Izrek o lastnostih linearnih kotov. Iskanje kota med ravninama (diedrski kot). Oglejte si, kaj je "linearni kot" v drugih slovarjih

Diedrski kot. Linearni diedrski kot. Diedrski kot je lik, ki ga tvorita dve polravnini, ki ne pripadata isti ravnini in imata skupno mejo – premico a. Polravnini, ki sestavljata diedrski kot, imenujemo njegove ploskve, skupno mejo teh polravnin pa imenujemo rob diedrskega kota. Linearni kot diedrskega kota je kot, katerega stranice so žarki, po katerih sekajo ploskve diedrskega kota ravnina, pravokotna na rob diedrskega kota. Vsak diedrski kot ima poljubno število linearnih kotov: skozi vsako točko roba lahko narišemo ravnino, pravokotno na ta rob; Žarki, po katerih ta ravnina seka ploskve diedričnega kota, tvorijo linearne kote.

Vsi linearni koti diedrskega kota so med seboj enaki. Dokažimo, da če so diedrski koti, ki jih tvorita ravnina osnove piramide KABC in ravnine njenih stranskih ploskev enaki, potem je osnovica navpičnice, narisane iz oglišča K, središče včrtanega kroga v trikotniku ABC.

Dokaz. Najprej sestavimo linearne kote enakih diedrskih kotov. Po definiciji mora biti ravnina linearnega kota pravokotna na rob diedričnega kota. Zato mora biti rob dvostranskega kota pravokoten na stranice linearnega kota. Če je KO pravokotna na osnovno ravnino, potem lahko narišemo OR pravokotno AC, ALI pravokotno SV, OQ pravokotno AB in nato povežemo točke P, Q, R S točko K. Tako bomo zgradili projekcijo nagnjenih RK, QK , RK tako, da so robovi AC, NE, AB pravokotni na te projekcije. Posledično so ti robovi pravokotni na same nagnjene. In zato so ravnine trikotnikov ROK, QOK, ROK pravokotne na ustrezne robove diedričnega kota in tvorijo tiste enake linearne kote, ki so omenjeni v pogoju. Pravokotni trikotniki ROK, QOK, ROK so skladni (ker imajo skupen krak OK in sta nasprotna kota temu kraku enaka). Zato je OR = OR = OQ. Če narišemo krožnico s središčem O in polmerom OP, potem so stranice trikotnika ABC pravokotne na polmere OP, OR in OQ in se torej dotikajo te krožnice.

Pravokotnost ravnin. Ravnini alfa in beta pravimo pravokotni, če je linearni kot enega od diedrskih kotov, ki nastane v njunem presečišču, enak 90." Znaki pravokotnosti dveh ravnin Če ena od obeh ravnin poteka skozi premico, pravokotno na drugo ravnino, potem sta ti ravnini pravokotni.

Slika prikazuje pravokotni paralelopiped. Njegovi osnovi sta pravokotnika ABCD in A1B1C1D1. In stranska rebra AA1 BB1, CC1, DD1 so pravokotna na osnove. Iz tega sledi, da je AA1 pravokoten na AB, torej je stranska ploskev pravokotnik. Tako lahko utemeljimo lastnosti pravokotnega paralelepipeda: V pravokotnem paralelepipedu je vseh šest ploskev pravokotnikov. V pravokotnem paralelepipedu je vseh šest ploskev pravokotnikov. Vsi diedrski koti pravokotnega paralelepipeda so pravi koti. Vsi diedrski koti pravokotnega paralelepipeda so pravi koti.

Izrek Kvadrat diagonale pravokotnega paralelepipeda je enak vsoti kvadratov njegovih treh dimenzij. Ponovno se obrnemo na sliko in dokažimo, da je AC12 = AB2 + AD2 + AA12. Ker je rob CC1 pravokoten na osnovo ABCD, je kot ACC1 pravi. Iz pravokotnega trikotnika ACC1 z uporabo Pitagorovega izreka dobimo AC12 = AC2 + CC12. Toda AC je diagonala pravokotnika ABCD, torej AC2 = AB2 + AD2. Poleg tega je CC1 = AA1. Zato je AC12= AB2+AD2+AA12 Izrek je dokazan.

PREPIS BESEDILA LEKCIJE:

V planimetriji so glavni predmeti črte, odseki, žarki in točke. Žarki, ki izhajajo iz ene točke, tvorijo eno od njihovih geometrijskih oblik - kot.

Vemo, da se linearni kot meri v stopinjah in radianih.

V stereometriji se predmetom doda ravnina. Lik, ki ga tvorita premica a in dve polravnini s skupno mejo a, ki ne pripadata isti ravnini, se v geometriji imenuje diedrski kot. Polravnine so ploskve diedrskega kota. Premica a je rob diedrskega kota.

Diedrski kot, tako kot linearni kot, je mogoče poimenovati, izmeriti in sestaviti. To moramo ugotoviti v tej lekciji.

Poiščimo diedrski kot na modelu tetraedra ABCD.

Diedrski kot z robom AB se imenuje CABD, kjer točki C in D pripadata različnima ploskvama kota, rob AB pa se imenuje na sredini

Okoli nas je kar veliko predmetov z elementi v obliki diedričnega kota.

V mnogih mestih so v parkih nameščene posebne klopi za spravo. Klop je izdelana v obliki dveh nagnjenih ravnin, ki se zbližata proti sredini.

Pri gradnji hiš se pogosto uporablja tako imenovana dvokapnica. Na tej hiši je streha izdelana v obliki diedričnega kota 90 stopinj.

Diedrski kot se meri tudi v stopinjah ali radianih, a kako ga izmeriti.

Zanimiv je podatek, da strehe hiš slonijo na špirovcih. In špirovski plašč tvori dve strešni pobočji pod določenim kotom.

Prenesimo sliko na risbo. Na risbi je za iskanje diedričnega kota na njegovem robu označena točka B. Iz te točke sta pravokotna na rob kota narisana žarka BA in BC. Kot ABC, ki ga tvorijo ti žarki, imenujemo linearni diedrski kot.

Stopinska mera diedrskega kota je enaka stopinjski meri njegovega linearnega kota.

Izmerimo kot AOB.

Stopinjska mera danega diedrskega kota je šestdeset stopinj.

Za diedrski kot lahko narišemo neskončno veliko linearnih kotov, pri čemer je treba vedeti, da so vsi enaki.

Oglejmo si dva linearna kota AOB in A1O1B1. Žarka OA in O1A1 ležita na isti ploskvi in ​​sta pravokotna na premico OO1, torej sta sosmerna. Sousmerjena sta tudi žarka OB in O1B1. Zato je kot AOB enak kotu A1O1B1 kot kota s sosmernima stranicama.

Torej je diedrski kot označen s linearnim kotom, linearni koti pa so ostri, top in pravi. Razmislimo o modelih diedrskih kotov.

Topi kot je, če je njegov linearni kot med 90 in 180 stopinj.

Pravi kot, če je njegov linearni kot 90 stopinj.

Ostri kot, če je njegov linearni kot od 0 do 90 stopinj.

Dokažimo eno od pomembnih lastnosti linearnega kota.

Ravnina linearnega kota je pravokotna na rob diedrskega kota.

Naj bo kot AOB linearni kot danega diedrskega kota. Po konstrukciji sta žarka AO in OB pravokotna na premico a.

Skozi dve sečni premici AO in OB poteka ravnina AOB po izreku: Skozi dve sečni premici poteka ravnina in samo ena.

Premica a je pravokotna na dve sekajoči se premici, ki ležita v tej ravnini, kar pomeni, glede na pravokotnost premice in ravnine, da je premica a pravokotna na ravnino AOB.

Za reševanje problemov je pomembno, da znamo konstruirati linearni kot danega diedričnega kota. Konstruirajte linearni kot diedrskega kota z robom AB za tetraeder ABCD.

Govorimo o diedrskem kotu, ki ga najprej tvori rob AB, ena ploskev ABD in druga ploskev ABC.

Tukaj je en način, kako ga zgraditi.

Na ravnino ABC narišimo navpičnico iz točke D. Za osnovo navpičnice označimo točko M. Spomnimo se, da v tetraedru osnova navpičnice sovpada s središčem včrtanega kroga na dnu tetraedra.

Narišimo nagnjeno premico iz točke D pravokotno na rob AB, točko N označimo kot osnovo nagnjene premice.

V trikotniku DMN bo odsek NM projekcija nagnjene DN na ravnino ABC. Po izreku treh navpičnic bo rob AB pravokoten na projekcijo NM.

To pomeni, da sta stranici kota DNM pravokotni na rob AB, kar pomeni, da je sestavljeni kot DNM želeni linearni kot.

Oglejmo si primer reševanja problema izračuna diedričnega kota.

Enakokraki trikotnik ABC in pravilni trikotnik ADB ne ležita v isti ravnini. Odsek CD je pravokoten na ravnino ADB. Poišči diedrski kot DABC, če je AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.

Diedrski kot DABC je enak njegovemu linearnemu kotu. Zgradimo ta kot.

Narišimo nagnjeno CM pravokotno na rob AB, ker je trikotnik ACB enakokrak, potem bo točka M sovpadala s sredino roba AB.

Premica CD je pravokotna na ravnino ADB, kar pomeni, da je pravokotna na premico DM, ki leži v tej ravnini. In segment MD je projekcija nagnjene CM na ravnino ADV.

Premica AB je po konstrukciji pravokotna na nagnjeno CM, kar pomeni, da je po izreku treh navpičnic pravokotna na projekcijo MD.

Torej sta najdeni navpičnici CM in DM na rob AB. To pomeni, da tvorijo linearni kot CMD diedričnega kota DABC. In vse, kar moramo storiti, je, da ga najdemo iz pravokotnega trikotnika CDM.

Torej je odsek SM mediana in višina enakokrakega trikotnika ACB, potem je po Pitagorovem izreku krak SM enak 4 cm.

Iz pravokotnega trikotnika DMB je po Pitagorovem izreku krak DM enak dvema korenoma iz tri.

Kosinus kota iz pravokotnega trikotnika je enak razmerju sosednjega kraka MD do hipotenuze CM in je enak trem korenom iz tri krat dva. To pomeni, da je kot CMD 30 stopinj.

Ta lekcija je namenjena samostojnemu študiju teme "Dvostranski kot". V tej lekciji se bodo učenci seznanili z eno najpomembnejših geometrijskih oblik, diedrskim kotom. Tudi v lekciji se bomo naučili, kako določiti linearni kot obravnavane geometrijske figure in kakšen je diedrski kot na dnu figure.

Ponovimo, kaj je kot na ravnini in kako se meri.

riž. 1. Letalo

Oglejmo si ravnino α (slika 1). Od točke O dva žarka izhajata - OB in OA.

Opredelitev. Lik, ki ga tvorita dva žarka, ki izhajata iz ene točke, se imenuje kot.

Kot se meri v stopinjah in radianih.

Spomnimo se, kaj je radian.

riž. 2. Radian

Če imamo središčni kot, katerega ločna dolžina je enaka polmeru, potem se tak središčni kot imenuje kot 1 radiana. ,∠ AOB= 1 rad (slika 2).

Razmerje med radiani in stopinjami.

vesel.

Razumemo, vesel sem. (). potem,

Opredelitev. Diedrski kot imenujemo lik, ki ga tvori ravna črta A in dve polravnini s skupno mejo A, ki ne pripadajo isti ravnini.

riž. 3. Polravnine

Oglejmo si dve polravnini α in β (slika 3). Njihova skupna meja je A. Ta slika se imenuje diedrski kot.

Terminologija

Polravnini α in β sta ploskvi diedrskega kota.

Naravnost A je rob diedričnega kota.

Na skupnem robu A diedrski kot, izberite poljubno točko O(slika 4). V polravnini α iz točke O obnovite pravokotno OA na ravno črto A. Iz iste točke O v drugi polravnini β sestavimo navpičnico OB do roba A. Imam kot AOB, ki se imenuje linearni kot diedričnega kota.

riž. 4. Merjenje diedričnega kota

Dokažimo enakost vseh linearnih kotov za dani diedrski kot.

Imejmo diedrski kot (slika 5). Izberimo točko O in pika O 1 na ravni liniji A. Konstruirajmo linearni kot, ki ustreza točki O, tj. narišemo dve navpičnici OA in OB v ravnini α oziroma β do roba A. Dobimo kot AOB- linearni kot diedričnega kota.

riž. 5. Ilustracija dokaza

Od točke O 1 narišimo dve pravokotnici OA 1 in OB 1 do roba A v ravnini α oziroma β in dobimo drugi linearni kot A 1 O 1 B 1.

žarki O 1 A 1 in OA sosmerni, saj ležita v isti polravnini in sta med seboj vzporedni kot dve pravokotnici na isto premico A.

Prav tako žarki Približno 1 v 1 in OB sta sorežirana, kar pomeni ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 kot koti s sosmernimi stranicami, kar je bilo treba dokazati.

Ravnina linearnega kota je pravokotna na rob diedrskega kota.

Dokaži: A ⊥ AOB.

riž. 6. Ilustracija dokaza

Dokaz:

OA ⊥ A po konstrukciji, OB ⊥ A po konstrukciji (slika 6).

Ugotavljamo, da je črta A pravokotno na dve sekajoči se črti OA in OB izven letala AOB, kar pomeni, da je ravna A pravokotno na ravnino OAV, kar je bilo treba dokazati.

Diedrski kot se meri z njegovim linearnim kotom. To pomeni, da toliko stopinj radianov vsebuje linearni kot, toliko stopinj radianov vsebuje njegov diedrski kot. V skladu s tem ločimo naslednje vrste diedrskih kotov.

Akutno (slika 6)

Diedrski kot je oster, če je njegov linearni kot oster, tj. .

Ravno (slika 7)

Dvostranski kot je pravi, če je njegov linearni kot 90° - Top (slika 8)

Diedrski kot je top, kadar je njegov linearni kot top, tj. .

riž. 7. Pravi kot

riž. 8. Tupi kot

Primeri konstruiranja linearnih kotov v realnih figurah

ABCD- tetraeder.

1. Konstruiraj linearni kot diedrskega kota z robom AB.

riž. 9. Ilustracija k nalogi

Gradnja:

Govorimo o diedrskem kotu, ki ga tvori rob AB in robovi ABD in ABC(slika 9).

Naredimo direktno Dn pravokotno na ravnino ABC, n- osnova navpičnice. Narišimo naklon DM pravokotno na ravno črto AB,M- nagnjena podlaga. Po izreku treh navpičnic sklepamo, da je projekcija poševnice NM tudi pravokotno na premico AB.

Se pravi iz točke M obnovljeni sta dve pravokotnici na rob AB na dveh straneh ABD in ABC. Dobili smo linearni kot DMN.

obvestilo, to AB, rob diedričnega kota, pravokoten na ravnino linearnega kota, tj. DMN. Problem je rešen.

Komentiraj. Diedrski kot lahko označimo na naslednji način: DABC, Kje

AB- rob in točke D in Z ležijo na različnih straneh kota.

2. Konstruiraj linearni kot diedrskega kota z robom AC.

Narišimo pravokotno Dn do letala ABC in nagnjen Dn pravokotno na ravno črto AC. Z uporabo izreka treh pravokotnic ugotovimo, da НN- poševna projekcija Dn do letala ABC, tudi pravokotno na premico AC.DNH- linearni kot diedričnega kota z robom AC.

V tetraedru DABC vsi robovi so enaki. Pika M- sredina rebra AC. Dokaži, da je kot DMV- linearni diedrski kot TID, tj. diedrski kot z robom AC. Eden od njegovih obrazov je ACD, drugič - DIA(Slika 10).

riž. 10. Ilustracija k nalogi

rešitev:

Trikotnik ADC- enakostranični, DM- mediana in s tem višina. pomeni, DM ⊥ AC. Enako trikotnik AINC- enakostranični, INM- mediana in s tem višina. pomeni, VM ⊥ AC.

Tako, od točke M rebra AC diedrski kot obnovil dve navpičnici DM in VM na ta rob v ploskvah diedričnega kota.

Torej, ∠ DMIN je linearni kot diedričnega kota, kar je bilo treba dokazati.

Torej smo definirali diedrski kot, linearni kot diedričnega kota.

V naslednji lekciji si bomo ogledali pravokotnost premic in ravnin, nato pa se bomo naučili, kaj je diedrski kot na dnu likov.

Seznam referenc na temo "Dvostranski kot", "Dvostranski kot na dnu geometrijskih likov"

1. Geometrija. Razredi 10-11: učbenik za splošne izobraževalne ustanove / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 str .: ilustr.
2. Geometrija. 10. razred: učbenik za splošnoizobraževalne ustanove s poglobljenim in specializiranim študijem matematike /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izd., stereotip. - M .: Bustard, 2008. - 233 str .: ilustr.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Domača naloga na temo "Diedrični kot", določitev diedričnega kota na dnu figur

Geometrija. Razredi 10-11: učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov (osnovna in specializirana raven) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdaja, popravljena in razširjena - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str .: ilustr.

Naloge 2, 3 str.67.

Kaj je linearni diedrski kot? Kako ga zgraditi?

ABCD- tetraeder. Konstruiraj linearni kot diedričnega kota z robom:

A) IND b) DZ.

ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - kocka Konstruirajte linearni kot diedrskega kota A 1 ABC z rebrom AB. Določite njegovo stopinjsko mero.

Pojem diedričnega kota

Za uvedbo koncepta diedričnega kota se najprej spomnimo enega od aksiomov stereometrije.

Vsako ravnino lahko razdelimo na dve polravnini premice $a$, ki ležita v tej ravnini. V tem primeru so točke, ki ležijo v isti polravnini, na eni strani premice $a$, točke, ki ležijo v različnih polravninah, pa na nasprotnih straneh premice $a$ (slika 1).

Slika 1.

Na tem aksiomu temelji načelo konstruiranja diedričnega kota.

Definicija 1

Slika se imenuje diedrski kot, če je sestavljena iz premice in dveh polravnin te premice, ki ne pripadata isti ravnini.

V tem primeru se imenujejo polravnine diedričnega kota robovi, in premica, ki ločuje polravnini, je dvostranski rob(slika 1).

Slika 2. Diedrski kot

Stopinjska mera diedričnega kota

Definicija 2

Izberimo poljubno točko $A$ na robu. Kot med dvema premicama, ki ležita v različnih polravninah in sta pravokotni na rob ter se sekata v točki $A$, se imenuje linearni diedrski kot(slika 3).

Slika 3.

Očitno ima vsak diedrski kot neskončno število linearnih kotov.

1. izrek

Vsi linearni koti enega diedrskega kota so med seboj enaki.

Dokaz.

Oglejmo si dva linearna kota $AOB$ in $A_1(OB)_1$ (slika 4).

Slika 4.

Ker ležita žarka $OA$ in $(OA)_1$ v isti polravnini $\alpha $ in sta pravokotna na isto premico, sta sosmerna. Ker ležita žarka $OB$ in $(OB)_1$ v isti polravnini $\beta $ in sta pravokotna na isto premico, sta sosmerna. Zato

\[\kot AOB=\kot A_1(OB)_1\]

Zaradi poljubnosti izbire linearnih kotov. Vsi linearni koti enega diedrskega kota so med seboj enaki.

Izrek je dokazan.

Definicija 3

Stopinjska mera diedrskega kota je stopinjska mera linearnega kota diedrskega kota.

Vzorčne težave

Primer 1

Naj imava dve nepravokotni ravnini $\alpha $ in $\beta $, ki se sekata vzdolž premice $m$. Točka $A$ pripada ravnini $\beta$. $AB$ je pravokotna na premico $m$. $AC$ je pravokoten na ravnino $\alpha $ (točka $C$ pripada $\alpha $). Dokaži, da je kot $ABC$ linearni kot diedrskega kota.

Dokaz.

Narišimo sliko glede na pogoje problema (slika 5).

Slika 5.

Da bi to dokazali, se spomnite naslednjega izreka

Izrek 2: Ravna črta, ki poteka skozi osnovo nagnjene, je pravokotna nanjo, pravokotna na njeno projekcijo.

Ker je $AC$ pravokotna na ravnino $\alpha $, je točka $C$ projekcija točke $A$ na ravnino $\alpha $. Zato je $BC$ projekcija poševnice $AB$. Po izreku 2 je $BC$ pravokoten na rob diedrskega kota.

Nato kot $ABC$ izpolnjuje vse zahteve za določitev linearnega diedrskega kota.

Primer 2

Diedrski kot je $30^\circ$. Na eni od ploskev leži točka $A$, ki je od druge ploskve oddaljena $4$ cm Poiščite razdaljo od točke $A$ do roba diedrskega kota.

rešitev.

Poglejmo sliko 5.

Po pogoju velja $AC=4\cm$.

Po definiciji stopinjske mere diedrskega kota imamo, da je kot $ABC$ enak $30^\circ$.

Trikotnik $ABC$ je pravokoten trikotnik. Po definiciji sinusa ostrega kota

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

"Dvostranski kot" - Poiščite razdaljo od točke B do ravnine. Kot C je oster. Trikotnik ABC je pravokoten. Kot C je top. Razdalja od točke do črte. V tetraedru DAVS so vsi robovi enaki. Kot med nagnjenima. Razdalja med nagnjenimi bazami. Linearni koti diedrskega kota so enaki. Algoritem za konstruiranje linearnega kota.

“Geometrija diedrskega kota” - kot RSV - linearna za diedrski kot z robom AC. Poišči (glej) rob in ploskve diedrskega kota. Model je lahko voluminozen ali zložljiv. Odsek dvostranskega kota z ravnino, pravokotno na rob. Robovi. premica CP je pravokotna na rob CA (po izreku treh navpičnic). kot RKV - linearni za diedrski kot z RSAV.

"Triedrski kot" - znaki enakosti triedrskih kotov. Podano: Оabc – tristranski kot; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Lekcija 6. Posledice. 1) Za izračun kota med premico in ravnino je uporabna formula: Formula treh kosinusov. . Podan je tristranski kot Oabc. Trikotni kot. Izrek. V pravilni trikotni piramidi je ravninski kot pri vrhu manjši od 120°.

"Triedrski in poliedrski koti" - triedrski koti dodekaedra. Triedrski in tetraedrski koti rombičnega dodekaedra. Tetraedrski koti oktaedra. Triedrski vogali tetraedra. Merjenje poliedrskih kotov. Naloga. Poliedrski koti. Peterokotni koti ikozaedra. Navpični poliedrski koti. Trikotni vogal piramide. Naj bo SA1…An konveksen n-stranski kot.

“Kot med premico in ravnino” - V pravilni 6. prizmi A...F1, katere robovi so enaki 1, poiščite kot med premico AC1 in ravnino ADE1. V pravilni 6. prizmi A...F1, katere robovi so enaki 1, poiščite kot med premico AA1 in ravnino ACE1. Kot med premico in ravnino. V pravilni 6. prizmi A...F1, katere robovi so enaki 1, poiščite kot med premico AB1 in ravnino ADE1.

"Poliedrski kot" - Konveksni poliedrski koti. Poliedrski koti. Glede na število ploskev so poliedrski koti triedrski, tetraedrski, pentaedrski itd. C) ikozaeder. Dva ravninska kota tristranskega kota sta 70° in 80°. Torej, ? ASB+ ? BSC+? A.S.C.< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Skupaj je 9 predstavitev