Pagrindinės formulės atstumams rasti naudojant vektoriaus projekciją į ašį. Vektorinė projekcija. Koordinačių ašys. Taško projekcija. Taško koordinatės ašyje Kaip nustatyti projekcijos ašyje ženklą

a. Taško A projekcija į ašį PQ (4 pav.) yra statmeno, nuleisto iš tam tikro taško į nurodytą ašį, pagrindas a. Ašis, ant kurios projektuojame, vadinama projekcijos ašimi.

b. Tegu pateiktos dvi ašys ir vektorius A B, kaip parodyta Fig. penkios.

Vektorius, kurio pradžia yra pradžios ir pabaigos projekcija - šio vektoriaus pabaigos projekcija, vadinamas vektoriaus A B projekcija į PQ ašį, Rašoma taip;

Kartais PQ indikatorius nerašomas apačioje, tai daroma tais atvejais, kai, be PQ, nėra kitos ašies, ant kurios būtų galima projektuoti.

Su. I teorema. Vektorių, esančių vienoje ašyje, reikšmės yra susijusios su jų projekcijų bet kurioje ašyje reikšmėmis.

Tegu pateiktos ašys ir vektoriai, pavaizduoti 6 pav.. Iš trikampių panašumo matyti, kad vektorių ilgiai yra susiję kaip jų projekcijų ilgiai, t.y.

Kadangi vektoriai brėžinyje yra nukreipti skirtingomis kryptimis, jų dydžiai turi skirtingas reikšmes, todėl

Akivaizdu, kad projekcijos vertės taip pat turi skirtingą ženklą:

pakeitę (2) į (3) į (1), gauname

Apversdami ženklus, gauname

Jei vektoriai vienodai nukreipti, tai bus viena kryptis ir jų projekcijos; (2) ir (3) formulėse minuso ženklų nebus. Pakeitę (2) ir (3) lygybe (1), iš karto gauname lygybę (4). Taigi teorema įrodyta visais atvejais.

d. II teorema. Vektoriaus projekcijos į bet kurią ašį reikšmė yra lygi vektoriaus vertei, padaugintai iš kampo tarp projekcijų ašies ir vektoriaus ašies kosinuso. Tegul vektorius pateikiamas ašiai, kaip parodyta fig. . 7. Sukonstruokime vektorių, vienodai nukreiptą su savo ašimi ir atidėtą, pavyzdžiui, iš ašių susikirtimo taško. Tegul jo ilgis lygus vienetui. Tada jo vertė

§ 3. Vektorinės projekcijos koordinačių ašyse

1. Projekcijų radimas geometriškai.

Vektorius
- vektoriaus projekcija į ašį JAUTIS
- vektoriaus projekcija į ašį OY

1 apibrėžimas. Vektorinė projekcija bet kurioje koordinačių ašyje vadinamas skaičius, paimtas su "pliuso" arba "minuso" ženklu, atitinkančiu atkarpos, esančios tarp statmenų pagrindų, ilgį, nuleistą nuo vektoriaus pradžios ir pabaigos iki koordinačių ašies.

Projekcijos ženklas apibrėžiamas taip. Jei judant išilgai koordinačių ašies yra judėjimas nuo vektoriaus pradžios projekcijos taško iki vektoriaus pabaigos projekcijos taško teigiama ašies kryptimi, tada vektoriaus projekcija laikoma teigiama . Jei - yra priešinga ašiai, tada projekcija laikoma neigiama.

Paveikslėlyje parodyta, kad jei vektorius kažkaip nukreiptas priešingai koordinačių ašiai, tada jo projekcija šioje ašyje yra neigiama. Jei vektorius kažkaip nukreiptas teigiama koordinačių ašies kryptimi, tai jo projekcija šioje ašyje yra teigiama.

Jei vektorius yra statmenas koordinačių ašiai, tai jo projekcija šioje ašyje yra lygi nuliui.
Jei vektorius yra nukreiptas kartu su ašimi, tada jo projekcija į šią ašį yra lygi vektoriaus moduliui.
Jei vektorius yra priešinga koordinačių ašiai, tada jo projekcija šioje ašyje absoliučia reikšme yra lygi vektoriaus moduliui, paimtam su minuso ženklu.

2. Bendriausias projekcijos apibrėžimas.

Iš stačiojo trikampio ABD: .

2 apibrėžimas. Vektorinė projekcija bet kurioje koordinačių ašyje vadinamas skaičiumi, lygiu vektoriaus modulio ir vektoriaus suformuoto kampo kosinuso su teigiama koordinačių ašies kryptimi sandaugai.

Projekcijos ženklas nustatomas kampo, kurį sudaro vektoriaus su teigiama ašies kryptimi, kosinuso ženklas.
Jei kampas yra smailus, kosinusas turi teigiamą ženklą, o projekcijos yra teigiamos. Bukiesiems kampams kosinusas turi neigiamą ženklą, todėl tokiais atvejais projekcijos į ašį yra neigiamos.
- taigi vektoriams, statmeniems ašiai, projekcija lygi nuliui.

Ašis yra kryptis. Taigi projekcija į ašį arba į nukreiptą liniją laikoma ta pačia. Projekcija gali būti algebrinė arba geometrinė. Geometrine prasme vektoriaus projekcija į ašį suprantama kaip vektorius, o algebrine prasme tai yra skaičius. Tai yra, vartojamos vektoriaus projekcijos ant ašies ir skaitinės vektoriaus projekcijos ašyje sąvokos.

Jei turime ašį L ir nulinį vektorių A B → , tai galime sukonstruoti vektorių A 1 B 1 ⇀ , žymintį jo taškų A 1 ir B 1 projekcijas.

A 1 B → 1 bus vektoriaus A B → projekcija į L .

1 apibrėžimas

Vektoriaus projekcija į ašį vadinamas vektoriumi, kurio pradžia ir pabaiga yra duoto vektoriaus pradžios ir pabaigos projekcijos. n p L A B → → įprasta A B → projekciją žymėti į L . Norėdami sukurti projekciją L, statmenus numeskite ant L.

1 pavyzdys

Vektoriaus projekcijos į ašį pavyzdys.

Koordinačių plokštumoje O x y nurodytas taškas M 1 (x 1, y 1). Taško M 1 spindulio vektoriaus atvaizdui reikia sukurti projekcijas ant O x ir O y. Gaukime vektorių (x 1 , 0) ir (0 , y 1) koordinates.

Jei kalbame apie a → projekciją į nulį b → arba a → projekciją į kryptį b → , tai turime omenyje a → projekciją į ašį, su kuria kryptis b → sutampa. Projekcija a → į b → apibrėžtą tiesę žymima n p b → a → → . Yra žinoma, kad kai kampas yra tarp a → ir b → , n p b → a → → ir b → galime laikyti vienakrypčiais. Tuo atveju, kai kampas yra bukas, n p b → a → → ir b → yra priešingos krypties. Esant statmenai a → ir b → , o a → yra nulis, a → projekcija kryptimi b → yra nulinis vektorius.

Skaitinė vektoriaus projekcijos į ašį charakteristika yra skaitinė vektoriaus projekcija į nurodytą ašį.

2 apibrėžimas

Skaitinė vektoriaus projekcija į ašį iškviesti skaičių, kuris lygus duoto vektoriaus ilgio ir kampo tarp nurodyto vektoriaus ir vektoriaus, kuris nustato ašies kryptį, sandaugai.

Skaitinė A B → projekcija į L žymima n p L A B → , o a → į b → - n p b → a → .

Remdamiesi formule gauname n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , iš kur a → yra vektoriaus ilgis a → , a ⇀ , b → ^ yra kampas tarp vektorių a → ir b → .

Gauname skaitinės projekcijos skaičiavimo formulę: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Jis taikomas žinomiems ilgiams a → ir b → ir kampui tarp jų. Formulė taikoma žinomoms koordinatėms a → ir b → , tačiau yra supaprastinta jos versija.

2 pavyzdys

Išsiaiškinkite skaitinę projekciją a → į tiesę b kryptimi →, kurios ilgis a → lygus 8 ir kampas tarp jų yra 60 laipsnių. Pagal sąlygą turime a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. Taigi, skaitines reikšmes pakeičiame į formulę n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Atsakymas: 4.

Kai žinomas cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , turime a → , b → kaip a → ir b → skaliarinę sandaugą. Vadovaudamiesi formule n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , galime rasti skaitinę projekciją a → nukreiptą išilgai vektoriaus b → ir gauti n p b → a → = a → , b → b → . Formulė yra lygiavertė sakinio pradžioje pateiktam apibrėžimui.

3 apibrėžimas

Vektoriaus a → skaitinė projekcija ašyje, kurios kryptis sutampa su b →, yra vektorių a → ir b → skaliarinės sandaugos santykis su ilgiu b → . Formulė n p b → a → = a → , b → b → taikoma norint rasti a → skaitinę projekciją į tiesę, kurios kryptis sutampa su b → , su žinomomis a → ir b → koordinatėmis.

3 pavyzdys

Duota b → = (- 3 , 4) . Raskite skaitinę projekciją a → = (1 , 7) į L .

Sprendimas

Koordinačių plokštumoje n p b → a → = a → , b → b → turi formą n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , kai a → = (a x , a y ) ir b → = b x , b y . Norint rasti vektoriaus a → skaitinę projekciją į L ašį, reikia: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

Atsakymas: 5.

4 pavyzdys

Raskite projekciją a → į L , sutampančią su kryptimi b → , kur yra a → = - 2 , 3 , 1 ir b → = (3 , - 2 , 6) . Pateikiama trimatė erdvė.

Sprendimas

Duoti a → = a x , a y , a z ir b → = b x , b y , b z apskaičiuokite skaliarinę sandaugą: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . Ilgį b → randame pagal formulę b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. Iš to seka, kad skaitinės projekcijos a → nustatymo formulė bus tokia: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Pakeičiame skaitines reikšmes: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Atsakymas: - 6 7 .

Pažvelkime į ryšį tarp a → ant L ir a → projekcijos ilgio ant L . Nubrėžkite ašį L, pridedant a → ir b → iš taško prie L , po to nubrėžiame statmeną tiesę nuo a → galo iki L ir projektuojame į L . Yra 5 vaizdo variantai:

Pirmas atvejis, kai a → = n p b → a → → reiškia a → = n p b → a → → , taigi n p b → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Antra atvejis reiškia n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → naudojimą, taigi n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Trečioji atvejis paaiškina, kad kai n p b → a → → = 0 → gauname n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, tada n p b → a → → = 0 ir n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Ketvirta atvejis rodo n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , seka n p b → a → = a → cos (a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Penkta atvejis rodo a → = n p b → a → → , o tai reiškia a → = n p b → a → → , taigi turime n p b → a → = a → cos a → , b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .

4 apibrėžimas

Vektoriaus a → skaitinė projekcija į ašį L , kuri nukreipta kaip b → , turi reikšmę:

• vektoriaus a → projekcijos į L ilgis su sąlyga, kad kampas tarp a → ir b → yra mažesnis nei 90 laipsnių arba lygus 0: n p b → a → = n p b → a → → su sąlyga 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nulis, kai statmena a → ir b → : n p b → a → = 0, kai (a → , b → ^) = 90 ° ;
• projekcijos a → ilgis į L, kartus -1, kai yra bukas arba plokščias vektorių a → ir b → kampas: n p b → a → = - n p b → a → → su 90° sąlyga< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

5 pavyzdys

Atsižvelgiant į projekcijos a → ilgį į L , lygus 2 . Raskite skaitinę projekciją a →, jei kampas yra 5 π 6 radianai.

Sprendimas

Iš sąlygos, kad šis kampas yra bukas, matyti: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Atsakymas: - 2.

6 pavyzdys

Duota plokštuma O x y z, kurios vektoriaus a → ilgis lygus 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) su 30 laipsnių kampu. Raskite projekcijos a → koordinates į L ašį.

Sprendimas

Pirmiausia apskaičiuojame vektoriaus a → skaitinę projekciją: n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .

Pagal sąlygą kampas yra smailusis, tada skaitinė projekcija a → = yra vektoriaus a → projekcijos ilgis: n p L a → = n p L a → → = 9 . Šis atvejis rodo, kad vektoriai n p L a → → ir b → yra nukreipti kartu, o tai reiškia, kad yra skaičius t, kurio lygybė yra teisinga: n p L a → → = t · b → . Iš čia matome, kad n p L a → → = t b → , todėl galime rasti parametro t reikšmę: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.

Tada n p L a → → = 3 b → su vektoriaus a → projekcijos į L ašį koordinatėmis yra b → = (- 2 , 1 , 2) , kur reikia reikšmes padauginti iš 3 Turime n p L a → → = (- 6 , 3 , 6 ). Atsakymas: (- 6 , 3 , 6) .

Būtina pakartoti anksčiau ištirtą informaciją apie vektoriaus kolineariškumo sąlygą.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Tegul du vektoriai ir yra pateikti erdvėje. Atidėkite nuo savavališko taško O vektoriai ir . kampas tarp vektorių ir vadinamas mažiausiu iš kampų. Žymima .

Apsvarstykite ašį l ir nubraižyti ant jo vienetinį vektorių (tai yra vektorių, kurio ilgis lygus vienetui).

Kampas tarp vektoriaus ir ašies l suprasti kampą tarp vektorių ir .

Taigi tegul l yra tam tikra ašis ir yra vektorius.

Pažymėti A 1 ir B1 projekcijos ant ašies l taškų A ir B. Apsimeskime tai A 1 turi koordinates x 1, a B1- koordinuoti x2 ant ašies l.

Tada projekcija vektorius vienai ašiai l vadinamas skirtumu x 1 – x2 tarp vektoriaus pabaigos ir pradžios projekcijų į šią ašį koordinačių.

Vektoriaus projekcija į ašį l pažymėsime .

Aišku, kad jei kampas tarp vektoriaus ir ašies l tada aštrus x2> x 1, ir projekcija x2 – x 1> 0; jei šis kampas yra bukas, tada x2< x 1 ir projekcija x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, tada x2= x 1 ir x2– x 1=0.

Taigi, vektoriaus projekcija į ašį l yra atkarpos ilgis A 1 B 1 paimtas su tam tikru ženklu. Todėl vektoriaus projekcija į ašį yra skaičius arba skaliaras.

Panašiai apibrėžiama ir vieno vektoriaus projekcija į kitą. Šiuo atveju šio vektoriaus galų projekcijos randamos tiesėje, kurioje yra 2-asis vektorius.

Pažvelkime į keletą pagrindinių projekcijos savybės.

LINIJAI PRIKLAUSOMO IR LINIJAI NEPRIKLAUSOMO VEKTORIAUS SISTEMOS

Panagrinėkime kelis vektorius.

Linijinis derinys iš šių vektorių yra bet koks formos vektorius, kur yra keletas skaičių. Skaičiai vadinami tiesinės kombinacijos koeficientais. Taip pat sakoma, kad šiuo atveju tiesiškai išreiškiama duotais vektoriais , t.y. gauti iš jų tiesinėmis operacijomis.

Pavyzdžiui, jei pateikiami trys vektoriai, vektoriai gali būti laikomi jų tiesine kombinacija:

Jei vektorius vaizduojamas kaip tiesinis kai kurių vektorių derinys, tada sakoma, kad jis yra suskaidytas palei šiuos vektorius.

Vektoriai vadinami tiesiškai priklausomas, jei yra tokių skaičių, ne visi lygūs nuliui, tai . Akivaizdu, kad pateikti vektoriai bus tiesiškai priklausomi, jei kuris nors iš šių vektorių bus tiesiškai išreikštas kitais.

Priešingu atveju, t.y. kai santykis atliekama tik tada, kai , šie vektoriai vadinami tiesiškai nepriklausomas.

1 teorema. Bet kurie du vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai yra kolineariniai.

Įrodymas:

Panašiai galima įrodyti ir toliau pateiktą teoremą.

2 teorema. Trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie yra vienodi.

Įrodymas.

PAGRINDAS

Pagrindas yra nenulinių tiesiškai nepriklausomų vektorių rinkinys. Pagrindo elementai bus pažymėti .

Ankstesniame poskyryje matėme, kad du nekolineariniai vektoriai plokštumoje yra tiesiškai nepriklausomi. Todėl, remiantis 1 teorema iš ankstesnės pastraipos, pagrindas plokštumoje yra bet kurie du nekolineariniai vektoriai šioje plokštumoje.

Panašiai bet kurie trys ne lygiaplaniai vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi erdvėje. Todėl trys nevienaplaniai vektoriai vadinami pagrindu erdvėje.

Šis teiginys yra teisingas.

Teorema. Tegul pagrindas yra duotas erdvėje. Tada bet kuris vektorius gali būti pavaizduotas kaip tiesinis derinys , kur x, y, z- kai kurie skaičiai. Toks skilimas yra unikalus.

Įrodymas.

Taigi pagrindas leidžia unikaliai susieti kiekvieną vektorių su skaičių trigubu - šio vektoriaus plėtimosi koeficientais pagal pagrindo vektorius: . Ir atvirkščiai, kiekvienas skaičių trigubas x, y, z naudodamiesi pagrindu, galite suderinti vektorių, jei sukuriate tiesinį derinį .

Jei pagrindas ir , tada skaičiai x, y, z paskambino koordinates vektoriai duotame pagrinde. Vektoriaus koordinatės žymi .

KARTESIJŲ KOORDINAČIŲ SISTEMA

Tegu erdvėje duotas taškas O ir trys nevienaplaniai vektoriai.

Dekarto koordinačių sistema erdvėje (plokštumoje) vadinama taško ir pagrindo aibe, t.y. taško ir trijų nevienaplanių vektorių (2 nekolinearinių vektorių), išeinančių iš šio taško, aibė.

Taškas O vadinamas kilme; tiesės, einančios per pradinę vietą bazinių vektorių kryptimi, vadinamos koordinačių ašimis – abscisių, ordinačių ir taikomųjų ašių. Plokštumos, einančios per koordinačių ašis, vadinamos koordinačių plokštumos.

Apsvarstykite savavališką tašką pasirinktoje koordinačių sistemoje M. Pateikiame taško koordinatės sąvoką M. Vektorius, jungiantis pradžią su tašku M. paskambino spindulio vektorius taškų M.

Pasirinkto pagrindo vektorius gali būti susietas su skaičių trigubu - jo koordinatėmis: .

Taško spindulio vektoriaus koordinatės M. paskambino taško M koordinatės. nagrinėjamoje koordinačių sistemoje. M(x,y,z). Pirmoji koordinatė vadinama abscisėmis, antroji – ordinata, o trečioji – aplikacija.

Dekarto koordinatės plokštumoje apibrėžiamos panašiai. Čia taškas turi tik dvi koordinates – abscisę ir ordinatę.

Nesunku pastebėti, kad tam tikroje koordinačių sistemoje kiekvienas taškas turi tam tikras koordinates. Kita vertus, kiekvienam skaičių tripletui yra vienas taškas, kuriame šie skaičiai yra koordinatės.

Jei pasirinktoje koordinačių sistemoje paimti į pagrindą vektoriai yra vienetinio ilgio ir yra poromis statmeni, tada koordinačių sistema vadinama Dekarto stačiakampis.

Tai lengva parodyti.

Vektoriaus krypties kosinusai visiškai nustato jo kryptį, bet nieko nesako apie jo ilgį.

Konverguojančių jėgų pusiausvyros uždavinių sprendimas konstruojant uždarų jėgų daugiakampius yra susijęs su sudėtingomis konstrukcijomis. Universalus tokių problemų sprendimo būdas yra perėjimas prie duotų jėgų projekcijų nustatymo koordinačių ašyse ir darbo su šiomis projekcijomis. Ašis vadinama tiesia linija, kuriai priskiriama tam tikra kryptis.

Vektoriaus projekcija į ašį yra skaliarinė vertė, kurią lemia ašies atkarpa, nupjauta statmenais, nukritusiais į ją nuo vektoriaus pradžios ir pabaigos.

Vektoriaus projekcija laikoma teigiama, jei kryptis nuo projekcijos pradžios iki jos pabaigos sutampa su teigiama ašies kryptimi. Vektoriaus projekcija laikoma neigiama, jei kryptis nuo projekcijos pradžios iki jos pabaigos yra priešinga teigiamai ašies krypčiai.

Taigi jėgos projekcija koordinačių ašyje yra lygi jėgos modulio ir kampo tarp jėgos vektoriaus ir teigiamos ašies krypties kosinuso sandaugai.

Apsvarstykite keletą jėgų projektavimo į ašį atvejų:

Jėgos vektorius F(15 pav.) daro smailųjį kampą su teigiama x ašies kryptimi.

Norėdami rasti projekciją, nuo jėgos vektoriaus pradžios ir pabaigos nuleidžiame statmenis į ašį Oi; mes gauname

1. Fx = F cosα

Vektoriaus projekcija šiuo atveju yra teigiama

Jėga F(16 pav.) yra su teigiama ašies kryptimi X bukas kampas α.

Tada F x= F cos α, bet kadangi α = 180 0 - φ,

F x= F cosα = F cos180 0 - φ =- F cos phi.

Jėgos projekcija F vienai ašiai Oišiuo atveju yra neigiamas.

Jėga F(17 pav.) statmenai ašiai Oi.

Jėgos F projekcija į ašį X nulis

F x= F cos 90° = 0.

Jėga, esanti lėktuve kaip(18 pav.), gali būti projektuojamas į dvi koordinačių ašis Oi ir OU.

Stiprumas F gali būti suskirstyti į komponentus: F x ir F y . Vektorinis modulis F x lygus vektorinei projekcijai F vienai ašiai Jautis, ir vektoriaus modulis F y lygi vektoriaus projekcijai F vienai ašiai oi.

Nuo Δ OAB: F x= F cosα, F x= F sinα.

Nuo Δ SLA: F x= F cos phi, F x= F sin phi.

Jėgos modulį galima rasti naudojant Pitagoro teoremą:

Vektorių sumos arba rezultato projekcija bet kurioje ašyje yra lygi vektorių narių projekcijų toje pačioje ašyje algebrinei sumai.

Apsvarstykite konverguojančias jėgas F 1 , F 2 , F 3 ir F 4, (19 pav., a). Geometrinė šių jėgų suma arba rezultatas F nustatomas pagal jėgos daugiakampio uždarymo pusę

Nukreipkite nuo jėgos daugiakampio viršūnių į ašį x statmenai.

Atsižvelgdami į gautas jėgų projekcijas tiesiogiai iš baigtos konstrukcijos, turime

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

čia n yra vektorių narių skaičius. Jų projekcijos įveda į aukščiau pateiktą lygtį su atitinkamu ženklu.

Plokštumoje geometrinė jėgų suma gali būti projektuojama į dvi koordinačių ašis, o erdvėje - į tris.