Apskritimo lygtis. Plokštumos taškų stačiakampės koordinatės. Apskritimo lygtis Apskritimo lygtis pavyzdžiai

Pamokos tikslas: supažindinti su apskritimo lygtimi, išmokyti nubrėžti apskritimo lygtį pagal baigtą brėžinį, sukonstruoti apskritimą pagal duotą lygtį.

Įranga: interaktyvi lenta.

Pamokos planas:

1. Organizacinis momentas – 3 min.
2. Kartojimas. Protinės veiklos organizavimas – 7 min.
3. Naujos medžiagos paaiškinimas. Apskritimo lygties išvedimas - 10 min.
4. Tirtos medžiagos konsolidavimas - 20 min.
5. Pamokos santrauka – 5 min.

Per užsiėmimus

2. Kartojimas:

− (1 priedėlis skaidrė 2) užrašykite atkarpos vidurio koordinačių radimo formulę;

− (3 skaidrė) Z parašykite atstumo tarp taškų formulę (atkarpos ilgis).

3. Naujos medžiagos paaiškinimas.

(4–6 skaidrės) Apibrėžkite apskritimo lygtį. Išveskite apskritimo, kurio centras yra taške, lygtis ( a;b) ir centruojamas ištakoje.

(X – a ) 2 + (adresu – b ) 2 = R 2 − apskritimo lygtis su centru NUO (a;b) , spindulys R , X ir adresu – savavališko apskritimo taško koordinatės .

X 2 + y 2 = R 2 yra apskritimo, kurio centras yra pradžios taške, lygtis.

(7 skaidrė)

Norėdami parašyti apskritimo lygtį, jums reikia:

• žinoti centro koordinates;
• žinoti spindulio ilgį;
• pakeiskite centro koordinates ir spindulio ilgį į apskritimo lygtį.

4. Problemų sprendimas.

Užduotyse Nr. 1 - Nr. 6 sudarykite apskritimo lygtis pagal paruoštus brėžinius.

(14 skaidrė)

№ 7. Užpildyk lentelę.

(15 skaidrė)

№ 8. Sąsiuvinyje sukonstruokite apskritimus pagal lygtis:

a) ( X – 5) 2 + (adresu + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (adresu– 7) 2 = 7 2 .

(16 skaidrė)

№ 9. Raskite centro koordinates ir spindulio ilgį, jei AB yra apskritimo skersmuo.

Duota:		Sprendimas:
		R	Centro koordinatės
1	IR(0 ; -6) AT(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	IR(0; -6) AT(0 ; 2) NUO(0 ; – 2) – centras
2	IR(-2 ; 0) AT(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	IR (-2;0) AT (4 ;0) NUO(1 ; 0) – centras

(17 skaidrė)

№ 10. Parašykite apskritimo, kurio centras eina per tašką, pradžios tašką, lygtį Į(-12;5).

Sprendimas.

R2 = Gerai 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Apskritimo lygtis: x 2 + y 2 = 169 .

(18 skaidrė)

№ 11. Parašykite apskritimo, einančio per pradžią ir kurio centras yra taške, lygtį NUO(3; - 1).

Sprendimas.

R2 = OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Apskritimo lygtis: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(19 skaidrė)

№ 12. Parašykite apskritimo su centru lygtį IR(3;2) praeinant AT(7;5).

Sprendimas.

1. Apskritimo centras - IR(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Apskritimo lygtis ( X – 3) 2 + (adresu − 2) 2 = 25.

(20 skaidrė)

№ 13. Patikrinkite, ar taškai meluoja IR(1; -1), AT(0;8), NUO(-3; -1) apskritime, pateiktoje lygtyje ( X + 3) 2 + (adresu − 4) 2 = 25.

Sprendimas.

aš. Pakeiskite taško koordinates IR(1; -1) į apskritimo lygtį:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - lygybė neteisinga, o tai reiškia IR(1; -1) nemeluoja ant apskritimo, pateikto lygtimi ( X + 3) 2 + (adresu − 4) 2 = 25.

II. Pakeiskite taško koordinates AT(0;8) į apskritimo lygtį:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
AT(0;8)melas X + 3) 2 + (adresu − 4) 2 = 25.

III. Pakeiskite taško koordinates NUO(-3; -1) į apskritimo lygtį:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - lygybė yra tiesa, taigi NUO(-3; -1) melas ant apskritimo, pateikto lygtimi ( X + 3) 2 + (adresu − 4) 2 = 25.

Pamokos santrauka.

1. Pakartokite: apskritimo lygtis, apskritimo, kurio centras yra taške, lygtis.
2. (21 skaidrė) Namų darbai.

Analitinė geometrija suteikia vienodus geometrinių uždavinių sprendimo būdus. Norėdami tai padaryti, visi nurodyti ir pageidaujami taškai ir linijos nukreipiamos į tą pačią koordinačių sistemą.

Koordinačių sistemoje kiekvieną tašką galima apibūdinti jo koordinatėmis, o kiekvieną tiesę – lygtimi su dviem nežinomaisiais, kurių grafikas yra ši linija. Taigi geometrinė problema redukuojama iki algebrinės, kur visi skaičiavimo metodai yra gerai išvystyti.

Apskritimas yra taškų lokusas, turintis vieną konkrečią savybę (kiekvienas apskritimo taškas yra vienodu atstumu nuo vieno taško, vadinamo centru). Apskritimo lygtis turi atspindėti šią savybę, tenkinti šią sąlygą.

Geometrinis apskritimo lygties aiškinimas yra apskritimo linija.

Jeigu apskritimą patalpinsime į koordinačių sistemą, tai visi apskritimo taškai tenkina vieną sąlygą – atstumas nuo jų iki apskritimo centro turi būti vienodas ir lygus apskritimui.

Apskritimas centruotas taške IR ir spindulys R patalpintas koordinačių plokštumoje.

Jei centro koordinatės (a;b) , ir bet kurio apskritimo taško koordinates (x; y) , tada apskritimo lygtis turi tokią formą:

Jei apskritimo spindulio kvadratas yra lygus bet kurio apskritimo taško ir jo centro atitinkamų koordinačių skirtumų kvadratų sumai, tai ši lygtis yra apskritimo lygtis plokštuminėje koordinačių sistemoje.

Jei apskritimo centras sutampa su pradžios tašku, tada apskritimo spindulio kvadratas yra lygus bet kurio apskritimo taško koordinačių kvadratų sumai. Šiuo atveju apskritimo lygtis yra tokia:

Todėl bet kuri geometrinė figūra, kaip taškų vieta, nustatoma pagal lygtį, susiejančią jos taškų koordinates. Ir atvirkščiai, lygtis, susijusi su koordinatėmis X ir adresu , apibrėžkite tiesę kaip plokštumos taškų, kurių koordinatės atitinka pateiktą lygtį, vietą.

Apskritimo lygties uždavinių sprendimo pavyzdžiai

Užduotis. Parašykite lygtį duotam apskritimui

Parašykite lygtį apskritimui, kurio centras yra taške O (2;-3) ir kurio spindulys 4.

Sprendimas.
Pereikime prie apskritimo lygties formulės:
R 2 \u003d (x-a) 2 + (y-b) 2

Pakeiskite reikšmes į formulę.
Apskritimo spindulys R = 4
Apskritimo centro koordinatės (pagal sąlygą)
a = 2
b=-3

Mes gauname:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
arba
(x - 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Užduotis. Ar taškas priklauso apskritimo lygčiai

Patikrinkite, ar taškas priklauso A(2;3) apskritimo lygtis (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .

Sprendimas.
Jei taškas priklauso apskritimui, tai jo koordinatės tenkina apskritimo lygtį.
Norėdami patikrinti, ar taškas su nurodytomis koordinatėmis priklauso apskritimui, taško koordinates pakeičiame duoto apskritimo lygtimi.

Lygtyje ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
pagal sąlygą pakeičiame taško A koordinates (2; 3), tai yra
x=2
y=3

Patikrinkime gautos lygybės teisingumą
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 lygybė neteisinga

Taigi duotas taškas nepriklausyti duota apskritimo lygtis.

perimetras yra plokštumos taškų, nutolusių nuo konkretaus taško, rinkinys, vadinamas centru.

Jei taškas C yra apskritimo centras, R yra jo spindulys, o M yra savavališkas taškas apskritime, tada pagal apskritimo apibrėžimą

Lygybė (1) yra apskritimo lygtis spindulys R, kurio centras yra taške C.

Tegu stačiakampė Dekarto koordinačių sistema (104 pav.) ir taškas C ( a; b) yra R spindulio apskritimo centras. Tegu М( X; adresu) yra savavališkas šio apskritimo taškas.

Nuo |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), tada (1) lygtį galima parašyti taip:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

(2) lygtis vadinama bendroji apskritimo lygtis arba R spindulio apskritimo, kurio centras yra taške ( a; b). Pavyzdžiui, lygtis

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

yra lygtis apskritimo spindulio R = 5, kurio centras yra taške (1; -3).

Jei apskritimo centras sutampa su pradžia, tada (2) lygtis įgauna formą

x 2 + adresu 2 = R2. (3)

(3) lygtis vadinama apskritimo kanoninė lygtis .

1 užduotis. Parašykite lygtį apskritimo spinduliui R = 7, kurio centras yra taške.

Tiesiogiai pakeisdami spindulio reikšmę į (3) lygtį, gauname

x 2 + adresu 2 = 49.

2 užduotis. Parašykite lygtį apskritimo spinduliui R = 9, kurio centras yra taške C(3; -6).

Pakeitę taško C koordinačių reikšmę ir spindulio reikšmę į (2) formulę, gauname

(X - 3) 2 + (adresu- (-6)) 2 = 81 arba ( X - 3) 2 + (adresu + 6) 2 = 81.

3 užduotis. Raskite apskritimo centrą ir spindulį

(X + 3) 2 + (adresu-5) 2 =100.

Palyginę šią lygtį su bendrąja apskritimo lygtimi (2), matome, kad a = -3, b= 5, R = 10. Todėl С(-3; 5), R = 10.

4 užduotis.Įrodykite, kad lygtis

x 2 + adresu 2 + 4X - 2y - 4 = 0

yra apskritimo lygtis. Raskite jo centrą ir spindulį.

Transformuokime kairę šios lygties pusę:

x 2 + 4X + 4- 4 + adresu 2 - 2adresu +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (adresu - 1) 2 = 9.

Ši lygtis yra apskritimo, kurio centras yra (-2; 1), lygtis; apskritimo spindulys lygus 3.

5 užduotis. Parašykite apskritimo, kurio centras yra taške C(-1; -1), liečiančio tiesę AB, lygtį, jei A (2; -1), B(-1; 3).

Parašykime tiesės AB lygtį:

arba 4 X + 3y-5 = 0.

Kadangi apskritimas liečia nurodytą tiesę, spindulys, nubrėžtas į sąlyčio tašką, yra statmenas šiai linijai. Norėdami rasti spindulį, turite rasti atstumą nuo taško C (-1; -1) - apskritimo centro iki tiesės 4 X + 3y-5 = 0:

Parašykime norimo apskritimo lygtį

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Tegu apskritimas pateikiamas stačiakampėje koordinačių sistemoje x 2 + adresu 2 = R2. Apsvarstykite jo savavališką tašką M( X; adresu) (105 pav.).

Tegul spindulio vektorius OM> taškas M sudaro dydžio kampą t su teigiama O ašies kryptimi X, tada taško M abscisės ir ordinatės keičiasi priklausomai nuo t

(0 t x ir y per t, mes randame

x= Rcos t ; y= R nuodėmė t , 0 t

Lygtys (4) vadinamos apskritimo, kurio centras yra taške, parametrinės lygtys.

6 užduotis. Apskritimas pateikiamas lygtimis

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Parašykite šio apskritimo kanoninę lygtį.

Tai išplaukia iš sąlygos x 2 = 3, nes 2 t, adresu 2 = 3 nuodėmė 2 t. Sudėjus šias lygybes po termino, gauname

x 2 + adresu 2 = 3 (cos 2 t+ nuodėmė 2 t)

arba x 2 + adresu 2 = 3

Tegul apskritimas turi spindulį , o jo centras yra taške
. Taškas
guli ant apskritimo tada ir tik tada, kai vektoriaus modulis
lygus , tai yra. Paskutinė lygybė galioja tada ir tik tada

Lygtis (1) yra norima apskritimo lygtis.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką, lygtis yra statmena tam tikram vektoriui

statmenai vektoriui
.

Taškas

ir
yra statmenos. Vektoriai
ir
yra statmenos tada ir tik tada, kai jų taškinė sandauga yra nulis, t.y.
. Naudodami vektorių, pateiktų pagal jų koordinates, skaliarinės sandaugos apskaičiavimo formulę, užrašome norimos tiesės lygtį į formą

Apsvarstykite pavyzdį. Raskite tiesės, einančios pro ją, lygtį

atkarpos AB vidurys yra statmenas šiai atkarpai, jei taškų koordinatės atitinkamai lygios A (1; 6), B (5; 4).

Mes ginčysime taip. Norėdami rasti tiesės lygtį, turime žinoti tašką, per kurį eina ši tiesė, ir vektorių, statmeną šiai tiesei. Šiai tiesei statmenas vektorius bus vektorius, nes pagal uždavinio sąlygą tiesė yra statmena atkarpai AB. Taškas
nustatome iš sąlygos, kad tiesė eina per AB vidurio tašką. Mes turime . Šiuo būdu
ir lygtis įgaus formą.

Išsiaiškinkime klausimą, ar ši tiesė eina per tašką M(7;3).

Turime , o tai reiškia, kad ši linija nekerta nurodyto taško.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką, lygiagrečios tam tikram vektoriui, lygtis

Tegul linija eina per tašką
lygiagrečiai vektoriui
.

Taškas
guli ant tiesės tada ir tik tada, kai vektoriai
ir
kolinearinis. Vektoriai
ir
yra kolinearinės tada ir tik tada, kai jų koordinatės yra proporcingos, t.y.

(3)

Gauta lygtis yra norimos tiesės lygtis.

(3) lygtis gali būti pavaizduota kaip

, kur įgauna bet kokią vertę
.

Todėl galime rašyti

, kur
(4)

Lygčių sistema (4) vadinama tiesės parametrinėmis lygtimis.

Apsvarstykite pavyzdį. Raskite tiesės, einančios per taškus, lygtį. Galime sudaryti tiesės lygtį, jei žinome lygiagretų ar statmeną tašką ir vektorių. Yra du taškai. Bet jei du taškai yra tiesėje, tada juos jungiantis vektorius bus lygiagretus šiai linijai. Todėl mes naudojame lygtį (3), imant vektorių
vektorius
. Mes gauname

(5)

Lygtis (5) vadinama tiesės, einančios per du nurodytus taškus, lygtimi.

Bendroji tiesės lygtis

Apibrėžimas. Bendroji pirmos eilės tiesės lygtis plokštumoje yra formos lygtis
, kur
.

Teorema. Bet kuri tiesė plokštumoje gali būti pateikta kaip pirmos eilės tiesės lygtis, o bet kuri pirmos eilės tiesės lygtis yra kokios nors tiesės plokštumoje lygtis.

Pirmąją šios teoremos dalį nesunku įrodyti. Bet kurioje eilutėje galite nurodyti tašką
vektorius, statmenas jam
. Tada pagal (2) tokios tiesės lygtis turi formą Pažymėti
. Tada lygtis įgaus formą
.

Dabar pereikime prie antrosios teoremos dalies. Tegul būna lygtis
, kur
. Tikslumui darysime prielaidą
.

Perrašykime lygtį į formą:

;

Apsvarstykite tašką plokštumoje
, kur
. Tada gauta lygtis turi formą ir yra tiesės, einančios per tašką, lygtis
statmenai vektoriui
. Teorema įrodyta.

Įrodinėdami teoremą, mes įrodėme pakeliui

pareiškimas. Jei yra tiesios linijos lygtis
, tada vektorius
statmenai šiai linijai.

Tipo lygtis
vadinama bendrąja tiesės plokštumoje lygtimi.

Tegul būna eilutė
ir taškas
. Būtina nustatyti atstumą nuo nurodyto taško iki linijos.

Apsvarstykite savavališką tašką
tiesioje linijoje. Mes turime
. Atstumas iš taško
tiesei lygi vektoriaus projekcijos moduliui
vienam vektoriui
statmenai šiai linijai. Mes turime

,

transformuojantis, gauname formulę:

Tegul dvi tiesės, pateiktos pagal bendrąsias lygtis

,
. Tada vektoriai

statmenos atitinkamai pirmai ir antrai eilutėms. Kampas
tarp eilučių yra lygus kampui tarp vektorių
,
.

Tada kampo tarp linijų nustatymo formulė yra tokia:

.

Linijų statmenumo sąlyga yra tokia:

.

Tiesės yra lygiagrečios arba sutampa tada ir tik tada, kai vektoriai

kolinearinis. Kuriame eilučių sutapimo sąlyga turi formą:
,

o sankryžos nebuvimo sąlyga parašyta taip:
. Paskutines dvi sąlygas įrodykite patys.

Ištirkime tiesės elgesį pagal jos bendrąją lygtį.

Pateikiame bendrąją tiesės lygtį
. Jeigu
, tada linija eina per pradžią.

Apsvarstykite atvejį, kai nė vienas iš koeficientų nėra lygus nuliui
. Perrašome lygtį į formą:

,

,

Kur
. Išsiaiškinkite parametrų reikšmę
. Raskite tiesės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. At
mes turime
, ir kada
mes turime
. Tai yra
- tai atkarpos, kurios koordinačių ašyse nupjautos tiesia linija. Todėl lygtis
vadinama tiesės lygtimi atkarpose.

Kada
mes turime

. Kada
mes turime
. Tai yra, linija bus lygiagreti ašiai .

Prisiminkite tai tiesios linijos nuolydis vadinamas šios tiesės polinkio kampo į ašį liestine
. Tegul tiesi linija nupjaunama ašyje linijos segmentas ir turi nuolydį . Tegul taškas
guli ant šito

Tada
==. Ir tiesės lygtis bus parašyta forma

.

Tegul linija eina per tašką
ir turi nuolydį . Tegul taškas
guli šioje linijoje.

Tada =
.

Gauta lygtis vadinama tiesės, einančios per tam tikrą tašką tam tikru nuolydžiu, lygtimi.

Tegu pateikiamos dvi eilutės
,
. Pažymėti
yra kampas tarp jų. Leisti ,atitinkamų linijų pasvirimo kampai į X ašį

Tada
=
,
.

Tada lygiagrečių tiesių sąlyga turi formą
, ir statmenumo sąlyga

Apibendrinant, svarstome dvi problemas.

Užduotis . Trikampio ABC viršūnės turi koordinates: A(4;2), B(10;10), C(20;14).

Raskite: a) lygtį ir iš viršūnės A nubrėžtos medianos ilgį;

b) lygtis ir aukščio ilgis, nubrėžtas iš viršūnės A;

c) iš viršūnės A nubrėžtą pusiausvyros lygtį;

Apibrėžkime medianos AM lygtį.

Taškas M () yra atkarpos BC vidurys.

Tada , . Todėl taškas M turi koordinates M(15;17). Medianos lygtis analitinės geometrijos kalba yra tiesės, einančios per tašką A (4; 2), lygiagrečiai vektoriui = (11; 15), lygtis. Tada medianos lygtis yra Vidutinis ilgis AM= .

AS aukščio lygtis yra tiesės, einančios per tašką A(4;2), statmeną vektoriui =(10;4), lygtis. Tada aukščio lygtis yra 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.

Aukščio ilgis – atstumas nuo taško A (4; 2) iki tiesės BC. Ši tiesė eina per tašką B(10;10), lygiagrečiai vektoriui =(10;4). Jo lygtis yra , 2x-5m+30=0. Todėl atstumas AS nuo taško A(4;2) iki tiesės BC lygus AS= .

Norėdami nustatyti pusiausvyros lygtį, randame vektorių, lygiagrečią šiai tiesei. Norėdami tai padaryti, naudojame rombo įstrižainės savybę. Jei vienetiniai vektoriai yra atidėti nuo taško A ir yra vienodai nukreipti su vektoriais, tada vektorius, lygus jų sumai, bus lygiagretus bisektoriui. Tada turime =+.

={6;8}, , ={16,12}, .

Tada = Vektorius = (1; 1), kolinearinis duotajam, gali tarnauti kaip norimos tiesės krypties vektorius. Tada norimos linijos lygtis matė x-y-2=0.

Užduotis. Upė teka tiesia linija, eidama per taškus A(4;3) ir B(20;11). Taške C(4;8) gyvena Raudonkepuraitė, o taške D(13;20) gyvena jos močiutė. Kiekvieną rytą Raudonkepuraitė paima iš namų tuščią kibirą, nueina prie upės, pasisemia vandens ir nuneša močiutei. Raskite trumpiausią Raudonkepuraitės kelią.

Raskime tašką E, simetrišką močiutei, santykinį su upe.

Norėdami tai padaryti, pirmiausia randame tiesės, kuria teka upė, lygtį. Šią lygtį galima laikyti tiesės, einančios per tašką A(4;3), lygiagrečiai vektoriui, lygtimi. Tada tiesės AB lygtis turi formą.

Toliau randame tiesės DE, einančios per tašką D, statmeną AB, lygtį. Tai gali būti laikoma tiesės, einančios per tašką D, statmena vektoriui, lygtimi
. Mes turime

Dabar suraskime tašką S – taško D projekciją į tiesę AB, kaip tiesių AB ir DE sankirtą. Turime lygčių sistemą

.

Todėl taškas S turi koordinates S(18;10).

Kadangi S yra segmento DE vidurio taškas, tada .

Taip pat.

Todėl taškas E turi koordinates E(23;0).

Raskime tiesės CE lygtį, žinodami dviejų šios tiesės taškų koordinates

Tašką M randame kaip tiesių AB ir CE sankirtą.

Turime lygčių sistemą

.

Todėl taškas M turi koordinates
.

2 tema Paviršiaus lygties sąvoka erdvėje. Sferos lygtis. Plokštumos, einančios per tam tikrą tašką, lygtis yra statmena tam tikram vektoriui. Bendroji plokštumos lygtis ir jos tyrimas Dviejų plokštumų lygiagretumo sąlyga. Atstumas nuo taško iki plokštumos. Tiesės lygties samprata. Tiesi linija erdvėje. Tiesės erdvėje kanoninės ir parametrinės lygtys. Tiesios linijos, einančios per du duotus taškus, lygtys. Tiesės ir plokštumos lygiagretumo ir statmenumo sąlygos.

Pirmiausia apibrėžkime paviršiaus lygties sąvoką erdvėje.

Įleisk į erdvę
suteikiamas tam tikras paviršius . Lygtis
vadinama paviršiaus lygtimi jei tenkinamos dvi sąlygos:

1.dėl bet kurio taško
su koordinatėmis
guli ant paviršiaus,
, tai yra, jo koordinatės tenkina paviršiaus lygtį;

2. bet koks taškas
, kurio koordinatės tenkina lygtį
, guli ant linijos.