कारक संख्याओं के विस्तार को लिखते हैं। फैक्टरिंग - ऑनलाइन कैलकुलेटर

गुणनखंडन करने का क्या अर्थ है? इसका अर्थ है उन संख्याओं को खोजना जिनका गुणनफल मूल संख्या के बराबर है।

यह समझने के लिए कि गुणनखंड करने का क्या अर्थ है, एक उदाहरण पर विचार करें।

किसी संख्या को फ़ैक्टर करने का एक उदाहरण

संख्या 8 का गुणनखंड करें।

संख्या 8 को 2 बटा 4 के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है:

8 को 2*4 के गुणनफल के रूप में निरूपित करना और इसलिए गुणनखंडन करना।

ध्यान दें कि यह केवल 8 का गुणनखंड नहीं है।

आखिरकार, 4 का गुणनखंड इस प्रकार है:

यहां से 8 का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

आइए हमारे उत्तर की जाँच करें। आइए जानें कि गुणनखंड किसके बराबर है:

यानी हमें असली नंबर मिला, जवाब सही है।

संख्या 24 . का गुणनखंड करें

संख्या 24 का गुणनखंड कैसे करें?

एक संख्या अभाज्य कहलाती है यदि वह केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हो।

संख्या 8 को 3 बटा 8 के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है:

यहां 24 नंबर का गुणनखंड है। लेकिन कार्य कहता है "संख्या 24 का गुणनखंड करना", अर्थात। हमें प्रमुख कारकों की आवश्यकता है। और हमारे विस्तार में, 3 एक अभाज्य गुणनखंड है, और 8 अभाज्य गुणनखंड नहीं है।

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यह आलेख किसी संख्या को शीट में फ़ैक्टर करने के बारे में प्रश्न का उत्तर देता है। विचार करना सामान्य विचारउदाहरण के साथ अपघटन के बारे में। आइए हम अपघटन के विहित रूप और इसके एल्गोरिथम का विश्लेषण करें। विभाज्यता के संकेतों और गुणन तालिका का उपयोग करके सभी वैकल्पिक विधियों पर विचार किया जाएगा।

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किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में बदलने का क्या अर्थ है?

आइए प्रमुख कारकों की अवधारणा पर एक नज़र डालें। यह ज्ञात है कि प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड एक अभाज्य संख्या है। फॉर्म 2 7 7 23 के उत्पाद में हमारे पास 2, 7, 7, 23 के रूप में 4 अभाज्य गुणनखंड हैं।

फैक्टरिंग में प्राइम के उत्पादों के रूप में इसका प्रतिनिधित्व शामिल है। यदि आप संख्या 30 को विघटित करना चाहते हैं, तो हमें 2, 3, 5 प्राप्त होते हैं। प्रविष्टि फॉर्म 30 = 2 3 5 लेगी। यह संभव है कि गुणकों को दोहराया जा सकता है। 144 जैसी संख्या में 144 = 2 2 2 2 3 3 है।

सभी संख्याएं अपघटन के लिए प्रवण नहीं होती हैं। वे संख्याएँ जो 1 से बड़ी हैं और पूर्णांक हैं, उनका गुणनखंड किया जा सकता है। अभाज्य संख्याएँ केवल 1 से और स्वयं विघटित होने पर विभाज्य होती हैं, इसलिए इन संख्याओं को उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना असंभव है।

जब z पूर्णांकों को संदर्भित करता है, तो इसे a और b के गुणनफल के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ z को a और b से विभाजित किया जाता है। अंकगणित के मूल प्रमेय का उपयोग करके समग्र संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित किया जाता है। यदि संख्या 1 से अधिक है, तो इसका गुणनखंड p 1 , p 2 , … , p n a = p 1 , p 2 , … , p n . का रूप लेता है . अपघटन एक ही प्रकार में माना जाता है।

किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन

अपघटन के दौरान कारकों को दोहराया जा सकता है। वे एक डिग्री का उपयोग करके कॉम्पैक्ट रूप से लिखे गए हैं। यदि, संख्या a को विघटित करते समय, हमारे पास एक कारक p 1 है, जो s 1 बार और इसी तरह p n - s n बार आता है। इस प्रकार, अपघटन रूप लेता है ए = पी 1 एस 1 ए = पी 1 एस 1 पी 2 एस 2 … पी एन एस एन. इस प्रविष्टि को अभाज्य गुणनखंडों में किसी संख्या का विहित अपघटन कहा जाता है।

संख्या 609840 को विघटित करने पर, हम पाते हैं कि 609 840 = 2 2 2 2 2 3 5 7 11 11, इसका विहित रूप 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 होगा। विहित प्रसार का उपयोग करके, आप किसी संख्या के सभी भाजक और उनकी संख्या ज्ञात कर सकते हैं।

ठीक से गुणनखंड करने के लिए, आपको अभाज्य और भाज्य संख्याओं की समझ होनी चाहिए। बिंदु p 1, p 2 , … , p n के रूप के विभाजकों की क्रमागत संख्या प्राप्त करना है नंबर ए , ए 1 , ए 2 ,… , ए एन - 1, यह प्राप्त करना संभव बनाता है ए = पी 1 ए 1, जहां ए 1 \u003d ए: पी 1, ए \u003d पी 1 ए 1 \u003d पी 1 पी 2 ए 2, जहां ए 2 \u003d ए 1: पी 2, ..., ए \u003d पी 1 पी 2। .. ... पी एन ए एन, जहां ए एन = ए एन -1: पी एन. प्राप्त होने पर एक एन = 1, फिर समानता ए = पी 1 पी 2 … पी एनहम अभाज्य गुणनखंडों में संख्या a का आवश्यक अपघटन प्राप्त करते हैं। नोटिस जो पी 1 ≤ पी 2 ≤ पी 3 ≤ … ≤ पी एन.

सबसे छोटा खोजने के लिए सामान्य भाजकआपको अभाज्य संख्याओं की तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है। यह संख्या z का सबसे छोटा अभाज्य भाजक ज्ञात करने के उदाहरण का उपयोग करके किया जाता है। अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 11 इत्यादि लेते समय हम संख्या z को उनसे भाग देते हैं। चूँकि z एक अभाज्य संख्या नहीं है, ध्यान रखें कि सबसे छोटा अभाज्य भाजक z से बड़ा नहीं होगा। यह देखा जा सकता है कि z का कोई भाजक नहीं है, तो यह स्पष्ट है कि z एक अभाज्य संख्या है।

उदाहरण 1

संख्या 87 के उदाहरण पर विचार करें। जब इसे 2 से विभाजित किया जाता है, तो हमारे पास 87: 2 \u003d 43 शेष 1 के साथ होता है। यह इस प्रकार है कि 2 भाजक नहीं हो सकता, विभाजन पूरी तरह से किया जाना चाहिए। जब 3 से भाग दिया जाता है, तो हम पाते हैं कि 87: 3 = 29। अतः निष्कर्ष - 3 संख्या 87 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक है।

अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने पर, अभाज्य संख्याओं की तालिका का उपयोग करना आवश्यक होता है, जहाँ a. 95 को विघटित करते समय, लगभग 10 प्राइम का उपयोग किया जाना चाहिए, और 846653 को विघटित करते समय, लगभग 1000।

प्राइम फैक्टराइजेशन एल्गोरिदम पर विचार करें:

• किसी संख्या के भाजक p 1 के साथ सबसे छोटा गुणनखंड ज्ञात करना एकसूत्र द्वारा a 1 \u003d a: p 1 जब a 1 \u003d 1, तब a एक अभाज्य संख्या है और गुणन में शामिल है, जब 1 के बराबर नहीं है, तो a \u003d p 1 a 1 और नीचे दिए गए बिंदु का पालन करें;
• 1 . का अभाज्य भाजक p 2 ज्ञात करना 2 = a 1: p 2 . का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं की क्रमिक गणना द्वारा , जब एक 2 = 1 , तब प्रसार a = p 1 p 2 . का रूप लेता है , जब ए 2 \u003d 1, तब ए \u003d पी 1 पी 2 ए 2 , और हम अगले चरण में संक्रमण करते हैं;
• अभाज्य संख्याओं पर पुनरावृति करना और अभाज्य भाजक ढूँढना पी 3नंबर एक 2सूत्र के अनुसार a 3 \u003d a 2: p 3 जब a 3 \u003d 1 , तब हम पाते हैं कि a = p 1 p 2 p 3 , जब 1 के बराबर न हो तो a = p 1 p 2 p 3 a 3 और अगले चरण पर आगे बढ़ें;
• एक प्रमुख भाजक खोजें पी नहींनंबर एक एन - 1के साथ अभाज्य संख्याओं की गणना द्वारा पी एन - 1, साथ ही ए एन = ए एन -1: पी एन, जहाँ a n = 1, चरण अंतिम है, परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है कि a = p 1 p 2… p n .

एल्गोरिथ्म का परिणाम एक तालिका के रूप में एक स्तंभ में क्रमिक रूप से एक ऊर्ध्वाधर पट्टी के साथ विघटित कारकों के साथ लिखा जाता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

परिणामी एल्गोरिथ्म को संख्याओं को अभाज्य कारकों में विघटित करके लागू किया जा सकता है।

प्रमुख कारकों में फैक्टरिंग करते समय, मूल एल्गोरिथम का पालन किया जाना चाहिए।

उदाहरण 2

संख्या 78 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें।

समाधान

सबसे छोटा अभाज्य भाजक खोजने के लिए, सभी पर पुनरावृति करना आवश्यक है अभाज्य सँख्या 78 में उपलब्ध है। यानी 78: 2 = 39. भाग बिना शेषफल के, इसलिए यह पहला अभाज्य भाजक है, जिसे हम p 1 से निरूपित करते हैं। हम पाते हैं कि a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39। हम a = p 1 a 1 . के रूप की समानता पर पहुंचे , जहां 78 = 2 39। फिर a 1 = 39 , यानी आपको अगले चरण पर जाना चाहिए।

आइए एक प्रमुख भाजक खोजने पर ध्यान दें p2नंबर ए 1 = 39. आपको अभाज्य संख्याओं को छाँटना चाहिए, अर्थात् 39: 2 = 19 (शेष 1)। चूँकि भाग में शेषफल होता है, 2 भाजक नहीं है। संख्या 3 को चुनने पर हमें वह 39: 3 = 13 मिलता है। इसका मतलब है कि p 2 = 3 39 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 है। हम फॉर्म की समानता प्राप्त करते हैं ए = पी 1 पी 2 ए 2 78 = 2 3 13 के रूप में। हमारे पास यह है कि a 2 = 13 1 के बराबर नहीं है, तो हमें आगे बढ़ना चाहिए।

संख्या a 2 = 13 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक 3 से शुरू होने वाली संख्याओं की गणना से ज्ञात होता है। हम पाते हैं कि 13: 3 = 4 (बाकी 1)। इससे पता चलता है कि 13, 5, 7, 11 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 13: 5 = 2 (बाकी 3), 13: 7 = 1 (बाकी। 6) और 13: 11 = 1 (बाकी 2)। यह देखा जा सकता है कि 13 एक अभाज्य संख्या है। सूत्र इस तरह दिखता है: a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 13: 13 \u003d 1। हमें वह 3 = 1 मिला, जिसका अर्थ है एल्गोरिथम का अंत। अब गुणनखंड 78 = 2 3 13 (a = p 1 p 2 p 3) के रूप में लिखे गए हैं।

उत्तर: 78 = 2 3 13.

उदाहरण 3

संख्या 83,006 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें।

समाधान

पहले चरण में फैक्टरिंग शामिल है पी 1 = 2तथा ए 1 \u003d ए: पी 1 \u003d 83 006: 2 \u003d 41 503, जहां 83 006 = 2 41 503।

दूसरा चरण मानता है कि 1 = 41503 के लिए 2, 3 और 5 अभाज्य भाजक नहीं हैं, लेकिन 7 एक अभाज्य भाजक है क्योंकि 41503: 7 = 5929। हमें वह p 2 \u003d 7, a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 41 503: 7 \u003d 5 929 मिलता है। जाहिर है, 83 006 = 2 7 5 929।

संख्या a 3 = 847 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 4 ज्ञात करना 7 है। यह देखा जा सकता है कि एक 4 \u003d ए 3: पी 4 \u003d 847: 7 \u003d 121, इसलिए 83 006 \u003d 2 7 7 7 121।

संख्या 4 = 121 का अभाज्य भाजक ज्ञात करने के लिए हम संख्या 11 का प्रयोग करते हैं, अर्थात् पी 5 = 11। तब हमें रूप का व्यंजक प्राप्त होता है ए 5 \u003d ए 4: पी 5 \u003d 121: 11 \u003d 11, और 83 006 = 2 7 7 7 11 11।

नंबर के लिए एक 5 = 11संख्या p6 = 11सबसे छोटा अभाज्य भाजक है। इसलिए 6 \u003d a 5: p 6 \u003d 11: 11 \u003d 1। फिर एक 6 = 1। यह एल्गोरिथ्म के अंत को इंगित करता है। गुणकों को 83006 = 2 7 7 7 11 11 के रूप में लिखा जाएगा।

उत्तर का विहित संकेतन 83 006 = 2 7 3 11 2 का रूप लेगा।

उत्तर: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2।

उदाहरण 4

संख्या 897 924 289 का गुणनखंड कीजिए।

समाधान

पहला अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, अभाज्य संख्याओं के माध्यम से पुनरावृति करें, जो 2 से शुरू होती है। गणना का अंत 937 नंबर पर पड़ता है। फिर पी 1 = 937, ए 1 = ए: पी 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 और 897 924 289 = 937 958 297।

एल्गोरिथम का दूसरा चरण छोटी अभाज्य संख्याओं की गणना करना है। यानी हम 937 नंबर से शुरुआत करते हैं। संख्या 967 को अभाज्य माना जा सकता है, क्योंकि यह संख्या 1 = 958 297 का अभाज्य भाजक है। यहाँ से हमें वह p 2 \u003d 967, फिर a 2 \u003d a 1: p 1 \u003d 958 297: 967 \u003d 991 और 897 924 289 \u003d 937 967 991 मिलता है।

तीसरा चरण कहता है कि 991 एक अभाज्य संख्या है, क्योंकि इसका कोई ऐसा अभाज्य भाजक नहीं है जो 991 से कम या उसके बराबर हो। मूलक व्यंजक का अनुमानित मान 991 . है< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . इससे यह देखा जा सकता है कि p 3 \u003d 991 और a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 991: 991 \u003d 1। हम पाते हैं कि संख्या 897 924 289 का अभाज्य गुणनखंड में अपघटन 897 924 289 \u003d 937 967 991 के रूप में प्राप्त होता है।

उत्तर: 897 924 289 = 937 967 991।

प्राइम फैक्टराइजेशन के लिए विभाज्यता परीक्षण का उपयोग करना

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए, आपको एल्गोरिथम का पालन करना होगा। जब छोटी संख्याएँ होती हैं, तो इसे गुणन तालिका और विभाज्यता चिह्नों का उपयोग करने की अनुमति होती है। आइए इसे उदाहरणों के साथ देखें।

उदाहरण 5

यदि 10 को गुणनखंड करना आवश्यक है, तो तालिका दिखाती है: 2 5 \u003d 10। परिणामी संख्याएँ 2 और 5 अभाज्य हैं, इसलिए वे संख्या 10 के अभाज्य गुणनखंड हैं।

उदाहरण 6

यदि संख्या 48 को विघटित करना आवश्यक है, तो तालिका दिखाती है: 48 \u003d 6 8। लेकिन 6 और 8 अभाज्य गुणनखंड नहीं हैं, क्योंकि उन्हें 6 = 2 3 और 8 = 2 4 के रूप में भी विघटित किया जा सकता है। फिर यहाँ से पूरा अपघटन 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 के रूप में प्राप्त होता है। विहित संकेतन 48 = 2 4 3 का रूप लेगा।

उदाहरण 7

संख्या 3400 को विघटित करते समय, आप विभाज्यता के संकेतों का उपयोग कर सकते हैं। पर ये मामला 10 से और 100 से विभाज्यता के संकेत प्रासंगिक हैं। यहाँ से हमें वह 3400 \u003d 34 100 मिलता है, जहाँ 100 को 10 से विभाजित किया जा सकता है, अर्थात 100 \u003d 10 10 के रूप में लिखा जाता है, जिसका अर्थ है कि 3400 \u003d 34 10 10। विभाज्यता के चिन्ह के आधार पर, हम पाते हैं कि 3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 । सभी कारक सरल हैं। विहित विस्तार रूप लेता है 3400 = 2 3 5 2 17.

जब हम अभाज्य गुणनखंड पाते हैं, तो विभाज्यता के चिह्नों और गुणन सारणी का उपयोग करना आवश्यक होता है। यदि आप संख्या 75 को गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं, तो आपको 5 से विभाज्यता के नियम को ध्यान में रखना चाहिए। हम पाते हैं कि 75 = 5 15 , और 15 = 3 5 । यानी वांछित अपघटन उत्पाद 75 = 5 · 3 · 5 के रूप का एक उदाहरण है।

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बड़ी संख्या में फैक्टरिंग करना कोई आसान काम नहीं है।ज्यादातर लोगों को चार या पांच अंकों की संख्या को विघटित करना मुश्किल लगता है। प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए, दो कॉलम के ऊपर की संख्या लिखें।

• आइए संख्या 6552 का गुणनखंड करें।

दी गई संख्या को सबसे छोटे अभाज्य भाजक (1 के अलावा अन्य) से विभाजित करें जो दी गई संख्या को बिना किसी शेषफल के विभाजित करता है।इस भाजक को बाएँ स्तंभ में लिखिए और भाग के परिणाम को दाएँ स्तंभ में लिखिए। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, सम संख्याओं का कारक बनाना आसान है क्योंकि उनका सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड हमेशा 2 होगा (विषम संख्याओं के सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंड होते हैं)।

• हमारे उदाहरण में, 6552 एक सम संख्या है, इसलिए 2 इसका सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड है। 6552 2 = 3276. बाएँ स्तंभ में 2 और दाएँ स्तंभ में 3276 लिखिए।

इसके बाद, दाहिने कॉलम में संख्या को सबसे छोटे अभाज्य भाजक (1 के अलावा अन्य) से विभाजित करें जो बिना किसी शेष के दी गई संख्या को विभाजित करता है। इस भाजक को बाएँ स्तंभ में लिखें, और विभाजन का परिणाम दाएँ स्तंभ में लिखें (इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक कि दाएँ स्तंभ में 1 शेष न रह जाए)।

• हमारे उदाहरण में: 3276 2 = 1638। बाएं कॉलम में 2 और दाएं कॉलम में 1638 लिखें। अगला: 1638 ÷ 2 = 819। बाएं कॉलम में 2 और दाएं कॉलम में 819 लिखें।

आपको एक विषम संख्या मिली है; ऐसी संख्याओं के लिए, सबसे छोटा अभाज्य भाजक खोजना अधिक कठिन है।यदि आपको कोई विषम संख्या प्राप्त होती है, तो उसे सबसे छोटी विषम अभाज्य संख्याओं से विभाजित करने का प्रयास करें: 3, 5, 7, 11.

• हमारे उदाहरण में, आपको विषम संख्या 819 मिली है। इसे 3: 819 3 = 273 से विभाजित करें। बाएं कॉलम में 3 और दाएं कॉलम में 273 लिखें।
• भाजक का चयन करते समय, तक के सभी अभाज्य संख्याओं का प्रयास करें वर्गमूलआपको मिले सबसे बड़े भाजक से। यदि कोई भाजक संख्या को समान रूप से विभाजित नहीं करता है, तो सबसे अधिक संभावना है कि आपको एक अभाज्य संख्या मिल गई है और आप गणना करना बंद कर सकते हैं।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों से विभाजित करने की प्रक्रिया तब तक जारी रखें जब तक कि दाएँ स्तंभ में 1 शेष न रह जाए (यदि आपको दाएँ स्तंभ में अभाज्य संख्या मिलती है, तो 1 प्राप्त करने के लिए इसे स्वयं से विभाजित करें)।

• आइए अपने उदाहरण के साथ जारी रखें:
  • 3: 273 ÷ 3 = 91 से विभाजित करें। कोई शेष नहीं है। बाएं कॉलम में 3 और दाएं कॉलम में 91 लिखें।
  • 3 से विभाजित करें। 91 शेष के साथ 3 से विभाज्य है, इसलिए 5 से विभाजित करें। 91 शेष के साथ 5 से विभाज्य है, इसलिए 7: 91 7 = 13 से विभाजित करें। कोई शेष नहीं है। बाएं कॉलम में 7 और दाएं कॉलम में 13 लिखें।
  • 7 से विभाजित करें। 13 शेष के साथ 7 से विभाज्य है, इसलिए 11 से विभाजित करें। 13 शेष के साथ 11 से विभाज्य है, इसलिए 13: 13 ÷ 13 = 1 से विभाजित करें। कोई शेष नहीं है। बाएं कॉलम में 13 और दाएं कॉलम में 1 लिखें। आपकी गणना पूरी हो गई है।

बायां कॉलम मूल संख्या के अभाज्य गुणनखंड दिखाता है।दूसरे शब्दों में, बाएं कॉलम से सभी संख्याओं को गुणा करने पर, आपको कॉलम के ऊपर लिखी गई संख्या मिल जाएगी। यदि कारकों की सूची में एक ही कारक कई बार प्रकट होता है, तो इसे इंगित करने के लिए घातांक का उपयोग करें। हमारे उदाहरण में, 2 गुणक सूची में 4 बार प्रकट होता है; इन कारकों को 2 4 के रूप में लिखें, 2*2*2*2 के रूप में नहीं।

• हमारे उदाहरण में, 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13। आपने संख्या 6552 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया है (इस अंकन में कारकों का क्रम मायने नहीं रखता)।

किसी भी भाज्य संख्या को उसके अभाज्य भाजक के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

28 = 2 2 7

प्राप्त समानताओं के सही भाग कहलाते हैं मुख्य गुणनखंड प्रक्रियासंख्या 15 और 28।

किसी दी गई मिश्रित संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने का अर्थ है इस संख्या को उसके अभाज्य भाजक के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत करना।

सड़न दी गई संख्याप्रधान कारकों में निम्नानुसार किया जाता है:

1. सबसे पहले आपको अभाज्य संख्याओं की तालिका से सबसे छोटी अभाज्य संख्या चुननी होगी, जिससे यह भाज्य संख्या बिना किसी शेषफल के विभाज्य हो, और भाग का प्रदर्शन करें।
2. इसके बाद, आपको फिर से सबसे छोटी अभाज्य संख्या चुननी होगी जिसके द्वारा पहले से प्राप्त भागफल को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाएगा।
3. दूसरी क्रिया का निष्पादन तब तक दोहराया जाता है जब तक कि भागफल में इकाई प्राप्त न हो जाए।

उदाहरण के तौर पर, संख्या 940 को गुणनखंड करें। सबसे छोटी अभाज्य संख्या ज्ञात करें जो 940 को विभाजित करती है। यह संख्या 2 है:

अब हम सबसे छोटी अभाज्य संख्या का चयन करते हैं जिससे 470 विभाज्य हो, यह संख्या पुनः 2 है:

वह छोटी से छोटी अभाज्य संख्या, जिससे 235 विभाज्य है, 5 है:

संख्या 47 अभाज्य है, इसलिए सबसे छोटी अभाज्य संख्या जिससे 47 विभाज्य है वह संख्या ही है:

इस प्रकार, हमें संख्या 940 प्राप्त होती है, जो प्रमुख कारकों में विघटित हो जाती है:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में विघटन के परिणामस्वरूप कई समान गुणनखंड होते हैं, तो संक्षिप्तता के लिए, उन्हें एक डिग्री के रूप में लिखा जा सकता है:

940 = 2 2 5 47

अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में इस प्रकार लिखना सबसे सुविधाजनक है: सबसे पहले, हम दी गई भाज्य संख्या को लिखते हैं और उसके दाईं ओर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचते हैं:

रेखा के दाईं ओर, हम सबसे छोटा साधारण भाजक लिखते हैं जिससे दी गई भाज्य संख्या विभाज्य होती है:

हम विभाजन करते हैं और लाभांश के तहत परिणामी भागफल लिखते हैं:

हम निजी के साथ उसी तरह से व्यवहार करते हैं जैसे दिए गए हैं संयुक्त संख्या, यानी हम सबसे छोटी अभाज्य संख्या का चयन करते हैं जिससे वह बिना किसी शेषफल के विभाज्य हो और विभाजन करते हैं। और इसलिए हम तब तक दोहराते हैं जब तक कि भागफल में इकाई प्राप्त न हो जाए:

कृपया ध्यान दें कि कभी-कभी किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन करना काफी कठिन होता है, क्योंकि अपघटन के दौरान हमें एक बड़ी संख्या का सामना करना पड़ सकता है जो यह निर्धारित करना मुश्किल है कि यह अभाज्य है या मिश्रित। और अगर यह मिश्रित है, तो इसका सबसे छोटा अभाज्य भाजक खोजना हमेशा आसान नहीं होता है।

आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 5106 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने का प्रयास करें:

भागफल 851 पर पहुंचने के बाद, इसके सबसे छोटे भाजक को तुरंत निर्धारित करना मुश्किल है। हम अभाज्य संख्याओं की तालिका की ओर मुड़ते हैं। अगर इसमें कोई संख्या है जो हमें मुश्किल में डालती है, तो वह केवल अपने आप से और एक से विभाज्य है। संख्या 851 अभाज्य संख्याओं की तालिका में नहीं है, जिसका अर्थ है कि यह संयुक्त है। यह केवल अनुक्रमिक गणना की विधि द्वारा इसे अभाज्य संख्याओं में विभाजित करने के लिए बनी हुई है: 3, 7, 11, 13, ..., और इसी तरह जब तक हमें एक उपयुक्त अभाज्य भाजक नहीं मिल जाता। गणना पद्धति का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि 851 संख्या 23 से विभाज्य है।