रतीक है, और त्रिकोण, इसके शीर्ष के साथ नीचे की ओर, आत्मा के वंश का प्रतीक है। पृथ्वी, भौतिक अस्तित्व ...

कोड का डिजिटल मूल्य जो पिरामिड में ब्रह्मांड के बारे में जानकारी को एन्क्रिप्ट करता है, संख्या 365, संयोग से नहीं चुना गया था। सबसे पहले, यह हमारे ग्रह का वार्षिक जीवन चक्र है। इसके अलावा, 365 में तीन अंक 3, 6 और 5 हैं। उनका क्या अर्थ है? यदि सौर मंडल में सूर्य 1, बुध - 2, शुक्र - 3, पृथ्वी - 4, मंगल - 5, बृहस्पति - 6, शनि - 7, यूरेनस - 8, नेपच्यून - 9, प्लूटो - 10, फिर 3 पर गुजरता है। शुक्र है, 6 - बृहस्पति और 5 - मंगल। नतीजतन, पृथ्वी इन ग्रहों के साथ एक विशेष तरीके से जुड़ी हुई है। संख्याओं 3, 6 और 5 को जोड़ने पर हमें 14 प्राप्त होते हैं, जिनमें से 1 सूर्य और 4 पृथ्वी है।

सामान्य रूप से 14 की संख्या का एक वैश्विक अर्थ है: इस पर, विशेष रूप से, मानव हाथों की संरचना आधारित है, जिनमें से प्रत्येक की उंगलियों की कुल संख्या भी 14 है। यह कोड नक्षत्र उर्स मेजर को भी संदर्भित करता है, जिसमें हमारा सूर्य शामिल है, और जिसमें यह एक बार एक और तारा था जिसने मंगल और बृहस्पति के बीच स्थित एक ग्रह फेथॉन को नष्ट कर दिया, जिसके बाद प्लूटो सौर मंडल में दिखाई दिया, और अन्य ग्रहों की विशेषताएं बदल गईं।

कई गूढ़ स्रोतों का दावा है कि पृथ्वी पर मानवता पहले ही चार बार विश्वव्यापी तबाही का अनुभव कर चुकी है। तीसरी लेमुरियन जाति ब्रह्मांड के दिव्य विज्ञान को जानती थी, तब यह गुप्त सिद्धांत केवल दीक्षाओं को दिया गया था। नाक्षत्र वर्ष के चक्रों और आधे चक्रों की शुरुआत में, उन्होंने पिरामिड बनाए। वे जीवन की संहिता की खोज के करीब आए। अटलांटिस की सभ्यता बहुत सफल रही, लेकिन ज्ञान के किसी स्तर पर उन्हें एक और ग्रह तबाही से रोक दिया गया, साथ में दौड़ में बदलाव आया। शायद, दीक्षित हमें यह बताना चाहते थे कि ब्रह्मांडीय नियमों का ज्ञान पिरामिडों में निहित है ...

पिरामिड के रूप में विशेष उपकरण कंप्यूटर, टीवी, रेफ्रिजरेटर और अन्य विद्युत उपकरणों से किसी व्यक्ति पर नकारात्मक विद्युत चुम्बकीय विकिरण को बेअसर करते हैं।

किताबों में से एक एक मामले का वर्णन करती है जब एक कार के यात्री डिब्बे में स्थापित एक पिरामिड ईंधन की खपत को कम करता है और निकास गैसों में सीओ की सामग्री को कम करता है।

पिरामिड में वृद्ध उद्यान फसलों के बीजों का अंकुरण और उत्पादकता सबसे अच्छा था। प्रकाशनों ने बुवाई से पहले बीजों को पिरामिड के पानी में भिगोने की भी सिफारिश की।

यह पाया गया कि पिरामिडों का पारिस्थितिक स्थिति पर लाभकारी प्रभाव पड़ता है। सकारात्मक आभा पैदा करते हुए अपार्टमेंट, कार्यालयों और ग्रीष्मकालीन कॉटेज में रोगजनक क्षेत्रों को हटा दें।

डच शोधकर्ता पॉल डिकेंस ने अपनी पुस्तक में पिरामिडों के उपचार गुणों का उदाहरण दिया है। उन्होंने देखा कि उनकी मदद से सिरदर्द, जोड़ों के दर्द को दूर करना, छोटे कट लगने पर रक्तस्राव को रोकना संभव है, और पिरामिड की ऊर्जा चयापचय को उत्तेजित करती है और प्रतिरक्षा प्रणाली को मजबूत करती है।

कुछ आधुनिक प्रकाशन बताते हैं कि पिरामिड में रखी गई दवाएं उपचार के दौरान को छोटा कर देती हैं, और सकारात्मक ऊर्जा से भरपूर ड्रेसिंग सामग्री घाव भरने को बढ़ावा देती है।

कॉस्मेटिक क्रीम और मलहम उनके प्रभाव में सुधार करते हैं।

मादक पेय सहित पेय उनके स्वाद में सुधार करते हैं, और 40% वोदका में निहित पानी उपचारात्मक हो जाता है। सच है, एक मानक 0.5 लीटर की बोतल को सकारात्मक ऊर्जा से चार्ज करने के लिए, आपको एक उच्च पिरामिड की आवश्यकता होती है।

एक अखबार के लेख में कहा गया है कि यदि आप पिरामिड के नीचे गहनों को स्टोर करते हैं, तो वे स्वयं को साफ करते हैं और एक विशेष चमक प्राप्त करते हैं, जबकि कीमती और अर्ध-कीमती पत्थर सकारात्मक बायोएनेर्जी जमा करते हैं और फिर इसे धीरे-धीरे छोड़ते हैं।

अमेरिकी वैज्ञानिकों के अनुसार, खाद्य उत्पाद, जैसे अनाज, आटा, नमक, चीनी, कॉफी, चाय, पिरामिड का दौरा करने के बाद, अपने स्वाद में सुधार करते हैं, और सस्ती सिगरेट उनके महान समकक्षों के समान हो जाती है।

शायद कई लोगों के लिए यह प्रासंगिक नहीं होगा, लेकिन एक छोटे से पिरामिड में पुराने रेजर ब्लेड स्वयं तेज होते हैं, और एक बड़े पिरामिड में, पानी -40 डिग्री सेल्सियस पर स्थिर नहीं होता है।

अधिकांश शोधकर्ताओं के अनुसार, यह सब पिरामिडों की ऊर्जा के अस्तित्व का प्रमाण है।

अपने अस्तित्व के 5000 वर्षों में, पिरामिड एक ऐसे प्रतीक में बदल गए हैं जो ज्ञान के शिखर तक पहुंचने की मानवीय इच्छा को व्यक्त करता है।

5. पाठ को सारांशित करना।

ग्रंथ सूची।

1) http://schools.techno.ru

2) पोगोरेलोव ए। वी। ज्यामिति 10-11, पब्लिशिंग हाउस "शिक्षा"।

3) इनसाइक्लोपीडिया "द ट्री ऑफ नॉलेज" मार्शल के।

सबसे सरल वॉल्यूमेट्रिक आंकड़ों में से एक त्रिकोणीय पिरामिड है, क्योंकि इसमें सबसे छोटी संख्या में चेहरे होते हैं जिससे अंतरिक्ष में एक आकृति बनाई जा सकती है। इस लेख में, हम उन सूत्रों पर विचार करेंगे जिनके साथ आप त्रिकोणीय नियमित पिरामिड का आयतन ज्ञात कर सकते हैं।

त्रिकोणीय पिरामिड

सामान्य परिभाषा के अनुसार, एक पिरामिड एक बहुभुज होता है, जिसके सभी शीर्ष एक बिंदु से जुड़े होते हैं जो इस बहुभुज के तल में स्थित नहीं होता है। यदि उत्तरार्द्ध एक त्रिभुज है, तो पूरी आकृति को त्रिभुजाकार पिरामिड कहा जाता है।

विचाराधीन पिरामिड में एक आधार (त्रिकोण) और तीन पार्श्व फलक (त्रिकोण) होते हैं। जिस बिंदु पर तीन भुजाएँ जुड़ी होती हैं, उसे आकृति का शीर्ष कहा जाता है। इस शीर्ष से आधार पर गिरा हुआ लंबवत पिरामिड की ऊंचाई है। यदि आधार के साथ लंबवत का प्रतिच्छेदन बिंदु आधार पर त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से मेल खाता है, तो वे एक नियमित पिरामिड की बात करते हैं। अन्यथा, यह तिरछा हो जाएगा।

जैसा कि उल्लेख किया गया है, त्रिकोणीय पिरामिड का आधार एक सामान्य त्रिभुज हो सकता है। हालांकि, अगर यह समबाहु है, और पिरामिड ही सीधा है, तो वे सही वॉल्यूमेट्रिक आकृति के बारे में बात करते हैं।

किसी भी त्रिभुजाकार पिरामिड में 4 फलक, 6 किनारे और 4 शीर्ष होते हैं। यदि सभी किनारों की लंबाई समान हो, तो ऐसी आकृति चतुष्फलक कहलाती है।

सामान्य प्रकार

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड लिखने से पहले, हम एक सामान्य पिरामिड के लिए इस भौतिक मात्रा के लिए एक व्यंजक देते हैं। यह अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है:

यहाँ S o आधार का क्षेत्रफल है, h आकृति की ऊँचाई है। यह समानता पिरामिड बहुभुज के किसी भी प्रकार के आधार के साथ-साथ एक शंकु के लिए भी सही होगी। यदि आधार पर एक त्रिभुज है जिसकी भुजा a की लंबाई है और उस पर ऊँचाई h o कम है, तो आयतन का सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा:

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के लिए आयतन सूत्र

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार पर एक समबाहु त्रिभुज होता है। यह ज्ञात है कि इस त्रिभुज की ऊंचाई इसकी भुजा की लंबाई से समानता से संबंधित है:

इस व्यंजक को पिछले अनुच्छेद में लिखे गए त्रिभुजाकार पिरामिड के आयतन के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

वी = 1/6 * ए * एच ओ * एच = √3 / 12 * ए 2 * एच।

एक त्रिकोणीय आधार के साथ एक नियमित पिरामिड का आयतन आधार पक्ष की लंबाई और आकृति की ऊंचाई का एक फलन है।

चूँकि किसी भी नियमित बहुभुज को एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है, जिसकी त्रिज्या विशिष्ट रूप से बहुभुज की भुजा की लंबाई निर्धारित करेगी, तो इस सूत्र को संबंधित त्रिज्या r के पदों में लिखा जा सकता है:

यह सूत्र पिछले एक से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, यदि हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि त्रिभुज की भुजा a की लंबाई के माध्यम से परिचालित वृत्त की त्रिज्या r अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित की जाती है:

टेट्राहेड्रोन की मात्रा निर्धारित करने की समस्या

आइए हम दिखाते हैं कि ज्यामिति की विशिष्ट समस्याओं को हल करने में उपरोक्त सूत्रों का उपयोग कैसे किया जाता है।

यह ज्ञात है कि एक चतुष्फलक के किनारे की लंबाई 7 सेमी है। एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड-चतुष्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए।

याद रखें कि चतुष्फलक नियमित होता है जिसमें सभी आधार समान होते हैं। त्रिकोणीय आयतन सूत्र का उपयोग करने के लिए, आपको दो मात्राओं की गणना करने की आवश्यकता है:

• त्रिभुज की भुजा की लंबाई;
• आंकड़ा ऊंचाई।

पहला मान समस्या की स्थिति से जाना जाता है:

ऊंचाई निर्धारित करने के लिए, आकृति में दिखाए गए चित्र पर विचार करें।

अंकित त्रिभुज ABC समकोण है, जहाँ कोण ABC 90 o है। AC भुजा कर्ण है, जिसकी लंबाई a है। सरल ज्यामितीय तर्क से, कोई यह दिखा सकता है कि भुजा BC की लंबाई है:

ध्यान दें कि BC की लंबाई एक त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।

एच = एबी = √ (एसी 2 - बीसी 2) = √ (ए 2 - ए 2/3) = ए * √ (2/3)।

अब हम आयतन के संगत सूत्र में h और a को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

वी = √3 / 12 * ए 2 * ए * √ (2/3) = 2 / 12 * ए 3.

इस प्रकार, हमने एक चतुष्फलक के आयतन का सूत्र प्राप्त किया है। यह देखा जा सकता है कि आयतन केवल पसली की लंबाई पर निर्भर करता है। यदि हम समस्या की स्थिति से मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें उत्तर मिलता है:

वी = 2 / 12 * 7 3 ≈ 40.42 सेमी 3.

यदि हम इस मान की तुलना समान किनारे वाले घन के आयतन से करते हैं, तो हम पाते हैं कि चतुष्फलक का आयतन 8.5 गुना कम है। यह इंगित करता है कि टेट्राहेड्रोन एक कॉम्पैक्ट आकृति है जिसे कुछ प्राकृतिक पदार्थों में महसूस किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक मीथेन अणु टेट्राहेड्रल होता है, और एक हीरे में प्रत्येक कार्बन परमाणु टेट्राहेड्रोन बनाने के लिए चार अन्य परमाणुओं से जुड़ा होता है।

समरूप पिरामिड के साथ समस्या

आइए एक दिलचस्प ज्यामितीय समस्या को हल करें। मान लीजिए कि एक त्रिकोणीय नियमित पिरामिड है जिसमें कुछ मात्रा V 1 है। प्रारंभिक एक से तीन गुना छोटे आयतन के साथ एक समरूप पिरामिड प्राप्त करने के लिए इस आकृति के आकार को कितनी बार कम किया जाना चाहिए?

आइए मूल नियमित पिरामिड के लिए सूत्र लिखकर समस्या को हल करना शुरू करें:

वी 1 = 3 / 12 * ए 1 2 * एच 1।

यदि हम इसके मापदंडों को गुणांक k से गुणा करते हैं, तो समस्या की स्थिति के अनुसार आवश्यक आकृति का आयतन प्राप्त करें। हमारे पास है:

वी 2 = 3 / 12 * के 2 * ए 1 2 * के * एच 1 = के 3 * वी 1।

चूंकि आंकड़ों के आयतन का अनुपात शर्त से ज्ञात होता है, हम गुणांक k का मान प्राप्त करते हैं:

के = (वी 2 / वी 1) = ∛ (1/3) 0.693।

ध्यान दें कि हमें एक मनमाना प्रकार के पिरामिड के लिए गुणांक k का समान मान प्राप्त होगा, न कि केवल एक नियमित त्रिभुज के लिए।