Ako vyzerá exponenciálna funkcia? Exponenciálna funkcia, jej vlastnosti a graf

lekcia č.2

Predmet: Exponenciálna funkcia, jeho vlastnosti a graf.

Cieľ: Skontrolujte kvalitu zvládnutia konceptu „exponenciálnej funkcie“; rozvíjať zručnosti v rozpoznávaní exponenciálnej funkcie, využívať jej vlastnosti a grafy, naučiť študentov používať analytické a grafické formy zaznamenávania exponenciálnej funkcie; poskytnúť pracovné prostredie v triede.

Vybavenie: tabule, plagáty

Forma lekcie: triedna hodina

Typ lekcie: praktická lekcia

Typ lekcie: lekcia výučby zručností a schopností

Plán lekcie

1. Organizačný moment

2. Samostatná práca a skontrolujte domáca úloha

3. Riešenie problémov

4. Zhrnutie

5. Domáce úlohy

Počas vyučovania.

1. Organizačný moment :

Ahoj. Otvorte si zošity, zapíšte si dnešný dátum a tému lekcie „Exponenciálna funkcia“. Dnes budeme pokračovať v štúdiu exponenciálnej funkcie, jej vlastností a grafu.

2. Samostatná práca a kontrola domácich úloh .

Cieľ: skontrolovať kvalitu zvládnutia konceptu „exponenciálna funkcia“ a skontrolovať vypracovanie teoretickej časti domácej úlohy

metóda: testovacia úloha, frontálny prieskum

Ako domácu úlohu ste dostali čísla z učebnice úloh a odsek z učebnice. Nebudeme teraz kontrolovať vaše prevedenie čísel z učebnice, ale zošity odovzdáte na konci hodiny. Teraz bude teória testovaná formou malého testu. Úloha je pre všetkých rovnaká: dostanete zoznam funkcií, musíte zistiť, ktoré z nich sú orientačné (podčiarknite ich). A vedľa exponenciálnej funkcie treba napísať, či sa zvyšuje alebo znižuje.

možnosť 1 Odpoveď B) D) - exponenciálny, klesajúci	Možnosť 2 Odpoveď D) - exponenciálny, klesajúci D) - exponenciálny, rastúci
Možnosť 3 Odpoveď A) - exponenciálny, rastúci B) - exponenciálny, klesajúci	Možnosť 4 Odpoveď A) - exponenciálny, klesajúci IN) - exponenciálny, rastúci

Teraz si spolu pripomeňme, ktorá funkcia sa nazýva exponenciálna?

Funkcia tvaru , kde a , sa nazýva exponenciálna funkcia.

Aký je rozsah tejto funkcie?

Všetky reálne čísla.

Aký je rozsah exponenciálnej funkcie?

Všetky kladné reálne čísla.

Znižuje sa, ak je základ mocniny väčší ako nula, ale menší ako jedna.

V akom prípade klesá exponenciálna funkcia vo svojej doméne definície?

Zvyšuje sa, ak je základ mocniny väčší ako jedna.

3. Riešenie problémov

Cieľ: rozvíjať zručnosti v rozpoznávaní exponenciálnej funkcie pomocou jej vlastností a grafov, naučiť študentov používať analytické a grafické formy zápisu exponenciálnej funkcie

Metóda: ukážka riešenia typických úloh učiteľom, ústna práca, práca pri tabuli, práca v zošite, rozhovor učiteľa so žiakmi.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie možno využiť pri porovnávaní 2 a viacerých čísel. Napríklad: č. 000. Porovnajte hodnoty a ak a) ..gif" width="37" height="20 src=">, potom je to dosť komplikovaná úloha: museli by sme zobrať odmocninu 3 a 9 a porovnať ich. Vieme však, že sa zvyšuje, toto svojím spôsobom znamená, že ako argument rastie, hodnota funkcie rastie, to znamená, že stačí porovnať hodnoty argumentu a je zrejmé, že (možno demonštrovať na plagáte zobrazujúcom rastúcu exponenciálnu funkciu). A vždy pri riešení takýchto príkladov najprv určíte základ exponenciálnej funkcie, porovnáte ju s 1, určíte monotónnosť a pristúpite k porovnávaniu argumentov. V prípade klesajúcej funkcie: keď argument rastie, hodnota funkcie klesá, preto pri prechode z nerovnosti argumentov na nerovnosť funkcií zmeníme znamienko nerovnosti. Ďalej riešime ústne: b)

-

IN)

-

G)

-

- č. 000. Porovnajte čísla: a) a

Preto sa funkcia zvyšuje

prečo?

Zvýšenie funkcie a

Preto funkcia klesá

Obe funkcie sa zvyšujú v celej svojej doméne definície, pretože sú exponenciálne so základňou moci väčšou ako jedna.

Aký je za tým význam?

Vytvárame grafy:

Ktorá funkcia sa pri snahe zvyšuje rýchlejšie https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Ktorá funkcia klesá rýchlejšie pri snahe https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Na intervale, ktorá z funkcií má vyššiu hodnotu v konkrétnom bode?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Najprv zistíme rozsah definície týchto funkcií. Zhodujú sa?

Áno, doménou týchto funkcií sú všetky reálne čísla.

Pomenujte rozsah každej z týchto funkcií.

Rozsahy týchto funkcií sa zhodujú: všetky kladné reálne čísla.

Určte typ monotónnosti každej funkcie.

Všetky tri funkcie klesajú v celej svojej doméne definície, pretože sú exponenciálne so základňou mocnin menšou ako jedna a väčšou ako nula.

Aký špeciálny bod existuje v grafe exponenciálnej funkcie?

Aký je za tým význam?

Nech je základ stupňa exponenciálnej funkcie akýkoľvek, ak exponent obsahuje 0, potom je hodnota tejto funkcie 1.

Vytvárame grafy:

Poďme analyzovať grafy. Koľko priesečníkov majú grafy funkcií?

Ktorá funkcia klesá rýchlejšie pri pokuse https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Ktorá funkcia sa pri snahe zvyšuje rýchlejšie https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Ktorá z funkcií má na intervale väčšiu hodnotu v konkrétnom bode?

Ktorá z funkcií má na intervale väčšiu hodnotu v konkrétnom bode?

Prečo sú exponenciálne funkcie s z rôznych dôvodov má len jeden priesečník?

Exponenciálne funkcie sú prísne monotónne v celej svojej doméne definície, takže sa môžu pretínať iba v jednom bode.

Ďalšia úloha sa zameria na využitie tejto vlastnosti. č. 000. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu danú funkciu v danom intervale a) . Pripomeňme, že striktne monotónna funkcia má svoje minimálne a maximálne hodnoty na koncoch daného segmentu. A ak sa funkcia zvyšuje, potom jej najvyššia hodnota bude na pravom konci segmentu a najmenší na ľavom konci segmentu (ukážka na plagáte na príklade exponenciálnej funkcie). Ak je funkcia klesajúca, jej najväčšia hodnota bude na ľavom konci segmentu a najmenšia na pravom konci segmentu (demonštrácia na plagáte na príklade exponenciálnej funkcie). Funkcia sa zvyšuje, pretože preto najmenšia hodnota funkcie bude v bode https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >. Body b) , V) d) zošity vyriešte sami, skontrolujeme ich ústne.

Žiaci riešia úlohu do zošitov

Funkcia klesania

Funkcia klesania najväčšia hodnota funkcie na segmente najmenšia hodnota funkcie na segmente

Zvyšujúca sa funkcia najmenšia hodnota funkcie na segmente najväčšia hodnota funkcie na segmente

- č. 000. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu danej funkcie na danom intervale a) . Táto úloha je takmer rovnaká ako predchádzajúca. Ale to, čo je tu dané, nie je segment, ale lúč. Vieme, že funkcia sa zvyšuje a nemá ani najväčšiu, ani najmenšiu hodnotu na celom číselnom rade https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20"> a má tendenciu k , t.j. na lúči má funkcia na 0, ale nemá vlastnú najnižšia hodnota, ale má najväčšiu hodnotu v bode . Body b) , V) , G) Zošity si vyriešte sami, skontrolujeme ich ústne.

Exponenciálna funkcia je zovšeobecnenie súčinu n čísel rovných a:
r (n) = a n = a·a·a···a,
na množinu reálnych čísel x:
r (x) = ax.
Tu a je pevné reálne číslo, ktoré sa nazýva základ exponenciálnej funkcie.
Nazýva sa aj exponenciálna funkcia so základom a exponent k základu a.

Zovšeobecnenie sa uskutočňuje nasledovne.
Pre prirodzené x = 1, 2, 3,... , exponenciálna funkcia je súčinom x faktorov:
.
Okrem toho má vlastnosti (1,5-8) (), ktoré vyplývajú z pravidiel pre násobenie čísel. Pre nulové a záporné hodnoty celých čísel sa exponenciálna funkcia určuje pomocou vzorcov (1,9-10). Pre zlomkové hodnoty x = m/n racionálnych čísel, je určená vzorcom (1.11). V skutočnosti je exponenciálna funkcia definovaná ako limit postupnosti:
,
kde je ľubovoľná postupnosť racionálnych čísel konvergujúcich k x: .
Pomocou tejto definície je exponenciálna funkcia definovaná pre všetky a spĺňa vlastnosti (1.5-8), ako pre prirodzené x.

Dôkladná matematická formulácia definície exponenciálnej funkcie a dôkaz jej vlastností je uvedený na stránke „Definícia a dôkaz vlastností exponenciálnej funkcie“.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie

Exponenciálna funkcia y = a x má na množine reálnych čísel ():
(1.1) definované a nepretržité, pre , pre všetkých ;
(1.2) za ≠ 1 má veľa významov;
(1.3) prísne sa zvyšuje o , striktne klesá o ,
je konštantná pri ;
(1.4) v ;
v ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Ďalšie užitočné vzorce.
.
Vzorec na prevod na exponenciálnu funkciu s iným základom exponentu:

Keď b = e, dostaneme vyjadrenie exponenciálnej funkcie prostredníctvom exponenciály:

Súkromné ​​hodnoty

, , , , .

Na obrázku sú znázornené grafy exponenciálnej funkcie
r (x) = ax
pre štyri hodnoty stupňa základov: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 a = 1/8 . Je vidieť, že pre > 1 exponenciálna funkcia rastie monotónne. Čím väčšia je základňa stupňa a, tým silnejší je rast. O 0 < a < 1 exponenciálna funkcia monotónne klesá. Čím menší je exponent a, tým silnejší je pokles.

Stúpajúci klesajúci

Exponenciálna funkcia pre je prísne monotónna, a preto nemá žiadne extrémy. Jeho hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke.

	y = a x, a > 1	y = sekera, 0 < a < 1
doména	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Rozsah hodnôt	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotónne	monotónne zvyšuje	monotónne klesá
Nuly, y = 0	Nie	Nie
Priesečník bodov s ordinátnou osou x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Inverzná funkcia

Inverzia exponenciálnej funkcie so základom a je logaritmus k základu a.

Ak potom
.
Ak potom
.

Diferenciácia exponenciálnej funkcie

Na diferenciáciu exponenciálnej funkcie je potrebné zredukovať jej základ na číslo e, použiť tabuľku derivácií a pravidlo na derivovanie komplexnej funkcie.

Na to musíte použiť vlastnosť logaritmov
a vzorec z tabuľky derivátov:
.

Nech je daná exponenciálna funkcia:
.
Prinášame to na základňu e:

Aplikujme pravidlo diferenciácie komplexných funkcií. Za týmto účelom zaveďte premennú

Potom

Z tabuľky derivátov máme (nahradiť premennú x za z):
.
Pretože je konštanta, derivácia z vzhľadom na x sa rovná
.
Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:
.

Derivácia exponenciálnej funkcie

.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodzovanie vzorcov >> >

Príklad diferenciácie exponenciálnej funkcie

Nájdite deriváciu funkcie
y = 3 5 x

Riešenie

Vyjadrime základ exponenciálnej funkcie cez číslo e.
3 = e ln 3
Potom
.
Zadajte premennú
.
Potom

Z tabuľky derivátov zistíme:
.
Pretože 5ln 3 je konštanta, potom sa derivácia z vzhľadom na x rovná:
.
Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie máme:
.

Odpoveď

Integrálne

Výrazy využívajúce komplexné čísla

Zvážte funkciu komplexných čísel z:
f (z) = az
kde z = x + iy; i 2 = - 1 .
Vyjadrime komplexnú konštantu a pomocou modulu r a argumentu φ:
a = r e i φ
Potom


.
Argument φ nie je jednoznačne definovaný. Všeobecne
φ = φ 0 + 2 πn,
kde n je celé číslo. Preto funkcia f (z) tiež nie je jasné. Často sa uvažuje o jeho hlavnom význame
.

Rozšírenie série

.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.

Rozhodnutie väčšiny matematické problémy nejako súvisí s transformáciou číselných, algebraických alebo funkčných výrazov. Uvedené platí najmä pre rozhodnutie. Vo verziách Jednotnej štátnej skúšky z matematiky tento typ úloh zahŕňa najmä úlohu C3. Naučiť sa riešiť úlohy C3 je dôležité nielen pre úspech zloženie jednotnej štátnej skúšky, ale aj z toho dôvodu, že sa táto zručnosť bude hodiť pri štúdiu matematického kurzu na strednej škole.

Pri plnení úloh C3 sa musíte rozhodnúť rôzne druhy rovnice a nerovnice. Medzi nimi sú racionálne, iracionálne, exponenciálne, logaritmické, trigonometrické, obsahujúce moduly ( absolútne hodnoty), ako aj kombinované. Tento článok sa zaoberá hlavnými typmi exponenciálnych rovníc a nerovníc, ako aj rôzne metódy ich rozhodnutia. Prečítajte si o riešení iných typov rovníc a nerovníc v časti „“ v článkoch venovaných metódam riešenia úloh C3 z r. Možnosti jednotnej štátnej skúšky matematiky.

Než začneme analyzovať konkrétne exponenciálne rovnice a nerovnice, ako učiteľ matematiky vám navrhujem oprášiť nejaký teoretický materiál, ktorý budeme potrebovať.

Exponenciálna funkcia

Čo je to exponenciálna funkcia?

Funkcia formulára r = a x, Kde a> 0 a a≠ 1 sa volá exponenciálna funkcia.

Základné vlastnosti exponenciálnej funkcie r = a x:

Graf exponenciálnej funkcie

Graf exponenciálnej funkcie je exponent:

Grafy exponenciálnych funkcií (exponentov)

Riešenie exponenciálnych rovníc

Orientačné sa nazývajú rovnice, v ktorých sa neznáma premenná nachádza iba v exponentoch niektorých mocnín.

Pre riešenia exponenciálne rovnice musíte poznať a vedieť používať nasledujúcu jednoduchú vetu:

Veta 1. Exponenciálna rovnica a f(X) = a g(X) (Kde a > 0, a≠ 1) je ekvivalentná rovnici f(X) = g(X).

Okrem toho je užitočné zapamätať si základné vzorce a operácie so stupňami:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Príklad 1 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: Používame vyššie uvedené vzorce a substitúciu:

Rovnica potom znie:

Diskriminujúci prijatých kvadratická rovnica pozitívne:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

To znamená, že táto rovnica má dva korene. Nájdeme ich:

Ak prejdeme na spätnú substitúciu, dostaneme:

Druhá rovnica nemá korene, pretože exponenciálna funkcia je striktne kladná v celej oblasti definície. Vyriešme to druhé:

Berúc do úvahy to, čo bolo povedané vo vete 1, prejdeme k ekvivalentnej rovnici: X= 3. Toto bude odpoveď na úlohu.

odpoveď: X = 3.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: obmedzenia v oblasti prijateľné hodnoty rovnica nie, pretože radikálny výraz má zmysel pre akúkoľvek hodnotu X(exponenciálna funkcia r = 9 4 -X kladné a nerovnajúce sa nule).

Rovnicu riešime ekvivalentnými transformáciami pomocou pravidiel násobenia a delenia mocnin:

Posledný prechod sa uskutočnil v súlade s vetou 1.

odpoveď:X= 6.

Príklad 3 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: obe strany pôvodnej rovnice možno deliť 0,2 X. Tento prechod bude ekvivalentný, pretože tento výraz je väčší ako nula pre akúkoľvek hodnotu X(exponenciálna funkcia je vo svojej oblasti definície striktne pozitívna). Potom má rovnica tvar:

odpoveď: X = 0.

Príklad 4. Vyriešte rovnicu:

Riešenie: rovnicu zjednodušíme na elementárnu pomocou ekvivalentných transformácií s použitím pravidiel delenia a násobenia mocnin uvedených na začiatku článku:

Delenie oboch strán rovnice 4 X, ako v predchádzajúcom príklade, je ekvivalentná transformácia, pretože tento výraz sa pre žiadne hodnoty nerovná nule X.

odpoveď: X = 0.

Príklad 5. Vyriešte rovnicu:

Riešenie: funkciu r = 3X, stojaci na ľavej strane rovnice, sa zvyšuje. Funkcia r = —X-2/3 na pravej strane rovnice klesá. To znamená, že ak sa grafy týchto funkcií pretínajú, tak maximálne jeden bod. IN v tomto prípade nie je ťažké uhádnuť, že grafy sa v bode pretínajú X= -1. Iné korene nebudú.

odpoveď: X = -1.

Príklad 6. Vyriešte rovnicu:

Riešenie: rovnicu zjednodušujeme pomocou ekvivalentných transformácií, pričom máme všade na pamäti, že exponenciálna funkcia je striktne väčšia ako nula pre akúkoľvek hodnotu X a pomocou pravidiel na výpočet súčinu a kvocientu mocnin uvedených na začiatku článku:

odpoveď: X = 2.

Riešenie exponenciálnych nerovností

Orientačné sa nazývajú nerovnice, v ktorých je neznáma premenná obsiahnutá len v exponentoch niektorých mocnín.

Pre riešenia exponenciálne nerovnosti vyžaduje sa znalosť nasledujúcej vety:

Veta 2. Ak a> 1, potom nerovnosť a f(X) > a g(X) sa rovná nerovnosti rovnakého významu: f(X) > g(X). Ak 0< a < 1, то exponenciálna nerovnosť a f(X) > a g(X) je ekvivalentná nerovnosti s opačným významom: f(X) < g(X).

Príklad 7. Vyriešte nerovnosť:

Riešenie: Uveďme pôvodnú nerovnosť v tvare:

Vydeľme obe strany tejto nerovnosti 3 2 X, v tomto prípade (vzhľadom na pozitívnosť funkcie r= 3 2X) znamienko nerovnosti sa nezmení:

Použime náhradu:

Potom bude mať nerovnosť tvar:

Takže riešením nerovnosti je interval:

prechodom na opačnú substitúciu dostaneme:

Vzhľadom na kladnosť exponenciálnej funkcie je ľavá nerovnosť splnená automaticky. Využiť známa vlastnosť logaritmus, prejdeme na ekvivalentnú nerovnosť:

Keďže základom stupňa je číslo väčšie ako jedna, ekvivalentom (podľa vety 2) je prechod na nasledujúcu nerovnosť:

Tak sa konečne dostávame odpoveď:

Príklad 8. Vyriešte nerovnosť:

Riešenie: Pomocou vlastností násobenia a delenia mocnín prepíšeme nerovnosť do tvaru:

Predstavme si novú premennú:

Ak vezmeme do úvahy túto substitúciu, nerovnosť má tvar:

Vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku číslom 7 dostaneme nasledujúcu ekvivalentnú nerovnosť:

Nasledujúce hodnoty premennej teda spĺňajú nerovnosť t:

Potom, keď prejdeme na opačnú substitúciu, dostaneme:

Pretože základ stupňa je tu väčší ako jedna, prechod k nerovnosti bude ekvivalentný (podľa vety 2):

Konečne sa dostávame odpoveď:

Príklad 9. Vyriešte nerovnosť:

Riešenie:

Obe strany nerovnosti delíme výrazom:

Je vždy väčšia ako nula (kvôli kladnosti exponenciálnej funkcie), takže nie je potrebné meniť znamienko nerovnosti. Dostaneme:

t sa nachádza v intervale:

Ak prejdeme k reverznej substitúcii, zistíme, že pôvodná nerovnosť sa rozdelí na dva prípady:

Prvá nerovnosť nemá riešenia kvôli kladnosti exponenciálnej funkcie. Vyriešme to druhé:

Príklad 10. Vyriešte nerovnosť:

Riešenie:

Vetvy paraboly r = 2X+2-X 2 smerujú nadol, preto je zhora obmedzená hodnotou, ktorú dosahuje vo svojom vrchole:

Vetvy paraboly r = X 2 -2X+2 v ukazovateli smeruje nahor, čo znamená, že je zdola obmedzený hodnotou, ktorú dosiahne vo svojom vrchole:

Zároveň sa ukazuje, že funkcia je ohraničená aj zdola r = 3 X 2 -2X+2, čo je na pravej strane rovnice. Svoju najmenšiu hodnotu dosahuje v rovnakom bode ako parabola v exponente a táto hodnota je 3 1 = 3. Pôvodná nerovnosť teda môže byť pravdivá len vtedy, ak funkcia vľavo a funkcia vpravo nadobudnú hodnotu , rovné 3 (priesečník rozsahov hodnôt týchto funkcií je iba toto číslo). Táto podmienka je splnená v jednom bode X = 1.

odpoveď: X= 1.

Aby sa naučili rozhodovať exponenciálne rovnice a nerovnice, ich riešenie je potrebné neustále trénovať. S touto neľahkou úlohou vám môžu pomôcť rôzne veci. metodické príručky, problémové knihy zo základnej matematiky, zbierky súťažných úloh, hodiny matematiky v škole, ako aj individuálne hodiny s odborným tútorom. Úprimne vám želám veľa úspechov v príprave a výborné výsledky na skúške.

Sergej Valerijevič

P.S. Vážení hostia! Do komentárov prosím nepíšte požiadavky na riešenie vašich rovníc. Bohužiaľ na to nemám absolútne čas. Takéto správy budú vymazané. Prečítajte si prosím článok. Možno v ňom nájdete odpovede na otázky, ktoré vám nedovolili vyriešiť svoju úlohu sami.

Exponenciálna funkcia

Funkcia tvaru y = a X , kde a je väčšie ako nula a a sa nerovná jednej, sa nazýva exponenciálna funkcia. Základné vlastnosti exponenciálnej funkcie:

1. Definičný obor exponenciálnej funkcie bude množina reálnych čísel.

2. Rozsah hodnôt exponenciálnej funkcie bude množinou všetkých kladných reálnych čísel. Niekedy sa táto množina pre stručnosť označuje ako R+.

3. Ak v exponenciálnej funkcii je základ a väčší ako jedna, potom funkcia bude narastať v celom definičnom obore. Ak je v exponenciálnej funkcii pre základ a splnené ďalšia podmienka 0

4. Všetky základné vlastnosti stupňov budú platné. Hlavné vlastnosti stupňov sú reprezentované nasledujúcimi rovnosťami:

a X *a r = a (x+y) ;

(a X )/(a r ) = a (x-y) ;

(a*b) X = (a X )* (a r );

(a/b) X = a X /b X ;

(a X ) r = a (x * y) .

Tieto rovnosti budú platné pre všetky skutočné hodnoty x a y.

5. Graf exponenciálnej funkcie vždy prechádza bodom so súradnicami (0;1)

6. V závislosti od toho, či exponenciálna funkcia rastie alebo klesá, jej graf bude mať jednu z dvoch foriem.

Nasledujúci obrázok ukazuje graf rastúcej exponenciálnej funkcie: a>0.

Nasledujúci obrázok ukazuje graf klesajúcej exponenciálnej funkcie: 0

Ako graf rastúcej exponenciálnej funkcie, tak aj graf klesajúcej exponenciálnej funkcie podľa vlastnosti opísanej v piatom odseku prechádzajú bodom (0;1).

7. Exponenciálna funkcia nemá extrémne body, to znamená, že nemá minimálne a maximálne body funkcie. Ak vezmeme do úvahy funkciu na akomkoľvek konkrétnom segmente, potom funkcia nadobudne minimálne a maximálne hodnoty na konci tohto intervalu.

8. Funkcia nie je párna ani nepárna. Exponenciálna funkcia je funkcia všeobecný pohľad. Je to vidieť z grafov, žiadny z nich nie je symetrický ani vzhľadom na os Oy, ani s ohľadom na počiatok súradníc.

Logaritmus

Logaritmy boli vždy brané do úvahy zložitá téma V školský kurz matematiky. Existuje mnoho rôznych definícií logaritmu, ale z nejakého dôvodu väčšina učebníc používa najzložitejšie a neúspešné z nich.

Logaritmus definujeme jednoducho a jasne. Ak to chcete urobiť, vytvorte tabuľku:

Takže máme mocniny dvoch. Ak vezmete číslo zo spodného riadku, ľahko nájdete moc, na ktorú budete musieť zvýšiť dvojku, aby ste toto číslo získali. Napríklad, ak chcete získať 16, musíte zvýšiť dve na štvrtú mocninu. A aby ste získali 64, musíte zvýšiť dve na šiestu mocninu. To je možné vidieť z tabuľky.

A teraz vlastne definícia logaritmu:

Definícia

Logaritmus založiť a z argumentu x je moc, na ktorú treba číslo zvýšiť a získať číslo X.

Označenie

log a x = b
kde a je základ, x je argument, b - vlastne, čomu sa rovná logaritmus.

Napríklad 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (základný 2 logaritmus čísla 8 je tri, pretože 2 3 = 8). S rovnakým úspechom log 2 64 = 6, pretože 2 6 = 64.

Zavolá sa operácia hľadania logaritmu čísla k danému základulogaritmus . Pridajme teda do tabuľky nový riadok:

Bohužiaľ, nie všetky logaritmy sa počítajú tak ľahko. Skúste napríklad nájsť log 2 5. Číslo 5 nie je v tabuľke, ale logika diktuje, že logaritmus bude ležať niekde na intervale. Pretože 22< 5 < 2 3 , а чем viac stupňa dvojky, tým väčšie číslo.

Takéto čísla sa nazývajú iracionálne: čísla za desatinnou čiarkou možno písať do nekonečna a nikdy sa neopakujú. Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, je lepšie ho nechať tak: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je dôležité pochopiť, že logaritmus je výraz s dvoma premennými (základ a argument). Mnoho ľudí si spočiatku mätie, kde je základ a kde argument. Aby ste predišli nepríjemným nedorozumeniam, pozrite sa na obrázok:

Pred nami nie je nič iné ako definícia logaritmu. Pamätajte: logaritmus je sila , do ktorého musí byť základňa zabudovaná, aby sa získal argument. Je to podstavec, ktorý je mocne vyvýšený - na obrázku je zvýraznený červenou farbou. Ukazuje sa, že základňa je vždy na dne! Toto úžasné pravidlo Hneď na prvej hodine hovorím svojim študentom - a nie je tam žiadny zmätok.

Definíciu sme si vymysleli – ostáva už len naučiť sa počítať logaritmy, t.j. zbavte sa znaku „log“. Na začiatok poznamenávame Z definície vyplývajú dve veci dôležité fakty:

Argument a základ musia byť vždy väčšie ako nula. Vyplýva to z definície stupňa racionálnym exponentom, na ktorý je redukovaná definícia logaritmu.

Základ musí byť odlišný od jedného, ​​pretože jeden v akomkoľvek stupni stále zostáva jedným. Z tohto dôvodu je otázka „na akú silu treba pozdvihnúť, aby sme dostali dve“ nezmyselná. Taký stupeň neexistuje!

Takéto obmedzenia sa volajú rozsah prijateľných hodnôt(ODZ). Ukazuje sa, že ODZ logaritmu vyzerá takto: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Vezmite prosím na vedomie, že bez obmedzenia počtu b (hodnota logaritmu) sa neprekrýva. Napríklad logaritmus môže byť záporný: log 2 0,5 = −1, pretože 0,5 = 2 -1.

Teraz však uvažujeme iba o číselných výrazoch, kde nie je potrebné poznať VA logaritmu. Všetky obmedzenia už autori problémov zohľadnili. Keď však do hry vstúpia logaritmické rovnice a nerovnosti, požiadavky DL sa stanú povinnými. Koniec koncov, základ a argument môže obsahovať veľmi silné konštrukcie, ktoré nemusia nevyhnutne zodpovedať vyššie uvedeným obmedzeniam.

Teraz zvážte generála schéma na výpočet logaritmov. Pozostáva z troch krokov:

Uveďte dôvod a a argument x vo forme mocniny s minimálnym možným základom väčším ako jedna. Po ceste je lepšie zbaviť sa desatinných miest;

Riešiť s ohľadom na premennú b rovnica: x = a b;

Výsledné číslo b bude odpoveďou.

To je všetko! Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, bude to viditeľné už v prvom kroku. Požiadavka, aby bol základ väčší ako jedna, je veľmi dôležitá: znižuje sa tým pravdepodobnosť chyby a výrazne sa zjednodušujú výpočty. To isté s desatinné miesta: ak ich okamžite prevediete na bežné, bude oveľa menej chýb.

Pozrime sa, ako táto schéma funguje konkrétne príklady:

Vypočítajte logaritmus: log 5 25

Predstavme si základ a argument ako mocninu päťky: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Dostali sme odpoveď: 2.

Vypočítajte logaritmus:

Predstavme si základ a argument ako mocninu troch: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;

Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:

Dostali sme odpoveď: −4.

−4

Vypočítajte logaritmus: log 4 64

Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Dostali sme odpoveď: 3.

Vypočítajte logaritmus: log 16 1

Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Dostali sme odpoveď: 0.

Vypočítajte logaritmus: log 7 14

Predstavme si základ a argument ako mocninu siedmich: 7 = 7 1 ; 14 nemôže byť vyjadrené ako mocnina siedmich, pretože 7 1< 14 < 7 2 ;

Z predchádzajúceho odseku vyplýva, že logaritmus sa nepočíta;

Odpoveď je žiadna zmena: log 7 14.

denník 7 14

Malá poznámka k poslednému príkladu. Ako si môžete byť istý, že číslo nie je presnou mocninou iného čísla? Je to veľmi jednoduché – stačí to započítať do hlavných faktorov. Ak má expanzia aspoň dva rôzne faktory, číslo nie je presnou mocninou.

Zistite, či sú čísla presné mocniny: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - presný stupeň, pretože existuje len jeden multiplikátor;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nie je presná mocnina, pretože existujú dva faktory: 3 a 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - presný stupeň;
35 = 7 · 5 - opäť nie presná mocnina;
14 = 7 · 2 - opäť nie presný stupeň;

8, 81 - presný stupeň; 48, 35, 14 - č.

Všimnime si tiež, že my sami základné čísla sú vždy presné stupne samých seba.

Desatinný logaritmus

Niektoré logaritmy sú také bežné, že majú špeciálny názov a symbol.

Definícia

Desatinný logaritmus z argumentu x je logaritmus k základu 10, t.j. mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo 10, aby sa číslo dostalo X.

Označenie

lg x

Napríklad log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - atď.

Keď sa odteraz v učebnici objaví fráza ako „Nájsť lg 0,01“, vedzte, že to nie je preklep. Toto je desiatkový logaritmus. Ak však tento zápis nepoznáte, vždy ho môžete prepísať:
log x = log 10 x

Všetko, čo platí pre bežné logaritmy, platí aj pre desiatkové logaritmy.

Prirodzený logaritmus

Existuje ďalší logaritmus, ktorý má svoje vlastné označenie. V niektorých ohľadoch je to ešte dôležitejšie ako desatinné číslo. Je to o o prirodzenom logaritme.

Definícia

Prirodzený logaritmus z argumentu x je logaritmus k základni e , t.j. moc, na ktorú sa musí číslo zvýšiť e získať číslo X.

Označenie

ln x

Mnoho ľudí sa bude pýtať: aké je číslo e? Toto je iracionálne číslo, jeho presnú hodnotu nemožno nájsť a zapísať. Uvediem len prvé čísla:
e = 2,718281828459...

Nebudeme sa podrobne zaoberať tým, čo je toto číslo a prečo je potrebné. Len si pamätajte, že e - základ prirodzeného logaritmu:
ln x = log e x

Teda ln e = 1; lne2 = 2; V e 16 = 16 - atď. Na druhej strane, ln 2 je iracionálne číslo. Vo všeobecnosti prirodzený logaritmus akéhokoľvek racionálne číslo iracionálny. Samozrejme okrem jedného: ln 1 = 0.

Pre prirodzené logaritmy platia všetky pravidlá, ktoré platia pre bežné logaritmy.

Základné vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako všetky čísla, sa dajú sčítať, odčítať a transformovať všetkými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, majú svoje vlastné pravidlá, ktoré sa nazývajú základné vlastnosti.

Tieto pravidlá určite musíte poznať – bez nich sa nedá vyriešiť ani jeden vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakými základňami: log a x a log a y . Potom ich možno sčítať a odčítať a:

log a x + denník a y =log a ( X · r );

log a x − denník a y =log a ( X : r ).

takže, súčet logaritmov sa rovná logaritmu súčinu a rozdiel sa rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: kľúčový moment tu sú rovnaké dôvody. Ak sú dôvody iné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz aj keď sa jeho jednotlivé časti nepočítajú (pozri lekciu „ "). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Nájdite hodnotu výrazu: log 6 4 + log 6 9.

Keďže logaritmy majú rovnaké základy, použijeme súčtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Nájdite hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Nájdite hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.

Základy sú opäť rovnaké, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré nie sú vypočítané samostatne. Ale po transformáciách sa ukážu celkom normálne čísla. Mnohé sú postavené na tejto skutočnosti testovacie papiere. Áno, na Jednotnej štátnej skúške sa so všetkou vážnosťou (niekedy prakticky bez zmien) ponúkajú výrazy podobné testom.

Extrahovanie exponentu z logaritmu

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak je základom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom exponent tohto stupňa možno vybrať ako znak logaritmu v dodržiavanie pravidiel:

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje prvé dve. Je však lepšie si to zapamätať - v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Samozrejme Všetky tieto pravidlá majú zmysel, ak sa dodrží ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak, t.j. Čísla pred znamienkom logaritmu môžete zadať do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Nájdite hodnotu výrazu: log 7 49 6 .

Zbavme sa stupňa v argumente pomocou prvého vzorca:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že menovateľ obsahuje logaritmus, ktorého základom a argumentom sú presné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Máme:

Myslím, že posledný príklad si vyžaduje určité objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Uviedli sme základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme mocničiek a vyňali sme exponenty - dostali sme „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ obsahujú rovnaké číslo: log 2 7. Keďže log 2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa aj stalo. Výsledkom bola odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú dôvody iné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na nový základ. Sformulujme ich vo forme vety:

Veta

Nech je daný logaritmus logaritmu a x . Potom pre ľubovoľné číslo c tak, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Najmä ak dáme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus sa objaví v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka vyskytujú v konvenčných číselné výrazy. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do novej nadácie. Pozrime sa na pár z nich:

Nájdite hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov obsahujú presné mocniny. Vyberme ukazovatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz „otočme“ druhý logaritmus:

Keďže sa súčin pri preskupovaní faktorov nemení, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.

Nájdite hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu. V tomto prípade nám pomôžu nasledujúce vzorce:

V prvom prípade číslo n sa stáva indikátorom stupňa stojaceho v argumente. číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Toto sa volá:základná logaritmická identita.

Čo sa vlastne stane, ak sa číslo b zvýši na takú mocninu, že číslo b s touto mocninou dáva číslo a? Správne: výsledkom je rovnaké číslo a. Ešte raz si pozorne prečítajte tento odsek – veľa ľudí sa na ňom zasekne.

Rovnako ako vzorce na prechod na novú základňu, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha

Nájdite význam výrazu:

Riešenie

Všimnite si, že log 25 64 = log 5 8 - jednoducho vzal druhú mocninu zo základne a argument logaritmu. Ak vezmeme do úvahy pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom, dostaneme:

200

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré možno len ťažko nazvať vlastnosťami – sú skôr dôsledkom definície logaritmu. Neustále sa objavujú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

log a a = 1 je logaritmická jednotka. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus na akúkoľvek základňu a z tohto základu sa rovná jednej.

log a 1 = 0 je logaritmická nula. Základňa a môže byť čokoľvek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovná nule! Pretože 0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi!