सी 8 समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके। जोड़ विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना। समीकरणों की जटिल प्रणालियों को हल करना

इस वीडियो के साथ, मैं समीकरणों की प्रणालियों पर पाठों की एक श्रृंखला शुरू करता हूं। आज हम रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के बारे में बात करेंगे जोड़ विधि- यह सबसे आसान तरीकों में से एक है, लेकिन साथ ही सबसे प्रभावी में से एक है।

जोड़ विधि में तीन सरल चरण होते हैं:

1. प्रणाली को देखें और एक चर चुनें जिसमें प्रत्येक समीकरण में समान (या विपरीत) गुणांक हों;
2. एक दूसरे से बीजगणितीय घटाव (विपरीत संख्याओं के लिए - जोड़) समीकरण करें, और फिर समान शब्द लाएं;
3. दूसरे चरण से नए समीकरण को हल करें।

यदि सब कुछ सही ढंग से किया जाता है, तो आउटपुट पर हमें एक ही समीकरण मिलेगा एक चर के साथ- इसे हल करना मुश्किल नहीं होगा। फिर जो कुछ बचा है वह मूल प्रणाली में पाए गए रूट को प्रतिस्थापित करना और अंतिम उत्तर प्राप्त करना है।

हालांकि, व्यवहार में, चीजें इतनी सरल नहीं हैं। इसके अनेक कारण हैं:

• योग विधि द्वारा समीकरणों को हल करने का तात्पर्य है कि सभी रेखाओं में समान / विपरीत गुणांक वाले चर होने चाहिए। लेकिन क्या होगा अगर यह आवश्यकता पूरी नहीं होती है?
• किसी भी तरह से हमेशा इस तरह से समीकरणों को जोड़ने / घटाने के बाद, हमें एक सुंदर रचना मिलती है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। क्या किसी तरह गणनाओं को सरल बनाना और गणनाओं को गति देना संभव है?

इन सवालों का जवाब पाने के लिए, और साथ ही कुछ अतिरिक्त सूक्ष्मताओं से निपटने के लिए जो कई छात्र "गिर जाते हैं", मेरा वीडियो पाठ देखें:

इस पाठ के साथ, हम समीकरणों के निकाय पर व्याख्यानों की एक शृंखला शुरू करते हैं। और हम उनमें से सबसे सरल से शुरू करेंगे, अर्थात् उनमें से जिनमें दो समीकरण और दो चर होते हैं। उनमें से प्रत्येक रैखिक होगा।

सिस्टम 7 वीं कक्षा की सामग्री है, लेकिन यह पाठ हाई स्कूल के छात्रों के लिए भी उपयोगी होगा जो विषय के अपने ज्ञान पर ब्रश करना चाहते हैं।

सामान्य तौर पर, ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए दो तरीके हैं:

1. जोड़ विधि;
2. एक चर को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करने की एक विधि।

आज हम पहली विधि से निपटेंगे - हम घटाव और जोड़ विधि लागू करेंगे। लेकिन इसके लिए आपको निम्नलिखित तथ्य को समझने की आवश्यकता है: जैसे ही आपके पास दो या अधिक समीकरण होते हैं, आपको उनमें से कोई भी दो लेने और उन्हें एक दूसरे में जोड़ने का अधिकार होता है। उन्हें शब्द दर शब्द जोड़ा जाता है, अर्थात। "Xs" को "Xs" के साथ जोड़ा जाता है और समान दिए जाते हैं;

इस तरह की साजिशों का नतीजा एक नया समीकरण होगा, जिसकी जड़ें होने पर वे मूल समीकरण की जड़ों में से होंगे। इसलिए, हमारा काम घटाव या जोड़ को इस तरह से करना है कि या तो $ x $ या $ y $ गायब हो जाए।

इसे कैसे प्राप्त करें और इसके लिए किस उपकरण का उपयोग करें - हम इस बारे में अभी बात करेंगे।

जोड़ विधि का उपयोग करके प्रकाश की समस्याओं को हल करना

इसलिए, हम दो सरल व्यंजकों के उदाहरण का उपयोग करके जोड़ विधि को लागू करना सीख रहे हैं।

समस्या संख्या 1

\ [\ बाएं \ (\ प्रारंभ (संरेखित) और 5x-4y = 22 \\ और 7x + 4y = 2 \\\ अंत (संरेखित) \ दाएं। \]

ध्यान दें कि पहले समीकरण $ -4 $ में $ y $ का गुणांक है, और दूसरे में - $ + 4 $। वे परस्पर विपरीत हैं, इसलिए यह मान लेना तर्कसंगत है कि यदि हम उन्हें जोड़ दें, तो परिणामी योग में "खेल" परस्पर नष्ट हो जाएंगे। हम जोड़ते हैं और प्राप्त करते हैं:

हम सबसे सरल डिजाइन को हल करते हैं:

बढ़िया, हमने एक्स पाया। अब उसके साथ क्या करना है? हमें इसे किसी भी समीकरण में बदलने का अधिकार है। आइए पहले स्थानापन्न करें:

\ [- 4y = 12 \ बाएँ | : \ बाएँ (-4 \ दाएँ) \ दाएँ। \]

उत्तर: $ \ बाएँ (2; -3 \ दाएँ) $।

समस्या संख्या 2

\ [\ बाएं \ (\ प्रारंभ (संरेखित) और -6x + y = 21 \\ और 6x-11y = -51 \\\ अंत (संरेखित) \ दाएं। \]

यहां स्थिति पूरी तरह से समान है, केवल एक्स के साथ। आइए उन्हें जोड़ें:

हमें सबसे सरल रैखिक समीकरण मिला है, आइए इसे हल करें:

आइए अब $ x $ खोजें:

उत्तर: $ \ बाएँ (-3; 3 \ दाएँ) $।

महत्वपूर्ण बिंदु

इसलिए, हमने योग विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की दो सरलतम प्रणालियों को हल किया है। एक बार फिर प्रमुख बिंदु:

1. यदि किसी एक चर के लिए विपरीत गुणांक हैं, तो समीकरण में सभी चर जोड़ना आवश्यक है। इस मामले में, उनमें से एक को नष्ट कर दिया जाएगा।
2. हम दूसरे को खोजने के लिए सिस्टम के किसी भी समीकरण में पाए गए चर को प्रतिस्थापित करते हैं।
3. प्रतिक्रिया का अंतिम रिकॉर्ड विभिन्न तरीकों से प्रस्तुत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तो - $ x = ..., y = ... $, या बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में - $ \ बाएँ (...; ... \ दाएँ) $। दूसरा विकल्प बेहतर है। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि पहला निर्देशांक $ x $ है, और दूसरा $ y $ है।
4. बिंदु निर्देशांक के रूप में उत्तर लिखने का नियम हमेशा लागू नहीं होता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग तब नहीं किया जा सकता है जब चर $ x $ और $ y $ नहीं होते हैं, लेकिन, उदाहरण के लिए, $ a $ और $ b $।

निम्नलिखित समस्याओं में, हम घटाव तकनीक को देखेंगे जब गुणांक विपरीत न हों।

घटाव विधि का उपयोग करके आसान समस्याओं को हल करना

समस्या संख्या 1

\ [\ बाएं \ (\ प्रारंभ (संरेखित) और 10x-3y = 5 \\ और -6x-3y = -27 \\\ अंत (संरेखित) \ दाएं। \]

ध्यान दें कि यहां कोई विपरीत गुणांक नहीं हैं, लेकिन समान हैं। इसलिए, हम पहले समीकरण से दूसरे को घटाते हैं:

अब हम $ x $ के मान को सिस्टम के किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। आइए पहले चलते हैं:

उत्तर: $ \ बाएँ (2; 5 \ दाएँ) $।

समस्या संख्या 2

\ [\ बाएं \ (\ प्रारंभ (संरेखित) और 5x + 4y = -22 \\ और 5x-2y = -4 \\\ अंत (संरेखित) \ दाएं। \]

फिर से, हम पहले और दूसरे समीकरणों में $ 5 $ से $ x $ के समान गुणांक देखते हैं। इसलिए, यह मान लेना तर्कसंगत है कि आपको पहले समीकरण से दूसरे को घटाना होगा:

हमने एक चर की गणना की है। अब आइए दूसरे को खोजें, उदाहरण के लिए, दूसरे निर्माण में $ y $ के मान को प्रतिस्थापित करना:

उत्तर: $ \ बाएँ (-3; -2 \ दाएँ) $।

समाधान की बारीकियां

तो हम क्या देखते हैं? संक्षेप में, योजना पिछली प्रणालियों के समाधान से अलग नहीं है। अंतर केवल इतना है कि हम समीकरणों को नहीं जोड़ते, बल्कि उन्हें घटाते हैं। हम बीजीय घटाव कर रहे हैं।

दूसरे शब्दों में, जैसे ही आप दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली देखते हैं, पहली चीज जो आपको देखने की जरूरत है वह है गुणांक। यदि वे कहीं भी समान हैं, तो समीकरण घटाए जाते हैं, और यदि वे विपरीत होते हैं, तो जोड़ विधि लागू होती है। ऐसा हमेशा इसलिए किया जाता है ताकि उनमें से एक गायब हो जाए, और अंतिम समीकरण में केवल एक चर रह जाए, जो घटाव के बाद बना रहता है।

बेशक, यह सब नहीं है। अब हम उन प्रणालियों पर विचार करेंगे जिनमें समीकरण आम तौर पर असंगत होते हैं। वे। उनमें ऐसे कोई चर नहीं हैं जो या तो समान हों या विपरीत हों। इस मामले में, ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए एक अतिरिक्त तकनीक का उपयोग किया जाता है, अर्थात्, प्रत्येक समीकरण का एक विशेष गुणांक द्वारा गुणा। इसे कैसे खोजा जाए और सामान्य रूप से ऐसी प्रणालियों को कैसे हल किया जाए, अब हम इस बारे में बात करेंगे।

गुणांक से गुणा करके समस्या का समाधान

उदाहरण संख्या 1

\ [\ बाएं \ (\ प्रारंभ (संरेखित) और 5x-9y = 38 \\ और 3x + 2y = 8 \\\ अंत (संरेखित) \ दाएं। \]

हम देखते हैं कि न तो $ x $ के लिए और न ही $ y $ के लिए गुणांक न केवल परस्पर विपरीत हैं, बल्कि आम तौर पर किसी अन्य समीकरण के साथ किसी भी तरह से संबंधित नहीं हैं। ये गुणांक किसी भी तरह से गायब नहीं होंगे, भले ही हम समीकरणों को एक दूसरे से जोड़ या घटा दें। इसलिए गुणन को लागू करना आवश्यक है। आइए $ y $ चर से छुटकारा पाने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से $ y $ पर गुणांक से गुणा करते हैं, और दूसरा समीकरण - पहले समीकरण से $ y $ पर, बिना चिह्न बदले। हम गुणा करते हैं और एक नई प्रणाली प्राप्त करते हैं:

\ [\ बाएं \ (\ प्रारंभ (संरेखित) और 10x-18y = 76 \\ और 27x + 18y = 72 \\\ अंत (संरेखित) \ दाएं। \]

हम इसे देखते हैं: $ y $ के लिए, विपरीत गुणांक। ऐसे में जरूरी है कि एडिशनल मेथड को लागू किया जाए। आइए जोड़ें:

अब हमें $ y $ खोजने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, पहली अभिव्यक्ति में $ x $ स्थानापन्न करें:

\ [- 9y = 18 \ बाएँ | : \ बाएँ (-9 \ दाएँ) \ दाएँ। \]

उत्तर: $ \ बाएँ (4; -2 \ दाएँ) $।

उदाहरण संख्या 2

\ [\ बाएं \ (\ प्रारंभ (संरेखित) और 11x + 4y = -18 \\ और 13x-6y = -32 \\\ अंत (संरेखित) \ दाएं। \]

फिर, किसी भी चर के गुणांक सुसंगत नहीं हैं। आइए गुणांकों द्वारा $ y $ पर गुणा करें:

\ [\ बाएँ \ (\ शुरू (संरेखित) और 11x + 4y = -18 \ बाएँ | 6 \ दाएँ। \\ और 13x-6y = -32 \ बाएँ | 4 \ दाएँ। \\\ अंत (संरेखित) \ दाएँ । \]

\ [\ बाएं \ (\ प्रारंभ (संरेखित) और 66x + 24y = -108 \\ और 52x-24y = -128 \\\ अंत (संरेखित) \ दाएं। \]

हमारी नई प्रणाली पिछले एक के बराबर है, लेकिन $ y $ के गुणांक परस्पर विपरीत हैं, और इसलिए यहां जोड़ विधि को लागू करना आसान है:

अब हम पहले समीकरण में $ x $ को प्रतिस्थापित करके $ y $ पाते हैं:

उत्तर: $ \ बाएँ (-2; 1 \ दाएँ) $।

समाधान की बारीकियां

यहां मुख्य नियम निम्नलिखित है: हम हमेशा केवल सकारात्मक संख्याओं से गुणा करते हैं - यह आपको बदलते संकेतों से जुड़ी मूर्खतापूर्ण और आक्रामक गलतियों से बचाएगा। सामान्य तौर पर, समाधान योजना काफी सरल है:

1. हम सिस्टम को देखते हैं और प्रत्येक समीकरण का विश्लेषण करते हैं।
2. यदि हम देखते हैं कि न तो $ y $ के लिए, न ही $ x $ के लिए गुणांक सुसंगत नहीं हैं, अर्थात। वे न तो बराबर हैं और न ही विपरीत, तो हम निम्न कार्य करते हैं: छुटकारा पाने के लिए चर चुनें, और फिर इन समीकरणों के गुणांक देखें। यदि हम पहले समीकरण को दूसरे से गुणांक से गुणा करते हैं, और दूसरा, क्रमशः, हम पहले से गुणांक से गुणा करते हैं, तो अंत में हमें एक प्रणाली मिलती है जो पूरी तरह से पिछले एक के बराबर होती है, और गुणांक $ के लिए y $ संगत होगा। हमारे सभी कार्यों या परिवर्तनों का उद्देश्य केवल एक चर को एक समीकरण में प्राप्त करना है।
3. हम एक चर पाते हैं।
4. हम पाए गए चर को सिस्टम के दो समीकरणों में से एक में प्रतिस्थापित करते हैं और दूसरा पाते हैं।
5. यदि हमारे पास चर $ x $ और $ y $ हैं, तो हम अंकों के निर्देशांक के रूप में उत्तर लिखते हैं।

लेकिन यहां तक ​​​​कि इस तरह के एक सरल एल्गोरिथ्म की अपनी सूक्ष्मताएं हैं, उदाहरण के लिए, $ x $ या $ y $ के गुणांक भिन्न और अन्य "बदसूरत" संख्या हो सकते हैं। अब हम इन मामलों पर अलग से विचार करेंगे, क्योंकि उनमें मानक एल्गोरिथम के अनुसार कुछ अलग तरीके से कार्य किया जा सकता है।

भिन्नात्मक संख्याओं के साथ समस्याओं का समाधान

उदाहरण संख्या 1

\ [\ बाएँ \ (\ प्रारंभ (संरेखित) और 4m-3n = 32 \\ और 0.8m + 2.5n = -6 \\\ अंत (संरेखित) \ दाएँ। \]

सबसे पहले, ध्यान दें कि दूसरे समीकरण में भिन्न हैं। लेकिन ध्यान दें कि आप $4 को $0.8 से भाग दे सकते हैं। हमें $ 5 $ मिलता है। आइए दूसरे समीकरण को $ 5 से गुणा करें:

\ [\ बाएँ \ (\ शुरू (संरेखित) और 4m-3n = 32 \\ और 4m + 12.5m = -30 \\\ अंत (संरेखित) \ दाएँ। \]

समीकरणों को एक दूसरे से घटाएं:

हमने $ n $ पाया, अब आइए $ m $ की गणना करें:

उत्तर: $ n = -4; एम = $ 5

उदाहरण संख्या 2

\ [\ बाएँ \ (\ शुरू (संरेखित) और 2.5p + 1.5k = -13 \ बाएँ | 4 \ दाएँ। \\ और 2p-5k = 2 \ बाएँ | 5 \ दाएँ। \\\ अंत (संरेखित करें) \ अधिकार। \]

यहां, पिछली प्रणाली की तरह, भिन्नात्मक गुणांक हैं, हालांकि, किसी भी चर के लिए, गुणांक एक दूसरे में पूर्णांक संख्या में फिट नहीं होते हैं। इसलिए, हम मानक एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं। $ पी $ से छुटकारा पाएं:

\ [\ बाएँ \ (\ शुरू (संरेखित) और 5p + 3k = -26 \\ और 5p-12,5k = 5 \\\ अंत (संरेखित) \ दाएँ। \]

हम घटाव विधि लागू करते हैं:

आइए $ k $ को दूसरे निर्माण में प्लग करके $ p $ खोजें:

उत्तर: $ पी = -4; के = -2 $।

समाधान की बारीकियां

वह संपूर्ण अनुकूलन है। पहले समीकरण में, हमने किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया, और दूसरे समीकरण को $ 5 $ से गुणा किया गया। नतीजतन, हमें पहले चर के लिए एक सुसंगत और समान समीकरण मिला। दूसरी प्रणाली में, हमने मानक एल्गोरिथम का पालन किया।

लेकिन आप उन संख्याओं का पता कैसे लगाते हैं जिनसे आपको समीकरणों को गुणा करने की आवश्यकता होती है? आखिरकार, यदि हम भिन्नात्मक संख्याओं से गुणा करते हैं, तो हमें नए भिन्न मिलते हैं। इसलिए, भिन्नों को एक संख्या से गुणा किया जाना चाहिए जो एक नया पूर्णांक देगा, और उसके बाद ही मानक एल्गोरिथम का पालन करते हुए, चर को गुणांक से गुणा किया जाना चाहिए।

अंत में, मैं आपका ध्यान प्रतिक्रिया रिकॉर्डिंग के प्रारूप की ओर आकर्षित करना चाहूंगा। जैसा कि मैंने पहले ही कहा है, चूंकि यहां हमारे पास $ x $ और $ y $ नहीं हैं, लेकिन अन्य मान हैं, हम फॉर्म के गैर-मानक नोटेशन का उपयोग करते हैं:

समीकरणों की जटिल प्रणालियों को हल करना

आज के वीडियो ट्यूटोरियल के अंतिम राग के रूप में, आइए कुछ वास्तव में जटिल प्रणालियों पर एक नज़र डालें। उनकी जटिलता इस तथ्य में शामिल होगी कि उनमें बाएं और दाएं चर शामिल होंगे। इसलिए, उन्हें हल करने के लिए, हमें प्री-प्रोसेसिंग लागू करनी होगी।

सिस्टम नंबर 1

\ [\ बाएँ \ (\ शुरू (संरेखित) और 3 \ बाएँ (2x-y \ दाएँ) + 5 = -2 \ बाएँ (x + 3y \ दाएँ) +4 \\ और 6 \ बाएँ (y + 1 \ दाएँ) ) -1 = 5 \ बाएँ (2x-1 \ दाएँ) +8 \\\ अंत (संरेखित करें) \ दाएँ। \]

प्रत्येक समीकरण में एक निश्चित मात्रा में जटिलता होती है। इसलिए, प्रत्येक व्यंजक के साथ, आइए एक सामान्य रेखीय रचना की तरह आगे बढ़ें।

कुल मिलाकर, हमें अंतिम प्रणाली मिलेगी, जो मूल प्रणाली के बराबर है:

\ [\ बाएं \ (\ प्रारंभ (संरेखित) और 8x + 3y = -1 \\ और -10x + 6y = -2 \\\ अंत (संरेखित) \ दाएं। \]

आइए $ y $ के लिए गुणांक देखें: $ 3 $ $ 6 $ में दो बार फिट बैठता है, इसलिए हम पहले समीकरण को $ 2 $ से गुणा करते हैं:

\ [\ बाएं \ (\ प्रारंभ (संरेखित) और 16x + 6y = -2 \\ और -10 + 6y = -2 \\\ अंत (संरेखित) \ दाएं। \]

$ y $ पर गुणांक अब बराबर हैं, इसलिए हम पहले समीकरण से दूसरे को घटाते हैं: $$

आइए अब $ y $ खोजें:

उत्तर: $ \ बाएँ (0; - \ frac (1) (3) \ दाएँ) $

सिस्टम नंबर 2

\ [\ बाएँ \ (\ शुरू (संरेखित) और 4 \ बाएँ (a-3b \ दाएँ) -2a = 3 \ बाएँ (b + 4 \ दाएँ) -11 \\ और -3 \ बाएँ (b-2a \ दाएँ) ) -12 = 2 \ बाएँ (a-5 \ दाएँ) + b \\\ अंत (संरेखित करें) \ दाएँ। \]

आइए पहली अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

हम दूसरे से निपटते हैं:

\ [- 3 \ बाएँ (b-2a \ दाएँ) -12 = 2 \ बाएँ (a-5 \ दाएँ) + b \]

\ [- 3b + 6a-12 = 2a-10 + b \]

\ [- 3बी + 6ए-2ए-बी = -10 + 12 \]

तो, हमारी प्रारंभिक प्रणाली इस तरह दिखेगी:

\ [\ बाएँ \ (\ प्रारंभ (संरेखित) और 2a-15b = 1 \\ और 4a-4b = 2 \\\ अंत (संरेखित) \ दाएँ। \]

$ a $ के गुणांकों को देखते हुए, हम देखते हैं कि पहले समीकरण को $ 2 $ से गुणा करने की आवश्यकता है:

\ [\ बाएँ \ (\ प्रारंभ (संरेखित) और 4a-30b = 2 \\ और 4a-4b = 2 \\\ अंत (संरेखित) \ दाएँ। \]

पहले निर्माण से दूसरा घटाएं:

आइए अब $a $ खोजें:

उत्तर: $ \ बाएँ (a = \ frac (1) (2); b = 0 \ दाएँ) $।

बस इतना ही। मुझे उम्मीद है कि यह वीडियो ट्यूटोरियल आपको इस कठिन विषय को समझने में मदद करेगा, अर्थात् सरल रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना। इस विषय पर बाद में कई और पाठ होंगे: हम अधिक जटिल उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे, जहां अधिक चर होंगे, और समीकरण स्वयं पहले से ही अरेखीय होंगे। अगली बार तक!

आमतौर पर सिस्टम के समीकरण एक के नीचे एक कॉलम में लिखे जाते हैं और एक घुंघराले ब्रेस के साथ संयुक्त होते हैं

इस रूप के समीकरणों की एक प्रणाली, जहां ए, बी, सी- संख्याएं, और एक्स, वाई- चर कहा जाता है रैखिक समीकरणों की प्रणाली.

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, उन गुणों का उपयोग किया जाता है जो समीकरणों को हल करने के लिए मान्य होते हैं।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान

आइए एक उदाहरण पर विचार करें

1) चर को किसी एक समीकरण में व्यक्त कीजिए। उदाहरण के लिए, हम व्यक्त करते हैं आपपहले समीकरण में, हमें सिस्टम मिलता है:

2) के बजाय सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें आपअभिव्यक्ति 3x-7:

3) हम परिणामी दूसरे समीकरण को हल करते हैं:

4) हम प्राप्त समाधान को सिस्टम के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है: संख्याओं की एक जोड़ी एक्स = 1, वाई = -4... उत्तर: (1; -4) , कोष्ठक में लिखा गया है, पहली स्थिति में मान एक्स, दूसरे पर - आप.

योग विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करना

आइए पिछले उदाहरण से समीकरणों की प्रणाली को हल करें जोड़ विधि द्वारा।

1) प्रणाली को रूपांतरित करें ताकि किसी एक चर के गुणांक विपरीत हो जाएं। आइए सिस्टम के पहले समीकरण को "3" से गुणा करें।

2) पद के अनुसार निकाय पद के समीकरणों को जोड़ें। सिस्टम का दूसरा समीकरण (कोई भी) बिना बदलाव के फिर से लिखा जाता है।

3) हम प्राप्त समाधान को सिस्टम के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल करना

दो चर वाले समीकरणों की एक प्रणाली का ग्राफिकल समाधान समीकरणों के ग्राफ के सामान्य बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए कम हो जाता है।

एक रैखिक फलन का आलेख एक सीधी रेखा है। एक समतल पर दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं, समानांतर या संपाती हो सकती हैं। तदनुसार, समीकरणों की प्रणाली निम्न कर सकती है: क) एक अद्वितीय समाधान हो सकता है; बी) कोई समाधान नहीं है; c) अनंत संख्या में समाधान हैं।

2) समीकरणों के निकाय का हल ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन का बिंदु (यदि समीकरण रैखिक हैं) है।

सिस्टम का ग्राफिक समाधान

नए चर पेश करने की विधि

चर बदलने से मूल प्रणाली की तुलना में समीकरणों की एक सरल प्रणाली को हल किया जा सकता है।

सिस्टम के समाधान पर विचार करें

हम एक प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं, फिर

मूल चर पर आगे बढ़ना

विशेष स्थितियां

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल किए बिना, संबंधित चर के लिए गुणांक द्वारा इसके समाधानों की संख्या निर्धारित की जा सकती है।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की प्रणालियों का समाधान निस्संदेह रैखिक बीजगणित पाठ्यक्रम का सबसे महत्वपूर्ण विषय है। गणित की सभी शाखाओं से बड़ी संख्या में समस्याएं रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए कम हो जाती हैं। ये कारक इस लेख को बनाने का कारण बताते हैं। लेख की सामग्री को चुना और संरचित किया जाता है ताकि इसकी मदद से आप कर सकें

• रैखिक बीजीय समीकरणों की अपनी प्रणाली को हल करने के लिए इष्टतम विधि चुनें,
• चुनी हुई विधि के सिद्धांत का अध्ययन करें,
• विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के विश्लेषण किए गए समाधानों पर विस्तार से विचार करके अपने रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें।

लेख सामग्री का संक्षिप्त विवरण।

सबसे पहले, हम सभी आवश्यक परिभाषाएँ और अवधारणाएँ देते हैं और संकेतन का परिचय देते हैं।

इसके बाद, हम रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधियों पर विचार करेंगे जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चरों की संख्या के बराबर होती है और जिनका एक अद्वितीय हल होता है। सबसे पहले, आइए हम क्रैमर की विधि पर ध्यान दें, दूसरा, समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए एक मैट्रिक्स विधि दिखाएं, और तीसरा, गॉस विधि (अज्ञात चर के क्रमिक उन्मूलन की विधि) का विश्लेषण करें। सिद्धांत को मजबूत करने के लिए, हम निश्चित रूप से कई SLAE को अलग-अलग तरीकों से हल करेंगे।

उसके बाद, हम सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों को हल करने वाले सिस्टम की ओर मुड़ते हैं, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स पतित है। आइए हम क्रोनकर - कैपेली प्रमेय तैयार करें, जो हमें SLAE की अनुकूलता स्थापित करने की अनुमति देता है। आइए हम मैट्रिक्स के मूल नाबालिग की अवधारणा का उपयोग करके सिस्टम के समाधान (उनकी संगतता के मामले में) का विश्लेषण करें। हम गॉस विधि पर भी विचार करेंगे और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से वर्णन करेंगे।

हम निश्चित रूप से रैखिक बीजगणितीय समीकरणों के सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के सामान्य समाधान की संरचना पर ध्यान देंगे। आइए हम समाधान की एक मौलिक प्रणाली की अवधारणा दें और दिखाएं कि समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर का उपयोग करके SLAE का सामान्य समाधान कैसे लिखा जाता है। बेहतर समझ के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें।

अंत में, हम समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करते हैं जो रैखिक वाले, साथ ही साथ विभिन्न समस्याओं को कम करते हैं, जिसके समाधान में SLAE उत्पन्न होते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

परिभाषाएँ, अवधारणाएँ, पदनाम।

हम n अज्ञात चर वाले p रैखिक बीजगणितीय समीकरणों के निकाय पर विचार करेंगे (p, n के बराबर हो सकता है)

अज्ञात चर, - गुणांक (कुछ वास्तविक या जटिल संख्याएं), - मुक्त शब्द (वास्तविक या जटिल संख्याएं भी)।

SLAE संकेतन के इस रूप को कहा जाता है समन्वय.

वी मैट्रिक्स फॉर्मसंकेतन, समीकरणों की इस प्रणाली का रूप है,
कहाँ पे - सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर का मैट्रिक्स-कॉलम, - मुक्त सदस्यों का मैट्रिक्स-कॉलम।

यदि हम मैट्रिक्स A में (n + 1) वें कॉलम को फ्री टर्म्स के मैट्रिक्स-कॉलम के रूप में जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली। आमतौर पर विस्तारित मैट्रिक्स को टी अक्षर से दर्शाया जाता है, और मुक्त सदस्यों के कॉलम को बाकी कॉलम से एक लंबवत रेखा से अलग किया जाता है, यानी,

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करकेअज्ञात चर के मूल्यों का एक समूह है जो सिस्टम के सभी समीकरणों को पहचान में परिवर्तित करता है। अज्ञात चर के दिए गए मानों के लिए मैट्रिक्स समीकरण भी एक पहचान में बदल जाता है।

यदि समीकरणों के किसी निकाय का कम से कम एक हल हो, तो उसे कहते हैं संयुक्त.

यदि समीकरणों के निकाय का कोई हल नहीं है, तो इसे कहते हैं असंगत.

यदि SLAE का एक अनूठा समाधान है, तो इसे कहा जाता है एक निश्चित; एक से अधिक उपाय हो तो - अपरिभाषित.

यदि निकाय के सभी समीकरणों के मुक्त पद शून्य के बराबर हों , तो सिस्टम कहा जाता है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों का समाधान।

यदि सिस्टम के समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर है और इसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो ऐसे SLAE कहलाते हैं प्राथमिक... समीकरणों की ऐसी प्रणालियों का एक अनूठा समाधान होता है, और एक सजातीय प्रणाली के मामले में सभी अज्ञात चर शून्य के बराबर होते हैं।

हमने हाई स्कूल में ऐसे SLAE का अध्ययन करना शुरू किया। उन्हें हल करते समय, हमने एक समीकरण लिया, एक अज्ञात चर को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त किया और इसे शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, फिर हमने अगला समीकरण लिया, अगले अज्ञात चर को व्यक्त किया और इसे अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, और इसी तरह। या उन्होंने जोड़ की विधि का इस्तेमाल किया, यानी उन्होंने कुछ अज्ञात चर को खत्म करने के लिए दो या दो से अधिक समीकरण जोड़े। हम इन विधियों पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे, क्योंकि वे वास्तव में गॉस पद्धति के संशोधन हैं।

रेखीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों को हल करने की मुख्य विधियाँ क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि और गॉस विधि हैं। आइए उनका विश्लेषण करें।

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना।

मान लीजिए हमें रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चरों की संख्या के बराबर होती है और निकाय के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक अशून्य होता है, अर्थात्।

आज्ञा देना प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक बनें, और - मैट्रिक्स के निर्धारक, जो ए से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किए जाते हैं पहला, दूसरा, ..., nthकॉलम, क्रमशः, मुक्त सदस्यों के कॉलम में:

इस संकेतन के साथ, अज्ञात चर की गणना क्रैमर की विधि के सूत्रों द्वारा की जाती है: ... इस प्रकार क्रैमर विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों के निकाय का हल ज्ञात किया जाता है।

उदाहरण।

क्रैमर की विधि .

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है ... आइए इसके निर्धारक की गणना करें (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

चूंकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है, सिस्टम का एक अनूठा समाधान है जिसे क्रैमर की विधि द्वारा पाया जा सकता है।

आइए हम आवश्यक निर्धारकों की रचना और गणना करें (निर्धारक मैट्रिक्स ए में पहले कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है, निर्धारक - दूसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर, - मैट्रिक्स ए के तीसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। ):

सूत्रों द्वारा अज्ञात चर खोजें :

उत्तर:

क्रैमर की विधि का मुख्य दोष (यदि इसे एक दोष कहा जा सकता है) निर्धारकों की गणना की जटिलता है जब सिस्टम में समीकरणों की संख्या तीन से अधिक होती है।

मैट्रिक्स विधि (उलटा मैट्रिक्स का उपयोग करके) द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करना।

मान लीजिए रैखिक बीजीय समीकरणों का निकाय मैट्रिक्स रूप में दिया गया है, जहाँ मैट्रिक्स A का आयाम n बटा n है और इसका सारणिक अशून्य है।

चूँकि, आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है, अर्थात् एक प्रतिलोम आव्यूह है। यदि हम समानता के दोनों पक्षों को बाईं ओर से गुणा करते हैं, तो हमें अज्ञात चर के कॉलम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक सूत्र मिलता है। तो हमें मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान मिला।

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें मैट्रिक्स विधि।

समाधान।

आइए मैट्रिक्स रूप में समीकरणों की प्रणाली को फिर से लिखें:

चूंकि

तब SLAE को मैट्रिक्स विधि द्वारा हल किया जा सकता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके, इस प्रणाली का समाधान इस प्रकार पाया जा सकता है .

आइए मैट्रिक्स ए के तत्वों के बीजगणितीय पूरक के मैट्रिक्स का उपयोग करके एक व्यस्त मैट्रिक्स का निर्माण करें (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

यह गणना करना बाकी है - व्युत्क्रम मैट्रिक्स को गुणा करके अज्ञात चर का मैट्रिक्स मुक्त सदस्यों के कॉलम मैट्रिक्स में (यदि आवश्यक हो तो लेख देखें):

उत्तर:

या किसी अन्य संकेतन में x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों का समाधान खोजने में मुख्य समस्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की जटिलता है, विशेष रूप से तीसरे से अधिक कोटि के वर्ग मैट्रिक्स के लिए।

गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का समाधान।

मान लीजिए कि हमें n अज्ञात चरों वाले n रैखिक समीकरणों के निकाय का हल खोजने की आवश्यकता है
मुख्य आव्यूह का निर्धारक, जिसका शून्येतर नहीं है।

गॉस विधि का सारअज्ञात चर के क्रमिक उन्मूलन में शामिल हैं: पहले, x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर रखा जाता है, दूसरे से शुरू होता है, फिर x 2 को सभी समीकरणों से बाहर रखा जाता है, तीसरे से शुरू होता है, और इसी तरह, केवल अज्ञात चर तक। xn अंतिम समीकरण में रहता है। अज्ञात चरों के क्रमिक विलोपन के लिए निकाय के समीकरणों को बदलने की ऐसी प्रक्रिया कहलाती है गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम द्वारा... गॉस विधि के फॉरवर्ड रन को पूरा करने के बाद, पिछले समीकरण से x n पाया जाता है, इस मान का उपयोग करके x n-1 की गणना अंतिम समीकरण से की जाती है, और इसी तरह, पहले समीकरण से x 1 पाया जाता है। सिस्टम के अंतिम समीकरण से प्रथम में जाने पर अज्ञात चरों की गणना करने की प्रक्रिया कहलाती है पिछड़ी गाऊसी विधि.

आइए अज्ञात चर को समाप्त करने के लिए एल्गोरिथ्म का संक्षेप में वर्णन करें।

हम मान लेंगे कि, चूंकि हम हमेशा सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे प्राप्त कर सकते हैं। दूसरे से शुरू करते हुए, सिस्टम के सभी समीकरणों से अज्ञात चर x 1 को हटा दें। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के दूसरे समीकरण में हम पहले जोड़ते हैं, से गुणा करते हैं, तीसरे समीकरण में हम पहले जोड़ते हैं, गुणा करते हैं, और इसी तरह, n-वें समीकरण में हम पहले जोड़ते हैं, गुणा करते हैं। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली रूप लेती है

और कहां .

हम उसी परिणाम पर आएंगे यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 व्यक्त करते हैं और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम एक समान तरीके से कार्य करते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के एक भाग के साथ, जो कि चित्र में अंकित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण में हम दूसरे को गुणा करते हैं, चौथे समीकरण में हम दूसरे को गुणा करते हैं, और इसी तरह, n-वें समीकरण में हम दूसरे को गुणा करते हैं। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली रूप लेती है

और कहां ... इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम अज्ञात x 3 के उन्मूलन के लिए आगे बढ़ते हैं, जबकि हम इसी तरह से सिस्टम के उस हिस्से के साथ कार्य करते हैं जो चित्र में चिह्नित है

इसलिए हम गॉस पद्धति के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से, हम गॉस विधि का रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं: हम अंतिम समीकरण से xn की गणना करते हैं, जैसे कि xn के प्राप्त मान का उपयोग करके, हम x n-1 को अंतिम समीकरण से पाते हैं, और इसी तरह, हम x 1 से पाते हैं पहला समीकरण।

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें गॉस विधि द्वारा।

समाधान।

सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात चर x 1 को हटा दें। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण के संगत भागों को दूसरे और तीसरे समीकरण के दोनों पक्षों से गुणा करके जोड़ें:

अब हम x 2 को तीसरे समीकरण से इसके बाएँ और दाएँ पक्षों में दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को जोड़कर, गुणा करते हैं:

इस बिंदु पर, गॉस विधि का आगे बढ़ना समाप्त हो गया है, हम रिवर्स चाल शुरू करते हैं।

परिणामी समीकरण प्रणाली के अंतिम समीकरण से, हम x 3 पाते हैं:

दूसरे समीकरण से हम प्राप्त करते हैं।

पहले समीकरण से, हम शेष अज्ञात चर पाते हैं और यह गॉस विधि के विपरीत पाठ्यक्रम को पूरा करता है।

उत्तर:

एक्स 1 = 4, एक्स 2 = 0, एक्स 3 = -1।

सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों का समाधान।

सामान्य स्थिति में, सिस्टम p में समीकरणों की संख्या अज्ञात चर n की संख्या के साथ मेल नहीं खाती:

ऐसे SLAE के पास कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक ही समाधान हो सकता है, या असीम रूप से कई समाधान हो सकते हैं। यह कथन समीकरणों की प्रणालियों पर भी लागू होता है, जिसका मूल मैट्रिक्स वर्गाकार और पतित है।

क्रोनकर - कैपेली प्रमेय।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजने से पहले, इसकी संगतता स्थापित करना आवश्यक है। SLAE कब संगत है और कब असंगत है, इस प्रश्न का उत्तर किसके द्वारा दिया गया है क्रोनकर - कैपेली प्रमेय:
एन अज्ञात के साथ पी समीकरणों की एक प्रणाली के लिए (पी एन के बराबर हो सकता है) सुसंगत होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर हो, यानी रैंक (ए) = रैंक (टी)।

आइए उदाहरण के तौर पर क्रोनकर - कैपेली प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें जो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की अनुकूलता को निर्धारित करता है।

उदाहरण।

पता लगाएँ कि क्या रैखिक समीकरणों की प्रणाली समाधान।

समाधान।

... आइए सीमावर्ती नाबालिग विधि का उपयोग करें। दूसरे क्रम के नाबालिग शून्येतर आइए इसकी सीमा से लगे तीसरे क्रम के नाबालिगों को सुलझाएं:

चूंकि तीसरे क्रम के सभी सीमावर्ती नाबालिग शून्य के बराबर हैं, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दो है।

बदले में, विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक तीसरे क्रम के नाबालिग के बाद से तीन के बराबर है

शून्येतर

इस तरह, रंग (ए), इसलिए, क्रोनकर - कैपेली प्रमेय द्वारा, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली असंगत है।

उत्तर:

सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

इसलिए, हमने क्रोनकर - कैपेली प्रमेय का उपयोग करके सिस्टम की असंगति को स्थापित करना सीख लिया है।

लेकिन अगर किसी SLAE की अनुकूलता स्थापित हो गई है तो उसका समाधान कैसे खोजा जाए?

ऐसा करने के लिए, हमें एक मैट्रिक्स के बुनियादी नाबालिग की अवधारणा और एक मैट्रिक्स के रैंक पर एक प्रमेय की आवश्यकता है।

शून्य के अलावा मैट्रिक्स A के उच्चतम क्रम के माइनर को कहा जाता है बुनियादी.

यह एक बुनियादी नाबालिग की परिभाषा से इस प्रकार है कि इसका क्रम मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है। एक गैर-शून्य मैट्रिक्स ए के लिए, कई बुनियादी नाबालिग हो सकते हैं; हमेशा एक बुनियादी नाबालिग होता है।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें .

इस मैट्रिक्स के सभी तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं, क्योंकि इस मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति के तत्व पहली और दूसरी पंक्तियों के संबंधित तत्वों का योग हैं।

निम्नलिखित दूसरे क्रम के नाबालिग बुनियादी हैं, क्योंकि वे गैर-शून्य हैं

नाबालिगों बुनियादी नहीं हैं, क्योंकि वे शून्य के बराबर हैं।

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय।

यदि क्रम p ब n के मैट्रिक्स का रैंक r के बराबर है, तो मैट्रिक्स की पंक्तियों (और कॉलम) के सभी तत्व जो चयनित मूल नाबालिग नहीं बनाते हैं, पंक्तियों के संबंधित तत्वों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं ( और कॉलम) जो मूल नाबालिग बनाते हैं।

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय हमें क्या देता है?

यदि, क्रोनकर - कैपेली प्रमेय द्वारा, हमने सिस्टम की संगतता स्थापित की है, तो हम सिस्टम के मूल मैट्रिक्स के किसी भी मूल नाबालिग को चुनते हैं (इसका क्रम आर है), और हम सिस्टम से उन सभी समीकरणों को बाहर करते हैं जो नहीं बनाते हैं चयनित मूल नाबालिग। इस तरह से प्राप्त SLAE मूल के बराबर होगा, क्योंकि छोड़े गए समीकरण अभी भी बेमानी हैं (मैट्रिक्स रैंक प्रमेय के अनुसार, वे शेष समीकरणों का एक रैखिक संयोजन हैं)।

नतीजतन, सिस्टम के अनावश्यक समीकरणों को त्यागने के बाद, दो मामले संभव हैं।

यदि परिणामी प्रणाली में समीकरणों की संख्या अज्ञात चरों की संख्या के बराबर है, तो यह निश्चित होगा और क्रैमर की विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस की विधि द्वारा एकमात्र समाधान पाया जा सकता है।

उदाहरण।

.

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है, क्योंकि दूसरा क्रम छोटा है शून्येतर विस्तारित मैट्रिक्स रैंक भी दो के बराबर है, क्योंकि तीसरे क्रम का एकमात्र नाबालिग शून्य के बराबर है

और ऊपर माना गया दूसरा क्रम नाबालिग गैर-शून्य है। क्रोनकर - कैपेली प्रमेय के आधार पर, हम रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली की संगतता पर जोर दे सकते हैं, क्योंकि रैंक (ए) = रैंक (टी) = 2।

हम एक बुनियादी नाबालिग के रूप में लेते हैं ... यह पहले और दूसरे समीकरणों के गुणांकों द्वारा बनता है:


सिस्टम का तीसरा समीकरण मूल नाबालिग के गठन में भाग नहीं लेता है, इसलिए, हम इसे मैट्रिक्स के रैंक पर प्रमेय के आधार पर सिस्टम से बाहर कर देते हैं:


इस प्रकार हमें रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रारंभिक प्रणाली प्राप्त हुई। आइए इसे क्रैमर विधि का उपयोग करके हल करें:


उत्तर:

एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 2।

यदि प्राप्त SLAE में समीकरण r की संख्या अज्ञात चर n की संख्या से कम है, तो समीकरणों के बाएँ हाथ में हम मूल माइनर बनाने वाले पदों को छोड़ देते हैं, शेष पदों को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है- विपरीत चिह्न के साथ प्रणाली के समीकरणों के हाथ पक्ष।

अज्ञात चर (उनमें से r हैं) समीकरणों के बाएँ हाथ में शेष हैं, कहलाते हैं मुख्य.

अज्ञात चर (इसमें n - r टुकड़े होते हैं) जो दायीं ओर दिखाई देते हैं, कहलाते हैं नि: शुल्क.

अब हम मान लेते हैं कि मुक्त अज्ञात चर मनमाना मान ले सकते हैं, और r मूल अज्ञात चर एक अनूठे तरीके से मुक्त अज्ञात चर के रूप में व्यक्त किए जाएंगे। उनकी अभिव्यक्ति प्राप्त SLAE को Cramer विधि द्वारा, मैट्रिक्स विधि द्वारा, या गॉस विधि द्वारा हल करके पाई जा सकती है।

आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण।

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें .

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक पाएं नाबालिगों को सीमाबद्ध करने की विधि द्वारा। हम 1 1 = 1 को गैर-शून्य प्रथम-क्रम नाबालिग के रूप में लेते हैं। आइए एक गैर-शून्य द्वितीय-क्रम नाबालिग की तलाश शुरू करें जो इस नाबालिग को घेर ले:


इस तरह से हमें एक गैर-शून्य द्वितीय-क्रम नाबालिग मिला। आइए एक तीसरे क्रम के गैर-शून्य सीमावर्ती नाबालिग की तलाश शुरू करें:


इस प्रकार, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक तीन है। विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक भी तीन है, यानी सिस्टम सुसंगत है।

हम पाए गए गैर-शून्य तृतीय-क्रम नाबालिग को मूल के रूप में लेते हैं।

स्पष्टता के लिए, हम उन तत्वों को दिखाते हैं जो मूल नाबालिग बनाते हैं:


हम सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर मूल नाबालिग में भाग लेने वाले शब्दों को छोड़ देते हैं, बाकी को विपरीत संकेतों के साथ दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:


आइए हम मुक्त अज्ञात चर x 2 और x 5 के लिए मनमाना मान निर्दिष्ट करते हैं, अर्थात, हम लेते हैं , जहां मनमानी संख्याएं हैं। इस मामले में, SLAE फॉर्म लेगा


रैखिक बीजीय समीकरणों की परिणामी प्रारंभिक प्रणाली को क्रैमर विधि द्वारा हल किया जाता है:


इसलिये, ।

अपने उत्तर में मुक्त अज्ञात चरों को इंगित करना न भूलें।

उत्तर:

मनमानी संख्या कहां हैं।

संक्षेप।

सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, हम पहले क्रोनकर - कैपेली प्रमेय का उपयोग करके इसकी संगतता का पता लगाते हैं। यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर नहीं है, तो हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सिस्टम असंगत है।

यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, तो हम मूल नाबालिग को चुनते हैं और सिस्टम के समीकरणों को त्याग देते हैं जो चयनित मूल नाबालिग के गठन में भाग नहीं लेते हैं।

यदि मूल नाबालिग का क्रम अज्ञात चरों की संख्या के बराबर है, तो SLAE का एक अनूठा समाधान है, जिसे हम किसी भी ज्ञात विधि से पाते हैं।

यदि मूल नाबालिग का क्रम अज्ञात चर की संख्या से कम है, तो सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर हम मूल अज्ञात चर के साथ शर्तों को छोड़ देते हैं, शेष शब्दों को दाएं हाथ में स्थानांतरित करते हैं और मुक्त अज्ञात चरों को मनमाना मान दें। रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली से, हम क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा मुख्य अज्ञात चर पाते हैं।

सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि।

गॉस विधि का उपयोग किसी भी प्रकार के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है, बिना पहले संगतता के लिए उनकी जांच किए। अज्ञात चरों के क्रमिक उन्मूलन की प्रक्रिया SLAE की संगतता और असंगति दोनों को समाप्त करना संभव बनाती है, और यदि कोई समाधान मौजूद है, तो यह उसे खोजना संभव बनाता है।

कम्प्यूटेशनल कार्य के दृष्टिकोण से, गाऊसी पद्धति बेहतर है।

सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस की विधि लेख में इसका विस्तृत विवरण और विश्लेषण उदाहरण देखें।

समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर का उपयोग करके सजातीय और अमानवीय रैखिक बीजगणितीय प्रणालियों के सामान्य समाधान लिखना।

इस खंड में, हम अनंत समाधान के साथ रैखिक बीजीय समीकरणों की संगत सजातीय और अमानवीय प्रणालियों पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

आइए पहले हम सजातीय प्रणालियों से निपटें।

मौलिक निर्णय प्रणाली n अज्ञात चरों के साथ p रैखिक बीजीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली इस प्रणाली के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का सेट (n - r) है, जहां r सिस्टम के मूल मैट्रिक्स के मूल नाबालिग का क्रम है।

यदि हम एक सजातीय SLAE के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों को X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) के रूप में निरूपित करते हैं, तो n-by-1 हैं। कॉलम मैट्रिसेस) , तो इस सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान को मनमाने ढंग से निरंतर गुणांक 1, 2, ..., (nr) के साथ समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है, अर्थात ,।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (ओरोस्लाऊ) की एक सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान का क्या अर्थ है?

अर्थ सरल है: सूत्र मूल SLAE के सभी संभावित समाधानों को निर्दिष्ट करता है, दूसरे शब्दों में, हम सूत्र के अनुसार मनमाना स्थिरांक 1, 2, ..., (nr) के मानों का कोई भी सेट लेते हैं। मूल सजातीय SLAE के समाधानों में से एक प्राप्त करें।

इस प्रकार, यदि हम समाधान की एक मौलिक प्रणाली पाते हैं, तो हम इस सजातीय SLAE के सभी समाधानों को इस रूप में सेट कर सकते हैं।

आइए हम सजातीय SLAE के समाधान की एक मूलभूत प्रणाली के निर्माण की प्रक्रिया को प्रदर्शित करें।

हम रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली के मूल नाबालिग को चुनते हैं, सिस्टम से अन्य सभी समीकरणों को बाहर करते हैं, और सभी शर्तों को मुक्त अज्ञात चर वाले सिस्टम के समीकरणों के दाहिने हाथ में विपरीत संकेतों के साथ स्थानांतरित करते हैं। आइए हम मुक्त अज्ञात चर को मान 1,0,0, ..., 0 देते हैं और किसी भी तरह से रैखिक समीकरणों की परिणामी प्राथमिक प्रणाली को हल करके मूल अज्ञात की गणना करते हैं, उदाहरण के लिए, क्रैमर की विधि द्वारा। यह एक्स (1) देगा - मौलिक प्रणाली का पहला समाधान। यदि हम मुक्त अज्ञात को 0,1,0,0, ..., 0 मान देते हैं और मुख्य अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (2) मिलता है। आदि। यदि हम मुक्त अज्ञात चरों को 0.0, ..., 0.1 मान देते हैं और मूल अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (n-r) प्राप्त होता है। इस प्रकार एक सजातीय SLAE के समाधान की मूलभूत प्रणाली का निर्माण किया जाएगा और इसका सामान्य समाधान फॉर्म में लिखा जा सकता है।

रैखिक बीजीय समीकरणों की अमानवीय प्रणालियों के लिए, सामान्य समाधान को रूप में दर्शाया जाता है, जहां संबंधित सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान होता है, और मूल अमानवीय SLAE का विशेष समाधान होता है, जिसे हम मुक्त अज्ञात को मान देकर प्राप्त करते हैं। 0,0, ..., 0 और मुख्य अज्ञात के मूल्यों की गणना।

आइए उदाहरणों पर एक नज़र डालें।

उदाहरण।

समाधान की मौलिक प्रणाली और रैखिक बीजीय समीकरणों की सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान का पता लगाएं .

समाधान।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियों के मुख्य मैट्रिक्स का रैंक हमेशा विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर होता है। आइए हम सीमावर्ती नाबालिग विधि द्वारा मुख्य मैट्रिक्स की रैंक पाएं। गैर-शून्य प्रथम-क्रम नाबालिग के रूप में, हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के तत्व को 1 1 = 9 लेते हैं। एक सीमावर्ती गैर-शून्य द्वितीय-क्रम नाबालिग खोजें:

एक गैर-शून्य द्वितीय-क्रम नाबालिग पाया गया है। आइए गैर-शून्य की तलाश में इसकी सीमा से लगे तीसरे क्रम के नाबालिगों पर पुनरावृति करें:

तीसरे क्रम के सभी सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर हैं, इसलिए, मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है। एक बुनियादी नाबालिग के रूप में लें। स्पष्टता के लिए, हम सिस्टम के उन तत्वों पर ध्यान देते हैं जो इसे बनाते हैं:

मूल SLAE का तीसरा समीकरण मूल नाबालिग के गठन में भाग नहीं लेता है, इसलिए, इसे बाहर रखा जा सकता है:

हम समीकरणों के दाईं ओर मुख्य अज्ञात वाले पदों को छोड़ते हैं, और दाईं ओर हम मुक्त अज्ञात के साथ शब्दों को स्थानांतरित करते हैं:

आइए हम रैखिक समीकरणों की मूल सजातीय प्रणाली के समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करें। इस SLAE के समाधान की मूलभूत प्रणाली में दो समाधान होते हैं, क्योंकि मूल SLAE में चार अज्ञात चर होते हैं, और इसके मूल नाबालिग का क्रम दो होता है। एक्स (1) को खोजने के लिए, हम मुक्त अज्ञात चर को मान x 2 = 1, x 4 = 0 निर्दिष्ट करते हैं, फिर हम समीकरणों की प्रणाली से मुख्य अज्ञात पाते हैं
.

रेखीय समीकरण - a x = b के रूप का एक समीकरण, जहाँ x एक चर है, a और b कुछ संख्याएँ हैं, और a 0 है।

रैखिक समीकरणों के उदाहरण:

1. 3 एक्स = 2

1. 2 7 एक्स = - 5

रैखिक समीकरणों को न केवल x = b के रूप के समीकरण कहा जाता है, बल्कि किसी भी समीकरण को, जो परिवर्तनों और सरलीकरणों का उपयोग करके इस रूप में घटाया जाता है।

उन समीकरणों को कैसे हल करें जो a x = b के रूप में कम हो जाते हैं? यह समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को मान a से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है। परिणामस्वरूप, हमें उत्तर मिलता है: x = b a।

कैसे बताएं कि एक मनमाना समीकरण रैखिक है या नहीं? इसमें मौजूद वेरिएबल पर ध्यान देना जरूरी है। यदि उच्चतम डिग्री जिसमें चर खड़ा है, एक के बराबर है, तो ऐसा समीकरण एक रैखिक समीकरण है।

रैखिक समीकरण को हल करने के लिए , कोष्ठक (यदि कोई हो) खोलना आवश्यक है, "x" को बाईं ओर, संख्याओं को दाईं ओर स्थानांतरित करें, और समान शब्द लाएं। आपको a x = b के रूप का समीकरण प्राप्त होता है। इस रैखिक समीकरण का हल: x = b a.

रैखिक समीकरणों को हल करने के उदाहरण:

1. 2 एक्स + 1 = 2 (एक्स - 3) + 8

यह एक रैखिक समीकरण है क्योंकि चर प्रथम घात में है।

आइए इसे x = b के रूप में बदलने का प्रयास करें:

सबसे पहले, कोष्ठक का विस्तार करें:

2 एक्स + 1 = 4 एक्स - 6 + 8

x वाले सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, संख्याएँ दाईं ओर:

2 एक्स - 4 एक्स = 2 - 1

अब बाएँ और दाएँ पक्षों को संख्या (-2) से विभाजित करते हैं:

- 2 x - 2 = 1 - 2 = - 1 2 = - 0.5

उत्तर: x = - 0.5

1. एक्स 2 - 1 = 0

यह समीकरण एक रैखिक समीकरण नहीं है, क्योंकि उच्चतम घात जिसमें चर x खड़ा है, दो है।

1. एक्स (एक्स + 3) - 8 = एक्स - 1

यह समीकरण पहली नज़र में रैखिक दिखता है, लेकिन कोष्ठक का विस्तार करने के बाद, उच्चतम डिग्री दो के बराबर हो जाती है:

एक्स 2 + 3 एक्स - 8 = एक्स - 1

यह समीकरण एक रैखिक समीकरण नहीं है।

विशेष स्थितियां(ओजीई के कार्य 4 में वे नहीं मिले, लेकिन उन्हें जानना उपयोगी है)

उदाहरण:

1. 2 एक्स - 4 = 2 (एक्स - 2)

2 एक्स - 4 = 2 एक्स - 4

2 एक्स - 2 एक्स = - 4 + 4

और अगर यह नहीं है तो आप यहां x को कैसे ढूंढते हैं? परिवर्तन करने के बाद, हमें सही समानता (पहचान) मिली, जो चर x के मान पर निर्भर नहीं करती है। x का जो भी मान हम मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, परिणाम हमेशा सही समानता (पहचान) होता है। अत: x कोई भी संख्या हो सकती है। आइए इस रैखिक समीकरण का उत्तर लिखें।

उत्तर: x (- ∞; + )

1. 2 एक्स - 4 = 2 (एक्स - 8)

यह एक रैखिक समीकरण है। आइए कोष्ठक खोलें, Xs को बाईं ओर, संख्याओं को दाईं ओर ले जाएँ:

2 एक्स - 4 = 2 एक्स - 16

2 एक्स - 2 एक्स = - 16 + 4

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, x कम हो गया था, लेकिन अंत में हमें एक गलत समानता मिली, क्योंकि। x का जो भी मान हम मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, परिणाम हमेशा एक गलत समानता होगा। इसका अर्थ यह है कि x का कोई भी ऐसा मान नहीं है जिसके लिए समानता सत्य हो जाए। आइए इस रैखिक समीकरण का उत्तर लिखें।

उत्तर: एक्स

द्विघातीय समीकरण

द्विघात समीकरण - a x 2 + b x + c = 0 के रूप का एक समीकरण, जहाँ x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएँ हैं, और a 0।

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. कोष्ठक का विस्तार करें, सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ ताकि समीकरण ऐसा दिखे: a x 2 + b x + c = 0
2. लिखिए कि संख्याओं में गुणांक किसके बराबर हैं: a =… b =… c =…
3. सूत्र द्वारा विभेदक की गणना करें: डी = बी 2 - 4 ए सी
4. यदि D> 0, तो दो भिन्न मूल होंगे, जो सूत्र द्वारा ज्ञात किए जाते हैं: x 1,2 = - b ± D 2 a
5. यदि D = 0 है, तो एक मूल होगा, जो सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: x = - b 2 a
6. अगर डी< 0, решений нет: x ∈ ∅

द्विघात समीकरण को हल करने के उदाहरण:

1. - एक्स 2 + 6 एक्स + 7 = 0

ए = - 1, बी = 6, सी = 7

डी = बी 2 - 4 ए सी = 6 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

डी> 0 - दो अलग-अलग जड़ें होंगी:

एक्स 1,2 = - बी ± डी 2 ए = - 6 ± 64 2 ⋅ (- 1) = - 6 ± 8 - 2 = [- 6 + 8 - 2 = 2 - 2 = - 1 - 6 - 8 - 2 = - 14 - 2 = 7

उत्तर: x 1 = - 1, x 2 = 7

1. - एक्स 2 + 4 एक्स - 4 = 0

ए = - 1, बी = 4, सी = - 4

डी = बी 2 - 4 ए सी = 4 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ (- 4) = 16 - 16 = 0

डी = 0 - एक जड़ होगी:

एक्स = - बी 2 ए = - 4 2 (- 1) = - 4 - 2 = 2

उत्तर: एक्स = 2

1. 2 x 2 - 7 x + 10 = 0

ए = 2, बी = - 7, सी = 10

डी = बी 2 - 4 ए सी = (- 7) 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 - 80 = - 31

डी< 0 – решений нет.

उत्तर: एक्स

वे भी हैं अपूर्ण द्विघात समीकरण (ये द्विघात समीकरण हैं जिनके लिए या तो b = 0, या c = 0, या b = c = 0) हैं। इस तरह के द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके पर वीडियो देखें!

एक वर्ग ट्रिनोमियल फैक्टरिंग

वर्ग त्रिपद को निम्न प्रकार से गुणनखंडित किया जा सकता है:

ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = ए ⋅ (एक्स - एक्स 1) ⋅ (एक्स - एक्स 2)

जहाँ a एक संख्या है, उच्चतम गुणांक से पहले एक गुणांक है,

x एक चर है (अर्थात एक अक्षर),

x 1 और x 2 संख्याएँ हैं, द्विघात समीकरण a x 2 + b x + c = 0 के मूल हैं, जो विवेचक के माध्यम से पाए जाते हैं।

यदि द्विघात समीकरण का केवल एक मूल है, तो विस्तार इस तरह दिखता है:

ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = ए (एक्स - एक्स 0) 2

एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड के उदाहरण:

1. - x 2 + 6 x + 7 = 0 x 1 = - 1, x 2 = 7

- x 2 + 6 x + 7 = (- 1) ⋅ (x - (- 1)) (x - 7) = - (x + 1) (x - 7) = (x + 1) (7 - x)

1. - एक्स 2 + 4 एक्स - 4 = 0; ⇒ एक्स 0 = 2

- x 2 + 4 x - 4 = (- 1) ⋅ (x - 2) 2 = - (x - 2) 2

यदि वर्ग त्रिपद अधूरा है, ((b = 0 या c = 0) तो इसे निम्नलिखित तरीकों से गुणनखंडित किया जा सकता है:

• सी = 0 ए एक्स 2 + बी एक्स = एक्स (ए एक्स + बी)

• b = 0 वर्गों के अंतर के लिए आवेदन करें।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण

मान लीजिए f (x) और g (x) चर x के आधार पर कुछ फलन हैं।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण f (x) g (x) = 0 के रूप का एक समीकरण है।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए, किसी को यह याद रखना चाहिए कि ODD क्या है और यह कब उत्पन्न होता है।

ओडीजेड- चर के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा।

f (x) g (x) = 0 . के रूप के व्यंजक में

ODZ: g (x) 0 (अंश का हर शून्य नहीं हो सकता)।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

1. ओडीजेड लिखें: जी (एक्स) 0।
2. भिन्न के अंश को शून्य f (x) = 0 पर सेट करें और मूल ज्ञात करें।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का एक उदाहरण:

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण x 2 - 4 2 - x = 1 को हल कीजिए।

समाधान:

हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करेंगे।

1. व्यंजक को f (x) g (x) = 0 के रूप में कम करें।

हम एक को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, दोनों शब्दों को एक सामान्य भाजक में लाने के लिए इसमें एक अतिरिक्त कारक लिखते हैं:

एक्स 2 - 4 2 - एक्स - 1 \ 2 - एक्स = 0

एक्स 2 - 4 2 - एक्स - 2 - एक्स 2 - एक्स = 0

एक्स 2 - 4 - (2 - एक्स) 2 - एक्स = 0

एक्स 2 - 4 - 2 + एक्स 2 - एक्स = 0

एक्स 2 + एक्स - 6 2 - एक्स = 0

एल्गोरिथम का पहला चरण सफलतापूर्वक पूरा कर लिया गया है।

1. ओडीजेड लिखें:

हम ODZ की रूपरेखा तैयार करते हैं, इसके बारे में मत भूलना: x 2

1. भिन्न के अंश को शून्य f (x) = 0 के बराबर करें और मूल ज्ञात करें:

x 2 + x - 6 = 0 - द्विघात समीकरण। हम विवेचक के माध्यम से निर्णय लेते हैं।

ए = 1, बी = 1, सी = - 6

डी = बी 2 - 4 ए सी = 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (- 6) = 1 + 24 = 25

डी> 0 - दो अलग-अलग जड़ें होंगी।

एक्स 1,2 = - बी ± डी 2 ए = - 1 ± 25 2 ⋅ 1 = - 1 ± 5 2 = [- 1 + 5 2 = 4 2 = 2 - 1 - 5 2 = - 6 2 = - 3

[x 1 = 2 x 2 = - 3

1. उत्तर में अंश से जड़ों को इंगित करें, उन जड़ों को छोड़कर जो ओडीजेड में गिरे हैं।

पिछले चरण में प्राप्त जड़ें:

[x 1 = 2 x 2 = - 3

इसका अर्थ है कि उत्तर में केवल एक ही मूल है, x = - 3।

उत्तर: एक्स = - 3।

समीकरणों की प्रणाली

समीकरणों की प्रणाली दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों को कॉल करें (एक नियम के रूप में, अज्ञात को x और y द्वारा दर्शाया जाता है), जो एक घुंघराले ब्रेस द्वारा एक सामान्य प्रणाली में संयुक्त होते हैं।

समीकरणों की प्रणाली का एक उदाहरण

(एक्स + 2 वाई = 8 3 एक्स - वाई = - 4

समीकरणों की प्रणाली को हल करें - संख्याओं x और y का एक युग्म ज्ञात कीजिए, जो समीकरणों के निकाय में प्रतिस्थापित होने पर निकाय के दोनों समीकरणों में सही समानता बनाता है।

रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने की दो विधियाँ हैं:

1. प्रतिस्थापन विधि।
2. जोड़ विधि।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. शेष अज्ञात का पता लगाएं।

उदाहरण:

प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

(एक्स + 2 वाई = 8 3 एक्स - वाई = - 4

समाधान:

1. एक चर को किसी समीकरण से दूसरे में व्यक्त कीजिए।

(एक्स = 8 - 2 वाई 3 एक्स - वाई = - 4

1. प्राप्त मान को व्यक्त चर के स्थान पर किसी अन्य समीकरण में रखें।

(एक्स = 8 - 2 वाई 3 एक्स - वाई = - 4

(x = 8 - 2 y 3 (8 - 2 y) - y = - 4

1. एक अज्ञात में समीकरण हल करें।

3 (8 - 2 y) - y = - 4

24 - 6 y - y = - 4

- 7 y = - 4 - 24

- 7 y = - 28

वाई = - 28 - 7 = 28 7 = 4

1. शेष अज्ञात का पता लगाएं।

एक्स = 8 - 2 वाई = 8 - 2 ⋅ 4 = 8 - 8 = 0

उत्तर तीन तरीकों में से एक में लिखा जा सकता है:

1. एक्स = 0, वाई = 4
2. (एक्स = 0 वाई = 4
3. (0 ;   4)

जोड़ विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना।

जोड़ विधि निम्नलिखित संपत्ति पर आधारित है:

(ए + सी) = (बी + डी)

जोड़ विधि के पीछे का विचार समीकरणों को जोड़कर एक चर से छुटकारा पाना है।

उदाहरण:

योग विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करें

(एक्स + 2 वाई = 8 3 एक्स - वाई = - 4

आइए इस उदाहरण में x चर से छुटकारा पाएं। विधि का सार यह है कि पहले और दूसरे समीकरणों में विपरीत गुणांक चर x के सामने खड़े होते हैं। दूसरे समीकरण में, x के पहले 3 का गुणनखंड है। काम करने की अतिरिक्त विधि के लिए, गुणांक (- 3) x चर के सामने होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को (-3) से गुणा करें।

समीकरणों की प्रणाली को हल करें- इसका मतलब है कि सिस्टम के सभी समीकरणों के लिए सामान्य समाधान खोजना या यह सुनिश्चित करना कि कोई समाधान नहीं है।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, आपको एक अज्ञात को बाहर करना होगा, यानी दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों से, एक अज्ञात के साथ एक समीकरण बनाना होगा। अज्ञात में से किसी एक को समाप्त करने के तीन तरीके हैं: प्रतिस्थापन, तुलना, जोड़ या घटाव।

प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, आपको समीकरणों में से एक में एक अज्ञात को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना होगा और परिणाम को दूसरे समीकरण में बदलना होगा, जिसमें तब केवल एक अज्ञात होगा। फिर हम इस अज्ञात का मान ज्ञात करते हैं और इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके बाद हम दूसरे अज्ञात का मान पाते हैं।

समीकरणों की प्रणाली के समाधान पर विचार करें:

हम परिणामी समीकरण को हल करते हैं ताकि यह पता लगाया जा सके कि के बराबर क्या है आप... एक अज्ञात के साथ समीकरण कैसे हल करें, आप संबंधित विषय में देख सकते हैं।

3(2 + 4आप) - 2आप = 16

6 + 12आप - 2आप = 16

6 + 10आप = 16

10आप = 16 - 6

10आप = 10

आप = 10: 10

आप = 1

हमने तय किया है कि आप= 1. अब, संख्यात्मक मान ज्ञात करने के लिए एक्स, मान को प्रतिस्थापित करें आपरूपांतरित पहले समीकरण में, जहाँ हमने पहले पाया कि कौन सा व्यंजक है एक्स:

एक्स = 2 + 4आप= 2 + 4 1 = 2 + 4 = 6

उत्तर: एक्स = 6, आप = 1.

तुलना विधि

तुलना प्रतिस्थापन का एक विशेष मामला है। तुलना विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, आपको दोनों समीकरणों में यह पता लगाना होगा कि कौन सा व्यंजक एक ही अज्ञात के बराबर होगा और परिणामी व्यंजकों को एक दूसरे के बराबर करेगा। परिणामी समीकरण आपको एक अज्ञात का अर्थ जानने की अनुमति देता है। यह मान तब दूसरे अज्ञात के मान की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, सिस्टम समाधान के लिए:

हम प्राप्त अभिव्यक्तियों से समीकरण बनाते हैं:

2 - एक्स = 32 - 6एक्स 2 - एक्स + 6एक्स = 32 - 2 5एक्स = 30 एक्स = 30: 5 एक्स = 6

अब हम मान को प्रतिस्थापित करते हैं एक्ससिस्टम के पहले या दूसरे समीकरण में और मान ज्ञात करें आप:

उत्तर: एक्स = 6, आप = 1.

जोड़ या घटाव विधि

जोड़ विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, आपको बाएं और दाएं पक्षों को जोड़कर दो समीकरणों में से एक बनाना होगा, जबकि अज्ञात में से एक को परिणामी समीकरण से बाहर रखा जाना चाहिए। दोनों समीकरणों में गुणांकों को बराबर करके अज्ञात को समाप्त किया जा सकता है।

प्रणाली पर विचार करें:

अब हम एक अज्ञात के साथ समीकरण प्राप्त करने के लिए दोनों समीकरणों को भागों से जोड़ते हैं:

अब एक अज्ञात के साथ समीकरण प्राप्त करने के लिए पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएं:

उत्तर: एक्स = 6, आप = 1.

ऊपर दिए गए समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए, अतिरिक्त विधि का उपयोग किया गया था, जो निम्नलिखित संपत्ति पर आधारित है:

सिस्टम में किसी भी समीकरण को सिस्टम में शामिल समीकरणों को जोड़कर (या घटाकर) प्राप्त समीकरण से बदला जा सकता है। इस मामले में, समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जाती है जिसमें मूल समाधान के समान समाधान होते हैं।