Équation du cercle. Coordonnées cartésiennes des points du plan. Équation d'un cercle Exemples d'équation d'un cercle

Le but de la leçon : introduire l'équation d'un cercle, apprendre aux élèves à tracer une équation d'un cercle selon un dessin fini, construire un cercle selon une équation donnée.

Équipement: tableau blanc interactif.

Plan de cours:

1. Moment d'organisation - 3 min.
2. Répétition. Organisation de l'activité mentale - 7 min.
3. Explication du nouveau matériel. Dérivation de l'équation du cercle - 10 min.
4. Consolidation du matériel étudié - 20 min.
5. Résumé de la leçon - 5 min.

Pendant les cours

2. Répétition :

− (Annexe 1 diapositive 2) notez la formule pour trouver les coordonnées du milieu du segment;

− (Diapositive 3) Zécrivez la formule de la distance entre les points (la longueur du segment).

3. Explication du nouveau matériel.

(Diapositives 4 à 6) Définir l'équation d'un cercle. Déduire les équations d'un cercle centré en un point ( un;b) et centré à l'origine.

(X – un ) 2 + (à – b ) 2 = R 2 − équation du cercle de centre À PARTIR DE (un;b) , rayon R , X et à – coordonnées d'un point arbitraire sur le cercle .

X 2 + y 2 = R 2 est l'équation d'un cercle centré à l'origine.

(Diapositive 7)

Pour écrire l'équation d'un cercle, il faut :

• connaître les coordonnées du centre;
• connaître la longueur du rayon ;
• remplacer les coordonnées du centre et la longueur du rayon dans l'équation du cercle.

4. Résolution de problèmes.

Dans les tâches n ° 1 à n ° 6, tracez les équations du cercle en fonction des dessins finis.

(Diapositive 14)

№ 7. Remplis le tableau.

(Diapositive 15)

№ 8. Construire des cercles dans le cahier donnés par les équations :

un) ( X – 5) 2 + (à + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (à– 7) 2 = 7 2 .

(Diapositive 16)

№ 9. Trouver les coordonnées du centre et la longueur du rayon si UN B est le diamètre du cercle.

Donné:		Décision:
		R	Coordonnées du centre
1	ET(0 ; -6) À(0 ; 2)	UN B 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; UN B 2 = 64; UN B = 8 .	ET(0; -6) À(0 ; 2) À PARTIR DE(0 ; – 2) – centre
2	ET(-2 ; 0) À(4 ; 0)	UN B 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; UN B 2 = 36; UN B = 6.	ET (-2;0) À (4 ;0) À PARTIR DE(1 ; 0) – centre

(Diapositive 17)

№ 10. Écrire l'équation d'un cercle centré à l'origine passant par le point Pour(-12;5).

Décision.

R2 = D'accord 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Équation du cercle : x 2 + y 2 = 169 .

(Diapositive 18)

№ 11. Ecrire l'équation d'un cercle passant par l'origine et centré au point À PARTIR DE(3; - 1).

Décision.

R2= SE 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Équation du cercle : ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Diapositive 19)

№ 12. Ecrire l'équation d'un cercle de centre ET(3;2) en passant par À(7;5).

Décision.

1. Le centre du cercle - ET(3;2);
2.R = UN B;
UN B 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; UN B = 5;
3. Équation du cercle ( X – 3) 2 + (à − 2) 2 = 25.

(Diapositive 20)

№ 13. Vérifiez si les points se trouvent ET(1; -1), À(0;8), À PARTIR DE(-3 ; -1) sur le cercle donné par l'équation ( X + 3) 2 + (à − 4) 2 = 25.

Décision.

je. Remplacer les coordonnées du point ET(1 ; -1) dans l'équation du cercle :

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - l'égalité est incorrecte, ce qui signifie ET(1; -1) ne ment pas sur le cercle donné par l'équation ( X + 3) 2 + (à − 4) 2 = 25.

II. Remplacer les coordonnées du point À(0;8) dans l'équation du cercle :

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
À(0;8)mensonges X + 3) 2 + (à − 4) 2 = 25.

III. Remplacer les coordonnées du point À PARTIR DE(-3 ; -1) dans l'équation du cercle :

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - l'égalité est vraie, donc À PARTIR DE(-3; -1) mensonges sur le cercle donné par l'équation ( X + 3) 2 + (à − 4) 2 = 25.

Résumé de la leçon.

1. Répétition : équation d'un cercle, équation d'un cercle centré à l'origine.
2. (Diapositive 21) Devoirs.

La géométrie analytique fournit des méthodes uniformes pour résoudre les problèmes géométriques. Pour ce faire, tous les points et lignes donnés et souhaités sont référés au même système de coordonnées.

Dans un système de coordonnées, chaque point peut être caractérisé par ses coordonnées, et chaque droite par une équation à deux inconnues, dont cette droite est un graphe. Ainsi, le problème géométrique est réduit à un problème algébrique, où toutes les méthodes de calcul sont bien développées.

Un cercle est un lieu de points avec une propriété spécifique (chaque point du cercle est équidistant d'un point, appelé le centre). L'équation du cercle doit refléter cette propriété, satisfaire cette condition.

L'interprétation géométrique de l'équation d'un cercle est la ligne d'un cercle.

Si nous plaçons un cercle dans un système de coordonnées, tous les points du cercle satisfont à une condition - la distance entre eux et le centre du cercle doit être la même et égale au cercle.

Cercle centré en un point ET et rayon R placé dans le plan de coordonnées.

Si les coordonnées du centre (un B) , et les coordonnées de n'importe quel point du cercle (x; y) , alors l'équation du cercle a la forme :

Si le carré du rayon d'un cercle est égal à la somme des différences au carré des coordonnées correspondantes de tout point du cercle et de son centre, alors cette équation est l'équation d'un cercle dans un système de coordonnées planes.

Si le centre du cercle coïncide avec le point d'origine, alors le carré du rayon du cercle est égal à la somme des carrés des coordonnées de tout point du cercle. Dans ce cas, l'équation du cercle prend la forme :

Par conséquent, toute figure géométrique en tant que lieu de points est déterminée par une équation reliant les coordonnées de ses points. Inversement, l'équation reliant les coordonnées X et à , définir une ligne comme le lieu des points dans le plan dont les coordonnées satisfont l'équation donnée.

Exemples de résolution de problèmes sur l'équation d'un cercle

Une tâche. Écrire une équation pour un cercle donné

Écrivez l'équation d'un cercle centré au point O (2;-3) et de rayon 4.

Décision.
Passons à la formule de l'équation du cercle :
R 2 \u003d (xa) 2 + (yb) 2

Remplacez les valeurs dans la formule.
Rayon du cercle R = 4
Coordonnées du centre du cercle (selon la condition)
un = 2
b=-3

On a:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
ou alors
(x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16 .

Une tâche. Un point appartient-il à l'équation d'un cercle

Vérifiez si le point appartient A(2;3)équation du cercle (x - 2) 2 + (a + 3) 2 = 16 .

Décision.
Si un point appartient à un cercle, alors ses coordonnées satisfont l'équation du cercle.
Pour vérifier si un point avec des coordonnées données appartient au cercle, nous substituons les coordonnées du point dans l'équation du cercle donné.

Dans l'équation ( X - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
on substitue, selon la condition, les coordonnées du point A (2; 3), c'est-à-dire
x=2
y=3

Vérifions la vérité de l'égalité obtenue
(X - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 l'égalité c'est mal

Donc le point donné n'appartient paséquation du cercle donnée.

circonférence est l'ensemble des points du plan équidistants d'un point donné, appelé centre.

Si le point C est le centre du cercle, R est son rayon et M est un point arbitraire sur le cercle, alors par définition d'un cercle

L'égalité (1) est équation du cercle rayon R centré au point C.

Soit un repère cartésien rectangulaire (Fig. 104) et un point C ( un; b) est le centre d'un cercle de rayon R. Soit М( X; à) est un point arbitraire de ce cercle.

Depuis |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), alors l'équation (1) peut s'écrire comme suit :

\(\sqrt((x - une)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

L'équation (2) est appelée l'équation générale d'un cercle soit l'équation d'un cercle de rayon R centré au point ( un; b). Par exemple, l'équation

(X - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

est l'équation d'un cercle de rayon R = 5 centré au point (1; -3).

Si le centre du cercle coïncide avec l'origine, alors l'équation (2) prend la forme

X 2 + à 2 = R2. (3)

L'équation (3) est appelée l'équation canonique du cercle .

Tache 1. Ecrire l'équation d'un cercle de rayon R = 7 centré à l'origine.

En substituant directement la valeur du rayon dans l'équation (3), nous obtenons

X 2 + à 2 = 49.

Tâche 2.Écrivez l'équation d'un cercle de rayon R = 9 centré au point C(3; -6).

En substituant la valeur des coordonnées du point C et la valeur du rayon dans la formule (2), on obtient

(X - 3) 2 + (à- (-6)) 2 = 81 ou ( X - 3) 2 + (à + 6) 2 = 81.

Tâche 3. Trouver le centre et le rayon d'un cercle

(X + 3) 2 + (à-5) 2 =100.

En comparant cette équation avec l'équation générale du cercle (2), on voit que un = -3, b= 5, R = 10. Par conséquent, С(-3 ; 5), R = 10.

Tâche 4. Montrer que l'équation

X 2 + à 2 + 4X - 2y - 4 = 0

est l'équation du cercle. Trouvez son centre et son rayon.

Transformons le côté gauche de cette équation :

X 2 + 4X + 4- 4 + à 2 - 2à +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (à - 1) 2 = 9.

Cette équation est l'équation d'un cercle centré en (-2 ; 1) ; le rayon du cercle est 3.

Tâche 5.Écrire l'équation d'un cercle centré au point C(-1 ; -1) touchant la droite AB si A (2 ; -1), B(-1 ; 3).

Écrivons l'équation de la droite AB :

ou 4 X + 3y-5 = 0.

Puisque le cercle est tangent à la ligne donnée, le rayon tracé au point de contact est perpendiculaire à cette ligne. Pour trouver le rayon, vous devez trouver la distance entre le point C (-1; -1) - le centre du cercle et la ligne droite 4 X + 3y-5 = 0:

Écrivons l'équation du cercle désiré

(X +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Soit un cercle donné dans un système de coordonnées rectangulaires X 2 + à 2 = R2. Considérons son point arbitraire M( X; à) (fig. 105).

Soit le rayon vecteur OM> le point M forme un angle de grandeur t avec le sens positif de l'axe O X, alors l'abscisse et l'ordonnée du point M changent en fonction de t

(0 t x et y à travers t, nous trouvons

X= Rcos t ; y= R sin t , 0 t

Les équations (4) sont appelées équations paramétriques d'un cercle centré à l'origine.

Tâche 6. Le cercle est donné par les équations

X= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Écrivez l'équation canonique de ce cercle.

Il découle de la condition X 2 = 3 cos 2 t, à 2 = 3 péché 2 t. En additionnant ces égalités terme à terme, on obtient

X 2 + à 2 = 3(cos 2 t+ péché 2 t)

ou alors X 2 + à 2 = 3

Que le cercle ait un rayon , et son centre est au point
. Point
se trouve sur le cercle si et seulement si le module du vecteur
équivaut à , C'est. La dernière égalité est vraie si et seulement si

L'équation (1) est l'équation de cercle souhaitée.

L'équation d'une droite passant par un point donné est perpendiculaire à un vecteur donné

perpendiculaire au vecteur
.

Point

et
sont perpendiculaires. Vecteurs
et
sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul, c'est-à-dire
. En utilisant la formule de calcul du produit scalaire de vecteurs donnés par leurs coordonnées, nous écrivons l'équation de la droite souhaitée sous la forme

Prenons un exemple. Trouver l'équation d'une droite passant par

le milieu du segment AB est perpendiculaire à ce segment si les coordonnées des points sont respectivement égales à A (1 ; 6), B (5 ; 4).

Nous argumenterons comme suit. Pour trouver l'équation d'une droite, il faut connaître le point par lequel passe cette droite, et le vecteur perpendiculaire à cette droite. Le vecteur perpendiculaire à cette droite sera le vecteur, puisque, selon la condition du problème, la droite est perpendiculaire au segment AB. Point
on détermine à partir de la condition que la droite passe par le milieu de AB. Nous avons . De cette façon
et l'équation prendra la forme.

Précisons la question de savoir si cette droite passe par le point M(7;3).

Nous avons , ce qui signifie que cette ligne ne passe pas par le point spécifié.

Équation d'une droite passant par un point donné, parallèle à un vecteur donné

Laissez la ligne passer par le point
parallèle au vecteur
.

Point
est sur une droite si et seulement si les vecteurs
et
colinéaire. Vecteurs
et
sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire

(3)

L'équation résultante est l'équation de la droite recherchée.

L'équation (3) peut être représentée par

, où prend n'importe quelle valeur
.

Par conséquent, nous pouvons écrire

, où
(4)

Le système d'équations (4) est appelé les équations paramétriques de la droite.

Prenons un exemple. Trouver l'équation d'une droite passant par les points. Nous pouvons construire l'équation d'une droite si nous connaissons un point et un vecteur parallèle ou perpendiculaire à celui-ci. Deux points sont disponibles. Mais si deux points se trouvent sur une ligne, alors le vecteur qui les relie sera parallèle à cette ligne. Par conséquent, nous utilisons l'équation (3), en prenant comme vecteur
vecteur
. On a

(5)

L'équation (5) est appelée l'équation d'une droite passant par deux points donnés.

Équation générale d'une droite

Définition. L'équation générale d'une droite du premier ordre sur un plan est une équation de la forme
, où
.

Théorème. Toute ligne droite dans le plan peut être donnée comme une équation de ligne du premier ordre, et toute équation de ligne du premier ordre est une équation d'une ligne droite dans le plan.

La première partie de ce théorème est facile à prouver. Sur n'importe quelle ligne, vous pouvez spécifier un point
vecteur qui lui est perpendiculaire
. Alors, d'après (2), l'équation d'une telle droite a la forme Dénoter
. L'équation prendra alors la forme
.

Passons maintenant à la deuxième partie du théorème. Soit une équation
, où
. Pour être précis, nous supposerons
.

Réécrivons l'équation sous la forme :

;

Considérons un point sur le plan
, où
. Alors l'équation résultante a la forme , et est l'équation d'une droite passant par le point
perpendiculaire au vecteur
. Le théorème a été démontré.

Dans le processus de démonstration du théorème, nous avons prouvé en cours de route

Déclaration. S'il existe une équation de droite
, alors le vecteur
perpendiculaire à cette ligne.

Équation de type
s'appelle l'équation générale d'une droite dans un plan.

Qu'il y ait une ligne
et point
. Il est nécessaire de déterminer la distance entre le point spécifié et la ligne.

Considérons un point arbitraire
sur une ligne droite. Nous avons
. Distance de ce point
à la droite est égal au module de la projection du vecteur
par vecteur
perpendiculaire à cette ligne. Nous avons

,

transformer, on obtient la formule :

Soit deux droites données par les équations générales

,
. Ensuite les vecteurs

perpendiculaires aux première et deuxième lignes, respectivement. Coin
entre les lignes est égal à l'angle entre les vecteurs
,
.

Alors la formule pour déterminer l'angle entre les lignes est :

.

La condition de perpendicularité des lignes a la forme :

.

Les droites sont parallèles ou coïncident si et seulement si les vecteurs

colinéaire. Où la condition de coïncidence des lignes a la forme:
,

et la condition de non-intersection s'écrit :
. Prouvez vous-même les deux dernières conditions.

Étudions le comportement de la droite selon son équation générale.

Donnons l'équation générale d'une droite
. Si
, alors la droite passe par l'origine.

Considérons le cas où aucun des coefficients n'est égal à zéro
. On réécrit l'équation sous la forme :

,

,

Où
. Découvrez la signification des paramètres
. Trouvez les points d'intersection de la ligne avec les axes de coordonnées. À
Nous avons
, et quand
Nous avons
. C'est-à-dire
- ce sont les segments coupés par une droite sur les axes de coordonnées. Par conséquent, l'équation
s'appelle l'équation d'une droite en segments.

Lorsque
Nous avons

. Lorsque
Nous avons
. Autrement dit, la ligne sera parallèle à l'axe .

Rappeler que pente d'une droite s'appelle la tangente de l'angle d'inclinaison de cette droite à l'axe
. Laisser la droite coupée sur l'axe segment de ligne et a une pente . Laissez le point
se trouve là-dessus

Puis
==. Et l'équation d'une droite s'écrira sous la forme

.

Laissez la ligne passer par le point
et a une pente . Laissez le point
se trouve sur cette ligne.

Puis =
.

L'équation résultante est appelée l'équation d'une droite passant par un point donné avec une pente donnée.

Donnons deux lignes
,
. Dénoter
est l'angle entre eux. Laisser ,angles d'inclinaison par rapport à l'axe X des lignes correspondantes

Puis
=
,
.

Alors la condition des droites parallèles a la forme
, et la condition de perpendicularité

En conclusion, nous considérons deux problèmes.

Une tâche . Les sommets du triangle ABC ont pour coordonnées : A(4;2), B(10;10), C(20;14).

Trouver : a) l'équation et la longueur de la médiane tirée du sommet A ;

b) l'équation et la longueur de la hauteur tirée du sommet A ;

c) l'équation de la bissectrice tirée du sommet A ;

Définissons l'équation de la médiane AM.

Le point M () est le milieu du segment BC.

Puis , . Par conséquent, le point M a pour coordonnées M(15;17). L'équation médiane dans le langage de la géométrie analytique est l'équation d'une droite passant par le point A (4 ; 2) parallèle au vecteur = (11 ; 15). Alors l'équation médiane est Longueur médiane AM= .

L'équation de hauteur AS est l'équation d'une droite passant par le point A(4;2) perpendiculaire au vecteur =(10;4). Alors l'équation de hauteur est 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.

La longueur de la hauteur est la distance du point A (4 ; 2) à la droite BC. Cette droite passe par le point B(10;10) parallèle au vecteur =(10;4). Son équation est , 2x-5a+30=0. La distance AS du point A(4;2) à la droite BC est donc égale à AS= .

Pour déterminer l'équation de la bissectrice, on trouve un vecteur parallèle à cette droite. Pour ce faire, on utilise la propriété de la diagonale d'un losange. Si les vecteurs unitaires sont écartés du point A et sont également dirigés avec les vecteurs, alors un vecteur égal à leur somme sera parallèle à la bissectrice. Alors on a =+.

={6;8}, , ={16,12}, .

Alors = Le vecteur = (1; 1), colinéaire à celui donné, peut servir de vecteur directeur de la droite recherchée. Alors l'équation de la droite désirée a vu x-y-2=0.

Une tâche. La rivière coule en ligne droite passant par les points A(4;3) et B(20;11). Le Petit Chaperon Rouge habite au point C(4;8), et sa grand-mère habite au point D(13;20). Chaque matin, le Petit Chaperon Rouge prend un seau vide de la maison, va à la rivière, puise de l'eau et l'apporte à sa grand-mère. Trouvez le chemin le plus court pour le Petit Chaperon Rouge.

Trouvons le point E, symétrique à la grand-mère, par rapport à la rivière.

Pour ce faire, on trouve d'abord l'équation de la droite le long de laquelle coule la rivière. Cette équation peut être considérée comme l'équation d'une droite passant par le point A(4;3) parallèle au vecteur. Alors l'équation de la droite AB a la forme.

On trouve ensuite l'équation de la droite DE passant par le point D perpendiculaire à AB. Elle peut être considérée comme l'équation d'une droite passant par le point D, perpendiculaire au vecteur
. Nous avons

Trouvons maintenant le point S - la projection du point D sur la ligne AB, à l'intersection des lignes AB et DE. Nous avons un système d'équations

.

Par conséquent, le point S a pour coordonnées S(18;10).

Puisque S est le milieu du segment DE, alors .

De même.

Par conséquent, le point E a pour coordonnées E(23;0).

Trouvons l'équation de la droite CE, connaissant les coordonnées de deux points de cette droite

Nous trouvons le point M comme l'intersection des lignes AB et CE.

Nous avons un système d'équations

.

Donc le point M a pour coordonnées
.

Sujet 2 Le concept de l'équation de surface dans l'espace. Équation de sphère. L'équation d'un plan passant par un point donné est perpendiculaire à un vecteur donné. L'équation générale du plan et son étude Condition de parallélisme de deux plans. La distance d'un point à un plan. Le concept de l'équation de droite. Ligne droite dans l'espace. Équations canoniques et paramétriques d'une droite dans l'espace. Équations d'une droite passant par deux points donnés. Conditions de parallélisme et de perpendicularité d'une droite et d'un plan.

Définissons d'abord le concept d'équation de surface dans l'espace.

Laisser entrer l'espace
une certaine surface est donnée . L'équation
s'appelle l'équation de surface si deux conditions sont remplies :

1.pour n'importe quel point
avec coordonnées
allongé à la surface,
, c'est-à-dire que ses coordonnées satisfont l'équation de surface ;

2. n'importe quel point
, dont les coordonnées satisfont l'équation
, se trouve sur la ligne.