Seštevanje in odštevanje kompleksnih ulomkov. Seštevanje ulomkov

Vsebina lekcije

Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Obstajata dve vrsti seštevanja ulomkov:

1. Seštevanje ulomkov z enaki imenovalci
2. Seštevanje ulomkov z različne imenovalce

Najprej se naučimo seštevanja ulomkov z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen. Na primer, seštejmo ulomke in . Seštejte števce in pustite imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če dodate pico k pici, dobite pico:

Primer 2. Seštejte ulomke in.

Izkazalo se je, da je odgovor nepravilen ulomek. Ko pride naloga do konca, je običajno, da se znebimo nepravilnih ulomkov. Če se želite znebiti nepravilnega ulomka, morate izbrati njegov cel del. V našem primeru cel del zlahka izstopa - dva deljeno z dva je enako ena:

Ta primer je zlahka razumljiv, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na dva dela. Če pici dodate še pico, dobite eno celo pico:

Primer 3. Seštejte ulomke in.

Spet seštejemo števce in pustimo imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če pici dodate več pice, dobite pico:

Primer 4. Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Števce je treba sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen:

Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če dodate pico k pici in dodate še več pic, dobite 1 celo pico in več pic.

Kot lahko vidite, pri seštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite dodati ulomke z enakim imenovalcem, morate sešteti njihove števce in pustiti imenovalec nespremenjen;

Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Zdaj pa se naučimo seštevati ulomke z različnimi imenovalci. Pri seštevanju ulomkov morata biti imenovalca ulomkov enaka. Vendar niso vedno enaki.

Na primer, ulomke je mogoče sešteti, ker imajo enake imenovalce.

Toda ulomkov ni mogoče takoj sešteti, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Obstaja več načinov za zmanjšanje ulomkov na isti imenovalec. Danes si bomo ogledali samo enega od njih, saj se lahko druge metode začetniku zdijo zapletene.

Bistvo te metode je, da se najprej poišče LCM imenovalcev obeh ulomkov. LCM se nato deli z imenovalcem prvega ulomka, da dobimo prvi dodatni faktor. Enako storijo z drugim ulomkom - LCM se deli z imenovalcem drugega ulomka in dobi se drugi dodatni faktor.

Števci in imenovalci ulomkov se nato pomnožijo z njihovimi dodatnimi faktorji. Zaradi teh dejanj se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati.

Primer 1. Seštejmo ulomke in

Najprej poiščemo najmanjši skupni večkratnik imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 2. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 6

LCM (2 in 3) = 6

Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in . Najprej LCM delite z imenovalcem prvega ulomka in dobite prvi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 6 delimo s 3, dobimo 2.

Dobljeno število 2 je prvi dodatni množitelj. Zapišemo ga do prvega ulomka. Če želite to narediti, naredite majhno poševno črto čez ulomek in zapišite dodatni faktor, ki ga najdete nad njim:

Enako storimo z drugim ulomkom. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec drugega ulomka pa je število 2. 6 delimo z 2, dobimo 3.

Dobljeno število 3 je drugi dodatni množitelj. Zapišemo ga na drugi ulomek. Spet naredimo majhno poševno črto nad drugim ulomkom in zapišemo dodatni faktor, ki ga najdemo nad njim:

Zdaj imamo vse pripravljeno za dodajanje. Ostaja še pomnožiti števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji:

Poglejte dobro, do česa smo prišli. Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati. Vzemimo ta primer do konca:

S tem je primer zaključen. Izkazalo se je dodati.

Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če pici dodaš pico, dobiš eno celo pico in še eno šestino pice:

Zmanjševanje ulomkov na isti (skupni) imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec, dobili smo ulomke in . Ti dve frakciji bosta predstavljali enaki kosi pice. Razlika bo le v tem, da bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zreducirani na isti imenovalec).

Prva risba predstavlja ulomek (štirje kosi od šestih), druga risba pa ulomek (trije kosi od šestih). Če seštejemo te kose, dobimo (sedem kosov od šestih). Ta ulomek je nepravilen, zato smo izpostavili njegov cel del. Kot rezultat smo dobili (eno celo pico in še šesto pico).

Upoštevajte, da smo ta primer opisali preveč podrobno. V izobraževalnih ustanovah ni običajno pisati tako podrobno. Morate biti sposobni hitro najti LCM obeh imenovalcev in dodatnih faktorjev k njim, pa tudi hitro pomnožiti najdene dodatne faktorje s števci in imenovalci. Če bi bili v šoli, bi morali ta primer napisati takole:

A obstaja tudi druga plat medalje. Če si na prvih stopnjah študija matematike ne delate podrobnih zapiskov, se začnejo pojavljati tovrstna vprašanja. »Od kod ta številka?«, »Zakaj se ulomki nenadoma spremenijo v povsem druge ulomke? «.

Za lažje seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci lahko uporabite naslednja navodila po korakih:

1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov;
2. LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka in dobite dodatni faktor za vsak ulomek;
3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji;
4. Seštejte ulomke, ki imajo enake imenovalce;
5. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del;

Primer 2. Poiščite vrednost izraza .

Uporabimo zgoraj navedena navodila.

Korak 1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov

Poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec ulomkov so števila 2, 3 in 4

2. korak. Delite LCM z imenovalcem vsakega ulomka in pridobite dodatni faktor za vsak ulomek

LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 2. 12 delimo z 2, dobimo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad prvi ulomek:

Zdaj LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Dobimo drugi dodatni faktor 4. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:

Zdaj LCM delimo z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 12, imenovalec tretjega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Dobimo tretji dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:

Korak 3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji

Števce in imenovalce pomnožimo z njihovimi dodatnimi faktorji:

Korak 4. Dodajte ulomke z enakimi imenovalci

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. Vse kar ostane je, da te ulomke seštejemo. Dodajte:

Dodatek ni sodil v eno vrstico, zato smo preostali izraz premaknili v naslednjo vrstico. To je v matematiki dovoljeno. Ko izraz ne sodi v eno vrstico, se premakne v naslednjo vrstico, na koncu prve vrstice in na začetku nove vrstice pa je treba postaviti enačaj (=). Znak enačaja v drugi vrstici pomeni, da je to nadaljevanje izraza, ki je bil v prvi vrstici.

Korak 5. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del

Izkazalo se je, da je naš odgovor nepravilen ulomek. Izpostaviti moramo cel del tega. Izpostavljamo:

Dobili smo odgovor

Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Obstajata dve vrsti odštevanja ulomkov:

1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Najprej se naučimo odštevati ulomke z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka, imenovalec pa pustiti enak.

Na primer, poiščimo vrednost izraza. Če želite rešiti ta primer, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec nespremenjen. Naredimo to:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:

Primer 2. Poiščite vrednost izraza.

Spet od števca prvega ulomka odštejemo števec drugega ulomka in pustimo imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:

Primer 3. Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Od števca prvega ulomka morate odšteti števce preostalih ulomkov:

Kot lahko vidite, pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec nespremenjen;
2. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.

Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Od ulomka lahko na primer odštejete ulomek, ker imata ulomka enake imenovalce. Toda ulomka ne morete odšteti od ulomka, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Skupni imenovalec najdemo po istem principu, kot smo ga uporabili pri seštevanju ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Nato LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor, ki je zapisan nad prvim ulomkom. Podobno LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor, ki je zapisan nad drugim ulomkom.

Ulomki se nato pomnožijo z dodatnimi faktorji. Kot rezultat teh operacij se ulomki z različnimi imenovalci pretvorijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti.

Primer 1. Poiščite pomen izraza:

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Najprej poiščemo LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 4. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 12

LCM (3 in 4) = 12

Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in

Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. To naredite tako, da LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Nad prvim ulomkom napiši štirico:

Enako storimo z drugim ulomkom. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Čez drugi ulomek napišemo trojko:

Zdaj smo pripravljeni na odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Vzemimo ta primer do konca:

Dobili smo odgovor

Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če iz pice odrežete pico, dobite pico

to podrobna različica rešitve. Če bi bili v šoli, bi morali ta primer reševati krajše. Takšna rešitev bi izgledala takole:

Zmanjševanje ulomkov na skupni imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Z zmanjšanjem teh ulomkov na skupni imenovalec smo dobili ulomke in . Ti ulomki bodo predstavljeni z enakimi rezinami pice, vendar bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zmanjšane na isti imenovalec):

Na prvi sliki je ulomek (osem kosov od dvanajstih), na drugi sliki pa ulomek (trije koščki od dvanajstih). Če iz osmih kosov izrežemo tri, dobimo od dvanajstih pet kosov. Ulomek opisuje teh pet kosov.

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate najprej reducirati na isti (skupni) imenovalec.

Poiščimo LCM imenovalcev teh ulomkov.

Imenovalec ulomkov so števila 10, 3 in 5. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Zdaj najdemo dodatne faktorje za vsak ulomek. To naredite tako, da LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka.

Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. LCM je število 30, imenovalec prvega ulomka pa je število 10. Če 30 delimo z 10, dobimo prvi dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad prvi ulomek:

Zdaj najdemo dodatni faktor za drugi ulomek. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 30, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. Če 30 delimo s 3, dobimo drugi dodatni faktor 10. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:

Zdaj najdemo dodatni faktor za tretji ulomek. LCM delite z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 30, imenovalec tretjega ulomka pa je število 5. 30 delimo s 5, dobimo tretji dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:

Zdaj je vse pripravljeno za odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Končajmo ta primer.

Nadaljevanje primera ne bo šlo v eno vrstico, zato nadaljevanje premaknemo v naslednjo vrstico. Ne pozabite na enačaj (=) v novi vrstici:

Izkazalo se je, da je odgovor navaden ulomek in zdi se, da nam vse ustreza, vendar je preveč okoren in grd. Morali bi ga poenostaviti. Kaj se lahko naredi? Ta ulomek lahko skrajšate.

Če želite skrajšati ulomek, morate njegov števec in imenovalec deliti z (NOT) števil 20 in 30.

Torej, najdemo gcd številk 20 in 30:

Zdaj se vrnemo k našemu primeru in delimo števec in imenovalec ulomka z najdenim gcd, to je z 10

Dobili smo odgovor

Množenje ulomka s številom

Če želite pomnožiti ulomek s številom, morate števec danega ulomka pomnožiti s tem številom in pustiti imenovalec enak.

Primer 1. Pomnoži ulomek s številom 1.

Števec ulomka pomnožite s številom 1

Posnetek je mogoče razumeti, kot da traja polovico 1 časa. Na primer, če enkrat vzamete pico, jo dobite

Iz zakonov množenja vemo, da se zmnožek ne spremeni, če zamenjata množitelj in faktor. Če je izraz zapisan kot , bo produkt še vedno enak . Spet velja pravilo za množenje celega števila in ulomka:

Ta zapis lahko razumemo kot polovico enega. Na primer, če je 1 cela pica in jo vzamemo polovico, potem bomo imeli pico:

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec ulomka s 4

Odgovor je bil nepravilen ulomek. Naj izpostavimo celoten del:

Izraz lahko razumemo tako, da vzamemo dve četrtini 4-krat. Na primer, če vzamete 4 pice, boste dobili dve celi pici

In če zamenjamo množitelj in množitelj, dobimo izraz . Prav tako bo enako 2. Ta izraz lahko razumemo kot vzeti dve pici iz štirih celih pic:

Množenje ulomkov

Če želite pomnožiti ulomke, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.

Primer 1. Poiščite vrednost izraza.

Dobili smo odgovor. Ta delež je priporočljivo zmanjšati. Ulomek lahko zmanjšamo za 2. Potem bo končna rešitev imela naslednjo obliko:

Izraz lahko razumemo kot vzeti pico iz polovice pice. Recimo, da imamo pol pice:

Kako od te polovice vzeti dve tretjini? Najprej morate to polovico razdeliti na tri enake dele:

In vzemite dva od teh treh kosov:

Naredili bomo pico. Spomnite se, kako izgleda pica, če jo razdelite na tri dele:

En kos te pice in dva kosa, ki sva jih vzela, bodo imeli enake dimenzije:

Z drugimi besedami, govorimo o približno enako velika pica. Zato je vrednost izraza

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:

Odgovor je bil nepravilen ulomek. Naj izpostavimo celoten del:

Primer 3. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:

Izkazalo se je, da je odgovor navadni ulomek, vendar bi bilo dobro, če bi ga skrajšali. Če želite zmanjšati ta ulomek, morate števec in imenovalec tega ulomka deliti z največjim skupni delilnik(GCD) številki 105 in 450.

Torej, poiščimo gcd števil 105 in 450:

Zdaj delimo števec in imenovalec našega odgovora z gcd, ki smo ga zdaj našli, to je s 15

Predstavitev celega števila kot ulomka

Vsako celo število je mogoče predstaviti kot ulomek. Na primer, številko 5 lahko predstavimo kot. To ne bo spremenilo pomena pet, saj izraz pomeni "število pet deljeno z ena", to pa je, kot vemo, enako pet:

Vzajemna števila

Zdaj se bomo seznanili z zelo zanimiva tema v matematiki. Imenuje se "obratne številke".

Opredelitev. Obrnite na številkoa je število, ki ga pomnožimo sa daje enega.

V tej definiciji zamenjajmo namesto spremenljivke aštevilko 5 in poskusite prebrati definicijo:

Obrnite na številko 5 je število, ki ga pomnožimo s 5 daje enega.

Ali je mogoče najti število, ki, če ga pomnožimo s 5, da ena? Izkazalo se je, da je to mogoče. Predstavljajmo si pet kot ulomek:

Nato pomnožite ta ulomek sam s seboj, samo zamenjajte števec in imenovalec. Z drugimi besedami, pomnožimo ulomek samega s seboj, samo na glavo:

Kaj se bo zgodilo zaradi tega? Če nadaljujemo z reševanjem tega primera, dobimo enega:

To pomeni, da je inverzno število 5 število , saj ko 5 pomnožite z, dobite ena.

Recipročno vrednost števila je mogoče najti tudi za katero koli drugo celo število.

Poiščete lahko tudi recipročno vrednost katerega koli drugega ulomka. Če želite to narediti, ga obrnite.

Deljenje ulomka s številom

Recimo, da imamo pol pice:

Razdelimo ga enakomerno na dva. Koliko pice bo dobil vsak?

Vidimo, da smo po razdelitvi pice na polovico dobili dva enaka kosa, od katerih vsak predstavlja pico. Tako vsak dobi pico.

Delitev ulomkov poteka z uporabo recipročnih vrednosti. Vzajemna števila omogočajo zamenjavo deljenja z množenjem.

Če želite deliti ulomek s številom, morate ulomek pomnožiti z obratno vrednostjo delitelja.

S pomočjo tega pravila bomo zapisali razdelitev naše polovice pice na dva dela.

Torej, ulomek morate razdeliti s številko 2. Tu je dividenda ulomek, delitelj pa število 2.

Če želite deliti ulomek s številom 2, morate ta ulomek pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja 2. Recipročna vrednost delitelja 2 je ulomek. Torej morate pomnožiti s

Pravila za seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci so zelo preprosta.

Oglejmo si pravila za seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci korak za korakom:

1. Poiščite LCM (najmanjši skupni večkratnik) imenovalcev. Dobljeni LCM bo skupni imenovalec ulomkov;

2. Zreducirajte ulomke na skupni imenovalec;

3. Seštej ulomke, reducirane na skupni imenovalec.

Vklopljeno preprost primer Naučimo se uporabljati pravila za seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Primer

Primer seštevanja ulomkov z različnimi imenovalci.

Seštejte ulomke z različnimi imenovalci:

1	+	5
6		12

Odločali se bomo korak za korakom.

1. Poiščite LCM (najmanjši skupni večkratnik) imenovalcev.

Število 12 je deljivo s 6.

Iz tega sklepamo, da je 12 najmanjši skupni večkratnik števil 6 in 12.

Odgovor: število števil 6 in 12 je 12:

LCM(6, 12) = 12

Dobljeni LCM bo skupni imenovalec dveh ulomkov 1/6 in 5/12.

2. Zreducirajte ulomke na skupni imenovalec.

V našem primeru je treba le prvi ulomek zmanjšati na skupni imenovalec 12, ker ima drugi ulomek že imenovalec 12.

Skupni imenovalec 12 delite z imenovalcem prvega ulomka:

2 ima dodaten množitelj.

Pomnožite števec in imenovalec prvega ulomka (1/6) z dodatnim faktorjem 2.

Vaš otrok je prinesel Domača naloga iz šole in ne veš, kako bi to rešil? Potem je ta mini lekcija za vas!

Kako sešteti decimalke

Bolj priročno je dodati decimalne ulomke v stolpcu. Za izvedbo seštevanja decimalke, morate upoštevati eno preprosto pravilo:

• Mesto mora biti pod mestom, vejica pod vejico.

Kot lahko vidite v primeru, se cele enote nahajajo druga pod drugo, desetinke in stotinke pa ena pod drugo. Sedaj seštevamo števila, pri čemer ne upoštevamo vejice. Kaj storiti z vejico? Vejica se premakne na mesto, kjer je stala v kategoriji celo število.

Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Če želite izvesti seštevanje s skupnim imenovalcem, morate ohraniti imenovalec nespremenjen, poiskati vsoto števcev in dobiti ulomek, ki bo skupna vsota.

Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci z metodo skupnega večkratnika

Prva stvar, na katero morate biti pozorni, so imenovalci. Imenovalci so različni, ali niso med seboj deljivi, ali praštevila. Najprej ga moramo spraviti na en skupni imenovalec; to lahko storimo na več načinov:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, moramo za rešitev tega primera najti najmanjši skupni večkratnik (LCM), ki bo deljiv z 2 imenovalcema. Za označevanje najmanjšega večkratnika a in b – LCM (a;b). V tem primeru LCM (3;4)=12. Preverimo: 12:3=4; 12:4=3.
• Faktorje pomnožimo in dobljena števila seštejemo, dobimo 13/12 - nepravilen ulomek.

• Da nepravi ulomek pretvorimo v pravilnega, števec delimo z imenovalcem, dobimo celo število 1, ostanek 1 je števec, 12 pa imenovalec.

Seštevanje ulomkov z metodo navzkrižnega množenja

Če želite dodati ulomke z različnimi imenovalci, obstaja še ena metoda, ki uporablja formulo "križ v križ". To je zajamčen način za izenačitev imenovalcev; za to morate števce pomnožiti z imenovalcem enega ulomka in obratno. Če ste ravno na začetni fazi preučevanje ulomkov, potem je ta metoda najpreprostejši in najbolj natančen način za pravilen rezultat pri seštevanju ulomkov z različnimi imenovalci.

Nadaljujmo s preučevanjem ulomkov. Danes bomo govorili o njihovi primerjavi. Tema je zanimiva in uporabna. Začetniku bo omogočilo, da se počuti kot znanstvenik v belem plašču.

Bistvo primerjanja ulomkov je ugotoviti, kateri od dveh ulomkov je večji ali manjši.

Za odgovor na vprašanje, kateri od dveh ulomkov je večji ali manjši, uporabite več (>) ali manj (<).

Matematiki so že poskrbeli za pripravljena pravila, ki jim omogočajo, da takoj odgovorijo na vprašanje, kateri ulomek je večji in kateri manjši. Ta pravila je mogoče varno uporabljati.

Ogledali si bomo vsa ta pravila in poskušali ugotoviti, zakaj se to zgodi.

Vsebina lekcije

Primerjanje ulomkov z enakimi imenovalci

Ulomki, ki jih je treba primerjati, so različni. Najboljši primer je, če imajo ulomki enake imenovalce, a različne števce. V tem primeru velja naslednje pravilo:

Od dveh ulomkov z enakim imenovalcem je večji ulomek z večjim števcem. In v skladu s tem bo ulomek z manjšim števcem manjši.

Primerjajmo na primer ulomke in odgovorimo, kateri od teh ulomkov je večji. Tukaj so imenovalci enaki, števci pa različni. Ulomek ima večji števec kot ulomek. To pomeni, da je ulomek večji od . Tako odgovarjamo. Odgovoriti morate z ikono več (>)

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Obstaja več pic kot pic:

Vsi se bodo strinjali, da je prva pica večja od druge.

Primerjanje ulomkov z enakimi števci

Naslednji primer, v katerega se lahko lotimo, je, ko so števci ulomkov enaki, imenovalci pa različni. Za takšne primere velja naslednje pravilo:

Od dveh ulomkov z enakima števcema je večji ulomek z manjšim imenovalcem. In v skladu s tem je ulomek, katerega imenovalec je večji, manjši.

Na primer, primerjajmo ulomke in . Ti ulomki enaki števniki. Ulomek ima manjši imenovalec kot ulomek. To pomeni, da je ulomek večji od ulomka. Torej odgovarjamo:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri in štiri dele. Obstaja več pic kot pic:

Vsi se bodo strinjali, da je prva pica večja od druge.

Primerjanje ulomkov z različnimi števci in imenovalci

Pogosto se zgodi, da moraš primerjati ulomke z različnimi števci in različnimi imenovalci.

Na primer, primerjajte ulomke in . Če želite odgovoriti na vprašanje, kateri od teh ulomkov je večji ali manjši, jih morate pripeljati na isti (skupni) imenovalec. Potem lahko enostavno ugotovite, kateri ulomek je večji ali manjši.

Spravimo ulomke na isti (skupni) imenovalec. Poiščimo LCM imenovalcev obeh ulomkov. LCM imenovalcev ulomkov in to je število 6.

Zdaj najdemo dodatne faktorje za vsak ulomek. Delimo LCM z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 6, imenovalec prvega ulomka pa je število 2. Če 6 delimo z 2, dobimo dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad prvi ulomek:

Zdaj pa poiščimo drugi dodatni faktor. Delimo LCM z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 6, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. Če 6 delimo s 3, dobimo dodatni faktor 2. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:

Pomnožimo ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo primerjati. Od dveh ulomkov z enakim imenovalcem je večji ulomek z večjim števcem:

Pravilo je pravilo in poskušali bomo ugotoviti, zakaj je več kot . Če želite to narediti, izberite cel del v ulomku. V ulomku ni treba ničesar poudarjati, saj je ulomek že pravi.

Po izolaciji celega dela v ulomku dobimo naslednji izraz:

Zdaj lahko zlahka razumete, zakaj več kot . Narišimo te ulomke kot pice:

2 celi pici in pice, več kot pice.

Odštevanje mešanih števil. Težki primeri.

Pri odštevanju mešanih števil lahko včasih ugotovite, da stvari ne gredo tako gladko, kot bi si želeli. Pogosto se zgodi, da pri reševanju primera odgovor ni tak, kot bi moral biti.

Pri odštevanju števil mora biti manjšec večji od odštevanca. Samo v tem primeru bo prejet normalen odgovor.

Na primer, 10−8=2

10 - zmanjšano

8 - subtrahend

2 - razlika

Minuend 10 je večji od subtrahenda 8, zato dobimo običajni odgovor 2.

Zdaj pa poglejmo, kaj se zgodi, če je minuend manjši od subtrahenda. Primer 5−7=−2

5—zmanjšljivo

7 - subtrahend

−2 — razlika

V tem primeru presežemo meje števil, ki smo jih navajeni, in se znajdemo v svetu negativnih števil, kamor je za nas še prezgodaj in celo nevarno. Za delo negativna števila, potrebujemo ustrezno matematično izobrazbo, ki je še nismo bili deležni.

Če pri reševanju primerov odštevanja ugotovite, da je odštevanec manjši od odštevanca, potem lahko tak primer za zdaj preskočite. Z negativnimi števili je dovoljeno delati šele po njihovem preučevanju.

Enako je z ulomki. Minuend mora biti večji od subtrahenda. Samo v tem primeru bo mogoče dobiti normalen odgovor. In da bi razumeli, ali je ulomek, ki ga zmanjšujemo, večji od ulomka, ki ga odštejemo, morate biti sposobni primerjati te ulomke.

Na primer, rešimo primer.

To je primer odštevanja. Če ga želite rešiti, morate preveriti, ali je ulomek, ki ga zmanjšujete, večji od ulomka, ki ga odštevate. več kot

tako da se lahko varno vrnemo k primeru in ga rešimo:

Zdaj pa rešimo ta primer

Preverimo, ali je ulomek, ki ga zmanjšujemo, večji od ulomka, ki ga odštevamo. Ugotavljamo, da je manj:

V tem primeru je pametneje ustaviti in ne nadaljevati z nadaljnjim izračunom. Vrnimo se k temu primeru, ko preučujemo negativna števila.

Priporočljivo je tudi, da pred odštevanjem preverite mešana števila. Na primer, poiščimo vrednost izraza.

Najprej preverimo, ali je mešano število, ki ga zmanjšujemo, večje od mešanega števila, ki ga odštevamo. Da bi to naredili, pretvorimo mešana števila v nepravilne ulomke:

Dobili smo ulomke z različnimi števci in različnimi imenovalci. Če želite primerjati takšne ulomke, jih morate pripeljati na isti (skupni) imenovalec. Ne bomo podrobno opisali, kako to storiti. Če imate težave, ne pozabite ponoviti.

Ko ulomke reduciramo na isti imenovalec, dobimo naslednji izraz:

Zdaj morate primerjati ulomke in . To so ulomki z enakimi imenovalci. Od dveh ulomkov z enakim imenovalcem je večji ulomek z večjim števcem.

Ulomek ima večji števec kot ulomek. To pomeni, da je ulomek večji od ulomka.

To pomeni, da je minuend večji od subtrahenda

To pomeni, da se lahko vrnemo k našemu primeru in ga varno rešimo:

Primer 3. Poiščite vrednost izraza

Preverimo, ali je manjšec večji od odštevanca.

Pretvorimo mešana števila v nepravilne ulomke:

Dobili smo ulomke z različnimi števci in različnimi imenovalci. Zreducirajmo te ulomke na isti (skupni) imenovalec.