Aritmetinės progresijos pavyzdžiai su 9 sprendimu. Įrašai, pažymėti "9 klasės aritmetinė progresija". III. Naujos medžiagos mokymasis

Norėdami naudoti pristatymų peržiūrą, susikurkite sau Google paskyrą (paskyrą) ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Peržiūra:

Tema

Aritmetinė progresija

TIKSLAS:

• mokyti atpažinti aritmetinę progresiją naudojant jos apibrėžimą ir ženklą;
• mokyti spręsti uždavinius naudojant progresijos bendrojo termino apibrėžimą, požymį, formulę.

PAMOKOS TIKSLAI:

pateikti aritmetinės progresijos apibrėžimą, įrodyti aritmetinės progresijos ženklą ir išmokyti juos panaudoti sprendžiant uždavinius.

MOKYMO METODAI:

mokinių žinių atnaujinimas, savarankiškas darbas, savarankiškas darbas, probleminės situacijos kūrimas.

MODERNIOS TECHNOLOGIJOS:

IKT, probleminis mokymasis, diferencijuotas mokymasis, sveikatą tausojančios technologijos.

PAMOKOS PLANAS

	Pamokos etapai.	Įgyvendinimo laikas.
	Laiko organizavimas.	2 minutės
	Praeities kartojimas	5 minutės
	Naujos medžiagos mokymasis	15 minučių
	Fizinis lavinimas	3 minutes
	Užduočių atlikimas ta tema	15 minučių
	Namų darbai	2 minutės
	Apibendrinant	3 minutes

UŽSIĖMIMŲ LAIKOTARPIU:

1. Paskutinėje pamokoje susipažinome su „Sekos“ sąvoka.

Šiandien toliau tyrinėsime skaitines sekas, kai kurias iš jų apibrėžsime, susipažinsime su jų savybėmis ir ypatybėmis.

1. Atsakykite į klausimus: kas yra seka?

Kokios ten sekos?

Kokiais būdais galite nustatyti seką?

Kas yra skaičių seka?

Kokius skaičių sekos nustatymo būdus žinote? Kokia formulė vadinama pasikartojančia?

1. Pateikiamos skaitinės sekos:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Raskite kiekvienos sekos šabloną ir kiekvienoje iš jų įvardykite kitus tris terminus.

1. a n = a n -1 +1
2. a n = a n -1 + 3
3. a n = a n -1 + (-2)
4. a n = a n -1 + 0,5

Pavadinkite pasikartojančią kiekvienos sekos formulę.

1 skaidrė

Skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, pridėtam prie to paties skaičiaus, vadinama aritmetine progresija.

Skaičius d vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu.

Aritmetinė progresija yra skaitinė seka, todėl ji gali būti didėjanti, mažėjanti, pastovi. Pateikite tokių sekų pavyzdžių, įvardykite kiekvienos progresijos skirtumą, padarykite išvadą.

Išveskime aritmetinės progresijos bendrojo nario formulę.

Ant lentos: tegul a 1 yra pirmasis progresijos narys, d yra jo skirtumas, tada

a 2 = a 1 + d

a 3 = (a 1 + d) + d = a 1 + 2d

a 4 = (a 1 + 2d) + d = a 1 + 3d

a 5 = (a 1 + 3d) + d = a 1 + 4d

a n = a 1 + d (n-1) yra aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė.

Išspręskite užduotį: Aritmetinėje progresijoje pirmasis narys yra 5, o skirtumas yra 4.

Raskite 22 šios eigos narius.

Mokinys ant lentos nusprendžia: a n = a 1 + d (n-1)

A 22 = a 1 + 21d = 5 + 21 * 4 = 89

Fizinis lavinimas.

Atsikėlėme.

Rankos ant diržo. Pakreipiama į kairę, dešinę, (2 kartus);

Pasvira pirmyn, atgal (2 kartus);

Pakelkite rankas aukštyn, giliai įkvėpkite, nuleiskite rankas, iškvėpkite. (2 kartus)

Jie paspaudė rankas. Ačiū.

Jie atsisėdo. Tęsiame pamoką.

Sprendžiame aritmetinės progresijos bendrojo nario formulės taikymo uždavinius.

Mokiniams siūlomos šios užduotys:

1. Aritmetinėje progresijoje pirmasis narys yra -2, d = 3, a n = 118.

Raskite n.

1. Aritmetinėje progresijoje pirmasis narys yra 7, penkioliktas narys yra -35. Raskite skirtumą.
2. Yra žinoma, kad aritmetinėje progresijoje d = -2, a39 = 83. Raskite pirmąjį progresavimo terminą.

Mokiniai skirstomi į grupes. Užduočiai skiriamos 5 minutės. Tada pirmieji 3 mokiniai, išsprendę uždavinius, juos išsprendžia lentoje. Sprendimas dubliuojamas skaidrėse.

Apsvarstykite būdingas aritmetinės progresijos savybes.

Aritmetinėje progresijoje

a n -d = a (n-1)

a n + d = a (n + 1)

Sudedame šias dvi lygybes po termino, gauname: 2а n = a (n + 1) + a (n-1)

A n = (a (n + 1) + a (n-1)) / 2

Tai reiškia, kad kiekvienas aritmetinės progresijos narys, išskyrus pirmąjį ir paskutinįjį, yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių aritmetiniam vidurkiui.

TEOREMA:

Skaičių seka yra aritmetinė progresija tada ir tik tada, kai kiekvienas jos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinį, jei yra baigtinė seka), yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių aritmetiniam vidurkiui (būdinga savybė aritmetinės progresijos).

Daugelio matematikos ir fizikos temų supratimas yra susijęs su žiniomis apie skaičių serijų savybes. 9 klasės mokiniai, mokydamiesi dalyko „Algebra“, atsižvelgia į vieną iš svarbių skaičių sekų – aritmetinę progresiją. Čia pateikiamos pagrindinės aritmetinės progresijos formulės (9 klasė), taip pat jų panaudojimo sprendžiant uždavinius pavyzdžiai.

Algebrinė arba aritmetinė progresija

Skaičių serija, kuri bus aptariama šiame straipsnyje, vadinama dviem skirtingais būdais, pateiktais šios pastraipos pavadinime. Taigi matematikoje aritmetinė progresija suprantama kaip skaitinė eilutė, kurioje bet kurie du vienas šalia kito stovintys skaičiai skiriasi tuo pačiu dydžiu, kuris vadinamas skirtumu. Skaičiai tokioje eilutėje dažniausiai žymimi raidėmis su mažesniu sveikojo skaičiaus indeksu, pavyzdžiui, 1, 2, 3 ir pan., kur indeksas nurodo eilutės elemento numerį.

Atsižvelgdami į aukščiau pateiktą aritmetinės progresijos apibrėžimą, galime parašyti tokią lygybę: a 2 -a 1 = ... = an -a n-1 = d, čia d yra algebrinės progresijos skirtumas, o n yra bet koks sveikasis skaičius. Jei d> 0, galime tikėtis, kad kiekvienas paskesnis serijos narys bus didesnis nei ankstesnis, šiuo atveju jie kalba apie didėjančią progresą. Jei d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Aritmetinės progresijos formulės (9 klasės mokykla)

Kadangi nagrinėjama skaičių serija yra išdėstyta ir paklūsta tam tikram matematiniam dėsniui, ji turi dvi savybes, kurios yra svarbios jos naudojimui:

1. Pirma, žinodami tik du skaičius a 1 ir d, galite rasti bet kurį sekos narį. Tai atliekama naudojant šią formulę: a n = a 1 + (n-1) * d.
2. Antra, norint apskaičiuoti pirmojo n terminų sumą, nebūtina jų sudėti eilės tvarka, nes galite naudoti šią formulę: S n = n * (a n + a 1) / 2.

Pirmąją formulę lengva suprasti, nes ji yra tiesioginė pasekmė to, kad kiekvienas nagrinėjamos serijos narys skiriasi nuo savo kaimyno tuo pačiu skirtumu.

Antrąją aritmetinės progresijos formulę galime gauti, jei atkreipsime dėmesį į tai, kad suma a 1 + an yra lygiavertė sumoms a 2 + a n-1, a 3 + a n-2 ir pan. įjungta. Iš tiesų, kadangi a 2 = d + a 1, a n-2 = -2 * d + an, a 3 = 2 * d + a 1 ir a n-1 = -d + an, tada pakeičiant šias išraiškas į atitinkamas sumas, gauname, kad jos bus vienodos. Koeficientas n / 2 2-oje formulėje (S n) atsiranda dėl to, kad tipo a i + 1 + a ni sumos yra tiksliai n / 2, čia i yra sveikas skaičius nuo 0 iki n / 2 - vienas.

Remiantis išlikusiais istoriniais įrodymais, sumos S n formulę pirmasis gavo Karlas Gaussas (garsus vokiečių matematikas), kai mokyklos mokytojas jo paprašė pridėti 100 pirmųjų skaičių.

1 problemos pavyzdys: raskite skirtumą

Uždaviniai, kuriuose pateikiamas toks klausimas: žinant aritmetinės progresijos formules, kaip rasti d (d), yra paprasčiausias, koks gali būti tik šiai temai.

Pateikiame pavyzdį: duotą skaitinę seką -5, -2, 1, 4, ..., reikia nustatyti jos skirtumą, tai yra d.

Tai padaryti taip pat paprasta, kaip kriaušes gliaudyti: reikia paimti du elementus ir iš didesnio atimti mažesnįjį. Šiuo atveju turime: d = -2 - (-5) = 3.

Norint įsitikinti gautu atsakymu, rekomenduojama patikrinti likusius skirtumus, nes pateikta seka gali neatitikti algebrinės progresijos sąlygos. Turime: 1 - (- 2) = 3 ir 4 - 1 = 3. Šie duomenys rodo, kad gavome teisingą rezultatą (d = 3) ir įrodėme, kad uždavinio teiginio skaičių serija iš tikrųjų yra algebrinė progresija.

2 problemos pavyzdys: raskite skirtumą, žinodami du progresavimo terminus

Panagrinėkime dar vieną įdomią problemą, kurią kelia klausimas, kaip rasti skirtumą. Šiuo atveju n-tajam nariui turi būti naudojama aritmetinės progresijos formulė. Taigi, problema: atsižvelgiant į pirmąjį ir penktąjį serijos skaičius, kurie atitinka visas algebrinės progresijos savybes, pavyzdžiui, tai yra skaičiai a 1 = 8 ir a 5 = -10. Kaip rasti skirtumą d?

Šios problemos sprendimas turėtų būti pradėtas parašant bendrąją n-ojo elemento formulės formą: a n = a 1 + d * (- 1 + n). Dabar galite eiti dviem būdais: arba vienu metu pakeisti skaičius ir dirbti su jais, arba išreikšti d, o tada pereiti prie konkretaus 1 ir 5. Naudojame paskutinį metodą, gauname: a 5 = a 1 + d * (- 1 + 5) arba a 5 = 4 * d + a 1, iš kur išplaukia, kad d = (a 5 -a 1) / 4. Dabar galite saugiai pakeisti žinomus duomenis iš sąlygos ir gauti galutinį atsakymą: d = (-10-8) / 4 = -4,5.

Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju progresijos skirtumas pasirodė neigiamas, tai yra, yra mažėjanti skaičių seka. Į šį faktą būtina atkreipti dėmesį sprendžiant problemas, kad nebūtų supainioti ženklai „+“ ir „-“. Visos aukščiau pateiktos formulės yra universalios, todėl visada turėtumėte jomis vadovautis, nepaisant skaičių, su kuriais atliekamos operacijos, ženklo.

3 uždavinio sprendimo pavyzdys: raskite a1, žinodami skirtumą ir elementą

Šiek tiek pakeiskime problemos būklę. Tegu būna du skaičiai: skirtumas d = 6 ir 9 progresijos elementas a 9 = 10. Kaip rasti a1? Aritmetinės progresijos formulės lieka nepakitusios, jas naudosime. Skaičiui a 9 turime tokią išraišką: a 1 + d * (9-1) = a 9. Iš kur lengvai gauname pirmąjį serijos elementą: a 1 = a 9 -8 * d = 10 - 8 * 6 = -38.

4 uždavinio sprendimo pavyzdys: raskite a1, žinodami du elementus

Šis problemos variantas yra sudėtinga ankstesnio varianto versija. Esmė ta pati, reikia skaičiuoti 1, bet dabar skirtumas d nežinomas, o vietoj to pateikiamas dar vienas progresijos elementas.

Tokio tipo uždavinių pavyzdys yra toks: suraskite pirmąjį sekos skaičių, apie kurią žinoma, kad tai yra aritmetinė progresija, o jos 15 ir 23 elementai yra atitinkamai 7 ir 12.

Būtina išspręsti šią problemą, parašant n-ojo nario išraišką kiekvienam elementui, žinomam iš sąlygos, turime: a 15 = d * (15-1) + a 1 ir a 23 = d * (23-1) + 1. Kaip matote, gavome dvi tiesines lygtis, kurias reikia išspręsti 1 ir d. Padarykime taip: atimkite pirmąjį iš antrosios lygties, tada gausime tokią išraišką: a 23 -a 15 = 22 * ​​​​d - 14 * d = 8 * d. Išvedant paskutinę lygtį, 1 reikšmės buvo praleistos, nes atėmus jos panaikinamos. Pakeitę žinomus duomenis, randame skirtumą: d = (a 23 -a 15) / 8 = (12-7) / 8 = 0,625.

Reikšmė d turi būti pakeista į bet kurią žinomo elemento formulę, kad būtų gautas pirmasis sekos narys: a 15 = 14 * d + a 1, iš kur: a 1 = a 15 -14 * d = 7-14 * 0,625 = -1,75.

Patikrinkime rezultatą, tam randame nuo 1 iki antrosios išraiškos: a 23 = d * 22 + a 1 arba a 1 = a 23 -d * 22 = 12 - 0,625 * 22 = -1,75.

5 uždavinio sprendimo pavyzdys: raskite n elementų sumą

Kaip matote, iki šiol sprendimui buvo naudojama tik viena aritmetinės progresijos formulė (9 klasė). Dabar pateikiame uždavinį, kurio sprendimui reikia žinoti antrąją formulę, tai yra, sumai S n.

Yra tokia sutvarkyta skaičių eilutė -1,1, -2,1, -3,1, ..., reikia apskaičiuoti pirmųjų 11 elementų sumą.

Iš šios serijos matyti, kad jis mažėja, o 1 = -1,1. Jo skirtumas yra toks: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Dabar apibrėžkime 11-ąjį terminą: a 11 = 10 * d + a 1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Baigę parengiamuosius skaičiavimus, galite naudoti aukščiau pateiktą sumos formulę, turime: S 11 = 11 * (- 1,1 + (- 11,1)) / 2 = -67,1. Kadangi visi terminai buvo neigiami skaičiai, tada jų suma turi atitinkamą ženklą.

6 uždavinio sprendimo pavyzdys: raskite elementų sumą nuo n iki m

Galbūt daugumai studentų ši problema yra pati sunkiausia. Pateikiame tipinį pavyzdį: pateikiant skaičių 2, 4, 6, 8 ... eilę, reikia rasti sumą nuo 7 iki 13 narių.

Formulės aritmetinė progresija(9 klasė) naudojami lygiai taip pat, kaip ir visose ankstesnėse problemose. Šią problemą rekomenduojama spręsti etapais:

1. Pirmiausia raskite 13 terminų sumą naudodami standartinę formulę.
2. Tada apskaičiuokite šią sumą pirmiesiems 6 elementams.
3. Po to iš pirmosios sumos atimkite 2-ąją.

Pereikime prie sprendimo. Kaip ir ankstesniu atveju, atliksime parengiamuosius skaičiavimus: a 6 = 5 * d + a 1 = 10 + 2 = 12, a 13 = 12 * d + a 1 = 24 + 2 = 26.

Apskaičiuokime dvi sumas: S 13 = 13 * (2 + 26) / 2 = 182, S 6 = 6 * (2 + 12) / 2 = 42. Paimame skirtumą ir gauname norimą atsakymą: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Atkreipkite dėmesį, kad gaudami šią reikšmę, kaip atimta buvo naudojama 6 progresijos elementų suma, nes 7-asis narys įtraukiamas į S 7-13 sumą.

Skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, pridedamas tuo pačiu skaičiumi tam tikrai sekai, vadinama aritmetine progresija. Skambinamas numeris, kuris kiekvieną kartą pridedamas prie ankstesnio numerio aritmetinės progresijos skirtumas ir žymimas raide d.

Taigi, skaitinė seka a 1; a 2; a 3; a 4; a 5; ... ir n bus aritmetinė progresija, jei a 2 = a 1 + d;

a3 = a2 + d;

Jie sako, kad pateikiama aritmetinė progresija su bendru terminu a n... Užsirašykite: pateikiama aritmetinė progresija (a n).

Aritmetinė progresija laikoma apibrėžta, jei žinomas pirmasis jos narys. a 1 ir skirtumas d.

Aritmetinės progresijos pavyzdžiai

1 pavyzdys. vienas; 3; 5; 7; 9; ... Čia a 1 = 1; d = 2.

2 pavyzdys. aštuoni; 5; 2; - vienas; -4; -7; -10; ... Čia a 1 = 8; d =-3.

3 pavyzdys.- šešiolika; -12; - aštuoni; -4; ... Čia a 1 = -16; d = 4.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienas progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui.

1 pavyzdyje antra kadencija 3 =(1+5): 2; tie. a 2 = (a 1 + a 3) : 2; trečia kadencija 5 =(3+7): 2;

t.y. a 3 = (a 2 + a 4) : 2.

Taigi formulė galioja:

Bet iš tikrųjų kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus ne tik gretimų narių, bet ir jos narių aritmetiniam vidurkiui. vienodu atstumu iš savo narių, t.y.

Leisk pasukti 2 pavyzdys... Skaičius -1 yra ketvirtasis aritmetinės progresijos narys ir yra vienodai nutolęs nuo pirmojo ir septintojo narių (a 1 = 8 ir 7 = -10).

Pagal formulę (**) turime:

Išveskime formulę n- aritmetinės progresijos narys.

Taigi, gausime antrą aritmetinės progresijos narį, jei skirtumą pridėsime prie pirmojo d; trečiasis narys gaunamas, jei prie antrojo pridedame skirtumą d arba prie pirmojo termino pridėkite du skirtumus d; ketvirtasis narys gaunamas, jei prie trečiojo pridedame skirtumą d arba prie pirmojo pridėkite tris skirtumus d ir tt

Jūs atspėjote: a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d = a 1 + 2 d;

a 4 = a 3 + d = a 1 + 3 d;

…………………….

a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.

Gauta formulė a n = a 1 + (n-1) d (***)

yra vadinami formulęnaritmetinės progresijos narys.

Dabar pakalbėkime apie tai, kaip rasti pirmųjų n aritmetinės progresijos narių sumą. Šią sumą žymime S n.

Pertvarkius terminų vietas, sumos reikšmė nepasikeis, todėl ją galima rašyti dvejopai.

S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n ir

S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 +… ... + a 4 + a 3 + a 2 + a 1

Sudėkime šias dvi lygybes po termino:

2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) +…

Skliausteliuose pateiktos reikšmės yra lygios viena kitai, nes tai yra vienodo atstumo serijos narių sumos, o tai reiškia, kad galite parašyti: 2S n = n · (a 1 + a n).

Gauname formulę pirmojo sumanaritmetinės progresijos nariai.

Jei a n pakeisime reikšme a 1 + (n-1) d formule (***), tada gausime kitą formulę pirmosios sumos n aritmetinės progresijos nariai.

Matematika turi savo grožį, kaip ir tapyba ir poezija.

Rusų mokslininkas, mechanikas N.E. Žukovskis

Problemos, susijusios su aritmetinės progresijos samprata, yra labai dažnos matematikos stojamųjų egzaminų problemos. Norint sėkmingai išspręsti tokias problemas, būtina gerai išmanyti aritmetinės progresijos savybes ir turėti tam tikrų jų taikymo įgūdžių.

Pirmiausia primename pagrindines aritmetinės progresijos savybes ir pateikiame svarbiausias formules, susijusi su šia sąvoka.

Apibrėžimas. Skaičių seka, kuriame kiekvienas paskesnis terminas nuo ankstesnio skiriasi tuo pačiu skaičiumi, vadinama aritmetine progresija. Be to, skaičiusvadinamas progresijos skirtumu.

Aritmetinei progresijai galioja šios formulės

, (1)

kur . (1) formulė vadinama aritmetinės progresijos bendrojo nario formule, o formulė (2) yra pagrindinė aritmetinės progresijos savybė: kiekvienas progresijos narys sutampa su gretimų narių ir aritmetiniu vidurkiu.

Atkreipkite dėmesį, kad būtent dėl ​​šios savybės nagrinėjama progresija vadinama „aritmetine“.

Pirmiau pateiktos (1) ir (2) formulės apibendrinamos taip:

(3)

Norėdami apskaičiuoti sumą Pirmas aritmetinės progresijos nariaidažniausiai taikoma formulė

(5) kur ir.

Atsižvelgiant į formulę (1), tada formulė (5) reiškia

Jei pažymime, tada

kur . Kadangi tada (7) ir (8) formulės yra atitinkamų (5) ir (6) formulių apibendrinimas.

Visų pirma, iš (5) formulės išplaukia, ką

Aritmetinės progresijos savybė, suformuluota pagal šią teoremą, daugumai studentų yra mažai žinoma.

Teorema. Jei tada

Įrodymas. Jei tada

Teorema įrodyta.

Pavyzdžiui , naudojant teoremą, galima tai parodyti

Pereikime prie tipiškų uždavinių sprendimo pavyzdžių tema „Aritmetinė progresija“.

1 pavyzdys. Leiskite ir. Rasti.

Sprendimas. Taikydami formulę (6), gauname. Nuo ir, tada arba.

2 pavyzdys. Tegu bus tris kartus daugiau, o dalinant iš koeficiento gauname 2, o liekaną 8. Nustatykite ir.

Sprendimas. Pavyzdžio sąlyga reiškia lygčių sistemą

Kadangi, ir, tada iš lygčių sistemos (10) gauname

Šios lygčių sistemos sprendimas yra ir.

3 pavyzdys. Raskite, ar ir.

Sprendimas. Pagal (5) formulę turime arba. Tačiau naudodami savybę (9), gauname.

Nuo ir tada iš lygybės toliau pateikiama lygtis arba .

4 pavyzdys. Rasti, jei.

Sprendimas.Pagal formulę (5) turime

Tačiau naudojant teoremą galima rašyti

Iš to ir formulės (11) gauname.

5 pavyzdys. Duota:. Rasti.

Sprendimas. Nuo tada. Tačiau todėl.

6 pavyzdys. Tegul, ir. Rasti.

Sprendimas. Naudodami (9) formulę gauname. Todėl, jei, tada arba.

Nuo ir tada čia turime lygčių sistemą

Išspręsdami kurią, gauname ir.

Natūrali lygties šaknis yra .

7 pavyzdys. Raskite, ar ir.

Sprendimas. Kadangi pagal (3) formulę turime tai, tada problemos teiginys reiškia lygčių sistemą

Jei pakeisite posakįį antrąją sistemos lygtį, tada gauname arba.

Kvadratinės lygties šaknys yra ir .

Panagrinėkime du atvejus.

1. Tada tegul. Nuo tada ir tada.

Šiuo atveju pagal (6) formulę turime

2. Jei, tada ir

Atsakymas: ir.

8 pavyzdys. Yra žinoma, kad ir. Rasti.

Sprendimas. Atsižvelgdami į (5) formulę ir pavyzdžio sąlygą, užrašome ir.

Taigi seka lygčių sistema

Jei pirmąją sistemos lygtį padauginsime iš 2, o tada pridėsime prie antrosios lygties, gausime

Pagal (9) formulę turime... Šiuo atžvilgiu iš (12) seka arba .

Nuo tada ir tada.

Atsakymas:.

9 pavyzdys. Raskite, ar ir.

Sprendimas. Kadangi, ir pagal sąlygą, tada arba.

Iš (5) formulės žinoma, ką . Nuo tada.

Vadinasi, čia turime tiesinių lygčių sistemą

Taigi gauname ir. Atsižvelgdami į (8) formulę, rašome.

10 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

Sprendimas. Iš pateiktos lygties išplaukia, kad. Tarkime, kad, ir. Tokiu atveju .

Pagal (1) formulę galite rašyti arba.

Todėl (13) lygtis turi vieną tinkamą šaknį.

11 pavyzdys. Raskite didžiausią reikšmę su sąlyga, kad ir.

Sprendimas. Kadangi svarstoma aritmetinė progresija mažėja. Šiuo atžvilgiu išraiška įgyja didžiausią reikšmę, kai tai yra minimalaus teigiamo progreso nario skaičius.

Mes naudojame formulę (1) ir faktą, kaip. Tada gauname, kad arba.

Nuo tada arba ... Tačiau šioje nelygybėjedidžiausias natūralusis skaičius, Štai kodėl .

Jei reikšmės ir yra pakeistos formulėje (6), tada gauname.

Atsakymas:.

12 pavyzdys. Nustatykite visų dviženklių natūraliųjų skaičių sumą, kurią padalijus iš 6, lieka 5.

Sprendimas. Pažymime visų dviženklių natūraliųjų skaičių aibe, t.y. ... Toliau sudarome poaibį, susidedantį iš tų aibės elementų (skaičių), kuriuos padalijus iš 6, likusioji dalis yra 5.

Įkurti nėra sunku, ką . Aišku, kad aibės elementaisudaryti aritmetinę progresiją, kuriame ir.

Norėdami nustatyti aibės kardinalumą (elementų skaičių), darome prielaidą, kad. Kadangi ir, tada iš (1) formulės išplaukia arba. Atsižvelgdami į (5) formulę, gauname.

Aukščiau pateikti problemų sprendimo pavyzdžiai jokiu būdu negali teigti, kad jie yra išsamūs. Šis straipsnis parašytas remiantis šiuolaikinių metodų, skirtų tipinėms konkrečios temos problemoms spręsti, analize. Norint giliau ištirti problemų, susijusių su aritmetine progresija, sprendimo būdus, patartina remtis rekomenduojamos literatūros sąrašu.

1. Matematikos uždavinių rinkinys stojantiesiems į technikos kolegijas / Red. M.I. Skanavi. - M .: Taika ir švietimas, 2013 .-- 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika aukštųjų mokyklų studentams: papildomos mokyklos programos dalys. - M .: Lenandas / URSS, 2014 .-- 216 p.

3. Medynsky M.M. Baigiamas elementarios matematikos uždavinių ir pratimų kursas. 2 knyga: Skaičių sekos ir progresija. - M .: Edithus, 2015 .-- 208 p.

Vis dar turite klausimų?

Norėdami gauti dėstytojo pagalbą – užsiregistruokite.

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Tema: Aritmetinė ir geometrinė progresija

Klasė: 9

Paruošimo sistema: medžiaga, skirta rengti temos studiją algebroje ir parengiamąjį etapą išlaikyti egzaminą

Tikslas: aritmetinės ir geometrinės progresijos sąvokų formavimas

Užduotys: mokyti atskirti progresavimo tipus, mokyti taisyklingai, naudoti formules

Aritmetinė progresija vadinama skaičių seka (progresijos nariais)

kuriame kiekvienas paskesnis narys nuo ankstesnio skiriasi nauju nariu, kuris dar vadinamas žingsniu arba progresijos skirtumu.

Taigi, nustatydami progresijos žingsnį ir pirmąjį jo terminą, pagal formulę galite rasti bet kurį jo elementą

1) Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo skaičiaus, yra ankstesnio ir kito progresijos nario aritmetinis vidurkis

Priešingai irgi tiesa. Jei gretimų nelyginių (lyginių) progresijos narių aritmetinis vidurkis yra lygus tarp jų esančiam nariui, tai ši skaičių seka yra aritmetinė progresija. Šis teiginys leidžia labai lengvai patikrinti bet kokią seką.

Be to, pagal aritmetinės progresijos savybę aukščiau pateiktą formulę galima apibendrinti taip

Tai nesunku patikrinti, jei išrašysime terminus lygybės ženklo dešinėje

Jis dažnai naudojamas praktikoje, siekiant supaprastinti problemų skaičiavimus.

2) Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma apskaičiuojama pagal formulę

Gerai atsiminkite aritmetinės progresijos sumos formulę, ji yra būtina skaičiavimams ir yra gana įprasta paprastose gyvenimo situacijose.

3) Jei reikia rasti ne visą sumą, o dalį sekos, prasidedančios nuo k-ojo nario, tuomet pravers ši sumos formulė

4) Praktiškai svarbu rasti aritmetinės progresijos, prasidedančios nuo k-ojo skaičiaus, n narių sumą. Norėdami tai padaryti, naudokite formulę

Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos narį 4; 7; ...

Sprendimas:

Pagal būklę turime

Nustatykite progresavimo žingsnį

Naudodami gerai žinomą formulę randame keturiasdešimtąjį progresijos narį

Aritmetinė progresija pateikiama trečiuoju ir septintuoju jos nariais. Raskite pirmąjį progresijos narį ir dešimties sumą.

Sprendimas:

Išrašykime pateiktus progresijos elementus naudodami formules

Aritmetinė progresija pateikiama pagal vardiklį ir vieną iš jo narių. Raskite pirmąjį progresijos narį, jo 50 narių sumą, prasidedančią nuo 50, ir pirmųjų 100 sumą.

Sprendimas:

Parašykime šimtosios progresijos elemento formulę

ir susirask pirmąjį

Remdamiesi pirmuoju, randame 50 progresijos terminą

Raskite progresijos dalies sumą

ir pirmųjų 100 suma

Progresijos suma lygi 250. Raskite aritmetinės progresijos narių skaičių, jei:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Sprendimas:

Rašome lygtis pagal pirmąjį narį ir progresijos žingsnį ir jas apibrėžiame

Gautas reikšmes pakeičiame į sumos formulę, kad nustatytų sumos narių skaičių

Supaprastinimų atlikimas

ir išspręskite kvadratinę lygtį

Iš dviejų rastų probleminės būklės reikšmių tinka tik skaičius 8. Taigi pirmųjų aštuonių progresijos narių suma yra 111.

Išspręskite lygtį

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

Sprendimas:

Ši lygtis yra aritmetinės progresijos suma. Užrašykime pirmąjį jo terminą ir raskime progresijos skirtumą

Rastas reikšmes pakeičiame progresijos sumos formule, kad surastume terminų skaičių

Kaip ir ankstesnėje užduotyje, supaprastinsime ir išspręsime kvadratinę lygtį

Mes pasirenkame logiškesnę iš dviejų reikšmių. Turime, kad 18 progresijos narių suma su nurodytomis reikšmėmis a1 = 1, d = 2 yra lygi Sn = 307.

Problemų sprendimo pavyzdžiai: Aritmetinė progresija

1 užduotis

Studentų komanda susitarė dėl 288 m2 ploto jaunimo klubo salėje iškloti keramines plyteles.Įgydami patirties, studentai kiekvieną kitą dieną, pradedant nuo antrosios, išklojo 2 m2 daugiau nei prieš tai buvusioje. , o plytelių atsargų jiems užteko lygiai 11 darbo dienų. Planuodamas, kad produktyvumas taip pat didės, meistras nustatė, kad darbui atlikti prireiks dar 5 dienų. Kiek dėžių plytelių jis turėtų užsisakyti, jei 1 dėžės užtenka 1,2 m2 grindų, o norint pakeisti nekokybiškas plyteles reikia 3 dėžių?

Sprendimas

Pagal uždavinio sąlygą aišku, kad kalbame apie aritmetinę progresiją, kurioje tegul

a1 = x, Sn = 288, n = 16

Tada naudojame formulę: Sn = (2а1 + d (n-1)) * n / 0,86 = 200 mm Hg. Art.

288 = (2x + 2*15) * 16/2

Paskaičiuokime, kiek m2 mokinių išklos per 11 dienų: S11 = (2 * 3 + 2 * 10) * 11,2 = 143m 2

288-143 = po 11 dienų darbo liko 145m2, t.y. 5 dienoms

145 / 1,2 = 121 (apytiksliai) dėžutę reikia užsakyti 5 dienoms.

Reikia užsakyti 121 + 3 = 124 dėžutes, įskaitant defektą

Atsakymas: 124 dėžės

2 užduotis

Po kiekvieno vakuuminio siurblio stūmoklio judesio iš indo pašalinama 20% jame esančio oro. Nustatykime oro slėgį indo viduje po šešių stūmoklio judesių, jei pradinis slėgis buvo 760 mm Hg. Art.

Sprendimas

Kadangi po kiekvieno stūmoklio judesio iš indo pašalinama 20% turimo oro, 80% oro lieka. Norėdami sužinoti oro slėgį inde po nuoseklaus stūmoklio judėjimo, turite sumažinti ankstesnio stūmoklio judėjimo slėgį 0,8.

Turime geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys yra 760, o vardiklis yra 0,8. Skaičius, išreiškiantis oro slėgį inde (mm Hg) po šešių stūmoklio judesių, yra septintas šios progresijos narys. Jis lygus 760 * 0,86 = 200 mm Hg. Art.

Atsakymas: 200 mm Hg.

Pateikiama aritmetinė progresija, kur penktasis ir dešimtasis nariai yra atitinkamai 38 ir 23. Raskite penkioliktą progresijos narį ir jo pirmųjų dešimties narių sumą.

Sprendimas:

Raskite termino aritmetinės progresijos skaičių 5,14,23, ..., jei jo narys yra 239.

Sprendimas:

Rasti aritmetinės progresijos narių skaičius 9,12,15, ..., jei jo suma yra 306.

Sprendimas:

Raskite x, kurio skaičiai x-1, 2x-1, x2-5 sudaro aritmetinę progresiją

Sprendimas:

Raskime skirtumą tarp 1 ir 2 progresavimo terminų:

d = (2x-1) - (x-1) = x

Raskime skirtumą tarp 2 ir 3 progresavimo terminų:

d = (x2-5) - (2x-1) = x2-2x-4

Nes skirtumas yra toks pat, tada progresijos narius galima sulyginti:

Tikrinant abiem atvejais gaunama aritmetinė progresija

Atsakymas: jei x = -1 ir x = 4

Aritmetinė progresija pateikiama trečiuoju ir septintuoju jos nariais a3 = 5; a7 = 13. Raskite pirmąjį progresijos narį ir dešimties sumą.

Sprendimas:

Pirmąją atimame iš antrosios lygties, todėl randame progresijos žingsnį

a1 + 6d- (a1 + 2d) = 4d = 13-5 = 8, taigi d = 2

Rastą reikšmę pakeičiame į bet kurią lygtį, kad rastume pirmąjį aritmetinės progresijos narį

Apskaičiuojame pirmųjų dešimties progresijos narių sumą

S10 = (2 * 1 + (10-1) * 2) * 10/2 = 100

Atsakymas: a1 = 1; S10 = 100

Aritmetinėje progresijoje, kur pirmasis narys yra -3,4, o skirtumas yra 3, raskite penktą ir vienuoliktą narius.

Taigi, mes žinome, kad a1 = -3,4; d = 3. Raskite: a5, a11-.

Sprendimas. Norėdami rasti n-ąjį aritmetinės progresijos narį, naudojame formulę: an = a1 + (n - 1) d. Mes turime:

a5 = a1 + (5 - 1) d = -3,4 + 43 = 8,6;

a11 = a1 + (11 - 1) d = -3,4 + 10 * 3 = 26,6.

Kaip matote, šiuo atveju sprendimas nėra sunkus.

Dvyliktasis aritmetinės progresijos narys yra 74, o skirtumas -4. Raskite trisdešimt ketvirtą šios progresijos terminą.

Mums sakoma, kad a12 = 74; d = -4, bet reikia rasti a34-.

Šiame uždavinyje neįmanoma iš karto pritaikyti formulės an = a1 + (n - 1) d, nes pirmasis terminas a1 nežinomas. Šią užduotį galima išspręsti keliais etapais.

1. Naudodami terminą a12 ir n-ojo nario formulę, randame a1:

a12 = a1 + (12 - 1) d, dabar supaprastiname ir pakeičiame d: a12 = a1 + 11 (-4). Iš šios lygties randame a1: a1 = a12 - (-44);

Iš uždavinio teiginio žinome dvyliktą narį, todėl galime nesunkiai apskaičiuoti a1

a1 = 74 + 44 = 118. Pereikite prie antrojo žingsnio – a34 apskaičiavimo.

2. Vėlgi, naudodamiesi formule an = a1 + (n - 1) d, kadangi a1 jau žinomas, apibrėžsime a34-,

a34 = a1 + (34 - 1) d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Atsakymas: trisdešimt ketvirtas aritmetinės progresijos narys yra -14.

Kaip matote, antrojo pavyzdžio sprendimas yra sudėtingesnis. Ta pati formulė naudojama du kartus atsakymui gauti. Bet viskas taip sudėtinga. Sprendimą galima sutrumpinti naudojant papildomas formules.

Kaip jau buvo pažymėta, jei uždavinyje žinomas a1, tada aritmetinės progresijos n-ojo nario nustatymo formulė yra labai patogi. Bet, jei sąlyga nenurodo pirmojo nario, tada gali padėti formulė, kuri sujungia mums reikalingą n-tąjį terminą ir užduotyje nurodytą terminą ak.

an = ak + (n - k) d.

Išspręskime antrąjį pavyzdį, bet naudodami naują formulę.

Duota: a12 = 74; d = -4. Rasti: a34-.

Naudojame formulę an = ak + (n - k) d. Mūsų atveju tai bus:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

Atsakymas į problemą buvo gautas daug greičiau, nes nereikėjo atlikti papildomų veiksmų ir ieškoti pirmojo progresavimo termino.

Naudodami aukščiau pateiktas formules galite išspręsti aritmetinės progresijos skirtumo skaičiavimo uždavinius. Taigi, naudodami formulę an = a1 + (n - 1) d, galite išreikšti d:

d = (an - a1) / (n - 1). Tačiau problemos su duotu pirmuoju nariu nėra tokios dažnos ir jas galima išspręsti naudojant mūsų formulę an = ak + (n - k) d, iš kurios matyti, kad d = (an - ak) / (n - k) ). Panagrinėkime tokią užduotį.

Raskite aritmetinės progresijos skirtumą, jei žinoma, kad a3 = 36; a8 = 106.

Naudojant gautą formulę, problemos sprendimas gali būti parašytas vienoje eilutėje:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Jei šios formulės arsenale nebūtų, problemos sprendimas būtų užtrukęs daug ilgiau, nes turėtų išspręsti dviejų lygčių sistemą.

Geometrinės progresijos

1. t-ojo nario (bendrojo progresijos nario) formulė.
2. Pirmųjų progresijos narių sumos formulė:. Kai įprasta kalbėti apie konverguojančią geometrinę progresiją; šiuo atveju visos progresijos sumą galite apskaičiuoti naudodami formulę.
3. "Geometrinio vidurkio" formulė: jei,, yra trys iš eilės geometrinės progresijos nariai, tai pagal apibrėžimą turime santykį: arba arba .