एक अज्ञात में समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें। रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरण: समाधान विधि। दो चरों में दो रैखिक समीकरणों का निकाय

विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग में आर्थिक उद्योग में समीकरणों की प्रणाली का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, प्रबंधन और उत्पादन की योजना बनाने की समस्याओं को हल करते समय, रसद मार्ग (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट।

समीकरण प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित के क्षेत्र में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी, जनसंख्या के आकार को खोजने की समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को दो या दो से अधिक समीकरण कहा जाता है जिसमें कई चर होते हैं, जिसके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक होता है। संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण वास्तविक समानताएँ बन जाते हैं या यह सिद्ध करते हैं कि अनुक्रम मौजूद नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax + by = c के रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। अंकन x, y अज्ञात है, जिसका मान ज्ञात किया जाना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
इसका ग्राफ बनाकर समीकरण का हल एक सीधी रेखा के रूप में होगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद के हल होंगे।

रैखिक समीकरणों के सिस्टम के प्रकार

सबसे सरल उदाहरणों को दो चर X और Y के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली माना जाता है।

F1 (x, y) = 0 और F2 (x, y) = 0, जहां F1,2 फलन हैं और (x, y) फलन चर हैं।

समीकरणों की प्रणाली को हल करें - इसका अर्थ है ऐसे मान (x, y) की खोज करना जिस पर सिस्टम एक वास्तविक समानता में बदल जाता है, या यह स्थापित करना कि x और y के लिए कोई उपयुक्त मान नहीं हैं।

एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में लिखे गए मानों की एक जोड़ी (x, y) को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम का एक सामान्य समाधान है या समाधान मौजूद नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियाँ ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनका दायाँ पक्ष शून्य के बराबर है। यदि "बराबर" चिह्न के बाद के दाहिने हिस्से का कोई मान है या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया है, तो ऐसी प्रणाली विषम है।

चरों की संख्या दो से बहुत अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

जब सिस्टम का सामना करना पड़ता है, तो स्कूली बच्चे यह मानते हैं कि समीकरणों की संख्या अनिवार्य रूप से अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है, आप जितने चाहें उतने हो सकते हैं।

समीकरणों के निकाय को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

ऐसी प्रणालियों को हल करने का कोई सामान्य विश्लेषणात्मक तरीका नहीं है, सभी विधियां संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। स्कूल गणित पाठ्यक्रम में क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि द्वारा समाधान जैसी विधियों का विस्तार से वर्णन किया गया है।

समाधान विधियों को पढ़ाने में मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का ठीक से विश्लेषण कैसे करें और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिदम खोजें। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और क्रियाओं की प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि किसी विशेष विधि को लागू करने के सिद्धांतों को समझना है।

सामान्य स्कूली पाठ्यक्रम की 7वीं कक्षा के लिए रैखिक समीकरण प्रणालियों के उदाहरणों का समाधान काफी सरल है और विस्तार से समझाया गया है। गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में इस खंड पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षण संस्थानों के पहले वर्षों में गॉस और क्रैमर पद्धति द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों के समाधान का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मान को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना है। व्यंजक को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर वाले रूप में घटाया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा 7वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के एक उदाहरण का समाधान दें:

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, चर एक्स को एफ (एक्स) = 7 + वाई के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, एक्स के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, ने दूसरे समीकरण में एक चर वाई प्राप्त करने में मदद की . इस उदाहरण का समाधान किसी भी कठिनाई का कारण नहीं बनता है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मूल्यों की जांच करना है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और दूसरे अज्ञात के संदर्भ में चर की अभिव्यक्ति आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगी। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात होते हैं, तो प्रतिस्थापन द्वारा समाधान भी अव्यावहारिक होता है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजीय जोड़ समाधान

जोड़ विधि द्वारा सिस्टम के समाधान की खोज करते समय, शब्द-दर-समय जोड़ और विभिन्न संख्याओं द्वारा समीकरणों का गुणन किया जाता है। गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर में एक समीकरण है।

इस पद्धति के लिए अभ्यास और अवलोकन की आवश्यकता होती है। 3 या अधिक चरों वाली योग विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करना आसान नहीं है। समीकरणों में भिन्न और दशमलव संख्याएँ मौजूद होने पर बीजीय योग का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

समाधान क्रिया एल्गोरिथ्म:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय ऑपरेशन के परिणामस्वरूप, चर के गुणांकों में से एक को 1 के बराबर होना चाहिए।
2. परिणामी व्यंजक पद को पद के अनुसार जोड़ें और अज्ञात में से एक का पता लगाएं।
3. शेष चर को खोजने के लिए प्राप्त मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर पेश करके समाधान

एक नया चर पेश किया जा सकता है यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता होती है, तो अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

इस विधि का प्रयोग किसी एक समीकरण को एक नए चर का परिचय देकर सरल बनाने के लिए किया जाता है। नया समीकरण दर्ज अज्ञात के संबंध में हल किया गया है, और परिणामी मूल्य का उपयोग मूल चर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण से पता चलता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को मानक द्विघात ट्रिनोमियल में कम करना संभव था। आप विभेदक ज्ञात करके बहुपद को हल कर सकते हैं।

सुप्रसिद्ध सूत्र के अनुसार विवेचक का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4 * a * c, जहाँ D आवश्यक विभेदक है, b, a, c बहुपद के कारक हैं। दिए गए उदाहरण में, a = 1, b = 16, c = 39, इसलिए D = 100। यदि विवेचक शून्य से बड़ा है, तो दो समाधान हैं: t = -b ± D / 2 * a, यदि विवेचक शून्य से कम है, तो एक समाधान है: x = -b / 2 * a।

परिणामी प्रणालियों का समाधान अतिरिक्त विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए दृश्य विधि

3 समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त। इस पद्धति में सिस्टम में शामिल प्रत्येक समीकरण के ग्राफ़ के समन्वय अक्ष पर प्लॉटिंग शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निकाय का सामान्य समाधान होंगे।

चित्रमय विधि में कई बारीकियाँ हैं। आइए एक दृश्य तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, प्रत्येक सीधी रेखा के लिए दो बिंदु बनाए गए थे, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए थे : 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। लाइनों का प्रतिच्छेदन बिंदु प्रणाली का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण में, आपको रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए एक ग्राफिकल समाधान खोजने की आवश्यकता है: 0.5x-y + 2 = 0 और 0.5x-y-1 = 0।

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और उनकी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 के सिस्टम समान हैं, लेकिन इसे बनाते समय यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान अलग हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह बताना हमेशा संभव नहीं है कि किसी सिस्टम के पास कोई समाधान है या नहीं, एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

मैट्रिसेस का उपयोग रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षिप्त रूप से लिखने के लिए किया जाता है। एक मैट्रिक्स संख्याओं से भरी एक विशेष प्रकार की तालिका है। n * m में n - पंक्तियाँ और m - स्तंभ हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या एक दूसरे के बराबर होती है। एक वेक्टर मैट्रिक्स एक-स्तंभ मैट्रिक्स है जिसमें अनंत संख्या में पंक्तियाँ होती हैं। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों के साथ एक मैट्रिक्स को पहचान मैट्रिक्स कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स होता है, जिसे गुणा करने पर मूल एक पहचान मैट्रिक्स में बदल जाता है, ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग एक के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

जैसा कि समीकरणों की प्रणालियों पर लागू होता है, समीकरणों के गुणांक और मुक्त पदों को मैट्रिक्स की संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति होती है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व गैर-शून्य है। इसलिए, यदि किसी भी समीकरण में चर की संख्या भिन्न होती है, तो लापता अज्ञात के बजाय शून्य लिखना आवश्यक है।

मैट्रिक्स के कॉलम को वेरिएबल से सख्ती से मेल खाना चाहिए। इसका मतलब है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, पहला, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

मैट्रिक्स को गुणा करते समय, मैट्रिक्स के सभी तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के प्रकार

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / | K |, जहाँ K -1 व्युत्क्रम मैट्रिक्स है, और | K | मैट्रिक्स का निर्धारक है। | के | शून्य नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास समाधान है।

निर्धारक की गणना दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए आसानी से की जाती है; आपको केवल विकर्ण पर तत्वों को एक दूसरे से गुणा करने की आवश्यकता है। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, सूत्र है | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1. आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि उत्पाद में स्तंभों और तत्वों की पंक्तियों की संख्या दोहराई न जाए।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरणों का समाधान

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि बड़ी संख्या में चर और समीकरणों के साथ सिस्टम को हल करते समय बोझिल रिकॉर्ड को कम करने की अनुमति देती है।

उदाहरण में, एक एनएम समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक वेक्टर है x n चर हैं, और b n मुक्त शब्द हैं।

सिस्टम का गाऊसी समाधान

उच्च गणित में, गॉस विधि का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम का समाधान खोजने की प्रक्रिया को गॉस-क्रैमर विधि कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों के साथ चर प्रणालियों को खोजने के लिए किया जाता है।

गॉस की विधि प्रतिस्थापन और बीजीय जोड़ समाधान के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूल के पाठ्यक्रम में, गाऊसी समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों के सिस्टम के लिए किया जाता है। विधि का लक्ष्य प्रणाली को एक उल्टे ट्रेपोजॉइड की तरह दिखाना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापन द्वारा, एक चर का मान सिस्टम के समीकरणों में से एक में पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, लेकिन 3 और 4 - क्रमशः 3 और 4 चर के साथ।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के क्रमिक प्रतिस्थापन के लिए आगे का समाधान कम हो जाता है।

कक्षा 7 की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में गॉस विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, चरण (3) में दो समीकरण प्राप्त हुए: 3x 3 -2x 4 = 11 और 3x 3 + 2x 4 = 7. किसी भी समीकरण का हल आपको x n में से किसी एक चर का पता लगाने की अनुमति देगा।

पाठ में उल्लिखित प्रमेय 5 में कहा गया है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को समकक्ष से बदल दिया जाता है, तो परिणामी प्रणाली भी मूल के बराबर होगी।

गॉस विधि हाई स्कूल के छात्रों के लिए समझना मुश्किल है, लेकिन यह उन्नत गणित और भौतिकी कक्षाओं में बच्चों की बुद्धि विकसित करने के सबसे दिलचस्प तरीकों में से एक है।

गणनाओं को रिकॉर्ड करने में आसानी के लिए, यह निम्नलिखित करने के लिए प्रथागत है:

समीकरणों के गुणांक और मुक्त पदों को एक मैट्रिक्स के रूप में लिखा जाता है, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से संबंधित होती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या को दर्शाते हैं।

सबसे पहले, वे उस मैट्रिक्स को लिखते हैं जिसके साथ काम करना है, फिर सभी क्रियाओं को एक पंक्ति के साथ किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स को एरो साइन के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजीय क्रियाओं को जारी रखा जाता है।

नतीजतन, एक मैट्रिक्स प्राप्त किया जाना चाहिए जिसमें विकर्णों में से एक 1 है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, अर्थात मैट्रिक्स को एक ही रूप में लाया जाता है। समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना न भूलें।

रिकॉर्डिंग की यह विधि कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात की गणना से विचलित नहीं होने देती है।

किसी भी समाधान के मुफ्त आवेदन के लिए देखभाल और एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी विधियां लागू प्रकृति की नहीं होती हैं। मानव गतिविधि के इस अन्य क्षेत्र में समाधान खोजने के कुछ तरीके अधिक बेहतर हैं, जबकि अन्य शैक्षिक उद्देश्यों के लिए मौजूद हैं।

पिछले पैराग्राफ में चर्चा की गई ग्राफिकल विधि से अधिक विश्वसनीय।

प्रतिस्थापन विधि

हमने इस विधि का उपयोग 7वीं कक्षा में रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए किया था। 7वीं कक्षा में विकसित किया गया एल्गोरिथ्म दो चर x और y के साथ किन्हीं दो समीकरणों (जरूरी नहीं कि रैखिक हो) की प्रणालियों को हल करने के लिए काफी उपयुक्त है (बेशक, चर को अन्य अक्षरों द्वारा निरूपित किया जा सकता है, जो कोई फर्क नहीं पड़ता)। वास्तव में, हमने पिछले पैराग्राफ में इस एल्गोरिथम का उपयोग किया था, जब दो अंकों की संख्या की समस्या ने गणितीय मॉडल को जन्म दिया, जो कि समीकरणों की एक प्रणाली है। हमने उपरोक्त प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों की इस प्रणाली को हल किया (उदाहरण 1 से 4 देखें)।

दो चर x, y के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने के लिए एल्गोरिदम।

1. निकाय के एक समीकरण से y से x तक को व्यक्त कीजिए।
2. निकाय के किसी अन्य समीकरण में y के स्थान पर प्राप्त व्यंजक को रखिए।
3. x के परिणामी समीकरण को हल कीजिए।
4. पहले चरण में प्राप्त y से x के व्यंजक में x के स्थान पर तीसरे चरण में प्राप्त समीकरण के प्रत्येक मूल को बारी-बारी से रखें।
5. उत्तर को क्रमशः तीसरे और चौथे चरण में पाए गए मानों (x; y) के जोड़े के रूप में लिखें।

4) y के प्रत्येक पाए गए मान को सूत्र x = 5 - 3y में बदलें। तो अगर
5) समीकरणों की दी गई प्रणाली के जोड़े (2; 1) और समाधान।

उत्तर: (2; 1);

बीजीय जोड़ विधि

यह विधि, प्रतिस्थापन विधि की तरह, 7वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम से परिचित है, जहाँ इसका उपयोग रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया गया था। आइए हम निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके विधि के सार को याद करें।

उदाहरण 2।समीकरणों की प्रणाली को हल करें

हम सिस्टम के पहले समीकरण के सभी पदों को 3 से गुणा करते हैं, और दूसरे समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:
सिस्टम के दूसरे समीकरण को उसके पहले समीकरण से घटाएं:

मूल प्रणाली के दो समीकरणों के बीजगणितीय जोड़ के परिणामस्वरूप, एक समीकरण प्राप्त होता है जो दिए गए सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरणों की तुलना में सरल होता है। इस सरल समीकरण के साथ, हमें किसी दिए गए सिस्टम के किसी भी समीकरण को बदलने का अधिकार है, उदाहरण के लिए, दूसरा। तब समीकरणों की दी गई प्रणाली को एक सरल प्रणाली से बदल दिया जाएगा:

इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया जा सकता है। दूसरे समीकरण से हम सिस्टम के पहले समीकरण में y के बजाय इस अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं

यह x के पाए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है

यदि x = 2, तो

इस प्रकार, हमने सिस्टम के दो समाधान खोजे हैं:

नए चर पेश करने की विधि

आपने 8वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में एक चर के परिमेय समीकरणों को हल करने में एक नए चर को शामिल करने की विधि के बारे में सीखा। समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय इस पद्धति का सार समान है, लेकिन तकनीकी दृष्टिकोण से, कुछ विशेषताएं हैं, जिनकी चर्चा हम निम्नलिखित उदाहरणों में करेंगे।

उदाहरण 3.समीकरणों की प्रणाली को हल करें

आइए एक नए चर का परिचय दें फिर सिस्टम के पहले समीकरण को सरल रूप में फिर से लिखा जा सकता है: आइए इस समीकरण को चर t के लिए हल करें:

ये दोनों मान स्थिति को संतुष्ट करते हैं, और इसलिए चर t के साथ एक परिमेय समीकरण की जड़ें हैं। लेकिन इसका मतलब यह है कि या तो जहां से हम पाते हैं कि x = 2y, या
इस प्रकार, एक नए चर को पेश करने की विधि का उपयोग करते हुए, हमने सिस्टम के पहले समीकरण को "विभाजित" करने में कामयाबी हासिल की, जो दिखने में काफी जटिल है, दो सरल समीकरणों में:

एक्स = 2 वाई; वाई - 2x।

आगे क्या होगा? और फिर दो प्राप्त सरल समीकरणों में से प्रत्येक को सिस्टम में समीकरण x 2 - y 2 = 3 के साथ बदले में माना जाना चाहिए, जिसे हमने अभी तक याद नहीं किया है। दूसरे शब्दों में, समीकरणों की दो प्रणालियों को हल करने में समस्या कम हो जाती है:

पहली प्रणाली, दूसरी प्रणाली के समाधान खोजने और उत्तर में सभी प्राप्त मूल्यों के जोड़े को शामिल करना आवश्यक है। आइए समीकरणों की पहली प्रणाली को हल करें:

हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे, खासकर जब से यहां इसके लिए सब कुछ तैयार है: हम सिस्टम के दूसरे समीकरण में एक्स के बजाय एक्सप्रेशन 2y को प्रतिस्थापित करते हैं। हम पाते हैं

चूँकि x = 2y, हम क्रमशः x 1 = 2, x 2 = 2 पाते हैं। इस प्रकार, दिए गए सिस्टम के दो समाधान प्राप्त होते हैं: (2; 1) और (-2; -1)। आइए समीकरणों की दूसरी प्रणाली को हल करें:

आइए फिर से प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें: व्यंजक 2x को y के लिए सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। हम पाते हैं

इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, जिसका अर्थ है कि समीकरणों के निकाय का भी कोई हल नहीं है। इस प्रकार, उत्तर में केवल पहली प्रणाली के समाधान शामिल किए जाने चाहिए।

उत्तर: (2; 1); (-2; -1)।

दो चर वाले दो समीकरणों के सिस्टम को हल करते समय नए चरों को पेश करने की विधि का उपयोग दो संस्करणों में किया जाता है। पहला विकल्प: एक नया चर पेश किया जाता है और सिस्टम के केवल एक समीकरण में उपयोग किया जाता है। उदाहरण 3 में ठीक यही स्थिति है। दूसरा विकल्प: सिस्टम के दोनों समीकरणों में दो नए चर पेश किए जाते हैं और एक साथ उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण 4 में ऐसा ही होगा।

उदाहरण 4.समीकरणों की प्रणाली को हल करें

आइए दो नए चर पेश करें:

उस पर विचार करें

यह दिए गए सिस्टम को बहुत सरल रूप में फिर से लिखने की अनुमति देगा, लेकिन नए चर a और b के संबंध में:

चूँकि a = 1 है, तो समीकरण a + 6 = 2 से हम पाते हैं: 1 + 6 = 2; 6 = 1. इस प्रकार, चर a और b के लिए, हमें एक हल मिला:

चर x और y पर लौटने पर, हम समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं

आइए इस प्रणाली को हल करने के लिए बीजीय योग की विधि लागू करें:

तब से समीकरण 2x + y = 3 से हम पाते हैं:
इस प्रकार, चर x और y के लिए, हमें एक हल मिला:

हम इस खंड को एक छोटी लेकिन गंभीर सैद्धांतिक चर्चा के साथ समाप्त करेंगे। आप पहले ही विभिन्न समीकरणों को हल करने में कुछ अनुभव प्राप्त कर चुके हैं: रैखिक, वर्ग, तर्कसंगत, अपरिमेय। आप जानते हैं कि एक समीकरण को हल करने का मुख्य विचार एक समीकरण से दूसरे समीकरण में क्रमिक संक्रमण है, सरल, लेकिन दिए गए समीकरण के बराबर। पिछले भाग में, हमने दो चरों में समीकरणों के लिए तुल्यता की अवधारणा का परिचय दिया था। इस अवधारणा का उपयोग समीकरणों की प्रणालियों के लिए भी किया जाता है।

परिभाषा।

चर x और y वाले समीकरणों की दो प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके समान समाधान हैं या यदि दोनों प्रणालियों का कोई समाधान नहीं है।

इस खंड में चर्चा की गई सभी तीन विधियां (प्रतिस्थापन, बीजगणितीय जोड़ और नए चर का परिचय) समानता की दृष्टि से बिल्कुल सही हैं। दूसरे शब्दों में, इन विधियों का उपयोग करते हुए, हम समीकरणों की एक प्रणाली को दूसरे, सरल, लेकिन मूल प्रणाली के समतुल्य से बदल देते हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए चित्रमय विधि

हम पहले ही सीख चुके हैं कि प्रतिस्थापन की विधि, बीजगणितीय जोड़ और नए चरों की शुरूआत जैसी सामान्य और विश्वसनीय विधियों द्वारा समीकरणों की प्रणालियों को कैसे हल किया जाए। आइए अब आपके साथ याद करते हैं, वह विधि जिसे आप पिछले पाठ में पढ़ चुके हैं। अर्थात्, आलेखीय समाधान पद्धति के बारे में आप जो जानते हैं उसे दोहराते हैं।

ग्राफ़िकल तरीके से समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधि प्रत्येक विशिष्ट समीकरणों के लिए एक ग्राफ का निर्माण है जो इस प्रणाली में शामिल हैं और एक ही समन्वय विमान में स्थित हैं, और यह भी कि जहां चौराहे को खोजने की आवश्यकता होती है इन रेखांकन के बिंदु। समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए इस बिंदु (x; y) के निर्देशांक हैं।

यह याद रखना चाहिए कि समीकरणों की एक ग्राफिकल प्रणाली के लिए या तो एक सही समाधान, या समाधानों का एक अनंत सेट होना, या कोई समाधान नहीं होना आम बात है।

और अब आइए इनमें से प्रत्येक समाधान पर अधिक विस्तार से ध्यान दें। और इसलिए, समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान हो सकता है यदि सीधी रेखाएं, जो कि सिस्टम के समीकरणों के ग्राफ हैं, प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ये सीधी रेखाएँ समानांतर हैं, तो समीकरणों की ऐसी प्रणाली का कोई हल नहीं है। प्रणाली के समीकरणों के प्रत्यक्ष रेखांकन के संयोग के मामले में, ऐसी प्रणाली आपको समाधानों का एक सेट खोजने की अनुमति देती है।

खैर, अब आइए 2 अज्ञात ग्राफिकल विधियों के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम देखें:

सबसे पहले, शुरुआत में हम पहले समीकरण का एक ग्राफ बनाते हैं;
दूसरा चरण उस ग्राफ को प्लॉट करना है जो दूसरे समीकरण को संदर्भित करता है;
तीसरा, हमें चार्ट के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है।
और परिणामस्वरूप, हमें प्रत्येक प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक मिलते हैं, जो समीकरणों की प्रणाली का समाधान होगा।

आइए इस विधि को एक उदाहरण के साथ करीब से देखें। हमें समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है जिसे हल करने की आवश्यकता है:

समीकरण हल करना

1. सबसे पहले, हम इस समीकरण को प्लॉट करेंगे: x2 + y2 = 9।

लेकिन यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समीकरणों का यह ग्राफ मूल में एक केंद्र के साथ एक वृत्त होगा, और इसकी त्रिज्या तीन के बराबर होगी।

2. हमारा अगला कदम एक समीकरण तैयार करना है जैसे: y = x - 3।

इस स्थिति में, हमें एक रेखा बनानी होगी और बिंदु (0; −3) और (3; 0) ज्ञात करने होंगे।

3. आइए देखें कि हमें क्या मिला है। हम देखते हैं कि रेखा वृत्त को उसके दो बिंदुओं A और B पर काटती है।

अब हम इन बिंदुओं के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं। हम देखते हैं कि निर्देशांक (3; 0) बिंदु A के अनुरूप हैं, और निर्देशांक (0; -3) बिंदु B के अनुरूप हैं।

और अंत में हमें क्या मिलता है?

एक वृत्त के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन पर प्राप्त संख्याएँ (3; 0) और (0; −3) प्रणाली के दोनों समीकरणों के सटीक समाधान हैं। और इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ये संख्याएँ भी इस समीकरण प्रणाली के हल हैं।

अर्थात्, इस समाधान का उत्तर संख्याएँ हैं: (3; 0) और (0; -3)।

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आमतौर पर सिस्टम के समीकरण एक के नीचे एक कॉलम में लिखे जाते हैं और एक घुंघराले ब्रेस के साथ संयुक्त होते हैं

इस रूप के समीकरणों की एक प्रणाली, जहां ए, बी, सी- संख्याएं, और एक्स, वाई- चर कहा जाता है रैखिक समीकरणों की प्रणाली.

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, उन गुणों का उपयोग किया जाता है जो समीकरणों को हल करने के लिए मान्य होते हैं।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान

आइए एक उदाहरण पर विचार करें

1) चर को किसी एक समीकरण में व्यक्त कीजिए। उदाहरण के लिए, हम व्यक्त करते हैं आपपहले समीकरण में, हमें सिस्टम मिलता है:

2) के बजाय सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें आपअभिव्यक्ति 3x-7:

3) हम परिणामी दूसरे समीकरण को हल करते हैं:

4) हम प्राप्त समाधान को सिस्टम के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है: संख्याओं की एक जोड़ी एक्स = 1, वाई = -4... उत्तर: (1; -4) , कोष्ठक में लिखा गया है, पहली स्थिति में मान एक्स, दूसरे पर - आप.

योग विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करना

आइए पिछले उदाहरण से समीकरणों की प्रणाली को हल करें जोड़ विधि द्वारा।

1) प्रणाली को रूपांतरित करें ताकि किसी एक चर के गुणांक विपरीत हो जाएं। आइए सिस्टम के पहले समीकरण को "3" से गुणा करें।

2) पद के अनुसार निकाय पद के समीकरणों को जोड़ें। सिस्टम का दूसरा समीकरण (कोई भी) बिना बदलाव के फिर से लिखा जाता है।

3) हम प्राप्त समाधान को सिस्टम के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल करना

दो चर वाले समीकरणों की एक प्रणाली का ग्राफिकल समाधान समीकरणों के ग्राफ के सामान्य बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए कम हो जाता है।

एक रैखिक फलन का आलेख एक सीधी रेखा है। एक समतल पर दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं, समानांतर या संपाती हो सकती हैं। तदनुसार, समीकरणों की प्रणाली निम्न कर सकती है: क) एक अद्वितीय समाधान हो सकता है; बी) कोई समाधान नहीं है; c) अनंत संख्या में समाधान हैं।

2) समीकरणों के निकाय का हल ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन का बिंदु (यदि समीकरण रैखिक हैं) है।

सिस्टम का ग्राफिक समाधान

नए चर पेश करने की विधि

चर बदलने से मूल प्रणाली की तुलना में समीकरणों की एक सरल प्रणाली को हल किया जा सकता है।

सिस्टम के समाधान पर विचार करें

हम एक प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं, फिर

मूल चर पर आगे बढ़ना

विशेष स्थितियां

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल किए बिना, संबंधित चर के लिए गुणांक द्वारा इसके समाधानों की संख्या निर्धारित की जा सकती है।

पाठ सामग्री

दो चरों में रैखिक समीकरण

एक छात्र के पास स्कूल में दोपहर का भोजन करने के लिए 200 रूबल हैं। एक केक की कीमत 25 रूबल है, और एक कप कॉफी की कीमत 10 रूबल है। आप 200 रूबल के लिए कितने केक और कॉफी के कप खरीद सकते हैं?

चलो केक की संख्या के माध्यम से निरूपित करते हैं एक्स, और उसके बाद कॉफी के कपों की संख्या आप... तब केक की लागत को अभिव्यक्ति 25 . द्वारा दर्शाया जाएगा एक्स, और 10 . के बाद कॉफी के कप की कीमत आप .

25एक्स -कीमत एक्सपेस्ट्री
10वाई -कीमत आपकॉफी के कप

कुल राशि 200 रूबल के बराबर होनी चाहिए। तब हमें दो चरों वाला एक समीकरण प्राप्त होता है एक्सतथा आप

25एक्स+ 10आप= 200

इस समीकरण की कितनी जड़ें हैं?

यह सब छात्र की भूख पर निर्भर करता है। यदि वह 6 केक और 5 कप कॉफी खरीदता है, तो समीकरण की जड़ें 6 और 5 होंगी।

6 और 5 के मानों के युग्म को समीकरण 25 . का मूल कहा जाता है एक्स+ 10आप= 200. इसे (6; 5) के रूप में लिखा जाता है, जिसमें पहली संख्या चर का मान होती है एक्स, और दूसरा चर का मान है आप .

6 और 5 एकमात्र ऐसे मूल नहीं हैं जो समीकरण 25 . को उलट देते हैं एक्स+ 10आप= 200 प्रति पहचान। यदि वांछित है, तो छात्र उसी 200 रूबल के लिए 4 केक और 10 कप कॉफी खरीद सकता है:

इस स्थिति में, समीकरण 25 . के मूल एक्स+ 10आप= 200 मूल्यों की एक जोड़ी है (4; 10)।

इसके अलावा, एक छात्र कॉफी बिल्कुल नहीं खरीद सकता है, लेकिन सभी 200 रूबल के लिए केक खरीद सकता है। तब समीकरण 25 . के मूल एक्स+ 10आप= 200 में 8 और 0 के मान होंगे

या इसके विपरीत, केक न खरीदें, लेकिन सभी 200 रूबल के लिए कॉफी खरीदें। तब समीकरण 25 . के मूल एक्स+ 10आप= 200 में 0 और 20 के मान होंगे

आइए समीकरण 25 . के सभी संभावित मूलों को सूचीबद्ध करने का प्रयास करें एक्स+ 10आप= 200. आइए हम सहमत हैं कि मान एक्सतथा आपपूर्णांकों के समूह से संबंधित हैं। और इन मानों को शून्य से अधिक या बराबर होने दें:

एक्स∈जेड, यू∈ जेड;
एक्स 0, वाई 0

तो यह स्वयं छात्र के लिए सुविधाजनक होगा। उदाहरण के लिए, कई पूरे केक और आधा केक की तुलना में पूरे केक खरीदना अधिक सुविधाजनक है। कॉफी को पूरे कप में लेना भी अधिक सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, कई पूरे कप और आधा कप।

ध्यान दें कि विषम के लिए एक्सकिसी के तहत समानता हासिल करना असंभव है आप... फिर मान एक्सनिम्नलिखित अंक 0, 2, 4, 6, 8 होंगे। और जानने वाले एक्सआप आसानी से निर्धारित कर सकते हैं आप

इस प्रकार, हमें मूल्यों के निम्नलिखित जोड़े मिलते हैं (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). ये जोड़े समीकरण 25 . के हल या मूल हैं एक्स+ 10आप= 200. वे इस समीकरण को एक सर्वसमिका बनाते हैं।

फॉर्म का समीकरण कुल्हाड़ी + बाय = सीकहा जाता है दो चरों में रैखिक समीकरण... इस समीकरण के हल या मूल को मानों का युग्म कहा जाता है ( एक्स; आप), जो इसे एक पहचान बनाता है।

यह भी ध्यान दें कि यदि दो चरों में एक रैखिक समीकरण को रूप में लिखा जाता है कुल्हाड़ी + बी वाई = सी,तब वे कहते हैं कि इसमें लिखा है कैनन का(सामान्य) रूप।

दो चरों वाले कुछ रैखिक समीकरणों को विहित रूप में घटाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण 2(16एक्स+ 3वाई - 4) = 2(12 + 8एक्स − आप) फॉर्म में कम किया जा सकता है कुल्हाड़ी + बाय = सी... इस समीकरण के दोनों पक्षों में कोष्ठकों का विस्तार करने पर, हम प्राप्त करते हैं 32एक्स + 6आप − 8 = 24 + 16एक्स − 2आप ... हम समीकरण के बाईं ओर अज्ञात शब्दों को समूहित करते हैं, और अज्ञात से मुक्त शब्द - दाईं ओर। तब हमें मिलता है 32एक्स - 16एक्स+ 6आप+ 2आप = 24 + 8 ... दोनों भागों में समान पदों को देखते हुए, हम समीकरण 16 . प्राप्त करते हैं एक्स+ 8आप= 32. यह समीकरण रूप में कम हो जाता है कुल्हाड़ी + बाय = सीऔर विहित है।

पहले माना गया समीकरण 25 एक्स+ 10आप= 200 भी विहित रूप में एक रैखिक दो-चर समीकरण है। इस समीकरण में, पैरामीटर ए , बीतथा सीक्रमशः 25, 10 और 200 के मान के बराबर हैं।

असल में समीकरण कुल्हाड़ी + बाय = सीअनगिनत समाधान हैं। समीकरण को हल करना 25एक्स+ 10आप= 200, हमने केवल पूर्णांकों के समुच्चय पर इसकी जड़ों की तलाश की। परिणामस्वरूप, कई जोड़े मूल्य प्राप्त हुए जिन्होंने इस समीकरण को एक पहचान बना दिया। लेकिन परिमेय संख्याओं के समुच्चय पर समीकरण 25 एक्स+ 10आप= 200 के अनगिनत हल होंगे।

मूल्यों के नए जोड़े प्राप्त करने के लिए, आपको के लिए एक मनमाना मूल्य लेने की आवश्यकता है एक्सफिर व्यक्त करें आप... उदाहरण के लिए, आइए एक चर के लिए लेते हैं एक्समान 7. तब हमें एक चर के साथ समीकरण प्राप्त होता है 25 × 7 + 10आप= 200 जिसमें आप व्यक्त कर सकते हैं आप

होने देना एक्स= 15. फिर समीकरण 25एक्स+ 10आप= 200 25 × 15 . का रूप लेगा + 10आप= 200. इससे हम पाते हैं कि आप = −17,5

होने देना एक्स= -3। फिर समीकरण 25एक्स+ 10आप= 200 25 × (−3) का रूप लेगा + 10आप= 200. इससे हम पाते हैं कि आप = −27,5

दो चरों में दो रैखिक समीकरणों का निकाय

समीकरण के लिए कुल्हाड़ी + बाय = सीआप के लिए मनमाना मान ले सकते हैं एक्सऔर के लिए मान खोजें आप... अलग से लिया जाए तो ऐसे समीकरण के अनगिनत हल होंगे।

लेकिन ऐसा भी होता है कि चर एक्सतथा आपएक से नहीं, बल्कि दो समीकरणों से संबंधित हैं। इस मामले में, वे तथाकथित बनाते हैं दो चरों में रैखिक समीकरणों की प्रणाली... समीकरणों की ऐसी प्रणाली में मूल्यों की एक जोड़ी हो सकती है (या दूसरे शब्दों में: "एक समाधान")।

ऐसा भी हो सकता है कि सिस्टम के पास कोई समाधान ही न हो। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली में दुर्लभ और असाधारण मामलों में अनगिनत समाधान हो सकते हैं।

दो रैखिक समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं जब मान एक्सतथा आपइनमें से प्रत्येक समीकरण में शामिल हैं।

आइए पहले समीकरण 25 . पर वापस जाएं एक्स+ 10आप= 200. इस समीकरण के लिए मानों के युग्मों में से एक युग्म (6; 5) था। यह एक ऐसा मामला है जब आप 200 रूबल के लिए 6 केक और 5 कप कॉफी खरीद सकते हैं।

आइए हम समस्या को इस प्रकार तैयार करें कि युग्म (6; 5) समीकरण 25 . का एकमात्र हल बन जाए एक्स+ 10आप= 200. ऐसा करने के लिए, हम एक और समीकरण की रचना करेंगे जो उसी से संबंधित होगा एक्सकेक और आपकॉफी के कप।

आइए समस्या का पाठ इस प्रकार सेट करें:

“विद्यालय ने 200 रूबल के लिए कई केक और कई कप कॉफी खरीदी। एक केक की कीमत 25 रूबल है, और एक कप कॉफी की कीमत 10 रूबल है। एक स्कूली लड़के ने कितने केक और कॉफी के कप खरीदे, यदि यह ज्ञात हो कि केक की संख्या कॉफी के कपों की संख्या से एक अधिक है?"

हमारे पास पहले से ही पहला समीकरण है। यह समीकरण 25 . है एक्स+ 10आप= 200. अब शर्त के लिए एक समीकरण बनाते हैं "केक की संख्या कॉफी के कपों की संख्या से एक अधिक है" .

केक की संख्या है एक्स, और कॉफी के कपों की संख्या है आप... आप इस वाक्यांश को समीकरण का उपयोग करके लिख सकते हैं एक्स - वाई= 1. इस समीकरण का अर्थ यह होगा कि केक और कॉफी के बीच का अंतर 1 है।

एक्स = वाई+ 1. इस समीकरण का अर्थ है कि केक की संख्या कॉफी के कपों की संख्या से एक अधिक है। इसलिए, समानता प्राप्त करने के लिए, कॉफी के कपों की संख्या में एक जोड़ा जाता है। इसे आसानी से समझा जा सकता है यदि हम वजन के मॉडल का उपयोग करते हैं, जिसे हमने सबसे सरल समस्याओं का अध्ययन करते समय माना था:

हमें दो समीकरण मिले: 25 एक्स+ 10आप= 200 और एक्स = वाई+ 1. मूल्यों के बाद से एक्सतथा आप, अर्थात् 6 और 5 इन समीकरणों में से प्रत्येक में शामिल हैं, फिर एक साथ वे एक प्रणाली बनाते हैं। आइए इस प्रणाली को लिखें। यदि समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं, तो वे सिस्टम साइन द्वारा तैयार किए जाते हैं। सिस्टम साइन एक घुंघराले ब्रेस है:

आइए इस प्रणाली को हल करें। यह हमें यह देखने की अनुमति देगा कि हम 6 और 5 के मूल्यों पर कैसे पहुंचते हैं। ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए कई तरीके हैं। आइए सबसे लोकप्रिय लोगों पर विचार करें।

प्रतिस्थापन विधि

इस पद्धति का नाम अपने लिए बोलता है। इसका सार एक समीकरण को दूसरे में बदलना है, जो पहले एक चर को व्यक्त करता है।

हमारे सिस्टम में कुछ भी व्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है। दूसरे समीकरण में एक्स = आप+ 1 चर एक्सपहले ही व्यक्त कर दिया है। यह चर व्यंजक के बराबर है आप+ 1. तब आप इस व्यंजक को चर के बजाय पहले समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं एक्स

अभिव्यक्ति प्रतिस्थापन के बाद आप+ 1 के बजाय पहले समीकरण में एक्स, हमें समीकरण मिलता है 25(आप+ 1) + 10आप= 200 ... यह एक रैखिक एक-चर समीकरण है। यह समीकरण हल करने के लिए काफी सरल है:

हमें चर का मान ज्ञात हुआ आप... अब हम इस मान को समीकरणों में से एक में प्रतिस्थापित करते हैं और मान पाते हैं एक्स... इसके लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है एक्स = आप+ 1. इसमें, हम मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं आप

इसका मतलब यह है कि जोड़ी (6; 5) समीकरणों की प्रणाली का एक समाधान है, जैसा कि हम चाहते थे। हम जाँच करते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि युग्म (6; 5) प्रणाली को संतुष्ट करता है:

उदाहरण 2

पहले समीकरण को प्रतिस्थापित करें एक्स= 2 + आपदूसरे समीकरण में 3 एक्स - 2आप= 9. पहले समीकरण में, चर एक्स 2 + . के बराबर है आप... हम इस व्यंजक को के स्थान पर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं एक्स

आइए अब मान ज्ञात करें एक्स... ऐसा करने के लिए, मान को प्रतिस्थापित करें आपपहले समीकरण में एक्स= 2 + आप

तो सिस्टम का समाधान युग्म मान (5; 3) है

उदाहरण 3... प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

यहां, पिछले उदाहरणों के विपरीत, एक चर स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया गया है।

एक समीकरण को दूसरे में बदलने के लिए, आपको सबसे पहले यह करना होगा।

एक के गुणांक वाले चर को व्यक्त करना वांछनीय है। गुणांक एक में एक चर है एक्सजो पहले समीकरण में निहित है एक्स+ 2आप= 11. हम इस चर को व्यक्त करेंगे।

परिवर्तनशील अभिव्यक्ति के बाद एक्स, हमारा सिस्टम निम्नलिखित रूप लेगा:

अब हम पहले समीकरण को दूसरे में प्रतिस्थापित करते हैं और मान पाते हैं आप

विकल्प आप एक्स

इसका मतलब है कि सिस्टम का समाधान मूल्यों की एक जोड़ी है (3; 4)

बेशक, आप चर को भी व्यक्त कर सकते हैं आप... इससे जड़ें नहीं बदलेंगी। लेकिन अगर आप व्यक्त करते हैं वाई,आपको एक साधारण समीकरण नहीं मिलता है, जिसे हल करने में अधिक समय लगेगा। यह इस तरह दिखेगा:

हम देखते हैं कि इस उदाहरण में व्यक्त करने के लिए एक्सव्यक्त करने से कहीं अधिक सुविधाजनक आप .

उदाहरण 4... प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

आइए पहले समीकरण में व्यक्त करें एक्स... तब सिस्टम रूप लेगा:

आप

विकल्प आपपहले समीकरण में और खोजें एक्स... आप मूल समीकरण 7 . का उपयोग कर सकते हैं एक्स+ 9आप= 8, या उस समीकरण का उपयोग करें जिसमें चर व्यक्त किया गया है एक्स... हम इस समीकरण का उपयोग करेंगे क्योंकि यह सुविधाजनक है:

इसलिए, सिस्टम का समाधान मूल्यों की एक जोड़ी है (5; −3)

जोड़ विधि

जोड़ विधि में सिस्टम टर्म में टर्म द्वारा समीकरणों को जोड़ना शामिल है। यह जोड़ इस तथ्य की ओर जाता है कि एक चर के साथ एक नया समीकरण बनता है। और इस तरह के समीकरण को हल करना काफी सरल है।

आइए समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

पहले समीकरण के बाईं ओर को दूसरे समीकरण के बाईं ओर जोड़ें। और पहले समीकरण का दायाँ पक्ष दूसरे समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ। हमें निम्नलिखित समानता मिलती है:

यहाँ समान शब्द हैं:

नतीजतन, हमें सबसे सरल समीकरण 3 . मिला एक्स= 27 जिसका मूल 9 है। मान जानना एक्सआप अर्थ पा सकते हैं आप... मान बदलें एक्सदूसरे समीकरण में एक्स - वाई= 3. हमें 9 मिलते हैं - आप= 3. यहां से आप= 6 .

तो सिस्टम का समाधान मूल्यों की एक जोड़ी है (9; 6)

उदाहरण 2

पहले समीकरण के बाईं ओर को दूसरे समीकरण के बाईं ओर जोड़ें। और पहले समीकरण का दायाँ पक्ष दूसरे समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ। परिणामी समानता में, हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं:

नतीजतन, हमें सबसे सरल समीकरण मिला 5 एक्स= 20, जिसका मूल 4 है। मान जानना एक्सआप अर्थ पा सकते हैं आप... मान बदलें एक्सपहले समीकरण 2 . में एक्स + वाई= 11. हमें 8+ . मिलता है आप= 11. यहां से आप= 3 .

इसका मतलब है कि सिस्टम का समाधान मूल्यों की एक जोड़ी है (4; 3)

जोड़ने की प्रक्रिया विस्तृत नहीं है। मन से करना चाहिए। इसके अलावा, दोनों समीकरणों को विहित रूप में कम किया जाना चाहिए। यानी एसी + बाय = सी .

विचार किए गए उदाहरणों से, यह देखा जा सकता है कि समीकरणों को जोड़ने का मुख्य उद्देश्य किसी एक चर से छुटकारा पाना है। लेकिन हमेशा योग विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को तुरंत हल करना संभव नहीं होता है। अक्सर, सिस्टम को प्रारंभिक रूप से एक ऐसे रूप में लाया जाता है जिसमें आप इस सिस्टम में शामिल समीकरणों को जोड़ सकते हैं।

उदाहरण के लिए, सिस्टम जोड़ विधि द्वारा तुरंत हल किया जा सकता है। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर, पद आपतथा -yगायब हो जाते हैं क्योंकि उनका योग शून्य है। नतीजतन, सबसे सरल समीकरण बनता है 11 एक्स= 22, जिसका मूल 2 है। तब यह निर्धारित करना संभव होगा आप 5 के बराबर

और समीकरणों की प्रणाली जोड़ विधि को तुरंत हल नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इससे किसी एक चर का गायब होना नहीं होगा। जोड़ का परिणाम समीकरण 8 . में होगा एक्स+ आप= 28, जिसके अनगिनत हल हैं।

यदि समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, जो शून्य के बराबर नहीं है, तो एक समीकरण प्राप्त होता है जो दिए गए के बराबर होता है। यह नियम दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के निकाय के लिए भी सत्य है। समीकरणों में से एक (या दोनों समीकरण) को किसी भी संख्या से गुणा किया जा सकता है। परिणाम एक समतुल्य प्रणाली होगी, जिसकी जड़ें पिछले एक के साथ मेल खाएँगी।

आइए पहले सिस्टम पर वापस जाएं, जिसमें बताया गया था कि एक छात्र ने कितने केक और कॉफी के कप खरीदे। इस प्रणाली का समाधान मूल्यों की एक जोड़ी थी (6; 5)।

आइए इस प्रणाली में दोनों समीकरणों को कुछ संख्याओं से गुणा करें। मान लीजिए कि पहले समीकरण को 2 से गुणा किया जाता है, और दूसरे को 3 . से गुणा किया जाता है

नतीजतन, हमें सिस्टम मिल गया
इस प्रणाली का समाधान अभी भी मूल्यों की एक जोड़ी है (6; 5)

इसका मतलब यह है कि सिस्टम में शामिल समीकरणों को जोड़ विधि को लागू करने के लिए उपयुक्त रूप में घटाया जा सकता है।

सिस्टम पर वापस , जिसे हम जोड़ विधि से हल नहीं कर सके।

पहले समीकरण को 6 से और दूसरे को −2 . से गुणा करें

तब हमें निम्नलिखित प्रणाली मिलती है:

आइए इस प्रणाली में शामिल समीकरणों को जोड़ें। घटक जोड़ना 12 एक्सऔर -12 एक्सपरिणाम 0 होगा, जोड़ 18 आपऔर 4 आप 22 . देंगे आप, और 108 और −20 को जोड़ने पर 88 प्राप्त होता है। तब हमें समीकरण 22 . प्राप्त होता है आप= 88, इसलिए आप = 4 .

यदि पहली बार में आपके सिर में समीकरणों को जोड़ना मुश्किल है, तो आप लिख सकते हैं कि पहले समीकरण के बाएँ पक्ष को दूसरे समीकरण के बाईं ओर कैसे जोड़ा जाता है, और पहले समीकरण के दाईं ओर को दाईं ओर जोड़ा जाता है। दूसरे समीकरण का पक्ष:

यह जानते हुए कि एक चर का मान आप 4 है, आप मान पा सकते हैं एक्स... विकल्प आपसमीकरणों में से एक में, उदाहरण के लिए, पहले समीकरण में 2 एक्स+ 3आप= 18. तब हमें एक चर 2 . वाला समीकरण प्राप्त होता है एक्स+ 12 = 18. 12 को दाईं ओर ले जाएं, चिह्न बदलें, हमें 2 . मिलता है एक्स= 6, इसलिए एक्स = 3 .

उदाहरण 4... समीकरणों के निम्नलिखित निकाय को योग विधि द्वारा हल कीजिए:

दूसरे समीकरण को -1 से गुणा करें। तब सिस्टम निम्नलिखित रूप लेगा:

आइए दोनों समीकरणों को जोड़ें। घटकों को जोड़ना एक्सतथा -xपरिणाम 0 होगा, जोड़ 5 आपऔर 3 आप 8 . देगा आप, और 7 और 1 को जोड़ने पर 8 प्राप्त होता है। परिणाम समीकरण 8 . है आप= 8, जिसका मूल 1 है। यह जानते हुए कि मान आप 1 के बराबर है, आप मान पा सकते हैं एक्स .

विकल्प आपपहले समीकरण में, हम प्राप्त करते हैं एक्स+ 5 = 7, इसलिए एक्स= 2

उदाहरण 5... समीकरणों के निम्नलिखित निकाय को योग विधि द्वारा हल कीजिए:

यह वांछनीय है कि समान चर वाले पद एक दूसरे के नीचे स्थित हों। इसलिए, दूसरे समीकरण में, पद 5 आपऔर -2 एक्सस्थानों की अदला-बदली करें। परिणामस्वरूप, सिस्टम रूप लेगा:

आइए दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करें। तब सिस्टम रूप लेगा:

अब दोनों समीकरण जोड़ते हैं। जोड़ के परिणामस्वरूप, हम समीकरण 8 . प्राप्त करते हैं आप= 16, जिसका मूल 2 है।

विकल्प आपपहले समीकरण में, हम प्राप्त करते हैं 6 एक्स- 14 = 40. −14 पद को दायीं ओर ले जाएँ, चिन्ह बदलने पर, हमें 6 . प्राप्त होता है एक्स= 54. यहां से एक्स= 9.

उदाहरण 6... समीकरणों के निम्नलिखित निकाय को योग विधि द्वारा हल कीजिए:

आइए अंशों से छुटकारा पाएं। पहले समीकरण को 36 से गुणा करें, और दूसरे को 12 . से गुणा करें

परिणामी प्रणाली में पहले समीकरण को −5 से गुणा किया जा सकता है, और दूसरे को 8 . से गुणा किया जा सकता है

आइए परिणामी प्रणाली में समीकरण जोड़ें। तब हमें सरलतम समीकरण −13 . प्राप्त होता है आप= -156. यहां से आप= 12. विकल्प आपपहले समीकरण में और खोजें एक्स

उदाहरण 7... समीकरणों के निम्नलिखित निकाय को योग विधि द्वारा हल कीजिए:

आइए हम दोनों समीकरणों को सामान्य रूप में लाएं। यहां दोनों समीकरणों में अनुपात के नियम को लागू करना सुविधाजनक है। यदि पहले समीकरण में दाईं ओर के रूप में और दूसरे समीकरण के दाईं ओर के रूप में दर्शाया गया है, तो सिस्टम रूप लेगा:

हमें अनुपात मिल गया है। आइए इसके चरम और मध्य पदों को गुणा करें। तब सिस्टम रूप लेगा:

हम पहले समीकरण को −3 से गुणा करते हैं, और दूसरे में हम कोष्ठक का विस्तार करते हैं:

अब दोनों समीकरण जोड़ते हैं। इन समीकरणों को जोड़ने पर हमें समानता प्राप्त होती है, जिसके दोनों भागों में शून्य होगा:

यह पता चला है कि सिस्टम के अनगिनत समाधान हैं।

लेकिन हम केवल आसमान से मनमाना मूल्य नहीं ले सकते हैं एक्सतथा आप... हम एक मान निर्दिष्ट कर सकते हैं, और दूसरा हमारे द्वारा निर्दिष्ट मान के आधार पर निर्धारित किया जाएगा। उदाहरण के लिए, चलो एक्स= 2. आइए इस मान को सिस्टम में बदलें:

समीकरणों में से किसी एक को हल करने के परिणामस्वरूप, के लिए मान आपजो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करेगा:

परिणामी मूल्यों की जोड़ी (2; −2) प्रणाली को संतुष्ट करेगी:

आइए मूल्यों की एक और जोड़ी खोजें। होने देना एक्स= 4. इस मान को सिस्टम में रखें:

आँख से, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि मूल्य आपशून्य के बराबर है। तब हमें मूल्यों की एक जोड़ी (4; 0) मिलती है, जो हमारे सिस्टम को संतुष्ट करती है:

उदाहरण 8... समीकरणों के निम्नलिखित निकाय को योग विधि द्वारा हल कीजिए:

पहले समीकरण को 6 से और दूसरे को 12 . से गुणा करें

आइए फिर से लिखें कि क्या बचा है:

पहले समीकरण को -1 से गुणा करें। तब सिस्टम रूप लेगा:

अब दोनों समीकरण जोड़ते हैं। जोड़ के परिणामस्वरूप, समीकरण बनता है 6 बी= 48, जिसका मूल 8 है बीपहले समीकरण में और खोजें ए

तीन चरों में रैखिक समीकरणों का निकाय

तीन चर वाले एक रैखिक समीकरण में गुणांक के साथ तीन चर, साथ ही एक अवरोधन भी शामिल है। इसके विहित रूप में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कुल्हाड़ी + by + cz = d

इस समीकरण के अनगिनत हल हैं। दो चरों को भिन्न-भिन्न अर्थ देकर एक तीसरा अर्थ निकाला जा सकता है। इस मामले में समाधान तीन मान है ( एक्स; वाई; जेड) जो समीकरण को पहचान में बदल देता है।

यदि चर एक्स, वाई, जेडतीन समीकरणों से जुड़े होते हैं, तो तीन चर वाले तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनती है। ऐसी प्रणाली को हल करने के लिए, आप उन्हीं विधियों को लागू कर सकते हैं जो दो चर वाले रैखिक समीकरणों पर लागू होती हैं: प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि।

उदाहरण 1... प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

आइए हम तीसरे समीकरण में व्यक्त करें एक्स... तब सिस्टम रूप लेगा:

अब चलो प्रतिस्थापन करते हैं। चर एक्सअभिव्यक्ति के बराबर 3 − 2आप − 2जेड ... इस व्यंजक को पहले और दूसरे समीकरण में रखिए:

आइए दोनों समीकरणों में कोष्ठक खोलें और समान पद दें:

हम दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के निकाय पर आए। इस मामले में, अतिरिक्त विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है। नतीजतन, चर आपगायब हो जाएगा और हम चर का मान पा सकते हैं जेड

आइए अब मान ज्ञात करें आप... इसके लिए समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है - आप+ जेड= 4. इसमें मान रखें जेड

आइए अब मान ज्ञात करें एक्स... इसके लिए समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है एक्स= 3 − 2आप − 2जेड ... आइए इसमें मूल्यों को प्रतिस्थापित करें आपतथा जेड

इस प्रकार, ट्रिपल ऑफ वैल्यू (3; -2; 2) हमारे सिस्टम का एक समाधान है। जाँच करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि ये मान सिस्टम को संतुष्ट करते हैं:

उदाहरण 2... जोड़ विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

पहले समीकरण को −2 से गुणा करके दूसरे समीकरण में जोड़ें।

यदि दूसरे समीकरण को −2 से गुणा किया जाता है, तो यह रूप लेता है −6एक्स+ 6वाई - 4जेड = −4 ... अब इसे पहले समीकरण में जोड़ें:

हम देखते हैं कि प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, चर का मान निर्धारित किया गया था एक्स... यह एक के बराबर है।

आइए मुख्य प्रणाली पर वापस जाएं। दूसरे समीकरण को −1 से गुणा करने पर तीसरे समीकरण में जोड़ें। यदि तीसरे समीकरण को −1 से गुणा किया जाता है, तो यह रूप लेता है −4एक्स + 5आप − 2जेड = −1 ... अब इसे दूसरे समीकरण में जोड़ें:

हमें समीकरण मिल गया एक्स - 2आप= -1. आइए इसमें मूल्य को प्रतिस्थापित करें एक्सजो हमने पहले पाया था। तब हम मान निर्धारित कर सकते हैं आप

अब हम मूल्यों को जानते हैं एक्सतथा आप... यह आपको मूल्य निर्धारित करने की अनुमति देता है जेड... आइए सिस्टम में शामिल समीकरणों में से एक का उपयोग करें:

इस प्रकार, मूल्यों का त्रिक (1; 1; 1) हमारे सिस्टम का समाधान है। जाँच करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि ये मान सिस्टम को संतुष्ट करते हैं:

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की रचना के लिए कार्य

कई चरों को दर्ज करके समीकरणों की प्रणालियों की रचना की समस्या हल की जाती है। अगला, समस्या की स्थितियों के आधार पर समीकरण तैयार किए जाते हैं। वे समीकरणों से एक प्रणाली बनाते हैं और इसे हल करते हैं। सिस्टम को हल करने के बाद, यह जांचना आवश्यक है कि क्या इसका समाधान समस्या की शर्तों को पूरा करता है।

समस्या 1... एक वोल्गा कार सामूहिक खेत के लिए शहर से निकली। वह दूसरी सड़क से वापस लौटी, जो पहली सड़क से 5 किमी छोटी थी। कुल मिलाकर, कार ने दोनों तरफ से 35 किमी की दूरी तय की। प्रत्येक सड़क कितने किलोमीटर है?

समाधान

होने देना एक्स -पहली सड़क की लंबाई, आप- दूसरे की लंबाई। यदि कार दोनों सिरों पर 35 किमी की यात्रा करती है, तो पहला समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है: एक्स+ आप= 35. यह समीकरण दोनों सड़कों की लंबाई के योग का वर्णन करता है।

ऐसा कहा जाता है कि कार सड़क पर वापस लौटी जो पहले वाली से 5 किमी छोटी थी। तब दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स− आप= 5. इस समीकरण से पता चलता है कि सड़कों की लंबाई के बीच का अंतर 5 किमी है।

या दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स= आप+5. हम इस समीकरण का उपयोग करेंगे।

चर के बाद से एक्सतथा आपदोनों समीकरणों में एक ही संख्या को निरूपित करते हैं, फिर हम उनसे एक प्रणाली बना सकते हैं:

आइए पहले अध्ययन की गई कुछ विधियों का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करें। इस मामले में, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है, क्योंकि दूसरे समीकरण में चर एक्सपहले ही व्यक्त कर दिया है।

दूसरे समीकरण को पहले में रखें और खोजें आप

पाया गया मान बदलें आपदूसरे समीकरण में एक्स= आप+5 और खोजें एक्स

पहली सड़क की लंबाई चर द्वारा निरूपित की गई थी एक्स... अब हमें इसका अर्थ मिल गया है। चर एक्स 20 के बराबर है। तो पहली सड़क की लंबाई 20 किमी है।

और दूसरी सड़क की लंबाई किसके द्वारा इंगित की गई थी आप... इस चर का मान 15 है। तो दूसरी सड़क की लंबाई 15 किमी है।

चलो जांचते हैं। सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि सिस्टम सही ढंग से हल हो गया है:

आइए अब जाँच करें कि क्या समाधान (20; 15) समस्या की शर्तों को संतुष्ट करता है।

बताया गया कि कार ने दोनों दिशाओं में 35 किमी का सफर तय किया। दोनों सड़कों की लंबाई जोड़ें और सुनिश्चित करें कि समाधान (20; 15) इस शर्त को पूरा करता है: 20 किमी + 15 किमी = 35 किमी

अगली शर्त: वापस कार दूसरी सड़क से लौट रही थी, जो पहले वाली सड़क से 5 किमी छोटी थी ... हम देखते हैं कि समाधान (20; 15) भी इस शर्त को पूरा करता है, क्योंकि 15 किमी 20 किमी से 5 किमी छोटा है: 20 किमी - 15 किमी = 5 किमी

एक प्रणाली को संकलित करते समय, यह महत्वपूर्ण है कि चर इस प्रणाली में शामिल सभी समीकरणों में समान संख्याओं को दर्शाते हैं।

तो हमारे सिस्टम में दो समीकरण हैं। इन समीकरणों में, बदले में, चर शामिल हैं एक्सतथा आप, जो दोनों समीकरणों में समान संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, अर्थात् सड़क की लंबाई 20 किमी और 15 किमी के बराबर है।

टास्क 2... ओक और पाइन स्लीपर, कुल मिलाकर 300, प्लेटफॉर्म पर लोड किए गए थे। यह ज्ञात है कि सभी ओक स्लीपरों का वजन सभी पाइन स्लीपरों से 1 टन कम होता है। निर्धारित करें कि कितने ओक और पाइन स्लीपर अलग-अलग थे, यदि प्रत्येक ओक स्लीपर का वजन 46 किलोग्राम और प्रत्येक पाइन स्लीपर का वजन 28 किलोग्राम था।

समाधान

होने देना एक्सओक और आपप्लेटफॉर्म पर पाइन स्लीपर लदे थे। यदि कुल मिलाकर 300 स्लीपर थे, तो पहला समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है: एक्स + वाई = 300 .

सभी ओक स्लीपरों का वजन 46 एक्सकिलो, और पाइन वजन 28 आपकिलोग्राम। चूंकि ओक स्लीपरों का वजन पाइन स्लीपरों से 1 टन कम होता है, इसलिए दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है: 28वाई - 46एक्स= 1000 ... इस समीकरण से पता चलता है कि ओक और पाइन स्लीपरों के बीच द्रव्यमान का अंतर 1000 किलो है।

ओक और पाइन स्लीपरों का वजन किलोग्राम में मापा जाने के बाद से टन को किलोग्राम में बदल दिया गया है।

नतीजतन, हम दो समीकरण प्राप्त करते हैं जो सिस्टम बनाते हैं

आइए इस प्रणाली को हल करें। आइए पहले समीकरण में व्यक्त करें एक्स... तब सिस्टम रूप लेगा:

पहले समीकरण को दूसरे में रखें और खोजें आप

विकल्प आपसमीकरण में एक्स= 300 − आपऔर पता करें कि क्या बराबर है एक्स

इसका मतलब है कि प्लेटफॉर्म पर 100 ओक और 200 पाइन स्लीपर लोड किए गए थे।

आइए देखें कि क्या समाधान (100; 200) समस्या की शर्तों को संतुष्ट करता है। सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि सिस्टम सही ढंग से हल हो गया है:

ऐसा कहा गया था कि कुल मिलाकर 300 स्लीपर थे। ओक और पाइन स्लीपरों की संख्या जोड़ें और सुनिश्चित करें कि समाधान (100; 200) इस स्थिति को संतुष्ट करता है: 100 + 200 = 300.

अगली शर्त: सभी ओक स्लीपरों का वजन सभी पाइन स्लीपरों से 1 टन कम था ... हम देखते हैं कि समाधान (100; 200) भी इस स्थिति को संतुष्ट करता है, क्योंकि 46 × 100 किलोग्राम ओक स्लीपर 28 × 200 किलोग्राम पाइन स्लीपर से हल्का होता है: 5600 किग्रा - 4600 किग्रा = 1000 किग्रा।

समस्या 3... तांबे-निकल मिश्र धातु के तीन टुकड़े वजन के अनुसार 2:1, 3:1 और 5:1 के अनुपात में लिए गए। तांबे और निकल की मात्रा 4: 1 के अनुपात के साथ 12 किलो वजन का एक टुकड़ा उनसे अलग किया गया था। प्रत्येक मूल टुकड़े का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए यदि पहले का द्रव्यमान दूसरे के द्रव्यमान का दोगुना है।