Osnovna površina formule stožca. Območje stranske in polne površine stožca

Vemo, kaj je stožec, poskusimo najti njegovo površino. Zakaj morate rešiti tak problem? Na primer, morate razumeti, koliko testa bo šlo za izdelavo vafeljskega stožca? Ali koliko opek je potrebno za polaganje opečne strehe gradu?

Površine stranske površine stožca ni enostavno izmeriti. A predstavljajmo si isti rog, zavit v krpo. Če želite najti območje kosa tkanine, ga morate razrezati in razporediti po mizi. Dobili bomo ravno figuro, našli bomo njeno območje.

riž. 1. Presek stožca vzdolž generatrike

Enako storimo s stožcem. Njeno stransko površino na primer "prerežemo" vzdolž katere koli generatrike (glej sliko 1).

Zdaj bomo stransko površino "odvili" na ravnino. Dobimo sektor. Središče tega sektorja je vrh stožca, polmer sektorja je enak generatrisi stožca, dolžina njegovega loka pa sovpada z obodom osnove stožca. Takšen sektor se imenuje zamah stranske površine stožca (glej sliko 2).

riž. 2. Razvoj stranske površine

riž. 3. Merjenje kota v radianih

Poskusimo najti območje sektorja glede na razpoložljive podatke. Najprej uvedemo zapis: naj bo kot pri vrhu sektorja v radianih (glej sliko 3).

Pogosto se bomo morali pri nalogah ukvarjati s kotom na vrhu zamaha. Za zdaj poskusimo odgovoriti na vprašanje: ali se ta kot ne more izkazati za več kot 360 stopinj? Se pravi, ali se ne bo izkazalo, da se bo skeniranje naložilo nase? Seveda ne. Dokažimo to matematično. Naj se skeniranje "prekriva". To pomeni, da je dolžina loka pometanja večja od oboda polmera. Toda, kot je bilo že omenjeno, je dolžina loka pometanja dolžina kroga s polmerom. In polmer osnove stožca je seveda manjši od generatrike, na primer, ker je krak pravokotnega trikotnika manjši od hipotenuze

Nato se spomnimo dveh formul iz tečaja planimetrije: dolžina loka. Sektorsko območje:.

V našem primeru ima vlogo generator , in dolžina loka je enaka obodu osnove stožca, tj. Imamo:

Končno dobimo:.

Skupaj s stransko površino je mogoče najti tudi skupno površino. Če želite to narediti, dodajte osnovno površino stranski površini. Toda osnova je krog polmera, katerega površina je enaka.

Končno imamo: , kjer je polmer osnove cilindra, je generatrika.

Rešimo nekaj problemov z uporabo danih formul.

riž. 4. Želeni kot

Primer 1... Sploščena stran stožca je sektor s kotom vrha. Poiščite ta kot, če je višina stožca 4 cm in polmer osnove 3 cm (glej sliko 4).

riž. 5. Pravokotni trikotnik, ki tvori stožec

S prvim dejanjem po Pitagorejevem izreku najdemo generator: 5 cm (glej sliko 5). Nadalje, to vemo .

Primer 2... Površina aksialnega prereza stožca je enaka, višina je enaka. Poiščite skupno površino (glej sliko 6).

Tela revolucije, ki so jih preučevali v šoli, so valj, stožec in krogla.

Če morate pri nalogi na izpitu iz matematike izračunati prostornino stožca ali površino krogle - menite, da ste srečni.

Uporabite formule za prostornino in površino za valj, stožec in kroglo. Vsi so v naši mizi. Učijo na pamet. Tu se začne poznavanje stereometrije.

Včasih je dobro narisati pogled od zgoraj. Ali, kot v tem problemu, od spodaj.

2. Kolikokrat je prostornina stožca, opisanega pri pravilni štirikotni piramidi, večja od prostornine stožca, vpisanega v to piramido?

Preprosto je - narišite pogled od spodaj. Vidimo, da je polmer večjega kroga krat večji od polmera manjšega. Višini obeh stožcev sta enaki. Posledično bo prostornina večjega stožca dvakrat večja.

Druga pomembna točka. Ne pozabite, da je v nalogah dela B različic USE pri matematiki odgovor zapisan v obliki celega števila ali končnega decimskega ulomka. Zato ne bi smelo biti nobenega ali v vašem odgovoru v delu B. Tudi približne vrednosti številke vam ni treba nadomestiti! Vsekakor ga je treba zmanjšati!. Za to je v nekaterih težavah naloga formulirana, na primer, takole: "Poišči površino stranske površine valja, deljeno z".

In kje se še uporabljajo formule za prostornino in površino vrtilnih teles? Seveda v problemu C2 (16). Povedali vam bomo tudi o tem.

Površina stožca (ali preprosto površina stožca) je enaka vsoti površin osnove in stranske površine.

Bočna površina stožca se izračuna po formuli: S = πR l, kjer je R polmer osnove stožca in l- generatrika stožca.

Ker je površina osnove stožca enaka πR 2 (kot površina kroga), bo površina celotne površine stožca enaka: πR 2 + πR l= πR (R + l).

Izpeljavo formule za stransko površino stožca je mogoče razložiti z naslednjim sklepanjem. Naj risba pokaže razvoj stranske površine stožca. Lok AB razdelimo na čim več enakih delov in vse delitvene točke povežemo s središčem loka, sosednje pa med seboj s tetivami.

Dobimo niz enakih trikotnikov. Površina vsakega trikotnika je ah / 2, kje a je dolžina osnove trikotnika, a h- njegova visoka.

Vsota površin vseh trikotnikov bo: ah / 2 n = anh / 2, kje n je število trikotnikov.

Z velikim številom delitev postane vsota območij trikotnikov zelo blizu površini zamaha, to je površini stranske površine stožca. Vsota osnov trikotnikov, t.j. an, postane zelo blizu dolžini loka AB, to je obodu osnove stožca. Višina vsakega trikotnika postane zelo blizu polmeru loka, to je generatrisi stožca.

Če zanemarimo nepomembne razlike v velikostih teh količin, dobimo formulo za površino stranske površine stožca (S):

S = C l / 2, kjer je C obseg osnove stožca, l- generatrika stožca.

Če vemo, da je С = 2πR, kjer je R polmer oboda osnove stožca, dobimo: S = πR l.

Opomba. V formuli S = C l / 2 je postavljen predznak natančne in ne približne enakosti, čeprav bi lahko na podlagi zgornjega sklepanja to enakost šteli za približno. Toda srednja šola dokazuje to enakost

S = C l / 2 točna, ne približna.

Izrek. Bočna površina stožca je enaka zmnožku oboda osnove in polovice generatrike.

V stožec vpišemo neko pravilno piramido (slika) in označimo s črkami R in lštevila, ki izražajo dolžine oboda osnove in apotema te piramide.

Potem bo njegova stranska površina izražena z zmnožkom 1/2 R l .

Recimo, da se število stranic mnogokotnika, vpisanega v osnovo, neomejeno povečuje. Nato obod R bo težil k meji, vzeti kot dolžina C oboda osnove in apotema l bo imela za mejo konusno generatriko (ker iz ΔSAK sledi, da SA - SK
1 / 2 R l, bo težil k meji 1/2 C L. Ta meja se vzame kot vrednost stranske površine stožca. Ko označimo stransko površino stožca s črko S, lahko zapišemo:

S = 1/2 C L = C 1/2 L

Posledice.
1) Ker je C = 2 π R, potem je stranska površina stožca izražena s formulo:

S = 1/2 2π R L = π RL

2) Celotno površino stožca dobimo, če k osnovni površini dodamo stransko površino; torej, če celotno površino označimo s T, bomo imeli:

T = π RL + π R2 = π R (L + R)

Izrek. Bočna površina okrnjenega stožca je enaka zmnožku polovične vsote dolžin krogov osnov in generatorja.

V prisekani stožec (sl.) vpišemo neko pravilno okrnjeno piramido in jo označimo s črkami p, str 1 in lštevila, ki v enakih linearnih enotah izražajo dolžine obodov spodnje in zgornje osnove ter apotem te piramide.

Potem je stranska površina vpisane piramide enaka 1/2 ( p + p 1) l

Z neomejenim povečanjem števila stranskih ploskev vpisane piramide, obodov R in R 1 težijo k mejam, vzetim kot dolžini C in C 1 osnovnih krogov, in apotem l ima mejno generatriko L ​​okrnjenega stožca. Posledično se vrednost stranske površine vpisane piramide nagiba k meji, ki je enaka (С + С 1) L. Ta meja se vzame kot vrednost stranske površine okrnjenega stožca. Če označimo stransko površino prisekanega stožca s črko S, bomo imeli:

S = 1/2 (C + C 1) L

Posledice.
1) Če R in R 1 pomenita polmera krogov spodnje in zgornje osnove, bo stranska površina prisekanega stožca:

S = 1/2 (2 π R + 2 π R 1) L = π (R + R 1) L.

2) Če v trapezu OO 1 A 1 A (slika), pri vrtenju katerega dobimo okrnjen stožec, potegnemo srednjo črto BC, dobimo:

BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

zato

S = 2 π BC L,

tj. stranska površina okrnjenega stožca je enaka zmnožku oboda srednjega odseka z generatriko.

3) Celotna površina T okrnjenega stožca je izražena na naslednji način:

T = π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

Vemo, kaj je stožec, poskusimo najti njegovo površino. Zakaj morate rešiti tak problem? Na primer, morate razumeti, koliko testa bo šlo za izdelavo vafeljskega stožca? Ali koliko opek je potrebno za polaganje opečne strehe gradu?

Površine stranske površine stožca ni enostavno izmeriti. A predstavljajmo si isti rog, zavit v krpo. Če želite najti območje kosa tkanine, ga morate razrezati in razporediti po mizi. Dobili bomo ravno figuro, našli bomo njeno območje.

riž. 1. Presek stožca vzdolž generatrike

Enako storimo s stožcem. Njeno stransko površino na primer "prerežemo" vzdolž katere koli generatrike (glej sliko 1).

Zdaj bomo stransko površino "odvili" na ravnino. Dobimo sektor. Središče tega sektorja je vrh stožca, polmer sektorja je enak generatrisi stožca, dolžina njegovega loka pa sovpada z obodom osnove stožca. Takšen sektor se imenuje zamah stranske površine stožca (glej sliko 2).

riž. 2. Razvoj stranske površine

riž. 3. Merjenje kota v radianih

Poskusimo najti območje sektorja glede na razpoložljive podatke. Najprej uvedemo zapis: naj bo kot pri vrhu sektorja v radianih (glej sliko 3).

Pogosto se bomo morali pri nalogah ukvarjati s kotom na vrhu zamaha. Za zdaj poskusimo odgovoriti na vprašanje: ali se ta kot ne more izkazati za več kot 360 stopinj? Se pravi, ali se ne bo izkazalo, da se bo skeniranje naložilo nase? Seveda ne. Dokažimo to matematično. Naj se skeniranje "prekriva". To pomeni, da je dolžina loka pometanja večja od oboda polmera. Toda, kot je bilo že omenjeno, je dolžina loka pometanja dolžina kroga s polmerom. In polmer osnove stožca je seveda manjši od generatrike, na primer, ker je krak pravokotnega trikotnika manjši od hipotenuze

Nato se spomnimo dveh formul iz tečaja planimetrije: dolžina loka. Sektorsko območje:.

V našem primeru ima vlogo generator , in dolžina loka je enaka obodu osnove stožca, tj. Imamo:

Končno dobimo:.

Skupaj s stransko površino je mogoče najti tudi skupno površino. Če želite to narediti, dodajte osnovno površino stranski površini. Toda osnova je krog polmera, katerega površina je enaka.

Končno imamo: , kjer je polmer osnove cilindra, je generatrika.

Rešimo nekaj problemov z uporabo danih formul.

riž. 4. Želeni kot

Primer 1... Sploščena stran stožca je sektor s kotom vrha. Poiščite ta kot, če je višina stožca 4 cm in polmer osnove 3 cm (glej sliko 4).

riž. 5. Pravokotni trikotnik, ki tvori stožec

S prvim dejanjem po Pitagorejevem izreku najdemo generator: 5 cm (glej sliko 5). Nadalje, to vemo .

Primer 2... Površina aksialnega prereza stožca je enaka, višina je enaka. Poiščite skupno površino (glej sliko 6).