Krožna enačba. Kartezične koordinate ravninskih točk. Enačba kroga Primeri enačbe kroga

Namen lekcije: predstavi enačbo kroga, nauči študente sestaviti enačbo kroga po končani risbi, zgraditi krog po dani enačbi.

Oprema: interaktivna tabla.

Učni načrt:

Organizacijski trenutek - 3 min.
Ponavljanje. Organizacija duševne dejavnosti - 7 min.
Razlaga nove snovi. Izpeljava enačbe kroga - 10 min.
Utrjevanje preučenega gradiva - 20 min.
Povzetek lekcije - 5 min.

Med poukom

2. Ponovitev:

− (Dodatek 1 diapozitiv 2) zapišite formulo za iskanje koordinat sredine segmenta;

− (Slide 3) Z napišite formulo za razdaljo med točkama (dolžino odseka).

3. Razlaga nove snovi.

(Prosojnice 4–6) Definiraj enačbo kroga. Izpeljite enačbe kroga s središčem v točki ( a;b) in s središčem v izhodišču.

(X – a ) 2 + (pri – b ) 2 = R 2 − enačba kroga s središčem OD (a;b) , polmer R , X in pri – koordinate poljubne točke na krožnici .

X 2 + y 2 = R 2 je enačba kroga s središčem v izhodišču.

(Slide 7)

Če želite napisati enačbo kroga, potrebujete:

poznati koordinate središča;
poznati dolžino polmera;
v enačbo kroga nadomestite koordinate središča in dolžino polmera.

4. Reševanje problemov.

V nalogah št. 1 - št. 6 sestavite enačbe kroga po končanih risbah.

(Slide 14)

№ 7. Izpolni tabelo.

(Slide 15)

№ 8. V zvezku sestavi kroge, ki jih dajejo enačbe:

a) ( X – 5) 2 + (pri + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (pri– 7) 2 = 7 2 .

(Slide 16)

№ 9. Poiščite koordinate središča in dolžino polmera, če AB je premer kroga.

podano:		Odločitev:
podano:		R	Središčne koordinate
1	IN(0 ; -6) AT(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	IN(0; -6) AT(0 ; 2) OD(0 ; – 2) – center
2	IN(-2 ; 0) AT(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	IN (-2;0) AT (4 ;0) OD(1 ; 0) – center

(17. diapozitiv)

№ 10. Napišite enačbo krožnice s središčem v izhodišču, ki poteka skozi točko Za(-12;5).

Odločitev.

R2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Obkrožite enačbo: x 2 + y 2 = 169 .

(Slide 18)

№ 11. Napišite enačbo za krožnico, ki poteka skozi izhodišče in ima središče v točki OD(3; - 1).

Odločitev.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Obkroži enačbo: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(19. diapozitiv)

№ 12. Napišite enačbo kroga s središčem IN(3;2) ki poteka skozi AT(7;5).

Odločitev.

1. Središče kroga - IN(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Krožna enačba ( X – 3) 2 + (pri − 2) 2 = 25.

(Slide 20)

№ 13. Preverite, ali točke lažejo IN(1; -1), AT(0;8), OD(-3; -1) na krogu, podanem z enačbo ( X + 3) 2 + (pri − 4) 2 = 25.

Odločitev.

jaz. Nadomestite koordinate točke IN(1; -1) v enačbo kroga:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - enakost ni pravilna, kar pomeni IN(1; -1) ne laže na krogu, podanem z enačbo ( X + 3) 2 + (pri − 4) 2 = 25.

II. Nadomestite koordinate točke AT(0;8) v enačbo kroga:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
AT(0;8)laži X + 3) 2 + (pri − 4) 2 = 25.

III. Nadomestite koordinate točke OD(-3; -1) v enačbo kroga:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - enakost velja, torej OD(-3; -1) laži na krogu, podanem z enačbo ( X + 3) 2 + (pri − 4) 2 = 25.

Povzetek lekcije.

Ponovimo: enačba kroga, enačba kroga s središčem v izhodišču.
(Slide 21) Domača naloga.

Analitična geometrija ponuja enotne metode za reševanje geometrijskih problemov. Za to se vse dane in želene točke in črte nanašajo na isti koordinatni sistem.

V koordinatnem sistemu lahko vsako točko označimo s svojimi koordinatami, vsako premico pa z enačbo z dvema neznankama, katere graf je ta premica. Tako se geometrijski problem reducira na algebraičnega, kjer so vse računske metode dobro razvite.

Krog je geometrijsko mesto točk z eno specifično lastnostjo (vsaka točka kroga je enako oddaljena od ene točke, imenovane središče). Enačba kroga mora odražati to lastnost, izpolnjevati ta pogoj.

Geometrična razlaga enačbe kroga je črta kroga.

Če postavimo krog v koordinatni sistem, potem vse točke kroga izpolnjujejo en pogoj - razdalja od njih do središča kroga mora biti enaka in enaka krogu.

Krog s središčem v točki IN in polmer R postavljeno v koordinatno ravnino.

Če koordinate središča (a;b) , in koordinate poljubne točke na krogu (x; y) , potem ima enačba kroga obliko:

Če je kvadrat polmera kroga enak vsoti kvadratov razlik ustreznih koordinat katerekoli točke na krogu in njegovega središča, potem je ta enačba enačba kroga v ravninskem koordinatnem sistemu.

Če središče kroga sovpada z izhodiščem, potem je kvadrat polmera kroga enak vsoti kvadratov koordinat katere koli točke na krogu. V tem primeru ima enačba kroga obliko:

Zato je vsak geometrijski lik kot geometrijsko mesto točk določen z enačbo, ki povezuje koordinate njegovih točk. Nasprotno pa enačba, ki povezuje koordinate X in pri , definirajte premico kot geometrijsko mesto točk v ravnini, katerih koordinate zadoščajo dani enačbi.

Primeri reševanja nalog o enačbi kroga

Naloga. Napišite enačbo za dani krog

Napišite enačbo za krog s središčem v točki O (2;-3) in polmerom 4.

Odločitev.
Obrnemo se na formulo enačbe kroga:
R 2 \u003d (x-a) 2 + (y-b) 2

Nadomestite vrednosti v formulo.
Polmer kroga R = 4
Koordinate središča kroga (glede na stanje)
a = 2
b=-3

Dobimo:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
oz
(x - 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Naloga. Ali točka pripada enačbi krožnice

Preverite, ali točka pripada A(2;3) enačba kroga (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .

Odločitev.
Če točka pripada krogu, potem njegove koordinate zadoščajo enačbi kroga.
Če želimo preveriti, ali točka z danimi koordinatami pripada krogu, vstavimo koordinate točke v enačbo danega kroga.

V enačbi ( x - 2) 2 + (l + 3) 2 = 16
v skladu s pogojem nadomestimo koordinate točke A (2; 3), tj
x=2
y=3

Preverimo resničnost dobljene enakosti
(x - 2) 2 + (l + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 enakopravnost je napačna

Torej dana točka ne pripadajo podana enačba kroga.

obseg je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od dane točke, imenovane središče.

Če je točka C središče kroga, R njegov polmer in M poljubna točka na krogu, potem po definiciji kroga

Enakost (1) je enačba kroga polmer R s središčem v točki C.

Naj bo pravokotni kartezični koordinatni sistem (slika 104) in točka C ( a; b) je središče kroga s polmerom R. Naj bo М( X; pri) je poljubna točka tega kroga.

Ker |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), potem lahko enačbo (1) zapišemo kot sledi:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Enačba (2) se imenuje splošna enačba kroga ali enačba kroga s polmerom R s središčem v točki ( a; b). Na primer enačba

(x - l) 2 + ( l + 3) 2 = 25

je enačba kroga s polmerom R = 5 s središčem v točki (1; -3).

Če središče kroga sovpada z izhodiščem, ima enačba (2) obliko

x 2 + pri 2 = R 2 . (3)

Enačba (3) se imenuje kanonična enačba kroga .

Naloga 1. Zapišite enačbo za krog s polmerom R = 7 s središčem v izhodišču.

Z neposredno zamenjavo vrednosti polmera v enačbo (3) dobimo

x 2 + pri 2 = 49.

Naloga 2. Zapišite enačbo za krog s polmerom R = 9 s središčem v točki C(3; -6).

Če zamenjamo vrednost koordinat točke C in vrednost polmera v formulo (2), dobimo

(X - 3) 2 + (pri- (-6)) 2 = 81 ali ( X - 3) 2 + (pri + 6) 2 = 81.

Naloga 3. Poiščite središče in polmer kroga

(X + 3) 2 + (pri-5) 2 =100.

Če primerjamo to enačbo z enačbo splošnega kroga (2), vidimo, da a = -3, b= 5, R = 10. Zato je S(-3; 5), R = 10.

Naloga 4. Dokaži, da je enačba

x 2 + pri 2 + 4X - 2l - 4 = 0

je enačba kroga. Poiščite njegovo središče in polmer.

Preoblikujemo levo stran te enačbe:

x 2 + 4X + 4- 4 + pri 2 - 2pri +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (pri - 1) 2 = 9.

Ta enačba je enačba kroga s središčem v (-2; 1); polmer kroga je 3.

Naloga 5. Zapišite enačbo krožnice s središčem v točki C(-1; -1), ki se dotika premice AB, če je A (2; -1), B(-1; 3).

Zapišimo enačbo premice AB:

ali 4 X + 3l-5 = 0.

Ker je krog tangenten na dano premico, je polmer, narisan do stične točke, pravokoten na to premico. Če želite najti polmer, morate najti razdaljo od točke C (-1; -1) - središča kroga do ravne črte 4 X + 3l-5 = 0:

Zapišimo enačbo želenega kroga

(x +1) 2 + (l +1) 2 = 144 / 25

Naj bo v pravokotnem koordinatnem sistemu podan krog x 2 + pri 2 = R 2 . Upoštevajte njegovo poljubno točko M( X; pri) (slika 105).

Pustimo radij vektor OM> točka M tvori magnitudni kot t s pozitivno smerjo osi O X, potem se abscisa in ordinata točke M spreminjata glede na t

(0 t x in y skozi t, najdemo

x= Rcos t ; l= R sin t , 0 t

Enačbe (4) imenujemo parametrične enačbe kroga s središčem v izhodišču.

Naloga 6. Krog je podan z enačbami

x= \(\sqrt(3)\)cos t, l= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Napišite kanonično enačbo za ta krog.

Iz pogoja izhaja x 2 = 3 cos 2 t, pri 2 = 3 greh 2 t. Če dodamo te enakosti člen za členom, dobimo

x 2 + pri 2 = 3(cos 2 t+ greh 2 t)

oz x 2 + pri 2 = 3

Naj ima krog polmer , središče pa je v točki
. Pika
leži na krožnici, če in samo če je modul vektorja
enako , to je. Zadnja enakost velja, če in samo če

Enačba (1) je enačba želenega kroga.

Enačba premice, ki poteka skozi dano točko, je pravokotna na dani vektor

pravokotno na vektor
.

Pika

in
so pravokotne. Vektorji
in
so pravokotne, če in samo če je njihov pikčasti produkt enak nič, tj.
. S pomočjo formule za izračun skalarnega produkta vektorjev, podanih z njihovimi koordinatami, zapišemo enačbo želene premice v obliki

Razmislite o primeru. Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi

sredina segmenta AB je pravokotna na ta segment, če so koordinate točk enake A (1; 6), B (5; 4).

Argumentirali bomo na naslednji način. Da bi našli enačbo premice, moramo poznati točko, skozi katero gre ta premica, in vektor, pravokoten na to premico. Vektor, pravokoten na to premico, bo vektor, saj je po pogoju problema premica pravokotna na segment AB. točka
določimo iz pogoja, da premica poteka skozi razpolovišče AB. Imamo . V to smer
in enačba bo dobila obliko.

Razjasnimo vprašanje, ali gre ta premica skozi točko M(7;3).

Imamo , kar pomeni, da ta črta ne poteka skozi navedeno točko.

Enačba premice, ki poteka skozi dano točko, vzporedno z danim vektorjem

Premica naj poteka skozi točko
vzporedno z vektorjem
.

Pika
leži na premici, če in samo če vektorji
in
kolinearni. Vektorji
in
so kolinearne, če in samo če so njihove koordinate sorazmerne, tj.

(3)

Dobljena enačba je enačba želene premice.

Enačbo (3) lahko predstavimo kot

, kje ima kakršno koli vrednost
.

Zato lahko pišemo

, kje
(4)

Sistem enačb (4) imenujemo parametrične enačbe premice.

Razmislite o primeru. Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi točke. Enačbo premice lahko sestavimo, če poznamo točko in nanjo vzporeden ali pravokoten vektor. Na voljo sta dve točki. Če pa dve točki ležita na premici, bo vektor, ki ju povezuje, vzporeden s to premico. Zato uporabimo enačbo (3) kot vektor
vektor
. Dobimo

(5)

Enačba (5) se imenuje enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki.

Splošna enačba premice

Opredelitev. Splošna enačba premice prvega reda na ravnini je enačba oblike
, kje
.

Izrek. Vsako premico v ravnini je mogoče podati kot enačbo premice prvega reda, vsaka enačba premice prvega reda pa je enačba neke premice v ravnini.

Prvi del tega izreka je enostavno dokazati. Na kateri koli vrstici lahko določite točko
vektor pravokoten nanj
. Potem ima enačba takšne premice po (2) obliko Označimo
. Potem bo enačba dobila obliko
.

Zdaj pa preidimo na drugi del izreka. Naj obstaja enačba
, kje
. Za gotovost bomo predpostavili
.

Prepišimo enačbo v obliki:

;

Razmislite o točki na ravnini
, kje
. Potem ima nastala enačba obliko , in je enačba premice, ki poteka skozi točko
pravokotno na vektor
. Izrek je dokazan.

V procesu dokazovanja izreka smo sproti dokazovali

Izjava.Če obstaja enačba ravne črte
, nato vektor
pravokotno na to premico.

Vrsta enačbe
imenujemo splošna enačba premice v ravnini.

Naj bo vrstica
in pika
. Potrebno je določiti razdaljo od določene točke do črte.

Razmislite o poljubni točki
na ravni liniji. Imamo
. Razdalja od točke
na premico je enak modulu projekcije vektorja
na vektor
pravokotno na to premico. Imamo

preoblikovanje, dobimo formulo:

Naj bosta premici podani s splošnimi enačbami

,
. Nato vektorji

pravokotno na prvo oziroma drugo črto. Kotiček
med premicami je enaka kotu med vektorji
,
.

Potem je formula za določitev kota med črtami:

Pogoj pravokotnosti črt ima obliko:

Premice so vzporedne ali sovpadajo, če in samo če so vektorji

kolinearni. pri čemer pogoj sovpadanja premic ima obliko:
,

in pogoj brez presečišča je zapisan kot:
. Zadnja dva pogoja dokažite sami.

Raziščimo obnašanje premice glede na njeno splošno enačbo.

Naj bo dana splošna enačba premice
. če
, potem premica poteka skozi izhodišče.

Razmislite o primeru, ko nobeden od koeficientov ni enak nič
. Enačbo prepišemo v obliki:

Kje
. Ugotovite pomen parametrov
. Poiščite točke presečišča premice s koordinatnimi osemi. pri
imamo
, in kdaj
imamo
. To je
- to so segmenti, ki so odrezani z ravno črto na koordinatnih oseh. Zato enačba
se imenuje enačba ravne črte v segmentih.

Kdaj
imamo

. Kdaj
imamo
. To pomeni, da bo črta vzporedna z osjo .

Spomni se tega naklon ravne črte se imenuje tangens kota naklona te premice na os
. Naj se ravna črta odreže na osi odsek črte in ima naklon . Naj bistvo
leži na tem

Potem
==. In enačba ravne črte bo zapisana v obliki

Premica naj poteka skozi točko
in ima naklon . Naj bistvo
leži na tej premici.

Potem =
.

Nastala enačba se imenuje enačba premice, ki poteka skozi dano točko z danim naklonom.

Naj sta podani dve vrstici
,
. Označimo
je kot med njima. Pustiti ,naklonski koti ustreznih premic na os X

Potem
=
,
.

Potem ima pogoj vzporednih premic obliko
, in pogoj pravokotnosti

Na koncu razmislimo o dveh težavah.

Naloga . Oglišča trikotnika ABC imajo koordinate: A(4;2), B(10;10), C(20;14).

Poiščite: a) enačbo in dolžino mediane, ki poteka iz oglišča A;

b) enačbo in dolžino višine, potegnjene iz oglišča A;

c) enačbo simetrale, ki poteka iz oglišča A;

Definirajmo enačbo mediane AM.

Točka M () je sredina segmenta BC.

Potem , . Zato ima točka M koordinate M(15;17). Srednja enačba v jeziku analitične geometrije je enačba premice, ki poteka skozi točko A (4; 2) vzporedno z vektorjem = (11; 15). Potem je mediana enačba Srednja dolžina AM= .

Enačba višine AS je enačba premice, ki poteka skozi točko A(4;2) pravokotno na vektor =(10;4). Potem je višinska enačba 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.

Dolžina višine je razdalja od točke A (4; 2) do premice BC. Ta premica poteka skozi točko B(10;10) vzporedno z vektorjem =(10;4). Njegova enačba je , 2x-5y+30=0. Razdalja AS od točke A(4;2) do premice BC je torej enaka AS= .

Za določitev enačbe simetrale poiščemo vektor, ki je vzporeden s to premico. Za to uporabimo lastnost diagonale romba. Če so enotski vektorji odmaknjeni od točke A in so enako usmerjeni z vektorji, bo vektor, ki je enak njihovi vsoti, vzporeden s simetralo. Potem imamo =+.

={6;8}, , ={16,12}, .

Potem = Vektor = (1; 1), kolinearen danemu, lahko služi kot smerni vektor želene premice. Potem je enačba želene premice x-y-2=0.

Naloga. Reka teče v ravni črti skozi točki A(4;3) in B(20;11). Rdeča kapica živi v točki C(4;8), njena babica pa v točki D(13;20). Vsako jutro Rdeča kapica iz hiše vzame prazno vedro, gre do reke, črpa vodo in jo odnese svoji babici. Poiščite najkrajšo pot za Rdečo kapico.

Poiščimo točko E, simetrično na babico, glede na reko.

Da bi to naredili, najprej poiščemo enačbo premice, po kateri teče reka. To enačbo lahko obravnavamo kot enačbo premice, ki poteka skozi točko A(4;3) vzporedno z vektorjem. Takrat ima enačba premice AB obliko.

Nato poiščemo enačbo premice DE, ki poteka skozi točko D pravokotno na AB. Lahko se obravnava kot enačba premice, ki poteka skozi točko D, pravokotno na vektor
. Imamo

Zdaj pa poiščimo točko S - projekcijo točke D na premico AB, kot presečišče premic AB in DE. Imamo sistem enačb

Zato ima točka S koordinate S(18;10).

Ker je S razpolovišče segmenta DE, potem .

Prav tako.

Zato ima točka E koordinate E(23;0).

Poiščimo enačbo premice CE, če poznamo koordinate dveh točk te premice

Točko M najdemo kot presečišče premic AB in CE.

Imamo sistem enačb

Zato ima točka M koordinate
.

Tema 2 Pojem enačbe površine v prostoru. Enačba krogle. Enačba ravnine, ki poteka skozi dano točko, je pravokotna na dani vektor. Splošna enačba ravnine in njena študija Pogoj vzporednosti dveh ravnin. Razdalja od točke do ravnine. Pojem enačbe premice. Ravna črta v prostoru. Kanonične in parametrične enačbe premice v prostoru. Enačbe premice, ki poteka skozi dve dani točki. Pogoji vzporednosti in pravokotnosti premice in ravnine.

Najprej definirajmo koncept enačbe površine v prostoru.

Pusti v vesolje
podana je neka površina . Enačba
se imenuje enačba površine če sta izpolnjena dva pogoja: