सही टेट्राहेड्रोन का निर्धारण। नियमित टेट्राहेड्रोन (पिरामिड)। माइक्रोवर्ल्ड में टेट्राहेड्रोन

इसके सभी फलक समान त्रिभुज हैं। एक समद्विबाहु चतुष्फलक का प्रकटन एक त्रिभुज है जिसे तीन मध्य रेखाओं द्वारा चार बराबर त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है। एक समबाहु चतुष्फलक में, ऊँचाई के आधार, ऊँचाई के मध्य बिंदु और चेहरों की ऊँचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु एक गोले की सतह पर स्थित होते हैं (12 बिंदुओं का गोला) (एक त्रिभुज के लिए यूलर के वृत्त का एनालॉग)।

एक समद्विबाहु चतुष्फलक के गुण:

• इसके सभी फलक समान (सर्वांगसम) हैं।
• क्रॉस किए गए किनारे जोड़े में बराबर होते हैं।
• त्रिभुजाकार कोण बराबर होते हैं।
• विपरीत विकर्ण कोण बराबर होते हैं।
• एक किनारे पर टिके दो समतल कोने बराबर होते हैं।
• प्रत्येक शीर्ष पर समतल कोणों का योग 180° होता है।
• अनफोल्ड टेट्राहेड्रोन - त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज।
• वर्णित समानांतर चतुर्भुज आयताकार है।
• टेट्राहेड्रोन में समरूपता के तीन अक्ष होते हैं।
• क्रॉसिंग पसलियों के सामान्य लंबवत जोड़ीदार लंबवत होते हैं।
• मध्य रेखाएं जोड़े में लंबवत होती हैं।
• चेहरों की परिधि समान है।
• चेहरों के क्षेत्र समान हैं।
• चतुष्फलक की ऊँचाई बराबर होती है।
• विपरीत फलकों के गुरुत्व केंद्रों के साथ शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड बराबर होते हैं।
• किनारों के चारों ओर वर्णित वृत्तों की त्रिज्याएँ समान हैं।
• टेट्राहेड्रोन के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र वर्णित क्षेत्र के केंद्र के साथ मेल खाता है।
• गुरुत्वाकर्षण का केंद्र खुदे हुए गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है।
• वर्णित गोले का केंद्र खुदा हुआ के केंद्र के साथ मेल खाता है।
• खुदा हुआ गोला इन फलकों के चारों ओर घिरे वृत्तों के केंद्रों पर फलकों को स्पर्श करता है।
• बाहरी इकाई मानदंड (चेहरे पर लंबवत इकाई वैक्टर) का योग शून्य है।
• सभी विकर्ण कोणों का योग शून्य होता है।

ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोन

शीर्षों से विपरीत फलकों तक गिराई गई सभी ऊँचाइयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोन गुण:

• चतुष्फलक की ऊँचाई एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
• चतुष्फलक की ऊँचाइयों के आधार फलकों के लम्बकेन्द्र हैं।
• एक चतुष्फलक के प्रत्येक दो विपरीत किनारे लंबवत होते हैं।
• चतुष्फलक के विपरीत किनारों के वर्गों का योग बराबर होता है।
• चतुष्फलक के विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड बराबर होते हैं।
• विपरीत कोणों की कोज्याओं के गुणनफल बराबर होते हैं।
• फलकों के क्षेत्रफलों के वर्गों का योग विपरीत किनारों के गुणनफलों के वर्गों के योग से चार गुना कम होता है।
• पास होना ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोनप्रत्येक फलक के 9 बिंदुओं (यूलर के वृत्त) का एक वृत्त एक गोले (24 बिंदुओं का एक गोला) से संबंधित है।
• पास होना ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोनगुरुत्वाकर्षण के केंद्र और चेहरे की ऊंचाइयों के चौराहे के बिंदु, साथ ही साथ टेट्राहेड्रोन की प्रत्येक ऊंचाई के खंडों को शीर्ष से 2: 1 के अनुपात में ऊंचाइयों के चौराहे के बिंदु तक विभाजित करने वाले बिंदु, झूठ बोलते हैं एक ही गोला (12 बिंदुओं का गोला)।

आयताकार चतुष्फलक

किसी एक शीर्ष से सटे सभी किनारे एक दूसरे के लंबवत हैं। एक आयताकार चतुष्फलक से एक समतल चतुष्फलक को काटकर एक आयताकार चतुष्फलक प्राप्त किया जाता है।

कंकाल चतुष्फलक

यह एक चतुष्फलक है जो निम्नलिखित में से किसी भी शर्त को पूरा करता है:

• एक गोला है जो सभी किनारों को छूता है,
• क्रॉसिंग किनारों की लंबाई का योग बराबर है,
• विपरीत किनारों पर विकर्ण कोणों का योग बराबर होता है,
• चेहरों में खुदे हुए वृत्त जोड़े में स्पर्श करते हैं,
• चतुष्फलक पर प्राप्त सभी चतुर्भुजों का वर्णन किया गया है,
• उनमें खुदे हुए वृत्तों के केंद्रों से फलकों पर उठाए गए लंब एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

अनुरूप चतुष्फलक

एक अनुरूप टेट्राहेड्रोन के गुण:

• ऊंचाई बराबर हैं। टेट्राहेड्रोन बाइफेट टेट्राहेड्रोन के दो क्रॉसिंग किनारों के लिए सामान्य लंबवत होते हैं (किनारे जिनमें सामान्य शिखर नहीं होते हैं)।
• किसी समतल पर किसी चतुष्फलक का प्रक्षेपण किसी भी बिमीडियन, एक समचतुर्भुज है। बिमीडियनटेट्राहेड्रोन को इसके क्रॉसिंग किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड कहा जाता है (जिसमें सामान्य शिखर नहीं होते हैं)।
• वर्णित समानांतर चतुर्भुज के चेहरे एक ही आकार के हैं।
• निम्नलिखित अनुपात पूरे होते हैं: $4ए\; ^\; 2\; (ए\_1)\; ^\; 2-\; (बी\; ^\; 2\; +\; (बी\_1)\; ^\; 2-सी\; ^\; 2-\; (सी\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2\; =\; 4\; बी\; ^\; 2\; (बी\_1)\; ^\; 2-\; (सी\; ^\; 2\; +\; (सी\_1)\; ^\; 2-ए\; ^\; 2-\; (ए\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2\; =\; 4\; सी\; ^\; 2\; (सी\_1)\; ^\; 2-\; (ए\; ^\; 2\; +\; (ए\_1)\; ^\; 2-बी\; ^\; 2-\; (बी\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2$, कहाँ पे $ए$तथा $a\_1$, $बी$तथा $बी\_1$, $सी$तथा $c\_1$- विपरीत पसलियों की लंबाई।
• टेट्राहेड्रोन के विपरीत किनारों की प्रत्येक जोड़ी के लिए, उनमें से एक के माध्यम से खींचे गए विमान और दूसरे के मध्य में लंबवत होते हैं।
• एक समनुरूप चतुष्फलक के वर्णित समानांतर चतुर्भुज में एक गोले को अंकित किया जा सकता है।

इंसेंट्रिक टेट्राहेड्रोन

इस प्रकार में, चतुष्फलक के शीर्षों को विपरीत फलकों में अंकित वृत्तों के केंद्रों से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। केंद्रित टेट्राहेड्रोन गुण:

• टेट्राहेड्रोन के चेहरों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों को विपरीत कोने (टेट्राहेड्रोन के माध्यिका) से जोड़ने वाले खंड हमेशा एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु टेट्राहेड्रोन के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है।
• टिप्पणी... यदि अंतिम स्थिति में हम चेहरों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों को चेहरों के ऑर्थोसेंटर से बदल दें, तो यह एक नई परिभाषा में बदल जाएगा ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोन... यदि हम उन्हें फलकों में उत्कीर्ण वृत्तों के केंद्रों से बदल दें, जिन्हें कभी-कभी इंसेंटर कहा जाता है, तो हमें टेट्राहेड्रा के एक नए वर्ग की परिभाषा मिलती है - इनसेंट्रिक.
• चतुष्फलक के शीर्षों को विपरीत फलकों में अंकित वृत्तों के केंद्रों से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
• इन फलकों के उभयनिष्ठ किनारे की ओर खींचे गए दो फलकों के कोनों के द्विभाजक का एक उभयनिष्ठ आधार होता है।
• विपरीत किनारों की लंबाई के उत्पाद बराबर हैं।
• इन किनारों के तीन सिरों से गुजरने वाले किसी भी गोले के साथ एक शीर्ष से फैले तीन किनारों के चौराहे के दूसरे बिंदुओं से बना त्रिभुज समबाहु है।

नियमित चतुष्फलक

यह एक समद्विबाहु चतुष्फलक है, इसके सभी फलक नियमित त्रिभुज हैं। यह प्लेटो के पांच निकायों में से एक है।

एक नियमित चतुष्फलक के गुण:

• चतुष्फलक के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हैं,
• चतुष्फलक के सभी फलक एक दूसरे के बराबर होते हैं,
• सभी फलकों के परिमाप और क्षेत्रफल एक दूसरे के बराबर होते हैं।
• एक नियमित चतुष्फलक एक ही समय पर होता है ऑर्थोसेन्ट्रिक, फ्रेम, समदूरस्थ, इनसेंट्रिक और आनुपातिक।
• एक चतुष्फलक सही है यदि वह निम्नलिखित में से किसी दो प्रकार के चतुष्फलक से संबंधित है: ऑर्थोसेन्ट्रिक, फ्रेम, इनसेंट्रिक, आनुपातिक, बराबर.
• एक चतुष्फलक सही है यदि यह है बराबरी काऔर निम्नलिखित प्रकार के टेट्राहेड्रोन में से एक के अंतर्गत आता है: ऑर्थोसेन्ट्रिक, फ्रेम, इनसेंट्रिक, आनुपातिक.
• एक ऑक्टाहेड्रोन को एक नियमित टेट्राहेड्रोन में अंकित किया जा सकता है, इसके अलावा, ऑक्टाहेड्रोन के चार (आठ में से) चेहरे टेट्राहेड्रोन के चार चेहरों के साथ संरेखित होंगे, ऑक्टाहेड्रोन के सभी छह कोने छह किनारों के केंद्रों के साथ संरेखित होंगे चतुष्फलक।
• एक नियमित टेट्राहेड्रोन में एक खुदा हुआ ऑक्टाहेड्रोन (केंद्र में) और चार टेट्राहेड्रा (कोने के साथ) होते हैं, और इन टेट्राहेड्रा और ऑक्टाहेड्रोन के किनारे एक नियमित टेट्राहेड्रोन के किनारों के आधे आकार के होते हैं।
• एक नियमित टेट्राहेड्रोन को दो तरह से क्यूब में अंकित किया जा सकता है, इसके अलावा, टेट्राहेड्रोन के चार कोने क्यूब के चार कोने के साथ संरेखित होंगे।
• एक नियमित टेट्राहेड्रोन को एक इकोसाहेड्रोन में अंकित किया जा सकता है, इसके अलावा, टेट्राहेड्रोन के चार कोने आइकोसाहेड्रोन के चार कोने के साथ संरेखित होंगे।
• एक नियमित टेट्राहेड्रोन के क्रॉस किए गए किनारे परस्पर लंबवत होते हैं।

टेट्राहेड्रोन मात्रा

• टेट्राहेड्रोन का आयतन (चिह्न को ध्यान में रखते हुए), जिसके कोने बिंदुओं पर स्थित हैं $\backslash \; mathbf\; (आर)\; \_1\; (x\_1,\; y\_1,\; z\_1),$ $\backslash \; mathbf\; (आर)\; \_2\; (x\_2,\; y\_2,\; z\_2),$ $\backslash \; mathbf\; (आर)\; \_3\; (x\_3,\; y\_3,\; z\_3),$ $\backslash \; गणितबीएफ\; (आर)\; \_4\; (x\_4,\; y\_4,\; z\_4),$के बराबर है

$वी\; =\; \backslash \; फ्रैक16$

\ start (vmatrix) 1 और x_1 और y_1 और z_1 \\ 1 और x_2 और y_2 और z_2 \\ 1 और x_3 और y_3 और z_3 \\ 1 और x_4 और y_4 और z_4 \ end (vmatrix) = \ frac16 \ start ( vmatrix) x_2 - x_1 और y_2 - y_1 और z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 और y_3 - y_1 और z_3 - z_1 \\ x_4 - x_1 और y_4 - y_1 और z_4 - z_1 \ अंत (vmatrix),या

$वी\; =\; \backslash \; फ्रैक\; (1)\; (3)\; \backslash \; एस\; एच,$

कहाँ पे $एस$क्या किसी चेहरे का क्षेत्रफल है, और $एच$- ऊंचाई इस किनारे तक गिर गई।

• किनारे की लंबाई के संदर्भ में टेट्राहेड्रोन की मात्रा केली-मेंजर निर्धारक का उपयोग करके व्यक्त की जाती है:

$288\; \backslash \; cdot\; वी\; ^\; 2\; =$

0 और 1 और 1 और 1 और 1 \\ 1 और 0 और d_ (12) ^ 2 और d_ (13) ^ 2 और d_ (14) ^ 2 \\ 1 और d_ (12) ^ 2 और 0 और d_ ( 23) ^ 2 और d_ (24) ^ 2 \\ 1 और d_ (13) ^ 2 और d_ (23) ^ 2 और 0 और d_ (34) ^ 2 \\ 1 और d_ (14) ^ 2 और d_ ( 24) ^ 2 और डी_ (34) ^ 2 और 0

\ अंत (vmatrix)।

• इस सूत्र में एक समान निर्धारक के माध्यम से हेरॉन के सूत्र के एक प्रकार के रूप में त्रिभुज के क्षेत्र के लिए एक फ्लैट एनालॉग है।
• दो विपरीत किनारों की लंबाई के माध्यम से एक चतुष्फलक का आयतन एतथा बीक्रॉसिंग लाइनों की तरह जो दूर हैं एचएक दूसरे से और एक दूसरे के साथ एक कोण बनाते हैं $\backslash \; फी$, सूत्र द्वारा पाया जाता है:

$वी\; =\; \backslash \; फ्रैक\; (1)\; (6)\; अब\; एच\; \backslash \; पाप\; \backslash \; फी।$

$वी\; =\; \backslash \; फ्रैक\; (1)\; (3)\; \backslash \; एबीसी\; \backslash \; sqrt\; (डी),$

कहाँ पे $$डी\; =\; \backslash \; प्रारंभ\; (vmatrix)$$

1 और \ cos \ gamma और \ cos \ बीटा \\ \ cos \ gamma & 1 & \ cos \ alpha \\ \ cos \ बीटा और \ cos \ alpha और 1 \ end (vmatrix)।

• अंतिम सूत्र के तल के लिए एक एनालॉग त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए उसके दो पक्षों की लंबाई के संदर्भ में सूत्र है एतथा बीएक शीर्ष से निकलकर एक दूसरे से कोण बनाते हुए $\backslash \; गामा$:

$एस\; =\; \backslash \; फ्रैक\; (1)\; (2)\; \backslash \; ab\; \backslash \; sqrt\; (डी),$

कहाँ पे $डी\; =\; \backslash \; प्रारंभ\; (vmatrix)$

1 और \ cos \ gamma \\ \ cos \ gamma और 1 \\ \ end (vmatrix)।

माइक्रोवर्ल्ड में टेट्राहेड्रोन

• नियमित टेट्राहेड्रोन एसपी 3-परमाणु कक्षाओं के संकरण के दौरान बनता है (उनकी कुल्हाड़ियों को नियमित टेट्राहेड्रोन के शीर्ष पर निर्देशित किया जाता है, और केंद्रीय परमाणु का नाभिक नियमित टेट्राहेड्रोन के वर्णित क्षेत्र के केंद्र में स्थित होता है), इसलिए, कई अणु जिनमें केंद्रीय परमाणु का ऐसा संकरण होता है, इस पॉलीहेड्रॉन का रूप होता है
• मीथेन अणु सीएच 4
• सल्फेट आयन SO 4 2-, फॉस्फेट आयन PO 4 3-, परक्लोरेट आयन ClO 4 - और कई अन्य आयन
• डायमंड सी एक टेट्राहेड्रोन है जिसका किनारा 2.5220 एंगस्ट्रॉम के बराबर है
• फ्लोराइट CaF 2, टेट्राहेड्रोन जिसकी धार 3 के बराबर है, 8626 angstroms
• स्फालराइट, ZnS, टेट्राहेड्रोन जिसकी धार 3.823 angstroms . के बराबर है
• जटिल आयन -, 2-, 2-, 2+
• सिलिकेट, जिसकी संरचना सिलिकॉन-ऑक्सीजन टेट्राहेड्रोन पर आधारित होती है 4-

प्रकृति में टेट्राहेड्रोन

कुछ फल, एक तरफ उनमें से चार होने के कारण, एक चतुष्फलक के शीर्ष पर स्थित होते हैं, जो सही फल के करीब होता है। यह डिज़ाइन इस तथ्य के कारण है कि एक दूसरे को स्पर्श करने वाली चार समान गेंदों के केंद्र एक नियमित टेट्राहेड्रोन के शीर्ष पर होते हैं। इसलिए, गेंद जैसे फल एक समान पारस्परिक व्यवस्था बनाते हैं। उदाहरण के लिए, अखरोट को इस तरह से रखा जा सकता है।

प्रौद्योगिकी में टेट्राहेड्रोन

यह सभी देखें

• सिंप्लेक्स - एन-आयामी टेट्राहेड्रोन

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नोट्स (संपादित करें)

साहित्य

• मैटिज़न वी.ई., डबरोव्स्की। टेट्राहेड्रोन "क्वांट" की ज्यामिति से, नंबर 9, 1988 P.66।
• ज़स्लाव्स्की ए.ए. // गणितीय शिक्षा, सेर। 3 (2004), नंबर 8, पीपी. 78-92।

सही सही गैर उत्तल उत्तल सूत्र, प्रमेय, सिद्धांत अन्य

टेट्राहेड्रोन से अंश

चौथे दिन, ज़ुबोव्स्की वैल में आग लग गई।
पियरे और तेरह अन्य को एक व्यापारी के घर के कोच हाउस में, क्रिम्स्की ब्रोड ले जाया गया। सड़कों से गुजरते हुए, पियरे का उस धुएँ से दम घुट रहा था जो ऐसा लग रहा था कि पूरे शहर में खड़ा है। आग को अलग-अलग दिशाओं से देखा जा सकता था। पियरे उस समय जले हुए मास्को के महत्व को अभी तक नहीं समझ पाए थे और इन आग को भयावह रूप से देख रहे थे।
पियरे क्रीमियन ब्रोड के पास एक घर के कैरिज शेड में चार और दिनों तक रहे, और इन दिनों के दौरान, फ्रांसीसी सैनिकों की बातचीत से, उन्हें पता चला कि यहां मौजूद हर कोई हर दिन मार्शल के फैसले की उम्मीद कर रहा था। किस तरह का मार्शल, पियरे सैनिकों से पता नहीं लगा सका। सैनिक के लिए, जाहिर है, मार्शल शक्ति की सर्वोच्च और कुछ हद तक रहस्यमयी कड़ी लग रहा था।
ये पहले दिन, 8 सितंबर तक, जिस दिन कैदियों को दूसरी पूछताछ के लिए ले जाया गया था, पियरे के लिए सबसे कठिन थे।

एक्स
8 सितंबर को, एक बहुत ही महत्वपूर्ण अधिकारी ने कैदियों के लिए खलिहान में प्रवेश किया, यह देखते हुए कि गार्ड ने उसके साथ कैसा व्यवहार किया। यह अधिकारी, शायद एक कर्मचारी अधिकारी, अपने हाथों में एक सूची के साथ, पियरे को बुलाते हुए सभी रूसियों को बुलाया: सेलुई क्वि एन "एवौ पास बेटा नॉम [वह जो अपना नाम नहीं बोलता]। और, उदासीनता और आलसी देख रहा है सभी कैदियों, उसने गार्ड को आदेश दिया कि अधिकारी उन्हें ठीक से तैयार करें और उन्हें मार्शल के पास ले जाने से पहले उन्हें साफ करें। एक घंटे बाद सैनिकों की एक टीम आ गई, और पियरे और अन्य तेरह को मेडेन के क्षेत्र में ले जाया गया। दिन स्पष्ट था , बारिश के बाद धूप, और हवा असामान्य रूप से साफ थी। उस दिन जब पियरे को ज़ुबोव्स्की शाफ्ट के गार्डहाउस से बाहर निकाला गया था; स्वच्छ हवा में स्तंभों में धुआं उठ गया। आग कहीं दिखाई नहीं दे रही थी, लेकिन धुएं के स्तंभ ऊपर से उठे थे सभी दिशाओं, और पूरे मास्को, जो कुछ भी पियरे देख सकता था, वह एक विस्फोट था। हर तरफ स्टोव और चिमनी के साथ बंजर भूमि और कभी-कभी पत्थर के घरों की जली हुई दीवारें दिखाई देती थीं। पियरे ने आग को करीब से देखा और परिचित क्वार्टरों को नहीं पहचाना शहर का। कुछ स्थानों पर बचे हुए चर्च देखे जा सकते थे। क्रेमलिन, अबाधित, अपने टावरों और इवान वे के साथ दूर से चमक रहा था चेहरा। पास में, नोवो देवीची मठ का गुंबद खुशी से चमक रहा था, और वहां से घंटियां और सीटी विशेष रूप से जोर से सुनाई दे रही थीं। इस संदेश ने पियरे को याद दिलाया कि यह रविवार था और वर्जिन के जन्म का पर्व था। लेकिन ऐसा लग रहा था कि इस छुट्टी को मनाने के लिए कोई नहीं था: हर जगह आग की तबाही थी, और रूसी लोगों से केवल कभी-कभी फटे, भयभीत लोग थे जो फ्रांसीसी को देखते हुए छिप गए थे।
जाहिर है, रूसी घोंसला तबाह और नष्ट हो गया था; लेकिन इस रूसी जीवन व्यवस्था के विनाश के पीछे, पियरे ने अनजाने में महसूस किया कि इस बर्बाद घोंसले के ऊपर उसका अपना, पूरी तरह से अलग, लेकिन दृढ़ फ्रांसीसी आदेश स्थापित किया गया था। उन्होंने इसे उन लोगों की दृष्टि से महसूस किया, जो खुशी से और प्रसन्नतापूर्वक, मार्चिंग सैनिकों की नियमित पंक्तियों में थे, जो उन्हें अन्य अपराधियों के साथ ले गए थे; वह इसे एक सैनिक द्वारा संचालित भाप गाड़ी में किसी महत्वपूर्ण फ्रांसीसी अधिकारी की दृष्टि से समझ सकता था, जो उसकी ओर सवार था। उसने इसे मैदान के बाईं ओर से आने वाले रेजिमेंटल संगीत की हर्षित ध्वनियों से महसूस किया, और उसने इसे विशेष रूप से महसूस किया और इस सूची से समझ लिया कि फ्रांसीसी अधिकारी जो आज सुबह पहुंचे, कैदियों को बुलाकर, आज सुबह इसे पढ़ा। पियरे को कुछ सैनिक दर्जनों अन्य लोगों के साथ एक स्थान, दूसरे स्थान पर ले गए; ऐसा लग रहा था कि वे उसके बारे में भूल सकते हैं, उसे दूसरों के साथ मिला सकते हैं। लेकिन नहीं: पूछताछ के दौरान दिए गए उनके जवाब, उनके नाम के रूप में उनके पास लौट आए: सेलुई क्वि एन "एवौ पास बेटा नॉम। और इस नाम के तहत, पियरे को डर था, अब उन्हें कहीं ले जाया गया था, निस्संदेह आत्मविश्वास के साथ लिखा गया था उनके चेहरे पर, कि अन्य सभी कैदी और वे वही थे जिनकी आवश्यकता थी, और उन्हें सही जगह पर ले जाया जा रहा था। ”पियरे को एक अज्ञात चिप की तरह लगा, जो मशीन के पहियों में फंसी हुई थी, लेकिन सही ढंग से काम कर रही थी। .
पियरे और अन्य अपराधियों को मैडेन के मैदान के दाहिनी ओर ले जाया गया, मठ से दूर नहीं, एक विशाल बगीचे के साथ एक बड़े सफेद घर में। यह प्रिंस शचरबातोव का घर था, जिसमें पियरे अक्सर मालिक से मिलने जाते थे और जिसमें अब, जैसा कि उन्होंने सैनिकों की बातचीत से सीखा, एक मार्शल, ड्यूक ऑफ एकमुहल था।
उन्हें बरामदे में ले जाया गया और एक-एक करके घर में ले जाया गया। पियरे छठे में लाया गया था। एक ग्लास गैलरी के माध्यम से, एक प्रवेश द्वार, पियरे से परिचित, उन्हें एक लंबे, निचले कार्यालय में ले जाया गया, जिसके दरवाजे पर एक सहायक खड़ा था।
दावौत कमरे के अंत में एक मेज के ऊपर बैठा था, उसकी नाक पर चश्मा लगा हुआ था। पियरे उसके करीब आ गया। डावाउट, अपनी आँखें उठाए बिना, जाहिर तौर पर किसी तरह के कागज के साथ मुकाबला कर रहा था जो उसके सामने पड़ा था। बिना आँखें उठाए उसने चुपचाप पूछा:
- तुम कौन हो? [तुम कौन हो?]
पियरे चुप था क्योंकि वह शब्दों को नहीं निकाल सका। पियरे के लिए डावाउट सिर्फ एक फ्रांसीसी जनरल नहीं था; पियरे डावौट के लिए एक ऐसा व्यक्ति था जो अपनी क्रूरता के लिए जाना जाता था। डावाउट के ठंडे चेहरे को देखकर, जो एक सख्त शिक्षक की तरह, थोड़ी देर के लिए धैर्य रखने और उत्तर की प्रतीक्षा करने के लिए सहमत हो गया, पियरे को लगा कि हर पल की देरी से उसकी जान जा सकती है; लेकिन वह नहीं जानता था कि क्या कहना है। पहली पूछताछ में उसने जो कहा वह कहने की हिम्मत नहीं हुई; अपनी रैंक और स्थिति को प्रकट करना खतरनाक और शर्मनाक दोनों था। पियरे चुप था। लेकिन इससे पहले कि पियरे के पास कुछ भी तय करने का समय होता, डावाउट ने अपना सिर उठाया, अपना चश्मा अपने माथे पर उठाया, अपनी आँखें सिकोड़ लीं और पियरे को गौर से देखा।
"मैं इस आदमी को जानता हूं," उसने एक मापा, ठंडी आवाज में कहा, जाहिर तौर पर पियरे को डराने के लिए गणना की गई थी। ठंड जो पहले पियरे की पीठ से नीचे चली गई थी, उसके सिर को इस तरह जकड़ लिया जैसे कि एक वाइस में हो।
- सोम जनरल, वोस ने पाउवेज़ पस मी कोनैत्रे, जे ने वौस ऐ जमाइस वु ... [आप मुझे नहीं जान सकते थे, जनरल, मैंने आपको कभी नहीं देखा।]
- सी "एस्ट अन एस्पियन रूस, [यह एक रूसी जासूस है,]" डावाउट ने उसे बाधित किया, एक अन्य जनरल को संबोधित किया जो कमरे में था और जिसे पियरे ने नहीं देखा था। और डावाउट दूर हो गया। उसकी आवाज में एक अप्रत्याशित ताली के साथ, पियरे अचानक जल्दी बोल दिया।
"नहीं, मोनसेग्नूर," उन्होंने कहा, अचानक याद करते हुए कि डावाउट एक ड्यूक था। - नॉन, मोनसेग्नूर, वोस एन "एवेज़ पस पु मी कॉन्नाइट्रे। जे सुइस अन ऑफ़िसियर मिलिशनेयर एट जे एन" ऐ पास क्विटे मॉस्को। [नहीं, महामहिम ... नहीं, महामहिम, आप मुझे नहीं जान सकते थे। मैं एक पुलिस अधिकारी हूं और मैंने मास्को नहीं छोड़ा है।]
- वोटर नॉम? [आपका नाम?] दावत ने दोहराया।
- बेसुहोफ। [बेजुखोव।]
- क्व "एस्ट सी क्यूई मे प्रोवेरा क्यू वोस ने मेंटेज़ पास? [मुझे कौन साबित करेगा कि आप झूठ नहीं बोल रहे हैं?]
- महाशय! [महामहिम!] - पियरे एक याचना में चिल्लाया, नाराज आवाज नहीं।
दावौत ने आँखें उठाईं और पियरे को गौर से देखा। कई सेकंड के लिए उन्होंने एक-दूसरे को देखा और इस नज़र ने पियरे को बचा लिया। इस दृष्टि से युद्ध और न्याय की सभी परिस्थितियों के अतिरिक्त इन दोनों व्यक्तियों के बीच मानवीय सम्बन्ध स्थापित हुए। उस एक मिनट में दोनों ने अस्पष्ट रूप से असंख्य चीजों को महसूस किया और महसूस किया कि वे दोनों मानवता के बच्चे हैं, कि वे भाई हैं।
डावाउट के लिए पहली नज़र में, जिसने अपनी सूची से केवल अपना सिर उठाया, जहां मानव मामलों और जीवन को संख्या कहा जाता था, पियरे केवल एक परिस्थिति थी; और, अपने विवेक पर बुरा काम न करते हुए, दावौत ने उसे गोली मार दी होगी; परन्तु अब उस ने उस में एक पुरूष देखा। उसने एक पल के लिए सोचा।
- कमेंट मी प्रोवेरेज़ वौस ला वेराइट डे सी क्यू वौस मी डाइट्स? [तुम मुझे अपने शब्दों की सच्चाई कैसे साबित करोगे?] - दावौत ने ठंडे स्वर में कहा।
पियरे ने रामबल को याद किया और अपनी रेजिमेंट, और उसका उपनाम, और जिस सड़क पर घर था उसका नाम रखा।
- Vous n "etes pas ce que vous dites, [आप वह नहीं हैं जो आप कहते हैं।] - Davout ने फिर कहा।
पियरे, कांपती, टूटी हुई आवाज में, अपनी गवाही की वैधता साबित करने लगा।
लेकिन उसी समय सहायक ने प्रवेश किया और दावौत को कुछ सूचना दी।
एडजुटेंट द्वारा रिपोर्ट की गई खबर पर डावाउट अचानक मुस्कराया, और खुद को बटन करना शुरू कर दिया। वह स्पष्ट रूप से पियरे के बारे में पूरी तरह से भूल गया।
जब सहायक ने उसे कैदी की याद दिलाई, तो उसने पियरे की ओर सिर हिलाया और उसे नेतृत्व करने के लिए कहा। लेकिन वे उसे कहाँ ले जाने वाले थे - पियरे को नहीं पता था: वापस बूथ पर या निष्पादन की तैयार जगह पर, जो कि मेडेन के मैदान से गुजरते हुए, उसके साथियों ने उसे दिखाया।
उसने अपना सिर घुमाया और देखा कि सहायक फिर से कुछ पूछ रहा था।
- ओह, बिना डाउट! [हाँ, बिल्कुल!] - डावाउट ने कहा, लेकिन वह "हाँ", पियरे को नहीं पता था।
पियरे को याद नहीं था कि वह कैसे, कब तक और कहाँ चला। वह, पूरी तरह से बकवास और नीरसता की स्थिति में, अपने आस-पास कुछ भी नहीं देख रहा था, अपने पैरों को दूसरों के साथ तब तक हिलाया जब तक कि सभी रुक नहीं गए और वह रुक गया। इस पूरे समय के लिए एक विचार पियरे के दिमाग में था। यह सोचा गया था कि किसने, किसने आखिरकार उसे मौत की सजा सुनाई। ये वे लोग नहीं थे जिन्होंने आयोग में उनसे पूछताछ की: उनमें से कोई भी नहीं चाहता था और जाहिर है, ऐसा नहीं कर सका। यह दावौत नहीं था जिसने उसे इतनी मानवीय दृष्टि से देखा। एक और मिनट, और डावाउट को एहसास हो गया होगा कि वे क्या गलत कर रहे हैं, लेकिन इस मिनट में प्रवेश करने वाले सहायक द्वारा बाधित किया गया था। और यह सहायक, जाहिर है, कुछ भी बुरा नहीं चाहता था, लेकिन वह प्रवेश नहीं कर सकता था। आखिरकार किसने मार डाला, मार डाला, उसकी जान ले ली - पियरे अपनी सारी यादों, आकांक्षाओं, आशाओं, विचारों के साथ? यह किसने किया? और पियरे को लगा कि यह कोई नहीं है।
यह आदेश था, परिस्थितियों का एक समूह।
किसी आदेश ने उसे मार डाला - पियरे ने उसे अपने जीवन से वंचित कर दिया, सब कुछ, उसे नष्ट कर दिया।

राजकुमार शचरबातोव के घर से, कैदियों को सीधे देविची पोल से नीचे ले जाया गया, जो देवीची मठ के बाईं ओर था, और उस बगीचे की ओर ले जाया गया जिस पर खंभा खड़ा था। खम्भे के पीछे ताजी खोदी गई मिट्टी का एक बड़ा गड्ढा खोदा गया था, और गड्ढे और खम्भे के पास एक अर्धवृत्त में लोगों की एक बड़ी भीड़ खड़ी थी। भीड़ में कम संख्या में रूसी और बड़ी संख्या में नेपोलियन के सैनिक शामिल थे: जर्मन, इटालियंस और फ्रांसीसी अलग-अलग वर्दी में। स्तंभ के दाईं और बाईं ओर नीले रंग की वर्दी में लाल एपॉलेट्स के साथ, जूते और शाकोस में फ्रांसीसी सैनिकों के मोर्चे थे।
अपराधियों को एक ज्ञात क्रम में व्यवस्थित किया गया था, जो सूची में था (पियरे छठा था), और पद पर लाया गया। अचानक दोनों तरफ से कई ढोल बज उठे और पियरे को लगा कि इस आवाज से उसकी आत्मा का एक हिस्सा फट गया है। उसने सोचने और तर्क करने की क्षमता खो दी। वह केवल देख और सुन सकता था। और उसकी केवल एक ही इच्छा थी - कुछ भयानक होने की इच्छा जो जल्द से जल्द की जानी थी। पियरे ने अपने साथियों की ओर देखा और उनकी जांच की।
किनारे पर दो लोग मुंडा और सतर्क थे। एक लंबा, पतला है; दूसरा काला, प्यारे, मांसल, चपटी नाक वाला है। तीसरा एक आंगन था, जो लगभग पैंतालीस वर्ष पुराना था, जिसके भूरे बाल थे और एक भरा-पूरा, भरा-पूरा शरीर था। चौथा आदमी था, बहुत सुन्दर, घनी गोरे दाढ़ी और काली आँखों वाला। पाँचवाँ एक कारखाना कर्मचारी था, पीला, पतला, लगभग अठारह वर्ष का, एक ड्रेसिंग गाउन में।
पियरे ने सुना कि फ्रांसीसी बता रहे थे कि कैसे शूट किया जाए - एक बार में एक या दो? "एक बार में दो," वरिष्ठ अधिकारी ने ठंडे और शांति से उत्तर दिया। सैनिकों के रैंकों में एक आंदोलन था, और यह ध्यान देने योग्य था कि हर कोई जल्दी में था - और वे जल्दी में थे, उतनी जल्दी में नहीं जैसे वे जल्दी में हैं, कुछ ऐसा करने के लिए जो हर किसी के लिए समझ में आता है, लेकिन में एक आवश्यक, लेकिन अप्रिय और समझ से बाहर के कार्य को पूरा करने के लिए वे उतनी ही जल्दी करते हैं।
एक फ्रांसीसी अधिकारी दुपट्टे में अपराधियों की लाइन के दाईं ओर चला गया और रूसी और फ्रेंच में वाक्य पढ़ा।
फिर फ्रांसीसी के दो जोड़े अपराधियों के पास पहुंचे और अधिकारी के निर्देश पर किनारे पर खड़े दो जेल प्रहरियों को ले गए। चौकी पर जाने वाले पहरेदार रुक गए और जब बोरे लाए जा रहे थे, चुपचाप उनके चारों ओर देखा, जैसे कि एक खटखटाया हुआ जानवर एक उपयुक्त शिकारी को देखता है। एक अपने आप को पार करता रहा, दूसरा अपनी पीठ खुजलाता रहा और मुस्कान की तरह अपने होठों से हरकत करता रहा। सिपाहियों ने हड़बड़ी में हाथ जोड़कर उनकी आंखों पर पट्टी बांधी, बोरे पहने और डंडे से बांधने लगे।
राइफल वाले बारह राइफलमैन रैंक के पीछे से बाहर निकले और पोस्ट से आठ कदम की दूरी पर रुक गए। पियरे दूर हो गया ताकि यह न देखे कि क्या होगा। अचानक एक दुर्घटना और एक दुर्घटना हुई, जो पियरे को गड़गड़ाहट की सबसे भयानक ताली से तेज लग रही थी, और उसने चारों ओर देखा। वहाँ धुआँ था, और पीले चेहरे और कांपते हाथों वाले फ्रांसीसी गड्ढे के पास कुछ कर रहे थे। अन्य दो का नेतृत्व किया गया। उसी तरह, एक ही नज़र से, इन दोनों ने सभी को देखा, व्यर्थ, एक ही नज़र से, चुपचाप, सुरक्षा के लिए पूछ रहे थे और जाहिर तौर पर समझ नहीं पा रहे थे और विश्वास नहीं कर रहे थे कि क्या होगा। वे विश्वास नहीं कर सकते थे, क्योंकि वे अकेले ही जानते थे कि उनका जीवन उनके लिए क्या है, और इसलिए समझ में नहीं आया और विश्वास नहीं किया ताकि इसे छीन लिया जा सके।
पियरे नहीं देखना चाहता था और फिर से मुड़ गया; लेकिन फिर, जैसे कि एक भयानक विस्फोट ने उसके कानों को मारा, और इन आवाज़ों के साथ-साथ उसने धुएं, किसी का खून और फ्रांसीसी के पीले डरे हुए चेहरे देखे, जो फिर से डाक से कुछ कर रहे थे, एक दूसरे को कांपते हाथों से हिला रहे थे। पियरे ने जोर से सांस लेते हुए अपने चारों ओर देखा, मानो पूछ रहा हो: यह क्या है? पियरे से मिलने वाली सभी निगाहों में वही सवाल था।

इस पाठ में, हम चतुष्फलक और उसके तत्वों (चतुष्फलक के किनारे, सतह, फलक, शीर्ष) को देखेंगे। और हम वर्गों के निर्माण के लिए सामान्य विधि का उपयोग करते हुए, टेट्राहेड्रोन में वर्गों के निर्माण की कई समस्याओं को हल करेंगे।

विषय: रेखाओं और विमानों की समानता

सबक: टेट्राहेड्रोन। टेट्राहेड्रोन खंड की समस्याएं

टेट्राहेड्रोन का निर्माण कैसे करें? एक मनमाना त्रिभुज लें एबीसी... मनमाना बिंदु डीइस त्रिभुज के तल में नहीं है। हमें 4 त्रिकोण मिलते हैं। इन 4 त्रिभुजों द्वारा निर्मित सतह को चतुष्फलक कहा जाता है (चित्र 1.)। इस सतह से घिरे आंतरिक बिंदु भी चतुष्फलक का हिस्सा हैं।

चावल। 1. टेट्राहेड्रॉन एबीसीडी

टेट्राहेड्रोन तत्व
ए,बी, सी, डी - चतुष्फलकीय शीर्ष.
अब, एसी, विज्ञापन, ईसा पूर्व, बीडी, सीडी - एक चतुष्फलक के किनारे.
एबीसी, अब्द, बीडीसी, एडीसी - एक चतुष्फलक के फलक.

टिप्पणी:आप एक विमान ले सकते हैं एबीसीप्रति चतुष्फलकीय आधार, और फिर बिंदु डीएक एक चतुष्फलक का शीर्ष... टेट्राहेड्रोन का प्रत्येक किनारा दो विमानों का प्रतिच्छेदन है। उदाहरण के लिए, रिब अबविमानों का चौराहा है अबडीतथा एबीसी... चतुष्फलक का प्रत्येक शीर्ष तीन तलों का प्रतिच्छेदन होता है। शिखर एविमानों में निहित है एबीसी, अबडी, एडीसाथ... दूरसंचार विभाग ए- यह तीन नामित विमानों का चौराहा है। यह तथ्य इस प्रकार लिखा गया है: ए= एबीसी ∩ अबडी ∩ जैसाडी.

टेट्राहेड्रॉन परिभाषा

इसलिए, चतुर्पाश्वीयचार त्रिभुजों द्वारा निर्मित एक सतह है।

एक चतुष्फलक का किनारा- टेट्राहेड्रोन के दो विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा।

6 मैचों में से 4 बराबर त्रिभुज बनाएं। समस्या को एक विमान पर हल नहीं किया जा सकता है। और अंतरिक्ष में इसे करना आसान है। चलो एक चतुष्फलक लेते हैं। 6 माचिस इसके किनारे हैं, एक चतुष्फलक के चार फलक और चार बराबर त्रिभुज होंगे। समस्या सुलझा ली गई है।

डैन टेट्राहेड्रोन एबीसीडी. दूरसंचार विभाग एमटेट्राहेड्रोन के किनारे के अंतर्गत आता है अब, डॉट एनटेट्राहेड्रोन के किनारे के अंतर्गत आता है वीडीऔर बिंदु आरकिनारे के अंतर्गत आता है डीसाथ(रेखा चित्र नम्बर 2।)। समतल के साथ चतुष्फलक के एक भाग की रचना कीजिए एमएनपी.

चावल। 2. कार्य 2 के लिए आरेखण - एक समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड की रचना करें

समाधान:
टेट्राहेड्रोन के चेहरे पर विचार करें डीरवि... बिंदु के इस किनारे पर एनतथा पीकिनारे हैं डीरवि, और इसलिए टेट्राहेड्रोन। लेकिन बिंदु की स्थिति से एन, पीकाटने वाले विमान से संबंधित हैं। माध्यम, एनपीदो समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा है: मुख तल डीरविऔर एक छेदक विमान। मान लीजिए सीधी रेखाएँ एनपीतथा रविसमानांतर नहीं। वे एक ही विमान में झूठ बोलते हैं। डीरवि।रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए एनपीतथा रवि... हम इसे निरूपित करते हैं इ(चित्र 3.)।

चावल। 3. कार्य के लिए आरेखण 2. बिंदु E का पता लगाना

दूरसंचार विभाग इअनुभाग विमान के अंतर्गत आता है एमएनपीक्योंकि यह एक सीधी रेखा पर स्थित है एनपीऔर सीधा एनपीपूरी तरह से सेक्शन प्लेन में स्थित है एमएनपी.

यह भी इंगित करें इविमान में है एबीसीक्योंकि यह एक सीधी रेखा पर स्थित है रविहवाई जहाज से बाहर एबीसी.

हमें वह मिलता है खाना खा लो- विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा एबीसीतथा एमएनपी,अंक के बाद से इतथा एमदो तलों में एक साथ लेटना - एबीसीतथा एमएनपीबिंदुओ को जोडो एमतथा इ, और सीधे जारी रखें खाना खा लोसीधी रेखा पार करने से पहले जैसा... रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु खाना खा लोतथा जैसानिरूपित क्यू.

तो इस मामले में एनपीक्यूएमआवश्यक खंड है।

चावल। 4. कार्य के लिए आरेखण 2. कार्य का समाधान 2

आइए अब उस मामले पर विचार करें जब एनपीसमानांतर ईसा पूर्व... अगर सीधा एनपीकिसी सीधी रेखा के समानांतर, उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा रविहवाई जहाज से बाहर एबीसीफिर सीधे एनपीपूरे विमान के समानांतर एबीसी.

वांछित खंड विमान एक सीधी रेखा से गुजरता है एनपीविमान के समानांतर एबीसी, और समतल को एक सीधी रेखा में काटता है क्यू... तो चौराहे की रेखा क्यूसीधी रेखा के समानांतर एनपी... हम पाते हैं एनपीक्यूएमआवश्यक खंड है।

दूरसंचार विभाग एमकिनारे पर स्थित है एडीवीचतुर्पाश्वीय एबीसीडी... एक चतुष्फलक के एक खंड की रचना एक समतल के साथ कीजिए जो एक बिंदु से होकर गुजरता है एमआधार के समानांतर एबीसी.

चावल। 5. कार्य के लिए आरेखण 3 समतल द्वारा चतुष्फलक के एक भाग की रचना कीजिए

समाधान:
विमान काटना φ विमान के समानांतर एबीसीशर्त से, इसका मतलब है कि यह विमान φ सीधी रेखाओं के समानांतर अब, जैसा, रवि.
हवाई जहाज में अबडीबिंदु के माध्यम से एमआइए एक सीधी रेखा खींचते हैं पी क्यूसमानांतर अब(अंजीर। 5)। सीधा पी क्यूविमान में है अबडी... इसी तरह विमान में जैसाडीबिंदु के माध्यम से आरआइए एक सीधी रेखा खींचते हैं जनसंपर्कसमानांतर जैसा... बात समझ में आ गई आर... दो प्रतिच्छेदी रेखाएं पी क्यूतथा जनसंपर्कविमान पीक्यूआरक्रमशः दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के समानांतर अबतथा जैसाविमान एबीसी, इसलिए, विमानों एबीसीतथा पीक्यूआरसमानांतर हैं। पीक्यूआरआवश्यक खंड है। समस्या सुलझा ली गई है।

डैन टेट्राहेड्रोन एबीसीडी... दूरसंचार विभाग एम- आंतरिक बिंदु, चतुष्फलकीय फलक बिंदु अबडी. एन- खंड का आंतरिक बिंदु डीसाथ(चित्र 6.)। ड्रा लाइन चौराहा समुद्री मील दूरऔर विमान एबीसी.

चावल। 6. कार्य 4 . के लिए आरेखण

समाधान:
हल करने के लिए, एक सहायक विमान का निर्माण करें डीनहीं... इसे सीधा होने दें डीएमरेखा AB को बिंदु पर काटती है प्रति(चित्र 7.)। फिर, अनुसूचित जातिडीविमान का एक खंड है डीनहींऔर एक चतुष्फलक। हवाई जहाज में डीनहींझूठ और सीधा समुद्री मील दूर, और परिणामी सीधी रेखा अनुसूचित जाति... तो यदि समुद्री मील दूरसमानांतर नहीं अनुसूचित जाति, तो वे किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे आर... दूरसंचार विभाग आरऔर सीधी रेखा का वांछित प्रतिच्छेदन बिंदु होगा समुद्री मील दूरऔर विमान एबीसी.

चावल। 7. कार्य के लिए आरेखण 4. कार्य का समाधान 4

डैन टेट्राहेड्रोन एबीसीडी. एम- चेहरे का भीतरी बिंदु अबडी. आर- चेहरे का भीतरी बिंदु एबीसी. एन- पसली का भीतरी बिंदु डीसाथ(चित्र। 8.)। एक चतुष्फलक के एक खंड की रचना कीजिए जिसमें एक समतल बिन्दुओं से होकर गुजरता है एम, एनतथा आर.

चावल। 8. कार्य के लिए आरेखण 5 समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड की रचना कीजिए

समाधान:
पहली स्थिति पर विचार करें जब सीधी रेखा एम.एन.विमान के समानांतर नहीं एबीसी... पिछली समस्या में, हमें रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु मिला एम.एन.और विमान एबीसी... यह सही बात है प्रति, यह सहायक विमान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है डीनहीं, अर्थात। हम क्या डीएमऔर हमें एक बिंदु मिलता है एफ... हम निभाते हैं सीएफ़और चौराहे पर एम.एन.मुद्दा समझो प्रति.

चावल। 9. कार्य के लिए आरेखण 5. बिंदु K . ढूँढना

आइए एक सीधी रेखा खींचते हैं केआर... सीधा केआरसेक्शन प्लेन और प्लेन दोनों में स्थित है एबीसी... हमें अंक मिलते हैं आर 1तथा आर 2... हम जुड़ते हैं आर 1तथा एमऔर निरंतरता पर हमें बिंदु मिलता है एम 1... बिंदु कनेक्ट करें आर 2तथा एन... नतीजतन, हम आवश्यक अनुभाग प्राप्त करते हैं 1 2 न 1... पहले मामले में समस्या हल हो गई है।
दूसरे मामले पर विचार करें, जब सीधी रेखा एम.एन.विमान के समानांतर एबीसी... विमान एमएनपीएक सीधी रेखा से गुजरती है नहींविमान के समानांतर एबीसीऔर विमान को पार करता है एबीसीकिसी सीधी रेखा के साथ आर 1 आर 2फिर सीधे आर 1 आर 2इस रेखा के समानांतर एम.एन.(चित्र। 10.)।

चावल। 10. समस्या के लिए आरेखण 5. आवश्यक खंड

अब एक सीधी रेखा खींचते हैं पी 1 एमऔर एक बिंदु प्राप्त करें एम 1.1 2 न 1आवश्यक खंड है।

इसलिए, हमने टेट्राहेड्रोन की जांच की, टेट्राहेड्रोन के लिए कुछ विशिष्ट समस्याओं को हल किया। अगले पाठ में हम एक बॉक्स को देखेंगे।

1. आई.एम. स्मिरनोवा, वी.ए. स्मिरनोव। - 5 वां संस्करण, संशोधित और पूरक - एम।: मेनमोसिना, 2008। - 288 पी। : बीमार। ज्यामिति। ग्रेड 10-11: शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक (मूल और प्रोफाइल स्तर)

2. शैरगिन आईएफ - एम।: बस्टर्ड, 1999. - 208 पी।: बीमार। ज्यामिति। ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

3. ई। वी। पोटोस्कुव, एल। आई। ज़्वालिच। - छठा संस्करण, स्टीरियोटाइप। - एम .: बस्टर्ड, 008 .-- 233 पी। : बीमार। ज्यामिति। ग्रेड 10: गणित के गहन और विशेष अध्ययन वाले शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

अतिरिक्त वेब संसाधन

2. चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण कैसे करें। गणित ()।

3. शैक्षणिक विचारों का त्योहार ()।

"टेट्राहेड्रॉन" विषय पर घरेलू कार्य करें, टेट्राहेड्रोन के किनारे का पता कैसे लगाएं, टेट्राहेड्रोन के चेहरे, कोने और टेट्राहेड्रोन की सतह

1. ज्यामिति। ग्रेड 10-11: शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक (बुनियादी और प्रोफ़ाइल स्तर) आई। एम। स्मिरनोवा, वी। ए। स्मिरनोव। - 5 वां संस्करण, संशोधित और पूरक - एम।: मेनमोज़िना, 2008। - 288 पी।: बीमार। कार्य 18, 19, 20 पी। 50

2. बिंदु इमध्य शिरा एमएचतुर्पाश्वीय MAVS... चतुष्फलक के एक खंड की रचना कीजिए जिसमें एक समतल बिन्दुओं से होकर गुजरता है बी, सीतथा इ.

3. एमएवीएस टेट्राहेड्रोन में, बिंदु एम एएमबी चेहरे से संबंधित है, बिंदु पी - बीएमसी चेहरे के लिए, बिंदु के - एसी किनारे पर। चतुष्फलक के एक खंड की रचना कीजिए जिसमें एक समतल बिन्दुओं से होकर गुजरता है एम, आर, के.

4. चतुष्फलकीय तल के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप कौन-सी आकृतियाँ प्राप्त की जा सकती हैं?

ध्यान दें... यह ज्यामिति की समस्याओं वाले पाठ का एक भाग है (स्टीरियोमेट्री अनुभाग, पिरामिड समस्या)। यदि आपको एक ज्यामिति समस्या को हल करने की आवश्यकता है जो यहां नहीं है, तो इसके बारे में फोरम में लिखें। कार्यों में, "वर्गमूल" प्रतीक के बजाय, sqrt () फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है, जिसमें sqrt वर्गमूल प्रतीक है, और मूल अभिव्यक्ति को कोष्ठक में दर्शाया गया है.सरल मूल भावों के लिए, "√" चिह्न का उपयोग किया जा सकता है. नियमित चतुष्फलकएक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड है जिसके सभी फलक समबाहु त्रिभुज हैं।

एक नियमित चतुष्फलक के लिए, किनारों पर सभी द्विफलक कोण और शीर्षों पर सभी त्रिफलक कोण बराबर होते हैं

चतुष्फलक के 4 फलक, 4 शीर्ष और 6 किनारे होते हैं।

एक नियमित चतुष्फलक के मूल सूत्र तालिका में दिए गए हैं।

कहां:
एस - एक नियमित टेट्राहेड्रोन का सतह क्षेत्र
वी - वॉल्यूम
एच - ऊंचाई को आधार तक कम किया गया
r - एक चतुष्फलक में अंकित वृत्त की त्रिज्या
आर - परिचालित वृत्त की त्रिज्या
ए - रिब लंबाई

व्यावहारिक उदाहरण

टास्क.
एक त्रिभुजाकार पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका प्रत्येक किनारा 3 . के बराबर है

समाधान.
चूँकि त्रिभुजाकार पिरामिड के सभी किनारे समान होते हैं, इसलिए यह नियमित होता है। एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल S = a 2 3 है।
फिर
एस = 3√3

उत्तर: 3√3

टास्क.
एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के सभी किनारे 4 सेमी हैं। पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए

समाधान.
चूँकि एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में पिरामिड की ऊँचाई को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है, जो कि परिबद्ध वृत्त का केंद्र भी है, तो

एओ = आर = √3 / 3 ए
एओ = 4√3 / 3

अतः पिरामिड OM की ऊँचाई समकोण त्रिभुज AOM से ज्ञात की जा सकती है

एओ 2 + ओएम 2 = एएम 2
ओएम 2 = एएम 2 - एओ 2
ओम 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
ओम 2 = 16 - 16/3
ओम = (32/3)
ओम = 4√2 / 3

पिरामिड का आयतन सूत्र V = 1/3 Sh . द्वारा ज्ञात किया जाता है
इस स्थिति में, आधार का क्षेत्रफल सूत्र S = 3 / 4 a 2 . द्वारा ज्ञात किया जाता है

वी = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
वी = 16√2 / 3

उत्तर: 16√2 / 3 सेमी

अनुभाग: गणित

पाठ की तैयारी और संचालन की योजना:

I. प्रारंभिक चरण:

1. त्रिकोणीय पिरामिड के ज्ञात गुणों की पुनरावृत्ति।
2. टेट्राहेड्रोन की विशेषताओं के बारे में संभव के बारे में परिकल्पना को आगे रखते हुए, पहले नहीं माना गया।
3. इन परिकल्पनाओं पर शोध करने के लिए समूहों का गठन।
4. प्रत्येक समूह के लिए कार्यों का वितरण (इच्छा को ध्यान में रखते हुए)।
5. असाइनमेंट के लिए जिम्मेदारियों का वितरण।

द्वितीय. मुख्य चरण:

1. परिकल्पना का समाधान।
2. एक शिक्षक के साथ परामर्श।
3. काम का पंजीकरण।

III. अंतिम चरण:

1. परिकल्पना की प्रस्तुति और बचाव।

पाठ मकसद:

• छात्रों के ज्ञान और कौशल को सामान्य बनाने और व्यवस्थित करने के लिए; निर्दिष्ट विषय पर अतिरिक्त सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करें; गैर-मानक समस्याओं को हल करने में ज्ञान को लागू करना सिखाना, उनमें सरल घटकों को देखना;
• अतिरिक्त साहित्य के साथ काम करने वाले छात्रों के कौशल का निर्माण करना, विश्लेषण करने की क्षमता में सुधार करना, सामान्यीकरण करना, जो आप पढ़ते हैं उसमें मुख्य चीज ढूंढना, नई चीजों को साबित करना; छात्रों के संचार कौशल विकसित करना;
• ग्राफिक संस्कृति को बढ़ावा देना।

प्रारंभिक चरण (1 पाठ):

1. छात्र संदेश "महान पिरामिड के रहस्य"।
2. विभिन्न प्रकार के पिरामिडों के बारे में शिक्षक का परिचयात्मक भाषण।
3. मुद्दों की चर्चा:

• अनियमित त्रिकोणीय पिरामिडों के संयोजन के लिए मानदंड क्या हैं
• त्रिभुज के लंबकेन्द्र से हमारा क्या तात्पर्य है, और चतुष्फलक का लंबकेन्द्र क्या कहा जा सकता है
• क्या एक आयताकार चतुष्फलक का एक लम्बकेन्द्र होता है?
• कौन सा टेट्राहेड्रोन आइसोहेड्रल कहलाता है इसके क्या गुण हो सकते हैं?

1. विभिन्न टेट्राहेड्रा पर विचार करने के परिणामस्वरूप, उनके गुणों की चर्चा करते हुए, अवधारणाओं को स्पष्ट किया जाता है और एक निश्चित संरचना प्रकट होती है:

1. एक नियमित चतुष्फलक के गुणों पर विचार कीजिए।

गुण 1-4 स्लाइड 1 का उपयोग करके मौखिक रूप से सिद्ध होते हैं।

गुण 1: सभी किनारे बराबर हैं।

गुण 2: सभी तलीय कोण 60° के होते हैं।

गुण 3: चतुष्फलक के किन्हीं तीन शीर्षों पर समतल कोणों का योग 180° होता है।

गुण 4: यदि चतुष्फलक नियमित है, तो इसके किसी भी शीर्ष को विपरीत फलक के लम्बकेन्द्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

दिया गया:

ABCD एक नियमित चतुष्फलक है

एएच - ऊंचाई

साबित करें:

एच - ऑर्थोसेंटर

सबूत:

1) बिंदु H किसी भी बिंदु A, B, C के साथ संपाती हो सकता है। माना H? B, H? C

2) एएच + (एबीसी) => एएच + बीएच, एएच + सीएच, एएच + डीएच,

3) एबीएच, बीसीएच, एडीएच पर विचार करें

एडी - कुल => एबीएच, बीसीएच, एडीएच => बीएच = सीएच = डीएच

एबी = एसी = एडी टी। एच - ऑर्थोसेंटर एबीसी है

क्यू.ई.डी.

1. पाठ 1 में, गुण 5-9 को उन परिकल्पनाओं के रूप में तैयार किया गया है जिनके लिए प्रमाण की आवश्यकता होती है।

प्रत्येक समूह को अपना गृहकार्य मिलता है:

किसी एक गुण को सिद्ध कीजिए।

एक प्रस्तुति के साथ एक तर्क तैयार करें।

द्वितीय. मुख्य चरण (एक सप्ताह के भीतर):

1. परिकल्पना का समाधान।
2. एक शिक्षक के साथ परामर्श।
3. काम का पंजीकरण।

III. अंतिम चरण (1-2 पाठ):

प्रस्तुतियों का उपयोग करते हुए परिकल्पना की प्रस्तुति और बचाव।

अंतिम पाठ के लिए सामग्री तैयार करते समय, छात्र ऊंचाई के चौराहे के बिंदु की ख़ासियत के बारे में निष्कर्ष पर आते हैं, हम इसे "अद्भुत" बिंदु कहने के लिए सहमत हैं।

गुण 5: परिबद्ध और उत्कीर्ण गोले के केंद्र मेल खाते हैं।

दिया गया:

डीएबीसी - नियमित टेट्राहेड्रोन

О 1 - वर्णित गोले का केंद्र

- खुदे हुए गोले का केंद्र

एन - एबीसी चेहरे के साथ खुदा हुआ गोले की स्पर्शरेखा का बिंदु

सिद्ध करें: 1 =

सबूत:

माना OA = OB = OD = OC परिवृत्त की त्रिज्या है

आइए N + (ABC) को छोड़ दें

AON = CON - आयताकार, टांग के साथ और कर्ण => AN = CN

ओम + (बीसीडी) को छोड़ दें

COM DOM - आयताकार, पैर और कर्ण के साथ => CM = DM

मद 1 से CON COM => ON = OM

ОN + (ABC) => ON, OM उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।

प्रमेय सिद्ध होता है।

एक नियमित टेट्राहेड्रोन के लिए, एक गोले के साथ इसकी सापेक्ष स्थिति की संभावना होती है - इसके सभी किनारों के साथ एक निश्चित क्षेत्र को छूना। इस क्षेत्र को कभी-कभी "अर्ध-अंकित" कहा जाता है।

गुण 6: विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं और इन किनारों के लंबवत को जोड़ने वाले रेखा खंड अर्ध-अंकित गोले की त्रिज्या हैं।

दिया गया:

ABCD एक नियमित चतुष्फलक है;

एएल = बीएल, एके = सीके, एएस = डीएस,

बीपी = सीपी, बीएम = डीएम, सीएन = डीएन।

साबित करें:

LO = OK = OS = OM = ON = OP

सबूत।

चतुष्फलक ABCD - सही => AO = BO = CO = DO

त्रिभुजों AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD पर विचार करें।

एओ = बीओ =>?एओबी - समद्विबाहु =>
OL - माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
AO = CO =>? AOC– समद्विबाहु =>
K - माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
CO = DO =>?COD– समद्विबाहु =>
ON– माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक AOB => AOC = COD =
BO = DO =>? BOD– समद्विबाहु => BOD = BOC = AOD
OM - माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
AO = DO =>? AOD– समद्विबाहु =>
OS - माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
बीओ = सीओ =>?बीओसी- समद्विबाहु =>
OP– माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
एओ = बीओ = सीओ = डीओ
एबी = एसी = एडी = बीसी = बीडी = सीडी

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - OL, OK, ON, OM, OS, OP त्रिज्या के बराबर ऊँचाई

गोले के समद्विबाहु त्रिभुज

परिणाम:

एक नियमित चतुष्फलक में एक अर्ध-अंकित गोला खींचा जा सकता है।

संपत्ति 7:यदि चतुष्फलक नियमित है, तो चतुष्फलक के प्रत्येक दो विपरीत किनारे परस्पर लंबवत हैं।

दिया गया:

डीएबीसी - नियमित टेट्राहेड्रोन;

एच - ऑर्थोसेंटर

साबित करें:

सबूत:

DABC - नियमित चतुष्फलक =>? ADB - समबाहु

(एडीबी) (ईडीसी) = ईडी

ईडी - ऊंचाई एडीबी => ईडी + एबी,

एबी + सीई, => एबी + (ईडीसी) => एबी + सीडी।

अन्य किनारों की लंबवतता इसी तरह साबित होती है।

गुण 8: सममिति के छह तल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु O पर, चार सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, जो वृत्तों के किनारों के चारों ओर परिवृत्त के केंद्रों के माध्यम से चेहरे के तलों के लंबवत खींची जाती हैं, और बिंदु O परिबद्ध गोले का केंद्र है।

दिया गया:

ABCD एक नियमित चतुष्फलक है

साबित करें:

ओ - वर्णित क्षेत्र का केंद्र;

सममिति के 6 तल बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं;

सबूत।

सीजी + बीडी क्योंकि BCD - समबाहु => GO + BD (प्रमेय द्वारा लगभग तीन GO + BD लंबवत)

बीजी = जीडी, क्योंकि AG - माध्यिका ABD

एबीडी (एबीडी) =>? बीओडी - समद्विबाहु => बीओ = DO

ईडी + एबी, क्योंकि ABD - एक तरफा => OE + AD (तीन लंबवत प्रमेय द्वारा)

बीई = एई क्योंकि DE माध्यिका है?

ABD (ABD) =>?AOB - समद्विबाहु => BO = AO

(एओबी) (एबीडी) = एबी

ON + (ABC) OF + AC (प्रमेय द्वारा लगभग तीन

बीएफ + एसी, क्योंकि ABC - समबाहु लंब)

एएफ = एफसी, क्योंकि BF - माध्यिका? ABC

ABC (ABC) => AOC - समद्विबाहु => AO = CO

(एओसी)? (एबीसी) = एसी

बीओ = एओ => एओ = बीओ = सीओ = डीओ - गोले की त्रिज्या,

AO = CO एक चतुष्फलक ABCD के परितः परिबद्ध है

(एबीआर) (एसीजी) = एओ

(बीसीटी) (एबीआर) = बीओ

(एसीजी) (बीसीटी) = सीओ

(एडीएच) (सीईडी) = डीओ

एबी + (एबीआर) (एबीआर) (बीसीटी) (एसीजी) (एडीएच) (सीईडी) (बीडीएफ)

इसलिये:

बिंदु O वर्णित गोले का केंद्र है,

सममिति के 6 तल बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

संपत्ति 9: चतुष्फलक के शीर्षों से लंबकेन्द्रों तक जाने वाले लंबों के बीच का अधिक कोण 109° 28 "

दिया गया:

ABCD एक नियमित चतुष्फलक है;

ओ वर्णित क्षेत्र का केंद्र है;

साबित करें:

सबूत:

1) एएस - ऊंचाई

एएसबी = 90 ओ ओएसबी आयताकार

2) (नियमित चतुष्फलक के गुण से)

3) AO = BO - परिबद्ध गोले की त्रिज्या

4) 70 डिग्री 32 "

6) एओ = बीओ = सीओ = डीओ =>?एओडी =?एओसी =?एओडी =?सीओडी =?बीओडी=?बीओसी

नियमित चतुष्फलक की ऊंचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु है

खुदा हुआ गोले का केंद्र है

अर्ध-अंकित गोले का केंद्र है

वर्णित क्षेत्र का केंद्र है

चतुष्फलक के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है

आधारों के साथ चार समान नियमित त्रिकोणीय पिरामिडों का शीर्ष है - टेट्राहेड्रोन फलक।

निष्कर्ष।

(शिक्षक और छात्र पाठ को सारांशित करते हैं। छात्रों में से एक रासायनिक तत्वों की संरचनात्मक इकाई के रूप में टेट्राहेड्रोन के बारे में एक संक्षिप्त संदेश के साथ बोलता है।)

एक नियमित टेट्राहेड्रोन के गुणों और इसके "अद्भुत" बिंदु का अध्ययन किया जाता है।

यह पाया गया कि केवल ऐसे टेट्राहेड्रोन के आकार में, जिसमें उपरोक्त सभी गुण होते हैं, साथ ही एक "आदर्श" बिंदु में सिलिकेट और हाइड्रोकार्बन के अणु हो सकते हैं। वैकल्पिक रूप से, अणु कई नियमित टेट्राहेड्रा से बने हो सकते हैं। वर्तमान में, टेट्राहेड्रोन को न केवल प्राचीन सभ्यता, गणित के प्रतिनिधि के रूप में जाना जाता है, बल्कि पदार्थों की संरचना के आधार के रूप में भी जाना जाता है।

सिलिकेट नमक जैसे पदार्थ होते हैं जिनमें सिलिकॉन-ऑक्सीजन यौगिक होते हैं। उनका नाम लैटिन शब्द "सिलेक्स" - "फ्लिंट" से आया है। सिलिकेट अणुओं का आधार टेट्राहेड्रोन के रूप में परमाणु मूलक हैं।

सिलिकेट रेत, मिट्टी, ईंट, कांच, सीमेंट, तामचीनी, तालक, अभ्रक, पन्ना और पुखराज हैं।

सिलिकेट पृथ्वी की पपड़ी का 75% से अधिक (और लगभग 87%) क्वार्ट्ज के साथ और 95% से अधिक आग्नेय चट्टानों का निर्माण करते हैं।

सिलिकेट्स की एक महत्वपूर्ण विशेषता एक सामान्य ऑक्सीजन परमाणु के माध्यम से दो या दो से अधिक सिलिकॉन-ऑक्सीजन टेट्राहेड्रा के परस्पर संयोजन (पोलीमराइजेशन) की क्षमता है।

संतृप्त हाइड्रोकार्बन में अणुओं का एक ही रूप होता है, लेकिन वे कार्बन और हाइड्रोजन के सिलिकेट के विपरीत होते हैं। अणुओं का सामान्य सूत्र

हाइड्रोकार्बन में प्राकृतिक गैस शामिल है।

आयताकार और समबाहु चतुष्फलक के गुणों पर विचार करना आवश्यक है।

साहित्य।

• पोतापोव वी.एम., तातारिनचिक एस.एन. "ऑर्गेनिक केमिस्ट्री", मॉस्को 1976
• वी.पी.बबरीन "महान पिरामिड का रहस्य", सेंट पीटर्सबर्ग, 2000।
• Sharygin I. F. "ज्यामिति में समस्याएं", मास्को, 1984।
• बड़ा विश्वकोश शब्दकोश।
• "स्कूल संदर्भ पुस्तक", मॉस्को, 2001।

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चतुष्फलक, चतुष्फलक सूत्र
चतुर्पाश्वीय(पुराना यूनानी -εδρον - चतुर्पाश्वीय, प्राचीन ग्रीक से। , τέσσερες, τέττᾰρες, , τέτορες - "चार" + पुराना ग्रीक। α - "सीट, बेस") सबसे सरल पॉलीहेड्रॉन है, जिसके फलक चार त्रिकोण हैं। चतुष्फलक के 4 फलक, 4 शीर्ष और 6 किनारे होते हैं। एक चतुष्फलक जिसमें सभी फलक समबाहु त्रिभुज होते हैं, नियमित कहलाते हैं। एक नियमित चतुष्फलक पांच नियमित बहुफलकों में से एक है।

• 1 टेट्राहेड्रोन के गुण
• 2 प्रकार के चतुष्फलक
• 3 चतुष्फलक का आयतन
• माइक्रोवर्ल्ड में 4 टेट्राहेड्रोन
• प्रकृति में 5 टेट्राहेड्रोन
• तकनीक में 6 टेट्राहेड्रोन
• 7 नोट्स
• 8 यह भी देखें

टेट्राहेड्रोन गुण

• टेट्राहेड्रोन के क्रॉसिंग किनारों के जोड़े से गुजरने वाले समानांतर विमान टेट्राहेड्रोन के चारों ओर वर्णित समानांतर चतुर्भुज को परिभाषित करते हैं।
• चतुष्फलक के दो प्रतिच्छेदी किनारों के मध्य बिन्दुओं से गुजरने वाला तल इसे समान आयतन के दो भागों में विभाजित करता है: 216-217

चतुष्फलक के प्रकार

नियमित टेट्राहेड्रोन के अलावा, निम्नलिखित विशेष प्रकार के टेट्राहेड्रा को प्रतिष्ठित किया जाता है।

• एक समबाहु चतुष्फलक जिसके सभी फलक समान त्रिभुज हैं।
• एक ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोन जिसमें सभी ऊंचाई शिखर से विपरीत चेहरों तक गिरती है, एक बिंदु पर छेड़छाड़ करती है।
• एक आयताकार चतुष्फलक जिसमें एक शीर्ष से सटे सभी किनारे एक दूसरे के लंबवत होते हैं।
• एक कंकाल टेट्राहेड्रोन एक टेट्राहेड्रोन है जो निम्नलिखित में से किसी भी स्थिति को पूरा करता है:
  • एक गोला है जो सभी किनारों को छूता है,
  • क्रॉसिंग किनारों की लंबाई का योग बराबर है,
  • विपरीत किनारों पर विकर्ण कोणों का योग बराबर होता है,
  • चेहरों में खुदे हुए वृत्त जोड़े में स्पर्श करते हैं,
  • एक चतुष्फलक के विकास पर प्राप्त सभी चतुर्भुजों का वर्णन किया गया है,
  • उनमें खुदे हुए वृत्तों के केंद्रों से फलकों पर उठाए गए लंब एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
• समान ऊँचाई वाला एक समानुपाती चतुष्फलक।
• एक इंसेंट्रिक टेट्राहेड्रोन, जिसमें टेट्राहेड्रोन के कोने को विपरीत चेहरों में अंकित वृत्तों के केंद्रों से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

टेट्राहेड्रोन मात्रा

टेट्राहेड्रोन का आयतन (चिह्न को ध्यान में रखते हुए), जिसके कोने बिंदुओं पर स्थित हैं, के बराबर है:

या, किसी भी चेहरे का क्षेत्रफल कहां है, और इस चेहरे पर कितनी ऊंचाई गिराई गई है।

किनारों की लंबाई के माध्यम से, टेट्राहेड्रोन का आयतन केली-मेंजर निर्धारक का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है:

माइक्रोवर्ल्ड में टेट्राहेड्रोन

• नियमित टेट्राहेड्रोन परमाणु ऑर्बिटल्स के sp3 संकरण के दौरान बनता है (उनकी कुल्हाड़ियों को नियमित टेट्राहेड्रोन के शीर्ष पर निर्देशित किया जाता है, और केंद्रीय परमाणु का नाभिक नियमित टेट्राहेड्रोन के वर्णित क्षेत्र के केंद्र में स्थित होता है), इसलिए, कई अणु जिसमें केंद्रीय परमाणु का ऐसा संकरण होता है, इस बहुफलक का रूप होता है
• मीथेन अणु CH4
• अमोनियम आयन NH4 +
• सल्फेट आयन SO42-, फॉस्फेट आयन PO43-, परक्लोरेट आयन ClO4- और कई अन्य आयन
• डायमंड सी एक टेट्राहेड्रोन है जिसका किनारा 2.5220 एंगस्ट्रॉम के बराबर है
• फ्लोराइट CaF2, टेट्राहेड्रोन जिसकी धार 3 के बराबर है, 8626 angstroms
• स्फालराइट, ZnS, टेट्राहेड्रोन जिसकी धार 3.823 angstroms . के बराबर है
• जटिल आयन -, 2-, 2-, 2+
• सिलिकेट, जिसकी संरचना सिलिकॉन-ऑक्सीजन टेट्राहेड्रोन पर आधारित होती है 4-

प्रकृति में टेट्राहेड्रोन

अखरोट चतुष्फलक

कुछ फल, एक तरफ उनमें से चार होने के कारण, एक चतुष्फलक के शीर्ष पर स्थित होते हैं, जो सही फल के करीब होता है। यह डिज़ाइन इस तथ्य के कारण है कि एक दूसरे को स्पर्श करने वाली चार समान गेंदों के केंद्र एक नियमित टेट्राहेड्रोन के शीर्ष पर होते हैं। इसलिए, गेंद जैसे फल एक समान पारस्परिक व्यवस्था बनाते हैं। उदाहरण के लिए, अखरोट को इस तरह से रखा जा सकता है।

प्रौद्योगिकी में टेट्राहेड्रोन

• टेट्राहेड्रोन एक कठोर, सांख्यिकीय रूप से परिभाषित संरचना बनाता है। छड़ से बने टेट्राहेड्रोन का उपयोग अक्सर इमारतों, फर्शों, बीमों, ट्रस, पुलों आदि के स्थानिक भार-वहन संरचनाओं के आधार के रूप में किया जाता है। छड़ें केवल अनुदैर्ध्य भार के अधीन होती हैं।
• आयताकार चतुष्फलक का उपयोग प्रकाशिकी में किया जाता है। यदि समकोण वाले फलकों को परावर्तक यौगिक से ढक दिया जाता है या संपूर्ण चतुष्फलक मजबूत प्रकाश अपवर्तन वाली सामग्री से बना होता है ताकि पूर्ण आंतरिक परावर्तन का प्रभाव हो, तो प्रकाश समकोण के साथ शीर्ष के विपरीत चेहरे की ओर निर्देशित होता है जिस दिशा से आया है उसी दिशा में परावर्तित होगा... इस गुण का उपयोग कॉर्नर रिफ्लेक्टर, रिफ्लेक्टर बनाने के लिए किया जाता है।
• चतुर्धातुक ट्रिगर ग्राफ एक चतुष्फलक है।

नोट्स (संपादित करें)

1. बटलर का प्राचीन यूनानी-रूसी शब्दकोश "τετρά-εδρον"
2. सेलिवानोव डी.एफ., ज्यामितीय निकाय // ब्रोकहॉस और एफ्रॉन विश्वकोश शब्दकोश: 86 खंड (82 खंड और 4 अतिरिक्त)। - एसपीबी।, 1890-1907।
3. गुसियातनिकोव पी.बी., रेज़्निचेंको एस.वी. उदाहरणों और समस्याओं में सदिश बीजगणित। - एम।: हायर स्कूल, 1985।-- 232 पी।
4. वी। ई। मैटिज़ेन वर्दी और फ्रेम टेट्राहेड्रा "क्वांट" नंबर 7, 1983
5. http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#ट्रिगर देखें

यह सभी देखें

• सिंप्लेक्स - एन-आयामी टेट्राहेड्रोन

बहुकोणीय आकृति
सही (प्लेटोनिक ठोस)
सही गैर उत्तल	तारकीय डोडेकाहेड्रॉन तारकीय इकोसिडोडेकाहेड्रॉन तारकीय इकोसाहेड्रोन तारकीय पॉलीहेड्रॉन तारकीय ऑक्टाहेड्रोन
उत्तल	आर्किमिडीयन निकाय क्यूबोक्टाहेड्रोन इकोसिडोडेकेड्रोन काटे गए टेट्राहेड्रोन काटे गए ऑक्टाहेड्रोन काटे गए ऑक्टाहेड्रोन एंटी-ट्रंकेटेड इकोसाहेड्रोन काटे गए क्यूब काटे गए डोडेकाहेड्रोन रोम्बोक्यूबोक्टेहेड्रोन रॉम्बोइकोसोडेकेड्रॉन रॉम्बो-ट्रंकेटेड क्यूबोक्टाहेड्रोन रोम्बो-ट्रंकेटेड क्यूबोक्टेड क्यूबोक्टेड क्यूबोक्टेड क्यूबोकेटेड डोडेकेटेड क्यूबोक्टेड कैटलन निकाय रंबोडोडेकाहेड्रोन रंबोट्रियाकोंटाहेड्रोन त्रिकिस्तेत्रहेड्रोन टेट्राकिशेक्साहेड्रोन पेंटाकिसडोडेकेहेड्रॉन त्रिआकिसोक्टाहेड्रोन ट्राइकिसाइकोसाहेड्रोन पूर्ण के बिना स्थानिक समरूपता पिरामिड प्रिज्म बिपिरामिड एंटीप्रिज्म ज़ोनोहेड्रोन पैरेललेपिपेड रॉम्बोहेड्रोन प्रिज्माटॉइड ट्रंकेटेड पिरामिड पेंटागोंडोडेकेहेड्रॉन समांतरोहेड्रोन
सूत्र, प्रमेय, सिद्धांत	उत्तल पॉलीटोप्स पर अलेक्जेंड्रोव का प्रमेय पॉलीटोप्स पर कॉची का प्रमेय पॉलीटोप्स पर लिंडेलोफ का प्रमेय पॉलीटोप्स पर मिंकोव्स्की का प्रमेय पॉलीटोप्स पर सबितोव का प्रमेय पॉलीटोप्स के लिए यूलर का प्रमेय श्लाफली का सूत्र
अन्य	ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोन समान टेट्राहेड्रोन आयताकार समानांतर चतुर्भुज पॉलीहेड्रॉन समूह डोडेकाहेड्रॉन ठोस कोण इकाई घन बेंडेबल पॉलीहेड्रॉन अनफोल्ड श्लाफली प्रतीक जॉनसन पॉलीहेड्रॉन बहुआयामी (एन-आयामी टेट्राहेड्रोन टेसेरैक्ट पेंटेप्रेट्रेक्ट हेक्सराटैक्ट हेक्सरेटैक)

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