Kruhová rovnica. Kartézske súradnice rovinných bodov. Kruhová rovnica Príklady kružnice

Účel lekcie: predstaviť rovnicu kruhu, naučiť žiakov zostaviť rovnicu kruhu podľa hotového výkresu, postaviť kruh podľa zadanej rovnice.

Vybavenie: interaktívna tabuľa.

Plán lekcie:

Organizačný moment - 3 min.
Opakovanie. Organizácia duševnej činnosti - 7 min.
Vysvetlenie nového materiálu. Odvodenie kruhovej rovnice - 10 min.
Spevnenie študovaného materiálu - 20 min.
Zhrnutie lekcie - 5 min.

Počas vyučovania

2. Opakovanie:

− (Dodatok 1 snímka 2) zapíšte si vzorec na nájdenie súradníc stredu segmentu;

− (Snímka 3) Z napíšte vzorec pre vzdialenosť medzi bodmi (dĺžku segmentu).

3. Vysvetlenie nového materiálu.

(Snímky 4 – 6) Definujte rovnicu kruhu. Odvoďte rovnice kruhu so stredom v bode ( a;b) a vycentrované v počiatku.

(X – a ) 2 + (pri – b ) 2 = R 2 − kruhová rovnica so stredom OD (a;b) , polomer R , X a pri – súradnice ľubovoľného bodu na kružnici .

X 2 + y 2 = R 2 je rovnica kruhu so stredom v počiatku.

(Snímka 7)

Ak chcete napísať rovnicu kruhu, potrebujete:

poznať súradnice stredu;
poznať dĺžku polomeru;
dosaďte súradnice stredu a dĺžku polomeru do rovnice kruhu.

4. Riešenie problémov.

V úlohách č.1 - č.6 zostavte rovnice kruhu podľa hotových výkresov.

(Snímka 14)

№ 7. Vyplňte tabuľku.

(Snímka 15)

№ 8. Zostrojte v zošite kružnice dané rovnicami:

a) ( X – 5) 2 + (pri + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (pri– 7) 2 = 7 2 .

(Snímka 16)

№ 9. Nájdite súradnice stredu a dĺžku polomeru if AB je priemer kruhu.

Vzhľadom na to:		rozhodnutie:
Vzhľadom na to:		R	Stredové súradnice
1	A(0 ; -6) AT(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	A(0; -6) AT(0 ; 2) OD(0 ; – 2) – stred
2	A(-2 ; 0) AT(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	A (-2;0) AT (4 ;0) OD(1 ; 0) – stred

(Snímka 17)

№ 10. Napíšte rovnicu kružnice so stredom v počiatku prechádzajúcej bodom Komu(-12;5).

rozhodnutie.

R2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Kruhová rovnica: x 2 + y 2 = 169 .

(Snímka 18)

№ 11. Napíšte rovnicu pre kružnicu prechádzajúcu počiatkom a so stredom v bode OD(3; - 1).

rozhodnutie.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Kruhová rovnica: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Snímka 19)

№ 12. Napíšte rovnicu kruhu so stredom A(3;2) prechádzajúci AT(7;5).

rozhodnutie.

1. Stred kruhu - A(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Kruhová rovnica ( X – 3) 2 + (pri − 2) 2 = 25.

(Snímka 20)

№ 13. Skontrolujte, či body neklamú A(1; -1), AT(0;8), OD(-3; -1) na kružnici danej rovnicou ( X + 3) 2 + (pri − 4) 2 = 25.

rozhodnutie.

ja. Dosaďte súradnice bodu A(1; -1) do rovnice kruhu:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - rovnosť je nesprávna, čo znamená A(1; -1) neklame na kružnici danej rovnicou ( X + 3) 2 + (pri − 4) 2 = 25.

II. Dosaďte súradnice bodu AT(0;8) do kruhovej rovnice:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
AT(0;8)lži X + 3) 2 + (pri − 4) 2 = 25.

III. Dosaďte súradnice bodu OD(-3; -1) do kruhovej rovnice:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - platí rovnosť, takže OD(-3; -1) lži na kružnici danej rovnicou ( X + 3) 2 + (pri − 4) 2 = 25.

Zhrnutie lekcie.

Opakujte: rovnica kruhu, rovnica kruhu so stredom v počiatku.
(Snímka 21) Domáca úloha.

Analytická geometria poskytuje jednotné metódy riešenia geometrických problémov. Na tento účel sa všetky dané a požadované body a čiary odkazujú na rovnaký súradnicový systém.

V súradnicovom systéme možno každý bod charakterizovať svojimi súradnicami a každú priamku rovnicou s dvoma neznámymi, ktorej grafom je táto priamka. Geometrický problém je teda zredukovaný na algebraický, kde sú všetky výpočtové metódy dobre vyvinuté.

Kruh je miesto bodov s jednou špecifickou vlastnosťou (každý bod kruhu je rovnako vzdialený od jedného bodu, ktorý sa nazýva stred). Kruhová rovnica musí odrážať túto vlastnosť, spĺňať túto podmienku.

Geometrický výklad rovnice kruhu je priamka kruhu.

Ak umiestnime kružnicu do súradnicového systému, potom všetky body kružnice spĺňajú jednu podmienku – vzdialenosť od nich k stredu kružnice musí byť rovnaká a rovná kružnici.

Kruh so stredom v bode A a polomer R umiestnené v rovine súradníc.

Ak sú súradnice stred (a; b) a súradnice ľubovoľného bodu na kružnici (x; y) , potom kruhová rovnica má tvar:

Ak sa druhá mocnina polomeru kruhu rovná súčtu druhých mocnín rozdielov zodpovedajúcich súradníc ktoréhokoľvek bodu na kruhu a jeho stredu, potom je táto rovnica rovnicou kruhu v rovinnom súradnicovom systéme.

Ak sa stred kruhu zhoduje s východiskovým bodom, potom sa druhá mocnina polomeru kruhu rovná súčtu druhých mocnín súradníc ľubovoľného bodu na kruhu. V tomto prípade má kruhová rovnica tvar:

Preto je každý geometrický útvar ako ťažisko bodov určený rovnicou týkajúcou sa súradníc jeho bodov. Naopak, rovnica týkajúca sa súradníc X a pri , definujte priamku ako ťažisko bodov v rovine, ktorých súradnice spĺňajú danú rovnicu.

Príklady riešenia úloh o rovnici kruhu

Úloha. Napíšte rovnicu pre daný kruh

Napíšte rovnicu pre kružnicu so stredom v bode O (2;-3) s polomerom 4.

rozhodnutie.
Obráťme sa na vzorec kruhovej rovnice:
R2 \u003d (x-a) 2 + (y-b) 2

Nahraďte hodnoty do vzorca.
Polomer kruhu R = 4
Súradnice stredu kruhu (podľa podmienky)
a = 2
b = -3

Dostaneme:
(x - 2) 2 + (y - (-3)) 2 = 4 2
alebo
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Úloha. Patrí bod do rovnice kruhu

Skontrolujte, či bod patrí A(2;3) kruhová rovnica (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .

rozhodnutie.
Ak bod patrí do kruhu, potom jeho súradnice spĺňajú rovnicu kruhu.
Aby sme skontrolovali, či bod s danými súradnicami patrí ku kružnici, dosadíme súradnice bodu do rovnice danej kružnice.

V rovnici ( X - 2) 2 + (r + 3) 2 = 16
dosadíme podľa podmienky súradnice bodu A (2; 3), tzn
x=2
y=3

Overme si pravdivosť získanej rovnosti
(X - 2) 2 + (r + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 rovnosť je nesprávna

Takže daný bod Nepatrí daná kruhová rovnica.

obvod je množina bodov v rovine rovnako vzdialených od daného bodu, nazývaná stred.

Ak je bod C stredom kruhu, R je jeho polomer a M je ľubovoľný bod na kruhu, potom podľa definície kruhu

Rovnosť (1) je kruhová rovnica polomer R so stredom v bode C.

Nech pravouhlý karteziánsky súradnicový systém (obr. 104) a bod C ( a; b) je stred kružnice s polomerom R. Nech М( X; pri) je ľubovoľný bod tohto kruhu.

Od |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), potom rovnicu (1) možno zapísať takto:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b)2 = R2 (2)

Rovnica (2) sa nazýva všeobecná rovnica kruhu alebo rovnica kružnice s polomerom R so stredom v bode ( a; b). Napríklad rovnica

(X - l) 2 + ( r + 3) 2 = 25

je rovnica kružnice s polomerom R = 5 so stredom v bode (1; -3).

Ak sa stred kruhu zhoduje s počiatkom, potom rovnica (2) nadobúda tvar

X 2 + pri 2 = R2. (3)

Rovnica (3) sa nazýva kanonická rovnica kruhu .

Úloha 1. Napíšte rovnicu pre kružnicu s polomerom R = 7 so stredom v počiatku.

Priamym dosadením hodnoty polomeru do rovnice (3) získame

X 2 + pri 2 = 49.

Úloha 2. Napíšte rovnicu pre kružnicu s polomerom R = 9 so stredom v bode C(3; -6).

Dosadením hodnoty súradníc bodu C a hodnoty polomeru do vzorca (2) dostaneme

(X - 3) 2 + (pri- (-6)) 2 = 81 alebo ( X - 3) 2 + (pri + 6) 2 = 81.

Úloha 3. Nájdite stred a polomer kruhu

(X + 3) 2 + (pri-5) 2 =100.

Pri porovnaní tejto rovnice so všeobecnou kruhovou rovnicou (2) to vidíme a = -3, b= 5, R = 10. Preto С(-3; 5), R = 10.

Úloha 4. Dokážte, že rovnica

X 2 + pri 2 + 4X - 2r - 4 = 0

je kruhová rovnica. Nájdite jeho stred a polomer.

Transformujme ľavú stranu tejto rovnice:

X 2 + 4X + 4- 4 + pri 2 - 2pri +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (pri - 1) 2 = 9.

Táto rovnica je rovnicou kruhu so stredom (-2; 1); polomer kruhu je 3.

Úloha 5. Napíšte rovnicu kružnice so stredom v bode C(-1; -1), ktorý sa dotýka priamky AB, ak A (2; -1), B(-1; 3).

Napíšme rovnicu priamky AB:

alebo 4 X + 3r-5 = 0.

Keďže kružnica je dotyčnicou danej priamky, polomer nakreslený k bodu dotyku je kolmý na túto priamku. Ak chcete nájsť polomer, musíte nájsť vzdialenosť od bodu C (-1; -1) - stredu kruhu k priamke 4 X + 3r-5 = 0:

Napíšeme rovnicu požadovaného kruhu

(X +1) 2 + (r +1) 2 = 144 / 25

Nech je daný kruh v pravouhlom súradnicovom systéme X 2 + pri 2 = R2. Zvážte jeho ľubovoľný bod M( X; pri) (obr. 105).

Nechajte vektor polomeru OM> bod M tvorí uhol veľkosti t s kladným smerom osi O X, potom sa úsečka a ordináta bodu M menia v závislosti od t

(0 t cez x a y t, nájdeme

X= Rcos t ; r= R hriech t , 0 t

Rovnice (4) sa nazývajú parametrické rovnice kruhu so stredom v počiatku.

Úloha 6. Kruh je daný rovnicami

X= \(\sqrt(3)\)cos t, r= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Napíšte kanonickú rovnicu pre tento kruh.

Vyplýva to z podmienky X 2 = 3 ako 2 t, pri 2 = 3 hriech 2 t. Pridaním týchto rovností po členoch dostaneme

X 2 + pri 2 = 3 (cos 2 t+ hriech 2 t)

alebo X 2 + pri 2 = 3

Nech má kruh polomer a jeho stred je v bode
. Bodka
leží na kružnici práve vtedy, ak modul vektora
rovná sa , teda. Posledná rovnosť platí vtedy a len vtedy

Rovnica (1) je požadovaná kruhová rovnica.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom je kolmá na daný vektor

kolmo na vektor
.

Bodka

a
sú kolmé. vektory
a
sú kolmé vtedy a len vtedy, ak ich bodový súčin je nula, t.j.
. Pomocou vzorca na výpočet skalárneho súčinu vektorov daného ich súradnicami zapíšeme rovnicu požadovanej priamky v tvare

Zvážte príklad. Nájdite rovnicu prechádzajúcej priamky

stred segmentu AB je kolmý na tento segment, ak sú súradnice bodov v tomto poradí rovné A (1; 6), B (5; 4).

Budeme argumentovať nasledovne. Aby sme našli rovnicu priamky, musíme poznať bod, ktorým táto priamka prechádza, a vektor kolmý na túto priamku. Vektor kolmý na túto priamku bude vektorom, keďže podľa podmienok úlohy je priamka kolmá na úsečku AB. bod
určíme z podmienky, že priamka prechádza stredom AB. Máme . Touto cestou
a rovnica bude mať tvar.

Ujasnime si otázku, či táto priamka prechádza bodom M(7;3).

Máme , čo znamená, že táto čiara neprechádza zadaným bodom.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom, rovnobežná s daným vektorom

Nechajte čiaru prechádzať cez bod
paralelne s vektorom
.

Bodka
leží na priamke práve vtedy, ak vektory
a
kolineárne. vektory
a
sú kolineárne vtedy a len vtedy, ak sú ich súradnice proporcionálne, t.j.

(3)

Výsledná rovnica je rovnicou požadovanej priamky.

Rovnica (3) môže byť reprezentovaná ako

, kde má akúkoľvek hodnotu
.

Preto môžeme písať

, kde
(4)

Sústavu rovníc (4) nazývame parametrické rovnice priamky.

Zvážte príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi. Rovnicu priamky môžeme zostrojiť, ak poznáme bod a vektor rovnobežný alebo kolmý naň. K dispozícii sú dva body. Ale ak dva body ležia na priamke, potom vektor, ktorý ich spája, bude rovnobežný s touto priamkou. Preto použijeme rovnicu (3) ako vektor
vektor
. Dostaneme

(5)

Rovnica (5) sa nazýva rovnica priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi.

Všeobecná rovnica priamky

Definícia. Všeobecná rovnica priamky prvého rádu na rovine je rovnicou tvaru
, kde
.

Veta. Akákoľvek priamka v rovine môže byť daná ako priamková rovnica prvého rádu a každá priamková rovnica prvého rádu je rovnicou nejakej priamky v rovine.

Prvá časť tejto vety sa dá ľahko dokázať. Na ľubovoľnej čiare môžete určiť bod
vektor naň kolmý
. Potom podľa (2) rovnica takejto priamky má tvar Označiť
. Potom bude mať rovnica tvar
.

Teraz prejdime k druhej časti vety. Nech existuje rovnica
, kde
. Pre definitívnosť budeme predpokladať
.

Prepíšme rovnicu do tvaru:

;

Zvážte bod na rovine
, kde
. Potom má výsledná rovnica tvar , a je rovnicou priamky prechádzajúcej bodom
kolmo na vektor
. Veta bola dokázaná.

V procese dokazovania vety sme dokázali za pochodu

Vyhlásenie. Ak existuje priamka rovnica
, potom vektor
kolmo na túto čiaru.

Zadajte rovnicu
sa nazýva všeobecná rovnica priamky v rovine.

Nech je čiara
a bodka
. Je potrebné určiť vzdialenosť od určeného bodu k čiare.

Zvážte svojvoľný bod
na priamke. Máme
. Vzdialenosť z bodu
na priamku sa rovná modulu premietania vektora
na vektor
kolmo na túto čiaru. Máme

transformácia, dostaneme vzorec:

Nech sú dve priame čiary dané všeobecnými rovnicami

,
. Potom vektory

kolmo na prvý a druhý riadok. Rohový
medzi čiarami sa rovná uhlu medzi vektormi
,
.

Potom vzorec na určenie uhla medzi čiarami je:

Podmienka kolmosti čiar má tvar:

Čiary sú rovnobežné alebo sa zhodujú práve vtedy, ak sú vektory

kolineárne. V čom podmienka zhody línií má tvar:
,

a podmienka žiadnej križovatky je napísaná takto:
. Posledné dve podmienky dokážte sami.

Skúmajme správanie sa priamky podľa jej všeobecnej rovnice.

Nech je daná všeobecná rovnica priamky
. Ak
, potom čiara prechádza počiatkom.

Zvážte prípad, keď žiadny z koeficientov nie je rovný nule
. Rovnicu prepíšeme do tvaru:

Kde
. Zistite význam parametrov
. Nájdite priesečníky priamky so súradnicovými osami. O
máme
, a kedy
máme
. Teda
- sú to segmenty, ktoré sú na súradnicových osiach odrezané priamkou. Preto rovnica
sa nazýva rovnica priamky v segmentoch.

Kedy
máme

. Kedy
máme
. To znamená, že čiara bude rovnobežná s osou .

Pripomeň si to sklon priamky sa nazýva dotyčnica uhla sklonu tejto priamky k osi
. Nechajte rovnú čiaru odrezať na osi úsečka a má sklon . Nechajte bod
leží na tomto

Potom
==. A rovnica priamky bude napísaná vo forme

Nechajte čiaru prechádzať cez bod
a má sklon . Nechajte bod
leží na tejto čiare.

Potom =
.

Výsledná rovnica sa nazýva rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom s daným sklonom.

Nech sú uvedené dva riadky
,
. Označiť
je uhol medzi nimi. Nechaj ,uhly sklonu k osi X zodpovedajúcich čiar

Potom
=
,
.

Potom má podmienka rovnobežných čiar tvar
a podmienka kolmosti

Na záver zvážime dva problémy.

Úloha . Vrcholy trojuholníka ABC majú súradnice: A(4;2), B(10;10), C(20;14).

Nájdite: a) rovnicu a dĺžku mediánu nakreslenú z vrcholu A;

b) rovnica a dĺžka výšky nakreslená z vrcholu A;

c) rovnica osi vytiahnutá z vrcholu A;

Definujme rovnicu mediánu AM.

Bod M () je stredom segmentu BC.

Potom , . Preto bod M má súradnice M(15;17). Mediánová rovnica v jazyku analytickej geometrie je rovnica priamky prechádzajúcej bodom A (4; 2) rovnobežne s vektorom = (11; 15). Potom je stredná rovnica Stredná dĺžka AM= .

Výšková rovnica AS je rovnica priamky prechádzajúcej bodom A(4;2) kolmo na vektor =(10;4). Potom je výšková rovnica 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.

Dĺžka výšky je vzdialenosť od bodu A (4; 2) po priamku BC. Táto priamka prechádza bodom B(10;10) rovnobežne s vektorom =(10;4). Jeho rovnica je , 2x-5r+30=0. Vzdialenosť AS od bodu A(4;2) k priamke BC sa teda rovná AS= .

Na určenie rovnice osy nájdeme vektor rovnobežný s touto priamkou. Na to využívame vlastnosť uhlopriečky kosoštvorca. Ak sú jednotkové vektory odložené od bodu A a sú rovnako nasmerované s vektormi, potom vektor rovný ich súčtu bude rovnobežný s osou. Potom máme =+.

={6;8}, , ={16,12}, .

Potom = Vektor = (1; 1), kolineárny k danému, môže slúžiť ako smerový vektor požadovanej priamky. Potom rovnica požadovanej priamky videla x-y-2=0.

Úloha. Rieka tečie v priamej línii prechádzajúcej cez body A(4;3) a B(20;11). Červená čiapočka býva v bode C(4;8) a jej stará mama v bode D(13;20). Červená čiapočka každé ráno zoberie z domu prázdne vedro, ide k rieke, načerpá vodu a odnesie ju babke. Nájdite najkratšiu cestu pre Červenú čiapočku.

Nájdeme bod E, symetrický k babke, relatívne k rieke.

Aby sme to urobili, najprv nájdeme rovnicu priamky, pozdĺž ktorej rieka tečie. Túto rovnicu možno považovať za rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(4;3) rovnobežne s vektorom. Potom má rovnica priamky AB tvar.

Ďalej nájdeme rovnicu priamky DE prechádzajúcej bodom D kolmým na AB. Možno ju považovať za rovnicu priamky prechádzajúcej bodom D, kolmej na vektor
. Máme

Teraz nájdime bod S - priemet bodu D na priamku AB, ako priesečník priamok AB a DE. Máme systém rovníc

Preto má bod S súradnice S(18;10).

Keďže S je stred segmentu DE, potom .

Podobne.

Preto má bod E súradnice E(23;0).

Nájdite rovnicu priamky CE, pričom poznáme súradnice dvoch bodov tejto priamky

Bod M nájdeme ako priesečník priamok AB a CE.

Máme systém rovníc

Preto bod M má súradnice
.

Téma 2 Pojem povrchovej rovnice v priestore. Sférická rovnica. Rovnica roviny prechádzajúcej daným bodom je kolmá na daný vektor. Všeobecná rovnica roviny a jej štúdium Podmienka rovnobežnosti dvoch rovín. Vzdialenosť od bodu k rovine. Pojem priamkovej rovnice. Rovná čiara v priestore. Kanonické a parametrické rovnice priamky v priestore. Rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi. Podmienky rovnobežnosti a kolmosti priamky a roviny.

Najprv si definujme pojem povrchová rovnica v priestore.

Pustite do priestoru
je daný nejaký povrch . Rovnica
sa nazýva povrchová rovnica ak sú splnené dve podmienky: