Как да решаваме събиране и изваждане на дроби. Събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели (основни правила, най-прости случаи)

Забележка!Преди да напишете окончателния си отговор, вижте дали можете да намалите получената част.

Изваждане на дроби със същия знаменател, примери:

,

,

Изваждане на правилна дроб от едно.

Ако е необходимо да се извади дроб от вярната единица, единицата се прехвърля под формата на неправилна дроб, нейният знаменател е равен на знаменателя на дроба, която трябва да се извади.

Пример за изваждане на правилна дроб от едно:

Знаменателят на извадената дроб = 7 , т.е. представяме единицата като неправилна дроб 7/7 и изваждаме според правилото за изваждане на дроби със същите знаменатели.

Изваждане на дясна дроб от цяло число.

Правила за изваждане на дроби -правилно от цяло число (естествено число):

• Превеждаме дадените дроби, които съдържат цяла част, в неправилни. Получаваме нормални термини (няма значение дали имат различни знаменатели), които броим според правилата, дадени по-горе;
• След това изчисляваме разликата на дробите, които получихме. В резултат на това почти ще намерим отговора;
• Извършваме обратното преобразуване, тоест се отърваваме от неправилната дроб - избираме цялата част във фракцията.

Извадете правилната дроб от цялото число: представете естественото число като смесено число. Тези. ние заемаме единица в естествено число и я преобразуваме във формата на неправилна дроб, знаменателят е същият като този на извадената дроб.

Пример за изваждане на дроби:

В примера заменихме единицата с неправилна дроб 7/7 и вместо 3 записахме смесено число и извадихме дробта от дробната част.

Изваждане на дроби с различни знаменатели.

Или, казано с други думи, изваждане на различни дроби.

Правилото за изваждане на дроби с различни знаменатели.За да се извадят дроби с различни знаменатели, е необходимо първо тези дроби да се приведат до най-малкия общ знаменател (LCN) и едва след това да се извадят както при дроби със същия знаменател.

Общият знаменател на множество дроби е LCM (най-малко общо кратно)естествени числа, които са знаменатели на тези дроби.

Внимание!Ако числителят и знаменателят имат общи множители в крайната дроб, тогава дробът трябва да бъде отменен. Лошата фракция е най-добре представена като смесена фракция. Оставянето на резултата от изваждане без отмяна на дроба, където е възможно, е незавършено решение на примера!

Процедура за изваждане на дроби с различни знаменатели.

• намерете LCM за всички знаменатели;
• поставят допълнителни фактори за всички дроби;
• умножете всички числители по допълнителен коефициент;
• записваме получените продукти в числителя, подписвайки общ знаменател под всички дроби;
• извадете числителите на дробите, подписвайки общия знаменател под разликата.

По същия начин се извършва събиране и изваждане на дроби, ако в числителя има букви.

Изваждане на дроби, примери:

Изваждане на смесени фракции.

В изваждане на смесени дроби (числа)отделно от цялата част, извадете цялата част и извадете дробната част от дробната част.

Първият вариант е да извадите смесени дроби.

Ако дробни части същотознаменатели и числител на дробната част на изваденото (изваждане от него) ≥ числител на дробната част на изваденото (изваждане).

Например:

Вторият вариант е да извадите смесени дроби.

Когато дробните части имат различнознаменатели. Като начало привеждаме дробните части към общ знаменател и след това изваждаме цялата част от цялото, а дробната част от дробната част.

Например:

Третият вариант за изваждане на смесени фракции.

Дробната част на намаленото е по-малка от дробната част на извадената.

пример:

Защото дробните части имат различни знаменатели, което означава, както при втория вариант, първо привеждаме обикновените дроби към общ знаменател.

Числителят на дробната част от изваденото е по-малък от числителя на дробната част от извадените.3 < 14. Следователно, вземаме единица от цялата част и привеждаме тази единица във формата на неправилна дроб със същия знаменател и числител = 18.

В числителя от дясната страна записваме сумата от числителите, след това отваряме скобите в числителя от дясната страна, тоест умножаваме всичко и даваме подобни. Не отваряйте скоби в знаменателя. Прието е работата да се оставя в знаменателите. Получаваме:

Смесените дроби могат да бъдат извадени точно както простите дроби. За да извадите смесен брой дроби, трябва да знаете няколко правила за изваждане. Нека разгледаме тези правила с примери.

Изваждане на смесени дроби със същия знаменател.

Да разгледаме пример с условието, че намалените цели и дробни части са по-големи от съответно извадените цяло и дробни части. При тези условия приспадането се извършва отделно. Извадете цялата част от цялата част, а дробната част от дробната част.

Нека разгледаме пример:

Извадете смесените дроби \ (5 \ frac (3) (7) \) и \ (1 \ frac (1) (7) \).

\ (5 \ frac (3) (7) -1 \ frac (1) (7) = (5-1) + (\ frac (3) (7) - \ frac (1) (7)) = 4 \ фрак (2) (7) \)

Правилността на изваждането се проверява чрез събиране. Нека проверим изваждането:

\ (4 \ frac (2) (7) +1 \ frac (1) (7) = (4 + 1) + (\ frac (2) (7) + \ frac (1) (7)) = 5 \ фрак (3) (7) \)

Да разгледаме пример с условието, когато дробната част на намаленото е по-малка, съответно, дробната част на извадената. В този случай заемаме едно от цялото в намаляващото.

Нека разгледаме пример:

Извършете изваждане на смесени дроби \ (6 \ frac (1) (4) \) и \ (3 \ frac (3) (4) \).

Намаленият \ (6 \ frac (1) (4) \) има дробна част, по-малка от дробната част на извадената \ (3 \ frac (3) (4) \). Тоест \ (\ frac (1) (4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\ (\ начало (подравняване) & 6 \ frac (1) (4) -3 \ frac (3) (4) = (6 + \ frac (1) (4)) - 3 \ frac (3) (4) = (5 + \ цвят (червен) (1) + \ frac (1) (4)) - 3 \ frac (3) (4) = (5 + \ цвят (червен) (\ frac (4) (4) ) + \ frac (1) (4)) - 3 \ frac (3) (4) = (5 + \ frac (5) (4)) - 3 \ frac (3) (4) = \\\\ & = 5 \ frac (5) (4) -3 \ frac (3) (4) = 2 \ frac (2) (4) = 2 \ frac (1) (4) \\\\ \ край (подравняване) \ )

Следващ пример:

\ (7 \ frac (8) (19) -3 = 4 \ frac (8) (19) \)

Изваждане на смесена дроб от цяло число.

Пример: \ (3-1 \ frac (2) (5) \)

Намалено 3 няма дробна част, така че не можем веднага да я извадим. Нека вземем едно от цялата част на 3 и след това извършим изваждането. Ще запишем единицата като \ (3 = 2 + 1 = 2 + \ frac (5) (5) = 2 \ frac (5) (5) \)

\ (3-1 \ frac (2) (5) = (2 + \ цвят (червен) (1)) - 1 \ frac (2) (5) = (2 + \ цвят (червен) (\ frac (5 ) (5))) - 1 \ frac (2) (5) = 2 \ frac (5) (5) -1 \ frac (2) (5) = 1 \ frac (3) (5) \)

Изваждане на смесени дроби с различни знаменатели.

Да разгледаме пример с условието, ако дробните части на намалени и извадени с различни знаменатели. Трябва да доведете до общ знаменател и след това да извършите изваждането.

Извадете две смесени дроби с различни знаменатели \ (2 \ frac (2) (3) \) и \ (1 \ frac (1) (4) \).

Общият знаменател е 12.

\ (2 \ frac (2) (3) -1 \ frac (1) (4) = 2 \ frac (2 \ пъти \ цвят (червен) (4)) (3 \ пъти \ цвят (червен) (4) ) -1 \ frac (1 \ пъти \ цвят (червен) (3)) (4 \ пъти \ цвят (червен) (3)) = 2 \ frac (8) (12) -1 \ frac (3) (12 ) = 1 \ frac (5) (12) \)

Въпроси по темата:
Как да извадя смесени дроби? Как да решим смесени фракции?
Отговор: трябва да решите към какъв тип принадлежи изразът и според вида на израза да приложите алгоритъма за решение. Извадете цялото от цялата част, извадете дробната част от дробната част.

Как да извадя дроб от цяло число? Как да извадя дроб от цяло число?
Отговор: трябва да вземете единица от цяло число и да запишете тази единица като дроб

\ (4 = 3 + 1 = 3 + \ frac (7) (7) = 3 \ frac (7) (7) \),

и след това извадете цялото от цялото, извадете дробната част от дробната част. пример:

\ (4-2 \ frac (3) (7) = (3 + \ цвят (червен) (1)) - 2 \ frac (3) (7) = (3 + \ цвят (червен) (\ frac (7) ) (7))) - 2 \ frac (3) (7) = 3 \ frac (7) (7) -2 \ frac (3) (7) = 1 \ frac (4) (7) \)

Пример № 1:
Извадете правилната дроб от едно: a) \ (1- \ frac (8) (33) \) b) \ (1- \ frac (6) (7) \)

Решение:
а) Представяме единицата като дроб със знаменател 33. Получаваме \ (1 = \ frac (33) (33) \)

\ (1- \ frac (8) (33) = \ frac (33) (33) - \ frac (8) (33) = \ frac (25) (33) \)

б) Представяме единицата като дроб със знаменател 7. Получаваме \ (1 = \ frac (7) (7) \)

\ (1- \ frac (6) (7) = \ frac (7) (7) - \ frac (6) (7) = \ frac (7-6) (7) = \ frac (1) (7) \)

Пример № 2:
Извадете смесена дроб от цяло число: a) \ (21-10 \ frac (4) (5) \) b) \ (2-1 \ frac (1) (3) \)

Решение:
а) Вземаме 21 единици от цяло число и го записваме така \ (21 = 20 + 1 = 20 + \ frac (5) (5) = 20 \ frac (5) (5) \)

\ (21-10 \ frac (4) (5) = (20 + 1) -10 \ frac (4) (5) = (20 + \ frac (5) (5)) - 10 \ frac (4) ( 5) = 20 \ frac (5) (5) -10 \ frac (4) (5) = 10 \ frac (1) (5) \\\\\)

б) Да вземем назаем единица от цялото число 2 и да я запишем така \ (2 = 1 + 1 = 1 + \ frac (3) (3) = 1 \ frac (3) (3) \)

\ (2-1 \ frac (1) (3) = (1 + 1) -1 \ frac (1) (3) = (1 + \ frac (3) (3)) - 1 \ frac (1) ( 3) = 1 \ frac (3) (3) -1 \ frac (1) (3) = \ frac (2) (3) \\\\\)

Пример № 3:
Извадете цяло число от смесена дроб: a) \ (15 \ frac (6) (17) -4 \) b) \ (23 \ frac (1) (2) -12 \)

а) \ (15 \ frac (6) (17) -4 = 11 \ frac (6) (17) \)

б) \ (23 \ frac (1) (2) -12 = 11 \ frac (1) (2) \)

Пример № 4:
Извадете правилната дроб от смесената фракция: а) \ (1 \ frac (4) (5) - \ frac (4) (5) \)

\ (1 \ frac (4) (5) - \ frac (4) (5) = 1 \\\\\)

Пример № 5:
Изчислете \ (5 \ frac (5) (16) -3 \ frac (3) (8) \)

\ (\ начало (подравняване) & 5 \ frac (5) (16) -3 \ frac (3) (8) = 5 \ frac (5) (16) -3 \ frac (3 \ пъти \ цвят (червен) ( 2)) (8 \ пъти \ цвят (червен) (2)) = 5 \ frac (5) (16) -3 \ frac (6) (16) = (5 + \ frac (5) (16)) - 3 \ frac (6) (16) = (4 + \ цвят (червен) (1) + \ frac (5) (16)) - 3 \ frac (6) (16) = \\\\ & = ( 4 + \ цвят (червен) (\ frac (16) (16)) + \ frac (5) (16)) - 3 \ frac (6) (16) = (4 + \ цвят (червен) (\ frac ( 21 ) (16))) - 3 \ frac (3) (8) = 4 \ frac (21) (16) -3 \ frac (6) (16) = 1 \ frac (15) (16) \\\ \ \ край (подравняване) \)

Този урок ще обхване събирането и изваждането на алгебрични дроби със същите знаменатели. Вече знаем как да събираме и изваждаме обикновени дроби със същия знаменател. Оказва се, че алгебричните дроби се подчиняват на същите правила. Способността да се работи с дроби с един и същ знаменател е един от крайъгълните камъни в изучаването на правилата за работа с алгебрични дроби. По-специално, разбирането на тази тема ще улесни овладяването на по-сложна тема - събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели. Като част от урока ще изучаваме правилата за събиране и изваждане на алгебрични дроби със същите знаменатели, както и ще анализираме редица типични примери.

Правилото за събиране и изваждане на алгебрични дроби с един и същ знаменател

Form-moo-li-ru-em right-vi-lo на фолирането (you-chi-ta-nia) на al-geb-ra-i-che-dro-bey с odi-na-co-vy -mi zn-me-na-te-la-mi (това е sov-pa-da-em с ana-lo-gic-ny right-vi-lom за обикновени-ven-dro-beys): Това е за наслояване или vy -chi-ta-niya al-geb-ra-i-che-dro-bey с един-на-до-знаеш-ме-на-те-ла-ми е необходимо -ho-di-mo so-to- сложи с-the-vet-yu-yu-al-geb-ra-i-che-sum от числото-li-te-lei, а zn-me-na-tel остави без me-nots.

Ще вземем това право-ха-ло и на примера на обичайните дроу-бити и на примера на удара al-geb-ra-i-che-dro-bei.

Примери за прилагане на правилото за обикновени дроби

Пример 1. За добавяне на дроб:.

Решение

Добавяме числото-дали-те-дали изравни-удари и знакът-me-na-tel ще остане същият. След това разделяме числото и знаменателя на прости кратни и со-кра-тим. By-lo-chim: .

Забележка: стандартна грешка, която допускам, когато вземам решение като този вид примери, за -klyu-cha-it-Xia по следния начин-с-решение: ... Това е груба грешка, тъй като знанието-на-тел остава същото, както беше в оригиналните тегления.

Пример 2. За да добавите дроб:.

Решение

Dan-naya za-da-cha не е нищо по-различно от предишното:.

Примери за прилагане на правилото за алгебрични дроби

От общ-но-вен-дро-бит пе-рей-дьом до ал-геб-ра-и-че-ским.

Пример 3. За да добавите дроб:.

Решение: както вече беше казано по-горе, наслояването на al-geb-ra-i-che-dro-bei не се различава по никакъв начин от думата same-niya-but-ven-nyh draw-beat. Следователно методът на решението е същият:.

Пример 4. Вие сте честта на дроба:.

Решение

Ти-чи-та-ти ал-геб-ра-и-че-дро-бей от-дали-ча-то-от думата само с тези, които са пи-си-ва-ет-ся разлика в броя- li-te-lei на първоначалния draw-bei. Така .

Пример 5. Вие сте честта на дроба:.

Решение: .

Пример 6. Опростете:.

Решение: .

Примери за прилагане на правилото, последвано от редукция

Във дроба, който-този-рай-ло-ча-е-ся в ре-зул-та-тези думи или ви-чи-та-ния, е възможно да се съ-красива ния. Освен това не трябва да забравяте за ODZ на al-geb-ra-i-che-dro-bey.

Пример 7. Опростете:.

Решение: .

При което . Като цяло, ако ODZ на първоначалния draw-beat cov-pa-yes-et с ODZ ito-howl, тогава той може да бъде пропуснат (в края на краищата, дробът, от naya в ot-ve-those, също ще не съществува с co-ot-ot-otv-yu-si-ni-ni-n-re-men-ny). Но ако ODZ на първоначалното равенство и отговорът не е co-pa-da-et, тогава ODZ трябва да бъде посочено.

Пример 8. Опростете:.

Решение: . В този случай, y (ODZ на първоначалния draw-beat не cov-pa-da-et с ODZ re-zul-ta-ta).

Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели

За сгъване-дишайте и четете ал-геб-ра-и-че-дроби с различни знаци-ме-на-те-ла-ми, про-ве-дем ана-ло-гю с обичайно-но-вен-ми- dro-by-mi и pe-re-not-sem я в al-geb-ra-i-th фракции.

Ras-smot-rim е най-простият пример за често срещани черти.

Пример 1. Lay-live фракции:.

Решение:

Запомнете дясното-ха-ло на думата draw-beat. За на-ча-ла фракция е необходимо-хо-ди-мо да се стигне до общата зн-ме-на-те-лю. В ролята на обикновен know-me-na-te-la за обикновения-ven-dro-beat, you-stu-pa-et най-малко общо кратно(NOC) на началните знаци-me-na-te-lei.

Определение

Най-малкото число е на същото число, което се дели еднократно-но-на числото и.

За да намерите NOC, трябва да разделите знанието-на-те-дали на прости набори и след това да изберете всички продукти, много от тях, които-ръж са включени в разликата между двата знака-me-na-te- леи

; ... Тогава LCM от числа трябва да включва две двойки и две тройки:.

След намиране на общо знание-ме-на-те-ла, е необходимо всеки от извличащите бейове да намери до половин обитател (факт-ти-че-ски, в-разливане на общ знаменател в знаменател с-от-вет-тству-уу-си-тел).

След това всяка фракция умно се превръща в множител от половин кладенец до наполовина пълен. On-ray-cha-it-Xia дроби с един-на-се-зна-ме-на-те-ла-ми, слагам-то-д-ват и вие-четете някои, върху които сме - Вижте минали уроци.

By-lo-cha-eat: .

Отговор:.

Помислете сега за слоя от ал-геб-ра-и-че-дро-бей с различни знаци-ме-на-те-ла-ми. Sna-cha-la ras-smot-rim фракции, know-me-na-te-if ko-that-ryh са num-la-mi.

Събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели

Пример 2. Lay-live фракции:.

Решение:

Ал-го-ритъм на решението ab-so-lut-no ana-lo-gi-chen before-do-shu-mu-me-ru. Лесно е да се получи общ знаменател на тези дроу-ритъмове: и до-половин хапни комплекти за всеки от тях.

.

Отговор:.

И така, за-му-ли-ру-ем al-go-rhythm на наслояването и you-chi-ta-nia на al-geb-ra-i-che-dro-bey с различни zn-me-na-te-la-mi:

1. Намерете най-малкия общ знаменател.

2. Намерете набори нагоре и надолу за всяка от фракцията на draw-bei).

3. До-много-изживейте числото-дали-те-дали на съ-отговор-на-у-т-у-т-о-н-т-н-т-т-т-т-л.

4. Lay-live или you-honor the fraction, използвайте дясно-vi-la-mi lay-down и you-chi-ta-nia draw-beat със същото знание -me-na-te-la-mi.

Ras-smot-rim сега пример с dro-by-mi, в знака-me-on-te-le to-that-ryh come-to-be-vein you-ra-the same -niya.

Съдържание на урока

Събиране на дроби със същия знаменател

Има два вида събиране на фракции:

1. Събиране на дроби със същия знаменател
2. Събиране на дроби с различни знаменатели

Първо, нека проучим събирането на дроби със същите знаменатели. Тук всичко е просто. За да добавите дроби със същия знаменател, добавете техните числители и оставете знаменателя непроменен. Например добавете дробите и. Добавете числителите и оставете знаменателя непроменен:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако се замислите за пицата, която е разделена на четири части. Ако добавите пици към пицата, получавате пици:

Пример 2.Добавете дроби и.

Отговорът е неправилна дроб. Ако дойде краят на проблема, тогава е обичайно да се отървете от неправилните дроби. За да се отървете от неправилната дроб, трябва да изберете цялата част в нея. В нашия случай цялата част се разграничава лесно - две разделени на две е равно на едно:

Този пример може лесно да се разбере, ако се замислите за пицата, която е разделена на две части. Ако добавите пица към пицата, ще получите една цяла пица:

Пример 3... Добавете дроби и.

Отново съберете числителите и оставете знаменателя непроменен:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако се замислите за пицата, която е разделена на три части. Ако добавите пица към пицата, ще получите пица:

Пример 4.Намерете стойността на израз

Този пример се решава по същия начин като предишните. Числителите трябва да се добавят, а знаменателят трябва да се остави непроменен:

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на картина. Ако добавите пици към пицата и добавите пици към пицата, получавате 1 цяла и повече пица.

Както можете да видите, няма нищо трудно в събирането на дроби със същите знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да добавите дроби със същия знаменател, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен;

Събиране на дроби с различни знаменатели

Сега нека се научим как да събираме дроби с различни знаменатели. При събиране на дроби знаменателите на тези дроби трябва да са еднакви. Но те не винаги са еднакви.

Например, можете да събирате и дроби, защото те имат еднакви знаменатели.

Но дробите не могат да се добавят веднага, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да бъдат намалени до един и същ (общ) знаменател.

Има няколко начина за привеждане на дроби до един и същ знаменател. Днес ще разгледаме само един от тях, тъй като останалите методи може да изглеждат трудни за начинаещ.

Същността на този метод е, че първо се търси (LCM) за знаменателите на двете дроби. След това LCM се разделя на знаменателя на първата дроб и се получава първият допълнителен фактор. Направете същото с втората дроб - LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен фактор.

След това числителите и знаменателите на дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези действия дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби.

Пример 1... Добавете фракциите и

На първо място намираме най-малкото общо кратно на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е 3, а знаменателят на втората дроб е 2. Най-малкото общо кратно на тези числа е 6

LCM (2 и 3) = 6

Сега се връщаме към дроби и. Първо, разделете LCM на знаменателя на първата дроб и получете първия допълнителен фактор. LCM е числото 6, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 6 на 3, получаваме 2.

Полученото число 2 е първият допълнителен фактор. Записваме го до първата дроб. За да направите това, направете малка наклонена линия над дроба и напишете допълнителния фактор, намерен над него:

Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората дроб и получаваме втория допълнителен фактор. LCM е числото 6, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Разделяме 6 на 2, получаваме 3.

Полученото число 3 е вторият допълнителен фактор. Записваме го до втората дроб. Отново начертаваме малка наклонена линия над втората дроб и записваме допълнителния фактор, намерен над нея:

Вече сме готови да добавим. Остава да умножите числителите и знаменателите на дробите по вашите допълнителни фактори:

Погледнете внимателно до какво стигнахме. Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. Вече знаем как да събираме такива дроби. Нека завършим този пример до края:

Така примерът завършва. Оказва се да добавя.

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на картина. Ако добавите пица към пицата, получавате една цяла пица и още една шеста пица:

Намаляването на дробите до един и същ (общ) знаменател също може да бъде изобразено с помощта на картина. Намаляване на дроби и до общ знаменател, получаваме дроби и. Тези две фракции ще бъдат представени от едни и същи резени пица. Единствената разлика е, че този път те ще бъдат разделени на равни дялове (сведени до един и същ знаменател).

Първата картина изобразява дроб (четири от шест парчета), а втората картина изобразява дроб (три от шест парчета). Събирайки тези парчета, получаваме (седем парчета от шест). Тази дроб е неправилна, затова избрахме цялата част в нея. В резултат получихме (една цяла пица и още една шеста пица).

Имайте предвид, че сме описали този пример твърде подробно. В образователните институции не е обичайно да се пише толкова подробно. Трябва да можете бързо да намерите LCM както на знаменателите, така и на допълнителните фактори към тях, както и бързо да умножите намерените допълнителни фактори по вашите числители и знаменатели. Докато сме в училище, ще трябва да напишем този пример, както следва:

Но има и обратна страна на монетата. Ако на първите етапи на изучаване на математика не правите подробни бележки, тогава започват да се появяват въпроси от рода „Откъде идва тази цифра?“ „Защо дробите изведнъж се превръщат в напълно различни дроби? «.

За да улесните добавянето на дроби с различни знаменатели, можете да използвате следните инструкции стъпка по стъпка:

1. Намерете LCM на знаменателите на дроби;
2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб;
3. Умножете числителите и знаменателите на дробите по вашите допълнителни фактори;
4. Добавете дроби, които имат един и същ знаменател;
5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, изберете цялата му част;

Пример 2.Намерете стойността на израз .

Нека използваме инструкциите по-горе.

Стъпка 1. Намерете LCM на знаменателите на дроби

Намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателите на дробите са числата 2, 3 и 4.

Стъпка 2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб

Разделяме LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 2. Разделяме 12 на 2, получаваме 6. Получаваме първия допълнителен фактор 6. Записваме го върху първата дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Получаваме втория допълнителен фактор 4. Записваме го върху втората дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на третата дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Получаваме третия допълнителен фактор 3. Записваме го върху третата дроб:

Стъпка 3. Умножете числителите и знаменателите на дробите по вашите допълнителни фактори

Умножаваме числителите и знаменателите по нашите допълнителни фактори:

Стъпка 4. Добавете дроби със същия знаменател

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превърнаха в дроби с еднакви (общи) знаменатели. Остава да добавим тези фракции. Добавяме:

Добавката не се побира на един ред, така че преместихме останалия израз на следващия ред. Това е позволено в математиката. Когато изразът не се побира на един ред, той се прехвърля на следващия ред и винаги трябва да поставяте знак за равенство (=) в края на първия ред и в началото на нов ред. Знакът за равенство на втория ред показва, че това е продължение на израза, който е бил на първия ред.

Стъпка 5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, изберете цялата част в него

Получихме грешна дроб в нашия отговор. Трябва да изберем цялата част от него. Акцент:

Получи отговор

Изваждане на дроби със същия знаменател

Има два вида изваждане на дроби:

1. Изваждане на дроби със същия знаменател
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели

Първо, нека проучим изваждането на дроби със същия знаменател. Тук всичко е просто. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателят същият.

Например, нека намерим стойността на израз. За да решите този пример, извадете числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и оставете знаменателя непроменен. Така че нека го направим:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако се замислите за пицата, която е разделена на четири части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 2.Намерете стойността на израза.

Отново извадете числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и оставете знаменателя непроменен:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако се замислите за пицата, която е разделена на три части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 3.Намерете стойността на израз

Този пример се решава по същия начин като предишните. От числителя на първата дроб трябва да извадите числителите на останалите дроби:

Както можете да видите, няма нищо трудно в изваждането на дроби със същите знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателят непроменен;
2. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава трябва да изберете цялата част в него.

Изваждане на дроби с различни знаменатели

Например, можете да извадите дроб от дроб, тъй като тези дроби имат един и същ знаменател. Но не можете да извадите дроб от дроб, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да бъдат намалени до един и същ (общ) знаменател.

Общият знаменател се намира по същия принцип, който използвахме при събирането на дроби с различни знаменатели. Първо, намерете LCM на знаменателите на двете дроби. След това LCM се разделя на знаменателя на първата дроб и се получава първият допълнителен фактор, който се записва върху първата дроб. По същия начин LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен фактор, който се записва върху втората дроб.

След това фракциите се умножават по техните допълнителни фактори. В резултат на тези операции дроби с различни знаменатели се превръщат във дроби с еднакви знаменатели. Вече знаем как да изваждаме такива дроби.

Пример 1.Намерете стойността на израз:

Тези дроби имат различни знаменатели, така че трябва да ги доведете до един и същ (общ) знаменател.

Първо, намираме LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е 3, а знаменателят на втората дроб е 4. Най-малкото общо кратно на тези числа е 12

LCM (3 и 4) = 12

Сега обратно към дробите и

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. За да направите това, разделяме LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделете 12 на 3, получаваме 4. Напишете четирите върху първата дроб:

Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Разделете 12 на 4, получаваме 3. Напишете трите върху втората дроб:

Вече сме готови да извадим. Остава да умножим дробите по техните допълнителни фактори:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. Вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример до края:

Получи отговор

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на картина. Ако режете пици от пица, получавате пица

Това е подробна версия на решението. В училище ще трябва да решим този пример по по-кратък начин. Такова решение би изглеждало така:

Намаляването на дробите и до общ знаменател също може да бъде изобразено с помощта на фигурата. Привеждайки тези дроби до общ знаменател, получаваме дроби и. Тези фракции ще бъдат представени от едни и същи резени пица, но този път те ще бъдат разделени на равни дялове (намалени до същия знаменател):

Първият чертеж изобразява дроб (осем от дванадесет парчета), а вторият чертеж изобразява дроб (три от дванадесет парчета). Отрязвайки три парчета от осем, получаваме пет парчета от дванадесет. Дроби и описва тези пет парчета.

Пример 2.Намерете стойността на израз

Тези дроби имат различни знаменатели, така че първо трябва да ги доведете до един и същ (общ) знаменател.

Нека намерим LCM на знаменателите на тези дроби.

Знаменателите на дробите са 10, 3 и 5. Най-малкото общо кратно на тези числа е 30

LCM (10, 3, 5) = 30

Сега намираме допълнителни фактори за всяка дроб. За да направите това, разделяме LCM на знаменателя на всяка дроб.

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на първата дроб е 10. Разделяме 30 на 10, получаваме първия допълнителен фактор 3. Записваме го върху първата дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за втората дроб. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 30 на 3, получаваме втория допълнителен фактор 10. Записваме го върху втората дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за третата дроб. Разделете LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на третата дроб е 5. Разделете 30 на 5, получаваме третия допълнителен фактор 6. Записваме го върху третата дроб:

Вече всичко е готово за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни фактори:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превърнаха в дроби с еднакви (общи) знаменатели. Вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример.

Продължението на примера няма да се побере на един ред, така че прехвърляме продължението на следващия ред. Не забравяйте за знака за равенство (=) на нов ред:

В отговора получихме правилната дроб и всичко изглежда ни устройва, но е твърде тромаво и грозно. Трябваше да го направим по-лесно. Какво може да се направи? Можете да съкратите тази фракция.

За да намалите една дроб, трябва да разделите нейния числител и знаменател на (GCD) числа 20 и 30.

И така, намираме GCD на числа 20 и 30:

Сега се връщаме към нашия пример и разделяме числителя и знаменателя на дроба на намерения GCD, тоест на 10

Получи отговор

Умножаване на дроб по число

За да умножите дроб по число, трябва да умножите числителя на тази дроб по това число и да оставите знаменателя същият.

Пример 1... Умножете дроба по 1.

Умножете числителя на дроба по 1

Записването може да се разбира като отнемане на половин 1 път. Например, ако вземете пици 1 път, получавате пици

От законите за умножение знаем, че ако множителят и факторът се обърнат, тогава продуктът няма да се промени. Ако изразът е написан като, тогава продуктът все още ще бъде равен. Отново, правилото за умножение на цяло число и дроб работи:

Този запис може да се разбира като вземане на половината от едно. Например, ако има 1 цяла пица и вземем половината от нея, тогава ще имаме пица:

Пример 2... Намерете стойността на израз

Умножете числителя на вашата дроб по 4

Отговорът е неправилна дроб. Нека изберем цялата част в него:

Изразът може да се разбере като вземане на две четвърти 4 пъти. Например, ако вземете пици 4 пъти, получавате две цели пици.

И ако разменим множителя и множителя на места, получаваме израза. То също ще бъде равно на 2. Този израз може да се разбере като вземане на две пици от четири цели пици:

Умножение на дроби

За да умножите дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, трябва да изберете цялата част в него.

Пример 1.Намерете стойността на израза.

Получихме отговор. Желателно е тази фракция да се съкрати. Фракцията може да бъде намалена с 2. Тогава окончателното решение ще бъде в следния вид:

Изразът може да се разбере като вземане на пица от половината от пицата. Да кажем, че имаме половин пица:

Как да получите две трети от тази половина? Първо, трябва да разделите тази половина на три равни части:

И вземете две от тези три парчета:

Ще направим пица. Спомнете си как изглежда пицата, когато е разделена на три части:

Една филийка от тази пица и двете резени, които взехме, ще имат същите размери:

С други думи, говорим за същия размер на пица. Следователно стойността на израза е

Пример 2... Намерете стойността на израз

Умножаваме числителя на първата дроб по числителя на втората дроб, а знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът е неправилна дроб. Нека изберем цялата част в него:

Пример 3.Намерете стойността на израз

Умножаваме числителя на първата дроб по числителя на втората дроб, а знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът е правилна дроб, но ще бъде добре, ако я намалите. За да намалите тази дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на тази дроб на най-големия общ делител (GCD) на 105 и 450.

И така, нека намерим GCD на числа 105 и 450:

Сега разделяме числителя и знаменателя на нашия отговор на GCD, който сега намерихме, тоест на 15

Дробно представяне на цяло число

Всяко цяло число може да бъде представено като дроб. Например числото 5 може да бъде представено като. От това петте няма да променят стойността си, тъй като изразът означава "числото пет, разделено на едно", а това, както знаете, е равно на пет:

Обратни числа

Сега ще се запознаем с една много интересна тема по математика. Нарича се "задни номера".

Определение. Обратното на числотоа е число, което, когато се умножи поа дава един.

Нека заместим в тази дефиниция вместо променлива аномер 5 и се опитайте да прочетете определението:

Обратното на числото 5 е число, което, когато се умножи по 5 дава един.

Можете ли да намерите число, което, умножено по 5, дава едно? Оказва се, че можете. Нека представим петте като дроб:

След това умножете тази дроб сама по себе си, просто сменете местата на числителя и знаменателя. С други думи, умножаваме дробата сама по себе си, само обърната:

Какъв ще бъде резултатът от това? Ако продължим да решаваме този пример, получаваме такъв:

Това означава, че обратното на 5 е число, защото когато 5 се умножи по, се получава едно.

Реципрочната стойност може да се намери и за всяко друго цяло число.

Можете също да намерите реципрочната за всяка друга дроб. За да направите това, просто го обърнете.

Деление на дроб на число

Да кажем, че имаме половин пица:

Нека го разделим поравно на две. Колко пица ще получи всеки?

Вижда се, че след разделянето на половината от пицата има две равни филийки, всяка от които съставлява пица. Така всеки получава пица.

Разделянето на дроби се извършва с помощта на реципрочни числа. Обратните числа ви позволяват да замените деленето с умножение.

За да разделите дроб на число, трябва да умножите тази дроб по обратното число на делителя.

Използвайки това правило, нека запишем разделянето на нашата половина от пицата на две части.

Така че, трябва да разделите дроба на числото 2. Тук делимото е дробът, а делителят е числото 2.

За да разделите дроб на 2, трябва да умножите тази дроб по обратното число на делителя 2. Реципрочната стойност на 2 е дроб. Така че трябва да умножите по

Дробите са обикновени числа и могат да се събират и изваждат също. Но поради факта, че имат знаменател, те изискват по-сложни правила, отколкото за цели числа.

Помислете за най-простия случай, когато има две дроби с един и същ знаменател. Тогава:

За да добавите дроби със същия знаменател, добавете техните числители и оставете знаменателя непроменен.

За да извадите дроби със същия знаменател, извадете числителя на втората от числителя на първата дроб и оставете знаменателя непроменен.

Във всеки израз знаменателите на дробите са равни. Чрез дефиницията за събиране и изваждане на дроби получаваме:

Както можете да видите, нищо сложно: просто добавете или извадете числителите и това е всичко.

Но дори в такива прости действия хората успяват да направят грешки. Това, което най-често се забравя е, че знаменателят не се променя. Например, когато се добавят, те също започват да добавят и това е фундаментално погрешно.

Доста лесно е да се отървете от лошия навик да добавяте знаменатели. Опитайте се да направите същото за изваждане. В резултат на това знаменателят ще бъде нула, а дробът (внезапно!) Ще загуби смисъла си.

Затова запомнете веднъж завинаги: знаменателят не се променя при събиране и изваждане!

Освен това мнозина правят грешки, когато добавят няколко отрицателни дроби. Има объркване със знаците: къде да поставите минус и къде да поставите плюс.

Този проблем също е много лесен за решаване. Достатъчно е да запомните, че минусът пред знака на дроба винаги може да се прехвърли в числителя - и обратно. И разбира се, не забравяйте две прости правила:

1. Плюс и минус дава минус;
2. Два отрицания правят утвърдително.

Нека анализираме всичко това с конкретни примери:

Задача. Намерете значението на израза:

В първия случай всичко е просто, но във втория добавяме минусите към числителите на дробите:

Какво да направите, ако знаменателите са различни

Не можете директно да добавяте дроби с различни знаменатели. Поне за мен този метод е непознат. Въпреки това, оригиналните дроби винаги могат да бъдат пренаписани, така че знаменателите да станат еднакви.

Има много начини за преобразуване на дроби. Три от тях са разгледани в урока "Свеждане на дроби до общ знаменател", така че тук няма да се спираме на тях. Нека разгледаме по-добре примери:

Задача. Намерете значението на израза:

В първия случай привеждаме дробите до общ знаменател, използвайки метода на кръстосано кръстосване. Във втория ще търсим LCM. Забележете, че 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последните множители в тези разложения са равни, а първите са взаимно прости. Следователно LCM (6; 9) = 2 3 3 = 18.

Какво да направите, ако дроб има цяла част

Мога да ви зарадвам: различните знаменатели за дроби все още не са най-голямото зло. Много повече грешки възникват, когато цялата част е избрана във дроби.

Разбира се, има собствени алгоритми за събиране и изваждане за такива дроби, но те са доста сложни и изискват дълго проучване. По-добре използвайте простата схема по-долу:

1. Преобразувайте всички дроби, съдържащи цяло число, в неправилни. Получаваме нормални термини (дори и с различни знаменатели), които се изчисляват по правилата, разгледани по-горе;
2. Всъщност изчислете сумата или разликата на получените дроби. В резултат на това практически ще намерим отговора;
3. Ако това е всичко, което се изискваше в задачата, ние извършваме обратното преобразуване, т.е. отърваваме се от неправилната дроб, като подчертаваме цялата част в нея.

Правилата за преминаване към неправилни дроби и открояване на цялата част са описани подробно в урока „Какво е числова дроб”. Ако не си спомняте, не забравяйте да го повторите. Примери:

Задача. Намерете значението на израза:

Тук всичко е просто. Знаменателите във всеки израз са равни, така че остава да преобразуваме всички дроби в неправилни и да преброим. Ние имаме:

За да опростя нещата, пропуснах някои от очевидните стъпки в последните примери.

Малка забележка към последните два примера, където дробите с подчертана цяла част се изваждат. Минусът пред втората дроб означава, че се изважда цялата дроб, а не само цялата й дроб.

Прочетете отново това изречение, разгледайте примерите - и помислете за него. Това е мястото, където начинаещите правят огромен брой грешки. Те обичат да дават такива задачи на тестови работи. Също така ще ги срещнете много пъти в тестовете за този урок, които ще бъдат публикувани скоро.

Резюме: обща изчислителна схема

В заключение ще дам общ алгоритъм, който ще ви помогне да намерите сумата или разликата на две или повече дроби:

1. Ако една или повече дроби имат цяла част, преобразувайте тези дроби в неправилни;
2. Приведете всички дроби до общ знаменател по удобен за вас начин (освен ако, разбира се, авторите на проблема не са направили това);
3. Съберете или извадете получените числа според правилата за събиране и изваждане на дроби със същите знаменатели;
4. Намалете резултата, ако е възможно. Ако фракцията е грешна, изберете цялата част.

Не забравяйте, че е по-добре да изберете цялата част в самия край на задачата, непосредствено преди да запишете отговора.