Vektorinė projekcija. Koordinačių ašys. Taško projekcija. Taško koordinatės ašyje. Vektoriaus projekcija (geometrinė, algebrinė) į ašį. Projekcijų savybės Vektoriaus projekcija į ašį erdvėje

Taip pat bus pateiktos užduotys savarankiškam sprendimui, į kurias matysite atsakymus.

Vektorinė koncepcija

Prieš sužinodami viską apie vektorius ir operacijas su jais, įsijunkite ir išspręskite paprastą problemą. Yra jūsų įmonės vektorius ir jūsų novatoriškų sugebėjimų vektorius. Verslumo vektorius veda į 1 tikslą, o novatoriškų gebėjimų vektorius - prie 2. Žaidimo taisyklės yra tokios, kad negalite iš karto judėti šių dviejų vektorių kryptimis ir vienu metu pasiekti dviejų tikslų. Vektoriai sąveikauja arba, kalbant matematiškai, vektoriais atliekama kokia nors operacija. Šios operacijos rezultatas yra „Rezultato“ vektorius, kuris nukreipia jus į 3 tikslą.

Dabar pasakykite man: kurios operacijos vektoriuose „Įmonė“ ir „Inovatyvūs gebėjimai“ rezultatas yra vektorius „Rezultatas“? Jei negalite pasakyti iš karto, nenusiminkite. Studijuodami šią pamoką galėsite atsakyti į šį klausimą.

Kaip matėme aukščiau, vektorius būtinai ateina iš tam tikro taško A tiesia linija iki tam tikro taško B. Vadinasi, kiekvienas vektorius turi ne tik skaitinę reikšmę – ilgį, bet ir fizinę bei geometrinę – kryptį. Iš to gaunamas pirmasis, paprasčiausias vektoriaus apibrėžimas. Taigi vektorius yra nukreipta atkarpa, einanti iš taško A iki taško B. Jis pažymėtas taip:

Ir pradėti kitaip vektorinės operacijos , turime susipažinti su dar vienu vektoriaus apibrėžimu.

Vektorius yra tam tikras taško, kurį reikia pasiekti iš tam tikro pradžios taško, atvaizdas. Pavyzdžiui, trimatis vektorius dažniausiai rašomas kaip (x, y, z) . Paprasčiau tariant, šie skaičiai rodo, kiek toli turite nueiti trimis skirtingomis kryptimis, kad pasiektumėte tašką.

Tegu pateikiamas vektorius. Kuriame x = 3 (dešinė ranka rodo į dešinę) y = 1 (kairė ranka nukreipta į priekį) z = 5 (po tašku yra kopėčios, vedančios į viršų). Iš šių duomenų tašką rasite eidami 3 metrus dešinės rankos nurodyta kryptimi, tada 1 metrą kairiosios rankos nurodyta kryptimi, o tada jūsų laukia kopėčios ir užlipę 5 metrus pagaliau rasite save galutiniame taške.

Visi kiti terminai yra aukščiau pateikto paaiškinimo patikslinimai, reikalingi įvairioms vektoriaus operacijoms, tai yra, sprendžiant praktines problemas. Peržiūrėkime šiuos griežtesnius apibrėžimus, apsistodami ties tipiškomis vektorių problemomis.

Fiziniai pavyzdžiai vektoriniai dydžiai gali būti erdvėje judančio materialaus taško poslinkis, šio taško greitis ir pagreitis, taip pat jį veikianti jėga.

geometrinis vektorius vaizduojamas dvimatėje ir trimatėje erdvėje formoje nukreiptas segmentas. Tai segmentas, turintis pradžią ir pabaigą.

Jeigu A yra vektoriaus pradžia ir B yra jo pabaiga, tada vektorius žymimas simboliu arba viena mažąja raide . Paveiksle vektoriaus pabaiga pažymėta rodykle (1 pav.)

Ilgis(arba modulis) geometrinio vektoriaus atkarpos, kuri ją sukuria, ilgis

Du vektoriai vadinami lygus , jeigu juos galima sujungti (kai kryptys sutampa) lygiagrečiuoju vertimu, t.y. jei jie lygiagretūs, nukreipti ta pačia kryptimi ir vienodo ilgio.

Fizikoje dažnai manoma prisegti vektoriai, nurodytas pagal taikymo tašką, ilgį ir kryptį. Jei vektoriaus taikymo taškas nesvarbus, tada jį galima perkelti išlaikant ilgį ir kryptį į bet kurį erdvės tašką. Šiuo atveju vektorius vadinamas Laisvas. Sutinkame tik svarstyti laisvi vektoriai.

Tiesinės operacijos geometriniais vektoriais

Padauginkite vektorių iš skaičiaus

Vektorinis produktas už skaičių Vektoriu vadinamas vektorius, gautas iš vektoriaus tempiant (at ) arba susitraukiant (at ) kartus, o vektoriaus kryptis išsaugoma, jei , ir apverčiama, jei . (2 pav.)

Iš apibrėžimo matyti, kad vektoriai ir = visada yra vienoje arba lygiagrečioje tiesėje. Tokie vektoriai vadinami kolinearinis. (Taip pat galite sakyti, kad šie vektoriai yra lygiagretūs, bet vektorių algebroje įprasta sakyti „kollinearinis“.) Taip pat yra priešingai: jei vektoriai ir yra kolineariniai, tai jie yra susiję ryšiu.

Todėl lygybė (1) išreiškia dviejų vektorių kolineariškumo sąlygą.

Vektorių pridėjimas ir atėmimas

Pridėdami vektorius, turite tai žinoti suma vektoriais ir vadinamas vektoriumi , kurio pradžia sutampa su vektoriaus pradžia , o pabaiga sutampa su vektoriaus pabaiga su sąlyga , kad vektoriaus pradžia yra prijungta prie vektoriaus galo . (3 pav.)

Šis apibrėžimas gali būti paskirstytas bet kokiam baigtiniam vektorių skaičiui. Įleisti erdvę duota n laisvi vektoriai. Sudėjus kelis vektorius, jų suma imama kaip uždaromasis vektorius, kurio pradžia sutampa su pirmojo vektoriaus pradžia, o pabaiga su paskutinio vektoriaus pabaiga. Tai yra, jei vektoriaus pradžia yra prijungta prie vektoriaus pabaigos, o vektoriaus pradžia - prie vektoriaus pabaigos ir pan. ir galiausiai iki vektoriaus pabaigos - vektoriaus pradžios, tada šių vektorių suma yra uždarymo vektorius , kurio pradžia sutampa su pirmojo vektoriaus pradžia , o pabaiga sutampa su paskutinio vektoriaus pabaiga . (4 pav.)

Terminai vadinami vektoriaus komponentais, o suformuluota taisyklė yra daugiakampio taisyklė. Šis daugiakampis negali būti plokščias.

Kai vektorius padauginamas iš skaičiaus -1, gaunamas priešingas vektorius. Vektoriai ir yra vienodo ilgio ir priešingų krypčių. Jų suma duoda nulinis vektorius, kurio ilgis lygus nuliui. Nulinio vektoriaus kryptis neapibrėžta.

Vektorinėje algebroje nereikia atskirai svarstyti atimties operacijos: atimti vektorių iš vektoriaus reiškia pridėti prie vektoriaus priešingą vektorių, t.y.

1 pavyzdys Supaprastinkite išraišką:

.

,

tai yra, vektorius galima sudėti ir padauginti iš skaičių taip pat, kaip ir daugianario (ypač, taip pat reiškinių supaprastinimo problemos). Paprastai poreikis supaprastinti tiesiškai panašias išraiškas vektoriais iškyla prieš skaičiuojant vektorių sandaugas.

2 pavyzdys Vektoriai ir tarnauja kaip lygiagretainio ABCD įstrižainės (4a pav.). Išreikšti požiūriu ir vektoriai , Ir , Kurie yra šio lygiagretainio pusės.

Sprendimas. Lygiagretainio įstrižainių susikirtimo taškas padalija kiekvieną įstrižainę pusiau. Uždavinio sąlygoje reikalingų vektorių ilgiai randami kaip pusė vektorių sumų, sudarančių trikampį su norimais, arba kaip pusė skirtumų (priklausomai nuo vektoriaus, kuris tarnauja kaip įstrižainė, krypties), arba, kaip pastaruoju atveju, pusę sumos, paimtos su minuso ženklu. Rezultatas yra vektoriai, reikalingi problemos sąlygai:

Yra pagrindo manyti, kad šios pamokos pradžioje teisingai atsakėte į klausimą apie vektorius „Įmonė“ ir „Inovatyvūs gebėjimai“. Teisingas atsakymas: šiems vektoriams taikoma sudėjimo operacija.

Išspręskite vektorių uždavinius patys, o tada peržiūrėkite sprendimus

Kaip rasti vektorių sumos ilgį?

Ši problema užima ypatingą vietą operacijose su vektoriais, nes ji apima trigonometrinių savybių naudojimą. Tarkime, kad turite tokią užduotį, kaip ši:

Atsižvelgiant į vektorių ilgį o šių vektorių sumos ilgis . Raskite šių vektorių skirtumo ilgį.

Šios ir kitų panašių problemų sprendimai bei paaiškinimai, kaip jas išspręsti – pamokoje “ Vektorių pridėjimas: vektorių sumos ilgis ir kosinuso teorema ".

Ir jūs galite patikrinti tokių problemų sprendimą Internetinis skaičiuotuvas "Nežinoma trikampio kraštinė (vektoriaus sudėjimas ir kosinuso teorema)" .

Kur yra vektorių sandaugos?

Vektoriaus sandaugos iš vektoriaus nėra tiesinės operacijos ir nagrinėjamos atskirai. Ir mes turime pamokas "Taškinė vektorių sandauga" ir "Vektorius ir mišrus vektorių produktas".

Vektoriaus projekcija į ašį

Vektoriaus projekcija į ašį yra lygi projektuojamo vektoriaus ilgio ir kampo tarp vektoriaus ir ašies kosinuso sandaugai:

Kaip žinoma, taško projekcija A tiesėje (plokštumoje) yra statmeno, nuleisto iš šio taško į tiesę (plokštumą), pagrindas.

Tegul - savavališkas vektorius (5 pav.), ir ir - jo pradžios projekcijos (taškai A) ir pabaiga (taškai B) vienai ašiai l. (Norėdami sukurti taško projekciją A) nubrėžkite tiesiai per tašką A plokštuma, statmena tiesei. Tiesės ir plokštumos susikirtimas nulems reikiamą projekciją.

Vektoriaus komponentas l ašyje vadinamas tokiu ant šios ašies gulinčiu vektoriumi, kurio pradžia sutampa su pradžios projekcija, o pabaiga – su vektoriaus pabaigos projekcija .

Vektoriaus projekcija į ašį l paskambino numeriu

,

lygus komponento vektoriaus ilgiui šioje ašyje, paimtam su pliuso ženklu, jei komponento kryptis sutampa su ašies kryptimi l, ir su minuso ženklu, jei šios kryptys yra priešingos.

Pagrindinės vektorinių projekcijų ašyje savybės:

1. Vienodų vektorių projekcijos toje pačioje ašyje yra lygios viena kitai.

2. Kai vektorius padauginamas iš skaičiaus, jo projekcija dauginama iš to paties skaičiaus.

3. Vektorių sumos projekcija bet kurioje ašyje yra lygi vektorių dėmenų projekcijų toje pačioje ašyje sumai.

4. Vektoriaus projekcija į ašį lygi projektuojamo vektoriaus ilgio ir kampo tarp vektoriaus ir ašies kosinuso sandaugai:

.

Sprendimas. Projektuokime vektorius į ašį l kaip apibrėžta anksčiau pateiktoje teorinėje nuorodoje. Iš 5a pav. akivaizdu, kad vektorių sumos projekcija yra lygi vektorių projekcijų sumai. Mes apskaičiuojame šias prognozes:

Mes randame galutinę vektorių sumos projekciją:

Vektoriaus ryšys su stačiakampe Dekarto koordinačių sistema erdvėje

Pažintis su stačiakampė Dekarto koordinačių sistema erdvėje vyko atitinkamoje pamokoje, pageidautina atidaryti naujame lange.

Sutvarkytoje koordinačių ašių sistemoje 0xyz ašį Jautis paskambino x ašis, ašis 0 m – y ašis, ir ašis 0z – taikymo ašis.

su savavališku tašku M erdvės kaklaraiščio vektorius

paskambino spindulio vektorius taškų M ir suprojektuokite jį į kiekvieną koordinačių ašį. Pažymime atitinkamų projekcijų reikšmes:

Skaičiai x, y, z paskambino taško M koordinatės, atitinkamai abscisė, ordinatės Ir aplikacija, ir rašomi kaip sutvarkytas skaičių taškas: M(x; y; z)(6 pav.).

Vadinamas vienetinio ilgio vektorius, kurio kryptis sutampa su ašies kryptimi vieneto vektorius(arba ortom) ašys. Pažymėti

Atitinkamai koordinačių ašių vienetiniai vektoriai Jautis, Oy, Ozas

Teorema. Bet kurį vektorių galima išskaidyti į koordinačių ašių vienetinius vektorius:

(2)

Lygybė (2) vadinama vektoriaus išplėtimu išilgai koordinačių ašių. Šio plėtimosi koeficientai yra vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis. Taigi, vektoriaus plėtimosi koeficientai (2) išilgai koordinačių ašių yra vektoriaus koordinatės.

Pasirinkus tam tikrą koordinačių sistemą erdvėje, vektorius ir jo koordinačių trigubas viena kitą viena kitą lemia, todėl vektorius gali būti parašytas forma

(2) ir (3) formos vektoriniai vaizdiniai yra identiški.

Kolinearinių vektorių sąlyga koordinatėse

Kaip jau minėjome, vektoriai vadinami kolineariniais, jei jie yra susiję ryšiu

Tegul vektoriai . Šie vektoriai yra kolineariniai, jei vektorių koordinatės yra susietos ryšiu

,

tai vektorių koordinatės yra proporcingos.

6 pavyzdys Duoti vektoriai . Ar šie vektoriai yra kolineariniai?

Sprendimas. Išsiaiškinkime šių vektorių koordinačių santykį:

.

Vektorių koordinatės yra proporcingos, todėl vektoriai yra kolineariniai, arba, kas yra tas pats, lygiagretūs.

Vektoriaus ilgio ir krypties kosinusai

Dėl koordinačių ašių tarpusavio statmenumo vektoriaus ilgis

yra lygus stačiakampio gretasienio, pastatyto ant vektorių, įstrižainės ilgiui

ir išreiškiamas lygybe

(4)

Vektorius yra visiškai apibrėžtas nurodant du taškus (pradžios ir pabaigos), todėl vektoriaus koordinates galima išreikšti šių taškų koordinatėmis.

Tegul vektoriaus pradžia duotoje koordinačių sistemoje yra taške

ir pabaiga yra taške

Iš lygybės

Tai seka

arba koordinačių forma

Vadinasi, vektoriaus koordinatės lygios vektoriaus pabaigos ir pradžios to paties pavadinimo koordinačių skirtumams . Formulė (4) šiuo atveju įgauna formą

Nustatyta vektoriaus kryptis krypties kosinusai . Tai kampų, kuriuos vektorius sudaro su ašimis, kosinusai Jautis, Oy Ir Ozas. Pažymime atitinkamai šiuos kampus α , β Ir γ . Tada šių kampų kosinusus galima rasti pagal formules

Vektoriaus krypties kosinusai taip pat yra vektoriaus vektoriaus koordinatės, taigi ir vektoriaus vektoriaus

.

Atsižvelgiant į tai, kad vektoriaus vektoriaus ilgis yra lygus vienam vienetui, tai yra,

,

gauname tokią lygybę krypties kosinusams:

7 pavyzdys Raskite vektoriaus ilgį x = (3; 0; 4).

Sprendimas. Vektoriaus ilgis yra

8 pavyzdys Duoti taškai:

Išsiaiškinkite, ar iš šių taškų pastatytas trikampis yra lygiašonis.

Sprendimas. Naudodami vektoriaus ilgio formulę (6), randame kraštinių ilgius ir išsiaiškiname, ar yra dvi iš jų lygios:

Rastos dvi lygios kraštinės, todėl trečiosios kraštinės ilgio ieškoti nereikia, o duotas trikampis yra lygiašonis.

9 pavyzdys Raskite vektoriaus ilgį ir jo krypties kosinusus, jei .

Sprendimas. Pateikiamos vektorių koordinatės:

.

Vektoriaus ilgis lygus kvadratinei šaknims iš vektoriaus koordinačių kvadratų sumos:

.

Krypties kosinusų paieška:

Išspręskite vektorių problemą patys, o tada pažiūrėkite į sprendimą

Veiksmai su vektoriais, pateiktais koordinačių forma

Tegul du vektoriai, pateikti pagal jų projekcijas:

Nurodykime veiksmus su šiais vektoriais.

Atsakymas:

Projekcijos savybės:

Vektorinės projekcijos savybės

1 nuosavybė.

Dviejų vektorių sumos projekcija į ašį yra lygi vektorių projekcijų sumai į tą pačią ašį:

Ši savybė leidžia pakeisti vektorių sumos projekciją jų projekcijų suma ir atvirkščiai.

2 nuosavybė. Jei vektorius padauginamas iš skaičiaus λ, tada jo projekcija į ašį taip pat dauginama iš šio skaičiaus:

3 nuosavybė.

Vektoriaus projekcija į l ašį yra lygi vektoriaus modulio ir kampo tarp vektoriaus ir ašies kosinuso sandaugai:

Orth ašis. Vektoriaus skaidymas koordinačių vektorių atžvilgiu. Vektorinės koordinatės. Koordinatės savybės

Atsakymas:

Kirvių hortai.

Stačiakampė koordinačių sistema (bet kokio matmens) taip pat apibūdinama vienetų vektorių rinkiniu, sulygiuotu su koordinačių ašimis. Ortų skaičius lygus koordinačių sistemos matmeniui, ir visi jie yra statmeni vienas kitam.

Trimačiu atveju dažniausiai žymimi ortai

IR Simboliai su rodyklėmis ir taip pat gali būti naudojami.

Be to, teisingos koordinačių sistemos atveju galioja šios formulės su vektorių sandaugomis:

Vektoriaus skaidymas koordinačių vektorių atžvilgiu.

Koordinačių ašies orth žymima , ašys - , ašys - (1 pav.)

Bet kuriam vektoriui, kuris yra plokštumoje, vyksta toks skilimas:

Jei vektorius yra erdvėje, tada išplėtimas pagal koordinačių ašių vienetinius vektorius turi tokią formą:

Vektorinės koordinatės:

Norint apskaičiuoti vektoriaus koordinates, žinant jo pradžios A koordinates (x1; y1) ir jo pabaigos B koordinates (x2; y2), reikia iš galo koordinačių atimti pradžios koordinates: (x2 - x1; y2 – y1).

Koordinatės savybės.

Apsvarstykite koordinačių tiesę, kurios pradžios taškas O ir vieneto vektorius i. Tada bet kuriam vektoriui a šioje tiesėje: a = ašis.

Skaičių ašis vadinama vektoriaus a koordinate koordinačių ašyje.

1 nuosavybė. Pridedant vektorius ašyje, pridedamos jų koordinatės.

2 nuosavybė. Kai vektorius padauginamas iš skaičiaus, jo koordinatė padauginama iš šio skaičiaus.

Vektorių skaliarinė sandauga. Savybės.

Atsakymas:

Dviejų nulinių vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius,

lygus šių vektorių sandaugai kampo tarp jų kosinusu.

Savybės:

1. Skaliarinė sandauga turi komutacinę savybę: ab=ba

Koordinačių vektorių skaliarinė sandauga. Vektorių, pateiktų jų koordinatėmis, skaliarinės sandaugos nustatymas.

Atsakymas:

Taškinis produktas (×) orts

(X)	aš	J	K
aš
J
K

Vektorių, pateiktų jų koordinatėmis, skaliarinės sandaugos nustatymas.

Dviejų vektorių skaliarinę sandaugą, pateiktą jų koordinatėmis, galima apskaičiuoti pagal formulę

Dviejų vektorių vektorinė sandauga. Vektorinės gaminio savybės.

Atsakymas:

Trys nevienaplaniai vektoriai sudaro dešinįjį trigubą, jei nuo trečiojo vektoriaus pabaigos sukimasis nuo pirmojo vektoriaus iki antrojo yra prieš laikrodžio rodyklę. Jei pagal laikrodžio rodyklę - tada į kairę., jei ne, tada priešingai ( parodyk, kaip jis rodė su „rankenomis“)

Kryžminis vektoriaus sandauga A vienam vektoriui b vadinamas vektoriumi su kuria:

1. Statmenai vektoriams A Ir b

2. Jo ilgis yra skaitiniu būdu lygus lygiagretainio, suformuoto ant, plotui a Ir b vektoriai

3. Vektoriai, a, b, Ir c sudaryti dešinįjį vektorių trigubą

Savybės:

1.

3.

4.

Koordinačių vektorių vektorinė sandauga. Vektorių, pateiktų jų koordinatėmis, vektorinės sandaugos nustatymas.

Atsakymas:

Koordinačių vektorių vektorinė sandauga.

Vektorių, pateiktų jų koordinatėmis, vektorinės sandaugos nustatymas.

Tegul vektoriai a = (x1; y1; z1) ir b = (x2; y2; z2) pateikiami jų koordinatėmis stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje O, i, j, k, o trigubas i, j, k yra teisingai.

Išplečiame a ir b bazinių vektorių atžvilgiu:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Naudodamiesi vektorinės sandaugos savybėmis gauname

[A; b] ==

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

Pagal vektorinės sandaugos apibrėžimą randame

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Atsižvelgiant į šias lygybes, formulę (1) galima parašyti taip:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Formulė (2) pateikia dviejų vektorių, pateiktų pagal jų koordinates, kryžminės sandaugos išraišką.

Gauta formulė yra sudėtinga. Naudodami determinantų žymėjimą galite parašyti kita, patogiau įsiminti forma:

Paprastai (3) formulė rašoma dar trumpiau:

Konverguojančių jėgų pusiausvyros uždavinių sprendimas konstruojant uždarų jėgų daugiakampius yra susijęs su sudėtingomis konstrukcijomis. Universalus tokių problemų sprendimo būdas yra perėjimas prie duotų jėgų projekcijų nustatymo koordinačių ašyse ir darbo su šiomis projekcijomis. Ašis vadinama tiesia linija, kuriai priskiriama tam tikra kryptis.

Vektoriaus projekcija į ašį yra skaliarinė vertė, kurią lemia ašies atkarpa, nupjauta statmenais, nukritusiais į ją nuo vektoriaus pradžios ir pabaigos.

Vektoriaus projekcija laikoma teigiama, jei kryptis nuo projekcijos pradžios iki jos pabaigos sutampa su teigiama ašies kryptimi. Vektoriaus projekcija laikoma neigiama, jei kryptis nuo projekcijos pradžios iki jos pabaigos yra priešinga teigiamai ašies krypčiai.

Taigi jėgos projekcija koordinačių ašyje yra lygi jėgos modulio ir kampo tarp jėgos vektoriaus ir teigiamos ašies krypties kosinuso sandaugai.

Apsvarstykite keletą jėgų projektavimo į ašį atvejų:

Jėgos vektorius F(15 pav.) daro smailųjį kampą su teigiama x ašies kryptimi.

Norėdami rasti projekciją, nuo jėgos vektoriaus pradžios ir pabaigos nuleidžiame statmenis į ašį Oi; mes gauname

1. F x = F cosα

Vektoriaus projekcija šiuo atveju yra teigiama

Jėga F(16 pav.) yra su teigiama ašies kryptimi X bukas kampas α.

Tada F x= F cos α, bet kadangi α = 180 0 - φ,

F x= F cosα = F cos180 0 - φ =- F cos phi.

Jėgos projekcija F vienai ašiai Oišiuo atveju yra neigiamas.

Jėga F(17 pav.) statmenai ašiai Oi.

Jėgos F projekcija į ašį X nulis

F x= F cos 90° = 0.

Jėga, esanti lėktuve kaip(18 pav.), gali būti projektuojamas į dvi koordinačių ašis Oi Ir OU.

Jėga F gali būti suskirstyti į komponentus: F x ir F y . Vektorinis modulis F x lygus vektorinei projekcijai F vienai ašiai Jautis, ir vektoriaus modulis F y lygi vektoriaus projekcijai F vienai ašiai oi.

Nuo Δ OAB: F x= F cosα, F x= F sinα.

Nuo Δ SLA: F x= F cos phi, F x= F sin phi.

Jėgos modulį galima rasti naudojant Pitagoro teoremą:

Vektorių sumos arba rezultato projekcija bet kurioje ašyje yra lygi vektorių narių projekcijų toje pačioje ašyje algebrinei sumai.

Apsvarstykite konverguojančias jėgas F 1 , F 2 , F 3 ir F 4, (19 pav., a). Geometrinė šių jėgų suma arba rezultatas F nustatomas pagal jėgos daugiakampio uždarymo pusę

Nukreipkite nuo jėgos daugiakampio viršūnių į ašį x statmenai.

Atsižvelgdami į gautas jėgų projekcijas tiesiogiai iš baigtos konstrukcijos, turime

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

čia n yra vektorių narių skaičius. Jų projekcijos įveda į aukščiau pateiktą lygtį su atitinkamu ženklu.

Plokštumoje geometrinė jėgų suma gali būti projektuojama į dvi koordinačių ašis, o erdvėje - į tris.

projekcija vektorius ant ašies vadinamas vektoriumi, kuris gaunamas padauginus šios ašies vektoriaus skaliarinę projekciją ir šios ašies vienetinį vektorių. Pavyzdžiui, jei x yra skaliarinė projekcija vektorius A x ašyje, tada x i- jo vektorinė projekcija šioje ašyje.

Pažymėti vektorinė projekcija kaip ir pats vektorius, bet su ašies, ant kurios projektuojamas vektorius, indeksu. Taigi, vektoriaus projekcija A x ašyje žymi A x ( riebus raidė, žyminti vektorių ir ašies pavadinimo apatinį indeksą) arba (neparyškinta raidė, žyminti vektorių, bet su rodykle viršuje (!) ir ašies pavadinimo apatiniu indeksu).

Skaliarinė projekcija vadinamas vektoriumi ašiai numerį, kurios absoliuti reikšmė lygi ašies atkarpos ilgiui (pasirinktoje skalėje), esančios tarp vektoriaus pradžios taško ir pabaigos taško projekcijų. Paprastai vietoj išraiškos skaliarinė projekcija tiesiog pasakyk - projekcija. Projekcija žymima ta pačia raide kaip ir projektuojamas vektorius (įprastu, neparyškintu šriftu), su apatiniu indeksu (dažniausiai) ašies, ant kurios projektuojamas šis vektorius, pavadinimo. Pavyzdžiui, jei vektorius projektuojamas į x ašį A, tada jo projekcija žymima x . Projektuojant tą patį vektorių į kitą ašį, jei ašis yra Y , jos projekcija bus žymima kaip y .

Projekcijai apskaičiuoti vektorius ašyje (pavyzdžiui, X ašyje) reikia atimti pradžios taško koordinatę iš jo pabaigos taško koordinatės, tai yra
ir x \u003d x k - x n.
Vektoriaus projekcija į ašį yra skaičius. Be to, projekcija gali būti teigiama, jei x k reikšmė yra didesnė už x n reikšmę,

neigiamas, jei x k reikšmė mažesnė už x n reikšmę

ir lygus nuliui, jei x k lygus x n.

Vektoriaus projekciją į ašį taip pat galima rasti žinant vektoriaus modulį ir kampą, kurį jis sudaro su ta ašimi.

Iš paveikslo matyti, kad a x = a Cos α

tai yra, vektoriaus projekcija į ašį yra lygi vektoriaus modulio ir kampo tarp ašies krypties ir kosinuso sandaugai vektoriaus kryptis. Jei kampas smailus, tai
Cos α > 0 ir a x > 0, o jei bukas, tai bukojo kampo kosinusas yra neigiamas, o vektoriaus projekcija į ašį taip pat bus neigiama.

Kampai, skaičiuojami nuo ašies prieš laikrodžio rodyklę, laikomi teigiamais, o kryptimi - neigiamais. Tačiau kadangi kosinusas yra lyginė funkcija, tai yra, Cos α = Cos (− α), skaičiuojant projekcijas, kampai gali būti skaičiuojami ir pagal laikrodžio rodyklę, ir prieš laikrodžio rodyklę.

Norint rasti vektoriaus projekciją į ašį, šio vektoriaus modulis turi būti padaugintas iš kampo tarp ašies krypties ir vektoriaus krypties kosinuso.

Vektorinės koordinatės yra vienintelės galimos tiesinės bazinių vektorių kombinacijos pasirinktoje koordinačių sistemoje koeficientai, lygūs duotam vektoriui.

kur yra vektoriaus koordinatės.

Taškinė vektorių sandauga

VEKTORIAUS PRODUKTAS SCOAL[- baigtinių matmenų vektorinė erdvė apibrėžiamas kaip tų pačių padauginto komponentų sandaugų suma vektoriai.

Pavyzdžiui, S. p. a = (a 1 , ..., a n) Ir b = (b 1 , ..., b n):

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

A. Taško A projekcija į ašį PQ (4 pav.) yra statmeno, nuleisto iš tam tikro taško į nurodytą ašį, pagrindas a. Ašis, ant kurios projektuojame, vadinama projekcijos ašimi.

b. Tegu pateiktos dvi ašys ir vektorius A B, kaip parodyta Fig. 5.

Vektorius, kurio pradžia yra pradžios ir pabaigos projekcija - šio vektoriaus pabaigos projekcija, vadinamas vektoriaus A B projekcija į PQ ašį, Rašoma taip;

Kartais PQ indikatorius nerašomas apačioje, tai daroma tais atvejais, kai, be PQ, nėra kitos ašies, ant kurios būtų galima projektuoti.

Su. I teorema. Vektorių, esančių vienoje ašyje, reikšmės yra susijusios su jų projekcijų bet kurioje ašyje reikšmėmis.

Tegu pateiktos ašys ir vektoriai, pavaizduoti 6 pav.. Iš trikampių panašumo matyti, kad vektorių ilgiai yra susiję kaip jų projekcijų ilgiai, t.y.

Kadangi vektoriai brėžinyje yra nukreipti skirtingomis kryptimis, jų dydžiai turi skirtingas reikšmes, todėl

Akivaizdu, kad projekcijos vertės taip pat turi skirtingą ženklą:

pakeitę (2) į (3) į (1), gauname

Apversdami ženklus, gauname

Jei vektoriai vienodai nukreipti, tai bus viena kryptis ir jų projekcijos; (2) ir (3) formulėse minuso ženklų nebus. Pakeitę (2) ir (3) lygybe (1), iš karto gauname lygybę (4). Taigi teorema įrodyta visais atvejais.

d. II teorema. Vektoriaus projekcijos į bet kurią ašį reikšmė yra lygi vektoriaus vertei, padaugintai iš kampo tarp projekcijų ašies ir vektoriaus ašies kosinuso. Tegul vektorius pateikiamas ašiai, kaip parodyta fig. . 7. Sukonstruokime vektorių, vienodai nukreiptą su savo ašimi ir atidėtą, pavyzdžiui, iš ašių susikirtimo taško. Tegul jo ilgis lygus vienetui. Tada jo vertė