Reševanje racionalnih enačb, kako jih rešiti. Drobne racionalne enačbe. Algoritem rešitve

T. Kosyakova,
šola št. 80, Krasnodar

Reševanje kvadratnih in delnih racionalnih enačb, ki vsebujejo parametre

Lekcija 4

Tema lekcije:

Namen lekcije:oblikovati sposobnost reševanja delno-racionalnih enačb, ki vsebujejo parametre.

Vrsta lekcije: uvedba novega gradiva.

1. (Besedno) Rešite enačbe:

Primer 1... Reši enačbo

Sklep.

Poiščite neveljavne vrednosti a:

Odgovorite. Če če a = – 19 , potem ni korenin.

2. primer... Reši enačbo

Sklep.

Poiščite neveljavne vrednosti parametrov a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Odgovorite. Če a = 5 a № 5 potem x \u003d 10– a .

3. primer... Pri katerih vrednostih parametra b enačba Ima:

a) dve korenini; b) en sam koren?

Sklep.

1) Poiščite neveljavne vrednosti parametrov b :

x \u003d b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b \u003d 0 ali b = 2;
x \u003d 2, 4 ( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b \u003d 2 oz b = – 2.

2) Reši enačbo x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:

D \u003d 4 b 4 – 4b 2 (b 2 - 1), D \u003d 4 b 2 .

in)

Izključitev neveljavnih vrednosti parametrov b , dobimo, da ima enačba dve korenini, če b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, vendar to ni veljavna vrednost parametra b ; če b 2 –1=0 , tj. b=1 ali.

Odgovor: a) če b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , nato dve korenini; b) če b=1 ali b \u003d –1 , potem edini koren.

Samostojno delo

1. možnost

Rešite enačbe:

2. možnost

Rešite enačbe:

Odgovori

IN 1... kaj če a=3 , potem ni korenin; če b) če je a № 2 , potem ni korenin.

IN 2. Če a=2 , potem ni korenin; če a=0 , potem ni korenin; če
b) če a=– 1 , potem enačba izgubi svoj pomen; če ni korenin;
če

Domača naloga.

Rešite enačbe:

Odgovori: a) Če a № –2 potem x \u003d a ; če a=–2 , potem ni rešitev; b) če a № –2 potem x \u003d 2 ; če a=–2 , potem ni rešitev; c) če a=–2 potem x - katero koli številko, razen 3 ; če a № –2 potem x \u003d 2 ; d) če a=–8 , potem ni korenin; če a=2 , potem ni korenin; če

Lekcija 5

Tema lekcije: "Rešitev delnih racionalnih enačb, ki vsebujejo parametre."

Cilji lekcije:

usposabljanje za reševanje enačb z nestandardnim pogojem;
zavestna asimilacija študentov algebrskih konceptov in povezav med njimi.

Vrsta lekcije: sistematizacija in posploševanje.

Preverjanje domače naloge.

Primer 1... Reši enačbo

a) glede na x; b) glede na y.

Sklep.

a) Poiščite neveljavne vrednosti y: y \u003d 0, x \u003d y, y 2 \u003d y 2 –2y,

y \u003d 0 - neveljavna vrednost parametra y.

Če y№ 0 potem x \u003d y - 2 ; če y \u003d 0 , potem enačba postane nesmiselna.

b) Poiščite neveljavne vrednosti parametrov x: y \u003d x, 2x - x 2 + x 2 \u003d 0, x \u003d 0 - neveljavna vrednost parametra x; y (2 + x - y) \u003d 0, y \u003d 0 ali y \u003d 2 + x;

y \u003d 0 ne izpolnjuje pogoja y (y - x)№ 0 .

Odgovor: a) če y \u003d 0 , potem enačba izgubi svoj pomen; če y№ 0 potem x \u003d y - 2 ; b) če x \u003d 0 x№ 0 potem y \u003d 2 + x .

2. primer... Katere celoštevilčne vrednosti parametra a so korenine enačbe pripadajo intervalu

D \u003d (3 a + 2) 2 – 4a(a + 1) 2 \u003d 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D \u003d ( a + 2) 2 .

Če a № 0 ali a № – 1 potem

Odgovor: 5 .

3. primer... Poiščite relativno x celotne rešitve enačbe

Odgovorite. Če y \u003d 0 , potem je enačba brez pomena; če y \u003d –1 potem x - katero koli celo število, razen nič; če y№ 0, y№ - 1, potem ni rešitev.

4. primer Reši enačbo s parametri a in b .

Če a№ - b potem

Odgovorite. Če a \u003d0 ali b \u003d0 , potem enačba izgubi svoj pomen; če a№ 0, b№ 0, a \u003d –b potem x - katero koli število, razen nič; če a№ 0, b№ 0, a№ –B, potem x \u003d –a, x \u003d –b .

5. primer... Dokažite, da je za kateri koli ničelni parameter n enačba ima en sam koren, enak - n .

Sklep.

tj. x \u003d –n , kot je potrebno za dokazovanje.

Domača naloga.

1. Poiščite celotne rešitve enačbe

2. Pri katerih vrednostih parametra c enačba Ima:
a) dve korenini; b) en sam koren?

3. Poiščite vse celoštevilčne korenine enačbe če aO N .

4. Reši enačbo 3xy - 5x + 5y \u003d 7:a) glede y ; b) relativno x .

1. Enačbo izpolnjujejo poljubne celoštevilčne vrednosti x in y, razen nič.
2.a) Za
b) na oz
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Če potem ni korenin; če
b) če ni korenin; če

Preizkus

1. možnost

1. Določite vrsto enačbe 7c (c + 3) x 2 + (c - 2) x - 8 \u003d 0 na: a) c \u003d –3 ; b) c \u003d 2; v) c \u003d 4 .

2. Reši enačbe: a) x 2 –bx \u003d 0; b) cx 2 –6x + 1 \u003d 0 ; v)

3. Reši enačbo 3x - xy - 2y \u003d 1:

a) glede x ;
b) relativno y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, vedoč, da parameter n zajema samo celoštevilčne vrednosti.

5. Za katere vrednosti b enači enačba ima:

a) dve korenini;
b) en sam koren?

2. možnost

1. Določite vrsto enačbe 5c (c + 4) x 2 + (c - 7) x + 7 \u003d 0 na: a) c \u003d –4; b) c \u003d 7; v) c \u003d 1 .

2. Reši enačbe: a) y 2 + cy \u003d 0; b) ny 2 –8y + 2 \u003d 0; v)

3. Reši enačbo 6x - xy + 2y \u003d 5:

a) glede x ;
b) relativno y .

4. Poiščite celotne korenine enačbe nx 2 –22x + 2n \u003d 0, vedoč, da parameter n zajema samo celoštevilčne vrednosti.

5. Za katere vrednosti parametra a enačba ima:

a) dve korenini;
b) en sam koren?

Odgovori

IN 1. 1. a) Linearna enačba;
b) nepopolna kvadratna enačba; c) kvadratna enačba.
2.a) Če b \u003d 0 potem x \u003d 0 ; če b # 0 potem x \u003d 0, x \u003d b;
b) če cО (9; + Ґ) , potem ni korenin;
c) če a=–4 , potem enačba izgubi svoj pomen; če a№ –4 potem x \u003d - a .
3.a) Če y \u003d 3 , potem ni korenin; če);
b) a=–3, a=1.

Dodatne naloge

Rešite enačbe:

Literatura

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. O parametrih od samega začetka. - Tutor, št. 2/1991, str. 3-13.
2. Gronshtein PI, Polonskiy VB, Yakir MS. Potrebni pogoji pri težavah s parametri. - Kvant, št. 11/1991, str. 44-49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Reševanje problemov, ki vsebujejo parametre. 2. del - M., Perspektiva, 1990, str. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Petsto štirinajst nalog s parametri. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetskiy G.A. Naloge s parametri. - M., Izobraževanje, 1986.

"Racionalne enačbe s polinomi" je ena najpogostejših tem v izpitnih vprašanjih iz matematike. Zato je treba njihovemu ponavljanju posvetiti posebno pozornost. Številni študentje se soočajo s težavo iskanja diskriminante, prenosa kazalcev z desne na levo stran in enačbo pripeljejo do skupnega imenovalca, kar otežuje dokončanje takšnih nalog. Reševanje racionalnih enačb v pripravah na izpit na naši spletni strani vam bo pomagalo, da se hitro spopadete s težavami katere koli zahtevnosti in boste test uspešno opravili.

Za uspešno pripravo na enotni izpit iz matematike izberite izobraževalni portal "Školkovo"!

Če želite poznati pravila za izračun neznank in za lažje pridobivanje pravilnih rezultatov, uporabite našo spletno storitev. Portal Shkolkovo je edino tovrstno spletno mesto, ki vsebuje gradivo, potrebno za pripravo na enotni državni izpit. Naši učitelji so sistematizirali in v razumljivi obliki predstavili vsa matematična pravila. Poleg tega vabimo šolarje, da se preizkusijo v reševanju tipičnih racionalnih enačb, katerih osnova se nenehno posodablja in dopolnjuje.

Za učinkovitejšo pripravo na testiranje priporočamo, da upoštevate našo posebno metodo in začnete s ponavljanjem pravil in reševanjem preprostih problemov, postopoma prehajate na bolj zapletene. Tako bo diplomant lahko sam izpostavil najtežje teme in se osredotočil na njihov študij.

Danes se začnite pripravljati na zaključno testiranje s Školkovo, rezultat pa ne bo dolgo prišel! Izberite najlažji primer med predlaganimi. Če ste hitri z izrazom, pojdite na težjo nalogo. Tako lahko svoje znanje izboljšate do reševanja nalog USE iz matematike na ravni profila.

Izobraževanje je na voljo ne samo diplomantom iz Moskve, temveč tudi šolarjem iz drugih mest. Na primer, nekaj ur na dan preučite na našem portalu in kmalu se boste lahko spopadli z enačbami katere koli kompleksnosti!

Vaša zasebnost nam je pomembna. Iz tega razloga smo razvili pravilnik o zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in hranimo vaše podatke. Preberite našo politiko zasebnosti in nas obvestite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki pomenijo podatke, s katerimi je mogoče določiti določeno osebo ali stopiti v stik z njo.

Ko se obrnete na nas, boste morda kadar koli pozvani, da navedete svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako jih lahko uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate zahtevo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo in vas obvestimo o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
• Občasno lahko vaše osebne podatke uporabimo za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabimo tudi za notranje namene, kot so izvajanje revizij, analiza podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih ponujamo, in vam zagotovili priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, natečaju ali podobnem promocijskem dogodku, lahko podatke, ki jih navedete, uporabimo za upravljanje takšnih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Podatkov, ki smo jih prejeli od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Če je treba - v skladu z zakonom, sodno odredbo, sodnimi postopki in / ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - razkriti vaše osebne podatke. Informacije o vas lahko tudi razkrijemo, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih družbeno pomembnih razlogov.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zbiramo, prenesemo na ustrezno tretjo osebo - pravno naslednico.

Zaščita osebnih podatkov

Sprejemamo previdnostne ukrepe - vključno z upravnimi, tehničnimi in fizičnimi - za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, našim zaposlenim predstavljamo pravila o zaupnosti in varnosti ter strogo spremljamo izvajanje ukrepov zaupnosti.

Kako reševati kvadratne enačbe smo se že naučili. Zdaj pa razširimo preučene metode na racionalne enačbe.

Kaj je racionalno izražanje? S tem konceptom smo se že srečali. Racionalni izrazi imenujejo se izrazi, sestavljeni iz števil, spremenljivk, njihovih stopenj in znakov matematičnih operacij.

V skladu s tem so racionalne enačbe enačbe v obliki :, kjer - racionalni izrazi.

Prej smo upoštevali le tiste racionalne enačbe, ki se reducirajo na linearne. Zdaj pa razmislimo o tistih racionalnih enačbah, ki jih lahko tudi zmanjšamo na kvadratne.

Primer 1

Reši enačbo :.

Sklep:

Ulomek je 0, če in samo, če je njegov števec 0 in imenovalec ni 0.

Dobimo naslednji sistem:

Prva enačba v sistemu je kvadratna enačba. Preden jo rešimo, razdelimo vse njene koeficiente na 3. Dobimo:

Dobimo dve korenini :; ...

Ker 2 ni nikoli enak 0, morata biti izpolnjena dva pogoja: ... Ker nobena od korenin zgoraj dobljene enačbe ne sovpada z neveljavnimi vrednostmi spremenljivke, ki so bile pridobljene z reševanjem druge neenakosti, sta obe rešitvi te enačbe.

Odgovor:.

Torej, oblikujmo algoritem za reševanje racionalnih enačb:

1. Premaknite vse izraze na levo stran, da dobite 0 na desni strani.

2. Pretvorite in poenostavite levo stran, privedite vse ulomke k skupnemu imenovalcu.

3. Nastali ulomek je enak 0 v skladu z naslednjim algoritmom: .

4. Zapišite korenine, ki jih dobite v prvi enačbi, v odgovor pa izpolnite drugo neenakost.

Vzemimo še en primer.

2. primer

Reši enačbo: .

Sklep

Na samem začetku vse izraze premaknemo na levo stran, tako da ostane 0 na desni. Dobimo:

Zdaj pripeljemo levo stran enačbe na skupni imenovalec:

Ta enačba je enakovredna sistemu:

Prva enačba v sistemu je kvadratna enačba.

Koeficienti te enačbe: Izračunamo diskriminacijo:

Dobimo dve korenini :; ...

Zdaj pa razrešimo drugo neenakost: zmnožek faktorjev ni enak 0, če in samo, če noben od faktorjev ni enak 0.

Izpolnjena morata biti dva pogoja: ... Dobimo tisto od dveh korenin prve enačbe, le ena ustreza - 3.

Odgovor:.

V tej lekciji smo se spomnili, kaj je racionalen izraz, in se tudi naučili, kako reševati racionalne enačbe, ki se zmanjšajo na kvadratne enačbe.

V naslednji lekciji bomo racionalne enačbe obravnavali kot modele iz resničnih situacij in razmislili tudi o težavah z gibanjem.

Seznam referenc

1. Bašmakov M.I. Algebra, 8. razred. - M.: Izobraževanje, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al.Algebra, 8. 5. izd. - M.: Izobraževanje, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. razred. Učbenik za izobraževalne ustanove. - M.: Izobraževanje, 2006.

1. Festival pedagoških idej "Odprta lekcija" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Domača naloga

Reševanje enačb z ulomki Oglejmo si primere. Primeri so preprosti in ilustrativni. Z njihovo pomočjo se boste lahko naučili na najbolj razumljiv način ,.
Na primer, želite rešiti preprosto enačbo x / b + c \u003d d.

Enačbe te vrste imenujemo linearne, ker imenovalec vsebuje samo številke.

Rešitev izvedemo tako, da pomnožimo obe strani enačbe z b, nato enačba dobi obliko x \u003d b * (d - c), tj. imenovalec ulomka na levi je preklican.

Na primer, kako rešiti delno enačbo:
x / 5 + 4 \u003d 9
Oba dela pomnožimo s 5. Dobimo:
x + 20 \u003d 45
x \u003d 45 - 20 \u003d 25

Drug primer, ko je neznano v imenovalcu:

Enačbe te vrste imenujemo frakcijsko-racionalne ali preprosto frakcijske.

Frakcijsko enačbo bi rešili tako, da bi se znebili ulomkov, nato pa se ta enačba najpogosteje spremeni v linearno ali kvadratno, kar se reši na običajen način. Upoštevajte le naslednje točke:

• vrednost spremenljivke, ki imenovalec spremeni v 0, ne more biti koren;
• enačbe ne morete razdeliti ali pomnožiti z izrazom \u003d 0.

Tu začne veljati tak koncept, kot je območje dovoljenih vrednosti (ODV) - to so vrednosti korenin enačbe, za katere je enačba smiselna.

Tako je pri reševanju enačbe treba najti korenine in jih nato preveriti glede skladnosti z ODZ. Tiste korenine, ki ne ustrezajo našemu ODZ, so izključene iz odgovora.

Na primer, morate rešiti delno enačbo:

Na podlagi zgornjega pravila x ne more biti \u003d 0, tj. ODZ v tem primeru: x - katera koli vrednost, ki ni nič.

Imenovalca se znebimo tako, da pomnožimo vse člene enačbe z x

In rešimo običajno enačbo

5x - 2x \u003d 1
3x \u003d 1
x \u003d 1/3

Odgovor: x \u003d 1/3

Rešimo bolj zapleteno enačbo:

Tu je prisoten tudi ODZ: x -2.

Pri reševanju te enačbe ne bomo vsega prenesli na eno stran in ulomke zmanjšali na skupni imenovalec. Takoj bomo pomnožili obe strani enačbe z izrazom, ki bo preklical vse imenovalce hkrati.

Če želite zmanjšati imenovalce, morate levo stran pomnožiti z x + 2, desno pa z 2. Zato je treba obe strani enačbe pomnožiti z 2 (x + 2):

To je najpogostejše množenje ulomkov, o čemer smo že govorili zgoraj.

Zapišimo isto enačbo, vendar na nekoliko drugačen način

Leva stran se prekliče s (x + 2), desna pa z 2. Po preklicu dobimo običajno linearno enačbo:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, kar ustreza našemu ODZ

Odgovor: x \u003d 2.

Reševanje enačb z ulomki ni tako težko, kot se zdi. V tem članku smo to pokazali s primeri. Če imate s tem kakršne koli težave, kako rešiti enačbe z ulomki, nato se odjavite v komentarjih.