C 8 lygčių sistemų sprendimo metodai. Lygčių sistemos sprendimas sudėjimo metodu. Sudėtingų lygčių sistemų sprendimas

Šiuo vaizdo įrašu pradedu pamokų apie lygčių sistemas ciklą. Šiandien kalbėsime apie tiesinių lygčių sistemų sprendimą papildymo būdas- tai vienas iš paprasčiausių būdų, bet kartu ir vienas efektyviausių.

Papildymo metodas susideda iš trijų paprastų žingsnių:

1. Pažvelkite į sistemą ir pasirinkite kintamąjį, kurio kiekvienoje lygtyje yra vienodi (arba priešingi) koeficientai;
2. Atlikite viena nuo kitos algebrinės atimties (priešingiems skaičiams - sudėjimo) lygtis, tada pridėkite panašius terminus;
3. Išspręskite naują lygtį iš antrojo žingsnio.

Jei viskas bus padaryta teisingai, tada išvestyje gausime vieną lygtį su vienu kintamuoju– tai išspręsti nebus sunku. Tada belieka pakeisti rastą šaknį į pradinę sistemą ir gauti galutinį atsakymą.

Tačiau praktiškai viskas nėra taip paprasta. Tam yra keletas priežasčių:

• Lygčių sprendimas sudėjimo metodu reiškia, kad visose eilutėse turi būti kintamieji su vienodais / priešingais koeficientais. Bet ką daryti, jei šis reikalavimas nėra įvykdytas?
• Jokiu būdu ne visada, tokiu būdu sudėjus/atėmus lygtis, gauname gražią konstrukciją, kurią galima nesunkiai išspręsti. Ar įmanoma kažkaip supaprastinti ir paspartinti skaičiavimus?

Norėdami gauti atsakymą į šiuos klausimus ir tuo pačiu susidoroti su keliomis papildomomis subtilybėmis, kurias daugelis mokinių „aplenkia“, žiūrėkite mano video pamoką:

Šia pamoka pradedame paskaitų ciklą apie lygčių sistemas. Ir mes pradėsime nuo paprasčiausių iš jų, būtent nuo tų, kuriuose yra dvi lygtys ir du kintamieji. Kiekvienas iš jų bus linijinis.

Sistemos yra 7 klasės medžiaga, tačiau ši pamoka bus naudinga ir vyresniųjų klasių mokiniams, kurie nori pagyvinti savo žinias šia tema.

Apskritai yra du tokių sistemų sprendimo būdai:

1. Papildymo būdas;
2. Metodas išreikšti vieną kintamąjį per kitą.

Šiandien nagrinėsime pirmąjį metodą – taikysime atimties ir sudėjimo metodą. Tačiau tam reikia suprasti tokį faktą: kai tik turite dvi ar daugiau lygčių, turite teisę paimti bet kurias dvi iš jų ir pridėti jas viena prie kitos. Jie pridedami terminas po termino, t.y. „X“ pridedami prie „X“ ir pateikiami panašūs;

Tokių machinacijų rezultatas bus nauja lygtis, kuri, jei ji turi šaknis, būtinai bus tarp pradinės lygties šaknų. Todėl mūsų užduotis yra atimti arba sudėti taip, kad išnyktų $ x $ arba $ y $.

Kaip tai pasiekti ir kokį įrankį tam naudoti – apie tai kalbėsime dabar.

Šviesos uždavinių sprendimas papildymo metodu

Taigi, mes mokomės taikyti sudėjimo metodą naudodami dviejų paprasčiausių išraiškų pavyzdį.

Problema numeris 1

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 5x-4y = 22 \\ & 7x + 4y = 2 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė. \]

Atkreipkite dėmesį, kad $ y $ turi koeficientą pirmoje lygtyje $ -4 $, o antroje - $ + 4 $. Jie yra tarpusavyje priešingi, todėl logiška manyti, kad juos susumavus, tada gautoje sumoje „žaidimai“ bus abipusiai sunaikinti. Pridedame ir gauname:

Mes išsprendžiame paprasčiausią dizainą:

Puiku, radome X. Ką dabar su juo daryti? Mes turime teisę jį pakeisti bet kurioje lygtyje. Pakeiskime pirmąją:

\ [- 4m = 12 \ liko | : \ kairė (-4 \ dešinė) \ dešinė. \]

Atsakymas: $ \ kairė (2; -3 \ dešinė) $.

Problema numeris 2

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & -6x + y = 21 \\ & 6x-11y = -51 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė. \]

Čia situacija visiškai panaši, tik su X. Sudėkime juos:

Gavome paprasčiausią tiesinę lygtį, išspręskime ją:

Dabar suraskime $ x $:

Atsakymas: $ \ kairėje (-3; 3 \ dešinėje) $.

Svarbūs punktai

Taigi, mes ką tik išsprendėme dvi paprasčiausias tiesinių lygčių sistemas sudėjimo metodu. Dar kartą pagrindiniai punktai:

1. Jei vienam iš kintamųjų yra priešingi koeficientai, tuomet reikia pridėti visus lygties kintamuosius. Tokiu atveju vienas iš jų bus sunaikintas.
2. Rastą kintamąjį pakeičiame į bet kurią sistemos lygtį, kad rastume antrąją.
3. Galutinis atsakymo įrašas gali būti pateiktas įvairiais būdais. Pavyzdžiui, taigi - $ x = ..., y = ... $, arba taškų koordinačių pavidalu - $ \ left (...; ... \ right) $. Pageidautina antrasis variantas. Svarbiausia atsiminti, kad pirmoji koordinatė yra $ x $, o antroji yra $ y $.
4. Taisyklė atsakymą rašyti taško koordinačių forma galioja ne visada. Pavyzdžiui, jo negalima naudoti, kai kintamieji yra ne $ x $ ir $ y $, o, pavyzdžiui, $ a $ ir $ b $.

Tolesniuose uždaviniuose pažvelgsime į atimties techniką, kai koeficientai nėra priešingi.

Lengvų uždavinių sprendimas atimties metodu

Problema numeris 1

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 10x-3y = 5 \\ & -6x-3y = -27 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė. \]

Atkreipkite dėmesį, kad čia nėra priešingų koeficientų, tačiau yra identiškų. Todėl iš pirmosios lygties atimame antrąją:

Dabar mes pakeisime $ x $ reikšmę į bet kurią sistemos lygtį. Eikime pirma:

Atsakymas: $ \ kairėje (2; 5 \ dešinėje) $.

Problema numeris 2

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 5x + 4y = -22 \\ & 5x-2y = -4 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė. \]

Vėlgi, pirmoje ir antroje lygtyse matome tą patį koeficientą nuo $ 5 $ iki $ x $. Todėl logiška manyti, kad iš pirmosios lygties reikia atimti antrąją:

Mes apskaičiavome vieną kintamąjį. Dabar suraskime antrąjį, pavyzdžiui, pakeisdami $ y $ reikšmę į antrąją konstrukciją:

Atsakymas: $ \ kairė (-3; -2 \ dešinė) $.

Sprendimo niuansai

Taigi ką mes matome? Iš esmės schema niekuo nesiskiria nuo ankstesnių sistemų sprendimo. Skirtumas tik tas, kad lygtis nesudedame, o atimame. Mes atliekame algebrinę atimtį.

Kitaip tariant, kai tik pamatysite dviejų lygčių sistemą su dviem nežinomaisiais, pirmiausia turite pažvelgti į koeficientus. Jei jos bet kur vienodos, lygtys atimamos, o jei priešingos, taikomas sudėjimo metodas. Tai visada daroma taip, kad vienas iš jų išnyktų, o galutinėje lygtyje liktų tik vienas kintamasis, kuris liko atėmus.

Žinoma, tai dar ne viskas. Dabar apsvarstysime sistemas, kuriose lygtys paprastai yra nenuoseklios. Tie. juose nėra kintamųjų, kurie būtų vienodi arba priešingi. Šiuo atveju tokioms sistemoms išspręsti naudojama papildoma technika, ty kiekvienos lygties dauginimas iš specialaus koeficiento. Kaip tai rasti ir kaip apskritai išspręsti tokias sistemas, dabar apie tai kalbėsime.

Problemos sprendimas dauginant iš koeficiento

1 pavyzdys

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 5x-9y = 38 \\ & 3x + 2y = 8 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė. \]

Matome, kad nei $ x $, nei $ y $ koeficientai ne tik nėra vienas kitam priešingi, bet ir apskritai niekaip nekoreliuoja su kita lygtimi. Šie koeficientai niekaip neišnyks, net jei lygtis vieną iš kitos pridėsime ar atimsime. Todėl būtina taikyti dauginimą. Pabandykime atsikratyti $ y $ kintamojo. Norėdami tai padaryti, padauginame pirmąją lygtį iš koeficiento $ y $ iš antrosios lygties, o antrąją lygtį - iš $ y $ iš pirmosios lygties, nekeisdami ženklo. Padauginame ir gauname naują sistemą:

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 10x-18y = 76 \\ & 27x + 18y = 72 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė. \]

Mes žiūrime į tai: už $ y $ priešingi koeficientai. Esant tokiai situacijai, būtina taikyti papildymo metodą. Pridurkime:

Dabar turime rasti $ y $. Norėdami tai padaryti, pirmoje išraiškoje pakeiskite $ x $:

\ [- 9m = 18 \ liko | : \ kairė (-9 \ dešinė) \ dešinė. \]

Atsakymas: $ \ kairė (4; -2 \ dešinė) $.

2 pavyzdys

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 11x + 4y = -18 \\ & 13x-6y = -32 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė. \]

Vėlgi, bet kurio kintamojo koeficientai nėra nuoseklūs. Padauginkime iš $ y $ koeficientų:

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 11x + 4y = -18 \ left | 6 \ right. \\ & 13x-6y = -32 \ left | 4 \ right. \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė .\]

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 66x + 24y = -108 \\ & 52x-24y = -128 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė. \]

Mūsų nauja sistema yra lygiavertė ankstesnei, tačiau $ y $ koeficientai yra priešingi, todėl čia lengva pritaikyti pridėjimo metodą:

Dabar randame $ y $, pirmoje lygtyje pakeisdami $ x $:

Atsakymas: $ \ kairėje (-2; 1 \ dešinėje) $.

Sprendimo niuansai

Pagrindinė taisyklė čia yra tokia: mes visada dauginame tik iš teigiamų skaičių - tai išgelbės jus nuo kvailų ir įžeidžiančių klaidų, susijusių su ženklų keitimu. Apskritai sprendimo schema yra gana paprasta:

1. Mes žiūrime į sistemą ir analizuojame kiekvieną lygtį.
2. Jeigu matysime, kad nei $ y $, nei $ x $ koeficientai nėra nuoseklūs, t.y. jie nėra nei lygūs, nei priešingi, tada darome taip: pasirenkame kintamąjį, kurio reikia atsikratyti, ir tada žiūrime į šių lygčių koeficientus. Jei padauginsime pirmąją lygtį iš koeficiento iš antrosios, o antrąją padauginsime atitinkamai iš koeficiento iš pirmosios, tada galų gale gausime sistemą, kuri yra visiškai lygiavertė ankstesnei, ir koeficientus $ y $ bus nuoseklus. Visi mūsų veiksmai ar transformacijos yra nukreiptos tik į vieną kintamąjį vienoje lygtyje.
3. Randame vieną kintamąjį.
4. Rastą kintamąjį pakeičiame viena iš dviejų sistemos lygčių ir randame antrąją.
5. Atsakymą rašome taškų koordinačių forma, jei turime kintamuosius $ x $ ir $ y $.

Tačiau net ir toks paprastas algoritmas turi savų subtilybių, pavyzdžiui, $ x $ arba $ y $ koeficientai gali būti trupmenos ir kiti „bjaurūs“ skaičiai. Šiuos atvejus dabar nagrinėsime atskirai, nes juose galima veikti kiek kitaip nei pagal standartinį algoritmą.

Užduočių sprendimas su trupmeniniais skaičiais

1 pavyzdys

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 4m-3n = 32 \\ & 0,8m + 2,5n = -6 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė. \]

Pirma, atkreipkite dėmesį, kad antroje lygtyje yra trupmenų. Tačiau atminkite, kad 4 USD galite padalyti iš 0,8 USD. Mes gauname 5 USD. Padauginkime antrąją lygtį iš 5 USD:

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 4m-3n = 32 \\ & 4m + 12,5 m = -30 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė. \]

Atimkite lygtis vieną iš kitos:

Radome $ n $, dabar paskaičiuokime $ m $:

Atsakymas: $ n = -4; m = 5 USD

2 pavyzdys

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 2,5 p + 1,5 k = -13 \ kairė | 4 \ dešinė. \\ & 2p-5k = 2 \ kairė | 5 \ dešinė. \\\ pabaiga (lygiuoti ) \ teisingai. \]

Čia, kaip ir ankstesnėje sistemoje, yra trupmeniniai koeficientai, tačiau nė vienam iš kintamųjų koeficientai netelpa vienas į kitą sveikąjį skaičių kartų. Todėl mes naudojame standartinį algoritmą. Atsikratykite $ p $:

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 5p + 3k = -26 \\ & 5p-12,5k = 5 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė. \]

Taikome atimties metodą:

Raskime $ p $ prijungę $ k $ į antrą konstrukciją:

Atsakymas: $ p = -4; k = -2 $.

Sprendimo niuansai

Tai yra visas optimizavimas. Pirmoje lygtyje mes iš viso nepadauginome iš nieko, o antroji lygtis buvo padauginta iš 5 USD. Dėl to mes gavome nuoseklią ir net tą pačią pirmojo kintamojo lygtį. Antroje sistemoje laikėmės standartinio algoritmo.

Bet kaip rasti skaičius, iš kurių reikia padauginti lygtis? Juk padauginus iš trupmeninių skaičių gauname naujų trupmenų. Todėl trupmenas reikia padauginti iš skaičiaus, kuris duotų naują sveikąjį skaičių, ir tik po to kintamuosius reikia padauginti iš koeficientų, vadovaujantis standartiniu algoritmu.

Baigdamas norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į atsakymo įrašo formatą. Kaip jau sakiau, kadangi čia turime ne $ x $ ir $ y $, o kitas reikšmes, todėl naudojame nestandartinį formos žymėjimą:

Sudėtingų lygčių sistemų sprendimas

Kaip paskutinis šios dienos vaizdo įrašo pamokos akordas, pažvelkime į keletą tikrai sudėtingų sistemų. Jų sudėtingumas bus tas, kad juose bus kintamieji kairėje ir dešinėje. Todėl norėdami juos išspręsti, turėsime taikyti išankstinį apdorojimą.

Sistema Nr.1

\ [\ left \ (\ pradėti (lygiuoti) & 3 \ kairė (2x-y \ dešinė) + 5 = -2 \ kairė (x + 3y \ dešinė) +4 \\ & 6 \ kairė (y + 1 \ dešinė) ) -1 = 5 \ kairėn (2x-1 \ dešinėn) +8 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinėn. \]

Kiekviena lygtis turi tam tikrą sudėtingumą. Todėl su kiekviena išraiška elkimės taip, kaip su įprasta tiesine konstrukcija.

Iš viso gausime galutinę sistemą, kuri yra lygiavertė pradinei:

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 8x + 3y = -1 \\ & -10x + 6y = -2 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė. \]

Pažiūrėkime į $ y $ koeficientus: $ 3 $ patenka į $ 6 $ du kartus, todėl pirmąją lygtį padauginame iš $ 2 $:

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 16x + 6y = -2 \\ & -10 + 6y = -2 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė. \]

Koeficientai ties $ y $ dabar yra lygūs, todėl iš pirmosios lygties atimame antrąją: $$

Dabar suraskime $ y $:

Atsakymas: $ \ left (0; - \ frac (1) (3) \ right) $

Sistema Nr.2

\ [\ left \ (\ pradėti (lygiuoti) & 4 \ kairė (a-3b \ dešinė) -2a = 3 \ kairė (b + 4 \ dešinė) -11 \\ & -3 \ kairė (b-2a \ dešinė ) -12 = 2 \ kairėn (a-5 \ dešinėn) + b \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinėn. \]

Paverskime pirmąją išraišką:

Mes susiduriame su antruoju:

\ [- 3 \ kairė (b-2a \ dešinė) -12 = 2 \ kairė (a-5 \ dešinė) + b \]

\ [- 3b + 6a-12 = 2a-10 + b \]

\ [- 3b + 6a-2a-b = -10 + 12 \]

Taigi, mūsų pradinė sistema atrodys taip:

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 2a-15b = 1 \\ & 4a-4b = 2 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė. \]

Žvelgdami į $ a $ koeficientus, matome, kad pirmąją lygtį reikia padauginti iš $ 2 $:

\ [\ left \ (\ pradžia (lygiuoti) & 4a-30b = 2 \\ & 4a-4b = 2 \\\ pabaiga (lygiuoti) \ dešinė. \]

Iš pirmosios konstrukcijos atimkite antrąją:

Dabar suraskime $ a $:

Atsakymas: $ \ kairėje (a = \ frac (1) (2); b = 0 \ dešinėje) $.

Tai viskas. Tikiuosi, kad šis vaizdo įrašas padės suprasti šią sudėtingą temą, būtent paprastų tiesinių lygčių sistemų sprendimą. Vėliau bus dar daug pamokų šia tema: analizuosime sudėtingesnius pavyzdžius, kur bus daugiau kintamųjų, o pačios lygtys jau bus netiesinės. Iki kito karto!

Paprastai sistemos lygtys rašomos stulpelyje viena po kitos ir derinamos su riestiniu skliaustu

Tokios formos lygčių sistema, kur a, b, c- skaičiai ir x, y- vadinami kintamieji tiesinių lygčių sistema.

Sprendžiant lygčių sistemą, naudojamos savybės, kurios galioja lygtims spręsti.

Tiesinių lygčių sistemos sprendimas pakeitimo metodu

Panagrinėkime pavyzdį

1) Išreikškite kintamąjį vienoje iš lygčių. Pavyzdžiui, išreiškiame y pirmoje lygtyje gauname sistemą:

2) Pakeiskite antroje sistemos lygtyje vietoj y išraiška 3x-7:

3) Išsprendžiame gautą antrąją lygtį:

4) Gautą sprendimą pakeičiame pirmąja sistemos lygtimi:

Lygčių sistema turi unikalų sprendimą: skaičių porą x = 1, y = -4... Atsakymas: (1; -4) , parašyta skliausteliuose, pirmoje pozicijoje reikšmė x, antroje - y.

Tiesinių lygčių sistemos sprendimas sudėjimo metodu

Išspręskime lygčių sistemą iš ankstesnio pavyzdžio papildymo būdu.

1) Transformuokite sistemą taip, kad vieno iš kintamųjų koeficientai taptų priešingi. Padauginkime pirmąją sistemos lygtį iš „3“.

2) Sudėkite sistemos lygtis po termino. Antroji sistemos lygtis (bet kuri) perrašoma be pakeitimų.

3) Gautą sprendimą pakeičiame pirmąja sistemos lygtimi:

Tiesinių lygčių sistemos sprendimas grafiškai

Dviejų kintamųjų lygčių sistemos grafinis sprendimas redukuojamas iki lygčių grafikų bendrųjų taškų koordinačių suradimo.

Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija. Dvi tiesės plokštumoje gali susikirsti viename taške, būti lygiagrečios arba sutapti. Atitinkamai, lygčių sistema gali: a) turėti unikalų sprendinį; b) neturi sprendimų; c) turi begalinį sprendinių skaičių.

2) Lygčių sistemos sprendimas yra grafikų susikirtimo taškas (jei lygtys yra tiesinės).

Grafinis sistemos sprendimas

Naujų kintamųjų įvedimo metodas

Keičiant kintamuosius galima išspręsti paprastesnę lygčių sistemą nei pradinė.

Apsvarstykite sistemos sprendimą

Tada pristatome pakaitalą

Pereikite prie pradinių kintamųjų

Ypatingi atvejai

Neišsprendus tiesinių lygčių sistemos, jos sprendinių skaičių galima nustatyti pagal atitinkamų kintamųjų koeficientus.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų (SLAE) sprendimas neabejotinai yra svarbiausia tiesinės algebros kurso tema. Daugybė problemų iš visų matematikos šakų yra sumažintos iki tiesinių lygčių sistemų sprendimo. Šie veiksniai paaiškina šio straipsnio kūrimo priežastį. Straipsnio medžiaga parinkta ir susisteminta taip, kad jos pagalba galėtumėte

• pasirinkti optimalų metodą tiesinių algebrinių lygčių sistemai išspręsti,
• studijuoti pasirinkto metodo teoriją,
• Išspręskite savo tiesinių lygčių sistemą, išsamiai apsvarstę analizuotus tipinių pavyzdžių ir uždavinių sprendimus.

Trumpas straipsnio medžiagos aprašymas.

Pirmiausia pateikiame visus reikiamus apibrėžimus ir sąvokas bei pristatome žymėjimą.

Toliau apžvelgsime linijinių algebrinių lygčių sistemų, kuriose lygčių skaičius lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir kurios turi unikalų sprendimą, sprendimo būdus. Pirma, apsistosime ties Cramerio metodu, antra, parodysime matricinį metodą tokioms lygčių sistemoms spręsti ir, trečia, analizuosime Gauso metodą (nežinomų kintamųjų nuoseklaus pašalinimo metodą). Siekdami įtvirtinti teoriją, tikrai įvairiais būdais išspręsime keletą SLAE.

Po to pereiname prie bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemų, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi arba pagrindinė sistemos matrica yra išsigimusi, sprendimo. Suformuluokime Kronecker – Capelli teoremą, kuri leidžia nustatyti SLAE suderinamumą. Panagrinėkime sistemų sprendimą (jų suderinamumo atveju) naudodami matricos pagrindinės minorinės sąvoką. Taip pat apsvarstysime Gauso metodą ir išsamiai apibūdinsime pavyzdžių sprendimus.

Būtinai apsistosime ties vienarūšių ir nehomogeniškų tiesinių algebrinių lygčių sistemų bendrojo sprendinio sandara. Pateiksime pamatinės sprendinių sistemos sampratą ir parodykime, kaip bendrasis SLAE sprendimas rašomas naudojant pagrindinės sprendinių sistemos vektorius. Norėdami geriau suprasti, pažvelkime į keletą pavyzdžių.

Apibendrinant, nagrinėjame lygčių sistemas, kurios redukuojasi į tiesines, taip pat įvairias problemas, kurias sprendžiant kyla SLAE.

Puslapio naršymas.

Apibrėžimai, sąvokos, pavadinimai.

Nagrinėsime p tiesinių algebrinių lygčių sistemas su n formos nežinomų kintamųjų (p gali būti lygus n)

Nežinomi kintamieji, - koeficientai (kai kurie realieji arba kompleksiniai skaičiai), - laisvieji terminai (taip pat realieji ar kompleksiniai skaičiai).

Ši SLAE žymėjimo forma vadinama koordinuoti.

V matricos formažymėjimas, ši lygčių sistema turi formą,
kur - pagrindinė sistemos matrica, - nežinomų kintamųjų matrica-stulpelis, - laisvųjų narių matrica-stulpelis.

Jei prie matricos A kaip (n + 1) stulpelį pridėsime laisvųjų terminų matricos stulpelį, tai gausime vadinamąją. išplėstinė matrica tiesinių lygčių sistemos. Paprastai išplėstinė matrica žymima raide T, o laisvųjų elementų stulpelis yra atskirtas vertikalia linija nuo likusių stulpelių, tai yra,

Sprendžiant tiesinių algebrinių lygčių sistemą yra nežinomų kintamųjų reikšmių rinkinys, kuris visas sistemos lygtis paverčia tapatybėmis. Nurodytų nežinomų kintamųjų verčių matricos lygtis taip pat virsta tapatybe.

Jei lygčių sistema turi bent vieną sprendinį, tada ji vadinama Bendras.

Jei lygčių sistema neturi sprendinių, tada ji vadinama nenuoseklus.

Jei SLAE turi unikalų sprendimą, tada jis vadinamas tam tikras; jei yra daugiau nei vienas sprendimas, tada - neapibrėžtas.

Jeigu visų sistemos lygčių laisvieji nariai lygūs nuliui , tada sistema iškviečiama vienalytis, kitaip - nevienalytis.

Elementariųjų tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas.

Jei sistemos lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, o jos pagrindinės matricos determinantas nėra lygus nuliui, tada tokie SLAE bus vadinami elementarus... Tokios lygčių sistemos turi unikalų sprendimą, o vienalytės sistemos atveju visi nežinomi kintamieji yra lygūs nuliui.

Mes pradėjome mokytis tokių SLAE vidurinėje mokykloje. Jas spręsdami paėmėme vieną lygtį, vieną nežinomą kintamąjį išreiškėme kitomis ir pakeitėme į likusias lygtis, tada paėmėme kitą lygtį, išreiškėme kitą nežinomą kintamąjį ir pakeitėme į kitas lygtis ir pan. Arba jie naudojo pridėjimo metodą, tai yra, jie pridėjo dvi ar daugiau lygčių, kad pašalintų kai kuriuos nežinomus kintamuosius. Mes nenagrinėsime šių metodų išsamiai, nes iš tikrųjų tai yra Gauso metodo modifikacijos.

Pagrindiniai elementariųjų tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai yra Cramerio metodas, matricinis metodas ir Gauso metodas. Išanalizuokime juos.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Cramerio metodu.

Tarkime, kad turime išspręsti tiesinių algebrinių lygčių sistemą

kurioje lygčių skaičius lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, o sistemos pagrindinės matricos determinantas yra ne nulis, tai yra,.

Leisti būti pagrindinės sistemos matricos determinantas ir - matricų determinantai, kurie gaunami iš A pakeičiant 1, 2, ..., n atitinkamai į laisvųjų narių stulpelį:

Naudojant šį žymėjimą, nežinomi kintamieji apskaičiuojami pagal Cramerio metodo formules as ... Taip Kramerio metodu randamas tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas.

Pavyzdys.

Cramerio metodas .

Sprendimas.

Pagrindinė sistemos matrica turi formą ... Apskaičiuokime jo determinantą (jei reikia, žr. straipsnį):

Kadangi sistemos pagrindinės matricos determinantas nėra nulis, tai sistema turi unikalų sprendimą, kurį galima rasti Cramerio metodu.

Sudėkime ir apskaičiuokime reikiamus determinantus (determinantas gaunamas pirmą matricos A stulpelį pakeitus laisvųjų narių stulpeliu, determinantas - antrąjį stulpelį pakeitus laisvųjų narių stulpeliu, - trečią matricos A stulpelį pakeitus laisvųjų narių stulpeliu ):

Pagal formules raskite nežinomus kintamuosius :

Atsakymas:

Pagrindinis Cramerio metodo trūkumas (jei jį galima pavadinti trūkumu) yra determinantų skaičiavimo sudėtingumas, kai lygčių skaičius sistemoje yra didesnis nei trys.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas matriciniu metodu (naudojant atvirkštinę matricą).

Tegul tiesinių algebrinių lygčių sistema pateikiama matricos pavidalu, kur matrica A turi matmenis n x n, o jos determinantas yra nulis.

Kadangi matrica A yra apverčiama, tai yra, yra atvirkštinė matrica. Jei padauginsime abi lygybės puses iš kairės, tai gausime formulę nežinomų kintamųjų stulpelio matricai rasti. Taigi mes gavome tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą matricos metodu.

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą matricos metodas.

Sprendimas.

Perrašykime lygčių sistemą matricine forma:

Nes

tada SLAE galima išspręsti matricos metodu. Naudojant atvirkštinę matricą, šios sistemos sprendimą galima rasti kaip .

Sukurkime atvirkštinę matricą, naudodami matricos A elementų algebrinių komplementų matricą (jei reikia, žr. straipsnį):

Belieka paskaičiuoti – nežinomų kintamųjų matricą padauginus atvirkštinę matricą į nemokamų narių stulpelių matricą (jei reikia, žr. straipsnį):

Atsakymas:

arba kitu žymėjimu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Pagrindinė problema ieškant linijinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo matricos metodu yra atvirkštinės matricos paieškos sudėtingumas, ypač kvadratinėms matricoms, kurių eilė aukštesnė už trečiąją.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu.

Tarkime, kad turime rasti n tiesinių lygčių su n nežinomų kintamųjų sistemos sprendimą
kurios pagrindinės matricos determinantas yra nulis.

Gauso metodo esmė susideda iš nuoseklaus nežinomų kintamųjų pašalinimo: pirma, x 1 pašalinamas iš visų sistemos lygčių, pradedant antrąja, tada x 2 pašalinamas iš visų lygčių, pradedant trečiąja ir tt, kol tik nežinomas kintamasis. xn lieka paskutinėje lygtyje. Toks sistemos lygčių transformavimo procesas, skirtas nuosekliai pašalinti nežinomus kintamuosius, vadinamas tiesioginiu Gauso metodu... Užbaigus Gauso metodo eigą pirmyn, iš paskutinės lygties randamas x n, naudojant šią reikšmę, iš priešpaskutinės lygties apskaičiuojamas x n-1 ir taip toliau, iš pirmosios lygties randamas x 1. Nežinomų kintamųjų skaičiavimo procesas, pereinant nuo paskutinės sistemos lygties prie pirmosios, vadinamas atgalinis Gauso metodas.

Trumpai apibūdinkime nežinomų kintamųjų pašalinimo algoritmą.

Darysime prielaidą, kad tai visada galime pasiekti pertvarkydami sistemos lygtis. Pašalinkite nežinomą kintamąjį x 1 iš visų sistemos lygčių, pradedant nuo antrosios. Norėdami tai padaryti, prie antrosios sistemos lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš, prie trečiosios lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš ir taip toliau, prie n-osios lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš. Lygčių sistema po tokių transformacijų įgauna formą

kur ir .

Gautume tą patį rezultatą, jei pirmoje sistemos lygtyje x 1 išreikštume kitais nežinomais kintamaisiais, o gautą išraišką pakeistume visose kitose lygtyse. Taigi kintamasis x 1 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant antrąja.

Toliau elgiamės panašiai, bet tik su gautos sistemos dalimi, kuri pažymėta paveikslėlyje

Norėdami tai padaryti, prie trečiosios sistemos lygties pridedame antrąjį, padaugintą iš, prie ketvirtosios lygties pridedame antrąjį, padaugintą iš, ir taip toliau, prie n-osios lygties pridedame antrąją, padaugintą iš. Lygčių sistema po tokių transformacijų įgauna formą

kur ir ... Taigi kintamasis x 2 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant trečiąja.

Toliau mes pereiname prie nežinomo x 3 pašalinimo, o panašiai elgiamės su paveiksle pažymėta sistemos dalimi

Taigi tęsiame tiesioginę Gauso metodo eigą, kol sistema įgaus formą

Nuo šio momento pradedame atvirkštinę Gauso metodo eigą: apskaičiuojame xn iš paskutinės lygties, nes naudodamiesi gauta xn reikšmę randame x n-1 iš priešpaskutinės lygties ir tt randame x 1 iš paskutinės lygties. pirmoji lygtis.

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu.

Sprendimas.

Iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių pašalinkite nežinomą kintamąjį x 1. Norėdami tai padaryti, prie abiejų antrosios ir trečiosios lygčių pusių pridėkite atitinkamas pirmosios lygties dalis, padaugintas iš ir iš:

Dabar iš trečiosios lygties neįtraukiame x 2, prie jos kairės ir dešinės pusės pridėdami kairę ir dešinę antrosios lygties puses, padaugintą iš:

Šiuo metu Gauso metodo judėjimas į priekį baigtas, mes pradedame judėjimą atgal.

Iš gautos lygčių sistemos paskutinės lygties randame x 3:

Iš antrosios lygties gauname.

Iš pirmosios lygties randame likusį nežinomą kintamąjį ir tai užbaigia atvirkštinę Gauso metodo eigą.

Atsakymas:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas.

Bendruoju atveju lygčių skaičius sistemoje p nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi n:

Tokie SLAE gali neturėti sprendimų, turėti vieną sprendimą arba turėti be galo daug sprendimų. Šis teiginys taip pat taikomas lygčių sistemoms, kurių pagrindinė matrica yra kvadratinė ir išsigimusi.

Kronecker – Capelli teorema.

Prieš randant tiesinių lygčių sistemos sprendimą, būtina nustatyti jos suderinamumą. Atsakymą į klausimą, kada SLAE yra suderinamas, o kada nesuderinamas, pateikia Kronecker – Capelli teorema:
kad p lygčių sistema su n nežinomųjų (p gali būti lygi n) būtų nuosekli, būtina ir pakanka, kad sistemos pagrindinės matricos rangas būtų lygus išplėstinės matricos rangui, tai yra Rank (A) = rangas (T).

Panagrinėkime pavyzdžiu Kronecker – Capelli teoremos taikymą tiesinių lygčių sistemos suderinamumui nustatyti.

Pavyzdys.

Sužinokite, ar tiesinių lygčių sistema sprendimus.

Sprendimas.

... Naudokime besiribojančių nepilnamečių metodą. Antrosios eilės nepilnametis ne nulis. Išskirkime trečios eilės nepilnamečius, besiribojančius su juo:

Kadangi visi besiribojantys trečios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, pagrindinės matricos rangas yra du.

Savo ruožtu išplėstinės matricos rangas yra lygus trims, nes trečios eilės nepilnametis

ne nulis.

Šiuo būdu, Diapazonas (A), todėl pagal Kronecker – Capelli teoremą galime daryti išvadą, kad pradinė tiesinių lygčių sistema yra nenuosekli.

Atsakymas:

Sistema neturi sprendimų.

Taigi, mes išmokome nustatyti sistemos nenuoseklumą naudodami Kronecker - Capelli teoremą.

Bet kaip rasti SLAE sprendimą, jei jo suderinamumas buvo nustatytas?

Norėdami tai padaryti, mums reikia matricos pagrindinės minorinės sąvokos ir matricos rango teoremos.

Iškviečiama matricos A aukščiausios eilės mažoji, išskyrus nulį pagrindinis.

Iš pagrindinio nepilnamečio apibrėžimo matyti, kad jo eilė lygi matricos rangui. Nenulinėje matricoje A gali būti keli pagrindiniai minorai; visada yra vienas pagrindinis minoras.

Pavyzdžiui, apsvarstykite matricą .

Visi šios matricos trečiosios eilės minoriniai yra lygūs nuliui, nes šios matricos trečiosios eilės elementai yra atitinkamų pirmosios ir antrosios eilučių elementų suma.

Šie antros eilės nepilnamečiai yra pagrindiniai, nes jie nėra lygūs nuliui

Nepilnamečiai nėra pagrindiniai, nes jie lygūs nuliui.

Matricos rango teorema.

Jei matricos, kurios eilės p pagal n, rangas yra lygus r, tai visi matricos eilučių (ir stulpelių) elementai, kurie nesudaro pasirinkto pagrindinio minorinio, yra tiesiškai išreiškiami atitinkamais eilučių elementais ( ir stulpeliai), kurie sudaro pagrindinį minorą.

Ką mums suteikia matricos rango teorema?

Jei Kronecker – Capelli teorema nustatėme sistemos suderinamumą, tada pasirenkame bet kurią bazinę sistemos pagrindinės matricos minorą (jo eilė yra r), o iš sistemos pašaliname visas nesusidarančias lygtis. pasirinktas pagrindinis nepilnametis. Tokiu būdu gautas SLAE bus lygiavertis pradiniam, nes išmestos lygtys vis dar yra perteklinės (pagal matricos rango teoremą, tai yra tiesinis likusių lygčių derinys).

Dėl to, atmetus nereikalingas sistemos lygtis, galimi du atvejai.

Jei lygčių skaičius r gautoje sistemoje yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, tai jis bus apibrėžtas ir vienintelis sprendimas gali būti rastas Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.

Pavyzdys.

.

Sprendimas.

Sistemos pagrindinės matricos rangas yra lygus dviem, nes antros eilės nepilnametis ne nulis. Išplėstas matricos reitingas taip pat yra lygus dviem, nes vienintelis trečiosios eilės minoras yra lygus nuliui

o pirmiau aptartas antros eilės nepilnametis yra nulis. Remdamiesi Kronecker – Capelli teorema, galime teigti pirminės tiesinių lygčių sistemos suderinamumą, nes rangas (A) = rangas (T) = 2.

Mes laikome pagrindiniu nepilnamečiu ... Jį sudaro pirmosios ir antrosios lygčių koeficientai:


Trečioji sistemos lygtis nedalyvauja formuojant pagrindinį minorą, todėl ją ištraukiame iš sistemos pagal matricos rango teoremą:


Taip gavome elementarią tiesinių algebrinių lygčių sistemą. Išspręskime tai naudodami Cramerio metodą:


Atsakymas:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Jei lygčių r skaičius gautoje SLAE yra mažesnis už nežinomų kintamųjų skaičių n, tai kairėje lygčių pusėse paliekame pagrindinį šalutinį, likusieji terminai perkeliami į dešinę. -sistemos lygčių pusės su priešingu ženklu.

Nežinomi kintamieji (jų yra r), likę kairėje lygčių pusėje, vadinami Pagrindinis.

Dešinėje pusėje esantys nežinomi kintamieji (yra n - r gabalų) vadinami Laisvas.

Dabar darome prielaidą, kad laisvi nežinomi kintamieji gali turėti savavališkas reikšmes, o r pagrindiniai nežinomi kintamieji bus išreikšti laisvaisiais nežinomais kintamaisiais unikaliu būdu. Jų išraišką galima rasti išsprendus gautą SLAE Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.

Paimkime pavyzdį.

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių algebrinių lygčių sistemą .

Sprendimas.

Raskite pagrindinės sistemos matricos rangą nepilnamečių ribojimo būdu. 1 1 = 1 laikome ne nuline pirmos eilės minora. Pradėkime ieškoti antrosios eilės nepilnamečio, kuris supa šį nepilnametį:


Taip radome nenulinį antros eilės nepilnametį. Pradėkime ieškoti trečios eilės nulio besiribojančio nepilnamečio:


Taigi pagrindinės matricos rangas yra trys. Išplėstinės matricos rangas taip pat yra trys, tai yra, sistema yra nuosekli.

Rastą ne nulį trečios eilės minorą imame kaip pagrindinį.

Aiškumo dėlei parodome elementus, kurie sudaro pagrindinį minorą:


Kairėje sistemos lygčių pusėje paliekame pagrindiniame minore dalyvaujančius terminus, likusius su priešingais ženklais perkeliame į dešiniąsias puses:


Laisviems nežinomiems kintamiesiems x 2 ir x 5 priskirkime savavališkas reikšmes, tai yra, imsime , kur yra savavališki skaičiai. Tokiu atveju SLAE bus tokia forma


Gauta elementarioji linijinių algebrinių lygčių sistema sprendžiama Cramerio metodu:


Vadinasi,.

Nepamirškite atsakyme nurodyti laisvų nežinomų kintamųjų.

Atsakymas:

Kur yra savavališki skaičiai.

Apibendrinti.

Norėdami išspręsti bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemą, pirmiausia išsiaiškiname jos suderinamumą naudodamiesi Kronecker – Capelli teorema. Jei pagrindinės matricos rangas nėra lygus išplėstinės matricos rangui, tada darome išvadą, kad sistema nesuderinama.

Jei pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui, tada pasirenkame pagrindinį minorą ir atmetame sistemos lygtis, kurios nedalyvauja formuojant pasirinktą pagrindinį minorą.

Jei pagrindinės minorinės eilės tvarka lygi nežinomų kintamųjų skaičiui, tai SLAE turi unikalų sprendimą, kurį randame bet kuriuo žinomu metodu.

Jei pagrindinės minorinės eilės tvarka mažesnė už nežinomų kintamųjų skaičių, tai kairėje sistemos lygčių pusėje paliekame terminus su pagrindiniais nežinomais kintamaisiais, likusius narius perkeliame į dešiniąsias puses ir suteikti savavališkas reikšmes laisviems nežinomiems kintamiesiems. Iš gautos tiesinių lygčių sistemos Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu randame pagrindinius nežinomus kintamuosius.

Gauso metodas bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti.

Gauso metodas gali būti naudojamas sprendžiant bet kokios rūšies tiesinių algebrinių lygčių sistemas, prieš tai neištyrus jų suderinamumo. Nežinomų kintamųjų nuoseklaus pašalinimo procesas leidžia daryti išvadą apie SLAE suderinamumą ir nesuderinamumą, o jei yra sprendimas, jį galima rasti.

Skaičiavimo požiūriu pirmenybė teikiama Gauso metodui.

Išsamų jo aprašymą ir analizuojamus pavyzdžius rasite straipsnyje Gauso metodas sprendžiant bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemas.

Vienarūšių ir nehomogeninių tiesinių algebrinių sistemų bendrojo sprendinio rašymas naudojant pamatinės sprendinių sistemos vektorius.

Šiame skyriuje daugiausia dėmesio skirsime suderinamoms vienarūšėms ir nevienalytėms tiesinių algebrinių lygčių sistemoms su begaliniu sprendinių rinkiniu.

Pirmiausia panagrinėkime vienarūšes sistemas.

Fundamentali sprendimų sistema Homogeninė p tiesinių algebrinių lygčių sistema su n nežinomų kintamųjų yra šios sistemos tiesiškai nepriklausomų sprendinių aibė (n - r), kur r yra pagrindinės sistemos matricos bazinio minoro eilė.

Jei tiesiškai nepriklausomus vienalytės SLAE sprendimus pažymėsime kaip X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) yra n-by-1 stulpelių matricos), tada šios vienalytės sistemos bendras sprendimas pavaizduotas kaip linijinis pagrindinės sprendinių sistemos vektorių derinys su savavališkais pastoviais koeficientais С 1, С 2, ..., С (nr), tai yra ,.

Ką reiškia terminas homogeninės tiesinių algebrinių lygčių sistemos bendrasis sprendimas (oroslau)?

Reikšmė paprasta: formulė nurodo visus galimus pradinio SLAE sprendimus, kitaip tariant, atsižvelgiant į bet kokį savavališkų konstantų С 1, С 2, ..., С (nr) reikšmių rinkinį, pagal formulę mes gauti vieną iš pirminio vienarūšio SLAE sprendinių.

Taigi, jei rasime esminę sprendinių sistemą, visus šio vienalyčio SLAE sprendimus galime nustatyti kaip.

Parodykime pagrindinės vienalytės SLAE sprendimų sistemos konstravimo procesą.

Parenkame pradinės tiesinių lygčių sistemos pagrindinį minorą, visas kitas lygtis ištraukiame iš sistemos ir visus narius, kuriuose yra laisvųjų nežinomų kintamųjų, perkeliame į priešingų ženklų sistemos lygčių dešines puses. Laisviesiems nežinomiems kintamiesiems suteikime reikšmes 1,0,0, ..., 0 ir apskaičiuokime pagrindinius nežinomuosius, bet kokiu būdu išspręsdami gautą elementarią tiesinių lygčių sistemą, pavyzdžiui, Cramerio metodu. Tai suteiks X (1) – pirmąjį pagrindinės sistemos sprendimą. Jei laisviesiems nežinomiesiems suteiksime reikšmes 0,1,0,0, ..., 0 ir apskaičiuosime pagrindinius nežinomuosius, gausime X (2). ir kt. Jei laisviesiems nežinomiems kintamiesiems duosime reikšmes 0,0, ..., 0,1 ir apskaičiuosime pagrindinius nežinomuosius, gausime X (n-r). Taip bus sukonstruota pamatinė vienalytės SLAE sprendinių sistema ir jos bendras sprendimas užrašomas formoje.

Nehomogeninėms tiesinių algebrinių lygčių sistemoms bendrasis sprendimas pateikiamas forma, kur yra atitinkamos vienalytės sistemos bendras sprendinys ir yra originalios nevienalytės SLAE konkretus sprendimas, kurį gauname laisviesiems nežinomiesiems suteikdami reikšmes. ​0,0, ..., 0 ir apskaičiuojant pagrindinių nežinomųjų reikšmes.

Pažvelkime į pavyzdžius.

Pavyzdys.

Raskite pagrindinę sprendinių sistemą ir bendrą homogeninės tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą .

Sprendimas.

Vienarūšių tiesinių lygčių sistemų pagrindinės matricos rangas visada yra lygus išplėstinės matricos rangui. Raskime pagrindinės matricos rangą besiribojančių nepilnamečių metodu. Kaip pirmos eilės minorą, mes imame pagrindinės sistemos matricos elementą a 1 1 = 9. Raskite besiribojantį antrosios eilės nepilnametį:

Rastas nulinis antros eilės nepilnametis. Pakartokime trečios eilės nepilnamečius, besiribojančius su juo, ieškodami nulinio vieneto:

Visi besiribojantys trečiosios eilės nepilnamečiai lygūs nuliui, todėl pagrindinės ir išplėstinės matricos rangas lygus dviem. Priimkite kaip pagrindinį nepilnametį. Aiškumo dėlei atkreipiame dėmesį į ją sudarančius sistemos elementus:

Trečioji originalios SLAE lygtis nedalyvauja formuojant pagrindinį minorą, todėl ją galima atmesti:

Dešinėse lygčių pusėse paliekame terminus, kuriuose yra pagrindiniai nežinomieji, o dešinėje perkeliame terminus su laisvaisiais nežinomaisiais:

Sukurkime pagrindinę pirminės vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendinių sistemą. Pagrindinė šio SLAE sprendimų sistema susideda iš dviejų sprendinių, nes originaliame SLAE yra keturi nežinomi kintamieji, o jo pagrindinės minorinės eilės tvarka yra dvi. Norėdami rasti X (1), laisviesiems nežinomiems kintamiesiems priskiriame reikšmes x 2 = 1, x 4 = 0, tada randame pagrindinius nežinomus iš lygčių sistemos
.

Tiesinė lygtis - a x = b formos lygtis, kur x yra kintamasis, a ir b yra kai kurie skaičiai, o a ≠ 0.

Tiesinių lygčių pavyzdžiai:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = - 5

Tiesinėmis lygtimis vadinamos ne tik a x = b formos lygtys, bet ir visos lygtys, kurios, panaudojus transformacijas ir supaprastinimus, redukuojamos į šią formą.

Kaip išspręsti lygtis, kurios redukuojamos į formą a x = b? Pakanka padalyti kairę ir dešinę lygties puses iš reikšmės a. Dėl to gauname atsakymą: x = b a.

Kaip nustatyti, ar savavališka lygtis yra tiesinė, ar ne? Būtina atkreipti dėmesį į jame esantį kintamąjį. Jei didžiausias kintamojo laipsnis yra lygus vienetui, tada tokia lygtis yra tiesinė lygtis.

Norėdami išspręsti tiesinę lygtį , reikia atidaryti skliaustus (jei yra), perkelti "x" į kairę, skaičius į dešinę ir atnešti panašius terminus. Gaunate a x = b formos lygtį. Šios tiesinės lygties sprendimas: x = b a.

Tiesinių lygčių sprendimo pavyzdžiai:

1. 2 x + 1 = 2 (x - 3) + 8

Tai tiesinė lygtis, nes kintamasis yra pirmajame laipsnyje.

Pabandykime konvertuoti į formą a x = b:

Pirmiausia išplėskime skliaustus:

2 x + 1 = 4 x - 6 + 8

Visi terminai su x perkeliami į kairę pusę, skaičiai į dešinę:

2 x – 4 x = 2 – 1

Dabar kairę ir dešinę puses padalinkime iš skaičiaus (-2):

- 2 x - 2 = 1 - 2 = - 1 2 = - 0,5

Atsakymas: x = - 0,5

1. x 2 - 1 = 0

Ši lygtis nėra tiesinė lygtis, nes didžiausias laipsnis, kuriame yra kintamasis x, yra du.

1. x (x + 3) - 8 = x - 1

Ši lygtis iš pirmo žvilgsnio atrodo tiesinė, tačiau išplėtus skliaustus didžiausias laipsnis tampa lygus dviem:

x 2 + 3 x - 8 = x - 1

Ši lygtis nėra tiesinė lygtis.

Ypatingi atvejai(4 OGE užduotyje jie nesusitiko, bet naudinga juos žinoti)

Pavyzdžiai:

1. 2 x - 4 = 2 (x - 2)

2 x - 4 = 2 x - 4

2 x - 2 x = - 4 + 4

O kaip čia ieškoti x, jei jo nėra? Atlikę transformacijas gavome teisingą lygybę (tapatybę), kuri nepriklauso nuo kintamojo x reikšmės. Kad ir kokią x reikšmę pakeistume į pradinę lygtį, rezultatas visada yra teisinga lygybė (tapatybė). Taigi x gali būti bet koks skaičius. Užrašykime šios tiesinės lygties atsakymą.

Atsakymas: x ∈ (- ∞; + ∞)

1. 2 x - 4 = 2 (x - 8)

Tai tiesinė lygtis. Atidarykime skliaustus, perkelkime Xs į kairę, skaičius į dešinę:

2 x - 4 = 2 x - 16

2 x - 2 x = - 16 + 4

Dėl transformacijų x buvo sumažintas, bet galiausiai gavome neteisingą lygybę, nes. Kad ir kokią x reikšmę pakeistume į pradinę lygtį, rezultatas visada bus neteisinga lygybė. Tai reiškia, kad nėra tokių x reikšmių, kurioms lygybė būtų teisinga. Užrašykime šios tiesinės lygties atsakymą.

Atsakymas: x ∈ ∅

Kvadratinės lygtys

Kvadratinė lygtis - a x 2 + b x + c = 0 formos lygtis, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai, o a ≠ 0.

Kvadratinės lygties sprendimo algoritmas:

1. Išskleiskite skliaustus, perkelkite visus terminus į kairę pusę, kad lygtis atrodytų taip: a x 2 + b x + c = 0
2. Parašykite, kam lygūs koeficientai skaičiais: a =… b =… c =…
3. Apskaičiuokite diskriminantą pagal formulę: D = b 2 - 4 a c
4. Jei D> 0, bus dvi skirtingos šaknys, kurios randamos pagal formulę: x 1,2 = - b ± D 2 a
5. Jei D = 0, bus viena šaknis, kuri randama pagal formulę: x = - b 2 a
6. Jeigu D< 0, решений нет: x ∈ ∅

Kvadratinės lygties sprendimo pavyzdžiai:

1. – x 2 + 6 x + 7 = 0

a = - 1, b = 6, c = 7

D = b 2 - 4 a c = 6 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D> 0 – bus dvi skirtingos šaknys:

x 1,2 = - b ± D 2 a = - 6 ± 64 2 ⋅ (- 1) = - 6 ± 8 - 2 = [- 6 + 8 - 2 = 2 - 2 = - 1 - 6 - 8 - 2 = - 14 - 2 = 7

Atsakymas: x 1 = - 1, x 2 = 7

1. - x 2 + 4 x - 4 = 0

a = - 1, b = 4, c = - 4

D = b 2 - 4 a c = 4 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ (- 4) = 16 - 16 = 0

D = 0 - bus viena šaknis:

x = - b 2 a = - 4 2 ⋅ (- 1) = - 4 - 2 = 2

Atsakymas: x = 2

1. 2 x 2 – 7 x + 10 = 0

a = 2, b = - 7, c = 10

D = b 2 - 4 a c = (- 7) 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 - 80 = - 31

D< 0 – решений нет.

Atsakymas: x ∈ ∅

Taip pat yra nepilnos kvadratinės lygtys (tai yra kvadratinės lygtys, kurioms b = 0 arba c = 0, arba b = c = 0). Žiūrėkite vaizdo įrašą, kaip išspręsti tokias kvadratines lygtis!

Kvadratinės trinario koeficientas

Kvadratinį trinarį galima koeficientuoti taip:

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x - x 1) ⋅ (x - x 2)

kur a yra skaičius, koeficientas prieš didžiausią koeficientą,

x yra kintamasis (ty raidė),

x 1 ir x 2 yra skaičiai, kvadratinės lygties a x 2 + b x + c = 0 šaknys, kurios randamos per diskriminantą.

Jei kvadratinė lygtis turi tik vieną šaknį, plėtra atrodo taip:

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x - x 0) 2

Kvadratinio trinalio faktorinavimo pavyzdžiai:

1. - x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = - 1, x 2 = 7

- x 2 + 6 x + 7 = (- 1) ⋅ (x - (- 1)) (x - 7) = - (x + 1) (x - 7) = (x + 1) (7 - x)

1. - x 2 + 4 x - 4 = 0; ⇒ x 0 = 2

- x 2 + 4 x - 4 = (- 1) ⋅ (x - 2) 2 = - (x - 2) 2

Jei kvadratinis trinaris yra neišsamus ((b = 0 arba c = 0), jį galima koeficientuoti šiais būdais:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ taikoma kvadratų skirtumui.

Trupmeninės racionalios lygtys

Tegul f (x) ir g (x) yra kai kurios funkcijos, priklausančios nuo kintamojo x.

Trupmeninė racionalioji lygtis Ar f (x) g (x) = 0 formos lygtis.

Norint išspręsti trupmeniškai racionalią lygtį, reikia atsiminti, kas yra ODD ir kada ji atsiranda.

ODZ- kintamojo leistinų verčių diapazonas.

Formos f (x) g (x) = 0 išraiškoje

ODZ: g (x) ≠ 0 (trupnos vardiklis negali būti lygus nuliui).

Trupmeninės racionalios lygties sprendimo algoritmas:

1. Išrašykite ODZ: g (x) ≠ 0.
2. Nustatykite trupmenos skaitiklį į nulį f (x) = 0 ir suraskite šaknis.

Trupmeninės racionalios lygties sprendimo pavyzdys:

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį x 2 - 4 2 - x = 1.

Sprendimas:

Veiksime pagal algoritmą.

1. Sumažinkite išraišką iki formos f (x) g (x) = 0.

Vieną perkeliame į kairę pusę, užrašome papildomą koeficientą, kad abu terminai būtų sujungti į vieną bendrą vardiklį:

x 2 - 4 2 - x - 1 \ 2 - x = 0

x 2 - 4 2 - x - 2 - x 2 - x = 0

x 2 - 4 - (2 - x) 2 - x = 0

x 2 - 4 - 2 + x 2 - x = 0

x 2 + x - 6 2 - x = 0

Pirmasis algoritmo žingsnis buvo sėkmingai atliktas.

1. Išrašykite ODZ:

Mes apibūdiname ODZ, nepamirškite apie tai: x ≠ 2

1. Prilyginkite trupmenos skaitiklį nuliui f (x) = 0 ir raskite šaknis:

x 2 + x - 6 = 0 – kvadratinė lygtis. Mes sprendžiame per diskriminantą.

a = 1, b = 1, c = - 6

D = b 2 - 4 a c = 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (- 6) = 1 + 24 = 25

D> 0 – bus dvi skirtingos šaknys.

x 1,2 = - b ± D 2 a = - 1 ± 25 2 ⋅ 1 = - 1 ± 5 2 = [- 1 + 5 2 = 4 2 = 2 - 1 - 5 2 = - 6 2 = - 3

[x 1 = 2 x 2 = - 3

1. Atsakyme nurodykite šaknis iš skaitiklio, neįskaitant tų šaknų, kurios pateko į ODZ.

Šaknys, gautos ankstesniame žingsnyje:

[x 1 = 2 x 2 = - 3

Tai reiškia, kad atsakyme yra tik viena šaknis, x = - 3.

Atsakymas: x = - 3.

Lygčių sistemos

Lygčių sistema iškvieskite dvi lygtis su dviem nežinomaisiais (paprastai nežinomieji žymimi x ir y), kurios sujungiamos į bendrą sistemą riestiniu skliaustu.

Lygčių sistemos pavyzdys

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Išspręskite lygčių sistemą - Raskite skaičių x ir y porą, kurios, pakeistos lygčių sistemoje, sudaro teisingą lygybę abiejose sistemos lygtyse.

Yra du tiesinių lygčių sistemų sprendimo būdai:

1. Pakeitimo metodas.
2. Papildymo būdas.

Lygčių sistemos sprendimo pakeitimo metodu algoritmas:

1. Raskite likusį nežinomą.

Pavyzdys:

Išspręskite lygčių sistemą pakeitimo metodu

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Sprendimas:

1. Išreikškite vieną kintamąjį iš bet kurios lygties per kitą.

(x = 8 - 2 y 3 x - y = - 4

1. Vietoj išreikšto kintamojo gautą reikšmę pakeiskite kita lygtimi.

(x = 8 - 2 y 3 x - y = - 4

(x = 8 - 2 y 3 (8 - 2 y) - y = - 4

1. Išspręskite lygtį viename nežinomajame.

3 (8–2 m.) – y = – 4

24 - 6 m - y = - 4

– 7 m. = – 4–24

– 7 m. = – 28

y = - 28 - 7 = 28 7 = 4

1. Raskite likusį nežinomą.

x = 8 - 2 y = 8 - 2 ⋅ 4 = 8 - 8 = 0

Atsakymą galima parašyti vienu iš trijų būdų:

1. x = 0, y = 4
2. (x = 0 y = 4
3. (0 ;   4)

Lygčių sistemos sprendimas sudėjimo metodu.

Papildymo metodas pagrįstas šia savybe:

(a + c) = (b + d)

Sudėjimo metodo idėja yra atsikratyti vieno iš kintamųjų pridedant lygtis.

Pavyzdys:

Išspręskite lygčių sistemą sudėjimo metodu

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Atsikratykime kintamojo x šiame pavyzdyje. Metodo esmė ta, kad pirmoje ir antroje lygtyse prieš kintamąjį x stovi priešingi koeficientai. Antroje lygtyje prieš x yra koeficientas 3. Kad sudėjimo metodas veiktų, koeficientas (-3) turi būti prieš x kintamąjį. Norėdami tai padaryti, padauginkite kairę ir dešinę pirmosios lygties puses iš (- 3).

Išspręskite lygčių sistemą- tai reiškia, kad reikia rasti bendrus visų sistemos lygčių sprendinius arba įsitikinti, kad sprendimo nėra.

Norėdami išspręsti lygčių sistemą, turite išskirti vieną nežinomąjį, tai yra, iš dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais, sudarykite vieną lygtį su vienu nežinomuoju. Yra trys būdai pašalinti vieną iš nežinomųjų: pakeitimas, palyginimas, pridėjimas arba atėmimas.

Pakeitimo metodas

Norėdami išspręsti lygčių sistemą pakeitimo metodu, vienoje iš lygčių turite išreikšti vieną nežinomąjį per kitą ir pakeisti rezultatą kita lygtimi, kurioje bus tik vienas nežinomasis. Tada randame šio nežinomojo reikšmę ir pakeičiame ją pirmąja lygtimi, o po to randame antrojo nežinomojo reikšmę.

Apsvarstykite lygčių sistemos sprendimą:

Išsprendžiame gautą lygtį, kad rastume, kas yra lygi y... Kaip išspręsti lygtis su vienu nežinomuoju, galite pamatyti susijusioje temoje.

3(2 + 4y) - 2y = 16

6 + 12y - 2y = 16

6 + 10y = 16

10y = 16 - 6

10y = 10

y = 10: 10

y = 1

Mes tai nustatėme y= 1. Dabar, norėdami rasti skaitinę reikšmę x, pakeiskite vertę yį transformuotą pirmąją lygtį, kurioje anksčiau nustatėme, kuri išraiška yra x:

x = 2 + 4y= 2 + 4 1 = 2 + 4 = 6

Atsakymas: x = 6, y = 1.

Palyginimo metodas

Palyginimas yra ypatingas pakeitimo atvejis. Norint išspręsti lygčių sistemą palyginimo metodu, reikia abiejose lygtyse rasti, kuri išraiška bus lygi tam pačiam nežinomam ir gautas išraiškas sulyginti viena su kita. Gauta lygtis leidžia išsiaiškinti vieno nežinomo reikšmę. Tada ši vertė naudojama antrojo nežinomojo vertei apskaičiuoti.

Pavyzdžiui, sistemos sprendimas:

Iš gautų išraiškų sudarome lygtį:

2 - x = 32 - 6x 2 - x + 6x = 32 - 2 5x = 30 x = 30: 5 x = 6

Dabar pakeičiame vertę xį pirmąją arba antrąją sistemos lygtį ir raskite reikšmę y:

Atsakymas: x = 6, y = 1.

Sudėjimo arba atimties metodas

Norėdami išspręsti lygčių sistemą sudėjimo metodu, turite sudaryti vieną iš dviejų lygčių, pridėdami kairę ir dešinę puses, o vieną iš nežinomųjų reikia pašalinti iš gautos lygties. Nežinomybę galima pašalinti išlyginus abiejų lygčių koeficientus.

Apsvarstykite sistemą:

Dabar mes sudedame abi lygtis dalimis, kad gautume lygtį su vienu nežinomu:

Dabar atimkime antrąją lygtį iš pirmosios, kad gautume lygtį su vienu nežinomu:

Atsakymas: x = 6, y = 1.

Aukščiau nagrinėtai lygčių sistemai išspręsti buvo naudojamas sudėjimo metodas, pagrįstas šia savybe:

Bet kurią lygtį sistemoje galima pakeisti lygtimi, gauta sudėjus (arba atimant) į sistemą įtrauktas lygtis. Tokiu atveju gaunama lygčių sistema, kurios sprendiniai yra tokie patys kaip ir pirminė.