Vektorová projekcia. Súradnicové osi. Bodová projekcia. Súradnice bodu na osi. Premietanie (geometrické, algebraické) vektora na os. Vlastnosti projekcií Premietanie vektora na os v priestore

Chýbať nebudú ani úlohy na samostatné riešenie, na ktoré si môžete pozrieť odpovede.

Vektorový koncept

Skôr ako sa naučíte všetko o vektoroch a operáciách s nimi, nalaďte sa na vyriešenie jednoduchého problému. Existuje vektor vášho podniku a vektor vašich inovačných schopností. Vektor podnikania vás vedie k cieľu 1 a vektor inovačných schopností k cieľu 2. Pravidlá hry sú také, že sa nemôžete pohybovať v smeroch týchto dvoch vektorov naraz a dosiahnuť dva ciele naraz. Vektory interagujú, alebo matematicky povedané, nejaká operácia sa vykonáva s vektormi. Výsledkom tejto operácie je vektor „Výsledok“, ktorý vás privedie k cieľu 3.

Teraz mi povedzte: výsledkom ktorej operácie s vektormi „Podnik“ a „Inovačné schopnosti“ je vektor „Výsledok“? Ak to nemôžete povedať hneď, nenechajte sa odradiť. Keď budete študovať túto lekciu, budete môcť na túto otázku odpovedať.

Ako sme videli vyššie, vektor nevyhnutne pochádza z nejakého bodu A v priamke do určitého bodu B. V dôsledku toho má každý vektor nielen číselnú hodnotu - dĺžku, ale aj fyzikálny a geometrický smer. Z toho je odvodená prvá, najjednoduchšia definícia vektora. Takže vektor je riadený segment idúci z bodu A k veci B. Označuje sa takto:

A začať inak vektorové operácie , musíme sa zoznámiť ešte s jednou definíciou vektora.

Vektor je druh reprezentácie bodu, ktorý sa má dosiahnuť z nejakého počiatočného bodu. Napríklad trojrozmerný vektor sa zvyčajne píše ako (x, y, z) . Jednoducho povedané, tieto čísla predstavujú, ako ďaleko musíte prejsť tromi rôznymi smermi, aby ste sa dostali k veci.

Nech je daný vektor. V čom X = 3 (pravá ruka ukazuje doprava) r = 1 (ľavá ruka ukazuje dopredu) z = 5 (pod bodom vedie rebrík hore). Z týchto údajov nájdete bod tak, že prejdete 3 metre v smere označenom pravou rukou, potom 1 meter v smere označenom ľavou rukou a potom vás čaká rebrík a po 5 metrovom stúpaní nakoniec nájdete seba v konečnom bode.

Všetky ostatné pojmy sú vylepšeniami vyššie uvedeného vysvetlenia, ktoré sú potrebné na rôzne operácie s vektormi, teda na riešenie praktických problémov. Poďme si prejsť tieto presnejšie definície, pričom sa budeme venovať typickým vektorovým problémom.

Fyzikálne príklady vektorovými veličinami môže byť posunutie hmotného bodu pohybujúceho sa v priestore, rýchlosť a zrýchlenie tohto bodu, ako aj sila, ktorá naň pôsobí.

geometrický vektor zastúpené v dvojrozmernom a trojrozmernom priestore vo forme riadený segment. Toto je segment, ktorý má začiatok a koniec.

Ak A je začiatok vektora a B je jeho koniec, potom sa vektor označí symbolom alebo jedným malým písmenom . Na obrázku je koniec vektora označený šípkou (obr. 1)

Dĺžka(alebo modul) geometrického vektora je dĺžka segmentu, ktorý ho generuje

Tieto dva vektory sa nazývajú rovný , ak sa dajú kombinovať (keď sa smery zhodujú) paralelným prekladom, t.j. ak sú rovnobežné, smerujú rovnakým smerom a majú rovnakú dĺžku.

Vo fyzike sa to často zvažuje pripnuté vektory, daný bodom aplikácie, dĺžkou a smerom. Ak nezáleží na bode aplikácie vektora, potom je možné ho preniesť, pričom sa zachová dĺžka a smer do akéhokoľvek bodu v priestore. V tomto prípade sa vektor nazýva zadarmo. Súhlasíme len s tým, že zvážime voľné vektory.

Lineárne operácie s geometrickými vektormi

Vynásobte vektor číslom

Vektorový produkt za číslo Vektor sa nazýva vektor získaný z vektora natiahnutím (at ) alebo zmenšením (at ) krát a smer vektora je zachovaný, ak , a obrátený, ak . (obr. 2)

Z definície vyplýva, že vektory a = sú vždy umiestnené na jednej alebo rovnobežnej priamke. Takéto vektory sa nazývajú kolineárne. (Môžete tiež povedať, že tieto vektory sú rovnobežné, ale vo vektorovej algebre je zvykom hovoriť „kolineárne“.) Platí to aj naopak: ak sú vektory a kolineárne, potom súvisia vzťahom

Rovnosť (1) teda vyjadruje podmienku kolineárnosti dvoch vektorov.

Vektorové sčítanie a odčítanie

Pri pridávaní vektorov to musíte vedieť súčet vektory a nazýva sa vektor, ktorého začiatok sa zhoduje so začiatkom vektora a koniec sa zhoduje s koncom vektora za predpokladu, že začiatok vektora je pripojený ku koncu vektora. (obr. 3)

Táto definícia môže byť rozdelená na ľubovoľný konečný počet vektorov. Nechajte v danom priestore n voľné vektory. Pri pridávaní viacerých vektorov sa ich súčet berie ako uzatvárací vektor, ktorého začiatok sa zhoduje so začiatkom prvého vektora a koniec s koncom posledného vektora. To znamená, ak je začiatok vektora pripojený ku koncu vektora a začiatok vektora ku koncu vektora atď. a nakoniec na koniec vektora - začiatok vektora, potom súčet týchto vektorov je uzatvárací vektor , ktorého začiatok sa zhoduje so začiatkom prvého vektora a ktorého koniec sa zhoduje s koncom posledného vektora . (obr. 4)

Termíny sa nazývajú komponenty vektora a formulované pravidlo je polygónové pravidlo. Tento mnohouholník nemusí byť plochý.

Keď sa vektor vynásobí číslom -1, získa sa opačný vektor. Vektory a majú rovnakú dĺžku a opačné smery. Ich súčet dáva nulový vektor, ktorého dĺžka je nula. Smer nulového vektora nie je definovaný.

Vo vektorovej algebre nie je potrebné samostatne uvažovať o operácii odčítania: odčítať vektor od vektora znamená pridať k vektoru opačný vektor, t.j.

Príklad 1 Zjednodušte výraz:

.

,

to znamená, že vektory možno sčítať a násobiť číslami rovnakým spôsobom ako polynómy (najmä tiež problémy so zjednodušením výrazov). Zvyčajne pred výpočtom súčinov vektorov vzniká potreba zjednodušiť lineárne podobné výrazy pomocou vektorov.

Príklad 2 Vektory a slúžia ako diagonály rovnobežníka ABCD (obr. 4a). Vyjadrite pomocou vektorov , , a , ktoré sú stranami tohto rovnobežníka.

rozhodnutie. Priesečník uhlopriečok rovnobežníka pretína každú uhlopriečku. Dĺžky vektorov požadované v podmienke úlohy sa nachádzajú buď ako polovica súčtu vektorov, ktoré tvoria trojuholník s požadovanými, alebo ako polovica rozdielov (v závislosti od smeru vektora slúžiaceho ako uhlopriečka), alebo, ako v druhom prípade, polovica sumy so znamienkom mínus. Výsledkom sú vektory potrebné v stave problému:

Existuje dôvod domnievať sa, že ste správne odpovedali na otázku o vektoroch „Podnikanie“ a „Inovačné schopnosti“ na začiatku tejto lekcie. Správna odpoveď: tieto vektory sa podrobia operácii sčítania.

Vyriešte problémy s vektormi sami a potom sa pozrite na riešenia

Ako zistiť dĺžku súčtu vektorov?

Tento problém zaujíma osobitné miesto v operáciách s vektormi, pretože zahŕňa použitie trigonometrických vlastností. Povedzme, že máte úlohu, ako je táto:

Vzhľadom na dĺžku vektorov a dĺžka súčtu týchto vektorov . Nájdite dĺžku rozdielu týchto vektorov.

Riešenia tohto a ďalších podobných problémov a vysvetlenia, ako ich vyriešiť - v lekcii " Sčítanie vektorov: dĺžka súčtu vektorov a kosínusová veta ".

A riešenie takýchto problémov môžete skontrolovať na Online kalkulačka "Neznáma strana trojuholníka (vektorový sčítanie a kosínusová veta)" .

Kde sú produkty vektorov?

Súčin vektora s vektorom nie sú lineárne operácie a posudzujú sa samostatne. A máme lekcie "Bodový súčin vektorov" a "Vektorový a zmiešaný súčin vektorov".

Premietanie vektora na os

Priemet vektora na os sa rovná súčinu dĺžky premietnutého vektora a kosínusu uhla medzi vektorom a osou:

Ako je známe, projekcia bodu A na priamke (rovine) je základňa kolmice spadnutá z tohto bodu na priamku (rovinu).

Nech - ľubovoľný vektor (obr. 5), a - projekcie jeho začiatku (body A) a koniec (bodky B) na nápravu l. (Na vytvorenie projekcie bodu A) kresliť priamo cez bod A rovina kolmá na priamku. Priesečník priamky a roviny určí požadovanú projekciu.

Komponent vektora na osi l nazývaný taký vektor ležiaci na tejto osi, ktorého začiatok sa zhoduje s projekciou začiatku a koniec - s projekciou konca vektora .

Priemet vektora na os l zavolal na číslo

,

rovná dĺžke vektora komponentu na tejto osi, pričom sa berie so znamienkom plus, ak sa smer komponentu zhoduje so smerom osi l a so znamienkom mínus, ak sú tieto smery opačné.

Hlavné vlastnosti vektorových projekcií na osi:

1. Priemetne rovnakých vektorov na tej istej osi sa navzájom rovnajú.

2. Keď sa vektor vynásobí číslom, rovnakým číslom sa vynásobí aj jeho priemet.

3. Priemet súčtu vektorov na ľubovoľnú os sa rovná súčtu priemetov na tej istej osi členov vektorov.

4. Priemet vektora na os sa rovná súčinu dĺžky premietnutého vektora a kosínusu uhla medzi vektorom a osou:

.

rozhodnutie. Premietnime vektory na os l ako je definované v teoretickom odkaze vyššie. Z obr.5a je zrejmé, že priemet súčtu vektorov sa rovná súčtu priemetov vektorov. Vypočítame tieto projekcie:

Nájdeme konečnú projekciu súčtu vektorov:

Vzťah vektora s pravouhlým karteziánskym súradnicovým systémom v priestore

Zoznámenie sa s pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v priestore prebiehal v príslušnej lekcii, najlepšie ho otvorte v novom okne.

V usporiadanom systéme súradnicových osí 0xyz os Vôl volal os x, os 0r – os y, a os 0z – os aplikácie.

s ľubovoľným bodom M vesmírna kravata vektor

volal vektor polomeru bodov M a premietnite ho na každú zo súradnicových osí. Označme hodnoty zodpovedajúcich projekcií:

čísla x, y, z volal súradnice bodu M, resp úsečka, ordinát a nášivka, a sú zapísané ako usporiadaná bodka čísel: M(x; y; z)(obr. 6).

Voláme vektor jednotkovej dĺžky, ktorého smer sa zhoduje so smerom osi jednotkový vektor(alebo ortom) osi. Označiť podľa

Podľa toho jednotkové vektory súradnicových osí Vôl, Oj, Oz

Veta. Akýkoľvek vektor možno rozložiť na jednotkové vektory súradnicových osí:

(2)

Rovnosť (2) sa nazýva expanzia vektora pozdĺž súradnicových osí. Koeficienty tohto rozšírenia sú projekcie vektora na súradnicové osi. Koeficienty expanzie (2) vektora pozdĺž súradnicových osí sú teda súradnicami vektora.

Po výbere určitého súradnicového systému v priestore sa vektor a trojica jeho súradníc navzájom jednoznačne určujú, takže vektor možno zapísať v tvare

Vektorové znázornenia v tvare (2) a (3) sú identické.

Podmienka kolineárnych vektorov v súradniciach

Ako sme už uviedli, vektory sa nazývajú kolineárne, ak sú spojené vzťahom

Nechať vektory . Tieto vektory sú kolineárne, ak súradnice vektorov súvisia so vzťahom

,

to znamená, že súradnice vektorov sú úmerné.

Príklad 6 Dané vektory . Sú tieto vektory kolineárne?

rozhodnutie. Poďme zistiť pomer súradníc týchto vektorov:

.

Súradnice vektorov sú proporcionálne, preto sú vektory kolineárne, alebo, čo je to isté, rovnobežné.

Kosínus dĺžky a smeru vektora

Vzhľadom na vzájomnú kolmosť súradnicových osí je dĺžka vektora

sa rovná dĺžke uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena postaveného na vektoroch

a je vyjadrená rovnosťou

(4)

Vektor je úplne definovaný špecifikovaním dvoch bodov (začiatok a koniec), takže súradnice vektora môžu byť vyjadrené pomocou súradníc týchto bodov.

Nech je začiatok vektora v danom súradnicovom systéme v bode

a koniec je na mieste

Z rovnosti

Nasleduje to

alebo v súradnicovej forme

v dôsledku toho súradnice vektora sa rovnajú rozdielom rovnomenných súradníc konca a začiatku vektora . Vzorec (4) má v tomto prípade formu

Smer vektora je určený smerové kosínusy . Sú to kosínusy uhlov, ktoré zviera vektor s osami Vôl, Oj a Oz. Označme tieto uhly postupne α , β a γ . Potom sa pomocou vzorcov dajú nájsť kosínusy týchto uhlov

Smerové kosínusy vektora sú zároveň súradnicami vektora vektora a tým aj vektora vektora

.

Vzhľadom na to, že dĺžka vektorového vektora sa rovná jednej jednotke, tj.

,

dostaneme nasledujúcu rovnosť pre smerové kosínusy:

Príklad 7 Nájdite dĺžku vektora X = (3; 0; 4).

rozhodnutie. Dĺžka vektora je

Príklad 8 Dané body:

Zistite, či trojuholník postavený na týchto bodoch je rovnoramenný.

rozhodnutie. Pomocou vzorca dĺžky vektora (6) nájdeme dĺžky strán a zistíme, či sú dve rovnaké:

Našli sa dve rovnaké strany, takže netreba hľadať dĺžku tretej strany a daný trojuholník je rovnoramenný.

Príklad 9 Nájdite dĺžku vektora a jeho smer kosínusy if .

rozhodnutie. Súradnice vektora sú uvedené:

.

Dĺžka vektora sa rovná druhej odmocnine súčtu druhých mocnín súradníc vektora:

.

Vyhľadanie kosínusov smeru:

Vyriešte problém s vektormi sami a potom sa pozrite na riešenie

Operácie s vektormi v súradnicovom tvare

Nech sú dané dva vektory a dané ich projekciami:

Označme akcie na týchto vektoroch.

odpoveď:

Vlastnosti projekcie:

Vlastnosti vektorovej projekcie

Nehnuteľnosť 1.

Priemet súčtu dvoch vektorov na os sa rovná súčtu priemetov vektorov na rovnakú os:

Táto vlastnosť umožňuje nahradiť projekciu súčtu vektorov súčtom ich projekcií a naopak.

Nehnuteľnosť 2. Ak sa vektor vynásobí číslom λ, potom sa jeho priemet na os tiež vynásobí týmto číslom:

Nehnuteľnosť 3.

Priemet vektora na os l sa rovná súčinu modulu vektora a kosínusu uhla medzi vektorom a osou:

Orthova os. Rozklad vektora z hľadiska súradnicových vektorov. Vektorové súradnice. Vlastnosti súradníc

odpoveď:

Horts of os.

Obdĺžnikový súradnicový systém (akéhokoľvek rozmeru) je tiež opísaný množinou jednotkových vektorov zarovnaných so súradnicovými osami. Počet ortov sa rovná rozmeru súradnicového systému a všetky sú na seba kolmé.

V trojrozmernom prípade sa zvyčajne označujú orty

AND Symboly so šípkami a môžu byť tiež použité.

Navyše v prípade pravého súradnicového systému platia nasledujúce vzorce s vektorovými súčinmi vektorov:

Rozklad vektora z hľadiska súradnicových vektorov.

Orta súradnicovej osi je označená , osi - by , osi - by (obr. 1)

Pre každý vektor, ktorý leží v rovine, prebieha nasledujúci rozklad:

Ak je vektor sa nachádza v priestore, potom expanzia z hľadiska jednotkových vektorov súradnicových osí má tvar:

Vektorové súradnice:

Ak chcete vypočítať súradnice vektora, ak poznáte súradnice (x1; y1) jeho začiatku A a súradnice (x2; y2) jeho konca B, musíte od koncových súradníc odpočítať súradnice začiatku: (x2 - x1; y2 - yl).

Vlastnosti súradníc.

Uvažujme súradnicovú čiaru s počiatkom v bode O a jednotkový vektor i. Potom pre ľubovoľný vektor a na tomto riadku platí: a = axi.

Číslo osi sa nazýva súradnica vektora a na osi súradníc.

Nehnuteľnosť 1. Pri pridávaní vektorov na osi sa pridávajú ich súradnice.

Nehnuteľnosť 2. Keď sa vektor vynásobí číslom, jeho súradnica sa vynásobí týmto číslom.

Skalárny súčin vektorov. Vlastnosti.

odpoveď:

Skalárny súčin dvoch nenulových vektorov je číslo,

rovná súčinu týchto vektorov kosínusom uhla medzi nimi.

Vlastnosti:

1. Skalárny súčin má komutatívnu vlastnosť: ab=ba

Skalárny súčin súradnicových vektorov. Určenie skalárneho súčinu vektorov daného ich súradnicami.

odpoveď:

Bodový súčin (×) orts

(X)	ja	J	K
ja
J
K

Určenie skalárneho súčinu vektorov daného ich súradnicami.

Skalárny súčin dvoch vektorov a daný ich súradnicami možno vypočítať podľa vzorca

Vektorový súčin dvoch vektorov. Vlastnosti vektorového produktu.

odpoveď:

Tri nekoplanárne vektory tvoria pravú trojicu, ak od konca tretieho vektora je rotácia od prvého vektora k druhému proti smeru hodinových ručičiek. Ak v smere hodinových ručičiek - potom doľava., ak nie, potom naopak ( ukáž, ​​ako sa ukázal s „kľučkami“)

Krížový súčin vektora a na vektor b nazývaný vektor s ktorou:

1. Kolmo na vektory a a b

2. Má dĺžku, ktorá sa číselne rovná ploche vytvoreného rovnobežníka a a b vektory

3. vektory, a,b, a c tvoria správnu trojicu vektorov

Vlastnosti:

1.

3.

4.

Vektorový súčin súradnicových vektorov. Určenie vektorového súčinu vektorov daného ich súradnicami.

odpoveď:

Vektorový súčin súradnicových vektorov.

Určenie vektorového súčinu vektorov daného ich súradnicami.

Nech sú vektory a = (x1; y1; z1) a b = (x2; y2; z2) dané svojimi súradnicami v pravouhlej karteziánskej súradnicovej sústave O, i, j, k a trojité i, j, k je správny.

Rozšírime a a b z hľadiska základných vektorov:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Pomocou vlastností vektorového súčinu získame

[a; b] ==

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2. (1)

Podľa definície vektorového súčinu nájdeme

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Vzhľadom na tieto rovnosti môže byť vzorec (1) napísaný takto:

[a; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[a; b] = (yi z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Vzorec (2) vyjadruje krížový súčin dvoch vektorov daný ich súradnicami.

Výsledný vzorec je ťažkopádny. Pomocou zápisu determinantov ho môžete napísať v inej forme, ktorá je vhodnejšia na zapamätanie:

Zvyčajne sa vzorec (3) píše ešte kratší:

Riešenie problémov o rovnováhe zbiehajúcich sa síl konštrukciou uzavretých silových polygónov je spojené s ťažkopádnymi konštrukciami. Univerzálnou metódou riešenia takýchto úloh je prechod na určovanie priemetov daných síl na súradnicové osi a operovanie s týmito priemetmi. Os sa nazýva priamka, ktorej je priradený určitý smer.

Premietnutie vektora na os je skalárna hodnota, ktorá je určená segmentom osi odrezaným kolmicami, ktoré na ňu padajú od začiatku a konca vektora.

Priemet vektora sa považuje za kladný, ak sa smer od začiatku premietania po jeho koniec zhoduje s kladným smerom osi. Priemet vektora sa považuje za negatívny, ak smer od začiatku premietania po jeho koniec je opačný ako kladný smer osi.

Priemet sily na súradnicovú os sa teda rovná súčinu modulu sily a kosínusu uhla medzi vektorom sily a kladným smerom osi.

Zvážte niekoľko prípadov premietania síl na os:

Vektor sily F(obr. 15) zviera ostrý uhol s kladným smerom osi x.

Aby sme našli projekciu, od začiatku a konca vektora sily znížime kolmice na os oh; dostaneme

1. F x = F cosα

Projekcia vektora je v tomto prípade pozitívna

sila F(obr. 16) je s kladným smerom osi X tupý uhol α.

Potom F x= F cos α, ale keďže α = 180 0 - φ,

F x= F cosα = F cos180 0 - φ =- F cos phi.

Projekcia sily F na nápravu oh v tomto prípade je negatívny.

sila F(obr. 17) kolmo na os oh.

Priemet sily F na os X nula

F x= F cos 90° = 0.

Sila umiestnená v rovine akože(obr. 18), možno premietnuť na dve súradnicové osi oh a OU.

Pevnosť F možno rozdeliť na komponenty: F x a F y Vektorový modul F x sa rovná vektorovej projekcii F na nápravu vôl a modul vektora F y sa rovná priemetu vektora F na nápravu oy.

Od Δ OAB: F x= F cosα, F x= F sinα.

Od Δ SLA: F x= F cos phi, F x= F sin phi.

Modul sily možno nájsť pomocou Pytagorovej vety:

Priemet súčtu vektorov alebo výslednice na ľubovoľnú os sa rovná algebraickému súčtu priemetov členov vektorov na tej istej osi.

Zvážte konvergujúce sily F 1 , F 2 , F 3 a F 4 (obr. 19, a). Geometrický súčet alebo výslednica týchto síl F určená uzatváracou stranou silového mnohouholníka

Spustite z vrcholov polygónu sily na os X kolmice.

Vzhľadom na získané projekcie síl priamo z dokončenej stavby máme

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

kde n je počet členov vektorov. Ich projekcie vstupujú do vyššie uvedenej rovnice s príslušným znamienkom.

V rovine možno geometrický súčet síl premietnuť na dve súradnicové osi a v priestore na tri.

projekcia vektor na osi sa nazýva vektor, ktorý sa získa vynásobením skalárneho premietania vektora na túto os a jednotkového vektora tejto osi. Napríklad, ak je x skalárna projekcia vektor a na osi x, potom a x i- jeho vektorové premietanie na túto os.

Označiť vektorová projekcia rovnako ako samotný vektor, ale s indexom osi, na ktorú sa vektor premieta. Takže vektorová projekcia vektora a na osi x označujú a X ( mastný písmeno označujúce vektor a dolný index názvu osi) alebo (netučné písmeno označujúce vektor, ale so šípkou navrchu (!) a dolným indexom názvu osi).

Skalárna projekcia vektor na os sa nazýva číslo, ktorej absolútna hodnota sa rovná dĺžke segmentu osi (vo zvolenej mierke) uzavretého medzi priemetmi začiatočného bodu a koncového bodu vektora. Zvyčajne namiesto výrazu skalárna projekcia jednoducho povedz - projekcia. Projekcia sa označuje rovnakým písmenom ako premietaný vektor (normálnym, nie tučným písmom) s dolným indexom (zvyčajne) názvu osi, na ktorú sa tento vektor premieta. Napríklad, ak sa vektor premieta na os x a, potom jeho priemet označíme a x . Pri premietaní rovnakého vektora na inú os, ak je osou Y , bude jej projekcia označená ako y .

Na výpočet projekcie vektor na osi (napríklad os X) je potrebné odčítať súradnicu začiatočného bodu od súradnice jeho koncového bodu, tj.
a x \u003d x k - x n.
Priemet vektora na os je číslo. Okrem toho môže byť projekcia kladná, ak je hodnota x k väčšia ako hodnota x n,

záporné, ak je hodnota x k menšia ako hodnota x n

a rovné nule, ak x k sa rovná x n.

Projekciu vektora na os možno nájsť aj tak, že poznáme modul vektora a uhol, ktorý zviera s touto osou.

Z obrázku je zrejmé, že a x = a Cos α

to znamená, že priemet vektora na os sa rovná súčinu modulu vektora a kosínusu uhla medzi smerom osi a vektorový smer. Ak je uhol ostrý, potom
Cos α > 0 a a x > 0, a ak je tupý, potom kosínus tupého uhla je záporný a projekcia vektora na os bude tiež záporná.

Uhly počítané od osi proti smeru hodinových ručičiek sa považujú za pozitívne av smere - negatívne. Keďže je však kosínus párna funkcia, to znamená Cos α = Cos (− α), pri výpočte projekcií možno uhly počítať v smere aj proti smeru hodinových ručičiek.

Na nájdenie projekcie vektora na os je potrebné modul tohto vektora vynásobiť kosínusom uhla medzi smerom osi a smerom vektora.

Vektorové súradnice sú koeficienty jedinej možnej lineárnej kombinácie bázových vektorov vo zvolenom súradnicovom systéme rovné danému vektoru.

kde sú súradnice vektora.

Bodový súčin vektorov

PRODUKT VEKTOROV Z KOLÍNA[- v konečnej dimenzii vektorový priestor je definovaný ako súčet súčinov tých istých zložiek násob vektory.

Napríklad S. p. a = (a 1 , ..., a n) a b = (b 1 , ..., b n):

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

a. Priemetom bodu A na os PQ (obr. 4) je základňa a kolmice spadnutá z daného bodu na danú os. Os, na ktorú premietame, sa nazýva os premietania.

b. Nech sú dané dve osi a vektor A B, ako je znázornené na obr. päť.

Vektor, ktorého začiatok je priemet začiatku a konca - priemet konca tohto vektora, sa nazýva priemet vektora A B na os PQ, Píše sa takto;

Niekedy nie je indikátor PQ napísaný v spodnej časti, robí sa to v prípadoch, keď okrem PQ neexistuje iná os, na ktorú by sa dalo premietať.

s. Veta I. Hodnoty vektorov ležiacich na tej istej osi súvisia s hodnotami ich projekcií na ľubovoľnej osi.

Nech sú uvedené osi a vektory znázornené na obrázku 6. Z podobnosti trojuholníkov je vidieť, že dĺžky vektorov sú vo vzťahu ako dĺžky ich priemetov, t.j.

Pretože vektory na výkrese sú nasmerované rôznymi smermi, ich veľkosti majú rôzne hodnoty, preto

Je zrejmé, že hodnoty projekcie majú aj iné znamenie:

dosadením (2) za (3) do (1) dostaneme

Obrátením značiek dostaneme

Ak sú vektory rovnako smerované, potom bude existovať jeden smer a ich projekcie; vo vzorcoch (2) a (3) nebudú žiadne znamienka mínus. Dosadením (2) a (3) do rovnosti (1) okamžite dostaneme rovnosť (4). Veta je teda dokázaná pre všetky prípady.

d. Veta II. Hodnota priemetu vektora na ľubovoľnú os sa rovná hodnote vektora vynásobenej kosínusom uhla medzi osou priemetov a osou vektora. Vektor nech je daný osou podľa obr. . 7. Zostrojme vektor rovnako nasmerovaný svojou osou a posunutý napríklad z priesečníka osí. Nech sa jeho dĺžka rovná jednej. Potom jeho hodnota