Tema yra absoliuti ir santykinė klaida. Fizinių dydžių matavimas

Tegul koks nors atsitiktinis kintamasis a išmatuotas n kartų tomis pačiomis sąlygomis. Matavimo rezultatai davė aibę n skirtingi skaičiai

Absoliuti klaida- matmenų vertė. Tarp n Absoliučios paklaidos vertės būtinai yra teigiamos ir neigiamos.

Dėl labiausiai tikėtinos kiekio vertės A paprastai imamasi vidutinis matavimo rezultatų vertė

.

Kaip didesnis skaičius matavimai, tuo vidutinė vertė yra arčiau tikrosios vertės.

Absoliuti klaidai

.

Santykinė klaidai-tas matavimas vadinamas kiekiu

Santykinė paklaida yra bematis dydis. Paprastai santykinė klaida išreikštas procentais, už tai e i padauginkite iš 100%. Santykinės paklaidos dydis apibūdina matavimo tikslumą.

Vidutinė absoliuti paklaida apibrėžiamas taip:

.

Pabrėžiame, kad reikia susumuoti dydžių D absoliučias reikšmes (modulius). ir aš. Priešingu atveju rezultatas bus lygus nuliui.

Vidutinė santykinė paklaida vadinamas kiekiu

.

At didelis skaičius matavimai

Santykinė paklaida gali būti laikoma paklaidos verte, tenkančia išmatuotos vertės vienetui.

Apie matavimų tikslumą sprendžiama lyginant matavimo rezultatų paklaidas. Todėl matavimo paklaidos išreiškiamos tokia forma, kad tikslumui įvertinti pakanka lyginti tik rezultatų paklaidas, nelyginant matuojamų objektų dydžių ar labai apytiksliai žinant šiuos dydžius. Iš praktikos žinoma, kad absoliuti paklaida matuojant kampą nepriklauso nuo kampo reikšmės, o absoliuti ilgio matavimo paklaida priklauso nuo ilgio reikšmės. Kaip daugiau vertės ilgio, ypač su šis metodas ir matavimo sąlygomis, absoliuti paklaida bus didesnė. Vadinasi, pagal absoliučią rezultato paklaidą galima spręsti apie kampo matavimo tikslumą, tačiau negalima spręsti apie ilgio matavimo tikslumą. Klaidos išreiškimas santykine forma leidžia palyginti kampinių ir tiesinių matavimų tikslumą žinomais atvejais.

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos. Atsitiktinė klaida.

Atsitiktinė klaida vadinamas matavimo paklaidos komponentu, kuris atsitiktinai kinta pakartotinai matuojant tą patį kiekį.

Atliekant pakartotinius to paties pastovaus, nekintančio dydžio matavimus vienodai atsargiai ir tomis pačiomis sąlygomis, gauname matavimo rezultatus – kai kurie skiriasi vienas nuo kito, o kai kurie sutampa. Tokie matavimo rezultatų neatitikimai rodo, kad juose yra atsitiktinių klaidų komponentų.

Atsitiktinė paklaida atsiranda vienu metu veikiant daugeliui šaltinių, kurių kiekvienas pats savaime turi nepastebimą poveikį matavimo rezultatui, tačiau bendra visų šaltinių įtaka gali būti gana stipri.

Atsitiktinės paklaidos yra neišvengiama bet kokių matavimų pasekmė ir jas sukelia:

a) prietaisų ir prietaisų skalės rodmenų netikslumas;

b) pakartotinių matavimų sąlygų netapatumas;

c) atsitiktiniai išorinių sąlygų (temperatūros, slėgio, jėgos lauko ir kt.) pokyčiai, kurių negalima kontroliuoti;

d) visos kitos įtakos matavimams, kurių priežastys mums nežinomos. Atsitiktinės paklaidos dydį galima sumažinti kartojant eksperimentą daug kartų ir atitinkamai matematiškai apdorojant gautus rezultatus.

Atsitiktinė klaida gali būti kitokia absoliučioji vertė vertes, kurių neįmanoma numatyti tam tikram matavimo veiksmui. Ši klaida gali būti vienodai teigiama arba neigiama. Eksperimente visada yra atsitiktinių klaidų. Jei nėra sisteminių klaidų, jie sukelia pakartotinių matavimų sklaidą, palyginti su tikrąja verte.

Tarkime, kad švytuoklės svyravimo periodas matuojamas chronometru, o matavimas kartojamas daug kartų. Klaidos paleidžiant ir sustabdant chronometrą, skaitymo vertės paklaida, nedidelis švytuoklės judėjimo netolygumas – visa tai sukelia pakartotinių matavimų rezultatų išsibarstymą, todėl gali būti klasifikuojami kaip atsitiktinės klaidos.

Jei nėra kitų klaidų, kai kurie rezultatai bus šiek tiek pervertinti, o kiti - šiek tiek neįvertinti. Bet jei, be to, laikrodis atsilieka, tada visi rezultatai bus neįvertinti. Tai jau sisteminė klaida.

Kai kurie veiksniai gali sukelti ir sistemines, ir atsitiktines klaidas tuo pačiu metu. Taigi, įjungdami ir išjungdami chronometrą, galime sukurti nedidelį netaisyklingą laikrodžio pradžios ir sustabdymo laiko skirtumą švytuoklės judėjimo atžvilgiu ir taip įvesti atsitiktinę klaidą. Bet jei, be to, kiekvieną kartą skubame įjungti chronometrą ir šiek tiek vėluojame jį išjungti, tai sukels sistemingą klaidą.

Atsitiktinės paklaidos atsiranda dėl paralakso paklaidos skaičiuojant instrumentų skalių padalijas, pastato pamatų drebėjimą, nežymaus oro judėjimo įtaka ir kt.

Nors atskirų matavimų atsitiktinių paklaidų pašalinti neįmanoma, tačiau matematinė atsitiktinių reiškinių teorija leidžia sumažinti šių paklaidų įtaką galutiniam matavimo rezultatui. Žemiau bus parodyta, kad tam reikia atlikti ne vieną, o kelis matavimus ir kuo mažesnę paklaidos reikšmę norime gauti, tuo daugiau matavimų reikia atlikti.

Atsižvelgiant į tai, kad atsitiktinių klaidų atsiradimas yra neišvengiamas ir neišvengiamas, pagrindinis bet kurio matavimo proceso uždavinys yra sumažinti paklaidas iki minimumo.

Klaidų teorija remiasi dviem pagrindinėmis prielaidomis, patvirtintomis patirtimi:

1. Atliekant daug matavimų, atsitiktinės paklaidos yra tokio pat dydžio, bet skirtingas ženklas, tai yra, gana dažnai pasitaiko klaidų rezultato didinimo ir mažinimo kryptimi.

2. Klaidos, kurių absoliuti reikšmė yra didelė, pasitaiko rečiau nei mažos, todėl jos dydžiui didėjant klaidos atsiradimo tikimybė mažėja.

Atsitiktinių dydžių elgsena apibūdinama statistiniais modeliais, kurie yra tikimybių teorijos objektas. Statistinis tikimybės apibrėžimas w iįvykius i yra santykis

Kur n- bendras eksperimentų skaičius, n i– eksperimentų, kurių metu įvyko įvykis, skaičius iįvyko. Šiuo atveju bendras eksperimentų skaičius turėtų būti labai didelis ( n®¥). Atliekant daug matavimų, atsitiktinės paklaidos paklūsta normaliam pasiskirstymui (Gauso skirstiniui), kurio pagrindinės ypatybės yra šios:

1. Ką didesnis nuokrypis išmatuoto dydžio vertė nuo tikrojo, t mažiau tikėtina toks rezultatas.

2. Nukrypimai į abi puses nuo tikrosios vertės yra vienodai tikėtini.

Iš aukščiau pateiktų prielaidų išplaukia, kad norint sumažinti atsitiktinių paklaidų įtaką, šią reikšmę reikia išmatuoti kelis kartus. Tarkime, kad matuojame kokį nors kiekį x. Tegul jis gaminamas n išmatavimai: x 1 , x 2 , ... x n- naudojant tą patį metodą ir taip pat atsargiai. Galima tikėtis, kad skaičius dn gautus rezultatus, kurie slypi gana siaurame intervale nuo x prieš x + dx, turi būti proporcinga:

Paimto intervalo dydis dx;

Bendras matavimų skaičius n.

Tikimybė dw(x), kad tam tikra vertė x yra diapazone nuo x prieš x + dx, apibrėžiamas taip :

(su matavimų skaičiumi n ®¥).

Funkcija f(X) vadinama pasiskirstymo funkcija arba tikimybės tankiu.

Kaip klaidų teorijos postulatas priimta, kad tiesioginių matavimų rezultatai ir jų atsitiktinės paklaidos, kai jų yra daug, paklūsta normaliojo skirstinio dėsniui.

Gauso rasta nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija x Tai turi kitas vaizdas:

, kur mis - paskirstymo parametrai .

Normaliojo skirstinio parametras m lygus vidutinei reikšmei b xñ atsitiktinis dydis, kuris savavališkai žinomai skirstinio funkcijai nustatomas integralu

.

Taigi, reikšmė m yra labiausiai tikėtina išmatuoto dydžio x reikšmė, t.y. jos geriausias įvertinimas.

Normaliojo skirstinio parametras s 2 yra lygus atsitiktinio dydžio dispersijai D, kurią bendruoju atveju lemia šis integralas

.

Kvadratinė šaknis nuo dispersijos vadinamas standartiniu atsitiktinio dydžio nuokrypiu.

Atsitiktinio dydžio ásñ vidutinis nuokrypis (paklaida) nustatomas naudojant pasiskirstymo funkciją taip

Vidutinė matavimo paklaida ásñ, apskaičiuota pagal Gauso skirstinio funkciją, yra susieta su standartinio nuokrypio reikšme taip:

< s > = 0,8 s.

Parametrai s ir m yra susiję vienas su kitu taip:

.

Ši išraiška leidžia rasti standartinį nuokrypį s, jei yra normalaus pasiskirstymo kreivė.

Gauso funkcijos grafikas pateiktas paveiksluose. Funkcija f(x) yra simetriška taške nubrėžtai ordinatai x = m; taške praeina per maksimumą x = m ir turi vingį taškuose m ±s. Taigi, dispersija apibūdina pasiskirstymo funkcijos plotį arba parodo, kaip plačiai atsitiktinio dydžio reikšmės yra išsklaidytos, palyginti su jo tikra verte. Kuo tikslesni matavimai, tuo arčiau tikrosios vertės atskirų matavimų rezultatai, t.y. s reikšmė yra mažesnė. A paveiksle parodyta funkcija f(x) trims s reikšmėms .

Figūros plotas, aptvertas kreive f(x) ir vertikalios linijos, nubrėžtos iš taškų x 1 ir x 2 (B pav.) , skaitine prasme lygus tikimybei, kad matavimo rezultatas pateks į intervalą D x = x 1 -x 2, kuri vadinama pasitikėjimo tikimybe. Plotas po visa kreive f(x) yra lygi tikimybei, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą nuo 0 iki ¥, t.y.

,

kadangi patikimo įvykio tikimybė lygi vienetui.

Naudojant normalųjį skirstinį, klaidų teorija kelia ir išsprendžia dvi pagrindines problemas. Pirmasis yra atliktų matavimų tikslumo įvertinimas. Antrasis – vidurkio tikslumo įvertinimas aritmetinė vertė matavimo rezultatai.5. Pasitikėjimo intervalas. Studento koeficientas.

Tikimybių teorija leidžia mums nustatyti intervalo, kuriame esant žinoma tikimybei, dydį w randami atskirų matavimų rezultatai. Ši tikimybė vadinama pasitikėjimo tikimybė, ir atitinkamas intervalas (<x>±D x)w paskambino pasitikėjimo intervalas. Pasitikėjimo tikimybė taip pat yra lygi rezultatų, patenkančių į pasikliautinąjį intervalą, santykinei proporcijai.

Jei matavimų skaičius n yra pakankamai didelis, tada pasitikėjimo tikimybė išreiškia proporciją iš vison tuos matavimus, kurių metu išmatuota vertė buvo pasikliautinojo intervalo ribose. Kiekviena pasitikėjimo tikimybė w atitinka jo pasikliautinąjį intervalą w 2 80%. Kuo platesnis pasikliautinasis intervalas, tuo didesnė tikimybė gauti rezultatą per tą intervalą. Tikimybių teorijoje nustatomas kiekybinis ryšys tarp pasikliautinojo intervalo reikšmės, pasikliautinumo tikimybės ir matavimų skaičiaus.

Jei pasikliautinuoju intervalu pasirinksime intervalą, atitinkantį vidutinę paklaidą, tai yra, D a = Reklama Añ, tada pakankamai dideliam matavimų skaičiui atitinka pasitikėjimo tikimybę w 60 proc. Matavimų skaičiui mažėjant, tokį pasikliautinąjį intervalą atitinkanti pasikliovimo tikimybė (á Añ ± Reklama Añ), mažėja.

Taigi, norint įvertinti atsitiktinio dydžio pasikliovimo intervalą, galima naudoti vidutinės paklaidos áD reikšmę Añ .

Atsitiktinės paklaidos dydžiui apibūdinti reikia nurodyti du skaičius, būtent pasikliautinojo intervalo reikšmę ir pasikliautinosios tikimybės reikšmę . Nurodyti tik klaidos dydį be atitinkamos pasikliovimo tikimybės iš esmės beprasmiška.

Jei vidutinė matavimo paklaida ásñ yra žinoma, pasikliautinasis intervalas parašytas kaip (<x>± ásñ) w, nustatyta su patikimumo tikimybe w= 0,57.

Jei žinomas standartinis nuokrypis s matavimo rezultatų pasiskirstymas, nurodytas intervalas turi formą (<x>± t w s) w, Kur t w- koeficientas, priklausantis nuo pasikliovimo tikimybės vertės ir apskaičiuojamas naudojant Gauso skirstinį.

Dažniausiai naudojami kiekiai D x yra pateiktos 1 lentelėje.

Dažnai gyvenime tenka susidurti su įvairiais apytiksliais kiekiais. Apytiksliai skaičiavimai visada yra skaičiavimai su tam tikra klaida.

Absoliučios klaidos samprata

Apytikslės reikšmės absoliuti paklaida yra skirtumo tarp tikslios vertės ir apytikslės reikšmės dydis.
Tai reiškia, kad reikia atimti apytikslę vertę iš tikslios vertės ir paimti gautą skaičių modulo. Taigi absoliuti paklaida visada yra teigiama.

Kaip apskaičiuoti absoliučią paklaidą

Parodykime, kaip tai gali atrodyti praktiškai. Pavyzdžiui, turime tam tikros reikšmės grafiką, tebūnie tai parabolė: y=x^2.

Iš grafiko kai kuriuose taškuose galime nustatyti apytikslę reikšmę. Pavyzdžiui, kai x=1,5, y reikšmė yra maždaug lygi 2,2 (y≈2,2).

Naudodami formulę y=x^2 galime rasti tikslią reikšmę taške x=1,5 y= 2,25.

Dabar apskaičiuokime absoliučią mūsų matavimų paklaidą. |2,25-2,2|=|0,05| = 0,05.

Absoliuti paklaida yra 0,05. Tokiais atvejais jie taip pat sako, kad vertė apskaičiuojama 0,05 tikslumu.

Dažnai atsitinka taip, kad ne visada galima rasti tikslią reikšmę, todėl ne visada galima rasti absoliučią klaidą.

Pavyzdžiui, jei atstumą tarp dviejų taškų apskaičiuosime naudodami liniuotę, arba kampo tarp dviejų tiesių, naudodami transporterį, reikšmę, gausime apytiksles vertes. Tačiau tikslios vertės apskaičiuoti neįmanoma. IN tokiu atveju, galime nurodyti tokį skaičių, kad absoliučios paklaidos reikšmė negali būti didesnė.

Pavyzdyje su liniuote tai bus 0,1 cm, nes liniuotės padalijimo reikšmė yra 1 milimetras. Pavyzdyje, skirtame matlankiui, 1 laipsnis, nes kiekvieno laipsnio kampo skalė graduojama. Taigi absoliučios paklaidos vertės pirmuoju atveju yra 0,1, o antruoju atveju - 1.

Fiziniams dydžiams būdinga „klaidos tikslumo“ sąvoka. Yra toks posakis, kad matuojant galima sužinoti. Taip, kaip ir daugelis kitų, galite sužinoti namo aukštį ar gatvės ilgį.

Įvadas

Supraskime sąvokos „išmatuoti kiekį“ reikšmę. Matavimo procesas yra lyginti jį su vienarūšiais dydžiais, kurie laikomi vienetu.

Tūriui nustatyti naudojami litrai, masei – gramai. Kad skaičiavimai būtų patogesni, buvo įdiegta SI sistema tarptautinė klasifikacija vienetų.

Matuojant lazdos ilgį - metrai, masę - kilogramus, tūrį - kubinių litrų, laikas - sekundės, greitis - metrai per sekundę.

Skaičiuojant fiziniai dydžiai ne visada reikia juo naudotis tradiciniu būdu, pakanka taikyti skaičiavimą naudojant formulę. Pavyzdžiui, norint apskaičiuoti tokius rodiklius kaip Vidutinis greitis, nuvažiuotą atstumą reikia padalyti iš kelyje praleisto laiko. Taip apskaičiuojamas vidutinis greitis.

Kai naudojami matavimo vienetai, kurie dešimt, šimtą, tūkstantį kartų didesni už priimtus matavimo vienetus, jie vadinami kartotiniais.

Kiekvieno priešdėlio pavadinimas atitinka jo daugiklio numerį:

1. Deka.
2. Hecto.
3. Kilo.
4. Mega.
5. Giga.
6. Tera.

Fizikos moksle tokiems veiksniams užrašyti naudojami laipsniai 10. Pavyzdžiui, milijonas rašomas kaip 10 6 .

Paprastoje liniuotėje ilgis turi matavimo vienetą – centimetrus. Jis yra 100 kartų mažesnis nei metras. 15 cm liniuotė yra 0,15 m ilgio.

Liniuotė yra paprasčiausias matavimo prietaisas ilgiui matuoti. Sudėtingesni prietaisai yra pavaizduoti termometru - į higrometrą - drėgmei nustatyti, ampermetras - matuoti jėgos, kuria sklinda elektros srovė, lygį.

Kiek tikslūs bus matavimai?

Paimkite liniuotę ir paprastą pieštuką. Mūsų užduotis – išmatuoti šios raštinės reikmenų ilgį.

Pirmiausia turite nustatyti, kokia yra padalijimo kaina, nurodyta matavimo prietaiso skalėje. Ant dviejų padalų, kurios yra artimiausi skalės brūkšniai, rašomi skaičiai, pavyzdžiui, „1“ ir „2“.

Būtina suskaičiuoti, kiek padalų yra tarp šių skaičių. Jei suskaičiuota teisingai, tai bus „10“. Iš didesnio skaičiaus atimkime tą skaičių, kuris bus mažesnis, ir padalykime iš skaičiaus, kuris yra padalijimas tarp skaitmenų:

(2–1) / 10 = 0,1 (cm)

Taigi nustatome, kad kanceliarinių prekių skirstymą lemianti kaina yra skaičius 0,1 cm arba 1 mm. Aiškiai parodyta, kaip naudojant bet kurią matavimo priemonę nustatomas padalijimo kainos rodiklis.

Matuodami pieštuką, kurio ilgis yra šiek tiek mažesnis nei 10 cm, panaudosime įgytas žinias. Jei ant liniuotės nebūtų smulkių padalų, būtų daroma išvada, kad objekto ilgis yra 10 cm. Ši apytikslė reikšmė vadinama matavimo paklaida. Tai rodo netikslumo lygį, kuris gali būti toleruojamas atliekant matavimus.

Pieštuko ilgio parametrų nustatymas su daugiau aukštas lygis tikslumas, didesne kaina padalijimas, pasiekiamas didesnis matavimo tikslumas, o tai užtikrina mažesnę paklaidą.

Šiuo atveju negalima atlikti visiškai tikslių matavimų. Ir rodikliai neturėtų viršyti padalijimo kainos dydžio.

Nustatyta, kad matavimo paklaida yra ½ kainos, nurodytos matmenims nustatyti naudojamo prietaiso gradacijose.

Išmatavę 9,7 cm pieštuką, nustatysime jo paklaidos rodiklius. Tai yra intervalas 9,65 - 9,85 cm.

Šią klaidą matuojanti formulė yra skaičiavimas:

A = a ± D (a)

A - procesų matavimo kiekio forma;

a – matavimo rezultato vertė;

D - absoliučios paklaidos žymėjimas.

Atimant arba pridedant reikšmes su klaida, rezultatas bus lygi sumai kiekvienos atskiros vertės klaidos rodikliai.

Įvadas į koncepciją

Jei atsižvelgsime į jo išraiškos būdą, galime išskirti šias veisles:

• Absoliutus.
• Giminaitis.
• Duota.

Absoliuti matavimo paklaida žymima didžiąja raide „Delta“. Ši sąvoka apibrėžiama kaip skirtumas tarp išmatuotų ir faktinių matuojamo fizinio dydžio verčių.

Absoliučios matavimo paklaidos išraiška yra dydžio, kurį reikia išmatuoti, vienetai.

Matuojant masę, ji bus išreikšta, pavyzdžiui, kilogramais. Tai nėra matavimo tikslumo standartas.

Kaip apskaičiuoti tiesioginių matavimų paklaidą?

Yra būdų, kaip pavaizduoti matavimo paklaidas ir jas apskaičiuoti. Tam svarbu mokėti reikiamu tikslumu nustatyti fizikinį dydį, žinoti, kokia yra absoliuti matavimo paklaida, kad jos niekas niekada negalės rasti. Galima apskaičiuoti tik jos ribinę vertę.

Net jei šis terminas vartojamas sutartinai, jis tiksliai nurodo ribinius duomenis. Absoliučios ir santykinės matavimo paklaidos žymimos tomis pačiomis raidėmis, skiriasi jų rašyba.

Matuojant ilgį, absoliuti paklaida bus matuojama vienetais, kuriais skaičiuojamas ilgis. O santykinė paklaida apskaičiuojama be matmenų, nes tai yra absoliučios paklaidos ir matavimo rezultato santykis. Ši vertė dažnai išreiškiama procentais arba trupmena.

Absoliučios ir santykinės matavimo paklaidos turi keletą Skirtingi keliai skaičiavimai, priklausomai nuo to, kokie fiziniai dydžiai.

Tiesioginio matavimo samprata

Tiesioginių matavimų absoliučios ir santykinės paklaidos priklauso nuo prietaiso tikslumo klasės ir galimybės nustatyti svėrimo paklaidą.

Prieš kalbant apie tai, kaip apskaičiuojama klaida, būtina paaiškinti apibrėžimus. Tiesioginis matavimas yra matavimas, kurio metu rezultatas tiesiogiai nuskaitomas iš prietaiso skalės.

Kai naudojame termometrą, liniuotę, voltmetrą ar ampermetrą, visada atliekame tiesioginius matavimus, nes tiesiogiai naudojame prietaisą su svarstykle.

Yra du veiksniai, turintys įtakos rodmenų efektyvumui:

• Instrumento klaida.
• Atskaitos sistemos klaida.

Absoliuti tiesioginių matavimų paklaidos riba bus lygi paklaidos, kurią rodo prietaisas, ir paklaidos, kuri atsiranda skaičiavimo proceso metu, sumai.

D = D (plokščias) + D (nulis)

Pavyzdys su medicininiu termometru

Klaidų indikatoriai nurodyti pačiame įrenginyje. Medicininio termometro paklaida yra 0,1 laipsnio Celsijaus. Skaičiavimo klaida yra pusė padalijimo vertės.

D ots. = C/2

Jei padalijimo vertė yra 0,1 laipsnio, medicininiam termometrui galite atlikti šiuos skaičiavimus:

D = 0,1 o C + 0,1 o C / 2 = 0,15 o C

Kito termometro skalės gale yra specifikacija ir nurodyta, kad norint atlikti teisingus matavimus, būtina panardinti visą termometro galinę dalį. nenurodyta. Lieka tik skaičiavimo klaida.

Jei šio termometro skalės padalos reikšmė yra 2 o C, tai galima matuoti temperatūrą 1 o C tikslumu. Tai yra leistinos absoliučios matavimo paklaidos ribos ir absoliučios matavimo paklaidos skaičiavimas.

Elektriniuose matavimo prietaisuose naudojama speciali tikslumo skaičiavimo sistema.

Elektrinių matavimo priemonių tikslumas

Norint nurodyti tokių įrenginių tikslumą, naudojama reikšmė, vadinama tikslumo klase. Jai žymėti naudojama raidė „gama“. Norint tiksliai nustatyti absoliučią ir santykinę matavimo paklaidą, reikia žinoti prietaiso tikslumo klasę, kuri nurodyta skalėje.

Paimkime, pavyzdžiui, ampermetrą. Jo skalė nurodo tikslumo klasę, kuri rodo skaičių 0,5. Jis tinka nuolatinės ir kintamosios srovės matavimams ir priklauso elektromagnetinių sistemų įrenginiams.

Tai gana tikslus prietaisas. Jei palyginsite jį su mokykliniu voltmetru, pamatysite, kad jo tikslumo klasė yra 4. Norėdami atlikti tolesnius skaičiavimus, turite žinoti šią vertę.

Žinių pritaikymas

Taigi, D c = c (max) X γ /100

Mes naudosime šią formulę konkrečių pavyzdžių. Naudokime voltmetrą ir raskime baterijos teikiamos įtampos matavimo paklaidą.

Prijunkite akumuliatorių tiesiai prie voltmetro, pirmiausia patikrindami, ar adata yra nuliui. Prijungus prietaisą, adata nukrypo 4,2 padalos. Šią būseną galima apibūdinti taip:

1. Matyti, kad didžiausia šio elemento U vertė yra 6.
2. Tikslumo klasė -(γ) = 4.
3. U(o) = 4,2 V.
4. C = 0,2 V

Naudojant šiuos formulės duomenis, absoliuti ir santykinė matavimo paklaida apskaičiuojama taip:

D U = DU (pvz.) + C/2

D U (pvz.) = U (maks.) X γ /100

D U (pvz.) = 6 V X 4/100 = 0,24 V

Tai yra įrenginio klaida.

Absoliučios matavimo paklaidos apskaičiavimas šiuo atveju bus atliktas taip:

D U = 0,24 V + 0,1 V = 0,34 V

Naudodami aukščiau aptartą formulę galite lengvai sužinoti, kaip apskaičiuoti absoliučią matavimo paklaidą.

Yra apvalinimo klaidų taisyklė. Tai leidžia rasti vidurkį tarp absoliučios ir santykinės paklaidos ribų.

Mokymasis nustatyti svėrimo paklaidą

Tai vienas iš tiesioginių matavimų pavyzdžių. Svėrimas turi ypatingą vietą. Juk svirtinės svarstyklės neturi svarstyklių. Sužinokime, kaip nustatyti tokio proceso klaidą. Masės matavimo tikslumui įtakos turi svorių tikslumas ir pačių svarstyklių tobulumas.

Mes naudojame svirtines svarstykles su svarmenų rinkiniu, kuris turi būti dedamas ant dešinės svarstyklių padėklo. Norėdami pasverti, paimkite liniuotę.

Prieš pradėdami eksperimentą, turite subalansuoti svarstykles. Padėkite liniuotę ant kairiojo dubens.

Masė bus lygi sumontuotų svorių sumai. Nustatykime šio dydžio matavimo paklaidą.

D m = D m (svarstyklės) + D m (svoriai)

Masės matavimo paklaida susideda iš dviejų terminų, susijusių su svarstyklėmis ir svoriais. Norėdami sužinoti kiekvieną iš šių verčių, svarstykles ir svorius gaminančios gamyklos gaminiams pateikia specialius dokumentus, leidžiančius apskaičiuoti tikslumą.

Naudojant lenteles

Naudokime standartinę lentelę. Svarstyklių paklaida priklauso nuo to, kokia masė dedama ant svarstyklių. Kuo jis didesnis, tuo atitinkamai didesnė klaida.

Net jei įdėsite labai lengvą korpusą, bus klaida. Taip yra dėl trinties proceso, vykstančio ašyse.

Antroji lentelė skirta svarmenų rinkiniui. Tai rodo, kad kiekvienas iš jų turi savo masės paklaidą. 10 gramų paklaida yra 1 mg, tokia pati kaip 20 gramų. Apskaičiuokime kiekvieno iš šių svorių, paimtų iš lentelės, klaidų sumą.

Masę ir masės paklaidą patogu rašyti dviem eilutėmis, kurios yra viena po kitos. Kuo mažesni svoriai, tuo tikslesnis matavimas.

Rezultatai

Peržiūrėjus medžiagą nustatyta, kad absoliučios paklaidos nustatyti neįmanoma. Galite nustatyti tik jos ribinius rodiklius. Norėdami tai padaryti, skaičiavimuose naudokite aukščiau aprašytas formules. Ši medžiaga siūloma mokytis mokykloje 8-9 klasių mokiniams. Remdamiesi įgytomis žiniomis, galite išspręsti problemas ir nustatyti absoliučiąsias ir santykines paklaidas.

Absoliuti skaičiavimo paklaida randama pagal formulę:

Modulio ženklas rodo, kad mums nesvarbu, kuri reikšmė didesnė, o kuri mažesnė. Svarbu, kaip toli apytikslis rezultatas viena ar kita kryptimi nukrypo nuo tikslios reikšmės.

Santykinė skaičiavimų paklaida randama pagal formulę:
, arba tas pats:

Santykinė klaida rodo kokiu procentu apytikslis rezultatas nukrypo nuo tikslios reikšmės. Yra formulės variantas, nepadauginus iš 100%, bet praktiškai aš beveik visada matau aukščiau pateiktą variantą su procentais.

Po trumpos nuorodos grįžkime prie uždavinio, kuriame apskaičiavome apytikslę funkcijos reikšmę naudojant diferencialą.

Apskaičiuokime tikslią funkcijos reikšmę naudodami mikroskaičiuotuvą:
, griežtai kalbant, vertė vis dar yra apytikslė, bet mes ją laikysime tikslia. Tokių problemų pasitaiko.

Apskaičiuokime absoliučią paklaidą:

Apskaičiuokime santykinę paklaidą:
, buvo gautos tūkstantosios procento dalys, todėl skirtumas davė tik puikų aproksimaciją.

Atsakymas: , absoliuti skaičiavimo paklaida, santykinė skaičiavimo paklaida

Šis nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

4 pavyzdys

taške. Apskaičiuokite tikslesnę funkcijos reikšmę duotame taške, įvertinkite absoliučią ir santykinę skaičiavimų paklaidą.

Apytikslis galutinio dizaino pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Daugelis žmonių pastebėjo, kad šaknys atsiranda visuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose. Tai neatsitiktinai; daugeliu atvejų nagrinėjama problema iš tikrųjų siūlo funkcijas su šaknimis.

Tačiau kenčiantiems skaitytojams išrašiau nedidelį pavyzdį su arcsine:

5 pavyzdys

Apskaičiuokite apytikslę funkcijos reikšmę naudodami diferencialą taške

Šis trumpas, bet informatyvus pavyzdys taip pat skirtas jums patiems išspręsti. Ir aš šiek tiek pailsėjau, kad su nauja jėga galėčiau apsvarstyti ypatingą užduotį:

6 pavyzdys

Apskaičiuokite apytiksliai naudodami skirtumą, suapvalinkite rezultatą iki dviejų skaičių po kablelio.

Sprendimas: Kas naujo užduotyje? Ši sąlyga reikalauja suapvalinti rezultatą iki dviejų skaičių po kablelio. Bet tai ne esmė; manau, kad mokyklos suapvalinimo problema jums nėra sudėtinga. Faktas yra tas, kad mums suteikiama liestinė su argumentu, kuris išreiškiamas laipsniais. Ką daryti, kai jūsų prašoma išspręsti trigonometrinę funkciją su laipsniais? Pavyzdžiui , ir tt

Sprendimo algoritmas iš esmės yra tas pats, tai yra, kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, būtina taikyti formulę

Parašykime akivaizdžią funkciją

Reikšmė turi būti pateikta formoje . Suteiks rimtą pagalbą trigonometrinių funkcijų verčių lentelė . Beje, tiems, kurie jo neatspausdino, rekomenduoju tai padaryti, nes ten teks žiūrėti per visą aukštosios matematikos studijų kursą.

Analizuodami lentelę pastebime „gerą“ liestinės reikšmę, kuri yra arti 47 laipsnių:

Taigi:

Po išankstinės analizės laipsniai turi būti konvertuojami į radianus. Taip, ir tik tokiu būdu!

Šiame pavyzdyje tiesiai iš trigonometrinė lentelė galite sužinoti ką. Naudojant formulę laipsnių konvertavimui į radianus: (formules rasite toje pačioje lentelėje).

Toliau pateikiama formulė:

Taigi: (reikšmę naudojame skaičiavimams). Rezultatas, kaip reikalaujama pagal sąlygą, suapvalinamas iki dviejų skaičių po kablelio.

Atsakymas:

7 pavyzdys

Apskaičiuokite apytiksliai naudodami skirtumą, suapvalinkite rezultatą iki trijų skaičių po kablelio.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Kaip matote, nieko sudėtingo, laipsnius konvertuojame į radianus ir laikomės įprasto sprendimo algoritmo.

Apytiksliai skaičiavimai naudojant bendrą dviejų kintamųjų funkcijos skirtumą

Viskas bus labai labai panašiai, tad jei atėjote į šį puslapį būtent dėl ​​šios užduoties, tai pirmiausia rekomenduoju pažiūrėti bent porą ankstesnės pastraipos pavyzdžių.

Norėdami išstudijuoti pastraipą, turite mokėti rasti antros eilės daliniai išvestiniai , kur mes būtume be jų? Aukščiau pateiktoje pamokoje aš pažymėjau dviejų kintamųjų funkciją naudodamas raidę . Kalbant apie nagrinėjamą užduotį, patogiau naudoti lygiavertį žymėjimą.

Kaip ir vieno kintamojo funkcijos atveju, problemos sąlyga gali būti suformuluota įvairiai, ir aš pabandysiu apsvarstyti visas pasitaikančias formuluotes.

8 pavyzdys

Sprendimas: Kad ir kaip būtų parašyta sąlyga, pačiame sprendime funkcijai žymėti, kartoju, geriau naudoti ne raidę „zet“, o .

Ir štai darbo formulė:

Tai, ką turime prieš mus, iš tikrųjų yra ankstesnės pastraipos formulės vyresnioji sesuo. Kintamasis tik padidėjo. Ką aš galiu pasakyti, aš pats sprendimo algoritmas iš esmės bus toks pat!

Pagal sąlygą reikia rasti apytikslę funkcijos reikšmę taške.

Pavaizduokime skaičių 3,04 kaip . Pati bandelė prašosi suvalgyti:
,

Pavaizduokime skaičių 3,95 kaip . Eilė atėjo į antrąją Kolobok pusę:
,

Ir nežiūrėkite į visas lapės gudrybes, yra Kolobokas - jūs turite jį valgyti.

Apskaičiuokime funkcijos reikšmę taške:

Funkcijos skirtumą taške randame naudodami formulę:

Iš formulės išplaukia, kad turime rasti daliniai dariniai pirma tvarka ir apskaičiuokite jų vertes taške .

Apskaičiuokime pirmosios eilės dalines išvestines taške:

Bendras skirtumas taške:

Taigi, pagal formulę, apytikslė funkcijos reikšmė taške:

Apskaičiuokime tikslią funkcijos reikšmę taške:

Ši vertė yra visiškai tiksli.

Klaidos apskaičiuojamos naudojant standartines formules, kurios jau buvo aptartos šiame straipsnyje.

Absoliuti klaida:

Santykinė klaida:

Atsakymas: , absoliuti klaida: , santykinė klaida:

9 pavyzdys

Apskaičiuokite apytikslę funkcijos reikšmę taške, naudojant bendrą skirtumą, įvertinkite absoliučią ir santykinę paklaidą.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Kiekvienas, atidžiau pažvelgęs į šį pavyzdį, pastebės, kad skaičiavimo klaidos pasirodė labai, labai pastebimos. Tai atsitiko kita priežastis: siūlomoje užduotyje argumentų prieaugiai yra gana dideli: .

Bendras modelis yra toks a – kuo šie absoliučios vertės prieaugiai didesni, tuo mažesnis skaičiavimų tikslumas. Taigi, pavyzdžiui, už panašus taškasžingsniai bus nedideli: , o apytikslių skaičiavimų tikslumas bus labai didelis.

Ši savybė galioja ir vieno kintamojo funkcijos atveju (pirmoji pamokos dalis).

10 pavyzdys

Sprendimas: Apskaičiuokime šią išraišką apytiksliai naudodami bendrą dviejų kintamųjų funkcijos skirtumą:

Skirtumas nuo 8–9 pavyzdžių yra tas, kad pirmiausia turime sukurti dviejų kintamųjų funkciją: . Manau, kad visi intuityviai supranta, kaip sudaryta funkcija.

Vertė 4,9973 yra artima „penkiam“, todėl: , .
Reikšmė 0,9919 yra artima „vienetui“, todėl darome prielaidą: , .

Apskaičiuokime funkcijos reikšmę taške:

Skirtumą randame taške naudodami formulę:

Tam taške apskaičiuojame pirmos eilės dalines išvestines.

Čia pateikiami dariniai nėra patys paprasčiausi, todėl turėtumėte būti atsargūs:

;

.

Bendras skirtumas taške:

Taigi apytikslė šios išraiškos reikšmė yra:

Paskaičiuokime tikslesnę reikšmę naudodami mikroskaičiuotuvą: 2.998899527

Raskime santykinę skaičiavimo paklaidą:

Atsakymas: ,

Tiesiog iliustruojant tai, kas išdėstyta pirmiau, nagrinėjamoje problemoje argumentų prieaugis yra labai mažas, o klaida pasirodė fantastiškai maža.

11 pavyzdys

Naudodami pilną dviejų kintamųjų funkcijos skirtumą, apskaičiuokite apytikslę šios išraiškos reikšmę. Apskaičiuokite tą pačią išraišką naudodami mikroskaičiuotuvą. Įvertinkite santykinę skaičiavimo paklaidą procentais.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Apytikslis galutinio dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje.

Kaip jau minėta, pats privatus svečias Šis tipas užduotys – tai keletas šaknų. Tačiau laikas nuo laiko atsiranda ir kitų funkcijų. Ir paskutinis paprastas atsipalaidavimo pavyzdys:

12 pavyzdys

Naudodami bendrą dviejų kintamųjų funkcijos skirtumą, apskaičiuokite apytikslę funkcijos if reikšmę

Sprendimas yra arčiau puslapio apačios. Dar kartą atkreipkite dėmesį į pamokos užduočių formuluotę, skirtinguose pavyzdžiuose praktikoje formuluotės gali skirtis, tačiau tai iš esmės nekeičia sprendimo esmės ir algoritmo.

Tiesą sakant, buvau šiek tiek pavargęs, nes medžiaga buvo šiek tiek nuobodi. Nebuvo pedagogiška tai sakyti straipsnio pradžioje, bet dabar tai jau įmanoma =) Iš tiesų, skaičiavimo matematikos uždaviniai dažniausiai nėra labai sudėtingi, nelabai įdomūs, svarbiausia, ko gero, nesuklysti. įprastuose skaičiavimuose.

Tegul jūsų skaičiuoklės klavišai neištrinami!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys:

Sprendimas: Mes naudojame formulę:
Tokiu atveju: , ,

Taigi:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Sprendimas: Mes naudojame formulę:
Tokiu atveju: , ,

Taigi:

Apskaičiuokime tikslesnę funkcijos reikšmę naudodami mikroskaičiuotuvą:

Absoliuti klaida:

Santykinė klaida:

Atsakymas: , absoliuti skaičiavimo paklaida, santykinė skaičiavimo paklaida

5 pavyzdys:

Sprendimas: Mes naudojame formulę:

Tokiu atveju: , ,

Taigi:

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Sprendimas: Mes naudojame formulę:
Tokiu atveju: , ,

Tikslieji gamtos mokslai yra pagrįsti matavimais. Matuojant dydžių reikšmės išreiškiamos skaičiais, rodančiais, kiek kartų išmatuotas dydis yra didesnis ar mažesnis už kitą dydį, kurio vertė imama kaip vienetas. Įvairių dydžių, gautų atliekant matavimus, skaitinės vertės gali priklausyti viena nuo kitos. Ryšys tarp tokių dydžių išreiškiamas formulėmis, kurios parodo, kaip kai kurių dydžių skaitines vertes galima rasti iš kitų skaitinių verčių.

Matavimų metu neišvengiamai atsiranda klaidų. Būtina įsisavinti metodus, naudojamus apdorojant matavimų rezultatus. Tai leis išmokti iš matavimų rinkinio gauti arčiausiai tiesos rezultatus, laiku pastebėti neatitikimus ir klaidas, sumaniai organizuoti pačius matavimus ir teisingai įvertinti gautų verčių tikslumą.

Jei matavimas susideda iš tam tikro dydžio palyginimo su kitu, vienalyčiu dydžiu, imamu vienetu, tada matavimas šiuo atveju vadinamas tiesioginiu.

Tiesioginiai (tiesioginiai) matavimai- tai matavimai, kurių metu gauname išmatuoto dydžio skaitinę vertę arba tiesiogiai lyginant su matu (standartu), arba naudojant prietaisus, sukalibruotus išmatuoto dydžio vienetais.

Tačiau toks palyginimas ne visada atliekamas tiesiogiai. Daugeliu atvejų matuojamas ne mus dominantis kiekis, o kiti dydžiai, su juo susiję tam tikri santykiai ir modeliai. Šiuo atveju, norint išmatuoti reikiamą kiekį, pirmiausia reikia išmatuoti keletą kitų dydžių, kurių vertė apskaičiavimo būdu nustato norimo dydžio vertę. Šis matavimas vadinamas netiesioginiu.

Netiesioginiai matavimai susideda iš tiesioginių vieno ar kelių dydžių, susijusių su kiekybine priklausomybe nustatomu kiekiu, matavimų ir iš šių duomenų apskaičiuojamo kiekio.

Matavimai visada apima matavimo priemones, kurios vieną vertę sutampa su kita, su ja susijusia, prieinama kiekybiniam įvertinimui mūsų pojūčių pagalba. Pavyzdžiui, srovės stiprumas atitinka rodyklės nukrypimo kampą graduotoje skalėje. Šiuo atveju turi būti įvykdytos dvi pagrindinės matavimo proceso sąlygos: rezultato vienareikšmiškumas ir atkuriamumas. šios dvi sąlygos visada tenkinamos tik apytiksliai. Štai kodėl Matavimo procese kartu su norimos vertės nustatymu yra įvertinamas matavimo netikslumas.

Šiuolaikinis inžinierius turi mokėti įvertinti matavimo rezultatų paklaidą, atsižvelgdamas į reikiamą patikimumą. Štai kodėl didelis dėmesys skirta matavimo rezultatų apdorojimui. Susipažinimas su pagrindiniais klaidų skaičiavimo metodais yra viena iš pagrindinių laboratorijos dirbtuvių užduočių.

Kodėl atsiranda klaidų?

Yra daug priežasčių, dėl kurių gali atsirasti matavimo klaidų. Išvardinkime kai kuriuos iš jų.

· procesai, vykstantys prietaiso sąveikos su matavimo objektu metu, neišvengiamai keičia išmatuotą vertę. Pavyzdžiui, matuojant detalės matmenis naudojant suportą, dalis suspaudžiama, tai yra, keičiasi jos matmenys. Kartais prietaiso įtaka išmatuotai vertei gali būti palyginti nedidelė, tačiau kartais ji yra palyginama arba netgi viršija pačią išmatuotą vertę.

· Bet koks prietaisas turi ribotas galimybes vienareikšmiškai nustatyti išmatuotą vertę dėl savo konstrukcijos netobulumo. Pavyzdžiui, trintis tarp įvairios dalys ampermetro rodyklės bloke lemia tai, kad srovės pokytis tam tikra maža, bet baigtine verte nesukels rodyklės nukrypimo kampo pasikeitimo.

· Visada dalyvauja visuose prietaiso ir matavimo objekto sąveikos procesuose. išorinė aplinka, kurių parametrai gali keistis ir dažnai nenuspėjamai. Tai riboja matavimo sąlygų, taigi ir matavimo rezultato, atkuriamumą.

· Vizualiai matuojant prietaiso rodmenis, prietaiso rodmenys gali būti neaiškūs dėl negalia mūsų akis.

· Dauguma dydžių nustatomi netiesiogiai, remiantis mūsų žiniomis apie norimo dydžio ryšį su kitais dydžiais, tiesiogiai išmatuojamais prietaisais. Akivaizdu, kad netiesioginio matavimo paklaida priklauso nuo visų tiesioginių matavimų paklaidų. Be to, mūsų žinių apie matuojamą objektą ribotumas, matematinio dydžių ryšių aprašymo supaprastinimas ir tų dydžių, kurių įtaka matavimo procese laikoma nereikšminga, įtakos, prisideda prie netiesioginio matavimo klaidų.

Klasifikavimo klaidos

Klaidos reikšmė Tam tikro dydžio matavimai paprastai apibūdinami:

1. Absoliuti paklaida – skirtumas tarp eksperimentiniu būdu rastos (išmatuotos) ir tikrosios tam tikro dydžio vertės

. (1)

Absoliuti paklaida parodo, kiek klystame matuodami tam tikrą X reikšmę.

2. Santykinė paklaida, lygi absoliučios paklaidos ir tikrosios išmatuotos vertės X santykiui

Santykinė paklaida parodo, kokia tikrosios X reikšmės dalimi klystame.

Kokybė kokio nors dydžio matavimų rezultatams būdinga santykinė paklaida. Vertė gali būti išreikšta procentais.

Iš (1) ir (2) formulių išplaukia, kad norėdami rasti absoliučią ir santykinę matavimo paklaidas, turime žinoti ne tik išmatuotą, bet ir tikrąją mus dominančio kiekio reikšmę. Bet jei tikroji vertė yra žinoma, tada matavimų atlikti nereikia. Matavimų tikslas visada yra išsiaiškinti nežinomą tam tikro dydžio reikšmę ir rasti jei ne tikrąją jo vertę, tai bent jau gana mažai nuo jo besiskiriančią reikšmę. Todėl (1) ir (2) formulės, kurios nustato klaidų dydį, praktiškai netinka. Praktiniuose matavimuose paklaidos ne skaičiuojamos, o įvertinamos. Vertinant atsižvelgiama į eksperimentines sąlygas, metodikos tikslumą, instrumentų kokybę ir daugybę kitų veiksnių. Mūsų užduotis: išmokti konstruoti eksperimentinę metodiką ir teisingai panaudoti iš patirties gautus duomenis, siekiant rasti išmatuotų dydžių vertes, kurios būtų pakankamai artimos tikrosioms reikšmėms, bei pagrįstai įvertinti matavimo paklaidas.

Kalbant apie matavimo klaidas, pirmiausia turėtume paminėti grubios klaidos (praleidimai) atsiradusius dėl eksperimentatoriaus priežiūros arba įrangos gedimo. Reikėtų vengti rimtų klaidų. Jei nustatoma, kad jie įvyko, atitinkami matavimai turi būti atmesti.

Eksperimentinės klaidos, nesusijusios su didelėmis klaidomis, skirstomos į atsitiktines ir sistemines.

Suatsitiktinių klaidų. Daug kartų kartojant tuos pačius matavimus galima pastebėti, kad gana dažnai jų rezultatai nėra visiškai lygūs vienas kitam, o „šoka“ aplink kokį nors vidurkį (1 pav.). Klaidos, kurių dydis ir požymis keičiasi nuo eksperimento iki eksperimento, vadinamos atsitiktinėmis. Atsitiktines klaidas eksperimentuotojas nevalingai įveda dėl jutimo organų netobulumo, atsitiktinės išoriniai veiksniai tt Jei kiekvieno atskiro matavimo paklaida iš esmės nenuspėjama, tada jie atsitiktinai keičia išmatuoto dydžio reikšmę. Šias paklaidas galima įvertinti tik naudojant statistinį kelių norimo dydžio matavimų apdorojimą.

Sistemingas klaidų gali būti susiję su instrumento klaidomis (neteisinga skalė, netolygiai besitempusi spyruoklė, netolygus mikrometro sraigto žingsnis, nevienodos balansavimo rankos ir kt.) ir su pačiu eksperimentu. Eksperimento metu jie išlaiko savo dydį (ir ženklą!). Dėl sisteminių klaidų eksperimentiniai rezultatai, išsklaidyti dėl atsitiktinių klaidų, svyruoja ne apie tikrąją reikšmę, o apie tam tikrą paklaidą (2 pav.). kiekvieno norimo dydžio matavimo paklaidą galima numatyti iš anksto, žinant įrenginio charakteristikas.

Tiesioginių matavimų paklaidų skaičiavimas

Sisteminės klaidos. Sisteminės klaidos natūraliai keičia išmatuoto dydžio vertes. Klaidos, įvestos atliekant matavimus prietaisais, yra lengviausiai įvertinamos, jei jos yra susijusios su pačių prietaisų konstrukcijos ypatumais. Šios klaidos nurodytos įrenginių pasuose. Kai kurių įrenginių klaidas galima įvertinti neatsižvelgiant į duomenų lapą. Daugelio elektrinių matavimo prietaisų tikslumo klasė nurodoma tiesiai ant skalės.

Prietaiso tikslumo klasė- tai prietaiso absoliučios paklaidos ir didžiausios išmatuoto dydžio vertės santykis, kurį galima nustatyti naudojant šį įrenginį (tai sisteminė santykinė šio prietaiso paklaida, išreikšta skalės įvertinimo procentais).

.

Tada absoliuti tokio įrenginio paklaida nustatoma pagal ryšį:

.

Elektrinėms matavimo priemonėms įvestos 8 tikslumo klasės: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Kuo išmatuota vertė arčiau vardinės vertės, tuo tikslesnis bus matavimo rezultatas. Didžiausias tikslumas (ty mažiausia santykinė paklaida), kurį gali suteikti tam tikras įrenginys, yra lygus tikslumo klasei. Į šią aplinkybę reikia atsižvelgti naudojant daugialypius instrumentus. Skalė turi būti parinkta taip, kad išmatuota vertė, likdama skalėje, būtų kuo artimesnė vardinei vertei.

Jei prietaiso tikslumo klasė nenurodyta, būtina vadovautis šias taisykles:

· Prietaisų su nonija absoliuti paklaida lygi nonijaus tikslumui.

· Instrumentų su fiksuotu rodyklės žingsniu absoliuti paklaida yra lygi padalijimo vertei.

· Skaitmeninių įrenginių absoliuti paklaida lygi vienam minimaliam skaitmeniui.

· Visiems kitiems instrumentams absoliuti paklaida laikoma lygi pusei padalijimo vertės.

Atsitiktinės klaidos. Šios klaidos yra statistinio pobūdžio ir apibūdinamos tikimybių teorija. Nustatyta, kad labai dideli kiekiai matavimus, tikimybę gauti vienokį ar kitokį rezultatą kiekviename atskirame matavime galima nustatyti naudojant Gauso normalųjį skirstinį. Atliekant nedidelį skaičių matavimų, matematinis tikimybės gauti vienokį ar kitokį matavimo rezultatą apibūdinimas vadinamas Stjudento skirstiniu (apie tai plačiau galite pasiskaityti vadove „Fizikinių dydžių matavimo paklaidos“).

Kaip įvertinti tikrąją išmatuoto dydžio vertę?

Tarkime, kad matuodami tam tikrą reikšmę gavome N rezultatų: . Matavimų serijos aritmetinis vidurkis yra arčiau tikrosios išmatuoto dydžio vertės nei dauguma atskirų matavimų. Norint gauti tam tikros vertės matavimo rezultatą, naudojamas šis algoritmas.

1). Apskaičiuota vidutinis N tiesioginių matavimų serija:

2). Apskaičiuota absoliuti atsitiktinė kiekvieno matavimo paklaida yra skirtumas tarp N tiesioginių matavimų serijos aritmetinio vidurkio ir šio matavimo:

.

3). Apskaičiuota vidutinė kvadratinė absoliuti paklaida:

.

4). Apskaičiuota absoliuti atsitiktinė klaida. Atlikus nedidelį skaičių matavimų, absoliučią atsitiktinę paklaidą galima apskaičiuoti naudojant vidutinę kvadratinę paklaidą ir tam tikrą koeficientą, vadinamą Studento koeficientu:

,

Studento koeficientas priklauso nuo matavimų skaičiaus N ir patikimumo koeficiento (1 lentelėje parodyta Stjudento koeficiento priklausomybė nuo matavimų skaičiaus esant fiksuotai patikimumo koeficiento vertei).

Patikimumo faktorius yra tikimybė, su kuria tikroji išmatuotos vertės vertė patenka į pasikliautinąjį intervalą.

Pasitikėjimo intervalas yra skaitinis intervalas, į kurį su tam tikra tikimybe patenka tikroji išmatuoto dydžio vertė.

Taigi Studento koeficientas yra skaičius, iš kurio reikia padauginti vidutinę kvadratinę paklaidą, kad būtų užtikrintas nurodytas rezultato patikimumas tam tikram matavimų skaičiui.

Kuo didesnis reikalingas patikimumas duotas numeris matavimai, tuo didesnis Studento koeficientas. Kita vertus, kuo didesnis matavimų skaičius, tuo mažesnis tam tikro patikimumo Studento koeficientas. Mūsų cecho laboratoriniame darbe manysime, kad patikimumas yra duotas ir lygus 0,9. Skaitinės reikšmėsŠio patikimumo studento koeficientai įvairiems matavimų skaičiams pateikti 1 lentelėje.

1 lentelė

Matavimų skaičius N

Studento koeficientas

5). Apskaičiuota bendra absoliuti paklaida. Bet kuriame matavime yra ir atsitiktinių, ir sisteminių klaidų. Apskaičiuoti bendrą (bendrą) absoliučią matavimo paklaidą nėra lengva užduotis, nes šios paklaidos yra skirtingo pobūdžio.

Inžineriniams matavimams prasminga susumuoti sistemines ir atsitiktines absoliučias paklaidas

.

Kad būtų lengviau atlikti skaičiavimus, bendrą absoliučią paklaidą įprasta įvertinti kaip absoliutų atsitiktinių ir absoliutų sisteminių (instrumentinių) klaidų sumą, jei paklaidos yra tos pačios eilės, o vienos iš klaidų nepaisyti, jei ji yra daugiau nei eilės tvarka (10 kartų) mažesnė už kitą.

6). Klaida ir rezultatas suapvalinami. Kadangi matavimo rezultatas pateikiamas kaip reikšmių intervalas, kurio reikšmę lemia bendra absoliuti paklaida, svarbus teisingas rezultato ir paklaidos apvalinimas.

Apvalinimas prasideda nuo absoliučios paklaidos!!! Klaidos reikšmėje paliekamas reikšmingų skaičių skaičius, paprastai kalbant, priklauso nuo patikimumo koeficiento ir matavimų skaičiaus. Tačiau net ir atliekant labai tikslius matavimus (pavyzdžiui, astronominius), kai svarbi tiksli paklaidos reikšmė, nepalikite daugiau nei dviejų reikšmingų skaičių. Didesnis skaičių skaičius nėra prasmingas, nes pats klaidos apibrėžimas turi savo klaidą. Mūsų praktikoje yra palyginti mažas patikimumo koeficientas ir nedidelis matavimų skaičius. Todėl apvalinant (su pertekliumi) bendra absoliuti paklaida paliekama iki vieno reikšmingo skaičiaus.

Absoliučios klaidos reikšmingojo skaitmens skaitmuo nustato pirmojo abejotino skaitmens skaitmenį rezultato reikšmėje. Vadinasi, paties rezultato reikšmė turi būti suapvalinta (su pataisymu) iki to reikšminio skaitmens, kurio skaitmuo sutampa su klaidos reikšminio skaitmens skaitmeniu. Suformuluota taisyklė turėtų būti taikoma ir tais atvejais, kai kai kurie skaičiai yra nuliai.

Jei matuojant kūno svorį gautas rezultatas yra , tai skaičiaus 0,900 pabaigoje reikia rašyti nulius. Įrašymas reikštų, kad apie kitus reikšmingus skaičius nieko nebuvo žinoma, o matavimai parodė, kad jie buvo lygūs nuliui.

7). Apskaičiuota santykinė klaida.

Apvalinant santykinę paklaidą, pakanka palikti du reikšmingus skaičius.

R tam tikro fizikinio dydžio matavimų serijos rezultatas pateikiamas reikšmių intervalo forma, nurodant tikrosios vertės patekimo į šį intervalą tikimybę, tai yra, rezultatas turi būti parašytas tokia forma:

Čia pateikiama bendra absoliuti paklaida, suapvalinta iki pirmojo reikšmingo skaitmens, ir vidutinė išmatuotos vertės vertė, suapvalinta atsižvelgiant į jau suapvalintą paklaidą. Įrašydami matavimo rezultatą, turite nurodyti vertės matavimo vienetą.

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1. Tarkime, kad matuodami atkarpos ilgį gavome tokį rezultatą: cm ir cm Kaip teisingai užrašyti atkarpos ilgio matavimo rezultatą? Pirma, absoliučią paklaidą apvaliname pertekliumi, paliekant vieną reikšmingą skaitmenį, žr. Reikšmingas paklaidos skaitmuo šimtojoje vietoje. Tada taisydami vidutinę reikšmę suapvaliname iki artimiausios šimtosios dalies, t. y. iki reikšminio skaitmens, kurio skaitmuo sutampa su klaidos reikšmingojo skaitmens skaitmeniu žr. Santykinės paklaidos apskaičiavimas

.

cm; ; .

2. Tarkime, kad skaičiuodami laidininko varžą gavome tokį rezultatą: Ir . Pirmiausia apvaliname absoliučią paklaidą, palikdami vieną reikšmingą skaičių. Tada suapvaliname vidurkį iki artimiausio sveikojo skaičiaus. Apskaičiuokite santykinę paklaidą

.

Matavimo rezultatą užrašome taip:

; ; .

3. Tarkime, kad skaičiuodami krovinio masę gavome tokį rezultatą: kg ir kg. Pirmiausia apvaliname absoliučią paklaidą, palikdami vieną reikšmingą skaičių kilogramas. Tada suapvaliname vidurkį iki artimiausių dešimčių kilogramas. Apskaičiuokite santykinę paklaidą

.

.

Klausimai ir užduotys apie klaidų teoriją

1. Ką reiškia matuoti fizikinį dydį? Pateikite pavyzdžių.

2. Kodėl atsiranda matavimo paklaidos?

3. Kas yra absoliuti klaida?

4. Kas yra santykinė paklaida?

5. Kokia paklaida apibūdina matavimo kokybę? Pateikite pavyzdžių.

6. Kas yra pasikliautinasis intervalas?

7. Apibrėžkite „sisteminės klaidos“ sąvoką.

8. Kokios yra sisteminių klaidų priežastys?

9. Kokia yra matavimo prietaiso tikslumo klasė?

10. Kaip nustatomos įvairių fizinių instrumentų absoliučios paklaidos?

11. Kokios klaidos vadinamos atsitiktinėmis ir kaip jos atsiranda?

12. Aprašykite vidutinės kvadratinės paklaidos apskaičiavimo tvarką.

13. Aprašykite tiesioginių matavimų absoliučios atsitiktinės paklaidos apskaičiavimo tvarką.

14. Kas yra „patikimumo faktorius“?

15. Nuo kokių parametrų ir kaip priklauso Studento koeficientas?

16. Kaip apskaičiuojama tiesioginių matavimų bendra absoliuti paklaida?

17. Parašykite formules netiesioginių matavimų santykinėms ir absoliutinėms paklaidoms nustatyti.

18. Suformuluokite rezultato apvalinimo su klaida taisykles.

19. Raskite santykinę paklaidą matuojant sienos ilgį naudojant matavimo juostą, kurios padalijimo reikšmė yra 0,5 cm. Išmatuota vertė – 4,66 m.

20. Matuojant stačiakampio kraštinių A ir B ilgį, atitinkamai padarytos absoliučios paklaidos ΔA ir ΔB. Parašykite formulę, kaip apskaičiuoti absoliučią paklaidą ΔS, gautą nustatant plotą pagal šių matavimų rezultatus.

21. Matuojant kubo briaunos ilgį L buvo paklaida ΔL. Parašykite formulę, kad nustatytumėte santykinę kubo tūrio paklaidą pagal šių matavimų rezultatus.

22. Kūnas iš ramybės būsenos judėjo tolygiai pagreitintas. Pagreičiui apskaičiuoti išmatavome kūno nueitą kelią S ir jo judėjimo laiką t. Šių tiesioginių matavimų absoliučios paklaidos buvo atitinkamai ΔS ir Δt. Iš šių duomenų išveskite formulę santykinei pagreičio paklaidai apskaičiuoti.

23. Skaičiuojant šildymo įrenginio galią pagal matavimo duomenis gautos reikšmės>Pav = 2361,7893735 W ir ΔР = 35,4822 W. Užrašykite rezultatą kaip pasikliautinąjį intervalą, jei reikia, apvalinkite.

24. Skaičiuojant varžos vertę pagal matavimo duomenis, gautos šios vertės: Rav = 123,7893735 Ohm, ΔR = 0,348 Ohm. Užrašykite rezultatą kaip pasikliautinąjį intervalą, jei reikia, apvalinkite.

25. Skaičiuojant trinties koeficientą pagal matavimo duomenis gautos reikšmės μav = 0,7823735 ir Δμ = 0,03348. Užrašykite rezultatą kaip pasikliautinąjį intervalą, jei reikia, apvalinkite.

26. 16,6 A srovė nustatyta naudojant 1,5 tikslumo klasės prietaisą, kurio skalė 50 A. Raskite šio matavimo absoliučiąsias instrumentines ir santykines paklaidas.

27. Atliekant 5 švytuoklės svyravimo periodo matavimus, gautos šios reikšmės: 2,12 s, 2,10 s, 2,11 s, 2,14 s, 2,13 s. Raskite absoliučią atsitiktinę paklaidą nustatant laikotarpį pagal šiuos duomenis.

28. Krovinio numetimo iš tam tikro aukščio eksperimentas buvo pakartotas 6 kartus. Šiuo atveju gautos šios apkrovos kritimo laiko reikšmės: 38,0 s, 37,6 s, 37,9 s, 37,4 s, 37,5 s, 37,7 s. Raskite santykinę kritimo laiko nustatymo paklaidą.

Padalos reikšmė yra išmatuota vertė, dėl kurios rodyklė nukrypsta vienu padaliju. Padalos vertė nustatoma kaip prietaiso viršutinės matavimo ribos ir skalės padalų skaičiaus santykis.