समाधान 9 के साथ अंकगणितीय प्रगति उदाहरण। "ग्रेड 9 अंकगणितीय प्रगति" लेबल वाले रिकॉर्ड। III. नई सामग्री सीखना

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विषय

अंकगणितीय प्रगति

प्रयोजन :

• एक अंकगणितीय प्रगति को उसकी परिभाषा और चिह्न का उपयोग करके पहचानना सिखाना;
• प्रगति की सामान्य अवधि की परिभाषा, विशेषता, सूत्र का उपयोग करके समस्याओं को हल करना सिखाएं।

पाठ मकसद:

एक अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा दें, एक अंकगणितीय प्रगति के संकेत को साबित करें और सिखाएं कि समस्याओं को हल करने में उनका उपयोग कैसे किया जाए।

शिक्षण विधियों:

छात्रों के ज्ञान, स्वतंत्र कार्य, व्यक्तिगत कार्य को अद्यतन करना, समस्या की स्थिति पैदा करना।

आधुनिक तकनीकें:

आईसीटी, समस्या-आधारित शिक्षा, विभेदित शिक्षा, स्वास्थ्य-बचत प्रौद्योगिकियां।

शिक्षण योजना

	पाठ के चरण।	कार्यान्वयन का समय।
	आयोजन का समय।	दो मिनट
	अतीत की पुनरावृत्ति	5 मिनट
	नई सामग्री सीखना	15 मिनट
	शारीरिक शिक्षा	3 मिनट
	विषय पर असाइनमेंट पूरा करना	15 मिनट
	होम वर्क	दो मिनट
	सारांश	3 मिनट

कक्षाओं के दौरान:

1. पिछले पाठ में, हम "अनुक्रम" की अवधारणा से परिचित हुए।

आज हम संख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन करना जारी रखेंगे, उनमें से कुछ की परिभाषा देंगे, उनके गुणों और विशेषताओं से परिचित होंगे।

1. प्रश्नों के उत्तर दें: अनुक्रम क्या है?

कौन से क्रम हैं?

आप किस तरह से अनुक्रम सेट कर सकते हैं?

एक संख्या अनुक्रम क्या है?

आप किसी संख्या अनुक्रम को निर्दिष्ट करने की कौन-सी विधियाँ जानते हैं? आवर्तक किस सूत्र को कहते हैं?

1. संख्यात्मक क्रम दिए गए हैं:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

प्रत्येक अनुक्रम में पैटर्न खोजें और उनमें से प्रत्येक में अगले तीन शब्दों को नाम दें।

1. ए एन = ए एन -1 +1
2. ए एन = ए एन -1 + 3
3. ए एन = ए एन -1 + (-2)
4. ए एन = ए एन -1 + 0.5

प्रत्येक अनुक्रम के लिए आवर्ती सूत्र को नाम दें।

स्लाइड 1

एक संख्यात्मक अनुक्रम, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या में जोड़े गए पिछले पद के बराबर होता है, अंकगणितीय प्रगति कहलाता है।

संख्या d को समांतर श्रेणी का अंतर कहा जाता है।

एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, इसलिए यह आरोही, घटती, स्थिर हो सकती है। ऐसे अनुक्रमों के उदाहरण दें, प्रत्येक प्रगति के अंतर को नाम दें, निष्कर्ष निकालें।

आइए हम अंकगणितीय प्रगति के सामान्य पद के लिए सूत्र प्राप्त करें।

ब्लैकबोर्ड पर: चलो a 1 प्रगति का पहला पद है, d इसका अंतर है, तो

ए 2 = ए 1 + डी

ए 3 = (ए 1 + डी) + डी = ए 1 + 2 डी

ए 4 = (ए 1 + 2 डी) + डी = ए 1 + 3 डी

ए 5 = (ए 1 + 3डी) + डी = ए 1 + 4डी

ए एन = ए 1 + डी (एन -1) अंकगणितीय प्रगति के nवें पद का सूत्र है।

समस्या हल करें: एक समांतर श्रेणी में, पहला पद 5 है और अंतर 4 है।

इस प्रगति के 22 सदस्यों का पता लगाएं।

छात्र ब्लैकबोर्ड पर निर्णय लेता है: aएन = ए 1 + डी (एन -1)

ए 22 = ए 1 + 21 डी = 5 + 21 * 4 = 89

शारीरिक शिक्षा।

हम उठकर।

बेल्ट पर हाथ। बाएँ, दाएँ, (2 बार) झुकता है;

आगे झुकता है, पीछे (2 बार);

अपने हाथों को ऊपर उठाएं, गहरी सांस लें, अपने हाथों को नीचे रखें, सांस छोड़ें। (2 बार)

उन्होंने हाथ मिलाया। शुक्रिया।

वे नीचे बैठ गए। हम सबक जारी रखते हैं।

हम एक अंकगणितीय प्रगति के सामान्य पद के लिए सूत्र के अनुप्रयोग पर समस्याओं का समाधान करते हैं।

छात्रों को निम्नलिखित कार्यों की पेशकश की जाती है:

1. एक समान्तर श्रेणी में, पहला पद -2, d = 3, a . हैएन = 118.

एन खोजें।

1. एक समान्तर श्रेणी में, पहला पद 7 है, पंद्रहवाँ पद -35 है। अंतर पाता करें।
2. यह ज्ञात है कि समांतर श्रेणी में d = -2, a39 = 83 है। प्रगति का पहला पद ज्ञात कीजिए।

छात्रों को समूहों में बांटा गया है। कार्य 5 मिनट के लिए दिया जाता है। फिर पहले 3 छात्र जिन्होंने समस्याओं को हल किया है, उन्हें बोर्ड पर हल करते हैं। समाधान स्लाइड्स पर दोहराया गया है।

एक अंकगणितीय प्रगति के विशिष्ट गुणों पर विचार करें।

अंकगणितीय प्रगति में

ए एन-डी = ए (एन -1)

ए एन + डी = ए (एन + 1)

हम इन दो समानताओं को पद दर पद से जोड़ते हैं, हमें प्राप्त होता है: 2एन = ए (एन + 1) + ए (एन -1)

ए एन = (ए (एन + 1) + ए (एन -1)) / 2

इसका मतलब है कि पहले और आखिरी को छोड़कर, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य पिछले और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

प्रमेय:

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक सदस्य, पहले (और अंतिम, एक परिमित अनुक्रम के मामले में) को छोड़कर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है (एक विशेषता संपत्ति एक अंकगणितीय प्रगति के)।

गणित और भौतिकी में कई विषयों की समझ संख्याओं की श्रृंखला के गुणों के ज्ञान से जुड़ी है। 9 वीं कक्षा के छात्र, "बीजगणित" विषय का अध्ययन करते समय, संख्याओं के महत्वपूर्ण अनुक्रमों में से एक पर विचार करते हैं - अंकगणितीय प्रगति। यहाँ अंकगणितीय प्रगति (ग्रेड 9) के मूल सूत्र दिए गए हैं, साथ ही समस्याओं को हल करने के लिए उनके उपयोग के उदाहरण भी दिए गए हैं।

बीजीय या अंकगणितीय प्रगति

इस लेख में चर्चा की जाने वाली संख्या श्रृंखला को दो अलग-अलग तरीकों से कहा जाता है, इस पैराग्राफ के शीर्षक में प्रस्तुत किया गया है। तो, गणित में, एक अंकगणितीय प्रगति को एक संख्यात्मक श्रृंखला के रूप में समझा जाता है जिसमें एक दूसरे के बगल में खड़ी कोई भी दो संख्या समान मात्रा से भिन्न होती है, जिसे अंतर कहा जाता है। ऐसी पंक्ति में संख्याओं को आमतौर पर कम पूर्णांक सूचकांक वाले अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, 1, ए 2, ए 3, और इसी तरह, जहां सूचकांक पंक्ति तत्व की संख्या को इंगित करता है।

एक अंकगणितीय प्रगति की उपरोक्त परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, हम निम्नलिखित समानता लिख ​​सकते हैं: a 2 -a 1 = ... = an -a n-1 = d, यहाँ d एक बीजीय प्रगति का अंतर है और n कोई भी है पूर्णांक। यदि d> 0, तो हम उम्मीद कर सकते हैं कि श्रृंखला का प्रत्येक बाद वाला सदस्य पिछले वाले से बड़ा होगा, इस मामले में वे बढ़ती प्रगति की बात करते हैं। अगर डी<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

अंकगणितीय प्रगति सूत्र (ग्रेड 9 स्कूल)

विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला, चूंकि यह आदेश दिया गया है और एक निश्चित गणितीय कानून का पालन करता है, इसमें दो गुण हैं जो इसके उपयोग के लिए महत्वपूर्ण हैं:

1. सबसे पहले, केवल दो संख्याओं a 1 और d को जानकर, आप अनुक्रम के किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं। यह निम्न सूत्र का उपयोग करके किया जाता है: a n = a 1 + (n-1) * d।
2. दूसरे, पहले के n पदों के योग की गणना करने के लिए, उन्हें क्रम में जोड़ना आवश्यक नहीं है, क्योंकि आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: S n = n * (a n + a 1) / 2।

पहला सूत्र समझना आसान है, क्योंकि यह इस तथ्य का प्रत्यक्ष परिणाम है कि विचाराधीन श्रृंखला का प्रत्येक सदस्य अपने पड़ोसी से समान अंतर से भिन्न होता है।

अंकगणितीय प्रगति का दूसरा सूत्र प्राप्त किया जा सकता है यदि हम इस तथ्य पर ध्यान दें कि योग 1 + a 2 + a n-1, a 3 + a n-2 के योग के बराबर हो जाता है, और इसी तरह पर। वास्तव में, चूँकि a 2 = d + a 1, a n-2 = -2 * d + an, a 3 = 2 * d + a 1, और a n-1 = -d + a, फिर इन व्यंजकों को संगत योग, हम पाते हैं कि वे समान होंगे। दूसरे सूत्र में कारक n / 2 (S n के लिए) इस तथ्य के कारण प्रकट होता है कि a i + 1 + a ni के योग बिल्कुल n / 2 हैं, यहाँ मैं 0 से n / 2 तक का पूर्णांक है - एक।

जीवित ऐतिहासिक साक्ष्यों के अनुसार, S n के योग का सूत्र सबसे पहले कार्ल गॉस (प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ) द्वारा प्राप्त किया गया था, जब उन्हें एक स्कूल शिक्षक द्वारा पहले 100 नंबर जोड़ने के लिए कहा गया था।

उदाहरण समस्या # 1: अंतर खोजें

जिन समस्याओं में प्रश्न इस प्रकार प्रस्तुत किया गया है: अंकगणितीय प्रगति सूत्रों को जानना, डी (डी) कैसे खोजना है, यह सबसे सरल है जो केवल इस विषय के लिए हो सकता है।

आइए एक उदाहरण दें: दिए गए संख्यात्मक अनुक्रम -5, -2, 1, 4, ..., इसके अंतर को निर्धारित करना आवश्यक है, अर्थात डी।

ऐसा करने के लिए नाशपाती खोलना जितना आसान है: आपको दो तत्वों को लेने और छोटे को बड़े से घटाना होगा। इस मामले में, हमारे पास है: d = -2 - (-5) = 3।

प्राप्त उत्तर के बारे में सुनिश्चित होने के लिए, शेष अंतरों की जांच करने की अनुशंसा की जाती है, क्योंकि प्रस्तुत अनुक्रम बीजीय प्रगति की स्थिति को पूरा नहीं कर सकता है। हमारे पास है: 1 - (- 2) = 3 और 4 - 1 = 3। इन आंकड़ों से संकेत मिलता है कि हमें सही परिणाम मिला (d = 3) और यह साबित कर दिया कि समस्या कथन में संख्याओं की एक श्रृंखला वास्तव में एक बीजगणितीय प्रगति है।

उदाहरण समस्या संख्या 2: प्रगति के दो पदों को जानकर अंतर ज्ञात कीजिए

आइए एक और दिलचस्प समस्या पर विचार करें, जो इस सवाल से उत्पन्न होती है कि अंतर कैसे खोजा जाए। इस मामले में, अंकगणितीय प्रगति सूत्र का उपयोग nवें पद के लिए किया जाना चाहिए। तो, समस्या: श्रृंखला की पहली और पांचवीं संख्या दी गई है, जो बीजीय प्रगति के सभी गुणों से मेल खाती है, उदाहरण के लिए, ये संख्याएं 1 = 8 और 5 = -10 हैं। डी अंतर कैसे खोजें?

इस समस्या का समाधान nवें तत्व के सूत्र के सामान्य रूप को लिखकर शुरू किया जाना चाहिए: a n = a 1 + d * (- 1 + n)। अब आप दो तरीकों से जा सकते हैं: या तो संख्याओं को एक साथ बदलें और उनके साथ काम करें, या d को व्यक्त करें, और फिर विशिष्ट 1 और 5 पर जाएं। हम अंतिम विधि का उपयोग करते हैं, हम प्राप्त करते हैं: a 5 = a 1 + d * (- 1 + 5) या a 5 = 4 * d + a 1, जहाँ से यह इस प्रकार है कि d = (a 5 -a 1) / 4। अब आप स्थिति से ज्ञात डेटा को सुरक्षित रूप से प्रतिस्थापित कर सकते हैं और अंतिम उत्तर प्राप्त कर सकते हैं: d = (-10-8) / 4 = -4.5।

ध्यान दें कि इस मामले में प्रगति में अंतर नकारात्मक निकला, यानी संख्याओं का घटता क्रम है। समस्याओं को हल करते समय इस तथ्य पर ध्यान देना आवश्यक है ताकि "+" और "-" संकेतों को भ्रमित न करें। ऊपर दिए गए सभी सूत्र सार्वभौमिक हैं, इसलिए आपको हमेशा उनका पालन करना चाहिए, भले ही संख्याओं के संकेत के साथ संचालन किया जाता है।

समस्या संख्या 3 को हल करने का एक उदाहरण: a1 खोजें, अंतर और तत्व जानने के लिए

आइए समस्या की स्थिति को थोड़ा बदल दें। मान लीजिए कि दो संख्याएँ हैं: अंतर d = 6 और प्रगति का 9वाँ तत्व a 9 = 10. a1 कैसे ज्ञात करें? अंकगणितीय प्रगति सूत्र अपरिवर्तित रहते हैं, हम उनका उपयोग करेंगे। संख्या a 9 के लिए हमारे पास निम्नलिखित व्यंजक हैं: a 1 + d * (9-1) = a 9। जहाँ से हमें श्रंखला का पहला अवयव आसानी से मिल जाता है: a 1 = a 9 -8 * d = 10 - 8 * 6 = -38।

समस्या संख्या 4 को हल करने का एक उदाहरण: a1 खोजें, दो तत्वों को जानते हुए

समस्या का यह रूप पिछले वाले का एक जटिल संस्करण है। सार वही है, 1 की गणना करना आवश्यक है, लेकिन अब अंतर d ज्ञात नहीं है, और इसके बजाय प्रगति का एक और तत्व दिया गया है।

इस प्रकार की समस्या का एक उदाहरण निम्नलिखित है: एक अनुक्रम की पहली संख्या ज्ञात कीजिए जिसके लिए यह ज्ञात है कि यह एक अंकगणितीय प्रगति है, और इसके 15वें और 23वें तत्व क्रमशः 7 और 12 हैं।

शर्त से ज्ञात प्रत्येक तत्व के लिए nवें पद के लिए व्यंजक लिखकर इस समस्या को हल करना आवश्यक है, हमारे पास है: a 15 = d * (15-1) + a 1 और a 23 = d * (23-1) + ए 1. जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें दो रैखिक समीकरण मिले हैं जिन्हें 1 और d के लिए हल करने की आवश्यकता है। आइए इसे करें: दूसरे समीकरण से पहले घटाएं, फिर हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है: एक 23 -ए 15 = 22 * ​​डी - 14 * डी = 8 * डी। अंतिम समीकरण प्राप्त करते समय, 1 के मान छोड़े गए क्योंकि घटाए जाने पर वे रद्द हो जाते हैं। ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करते हुए, हम अंतर पाते हैं: d = (a 23 -a 15) / 8 = (12-7) / 8 = 0.625।

अनुक्रम का पहला पद प्राप्त करने के लिए किसी ज्ञात तत्व के लिए मान d को किसी भी सूत्र में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए: a 15 = 14 * d + a 1, जहां से: a 1 = a 15 -14 * d = 7-14 * 0.625 = -1.75.

आइए परिणाम की जांच करें, इसके लिए हम दूसरी अभिव्यक्ति के माध्यम से 1 पाते हैं: ए 23 = डी * 22 + ए 1 या 1 = ए 23 -डी * 22 = 12 - 0.625 * 22 = -1.75।

समस्या संख्या 5 को हल करने का एक उदाहरण: n तत्वों का योग ज्ञात कीजिए

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस बिंदु तक, समाधान के लिए केवल एक अंकगणितीय प्रगति सूत्र (ग्रेड 9) का उपयोग किया गया था। अब हम एक समस्या देते हैं, जिसके समाधान के लिए आपको दूसरा सूत्र जानने की जरूरत है, जो कि योग S n के लिए है।

संख्याओं -1,1, -2,1, -3,1, ... की निम्नलिखित क्रमबद्ध पंक्ति है, आपको इसके पहले 11 तत्वों के योग की गणना करने की आवश्यकता है।

इस श्रृंखला से यह देखा जा सकता है कि यह घट रहा है, और 1 = -1.1। इसका अंतर है: d = -2.1 - (-1.1) = -1। अब आइए 11वें पद को परिभाषित करें: a 11 = 10 * d + a 1 = -10 + (-1.1) = -11.1। प्रारंभिक गणना पूरी करने के बाद, आप योग के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, हमारे पास: एस 11 = 11 * (- 1.1 + (- 11.1)) / 2 = -67.1। चूँकि सभी पद ऋणात्मक संख्याएँ थे, इसलिए उनके योग का संगत चिन्ह होता है।

समस्या संख्या 6 को हल करने का एक उदाहरण: n से m . तक के तत्वों का योग ज्ञात कीजिए

शायद इस प्रकार की समस्या अधिकांश छात्रों के लिए सबसे कठिन होती है। आइए एक विशिष्ट उदाहरण दें: संख्या 2, 4, 6, 8 ... की एक श्रृंखला दी गई है, आपको 7वें से 13वें पदों का योग ज्ञात करना होगा।

सूत्रों अंकगणितीय प्रगति(ग्रेड 9) ठीक उसी तरह उपयोग किया जाता है जैसे पहले की सभी समस्याओं में होता था। इस समस्या को चरणों में हल करने की अनुशंसा की जाती है:

1. सबसे पहले, मानक सूत्र का उपयोग करके 13 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
2. फिर पहले 6 मदों के लिए इस राशि की गणना करें।
3. उसके बाद, पहली राशि से दूसरा घटाएं।

आइए समाधान के लिए नीचे उतरें। पिछले मामले की तरह, हम प्रारंभिक गणना करेंगे: a 6 = 5 * d + a 1 = 10 + 2 = 12, a 13 = 12 * d + 1 = 24 + 2 = 26।

आइए दो योगों की गणना करें: एस 13 = 13 * (2 + 26) / 2 = 182, एस 6 = 6 * (2 + 12) / 2 = 42। हम अंतर लेते हैं और वांछित उत्तर प्राप्त करते हैं: एस 7-13 = एस 13 - एस 6 = 182-42 = 140। ध्यान दें कि इस मूल्य को प्राप्त करते समय, यह प्रगति के 6 तत्वों का योग था जिसे घटाया गया था, क्योंकि 7 वां पद एस 7-13 के योग में शामिल है।

एक संख्यात्मक अनुक्रम, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, किसी दिए गए अनुक्रम के लिए समान संख्या के साथ जोड़ा जाता है, अंकगणितीय प्रगति कहलाता है। वह संख्या जो हर बार पिछली संख्या में जोड़ी जाती है, कहलाती है अंकगणितीय प्रगति का अंतरऔर पत्र द्वारा निरूपित डी.

तो, संख्यात्मक अनुक्रम ए 1; एक 2; एक 3; एक 4; एक 5; ... और n एक समांतर श्रेणी होगी यदि a 2 = a 1 + d;

ए 3 = ए 2 + डी;

वे कहते हैं कि एक सामान्य पद के साथ एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है एक... लिखो: एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है (एक).

एक अंकगणितीय प्रगति निश्चित मानी जाती है यदि उसका पहला पद ज्ञात हो। एक 1और अंतर डी।

अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण

उदाहरण 1।एक; 3; 5; 7; 9; ... यहाँ एक 1 = 1; डी = 2.

उदाहरण 2।आठ; 5; 2; -एक; -4; -7; -10; ... यहाँ एक 1 = 8; डी =-3.

उदाहरण 3.-सोलह; -12; -आठ; -4; ... यहाँ एक 1 = -16; डी = 4.

ध्यान दें कि प्रगति में प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, अपने पड़ोसी पदों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

1 नमूने मेंदूसरी पारी 3 =(1+5): 2; वे। ए 2 = (ए 1 + ए 3) : 2; तीसरी अवधि 5 =(3+7): 2;

यानी ए 3 = (ए 2 + ए 4) : 2.

इसलिए, सूत्र मान्य है:

लेकिन, वास्तव में, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, न केवल अपने पड़ोसी शब्दों के अंकगणितीय माध्य के बराबर होता है, बल्कि यह भी समान दूरीइसके सदस्यों से, अर्थात्।

आइए मुड़ें उदाहरण 2... संख्या -1 अंकगणितीय प्रगति का चौथा सदस्य है और पहले और सातवें सदस्यों से समान दूरी पर है (a 1 = 8, और 7 = -10)।

सूत्र (**) द्वारा हमारे पास है:

आइए सूत्र प्राप्त करें एन-अंकगणितीय प्रगति का वां सदस्य।

इसलिए, यदि हम पहले वाले के अंतर को जोड़ते हैं, तो हमें अंकगणितीय प्रगति का दूसरा पद मिलता है डी; तीसरा पद प्राप्त होता है यदि हम दूसरे अंतर में जोड़ते हैं डीया पहले पद में दो अंतर जोड़ें डी; यदि हम तीसरे में अंतर जोड़ दें तो चौथा पद प्राप्त होता है डीया पहले में तीन अंतर जोड़ें डीआदि।

आपने अनुमान लगाया: a 2 = a 1 + d;

ए 3 = ए 2 + डी = ए 1 + 2 डी;

ए 4 = ए 3 + डी = ए 1 + 3डी;

…………………….

ए एन = ए एन -1 + डी = ए 1 + (एन -1) डी।

परिणामी सूत्र एक = ए 1 + (एन-1) डी (***)

कहा जाता है सूत्रएनअंकगणितीय प्रगति का वां सदस्य।

अब बात करते हैं कि अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग कैसे ज्ञात किया जाए। हम इस राशि को द्वारा निरूपित करते हैं एस नहीं.

पदों के स्थानों की पुनर्व्यवस्था से योग का मान नहीं बदलेगा, इसलिए इसे दो प्रकार से लिखा जा सकता है।

एस नहीं= ए 1 + ए 2 + ए 3 + ए 4 +… + ए एन -3 + ए एन -2 + ए एन -1 + ए एन और

एस एन = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 +… ... + a 4 + a 3 + a 2 + a 1

आइए हम इन दो समानताओं को पद दर पद जोड़ें:

2एस नहीं= (ए 1 + ए एन) + (ए 2 + ए एन -1) + (ए 3 + ए एन -2) + (ए 4 + ए एन -3) +…

कोष्ठक में मान एक दूसरे के बराबर हैं, क्योंकि वे श्रृंखला के समदूरस्थ सदस्यों के योग हैं, जिसका अर्थ है कि आप लिख सकते हैं: 2S n = n · (a 1 + a n)।

हमें सूत्र मिलता है पहले का योगएनएक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य।

यदि हम n को 1 + (n-1) d के मान से सूत्र (***) से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें पहले के योग के लिए एक और सूत्र प्राप्त होता है एनएक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य।

पेंटिंग और कविता की तरह ही गणित का अपना सौंदर्य है।

रूसी वैज्ञानिक, मैकेनिक एन.ई. ज़ुकोवस्की

गणित में प्रवेश परीक्षाओं में अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा से संबंधित समस्याएं बहुत आम समस्याएं हैं। ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, अंकगणितीय प्रगति के गुणों को अच्छी तरह से जानना और उनके आवेदन में कुछ कौशल होना आवश्यक है।

हम पहले अंकगणितीय प्रगति के मुख्य गुणों को याद करते हैं और सबसे महत्वपूर्ण सूत्र प्रस्तुत करते हैं, इस अवधारणा से संबंधित।

परिभाषा। संख्या क्रम, जिसमें प्रत्येक बाद का पद पिछले एक से समान संख्या से भिन्न होता है, अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। इसके अलावा, संख्याप्रगति में अंतर कहा जाता है।

एक अंकगणितीय प्रगति के लिए, निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं

, (1)

कहाँ पे । सूत्र (1) को अंकगणितीय प्रगति के सामान्य पद के लिए सूत्र कहा जाता है, और सूत्र (2) अंकगणितीय प्रगति का मुख्य गुण है: प्रगति का प्रत्येक पद इसके पड़ोसी शब्दों के अंकगणितीय माध्य के साथ मेल खाता है और।

ध्यान दें कि इस गुण के कारण ही मानी गई प्रगति को "अंकगणित" कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र (1) और (2) निम्नानुसार सामान्यीकृत हैं:

(3)

राशि की गणना करने के लिएपहला अंकगणितीय प्रगति के सदस्यआमतौर पर सूत्र लागू किया जाता है

(5) जहां और।

सूत्र को ध्यान में रखते हुए (1), तब सूत्र (5) का तात्पर्य है

अगर हम निरूपित करते हैं, तो

कहाँ पे । चूंकि, तब सूत्र (7) और (8) संगत सूत्रों (5) और (6) का एक सामान्यीकरण हैं।

विशेष रूप से , सूत्र (5) से यह इस प्रकार है, क्या

निम्नलिखित प्रमेय के माध्यम से तैयार की गई अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति, अधिकांश छात्रों के लिए अल्पज्ञात है।

प्रमेय।तो अगर

सबूत।तो अगर

प्रमेय सिद्ध होता है।

उदाहरण के लिए , प्रमेय का उपयोग करना, यह दिखाया जा सकता है कि

आइए "अंकगणितीय प्रगति" विषय पर समस्याओं को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1।चलो और। पाना ।

समाधान।सूत्र (6) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं। तब से और, तब या।

उदाहरण 2।इसे तीन गुना अधिक होने दें, और भागफल में विभाजित करने पर, हमें 2 और शेषफल 8 प्राप्त होता है। निर्धारित करें और।

समाधान।उदाहरण की स्थिति का तात्पर्य समीकरणों की प्रणाली से है

चूँकि, और, तब समीकरणों के निकाय (10) से हम प्राप्त करते हैं

समीकरणों की इस प्रणाली का हल है और।

उदाहरण 3.खोजें अगर और।

समाधान।सूत्र (5) के अनुसार, हमारे पास या है। हालांकि, संपत्ति (9) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं।

तब से और तब से, समानता से समीकरण इस प्रकार हैया ।

उदाहरण 4.खोजें अगर।

समाधान।सूत्र (5) से, हमारे पास है

हालाँकि, प्रमेय का उपयोग करके, कोई लिख सकता है

इससे और सूत्र (11) से हम प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 5. दिया गया:। पाना ।

समाधान।तब से। मगर इसलिए।

उदाहरण 6.चलो, और। पाना ।

समाधान।सूत्र (9) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं। इसलिए, यदि, तो या।

चूंकि और, तो यहाँ हमारे पास समीकरणों की प्रणाली है

जिसे हल करने पर हमें मिलता है और।

समीकरण की प्राकृतिक जड़एक ।

उदाहरण 7.खोजें अगर और।

समाधान।चूंकि सूत्र (3) के अनुसार हमारे पास वह है, तो समस्या कथन समीकरणों की प्रणाली को दर्शाता है

यदि आप व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हैंप्रणाली के दूसरे समीकरण में, तो हम प्राप्त करते हैं या।

द्विघात समीकरण की जड़ें हैंतथा ।

आइए दो मामलों पर विचार करें।

1. चलो, फिर। तब से और तब से।

इस मामले में, सूत्र (6) के अनुसार, हमारे पास है

2. यदि, तब, और

उत्तर: और।

उदाहरण 8.ज्ञात हो कि व. पाना ।

समाधान।सूत्र (5) और उदाहरण की स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम लिखते हैं और।

इसलिए समीकरणों की प्रणाली का अनुसरण करता है

यदि हम निकाय के पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और फिर इसे दूसरे समीकरण में जोड़ते हैं, तो हमें प्राप्त होता है

सूत्र (9) के अनुसार, हमारे पास है... इस संबंध में, (12) से यह निम्नानुसार हैया ।

तब से और तब से।

उत्तर: ।

उदाहरण 9.खोजें अगर और।

समाधान।चूंकि, और शर्त से, तब या।

सूत्र (5) से ज्ञात होता है, क्या । तब से।

इसलिये , यहां हमारे पास रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है

इसलिए हमें मिलता है और। सूत्र (8) को ध्यान में रखते हुए, हम लिखते हैं।

उदाहरण 10.प्रश्न हल करें।

समाधान।यह दिए गए समीकरण से निम्नानुसार है। मान लीजिए कि,, और। इस मामले में ।

सूत्र (1) के अनुसार आप लिख सकते हैं या।

चूँकि, समीकरण (13) का एक ही उपयुक्त मूल है।

उदाहरण 11.प्रदान किया गया अधिकतम मान ज्ञात कीजिए और।

समाधान।चूंकि, माना जाता है कि अंकगणितीय प्रगति घट रही है। इस संबंध में, व्यंजक अधिकतम मान लेता है जब वह प्रगति के न्यूनतम धनात्मक पद की संख्या होती है।

हम सूत्र (1) और तथ्य का उपयोग करते हैं, जैसा। तब हमें वह मिलता है या।

तब से, या तो ... हालांकि, इस असमानता मेंसबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या, इसीलिए ।

यदि मान, और को सूत्र (6) में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हमें प्राप्त होता है।

उत्तर: ।

उदाहरण 12.उन सभी दो अंकों वाली प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जिन्हें 6 से विभाजित करने पर 5 शेषफल प्राप्त होता है।

समाधान।आइए हम सभी दो अंकों वाली प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से निरूपित करें, अर्थात्। ... इसके बाद, हम समुच्चय के उन तत्वों (संख्याओं) से मिलकर एक उपसमुच्चय की रचना करते हैं, जिसे 6 से विभाजित करने पर शेषफल 5 प्राप्त होता है।

स्थापित करना मुश्किल नहीं है, क्या । स्पष्टतः , कि सेट के तत्वएक अंकगणितीय प्रगति बनाएँ, जिसमें और।

एक सेट की कार्डिनैलिटी (तत्वों की संख्या) स्थापित करने के लिए, हम यह मानते हैं। चूँकि और, तब सूत्र (1) से यह अनुसरण करता है या। सूत्र (5) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

समस्याओं को हल करने के उपरोक्त उदाहरण किसी भी तरह से संपूर्ण होने का दावा नहीं कर सकते हैं। यह लेख किसी दिए गए विषय पर विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए आधुनिक तरीकों के विश्लेषण के आधार पर लिखा गया है। अंकगणितीय प्रगति से जुड़ी समस्याओं को हल करने के तरीकों के गहन अध्ययन के लिए, अनुशंसित साहित्य की सूची का उल्लेख करना उचित है।

1. तकनीकी कॉलेजों के आवेदकों के लिए गणित में समस्याओं का संग्रह / एड। एम.आई. स्कैनवी। - एम।: शांति और शिक्षा, 2013 .-- 608 पी।

2. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: स्कूल पाठ्यक्रम के अतिरिक्त खंड। - एम।: लेनांद / उर्स, 2014 .-- 216 पी।

3. मेडिन्स्की एम.एम. प्रश्नों और अभ्यासों में प्रारंभिक गणित का पूरा पाठ्यक्रम। पुस्तक 2: संख्या क्रम और प्रगति। - एम।: एडिथस, 2015 .-- 208 पी।

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विषय: अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति

कक्षा: 9

तैयारी प्रणाली: बीजगणित में विषय के अध्ययन की तैयारी के लिए सामग्री और परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रारंभिक अवस्था

लक्ष्य: अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति की अवधारणाओं का गठन

कार्य: प्रगति के प्रकारों के बीच अंतर करना सिखाएं, सही ढंग से पढ़ाएं, सूत्रों का उपयोग करें

अंकगणितीय प्रगतिसंख्याओं का अनुक्रम कहा जाता है (एक प्रगति के सदस्य)

जिसमें प्रत्येक बाद का पद पिछले एक से एक नए पद से भिन्न होता है, जिसे एक चरण या प्रगति अंतर भी कहा जाता है।

इस प्रकार, प्रगति का चरण और उसका पहला पद निर्धारित करते हुए, आप इसके किसी भी तत्व को सूत्र द्वारा पा सकते हैं

1) अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरी संख्या से शुरू होकर, प्रगति के पिछले और अगले सदस्य का अंकगणितीय माध्य है

इसका उलटा भी सच है। यदि प्रगति के आसन्न विषम (सम) सदस्यों का अंकगणितीय माध्य उनके बीच के पद के बराबर है, तो संख्याओं का यह क्रम एक अंकगणितीय प्रगति है। यह कथन किसी भी क्रम की जाँच करना बहुत आसान बनाता है।

साथ ही, अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति से, उपरोक्त सूत्र को निम्नलिखित के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है

यह सत्यापित करना आसान है कि क्या हम समान चिह्न के दायीं ओर के पदों को लिखते हैं

समस्याओं में संगणना को सरल बनाने के लिए इसका उपयोग अक्सर अभ्यास में किया जाता है।

2) अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र को अच्छी तरह याद रखें, यह गणना के लिए अनिवार्य है और साधारण जीवन स्थितियों में काफी सामान्य है।

3) यदि आपको k-वें सदस्य से शुरू होने वाली पूरी राशि नहीं, बल्कि अनुक्रम का हिस्सा खोजने की आवश्यकता है, तो निम्न योग सूत्र काम आएगा

4) kth संख्या से शुरू होने वाली अंकगणितीय प्रगति के n पदों का योग ज्ञात करना व्यावहारिक रुचि का है। ऐसा करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें

समांतर श्रेणी 4; 7; का चालीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

शर्त के अनुसार, हमारे पास है

प्रगति का चरण निर्धारित करें

सुप्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके, हम प्रगति का चालीसवाँ पद ज्ञात करते हैं

अंकगणितीय प्रगति इसके तीसरे और सातवें पदों द्वारा दी गई है। प्रगति का पहला पद और दस का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आइए सूत्रों का उपयोग करके प्रगति के दिए गए तत्वों को लिखें

एक अंकगणितीय प्रगति हर और उसके सदस्यों में से एक द्वारा दी जाती है। प्रगति के पहले सदस्य का पता लगाएं, इसके 50 सदस्यों का योग 50 से शुरू होता है और पहले 100 का योग होता है।

समाधान:

आइए प्रगति के सौवें तत्व का सूत्र लिखें

और पहले खोजें

पहले के आधार पर, हम प्रगति का 50 पद पाते हैं

प्रगति के भाग का योग ज्ञात कीजिए

और पहले 100 . का योग

प्रगति का योग 250 है। समांतर श्रेणी के सदस्यों की संख्या ज्ञात कीजिए यदि:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111।

समाधान:

हम समीकरणों को पहले पद और प्रगति के चरण के रूप में लिखते हैं और उन्हें परिभाषित करते हैं

हम योग में सदस्यों की संख्या निर्धारित करने के लिए प्राप्त मूल्यों को योग सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं

प्रदर्शन सरलीकरण

और द्विघात समीकरण को हल करें

समस्या की स्थिति के लिए पाए गए दो मानों में से केवल 8 अंक ही उपयुक्त है। इस प्रकार, प्रगति के पहले आठ सदस्यों का योग 111 है।

प्रश्न हल करें

1 + 3 + 5 + ... + x = 307।

समाधान:

यह समीकरण एक अंकगणितीय प्रगति का योग है। आइए इसका पहला पद लिखें और प्रगति में अंतर ज्ञात करें

हम पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए प्रगति के योग के लिए सूत्र में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं

पिछले कार्य की तरह, हम द्विघात समीकरण को सरल और हल करेंगे

हम दो मूल्यों में से अधिक तार्किक चुनते हैं। हमारे पास यह है कि दिए गए मान a1 = 1, d = 2 के साथ प्रगति के 18 सदस्यों का योग Sn = 307 के बराबर है।

समस्या समाधान के उदाहरण: अंकगणितीय प्रगति

कार्य 1

छात्र टीम ने 288 वर्ग मीटर के क्षेत्र के साथ युवा क्लब के हॉल में फर्श पर सिरेमिक टाइलें बिछाने का अनुबंध किया। , और उनके पास ठीक 11 दिनों के काम के लिए टाइल्स का पर्याप्त स्टॉक था। उसी तरह उत्पादकता बढ़ाने की योजना बनाते हुए, फोरमैन ने निर्धारित किया कि काम पूरा करने में 5 दिन और लगेंगे। यदि 1 बॉक्स 1.2 m2 फर्श के लिए पर्याप्त है, और निम्न-गुणवत्ता वाली टाइलों को बदलने के लिए 3 बॉक्स की आवश्यकता है, तो उसे टाइलों के कितने बॉक्स ऑर्डर करने चाहिए?

समाधान

समस्या की स्थिति के अनुसार, यह स्पष्ट है कि हम एक अंकगणितीय प्रगति के बारे में बात कर रहे हैं जिसमें चलो

ए1 = एक्स, एसएन = 288, एन = 16

फिर हम सूत्र का उपयोग करते हैं: Sn = (2а1 + d (n-1)) * n / 0.86 = 200mm Hg। कला।

288 = (2x + 2 * 15) * 16/2

आइए गणना करें कि 11 दिनों में कितने m2 छात्र बाहर होंगे: S11 = (2 * 3 + 2 * 10) * 11.2 = 143m 2

288-143 = 145मी2 11 दिनों के काम के बाद बचा है, अर्थात। पांच दिनों के लिए

145 / 1.2 = 121 (अनुमानित) बक्सों को 5 दिनों के लिए ऑर्डर करने की आवश्यकता है।

दोष सहित 121 + 3 = 124 बक्सों को ऑर्डर करने की आवश्यकता है

उत्तर : 124 डिब्बे

टास्क 2

वैक्यूम पंप के पिस्टन के प्रत्येक आंदोलन के बाद, उसमें से 20% हवा बर्तन से हटा दी जाती है। आइए हम छह पिस्टन आंदोलनों के बाद बर्तन के अंदर हवा का दबाव निर्धारित करें, यदि प्रारंभिक दबाव 760 मिमी एचजी था। कला।

समाधान

चूंकि पिस्टन के प्रत्येक आंदोलन के बाद, उपलब्ध हवा का 20% पोत से हटा दिया जाता है, 80% हवा बनी रहती है। पिस्टन की क्रमिक गति के बाद बर्तन में वायु दाब का पता लगाने के लिए, आपको पिछले पिस्टन आंदोलन के दबाव को 0.8 से कम करना होगा।

हमारे पास एक ज्यामितीय प्रगति है, जिसका पहला पद 760 है, और हर 0.8 है। छह पिस्टन आंदोलनों के बाद पोत में वायु दाब (मिमी एचजी में) को व्यक्त करने वाली संख्या इस प्रगति में सातवां पद है। यह 760 * 0.86 = 200 मिमी एचजी के बराबर है। कला।

उत्तर: 200 मिमी एचजी।

एक समांतर श्रेणी दी गई है, जहाँ पाँचवाँ और दसवाँ पद क्रमशः 38 और 23 हैं। प्रगति का पंद्रहवाँ पद और इसके पहले दस पदों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

समांतर श्रेणी 5,14,23, ... की संख्या ज्ञात कीजिए, यदि इसका वां पद 239 है।

समाधान:

पाना समांतर श्रेणी के सदस्यों की संख्या 9,12,15, ..., यदि इसका योग 306 . है.

समाधान:

x ज्ञात कीजिए जिसके लिए संख्याएँ x-1, 2x-1, x2-5 एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं

समाधान:

आइए प्रगति के 1 और 2 पदों के बीच का अंतर ज्ञात करें:

घ = (2x-1) - (x-1) = x

आइए प्रगति के 2 और 3 पदों के बीच का अंतर ज्ञात करें:

डी = (x2-5) - (2x-1) = x2-2x-4

चूंकि अंतर समान है, तो प्रगति के सदस्यों को समान किया जा सकता है:

दोनों मामलों में जाँच करने पर, एक अंकगणितीय प्रगति प्राप्त होती है

उत्तर: x = -1 और x = 4 . के लिए

समांतर श्रेणी इसके तीसरे और सातवें पदों a3 = 5 द्वारा दी गई है; ए 7 = 13. प्रगति का पहला पद और दस का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम पहले को दूसरे समीकरण से घटाते हैं, परिणामस्वरूप, हम प्रगति का चरण पाते हैं

a1 + 6d- (a1 + 2d) = 4d = 13-5 = 8, इसलिए d = 2

हम अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को खोजने के लिए किसी भी समीकरण में पाया गया मान प्रतिस्थापित करते हैं

हम प्रगति के पहले दस सदस्यों के योग की गणना करते हैं

S10 = (2 * 1 + (10-1) * 2) * 10/2 = 100

उत्तर: a1 = 1; S10 = 100

एक समान्तर श्रेणी में जहाँ पहला पद -3.4 है और अंतर 3 है, पाँचवाँ और ग्यारहवाँ पद ज्ञात कीजिए।

तो, हम जानते हैं कि a1 = -3.4; d = 3. खोजें: a5, a11-।

समाधान।अंकगणितीय प्रगति का n-वाँ पद ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: a = a1 + (n - 1) d। हमारे पास है:

a5 = a1 + (5 - 1) d = -3.4 + 43 = 8.6;

a11 = a1 + (11 - 1) d = -3.4 + 10 * 3 = 26.6।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस मामले में समाधान मुश्किल नहीं है।

समांतर श्रेणी का बारहवाँ पद 74 है, और अंतर -4 है। इस क्रम में चौंतीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

हमें बताया गया है कि a12 = 74; d = -4, लेकिन आपको a34- खोजने की आवश्यकता है।

इस समस्या में, सूत्र a = a1 + (n - 1) d को तुरंत लागू करना संभव नहीं है, क्योंकि पहला पद a1 ज्ञात नहीं है। इस कार्य को कई चरणों में हल किया जा सकता है।

1. पद a12 और nवें पद के सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं a1:

a12 = a1 + (12 - 1) d, अब हम d को सरल और प्रतिस्थापित करते हैं: a12 = a1 + 11 (-4)। इस समीकरण से हम पाते हैं a1: a1 = a12 - (-44);

हम समस्या कथन से बारहवाँ पद जानते हैं, इसलिए हम आसानी से a1 . की गणना कर सकते हैं

a1 = 74 + 44 = 118। दूसरे चरण पर जाएँ - a34 की गणना।

2. फिर से, सूत्र a = a1 + (n - 1) d का उपयोग करते हुए, क्योंकि a1 पहले से ही ज्ञात है, हम a34- को परिभाषित करेंगे,

a34 = a1 + (34 - 1) d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14।

उत्तर: समांतर श्रेणी का चौंतीसवाँ पद -14 है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरे उदाहरण का समाधान अधिक जटिल है। उत्तर पाने के लिए एक ही सूत्र का दो बार प्रयोग किया जाता है। लेकिन सब कुछ इतना जटिल है। अतिरिक्त सूत्रों का उपयोग करके समाधान को छोटा किया जा सकता है।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि समस्या में a1 ज्ञात है, तो अंकगणितीय प्रगति के n-वें पद को निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है। लेकिन, यदि शर्त पहले पद को निर्दिष्ट नहीं करती है, तो एक सूत्र बचाव में आ सकता है जो हमें आवश्यक n-वें पद और समस्या में निर्दिष्ट शब्द ak को जोड़ता है।

एक = एके + (एन - के) डी।

आइए दूसरा उदाहरण हल करते हैं, लेकिन एक नए सूत्र का उपयोग करते हुए।

दिया गया है: a12 = 74; डी = -4। खोजें: a34-.

हम सूत्र a = ak + (n - k) d का उपयोग करते हैं। हमारे मामले में, यह होगा:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14।

समस्या का उत्तर बहुत तेजी से प्राप्त हुआ, क्योंकि अतिरिक्त कार्यों को करने और प्रगति के पहले कार्यकाल की तलाश करने की कोई आवश्यकता नहीं थी।

उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके, आप एक अंकगणितीय प्रगति के अंतर की गणना करने की समस्याओं को हल कर सकते हैं। तो, सूत्र a = a1 + (n - 1) d का उपयोग करके, आप d को व्यक्त कर सकते हैं:

डी = (ए - ए 1) / (एन -1)। हालाँकि, किसी दिए गए पहले पद के साथ समस्याएँ इतनी सामान्य नहीं हैं, और उन्हें हमारे सूत्र a = ak + (n - k) d का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिससे यह देखा जाता है कि d = (an - ak) / (n - k) ) आइए ऐसे कार्य पर विचार करें।

समांतर श्रेणी का अंतर ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि a3 = 36; ए 8 = 106।

हमने जो सूत्र प्राप्त किया है, उसका उपयोग करके समस्या का समाधान एक पंक्ति में लिखा जा सकता है:

डी = (ए 8 - ए 3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14।

शस्त्रागार में इस सूत्र के बिना, समस्या के समाधान में बहुत अधिक समय लगता, क्योंकि दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना होगा।

ज्यामितीय प्रगति

1. वें सदस्य का सूत्र (प्रगति का सामान्य सदस्य)।
2. प्रगति के पहले सदस्यों के योग का सूत्र:। जब यह एक अभिसरण ज्यामितीय प्रगति के बारे में बात करने के लिए प्रथागत है; इस मामले में, आप सूत्र का उपयोग करके संपूर्ण प्रगति के योग की गणना कर सकते हैं।
3. "ज्यामितीय माध्य" का सूत्र: यदि, एक ज्यामितीय प्रगति के लगातार तीन पद हैं, तो परिभाषा के आधार पर हमारे पास अनुपात है: या या .