Osnovne formule za iskanje razdalj s projekcijo vektorja na os. Vektorska projekcija. Koordinatne osi. Točkovna projekcija. Koordinate točke na osi Kako določiti predznak projekcije na os

a. Projekcija točke A na os PQ (slika 4) je vzmetnica a navpičnice, spuščene iz dane točke na dano os. Os, na katero projiciramo, se imenuje projekcijska os.

b. Naj sta podani dve osi in vektor A B, kot je prikazano na sl. pet.

Vektor, katerega začetek je projekcija začetka in konec - projekcija konca tega vektorja, se imenuje projekcija vektorja A B na os PQ, Zapisano je tako;

Včasih indikator PQ ni napisan na dnu, to se naredi v primerih, ko razen PQ ni druge osi, na katero bi lahko projicirali.

z. Izrek I. Vrednosti vektorjev, ki ležijo na isti osi, so povezane kot vrednosti njihovih projekcij na katero koli os.

Naj so podane osi in vektorji, prikazani na sliki 6. Iz podobnosti trikotnikov je razvidno, da so dolžine vektorjev povezane kot dolžine njihovih projekcij, tj.

Ker so vektorji na risbi usmerjeni v različne smeri, imajo njihove velikosti različne vrednosti, zato

Očitno imajo vrednosti projekcije tudi drugačen znak:

zamenjamo (2) v (3) v (1), dobimo

Če obrnemo znake, dobimo

Če sta vektorja enako usmerjena, potem bo ena smer in njihove projekcije; v formulah (2) in (3) ne bo znakov minus. Če nadomestimo (2) in (3) v enakost (1), takoj dobimo enakost (4). Tako je izrek dokazan za vse primere.

d. Izrek II. Vrednost projekcije vektorja na katero koli os je enaka vrednosti vektorja, pomnoženi s kosinusom kota med osjo projekcij in osjo vektorja. Naj bo vektor podan osi, kot je prikazano na sl. . 7. Konstruirajmo vektor, ki je enako usmerjen s svojo osjo in odložen, na primer, od presečišča osi. Naj bo njegova dolžina enaka ena. Potem njegova vrednost

§ 3. Vektorske projekcije na koordinatne osi

1. Geometrično iskanje projekcij.

Vektor
- projekcija vektorja na os OX
- projekcija vektorja na os ojoj

Definicija 1. Vektorska projekcija na kateri koli koordinatni osi se imenuje število, vzeto z znakom "plus" ali "minus", ki ustreza dolžini segmenta, ki se nahaja med osnovama navpičnic, spuščenih od začetka in konca vektorja do koordinatne osi.

Projekcijski znak je definiran na naslednji način. Če se med premikanjem vzdolž koordinatne osi premika od projekcijske točke začetka vektorja do projekcijske točke konca vektorja v pozitivni smeri osi, potem se projekcija vektorja šteje za pozitivno. . Če je - nasproti osi, se projekcija šteje za negativno.

Slika prikazuje, da če je vektor nekako usmerjen nasproti koordinatni osi, potem je njegova projekcija na to os negativna. Če je vektor nekako usmerjen v pozitivno smer koordinatne osi, potem je njegova projekcija na to os pozitivna.

Če je vektor pravokoten na koordinatno os, potem je njegova projekcija na to os enaka nič.
Če je vektor sousmerjen z osjo, potem je njegova projekcija na to os enaka modulu vektorja.
Če je vektor nasproti koordinatni osi, je njegova projekcija na to os po absolutni vrednosti enaka vektorskemu modulu, vzetem z znakom minus.

2. Najsplošnejša definicija projekcije.

Iz pravokotnega trikotnika ABD: .

Definicija 2. Vektorska projekcija na kateri koli koordinatni osi se imenuje število, ki je enako produktu modula vektorja in kosinusa kota, ki ga tvori vektor s pozitivno smerjo koordinatne osi.

Predznak projekcije je določen s predznakom kosinusa kota, ki ga tvori vektor s pozitivno smerjo osi.
Če je kot oster, ima kosinus pozitiven predznak in projekcije so pozitivne. Pri topih kotih ima kosinus negativen predznak, zato so v takih primerih projekcije na os negativne.
- torej za vektorje, pravokotne na os, je projekcija enaka nič.

Os je smer. Zato velja, da je projekcija na os ali na usmerjeno črto enaka. Projekcija je lahko algebraična ali geometrijska. V geometrijskem smislu projekcijo vektorja na os razumemo kot vektor, v algebrskem smislu pa je to število. To pomeni, da se uporabljata koncepta projekcije vektorja na os in numerične projekcije vektorja na os.

Če imamo os L in neničelni vektor A B → , potem lahko konstruiramo vektor A 1 B 1 ⇀ , ki označuje projekciji njegovih točk A 1 in B 1 .

A 1 B → 1 bo projekcija vektorja A B → na L .

Definicija 1

Projekcija vektorja na os imenujemo vektor, katerega začetek in konec sta projekciji začetka in konca danega vektorja. n p L A B → → običajno označujemo projekcijo A B → na L . Če želite zgraditi projekcijo na L, spustite navpičnici na L.

Primer 1

Primer projekcije vektorja na os.

Na koordinatni ravnini O x y je določena točka M 1 (x 1, y 1). Za podobo vektorja radija točke M 1 je potrebno zgraditi projekciji na O x in O y. Dobimo koordinate vektorjev (x 1 , 0) in (0 , y 1) .

Če govorimo o projekciji a → na neničelni b → ali projekciji a → na smer b → , potem mislimo na projekcijo a → na os, s katero smer b → sovpada. Projekcija a → na premico, določeno z b →, je označena z n p b → a → → . Znano je, da ko je kot med a → in b →, lahko obravnavamo n p b → a → → in b → sosmerno. V primeru topega kota sta n p b → a → → in b → nasprotno usmerjena. V primeru pravokotnosti a → in b → in je a → nič, je projekcija a → vzdolž smeri b → ničelni vektor.

Numerična značilnost projekcije vektorja na os je numerična projekcija vektorja na dano os.

Definicija 2

Numerična projekcija vektorja na os imenujemo število, ki je enako produktu dolžine danega vektorja in kosinusa kota med danim vektorjem in vektorjem, ki določa smer osi.

Numerično projekcijo A B → na L označimo z n p L A B → , a → na b → - n p b → a → .

Na osnovi formule dobimo n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , od koder je a → dolžina vektorja a → , a ⇀ , b → ^ kot med vektorjema a → in b → .

Dobimo formulo za izračun numerične projekcije: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Uporabna je za znane dolžine a → in b → ter kot med njima. Formula je uporabna za znane koordinate a → in b → , vendar obstaja njena poenostavljena različica.

Primer 2

Poiščite numerično projekcijo a → na premico v smeri b → z dolžino a → enako 8 in kotom med njima 60 stopinj. Po pogoju velja a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Torej, številske vrednosti nadomestimo v formulo n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

odgovor: 4.

Z znanim cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → imamo a → , b → kot skalarni produkt a → in b → . Iz formule n p b → a → = a → · cos a ⇀, b → ^ lahko najdemo numerično projekcijo a → usmerjeno vzdolž vektorja b → in dobimo n p b → a → = a → , b → b → . Formula je enakovredna definiciji, podani na začetku stavka.

Definicija 3

Numerična projekcija vektorja a → na os, ki v smeri sovpada z b →, je razmerje skalarnega produkta vektorjev a → in b → na dolžino b → . Formula n p b → a → = a → , b → b → je uporabna za iskanje numerične projekcije a → na premico, ki sovpada v smeri z b →, z znanimi koordinatama a → in b →.

Primer 3

Podano je b → = (- 3 , 4) . Poiščite numerično projekcijo a → = (1 , 7) na L .

Odločitev

Na koordinatni ravnini n p b → a → = a → , b → b → ima obliko n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , pri čemer je a → = (a x , a y ) in b → = b x , b y . Za iskanje numerične projekcije vektorja a → na os L potrebujete: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

odgovor: 5.

Primer 4

Poiščite projekcijo a → na L , ki sovpada s smerjo b → , kjer sta a → = - 2 , 3 , 1 in b → = (3 , - 2 , 6) . Podan je tridimenzionalni prostor.

Odločitev

Glede na a → = a x , a y , a z in b → = b x , b y , b z izračunajte skalarni produkt: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . Dolžino b → poiščemo po formuli b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. Iz tega sledi, da bo formula za določitev numerične projekcije a →: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Zamenjamo številske vrednosti: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Odgovor: - 6 7 .

Poglejmo povezavo med a → na L in dolžino projekcije a → na L . Narišimo os L tako, da dodamo a → in b → iz točke na L , nakar narišemo pravokotno premico s konca a → na L in projiciramo na L . Obstaja 5 različic slike:

Prvi primer, ko a → = n p b → a → → pomeni a → = n p b → a → → , torej n p b → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

drugič primeru implicira uporabo n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , torej n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Tretji primer pojasnjuje, da ko n p b → a → → = 0 → dobimo n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, potem je n p b → a → → = 0 in n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Četrtič primer prikazuje n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^), sledi n p b → a → = a → cos (a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Petič primer kaže a → = n p b → a → → , kar pomeni a → = n p b → a → → , zato imamo n p b → a → = a → cos a → , b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .

Definicija 4

Numerična projekcija vektorja a → na os L , ki je usmerjena kot b → , ima pomen:

• dolžina projekcije vektorja a → na L pod pogojem, da je kot med a → in b → manjši od 90 stopinj ali enak 0: n p b → a → = n p b → a → → s pogojem 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nič pod pogojem pravokotnosti a → in b → : n p b → a → = 0, ko je (a → , b → ^) = 90 ° ;
• dolžina projekcije a → na L, krat -1, ko obstaja top ali sploščen kot vektorjev a → in b → : n p b → a → = - n p b → a → → s pogojem 90°< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Primer 5

Dana je dolžina projekcije a → na L , enaka 2 . Poiščite numerično projekcijo a → glede na to, da je kot 5 π 6 radianov.

Odločitev

Iz pogoja je razvidno, da je ta kot top: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Odgovor: - 2.

Primer 6

Dana je ravnina O x y z z dolžino vektorja a → enako 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) s kotom 30 stopinj. Poiščite koordinate projekcije a → na L os.

Odločitev

Najprej izračunamo numerično projekcijo vektorja a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .

Po pogoju je kot oster, potem je numerična projekcija a → = dolžina projekcije vektorja a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Ta primer pokaže, da sta vektorja n p L a → → in b → sousmerjena, kar pomeni, da obstaja število t, za katero velja enakost: n p L a → → = t · b → . Od tu vidimo, da je n p L a → → = t b → , tako da lahko najdemo vrednost parametra t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.

Potem je n p L a → → = 3 b → s koordinatami projekcije vektorja a → na os L b → = (- 2 , 1 , 2) , kjer je treba vrednosti pomnožiti s 3 Imamo n p L a → → = (- 6 , 3 , 6). Odgovor: (- 6 , 3 , 6) .

Potrebno je ponoviti predhodno preučeno informacijo o pogoju vektorske kolinearnosti.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Naj sta v prostoru podana dva vektorja in . Odmaknite se od poljubne točke O vektorji in . kotiček med vektorjema in se imenuje najmanjši izmed kotov. Označeno .

Razmislite o osi l in nanjo narišite enotski vektor (to je vektor, katerega dolžina je enaka ena).

Kot med vektorjem in osjo l razumeti kot med vektorjema in .

Torej naj l je neka os in je vektor.

Označimo z A 1 in B1 projekcije na os l točke A in B. Pretvarjajmo se, da A 1 ima koordinato x 1, a B1- uskladiti x2 na osi l.

Potem projekcija vektorja na os l se imenuje razlika x 1 – x2 med koordinatama projekcij konca in začetka vektorja na to os.

Projekcija vektorja na os l bomo označili.

Jasno je, da če je kot med vektorjem in osjo l oster torej x2> x 1, in projekcijo x2 – x 1> 0; če je ta kot top, potem x2< x 1 in projekcija x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, potem x2= x 1 in x2– x 1=0.

Tako je projekcija vektorja na os l je dolžina segmenta A 1 B 1 vzeto z določenim znakom. Zato je projekcija vektorja na os število ali skalar.

Projekcija enega vektorja na drugega je definirana podobno. V tem primeru se projekcije koncev tega vektorja nahajajo na premici, na kateri leži 2. vektor.

Oglejmo si nekaj glavnih projekcijske lastnosti.

LINEARNO ODVISNI IN LINEARNO NEODVISNI SISTEMI VEKTORJEV

Razmislimo o več vektorjih.

Linearna kombinacija teh vektorjev je katerikoli vektor oblike , kjer je nekaj števil. Števila se imenujejo koeficienti linearne kombinacije. Rečeno je tudi, da je v tem primeru linearno izraženo z danimi vektorji, tj. pridobljeni iz njih z linearnimi operacijami.

Na primer, če so podani trije vektorji, potem lahko vektorje obravnavamo kot njihovo linearno kombinacijo:

Če je vektor predstavljen kot linearna kombinacija nekaterih vektorjev, potem rečemo, da je razgrajena vzdolž teh vektorjev.

Vektorji se imenujejo linearno odvisen, če obstajajo takšna števila, niso vsa enaka nič, to . Jasno je, da bodo dani vektorji linearno odvisni, če je kateri koli od teh vektorjev linearno izražen z drugimi.

V nasprotnem primeru, tj. ko je razmerje izvaja le takrat, ko , se ti vektorji imenujejo linearno neodvisen.

1. izrek. Katera koli dva vektorja sta linearno odvisna, če in samo če sta kolinearna.

Dokaz:

Naslednji izrek lahko dokažemo podobno.

2. izrek. Trije vektorji so linearno odvisni, če in samo če so komplanarni.

Dokaz.

OSNOVA

Osnova je zbirka neničelnih linearno neodvisnih vektorjev. Elemente osnove bomo označili z .

V prejšnjem podpoglavju smo videli, da sta dva nekolinearna vektorja v ravnini linearno neodvisna. Zato je po izreku 1 iz prejšnjega odstavka baza na ravnini katera koli dva nekolinearna vektorja na tej ravnini.

Podobno so kateri koli trije nekoplanarni vektorji linearno neodvisni v prostoru. Zato tri nekoplanarne vektorje imenujemo baza v prostoru.

Naslednja trditev drži.

Izrek. Naj bo osnova podana v prostoru. Potem lahko vsak vektor predstavimo kot linearno kombinacijo , kje x, l, z- nekaj številk. Takšna razgradnja je edinstvena.

Dokaz.

Tako vam osnova omogoča, da vsak vektor edinstveno povežete s trojčkom števil - koeficienti razširitve tega vektorja glede na vektorje osnove: . Velja tudi obratno, vsaka trojka števil x, y, z z uporabo osnove lahko ujemate vektor, če naredite linearno kombinacijo .

Če je osnova in , nato pa številke x, y, z klical koordinate vektorji v dani bazi. Vektorske koordinate označujejo.

KARTEZIČNI KOORDINATNI SISTEM

Naj bo v prostoru podana točka O in trije nekoplanarni vektorji.

Kartezični koordinatni sistem v prostoru (na ravnini) imenujemo množica točke in baze, tj. niz točke in treh nekoplanarnih vektorjev (2 nekolinearna vektorja), ki izhajajo iz te točke.

Pika O imenovan izvor; premice, ki potekajo skozi izhodišče v smeri baznih vektorjev, imenujemo koordinatne osi - abscisna, ordinatna in aplicirana os. Ravnine, ki potekajo skozi koordinatne osi, imenujemo koordinatne ravnine.

Upoštevajte poljubno točko v izbranem koordinatnem sistemu M. Uvedimo pojem koordinate točke M. Vektor, ki povezuje izhodišče s točko M. klical radijski vektor točke M.

Vektor v izbrani osnovi lahko povežemo s trojčkom števil - njegovimi koordinatami: .

Koordinate vektorskega radija točke M. klical koordinate točke M. v obravnavanem koordinatnem sistemu. M(x,y,z). Prva koordinata se imenuje abscisa, druga je ordinata, tretja pa aplikata.

Podobno so definirane kartezične koordinate na ravnini. Tu ima točka le dve koordinati - absciso in ordinato.

Preprosto je videti, da ima vsaka točka za določen koordinatni sistem določene koordinate. Po drugi strani pa za vsak trojček števil obstaja ena točka, ki ima ta števila kot koordinate.

Če imajo vektorji za osnovo v izbranem koordinatnem sistemu enotno dolžino in so v parih pravokotni, se koordinatni sistem imenuje Kartezični pravokotnik.

To je enostavno pokazati.

Smerni kosinusi vektorja popolnoma določajo njegovo smer, ne povedo pa ničesar o njegovi dolžini.

Reševanje problemov o ravnotežju konvergentnih sil s konstruiranjem zaprtih poligonov sil je povezano z okornimi konstrukcijami. Univerzalna metoda za reševanje takih problemov je prehod na določanje projekcij danih sil na koordinatne osi in delovanje s temi projekcijami. Os se imenuje ravna črta, ki ji je dodeljena določena smer.

Projekcija vektorja na os je skalarna vrednost, ki je določena z odsekom osi, odrezanim z navpičnicami, spuščenimi nanj z začetka in konca vektorja.

Projekcija vektorja se šteje za pozitivno, če smer od začetka projekcije do njenega konca sovpada s pozitivno smerjo osi. Projekcija vektorja se šteje za negativno, če je smer od začetka projekcije do njenega konca nasprotna pozitivni smeri osi.

Tako je projekcija sile na koordinatno os enaka produktu modula sile in kosinusa kota med vektorjem sile in pozitivno smerjo osi.

Razmislite o številnih primerih projiciranja sil na os:

Vektor sile F(slika 15) tvori oster kot s pozitivno smerjo osi x.

Da bi našli projekcijo, od začetka in konca vektorja sile spustimo pravokotnice na os oh; dobimo

1. Fx = F cosα

Projekcija vektorja je v tem primeru pozitivna

Sila F(slika 16) je s pozitivno smerjo osi X top kot α.

Potem F x= F cos α, a ker je α = 180 0 - φ,

F x= F cosα = F cos180 0 - φ =- F cos phi.

Projekcija sile F na os oh v tem primeru negativna.

Sila F(slika 17) pravokotno na os oh.

Projekcija sile F na os X nič

F x= F cos 90° = 0.

Sila, ki se nahaja na ravnini howe(slika 18), lahko projiciramo na dve koordinatni osi oh in OU.

Moč F lahko razdelimo na komponente: F x in F y . Vektorski modul F x je enak vektorski projekciji F na os vol, in modul vektorja F y je enak projekciji vektorja F na os oy.

Od Δ OAB: F x= F cosα, F x= F sinα.

Od Δ SLA: F x= F cos phi, F x= F sin phi.

Modul sile je mogoče najti s pomočjo Pitagorovega izreka:

Projekcija vektorske vsote ali rezultante na poljubno os je enaka algebraični vsoti projekcij členov vektorjev na isto os.

Razmislite o konvergentnih silah F 1 , F 2 , F 3 in F 4, (slika 19, a). Geometrična vsota ali rezultanta teh sil F določena z zapiralno stranjo poligona sil

Spusti iz oglišč poligona sil na os x pravokotnice.

Upoštevajoč dobljene projekcije sil neposredno iz izvedene konstrukcije, imamo

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

kjer je n število členov vektorjev. Njihove projekcije vstopajo v zgornjo enačbo z ustreznim predznakom.

V ravnini lahko geometrijsko vsoto sil projiciramo na dve koordinatni osi, v prostoru pa na tri.