रैखिक कोणों के गुणधर्म पर प्रमेय. समतलों (डायहेड्रल कोण) के बीच का कोण ज्ञात करना। देखें कि अन्य शब्दकोशों में "रैखिक कोण" क्या है

डायहेड्रल कोण. रैखिक विकर्ण कोण. डायहेड्रल कोण दो अर्ध-तलों से बनी एक आकृति है जो एक ही तल से संबंधित नहीं होती है और उनकी एक सामान्य सीमा होती है - सीधी रेखा ए। एक डायहेड्रल कोण बनाने वाले आधे-तलों को इसके चेहरे कहा जाता है, और इन आधे-तलों की सामान्य सीमा को डायहेड्रल कोण का किनारा कहा जाता है। डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण वह कोण होता है जिसकी भुजाएँ किरणें होती हैं जिनके अनुदिश डायहेड्रल कोण के फलक डायहेड्रल कोण के किनारे पर लंबवत एक समतल द्वारा प्रतिच्छेदित होते हैं। प्रत्येक डायहेड्रल कोण में किसी भी संख्या में रैखिक कोण होते हैं: किनारे के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से कोई इस किनारे पर लंबवत एक विमान खींच सकता है; किरणें जिनके अनुदिश यह तल एक डायहेड्रल कोण के फलकों को काटता है, रैखिक कोण बनाती हैं।

एक द्विफलकीय कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। आइए हम सिद्ध करें कि यदि पिरामिड KABC के आधार के तल और उसके पार्श्व फलकों के तलों द्वारा बनाए गए द्विफलकीय कोण बराबर हैं, तो शीर्ष K से खींचे गए लंब का आधार त्रिभुज ABC में अंकित वृत्त का केंद्र है।

सबूत। सबसे पहले, आइए समान डायहेड्रल कोणों के रैखिक कोणों का निर्माण करें। परिभाषा के अनुसार, एक रैखिक कोण का तल डायहेड्रल कोण के किनारे पर लंबवत होना चाहिए। इसलिए, एक डायहेड्रल कोण का किनारा रैखिक कोण की भुजाओं के लंबवत होना चाहिए। यदि KO आधार तल पर लंबवत है, तो हम OR लंबवत AC, OR लंबवत SV, OQ लंबवत AB खींच सकते हैं, और फिर बिंदु P, Q, R को बिंदु K से जोड़ सकते हैं। इस प्रकार, हम झुके हुए RK, QK का एक प्रक्षेपण बनाएंगे। , आरके ताकि किनारे AC, NE, AB इन प्रक्षेपणों के लंबवत हों। नतीजतन, ये किनारे स्वयं झुके हुए किनारों के लंबवत हैं। और इसलिए त्रिभुज ROK, QOK, ROK के तल डायहेड्रल कोण के संगत किनारों के लंबवत हैं और उन समान रैखिक कोणों का निर्माण करते हैं जिनका उल्लेख स्थिति में किया गया है। समकोण त्रिभुज ROK, QOK, ROK सर्वांगसम हैं (क्योंकि उनका एक उभयनिष्ठ पैर OK है और इस पैर के विपरीत कोण बराबर हैं)। इसलिए, OR = OR = OQ. यदि हम केंद्र O और त्रिज्या OP के साथ एक वृत्त खींचते हैं, तो त्रिभुज ABC की भुजाएँ त्रिज्या OP, OR और OQ के लंबवत होती हैं और इसलिए इस वृत्त की स्पर्शरेखा होती हैं।

विमानों की लंबवतता. अल्फा और बीटा विमानों को लंबवत कहा जाता है यदि उनके चौराहे पर बने डायहेड्रल कोणों में से एक का रैखिक कोण 90 के बराबर है।" दो विमानों की लंबवतता के संकेत यदि दो विमानों में से एक दूसरे विमान के लंबवत रेखा से गुजरता है, तब ये तल लंबवत होते हैं।

चित्र एक आयताकार समांतर चतुर्भुज को दर्शाता है। इसका आधार आयत ABCD और A1B1C1D1 हैं। और पार्श्व पसलियां AA1 BB1, CC1, DD1 आधारों के लंबवत हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि AA1, AB पर लंबवत है, अर्थात पार्श्व फलक एक आयत है। इस प्रकार, हम एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के गुणों को उचित ठहरा सकते हैं: एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में, सभी छह फलक आयताकार होते हैं। एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में, सभी छह फलक आयत हैं। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी द्विफलकीय कोण समकोण होते हैं। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी द्विफलकीय कोण समकोण होते हैं।

प्रमेय एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है। आइए हम फिर से चित्र की ओर मुड़ें, और सिद्ध करें कि AC12 = AB2 + AD2 + AA12 चूँकि किनारा CC1 आधार ABCD के लंबवत है, कोण ACC1 समकोण है। समकोण त्रिभुज ACC1 से, पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके, हम AC12 = AC2 + CC12 प्राप्त करते हैं। लेकिन AC, आयत ABCD का एक विकर्ण है, इसलिए AC2 = AB2 + AD2 है। इसके अलावा, CC1 = AA1. अतः AC12=AB2+AD2+AA12 प्रमेय सिद्ध है।

पाठ का पाठ प्रतिलेख:

प्लैनिमेट्री में, मुख्य वस्तुएँ रेखाएँ, खंड, किरणें और बिंदु हैं। एक बिंदु से निकलने वाली किरणें उनकी ज्यामितीय आकृतियों में से एक बनाती हैं - एक कोण।

हम जानते हैं कि रैखिक कोण को डिग्री और रेडियन में मापा जाता है।

स्टीरियोमेट्री में, वस्तुओं में एक तल जोड़ा जाता है। एक सीधी रेखा a और एक समान सीमा वाले दो अर्ध-तलों द्वारा बनाई गई आकृति जो ज्यामिति में एक ही तल से संबंधित नहीं होती है, उसे डायहेड्रल कोण कहा जाता है। अर्ध-तल एक द्विफलकीय कोण के फलक होते हैं। सीधी रेखा a एक डायहेड्रल कोण का एक किनारा है।

एक रेखीय कोण की तरह एक डायहेड्रल कोण को नाम दिया जा सकता है, मापा जा सकता है और निर्मित किया जा सकता है। इस पाठ में हमें यही पता लगाना है।

आइए एबीसीडी टेट्राहेड्रोन मॉडल पर डायहेड्रल कोण खोजें।

किनारे AB के साथ एक डायहेड्रल कोण को CABD कहा जाता है, जहां बिंदु C और D कोण के विभिन्न चेहरों से संबंधित होते हैं और किनारे AB को मध्य में कहा जाता है

हमारे चारों ओर बहुत सारी वस्तुएं हैं जिनमें डायहेड्रल कोण के रूप में तत्व हैं।

कई शहरों में पार्कों में मेल-मिलाप के लिए विशेष बेंचें लगाई जाती हैं। बेंच केंद्र की ओर एकत्रित दो झुके हुए विमानों के रूप में बनाई गई है।

घर बनाते समय, तथाकथित गैबल छत का उपयोग अक्सर किया जाता है। इस घर की छत 90 डिग्री के डायहेड्रल कोण के रूप में बनी है।

डायहेड्रल कोण को डिग्री या रेडियन में भी मापा जाता है, लेकिन इसे कैसे मापें।

यह जानना दिलचस्प है कि घरों की छतें छतों पर टिकी होती हैं। और राफ्टर शीथिंग एक दिए गए कोण पर दो छत ढलान बनाती है।

आइए छवि को ड्राइंग में स्थानांतरित करें। चित्र में, एक द्विफलकीय कोण ज्ञात करने के लिए, इसके किनारे पर बिंदु B अंकित किया जाता है। इस बिंदु से, दो किरणें BA और BC कोण के किनारे पर लंबवत खींची जाती हैं। इन किरणों से बनने वाले कोण ABC को रैखिक डायहेड्रल कोण कहा जाता है।

एक द्विफलकीय कोण की डिग्री माप उसके रैखिक कोण की डिग्री माप के बराबर होती है।

आइए कोण AOB मापें।

किसी दिए गए डायहेड्रल कोण का डिग्री माप साठ डिग्री है।

एक द्विफलकीय कोण के लिए अनंत संख्या में रैखिक कोण बनाए जा सकते हैं; यह जानना महत्वपूर्ण है कि वे सभी समान हैं।

आइए दो रैखिक कोणों AOB और A1O1B1 पर विचार करें। किरणें OA और O1A1 एक ही सतह पर स्थित हैं और सीधी रेखा OO1 के लंबवत हैं, इसलिए वे सह-दिशात्मक हैं। बीम्स OB और O1B1 भी सह-निर्देशित हैं। इसलिए, कोण AOB सह-दिशात्मक भुजाओं वाले कोण के रूप में कोण A1O1B1 के बराबर है।

तो एक डायहेड्रल कोण की विशेषता एक रैखिक कोण होती है, और रैखिक कोण न्यून, अधिक और समकोण होते हैं। आइए डायहेड्रल कोणों के मॉडल पर विचार करें।

एक अधिक कोण तब होता है जब इसका रैखिक कोण 90 और 180 डिग्री के बीच होता है।

एक समकोण यदि इसका रैखिक कोण 90 डिग्री है।

एक न्यून कोण, यदि इसका रैखिक कोण 0 से 90 डिग्री तक है।

आइए हम रैखिक कोण के महत्वपूर्ण गुणों में से एक को सिद्ध करें।

रैखिक कोण का तल डायहेड्रल कोण के किनारे पर लंबवत होता है।

मान लीजिए कि कोण AOB किसी दिए गए डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है। निर्माण के अनुसार, किरणें AO और OB सीधी रेखा a पर लंबवत हैं।

प्रमेय के अनुसार विमान AOB दो प्रतिच्छेदी रेखाओं AO और OB से होकर गुजरता है: एक विमान दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से होकर गुजरता है, और केवल एक।

रेखा a इस तल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि रेखा और तल की लंबवतता के आधार पर, सीधी रेखा a, समतल AOB पर लंबवत है।

समस्याओं को हल करने के लिए, किसी दिए गए डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण बनाने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। टेट्राहेड्रोन एबीसीडी के लिए किनारे एबी के साथ एक डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण बनाएं।

हम एक विकर्ण कोण के बारे में बात कर रहे हैं, जो सबसे पहले किनारे AB, एक फलक ABD और दूसरे फलक ABC से बनता है।

इसे बनाने का एक तरीका यहां दिया गया है।

आइए बिंदु D से समतल ABC पर एक लंब खींचें। बिंदु M को लंब के आधार के रूप में चिह्नित करें। याद रखें कि टेट्राहेड्रोन में लंबवत का आधार टेट्राहेड्रोन के आधार पर अंकित वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है।

आइए बिंदु D से किनारे AB तक लंबवत एक झुकी हुई रेखा खींचें, बिंदु N को झुकी हुई रेखा के आधार के रूप में चिह्नित करें।

त्रिभुज DMN में, खंड NM समतल ABC पर झुके हुए DN का प्रक्षेपण होगा। तीन लंबों के प्रमेय के अनुसार, किनारा AB प्रक्षेपण NM के लंबवत होगा।

इसका मतलब यह है कि कोण DNM की भुजाएँ किनारे AB के लंबवत हैं, जिसका अर्थ है कि निर्मित कोण DNM वांछित रैखिक कोण है।

आइए एक डायहेड्रल कोण की गणना की समस्या को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

समद्विबाहु त्रिभुज ABC और नियमित त्रिभुज ADB एक ही तल में नहीं हैं। खंड CD समतल ADB पर लंबवत है। यदि AC=CB=2 सेमी, AB=4 सेमी है तो डायहेड्रल कोण DABC ज्ञात करें।

डीएबीसी का डायहेड्रल कोण इसके रैखिक कोण के बराबर है। आइए इस कोण का निर्माण करें।

आइए हम किनारे AB पर झुका हुआ CM लंबवत खींचें, क्योंकि त्रिभुज ACB समद्विबाहु है, तो बिंदु M किनारे AB के मध्य के साथ मेल खाएगा।

सीधी रेखा CD, समतल ADB पर लंबवत है, जिसका अर्थ है कि यह इस तल में पड़ी सीधी रेखा DM पर लंबवत है। और खंड एमडी विमान एडीवी पर झुके हुए सीएम का एक प्रक्षेपण है।

सीधी रेखा एबी निर्माण द्वारा झुके हुए सीएम पर लंबवत है, जिसका अर्थ है, तीन लंबवत के प्रमेय द्वारा, यह प्रक्षेपण एमडी पर लंबवत है।

तो, किनारे AB पर दो लंबवत CM और DM पाए जाते हैं। इसका मतलब है कि वे डायहेड्रल कोण डीएबीसी का एक रैखिक कोण सीएमडी बनाते हैं। और हमें बस इसे समकोण त्रिभुज सीडीएम से ढूंढना है।

तो खंड एसएम समद्विबाहु त्रिभुज एसीबी की माध्यिका और ऊंचाई है, फिर पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, पैर एसएम 4 सेमी के बराबर है।

समकोण त्रिभुज डीएमबी से, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, पैर डीएम तीन की दो जड़ों के बराबर है।

एक समकोण त्रिभुज से कोण की कोज्या आसन्न पाद एमडी और कर्ण सीएम के अनुपात के बराबर होती है और तीन गुणा दो की तीन जड़ों के बराबर होती है। इसका मतलब है कि कोण सीएमडी 30 डिग्री है।

यह पाठ "डायहेड्रल एंगल" विषय के स्वतंत्र अध्ययन के लिए है। इस पाठ में, छात्र सबसे महत्वपूर्ण ज्यामितीय आकृतियों में से एक, डायहेड्रल कोण से परिचित होंगे। इसके अलावा पाठ में हम सीखेंगे कि प्रश्न में ज्यामितीय आकृति के रैखिक कोण को कैसे निर्धारित किया जाए और आकृति के आधार पर डायहेड्रल कोण क्या है।

आइए हम दोहराएँ कि समतल पर कोण क्या होता है और इसे कैसे मापा जाता है।

चावल। 1. विमान

आइए समतल α पर विचार करें (चित्र 1)। बिंदु से के बारे मेंदो किरणें निकलती हैं - ओबीऔर ओए.

परिभाषा. एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणों से बनी आकृति को कोण कहा जाता है।

कोण को डिग्री और रेडियन में मापा जाता है।

आइए याद करें कि रेडियन क्या है।

चावल। 2. रेडियन

यदि हमारे पास एक केंद्रीय कोण है जिसकी चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर है, तो ऐसे केंद्रीय कोण को 1 रेडियन का कोण कहा जाता है। ,∠ एओबी= 1 रेड (चित्र 2)।

रेडियन और डिग्री के बीच संबंध.

खुश।

हमें यह मिल गया, मुझे ख़ुशी है। (). तब,

परिभाषा. डायहेड्रल कोणएक सीधी रेखा से बनी आकृति कहलाती है एऔर एक समान सीमा वाले दो अर्ध-तल ए, एक ही विमान से संबंधित नहीं।

चावल। 3. अर्ध-तल

आइए दो अर्ध-तलों α और β पर विचार करें (चित्र 3)। उनकी साझी सीमा है ए. इस आकृति को डायहेड्रल कोण कहा जाता है।

शब्दावली

अर्ध-तल α और β एक डायहेड्रल कोण के फलक हैं।

सीधा एएक डायहेड्रल कोण का एक किनारा है।

एक आम किनारे पर एडायहेड्रल कोण, एक मनमाना बिंदु चुनें के बारे में(चित्र 4)। अर्ध-तल में α बिंदु से के बारे मेंलंब को पुनर्स्थापित करें ओएएक सीधी रेखा की ओर ए. उसी बिंदु से के बारे मेंदूसरे अर्ध-तल β में हम एक लंब बनाते हैं ओबीकिनारे करने के लिए ए. एक एंगल मिल गया एओबी, जिसे डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण कहा जाता है।

चावल। 4. डायहेड्रल कोण माप

आइए हम किसी दिए गए डायहेड्रल कोण के लिए सभी रैखिक कोणों की समानता सिद्ध करें।

आइए हमारे पास एक डायहेड्रल कोण है (चित्र 5)। आइए एक बिंदु चुनें के बारे मेंऔर अवधि ओ 1एक सीधी रेखा पर ए. आइए बिंदु के अनुरूप एक रैखिक कोण बनाएं के बारे में, यानी हम दो लंब खींचते हैं ओएऔर ओबीसमतल α और β में क्रमशः किनारे तक ए. हमें कोण मिलता है एओबी- डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण।

चावल। 5. प्रमाण का चित्रण

बिंदु से ओ 1आइए दो लंब रेखाएं बनाएं ओए 1और ओबी 1किनारे करने के लिए एक्रमशः समतल α और β में और हमें दूसरा रैखिक कोण प्राप्त होता है ए 1 ओ 1 बी 1.

किरणों ओ 1 ए 1और ओएसह-दिशात्मक, क्योंकि वे एक ही आधे-तल में स्थित हैं और एक ही रेखा के दो लंबों की तरह एक-दूसरे के समानांतर हैं ए.

वैसे ही, किरणें 1 में 1 के बारे मेंऔर ओबीसह-निर्देशित हैं, जिसका अर्थ है ∠ एओबी =∠ ए 1 ओ 1 बी 1कोड-दिशात्मक भुजाओं वाले कोणों के रूप में, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

रैखिक कोण का तल डायहेड्रल कोण के किनारे पर लंबवत होता है।

सिद्ध करना: ए ⊥ एओबी.

चावल। 6. प्रमाण का चित्रण

सबूत:

ओए ⊥ एनिर्माण द्वारा, ओबी ⊥ एनिर्माण द्वारा (चित्र 6)।

हमें वह रेखा मिलती है एदो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत ओएऔर ओबीहवाई जहाज से बाहर एओबी, जिसका मतलब है कि यह सीधा है एविमान के लंबवत ओएवी, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

एक डायहेड्रल कोण को उसके रैखिक कोण से मापा जाता है। इसका मतलब यह है कि एक रैखिक कोण में जितनी डिग्री रेडियन समाहित होती हैं, उतनी ही डिग्री रेडियन उसके डायहेड्रल कोण में समाहित होती हैं। इसके अनुसार, निम्न प्रकार के डायहेड्रल कोणों को प्रतिष्ठित किया जाता है।

तीव्र (चित्र 6)

एक डायहेड्रल कोण न्यून होता है यदि इसका रैखिक कोण न्यून होता है, अर्थात। .

सीधा (चित्र 7)

एक द्विफलकीय कोण तब समकोण होता है जब उसका रैखिक कोण 90° - अधिककोण हो (चित्र 8)

एक डायहेड्रल कोण तब अधिक होता है जब उसका रैखिक कोण अधिक होता है, अर्थात। .

चावल। 7. समकोण

चावल। 8. अधिक कोण

वास्तविक आकृतियों में रैखिक कोण बनाने के उदाहरण

एबीसीडी- चतुष्फलक.

1. एक किनारे वाले डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण बनाएं अब.

चावल। 9. समस्या के लिए चित्रण

निर्माण:

हम एक किनारे से बनने वाले डायहेड्रल कोण के बारे में बात कर रहे हैं अबऔर किनारे अबडीऔर एबीसी(चित्र 9)।

चलो एक सीधा रास्ता बनाते हैं डीएनविमान के लंबवत एबीसी, एन- लम्ब का आधार. आइए एक झुकाव बनाएं डीएमएक सीधी रेखा के लंबवत एबी,एम- झुका हुआ आधार. तीन लंबों के प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक तिरछा प्रक्षेपण समुद्री मील दूररेखा के लंबवत भी अब.

यानि बिंदु से एमकिनारे पर दो लम्बवत बहाल कर दिए गए हैं अबदो तरफ अबडीऔर एबीसी. हमें रैखिक कोण मिला डीएम.एन..

नोटिस जो अब, एक डायहेड्रल कोण का एक किनारा, रैखिक कोण के तल के लंबवत, अर्थात, समतल डीएम.एन.. समस्या सुलझ गई है।

टिप्पणी. डायहेड्रल कोण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: डीएबीसी, कहाँ

अब- किनारा, और अंक डीऔर साथकोण के विभिन्न पक्षों पर लेटें।

2. एक किनारे वाले डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण बनाएं एसी.

आइए एक लंब बनाएं डीएनविमान के लिए एबीसीऔर झुका हुआ डीएनएक सीधी रेखा के लंबवत एसी।तीन लंबवत प्रमेय का उपयोग करके, हम इसे पाते हैं एन.एन- तिरछा प्रक्षेपण डीएनविमान के लिए एबीसी,रेखा के लंबवत भी एसी।डीराष्ट्रीय राजमार्ग- एक किनारे के साथ एक डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण एसी.

चतुष्फलक में डीएबीसीसभी किनारे बराबर हैं. डॉट एम- पसली के बीच में एसी. उस कोण को सिद्ध कीजिए डीएमवी- रैखिक डायहेड्रल कोण आपडी, यानी एक किनारे के साथ एक डायहेड्रल कोण एसी. इसका एक चेहरा है एसीडी, दूसरा - डीआइए(चित्र 10)।

चावल। 10. समस्या के लिए चित्रण

समाधान:

त्रिकोण एडीसी- समबाहु, डीएम- माध्यिका, और इसलिए ऊँचाई। मतलब, डीएम ⊥ एसी।इसी तरह, त्रिकोण एमेंसी- समबाहु, मेंएम- माध्यिका, और इसलिए ऊँचाई। मतलब, वीएम ⊥ एसी।

इस प्रकार, बिंदु से एमपसलियां एसीडायहेड्रल कोण ने दो लंबों को बहाल किया डीएमऔर वीएमडायहेड्रल कोण के फलकों में इस किनारे तक।

तो, ∠ डीएममेंडायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

तो हमने डायहेड्रल कोण, डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण को परिभाषित किया है।

अगले पाठ में हम रेखाओं और तलों की लंबवतता को देखेंगे, फिर हम सीखेंगे कि आकृतियों के आधार पर एक डायहेड्रल कोण क्या होता है।

"डायहेड्रल कोण", "ज्यामितीय आकृतियों के आधार पर डायहेड्रल कोण" विषय पर संदर्भों की सूची

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"डायहेड्रल कोण" विषय पर होमवर्क, आंकड़ों के आधार पर डायहेड्रल कोण का निर्धारण

ज्यामिति। ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षा संस्थानों (बुनियादी और विशिष्ट स्तर) के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / आई. एम. स्मिरनोवा, वी. ए. स्मिरनोव। - 5वां संस्करण, संशोधित और विस्तारित - एम.: मेनेमोसिन, 2008. - 288 पीपी.: बीमार।

कार्य 2, 3 पी. 67.

रैखिक डायहेड्रल कोण क्या है? इसका निर्माण कैसे करें?

एबीसीडी- चतुष्फलक. एक किनारे वाले डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण बनाएं:

ए) मेंडीबी) डीसाथ।

एबीसीडी.ए. 1 बी 1 सी 1 डी 1 - घनक्षेत्र डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का निर्माण करें ए 1 एबीसीपसली के साथ अब. इसकी डिग्री माप निर्धारित करें।

डायहेड्रल कोण की अवधारणा

डायहेड्रल कोण की अवधारणा का परिचय देने के लिए, आइए सबसे पहले स्टीरियोमेट्री के सिद्धांतों में से एक को याद करें।

किसी भी तल को इस तल में स्थित रेखा $a$ के दो अर्ध-तलों में विभाजित किया जा सकता है। इस मामले में, एक ही आधे तल में स्थित बिंदु सीधी रेखा $a$ के एक तरफ होते हैं, और विभिन्न आधे तल में स्थित बिंदु सीधी रेखा $a$ के विपरीत किनारों पर होते हैं (चित्र 1)।

चित्र 1।

डायहेड्रल कोण के निर्माण का सिद्धांत इसी सिद्धांत पर आधारित है।

परिभाषा 1

आकृति कहलाती है डायहेड्रल कोण, यदि इसमें एक रेखा और इस रेखा के दो आधे तल शामिल हैं जो एक ही तल से संबंधित नहीं हैं।

इस स्थिति में, डायहेड्रल कोण के आधे तल कहलाते हैं किनारों, और आधे तलों को अलग करने वाली सीधी रेखा है डायहेड्रल किनारा(चित्र .1)।

चित्र 2. डायहेड्रल कोण

डायहेड्रल कोण का डिग्री माप

परिभाषा 2

आइए किनारे पर एक मनमाना बिंदु $A$ चुनें। विभिन्न अर्ध-तलों में स्थित, एक किनारे के लंबवत और बिंदु $A$ पर प्रतिच्छेद करने वाली दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को कहा जाता है रैखिक विकर्ण कोण(चित्र 3)।

चित्र तीन।

जाहिर है, प्रत्येक डायहेड्रल कोण में अनंत संख्या में रैखिक कोण होते हैं।

प्रमेय 1

एक डायहेड्रल कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

सबूत।

आइए दो रैखिक कोणों $AOB$ और $A_1(OB)_1$ पर विचार करें (चित्र 4)।

चित्र 4.

चूँकि किरणें $OA$ और $(OA)_1$ एक ही अर्ध-तल $\alpha $ में स्थित हैं और एक ही सीधी रेखा के लंबवत हैं, तो वे सह-दिशात्मक हैं। चूँकि किरणें $OB$ और $(OB)_1$ एक ही अर्ध-तल $\beta $ में स्थित हैं और एक ही सीधी रेखा के लंबवत हैं, तो वे सह-दिशात्मक हैं। इस तरह

\[\कोण AOB=\कोण A_1(OB)_1\]

रैखिक कोणों के चयन की मनमानी के कारण। एक डायहेड्रल कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिभाषा 3

एक डायहेड्रल कोण का डिग्री माप एक डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का डिग्री माप है।

नमूना समस्याएँ

उदाहरण 1

आइए हमें दो गैर-लंबवत विमान $\alpha $ और $\beta $ दिए जाएं जो सीधी रेखा $m$ के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु $A$ समतल $\बीटा$ से संबंधित है। $AB$ रेखा $m$ पर लंबवत है। $AC$ समतल $\alpha $ के लंबवत है (बिंदु $C$ $\alpha $ से संबंधित है)। साबित करें कि कोण $ABC$ एक डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण है।

सबूत।

आइए समस्या की स्थितियों के अनुसार एक चित्र बनाएं (चित्र 5)।

चित्र 5.

इसे सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित प्रमेय को याद करें

प्रमेय 2:किसी झुकी हुई वस्तु के आधार से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा उस पर लंबवत होती है, उसके प्रक्षेपण पर लंबवत होती है।

चूँकि $AC$ समतल $\alpha $ के लंबवत है, तो बिंदु $C$, समतल $\alpha $ पर बिंदु $A$ का प्रक्षेपण है। इसलिए, $BC$ तिरछे $AB$ का प्रक्षेपण है। प्रमेय 2 के अनुसार, $BC$ डायहेड्रल कोण के किनारे पर लंबवत है।

फिर, कोण $ABC$ एक रैखिक डायहेड्रल कोण को परिभाषित करने के लिए सभी आवश्यकताओं को पूरा करता है।

उदाहरण 2

डायहेड्रल कोण $30^\circ$ है। एक फलक पर एक बिंदु $A$ है, जो दूसरे फलक से $4$ सेमी की दूरी पर स्थित है। बिंदु $A$ से डायहेड्रल कोण के किनारे तक की दूरी ज्ञात करें।

समाधान।

आइए चित्र 5 देखें।

शर्त के अनुसार, हमारे पास $AC=4\cm$ है।

एक डायहेड्रल कोण की डिग्री माप की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास यह है कि कोण $ABC$ $30^\circ$ के बराबर है।

त्रिभुज $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है। न्यून कोण की ज्या की परिभाषा के अनुसार

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

"डायहेड्रल कोण" - बिंदु B से समतल तक की दूरी ज्ञात करें। कोण C न्यून कोण है. त्रिभुज ABC अधिक कुंठित है। कोण C अधिक कुंठित है। एक बिंदु से एक रेखा की दूरी. चतुष्फलक DАВС में सभी किनारे बराबर होते हैं। झुके हुए लोगों के बीच का कोण. झुके हुए आधारों के बीच की दूरी. एक द्विफलकीय कोण के रैखिक कोण बराबर होते हैं। एक रैखिक कोण के निर्माण के लिए एल्गोरिदम।

"डायहेड्रल कोण ज्यामिति" - कोण आरएसवी - किनारे एसी के साथ एक डायहेड्रल कोण के लिए रैखिक। डायहेड्रल कोण के किनारे और फलकों को ढूंढें (देखें)। मॉडल या तो बड़ा या मुड़ने वाला हो सकता है। किनारे पर लंबवत एक विमान द्वारा एक डायहेड्रल कोण का खंड। किनारे। रेखा सीपी किनारे CA पर लंबवत है (तीन लंबवत के प्रमेय द्वारा)। कोण आरकेवी - आरएसएवी के साथ एक डायहेड्रल कोण के लिए रैखिक।

"त्रिफलकीय कोण" - त्रिफलकीय कोणों की समानता के संकेत। दिया गया: Оabc - त्रिफलकीय कोण; ?(बी; सी) = ?; ?(ए; सी) = ?; ?(ए; बी) = ?. पाठ 6. परिणाम. 1) एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच के कोण की गणना करने के लिए, सूत्र लागू होता है: तीन कोज्या का सूत्र। . एक त्रिफलकीय कोण Oabc दिया गया है। त्रिकोणीय कोण. प्रमेय. एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में, शीर्ष पर समतल कोण 120? से कम होता है।

"त्रिफलकीय और बहुफलकीय कोण" - डोडेकाहेड्रोन के त्रिफलकीय कोण। समचतुर्भुज डोडेकाहेड्रोन के त्रिफलकीय और चतुष्फलकीय कोण। अष्टफलक के चतुष्फलकीय कोण। चतुष्फलक के त्रिफलकीय कोने। बहुफलकीय कोण मापना. काम। बहुफलकीय कोण. इकोसाहेड्रोन के पंचकोणीय कोण। ऊर्ध्वाधर बहुफलकीय कोण. पिरामिड का त्रिकोणीय कोना. मान लीजिए SA1...An एक उत्तल n-मुख वाला कोण है।

"एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण" - नियमित छठे प्रिज्म A...F1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, सीधी रेखा AC1 और समतल ADE1 के बीच का कोण ज्ञात करें। नियमित छठे प्रिज्म A...F1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, सीधी रेखा AA1 और समतल ACE1 के बीच का कोण ज्ञात करें। एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण. नियमित छठे प्रिज्म A...F1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, सीधी रेखा AB1 और समतल ADE1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

"बहुफलकीय कोण" - उत्तल बहुफलकीय कोण। बहुफलकीय कोण. फलकों की संख्या के आधार पर, बहुफलकीय कोण त्रिफलकीय, चतुष्फलकीय, पंचफलकीय आदि होते हैं। C) इकोसाहेड्रोन। एक त्रिफलकीय कोण के दो समतल कोण 70° और 80° होते हैं। इस तरह, ? एएसबी+ ? बीएससी+? ए.एस.सी.< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

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