ज्या और कोज्या के विस्तार के सूत्र। उच्च शिक्षा का डिप्लोमा सस्ते में खरीदें

हम त्रिकोणमिति में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले सूत्रों के बारे में अपनी बातचीत जारी रखते हैं। उनमें से सबसे महत्वपूर्ण अतिरिक्त सूत्र हैं।

परिभाषा 1

जोड़ सूत्र आपको इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके अंतर के कार्यों या दो कोणों के योग को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं।

शुरू करने के लिए, हम जोड़ सूत्रों की एक पूरी सूची देंगे, फिर हम उन्हें साबित करेंगे और कुछ उदाहरण उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

त्रिकोणमिति में मूल योग सूत्र

आठ बुनियादी सूत्र हैं: योग की ज्या और दो कोणों के अंतर की ज्या, योग और अंतर की कोज्या, योग और अंतर के स्पर्शरेखा और कोटंगेंट, क्रमशः। नीचे उनके मानक फॉर्मूलेशन और गणनाएं दी गई हैं।

1. दो कोणों के योग की ज्या इस प्रकार प्राप्त की जा सकती है:

हम दूसरे कोण की कोज्या द्वारा पहले कोण की ज्या के गुणनफल की गणना करते हैं;

पहले कोण की कोज्या को पहले कोण की ज्या से गुणा करें;

परिणामी मान जोड़ें।

सूत्र का आलेखीय लेखन इस तरह दिखता है: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2. अंतर की साइन की गणना लगभग उसी तरह की जाती है, केवल परिणामी उत्पादों को जोड़ा नहीं जाना चाहिए, लेकिन एक दूसरे से घटाया जाना चाहिए। इस प्रकार, हम पहले कोण की ज्या के गुणनफल को दूसरे कोण की कोज्या और पहले कोण की कोज्या द्वारा दूसरे कोण की ज्या द्वारा परिकलित करते हैं और उनका अंतर ज्ञात करते हैं। सूत्र इस प्रकार लिखा गया है: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β

3. योग की कोज्या। इसके लिए, हम क्रमशः दूसरे कोण की कोज्या द्वारा दूसरे कोण की कोज्या और पहले कोण की ज्या द्वारा दूसरे कोण की ज्या के गुणनफल पाते हैं, और उनका अंतर ज्ञात करते हैं: cos (α + β) = cos α कॉस β - पाप α पाप β

4. कोज्या अंतर: हम दिए गए कोणों की ज्या और कोज्या के गुणनफल पहले की तरह परिकलित करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं। सूत्र: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. योग की स्पर्शरेखा। इस सूत्र को भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसके अंश में वांछित कोणों की स्पर्श रेखाओं का योग होता है और हर में वह इकाई होती है जिससे वांछित कोणों की स्पर्श रेखाओं का गुणनफल घटाया जाता है। उसके ग्राफिक संकेतन से सब कुछ स्पष्ट है: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β

6. अंतर की स्पर्शरेखा। हम अंतर के मूल्यों और इन कोणों के स्पर्शरेखा के उत्पाद की गणना करते हैं और इसी तरह से उनके साथ व्यवहार करते हैं। हर में, हम एक में जोड़ते हैं, और इसके विपरीत नहीं: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

7. योग का कोटैंजेंट। इस सूत्र का उपयोग करके गणना के लिए, हमें उत्पाद और इन कोणों के कोटैंजेंटों के योग की आवश्यकता होती है, जिसके साथ हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β

8. अंतर का कोटैंजेंट . सूत्र पिछले एक के समान है, लेकिन अंश और हर में - ऋण, और प्लस नहीं c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β।

आपने शायद ध्यान दिया होगा कि ये सूत्र जोड़ो में समान हैं। संकेतों ± (प्लस-माइनस) और ∓ (माइनस-प्लस) का उपयोग करके, हम उन्हें आसानी से अंकन के लिए समूहित कर सकते हैं:

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β tg (α ± β) = tan α ± tg β 1 ∓ tg α tg β सीटीजी (α ± β) = - 1 ± सीटीजी α सीटीजी β सीटीजी α ± सीटीजी β

तदनुसार, हमारे पास प्रत्येक मान के योग और अंतर के लिए एक रिकॉर्डिंग सूत्र है, बस एक मामले में हम ऊपरी चिह्न पर ध्यान देते हैं, दूसरे में - निचले वाले पर।

परिभाषा 2

हम कोई भी कोण α और β ले सकते हैं, और कोसाइन और साइन के योग सूत्र उनके लिए काम करेंगे। यदि हम इन कोणों की स्पर्श रेखाओं और स्पर्श रेखाओं के मानों को सही ढंग से निर्धारित कर सकें, तो स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के योग सूत्र भी उनके लिए मान्य होंगे।

बीजगणित में अधिकांश अवधारणाओं की तरह, अतिरिक्त सूत्रों को सिद्ध किया जा सकता है। पहला सूत्र जो हम सिद्ध करेंगे वह अंतर कोज्या सूत्र है। इससे आप बाकी सबूत आसानी से निकाल सकते हैं।

आइए बुनियादी अवधारणाओं को स्पष्ट करें। हमें एक यूनिट सर्कल की जरूरत है। यदि हम एक निश्चित बिंदु A लेते हैं और केंद्र (बिंदु O) के चारों ओर कोण α और β घुमाते हैं तो यह निकलेगा। तब सदिश O A 1 → और O A → 2 के बीच का कोण (α - β) + 2 π z या 2 π - (α - β) + 2 z (z कोई पूर्णांक है) के बराबर होगा। परिणामी वैक्टर एक कोण बनाते हैं जो α - β या 2 π - (α - β) के बराबर होता है, या यह इन मानों से पूर्ण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से भिन्न हो सकता है। तस्वीर को जरा देखिए:

हमने कमी सूत्रों का उपयोग किया और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किए:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

निचला रेखा: वैक्टर ओ ए 1 → और ओ ए 2 → के बीच के कोण का कोज्या कोण α - β के कोसाइन के बराबर है, इसलिए, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) ।

साइन और कोसाइन की परिभाषाओं को याद करें: साइन एक कोण का एक कार्य है जो विपरीत कोण के पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है, कोसाइन अतिरिक्त कोण की साइन है। इसलिए, अंक ए 1तथा ए2निर्देशांक हैं (cos α , sin α) और (cos β , sin β) ।

हमें निम्नलिखित मिलता है:

O A 1 → = (cos α , sin α) और O A 2 → = (cos β , sin β)

यदि यह स्पष्ट नहीं है, तो वैक्टर के आरंभ और अंत में स्थित बिंदुओं के निर्देशांक देखें।

सदिशों की लम्बाई 1 के बराबर है, क्योंकि हमारे पास एक ही सर्कल है।

आइए अब हम सदिशों O A 1 → और O A 2 → के अदिश गुणनफल का विश्लेषण करें। निर्देशांक में यह इस तरह दिखता है:

(ओ ए 1 →, ओ ए 2) → = cos α cos β + sin α sin β

इससे हम समानता निकाल सकते हैं:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

इस प्रकार, अंतर की कोज्या का सूत्र सिद्ध होता है।

अब हम निम्नलिखित सूत्र को सिद्ध करेंगे - योग की कोज्या। यह आसान है क्योंकि हम पिछली गणनाओं का उपयोग कर सकते हैं। निरूपण α + β = α - (- β) लें। हमारे पास है:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

यह योग की कोज्या के सूत्र का प्रमाण है। अंतिम पंक्ति में विपरीत कोणों की ज्या और कोज्या के गुण का प्रयोग किया गया है।

योग की ज्या का सूत्र अंतर की कोज्या के सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है। आइए इसके लिए कमी सूत्र लें:

पाप (α + β) = cos (π 2 (α + β)) के रूप में। इसलिए
पाप (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) पाप β = = पाप α cos β + cos α पाप β

और यहाँ अंतर की ज्या के सूत्र का प्रमाण है:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
पिछली गणना में विपरीत कोणों के साइन और कोसाइन गुणों के उपयोग पर ध्यान दें।

इसके बाद, हमें स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के अतिरिक्त सूत्रों के प्रमाण की आवश्यकता है। आइए हम बुनियादी परिभाषाओं को याद करें (स्पर्शरेखा साइन से कोसाइन का अनुपात है, और कोटैंजेंट इसके विपरीत है) और पहले से ही व्युत्पन्न सूत्र लें। हमने इसे बनाया:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

हमारे पास एक जटिल अंश है। इसके बाद, हमें इसके अंश और हर को cos α cos β से विभाजित करने की आवश्यकता है, यह देखते हुए कि cos α ≠ 0 और cos β 0, हम प्राप्त करते हैं:
पाप α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β

अब हम भिन्नों को कम करते हैं और निम्न रूप का सूत्र प्राप्त करते हैं: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β।
हमें टी जी (α + β) = टी जी α + टी जी β 1 - टी जी α · टी जी β मिला। यह स्पर्शरेखा जोड़ सूत्र का प्रमाण है।

अगला सूत्र जो हम सिद्ध करेंगे, वह अंतर स्पर्शरेखा सूत्र है। गणना में सब कुछ स्पष्ट रूप से दिखाया गया है:

टी जी (α - β) = टी जी (α + (- β)) = टी जी α + टी जी (- β) 1 - टी जी α टी जी (- β) = टी जी α - टी जी β 1 + टी जी α टी जी β

कोटैंजेंट के सूत्र इसी तरह सिद्ध होते हैं:
ctg (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = - 1 + ctg α सीटीजी β सीटीजी α + सीटीजी β
आगे:
सी टी जी (α - β) = सी टी जी   (α + (- β)) = - 1 + सी टी जी α सी टी जी (- β) सी टी जी α + सी टी जी (- β) = - 1 - सी टी जी α सी टी जी β सी टी जी α - सी टी जी β

स्पर्शरेखा (tg x) और कोटैंजेंट (ctg x) के लिए संदर्भ डेटा। ज्यामितीय परिभाषा, गुण, रेखांकन, सूत्र। स्पर्शरेखा और कोटंगेंट, डेरिवेटिव, इंटीग्रल, श्रृंखला विस्तार की तालिका। जटिल चर के माध्यम से अभिव्यक्ति। अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के साथ संबंध।

ज्यामितीय परिभाषा

|बीडी| - बिंदु A पर केन्द्रित वृत्त के चाप की लंबाई।
α रेडियन में व्यक्त कोण है।

स्पर्शरेखा ( tgα) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांग के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है |BC| आसन्न पैर की लंबाई तक |AB| .

कोटैंजेंट ( सीटीजीα) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांग के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न टांग की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| विपरीत पैर की लंबाई तक |BC| .

स्पर्शरेखा

कहां एन- पूरा का पूरा।

पश्चिमी साहित्य में, स्पर्शरेखा को निम्नानुसार दर्शाया गया है:
.
;
;
.

स्पर्शरेखा फलन का आलेख, y = tg x

कोटैंजेंट

कहां एन- पूरा का पूरा।

पश्चिमी साहित्य में, कोटैंजेंट को निम्नानुसार दर्शाया गया है:
.
निम्नलिखित संकेतन भी अपनाया गया है:
;
;
.

सहस्पर्शी फलन का आलेख, y = ctg x

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के गुण

दौरा

कार्य y= टीजी एक्सऔर y= सीटीजी एक्सअवधि के साथ आवधिक हैं।

समानता

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के कार्य विषम हैं।

परिभाषा और मूल्यों के डोमेन, आरोही, अवरोही

फलन स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर होते हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। टेंगेंट और कोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं ( एन- पूर्णांक)।

	वाई = टीजी एक्स	वाई = सीटीजी एक्स
दायरा और निरंतरता
मूल्यों की श्रृंखला	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
आरोही		-
अवरोही	-
चरम	-	-
शून्य, y= 0
y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0	वाई = 0	-

सूत्रों

ज्या और कोज्या के संदर्भ में व्यंजक

; ;
; ;
;

योग और अंतर के स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के लिए सूत्र

शेष सूत्र प्राप्त करना आसान है, उदाहरण के लिए

स्पर्शरेखा का गुणनफल

स्पर्शरेखाओं के योग और अंतर का सूत्र

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा के मान दिखाती है।

सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक

अतिपरवलयिक कार्यों के संदर्भ में व्यंजक

;
;

संजात

; .

.
फ़ंक्शन के चर x के संबंध में nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
स्पर्शरेखा के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति > > > ; स्पर्शज्या के लिए > > >

अभिन्न

श्रृंखला में विस्तार

x की घातों में स्पर्शरेखा का विस्तार प्राप्त करने के लिए, आपको कार्यों के लिए एक घात श्रृंखला में विस्तार के कई पद लेने होंगे पाप xतथा क्योंकि xऔर इन बहुपदों को एक दूसरे में विभाजित करें। इससे निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होते हैं।

पर ।

पर ।
कहाँ पे बी नहीं- बर्नौली संख्या। वे या तो पुनरावृत्ति संबंध से निर्धारित होते हैं:
;
;
कहाँ पे ।
या लाप्लास सूत्र के अनुसार:

उलटा कार्य

स्पर्शरेखा और कोटैन्जेन्ट के प्रतिलोम फलन क्रमशः चापस्पर्शी और चाप-स्पर्शी रेखा हैं।

आर्कटिक, आर्कटिक

, कहाँ पे एन- पूरा का पूरा।

चाप स्पर्शरेखा, arcctg

, कहाँ पे एन- पूरा का पूरा।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।
जी. कॉर्न, शोधार्थियों और इंजीनियरों के लिए गणित की पुस्तिका, 2012।

साइन (), कोसाइन (), स्पर्शरेखा (), कोटैंजेंट () की अवधारणाएं कोण की अवधारणा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। इन्हें अच्छी तरह से समझने के लिए, पहली नज़र में, जटिल अवधारणाएँ (जो कई स्कूली बच्चों में डरावनी स्थिति का कारण बनती हैं), और यह सुनिश्चित करें कि "शैतान उतना डरावना नहीं है जितना कि उसे चित्रित किया गया है", आइए शुरुआत से ही शुरू करें और समझें कोण की अवधारणा।

कोण की अवधारणा: रेडियन, डिग्री

आइए तस्वीर को देखें। वेक्टर एक निश्चित राशि से बिंदु के सापेक्ष "मुड़ गया"। तो प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष इस घूर्णन का माप होगा इंजेक्शन.

कोण की अवधारणा के बारे में आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? खैर, कोण की इकाइयाँ, बिल्कुल!

कोण, ज्यामिति और त्रिकोणमिति दोनों में, डिग्री और रेडियन में मापा जा सकता है।

वृत्त के भाग के बराबर वृत्ताकार चाप पर आधारित वृत्त का केंद्रीय कोण (एक डिग्री) पर कोण होता है। इस प्रकार, पूरे वृत्त में वृत्ताकार चापों के "टुकड़े" होते हैं, या वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर होता है।

यानी ऊपर की आकृति में एक ऐसा कोण दिखाया गया है जो बराबर है, यानी यह कोण परिधि के आकार के एक वृत्ताकार चाप पर आधारित है।

रेडियन में एक कोण को वृत्त में केंद्रीय कोण कहा जाता है, जो एक वृत्ताकार चाप पर आधारित होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। अच्छा, समझे? अगर नहीं, तो आइए देखते हैं तस्वीर।

तो, आकृति एक रेडियन के बराबर कोण दिखाती है, यानी यह कोण एक गोलाकार चाप पर आधारित होता है, जिसकी लंबाई सर्कल के त्रिज्या के बराबर होती है (लंबाई लंबाई के बराबर होती है या त्रिज्या बराबर होती है चाप की लंबाई)। इस प्रकार, चाप की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

रेडियन में केंद्रीय कोण कहां है।

अच्छा, यह जानकर, क्या आप उत्तर दे सकते हैं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोणों में कितने रेडियन हैं? हां, इसके लिए आपको वृत्त की परिधि का सूत्र याद रखना होगा। वहाँ है वो:

खैर, अब इन दो सूत्रों को सहसंबंधित करते हैं और प्राप्त करते हैं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर है। अर्थात्, मान को डिग्री और रेडियन में सहसंबंधित करने पर, हमें वह मिलता है। क्रमश, । जैसा कि आप देख सकते हैं, "डिग्री" के विपरीत, "रेडियन" शब्द छोड़ा गया है, क्योंकि माप की इकाई आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होती है।

कितने रेडियन हैं? सही बात है!

समझ लिया? फिर आगे तेज करें:

कोई कठिनाई? फिर देखो जवाब:

समकोण त्रिभुज: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, एक कोण की कोटैंजेंट

तो, कोण की अवधारणा के साथ पता चला। लेकिन एक कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट क्या है? आइए इसका पता लगाते हैं। इसके लिए एक समकोण त्रिभुज हमारी मदद करेगा।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह पक्ष है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में, यह पक्ष है); पैर दो शेष भुजाएँ हैं और (वे जो समकोण से सटे हुए हैं), इसके अलावा, यदि हम पैरों को कोण के संबंध में मानते हैं, तो पैर आसन्न पैर है, और पैर विपरीत है। तो, अब इस प्रश्न का उत्तर देते हैं: किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट क्या हैं?

कोण की ज्याकर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

कोण की कोज्या- यह कर्ण से सटे (करीबी) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

कोण स्पर्शरेखा- यह विपरीत (दूर) पैर से आसन्न (करीब) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

एक कोण का कोटैंजेंट- यह आसन्न (करीबी) पैर से विपरीत (दूर) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में।

ये परिभाषाएं आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किससे विभाजित करना है, आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि स्पर्शरेखातथा कोटैंजेंटकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसतथा कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह एक:

कोसाइन → स्पर्श करें → स्पर्श करें → आसन्न;

Cotangent→स्पर्श करें→स्पर्श करें→आसन्न।

सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि एक त्रिभुज के पक्षों के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट इन पक्षों की लंबाई (एक कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। विश्वास मत करो? फिर तस्वीर को देखकर सुनिश्चित करें:

उदाहरण के लिए, एक कोण की कोज्या पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, एक त्रिभुज से: , लेकिन हम एक त्रिभुज से किसी कोण की कोज्या की गणना कर सकते हैं: । आप देखिए, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान होता है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट के मान पूरी तरह से कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।

यदि आप परिभाषाओं को समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें ठीक करें!

नीचे दी गई आकृति में दिखाए गए त्रिभुज के लिए, हम पाते हैं।

अच्छा, क्या आपको मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएं: कोने के लिए समान गणना करें।

इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त

डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने एक वृत्त पर विचार किया जिसकी त्रिज्या बराबर है। ऐसे वृत्त को कहते हैं एक. यह त्रिकोणमिति के अध्ययन में बहुत उपयोगी है। इसलिए, हम इस पर थोड़ा और विस्तार से ध्यान केंद्रित करते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सर्कल कार्तीय समन्वय प्रणाली में बनाया गया है। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर होती है, जबकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित होता है, त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय होती है (हमारे उदाहरण में, यह त्रिज्या है)।

वृत्त का प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष के साथ समन्वय और अक्ष के साथ समन्वय। ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उन्हें इस विषय से क्या लेना-देना है? ऐसा करने के लिए, समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखें। ऊपर की आकृति में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। एक त्रिभुज पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि यह अक्ष के लंबवत है।

त्रिभुज से किसके बराबर होता है? सही बात है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि इकाई वृत्त की त्रिज्या है, और इसलिए, . इस मान को हमारे कोसाइन सूत्र में बदलें। यहाँ क्या होता है:

और त्रिभुज से किसके बराबर होता है? बेशक, ! इस सूत्र में त्रिज्या का मान रखें और प्राप्त करें:

तो, क्या आप मुझे बता सकते हैं कि वृत्त से संबंधित बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? और अगर आप इसे महसूस करते हैं और सिर्फ संख्याएं हैं? यह किस समन्वय से मेल खाता है? खैर, निश्चित रूप से, समन्वय! यह किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, समन्वय करें! इस प्रकार, बिंदु।

और फिर क्या बराबर हैं और? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की उपयुक्त परिभाषाओं का उपयोग करें और उसे प्राप्त करें, a.

क्या होगा अगर कोण बड़ा है? यहाँ, उदाहरण के लिए, जैसा कि इस चित्र में है:

इस उदाहरण में क्या बदल गया है? आइए इसका पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें: एक कोण (एक कोण के निकट के रूप में)। किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्श रेखा और कोटंगेंट का मान क्या होता है? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय फलनों की संगत परिभाषाओं का पालन करते हैं:

ठीक है, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक से मेल खाता है; कोण की कोज्या का मान - निर्देशांक; और संगत अनुपात के लिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घुमाव पर लागू होते हैं।

यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ होती है। अब तक हमने इस वेक्टर को वामावर्त घुमाया है, लेकिन अगर हम इसे दक्षिणावर्त घुमाते हैं तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित आकार का कोण भी मिलेगा, लेकिन केवल वह नकारात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाते समय, हम प्राप्त करते हैं सकारात्मक कोण, और दक्षिणावर्त घुमाते समय - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि वृत्त के चारों ओर त्रिज्या सदिश का एक संपूर्ण परिक्रमण या है। क्या त्रिज्या सदिश को बारी-बारी से घुमाना संभव है? ठीक है, बेशक आप कर सकते हैं! इसलिए, पहले मामले में, त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करेगा और स्थिति या पर रुक जाएगा।

दूसरे मामले में, यानी त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति या पर रुक जाएगा।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोण जो भिन्न होते हैं या (जहां कोई पूर्णांक है) त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप होते हैं।

नीचे दिया गया चित्र एक कोण दिखाता है। एक ही छवि कोने से मेल खाती है, और इसी तरह। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र के साथ लिखा जा सकता है या (जहां कोई पूर्णांक है)

अब, बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानने और यूनिट सर्कल का उपयोग करके, यह उत्तर देने का प्रयास करें कि मान किसके बराबर हैं:

आपकी सहायता के लिए यहां एक इकाई मंडल है:

कोई कठिनाई? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:

यहां से, हम कोण के कुछ मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, चलो क्रम में शुरू करते हैं: कोना निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाता है, इसलिए:

अस्तित्व में नहीं है;

इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने क्रमशः निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप हैं। यह जानकर, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संबंधित बिंदुओं पर निर्धारित करना आसान है। पहले इसे स्वयं करके देखें, फिर उत्तरों की जाँच करें।

उत्तर:

अस्तित्व में नहीं है

अस्तित्व में नहीं है

अस्तित्व में नहीं है

अस्तित्व में नहीं है

इस प्रकार, हम निम्नलिखित तालिका बना सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है। यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:

लेकिन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान और, नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं, याद किया जाना चाहिए:

डरो मत, अब हम एक उदाहरण दिखाएंगे बल्कि संबंधित मूल्यों की सरल याद:

इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, कोण के सभी तीन मापों () के साथ-साथ कोण के स्पर्शरेखा के मान के लिए साइन के मूल्यों को याद रखना महत्वपूर्ण है। इन मूल्यों को जानने के बाद, पूरी तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी आसान है - कोसाइन मान तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं, अर्थात्:

यह जानकर, आप के लिए मूल्यों को पुनर्स्थापित कर सकते हैं। अंश " " का मिलान होगा और हर " " का मिलान होगा। चित्र में दिखाए गए तीरों के अनुसार कोटैंजेंट मूल्यों को स्थानांतरित किया जाता है। यदि आप इसे समझते हैं और तीर के साथ आरेख को याद करते हैं, तो यह तालिका से संपूर्ण मान को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

एक वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक

क्या एक वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है, वृत्त के केंद्र, उसकी त्रिज्या और घूर्णन कोण के निर्देशांकों को जानना?

ठीक है, बेशक आप कर सकते हैं! आइए बाहर लाते हैं किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का सामान्य सूत्र.

यहाँ, उदाहरण के लिए, हमारे पास ऐसा एक वृत्त है:

हमें दिया गया है कि बिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। बिंदु को डिग्री से घुमाकर प्राप्त किए गए बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु का समन्वय खंड की लंबाई से मेल खाता है। खंड की लंबाई वृत्त के केंद्र के निर्देशांक से मेल खाती है, अर्थात यह बराबर है। एक खंड की लंबाई कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त की जा सकती है:

फिर हमारे पास उस बिंदु के लिए निर्देशांक है।

उसी तर्क से, हम बिंदु के लिए y निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं। इस तरह,

तो, सामान्य शब्दों में, बिंदुओं के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

मंडल केंद्र निर्देशांक,

सर्कल त्रिज्या,

त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हम जिस इकाई सर्कल पर विचार कर रहे हैं, उसके लिए ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य हैं, और त्रिज्या एक के बराबर है:

अच्छा, आइए स्वाद के लिए इन फ़ार्मुलों को आज़माएँ, एक वृत्त पर अंक खोजने का अभ्यास करें?

1. एक बिंदु को चालू करने पर प्राप्त इकाई वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

2. एक बिंदु को घुमाकर प्राप्त किए गए इकाई वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक खोजें।

3. एक इकाई वृत्त पर एक बिंदु को चालू करने पर प्राप्त एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

4. बिंदु - वृत्त का केंद्र। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। प्रारंभिक त्रिज्या वेक्टर को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है।

5. बिंदु - वृत्त का केंद्र। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। प्रारंभिक त्रिज्या वेक्टर को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है।

किसी वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक खोजने में समस्या आ रही है?

इन पांच उदाहरणों को हल करें (या समाधान को अच्छी तरह से समझें) और आप सीखेंगे कि उन्हें कैसे खोजना है!

1.

यह देखा जा सकता है। और हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु के पूर्ण मोड़ से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जब मुड़ते समय। यह जानने के बाद, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाते हैं:

2. सर्कल एक बिंदु पर एक केंद्र के साथ इकाई है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

यह देखा जा सकता है। हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु के दो पूर्ण घुमावों से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जब मुड़ते समय। यह जानने के बाद, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाते हैं:

साइन और कोसाइन सारणीबद्ध मान हैं। हम उनके मूल्यों को याद करते हैं और प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

3. सर्कल एक बिंदु पर एक केंद्र के साथ इकाई है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

यह देखा जा सकता है। आइए चित्र में माना गया उदाहरण चित्रित करें:

त्रिज्या और के बराबर अक्ष के साथ कोण बनाती है। यह जानते हुए कि कोसाइन और साइन के सारणीबद्ध मान समान हैं, और यह निर्धारित करने के बाद कि कोसाइन यहां एक नकारात्मक मान लेता है, और साइन सकारात्मक है, हमारे पास है:

विषय में त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्रों का अध्ययन करते समय इसी तरह के उदाहरणों का अधिक विस्तार से विश्लेषण किया जाता है।

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

4.

त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण (शर्त के अनुसार)

साइन और कोसाइन के संबंधित संकेतों को निर्धारित करने के लिए, हम एक इकाई सर्कल और एक कोण बनाते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, मान, यानी धनात्मक है, और मान, अर्थात् ऋणात्मक है। संबंधित त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मूल्यों को जानने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

आइए प्राप्त मूल्यों को हमारे सूत्र में बदलें और निर्देशांक खोजें:

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

5. इस समस्या को हल करने के लिए, हम सामान्य रूप में सूत्रों का उपयोग करते हैं, जहां

वृत्त के केंद्र के निर्देशांक (हमारे उदाहरण में,

सर्कल त्रिज्या (शर्त के अनुसार)

त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण (शर्त के अनुसार)।

सभी मानों को सूत्र में रखें और प्राप्त करें:

और - तालिका मान। हम उन्हें याद करते हैं और उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

सारांश और बुनियादी सूत्र

कोण की ज्या कर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

कोण की कोज्या कर्ण के निकटवर्ती (करीबी) पैर का अनुपात है।

एक कोण की स्पर्शरेखा विपरीत (दूर) पैर का आसन्न (करीब) से अनुपात है।

कोण का कोटेंजेंट आसन्न (करीबी) पैर का विपरीत (दूर) का अनुपात है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

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आप किस प्रकार का भुगतान स्वीकार करते हैं? उत्तर भरने की शुद्धता और डिप्लोमा की गुणवत्ता की जांच करने के बाद, आप कूरियर द्वारा रसीद के समय दस्तावेज़ के लिए भुगतान कर सकते हैं। यह कैश ऑन डिलीवरी सेवाओं की पेशकश करने वाली डाक कंपनियों के कार्यालय में भी किया जा सकता है।
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अगर मुझे किसी दस्तावेज़ में टाइपो और त्रुटियां मिलती हैं तो मुझे क्या करना चाहिए? उत्तर हमारे कूरियर या डाक कंपनी से एक दस्तावेज़ प्राप्त करते समय, हम अनुशंसा करते हैं कि आप सभी विवरणों की सावधानीपूर्वक जांच करें। यदि कोई टाइपो, त्रुटि या अशुद्धि पाई जाती है, तो आपको डिप्लोमा न लेने का अधिकार है, और आपको व्यक्तिगत रूप से कूरियर या लिखित रूप में पाई गई कमियों को ई-मेल भेजकर इंगित करना होगा।
जितनी जल्दी हो सके, हम दस्तावेज़ को ठीक कर देंगे और उसे निर्दिष्ट पते पर भेज देंगे। बेशक, शिपिंग का भुगतान हमारी कंपनी द्वारा किया जाएगा।
इस तरह की गलतफहमी से बचने के लिए, मूल फॉर्म भरने से पहले, हम भविष्य के दस्तावेज़ का एक लेआउट ग्राहक के मेल पर सत्यापन और अंतिम संस्करण के अनुमोदन के लिए भेजते हैं। दस्तावेज़ को कूरियर या मेल द्वारा भेजने से पहले, हम एक अतिरिक्त फोटो और वीडियो (पराबैंगनी प्रकाश सहित) भी लेते हैं ताकि आपको एक दृश्य विचार हो कि आपको अंत में क्या मिलेगा।

अपनी कंपनी से डिप्लोमा ऑर्डर करने के लिए आपको क्या करने की आवश्यकता है? उत्तर एक दस्तावेज़ (प्रमाण पत्र, डिप्लोमा, शैक्षणिक प्रमाण पत्र, आदि) का आदेश देने के लिए, आपको हमारी वेबसाइट पर एक ऑनलाइन ऑर्डर फॉर्म भरना होगा या अपना ई-मेल प्रदान करना होगा ताकि हम आपको एक प्रश्नावली फॉर्म भेज सकें, जिसे आपको भरने और भेजने की आवश्यकता है हमारे पास वापस।
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नवीनतम समीक्षा

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त्रिकोणमितीय पहचानसमानताएं हैं जो एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के बीच संबंध स्थापित करती हैं, जो आपको इनमें से किसी भी फ़ंक्शन को खोजने की अनुमति देती है, बशर्ते कि कोई अन्य ज्ञात हो।

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

टीजी \अल्फा \cdot सीटीजी \अल्फा = 1

यह सर्वसमिका कहती है कि एक कोण की ज्या के वर्ग और एक कोण की कोज्या के वर्ग का योग एक के बराबर होता है, जो व्यवहार में एक कोण की ज्या की गणना करना संभव बनाता है जब उसकी कोज्या ज्ञात हो और इसके विपरीत .

त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय, इस पहचान का अक्सर उपयोग किया जाता है, जो आपको एक कोण के कोसाइन और साइन के वर्गों के योग को प्रतिस्थापित करने की अनुमति देता है और रिवर्स ऑर्डर में प्रतिस्थापन ऑपरेशन भी करता है।

साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट ढूँढना

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

ये सर्वसमिकाएँ ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटांगेंट की परिभाषाओं से बनती हैं। आखिरकार, यदि आप देखें, तो परिभाषा के अनुसार, y का कोटि ज्या है, और x का भुज कोज्या है। तब स्पर्शरेखा अनुपात के बराबर होगी \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), और अनुपात \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- एक कोटैंजेंट होगा।

हम इसे केवल ऐसे कोणों \alpha के लिए जोड़ते हैं जिनके लिए उनमें शामिल त्रिकोणमितीय फलन समझ में आते हैं, सर्वसमिकाएँ होंगी, सीटीजी \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

उदाहरण के लिए: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)\alpha कोणों के लिए मान्य है जो से भिन्न हैं \frac(\pi)(2)+\pi z, ए सीटीजी \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z के अलावा एक कोण \alpha के लिए, z एक पूर्णांक है।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध

टीजी \अल्फा \cdot सीटीजी \alpha=1

यह पहचान केवल उन कोणों \alpha के लिए मान्य है जो से भिन्न हैं \frac(\pi)(2) z. अन्यथा, या तो कोटैंजेंट या टेंगेंट निर्धारित नहीं किया जाएगा।

उपरोक्त बिंदुओं के आधार पर, हम पाते हैं कि tg \alpha = \frac(y)(x), ए सीटीजी\अल्फा=\frac(x)(y). इसलिए यह इस प्रकार है कि tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. इस प्रकार, एक कोण के स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट जिस पर वे समझ में आते हैं, पारस्परिक रूप से पारस्परिक संख्याएं हैं।

स्पर्शरेखा और कोसाइन, कोटैंजेंट और साइन के बीच संबंध

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- कोण \alpha और 1 की स्पर्श रेखा के वर्ग का योग इस कोण की कोज्या के व्युत्क्रम वर्ग के बराबर होता है. यह पहचान . के अलावा सभी \alpha के लिए मान्य है \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 का योग और कोण \alpha के कोटैंजेंट का वर्ग, दिए गए कोण की ज्या के व्युत्क्रम वर्ग के बराबर होता है। यह पहचान \pi z के अलावा किसी भी \alpha के लिए मान्य है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके समस्याओं के समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

\sin \alpha और tg \alpha if . खोजें \cos \alpha=-\frac12तथा \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

समाधान दिखाएं

समाधान

फ़ंक्शन \sin \alpha और \cos \alpha सूत्र द्वारा जुड़े हुए हैं \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. इस सूत्र में प्रतिस्थापित करना \cos \alpha = -\frac12, हम पाते हैं:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

इस समीकरण के 2 हल हैं:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

शर्त के अनुसार \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . दूसरी तिमाही में, साइन सकारात्मक है, इसलिए \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tg \alpha ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का प्रयोग करते हैं tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

टीजी \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

उदाहरण 2

\cos \alpha और ctg \alpha if and . खोजें \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

समाधान दिखाएं

समाधान

सूत्र में प्रतिस्थापित करना \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1सशर्त संख्या \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), हम पाते हैं \बाएं (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. इस समीकरण के दो हल हैं \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

शर्त के अनुसार \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . दूसरी तिमाही में, कोसाइन ऋणात्मक है, इसलिए \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं सीटीजी \अल्फा = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). हम संबंधित मूल्यों को जानते हैं।

सीटीजी \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).