Kaj je definicija racionalnega števila. Racionalno število

) so števila s pozitivnim ali negativnim predznakom (cela števila in ulomki) in ničlo. Natančnejši koncept racionalnih števil zveni takole:

Racionalno število- število, ki je predstavljeno kot navadni ulomek m/n, kjer je števec m so cela števila in imenovalec n- cela števila, na primer 2/3.

Neskončni neperiodični ulomki NISO vključeni v množico racionalnih števil.

a/b, Kje a∈ Z (a pripada celim številom), b∈ n (b pripada naravnim številom).

Uporaba racionalnih števil v resničnem življenju.

IN resnično življenje množica racionalnih števil se uporablja za štetje delov nekaterih celoštevilsko deljivih predmetov, Na primer, pecivo ali druga živila, ki se pred zaužitjem narežejo na kose, ali za grobo oceno prostorskih odnosov razširjenih predmetov.

Lastnosti racionalnih števil.

Osnovne lastnosti racionalnih števil.

1. Urejenost a in b obstaja pravilo, ki vam omogoča nedvoumno identifikacijo 1 in samo enega od 3 odnosov med njimi: "<», «>« ali »=«. To pravilo je - pravilo naročanja in ga formuliramo takole:

• 2 pozitivni števili a=m a /n a in b=m b /n b sta povezani z enakim razmerjem kot 2 celi števili m a⋅ n b in m b⋅ n a;
• 2 negativni števili a in b sta povezani z enakim razmerjem kot 2 pozitivni števili |b| in |a|;
• Kdaj a pozitivno in b- torej negativno a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operacija dodajanja. Za vsa racionalna števila a in b Tukaj je pravilo seštevanja, ki jim dodeli določeno racionalno število c. Še več, sama številka c- To vsotaštevilke a in b in je označena kot (a+b) seštevanje.

Pravilo seštevanja zgleda takole:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Operacija množenja. Za vsa racionalna števila a in b Tukaj je pravilo množenja, jih povezuje z določenim racionalnim številom c. Število c imenujemo deloštevilke a in b in označujejo (a⋅b), in postopek iskanja te številke se imenuje množenje.

Pravilo množenja zgleda takole: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivnost relacije reda. Za poljubna tri racionalna števila a, b in cče a manj b in b manj c, To a manj c, in če a enako b in b enako c, To a enako c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Komutativnost seštevanja. Zamenjava mest racionalnih členov ne spremeni vsote.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Dodatna asociativnost. Vrstni red seštevanja treh racionalnih števil ne vpliva na rezultat.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Prisotnost ničle. Obstaja racionalno število 0, pri seštevanju ohrani vsako drugo racionalno število.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Q a+0=a

8. Prisotnost nasprotnih števil. Vsako racionalno število ima nasprotno racionalno število in ko ju seštejemo, je rezultat 0.

∀ a∈ Q∃ (-a)∈ Q a+(−a)=0

9. Komutativnost množenja. Zamenjava mest racionalnih dejavnikov ne spremeni izdelka.

∀ a,b∈ Qa⋅ b=b⋅ a

10. Asociativnost množenja. Vrstni red množenja treh racionalnih števil ne vpliva na rezultat.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Razpoložljivost enote. Obstaja racionalno število 1, ki ohrani vsako drugo racionalno število v procesu množenja.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Qa⋅ 1=a

12. Prisotnost vzajemnih števil. Vsako racionalno število razen nič ima inverzno racionalno število, pomnožimo s katerim dobimo 1 .

∀ a∈ Q∃ a−1∈ Qa⋅ a−1=1

13. Distributivnost množenja glede na seštevanje. Operacija množenja je povezana s seštevanjem z uporabo distribucijskega zakona:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Razmerje med relacijo reda in operacijo seštevanja. Na levo in desna stran Racionalnim neenačbam se doda enako racionalno število.

∀ a,b,c∈ Qa ⇒ a+c

15. Razmerje med relacijo reda in operacijo množenja. Levo in desno stran racionalne neenakosti lahko pomnožimo z istim nenegativnim racionalnim številom.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Arhimedov aksiom. Ne glede na racionalno število a, je enostavno vzeti toliko enot, da bo njihova vsota večja a.

Tema racionalnih števil je precej obsežna. O tem lahko govorite neskončno in napišete celotna dela, vsakič pa vas presenetijo nove funkcije.

Da bi se v prihodnje izognili napakam, se bomo v tej lekciji nekoliko poglobili v temo racionalnih števil, iz nje pobrali potrebne informacije in šli naprej.

Vsebina lekcije

Kaj je racionalno število

Racionalno število je število, ki ga lahko predstavimo kot ulomek, kjer a— to je števec ulomka, b je imenovalec ulomka. Poleg tega b ne sme biti nič, ker deljenje z nič ni dovoljeno.

Racionalna števila vključujejo naslednje kategorije števil:

• cela števila (na primer −2, −1, 0 1, 2 itd.)

• decimalni ulomki (na primer 0,2 itd.)

• neskončni periodični ulomki (na primer 0, (3) itd.)

Vsako število v tej kategoriji je mogoče predstaviti kot ulomek.

Primer 1. Celo število 2 lahko predstavimo kot ulomek. To pomeni, da številka 2 ne velja samo za cela števila, ampak tudi za racionalna.

Primer 2. Mešano število je mogoče predstaviti kot ulomek. Ta ulomek dobimo s pretvorbo mešanega števila v nepravilni ulomek

To pomeni, da je mešano število racionalno število.

Primer 3. Decimalno število 0,2 je mogoče predstaviti kot ulomek. Ta ulomek smo dobili s pretvorbo decimalnega ulomka 0,2 v navadni ulomek. Če imate na tej točki težave, ponovite temo.

Zaradi decimalno 0,2 lahko predstavimo kot ulomek, kar pomeni, da tudi spada med racionalna števila.

Primer 4. Neskončni periodični ulomek 0, (3) lahko predstavimo kot ulomek. Ta ulomek dobimo s pretvorbo čistega periodičnega ulomka v navadni ulomek. Če imate na tej točki težave, ponovite temo.

Ker lahko neskončni periodični ulomek 0, (3) predstavimo kot ulomek, to pomeni, da tudi on spada med racionalna števila.

V prihodnosti bomo vsa števila, ki jih je mogoče predstaviti kot ulomek, vedno pogosteje imenovali z eno frazo - racionalna števila.

Racionalna števila na koordinatni premici

Ko smo se učili, smo gledali koordinatno premico negativna števila. Spomnimo se, da je to ravna črta, na kateri leži veliko točk. Kot sledi:

Ta slika prikazuje majhen delček koordinatne črte od −5 do 5.

Označevanje celih števil oblike 2, 0, −3 na koordinatni premici ni težko.

Stvari so veliko bolj zanimive z drugimi števili: z navadnimi ulomki, mešanimi števili, decimalkami itd. Ta števila ležijo med celima številoma in teh števil je neskončno veliko.

Označimo na primer racionalno število na koordinatni premici. Ta številka leži natančno med ničlo in ena

Poskusimo razumeti, zakaj se ulomek nenadoma nahaja med nič in ena.

Kot že omenjeno, med celimi števili ležijo druga števila - navadni ulomki, decimalke, mešana števila itd. Na primer, če povečate del koordinatne črte z 0 na 1, lahko vidite naslednjo sliko

Vidimo lahko, da so med celima številoma 0 in 1 druga racionalna števila, ki so znani decimalni ulomki. Tukaj lahko vidite naš ulomek, ki se nahaja na istem mestu kot decimalni ulomek 0,5. Natančen pregled te figure daje odgovor na vprašanje, zakaj se ulomek nahaja ravno tam.

Ulomek pomeni deljenje 1 z 2. In če delimo 1 z 2, dobimo 0,5

Decimalni ulomek 0,5 je mogoče prikriti kot druge ulomke. Iz osnovne lastnosti ulomka vemo, da če števec in imenovalec ulomka pomnožimo ali delimo z istim številom, se vrednost ulomka ne spremeni.

Če števec in imenovalec ulomka pomnožimo s poljubnim številom, na primer s številom 4, dobimo nov ulomek, ki je prav tako enak 0,5.

To pomeni, da lahko na koordinatni premici ulomek postavimo na isto mesto, kjer se je ulomek nahajal

Primer 2. Poskusimo na koordinati označiti racionalno število. Ta številka se nahaja točno med številkama 1 in 2

Vrednost ulomka je 1,5

Če povečamo prerez koordinatne črte z 1 na 2, bomo videli naslednjo sliko:

Vidimo lahko, da so med celima številoma 1 in 2 druga racionalna števila, ki so znani decimalni ulomki. Tukaj lahko vidite naš ulomek, ki se nahaja na istem mestu kot decimalni ulomek 1,5.

Določene segmente na koordinatni premici smo povečali, da bi videli preostala števila, ki ležijo na tem segmentu. Posledično smo odkrili decimalne ulomke, ki so imeli eno števko za decimalno vejico.

A to niso bile edine številke na teh segmentih. Na koordinatni premici leži neskončno veliko števil.

Ni težko uganiti, da so med decimalnimi ulomki, ki imajo za decimalno vejico eno števko, drugi decimalni ulomki, ki imajo za decimalno vejico dve števki. Z drugimi besedami, stotinke segmenta.

Na primer, poskusimo videti številke, ki ležijo med decimalnimi ulomki 0,1 in 0,2

Še en primer. Decimalni ulomki, ki imajo dve števki za decimalno vejico in ležijo med ničlo in racionalnim številom 0,1, izgledajo takole:

Primer 3. Na koordinatni premici označimo racionalno število. To racionalno število bo zelo blizu ničle

Vrednost ulomka je 0,02

Če segment povečamo z 0 na 0,1, bomo natančno videli, kje se nahaja racionalno število

Vidimo lahko, da se naše racionalno število nahaja na istem mestu kot decimalni ulomek 0,02.

Primer 4. Na koordinatni premici označimo racionalno število 0, (3)

Racionalno število 0, (3) je neskončen periodični ulomek. Njegov delni del se nikoli ne konča, je neskončen

In ker ima število 0,(3) neskončen ulomek, to pomeni, da ne bomo mogli najti točnega mesta na koordinatni premici, kjer se to število nahaja. Ta kraj lahko navedemo le približno.

Racionalno število 0,33333 ... se bo nahajalo zelo blizu navadnega decimalnega ulomka 0,3

Ta slika ne prikazuje natančne lokacije številke 0,(3). To je le ilustracija, ki prikazuje, kako blizu je lahko periodični ulomek 0.(3) navadnemu decimalnemu ulomku 0,3.

Primer 5. Na koordinatni premici označimo racionalno število. To racionalno število se bo nahajalo na sredini med številkama 2 in 3

To je 2 (dve celi števili) in (ena sekunda). Ulomek se imenuje tudi "polovica". Zato smo na koordinatni premici označili dva cela odseka in še en polovični odsek.

Če mešano število pretvorimo v nepravi ulomek, dobimo navadni ulomek. Ta ulomek na koordinatni premici se bo nahajal na istem mestu kot ulomek

Vrednost ulomka je 2,5

Če povečamo odsek koordinatne črte z 2 na 3, bomo videli naslednjo sliko:

Vidimo lahko, da se naše racionalno število nahaja na istem mestu kot decimalni ulomek 2,5

Minus pred racionalnim številom

V prejšnji uri, ki se je imenovala, smo se naučili deliti cela števila. Tako pozitivna kot negativna števila bi lahko delovala kot dividenda in delitelj.

Razmislimo o najpreprostejšem izrazu

(−6) : 2 = −3

V tem izrazu je dividenda (−6) negativno število.

Zdaj razmislite o drugem izrazu

6: (−2) = −3

Tu je delitelj (−2) že negativno število. Toda v obeh primerih dobimo enak odgovor -3.

Glede na to, da je vsako deljenje mogoče zapisati kot ulomek, lahko tudi zgoraj obravnavane primere zapišemo kot ulomek:

In ker je v obeh primerih vrednost ulomka enaka, lahko minus v števcu ali imenovalcu naredite skupnega tako, da ga postavite pred ulomek

Zato lahko med izraze in in postavite enačaj, ker imata enak pomen

Če bomo v prihodnje pri delu z ulomki naleteli na minus v števcu ali imenovalcu, bomo ta minus naredili skupnega tako, da ga bomo postavili pred ulomek.

Nasprotna racionalna števila

Tako kot celo število ima tudi racionalno število nasprotno število.

Na primer za racionalno število nasprotno število je . Nahaja se na koordinatni premici simetrično glede na lokacijo glede na izhodišče koordinat. Z drugimi besedami, obe števili sta enako oddaljeni od izvora

Pretvarjanje mešanih števil v neprave ulomke

Vemo, da moramo za pretvorbo mešanega števila v nepravi ulomek cel del pomnožiti z imenovalcem ulomka in ga dodati števcu ulomka. Dobljeno število bo števec novega ulomka, imenovalec pa ostane enak.

Na primer, pretvorimo mešano število v nepravilni ulomek

Celoten del pomnožimo z imenovalcem ulomka in dodamo števec ulomka:

Izračunajmo ta izraz:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Dobljeno število 5 bo števec novega ulomka, imenovalec pa bo ostal enak:

Popolnoma ta postopek je zapisano takole:

Če želite vrniti prvotno mešano število, je dovolj, da izberete cel del v ulomku

Toda ta metoda pretvorbe mešanega števila v nepravilni ulomek je uporabna le, če je mešano število pozitivno. Ta metoda ne bo delovala za negativno število.

Upoštevajmo ulomek. Izberimo cel del tega ulomka. Dobimo

Če želite vrniti prvotni ulomek, morate pretvoriti mešano število v nepravilni ulomek. Če pa uporabimo staro pravilo, namreč cel del pomnožimo z imenovalcem ulomka in dobljenemu številu dodamo števec ulomka, dobimo naslednje protislovje:

Prejeli smo zlomek, a bi morali dobiti zlomek.

Sklepamo, da je bilo mešano število napačno pretvorjeno v nepravi ulomek

Če želite pravilno pretvoriti negativno mešano število v nepravilen ulomek, morate cel del pomnožiti z imenovalcem ulomka in iz nastalega števila odštetištevec ulomkovega dela. V tem primeru se nam bo vse postavilo na svoje mesto

Negativno mešano število je nasprotje mešanega števila. Če se pozitivno mešano število nahaja na desni strani in izgleda takole

Definicija racionalnih števil:

Racionalno število je število, ki ga lahko predstavimo kot ulomek. Števec takega ulomka spada v množico celih števil, imenovalec pa v množico naravnih števil.

Zakaj se števila imenujejo racionalna?

V latinščini ratio pomeni razmerje. Racionalna števila lahko predstavimo kot relacijo, tj. z drugimi besedami, kot ulomek.

Primer racionalnega števila

Število 2/3 je racionalno število. Zakaj? To število je predstavljeno kot ulomek, katerega števec pripada množici celih števil, imenovalec pa množici naravnih števil.

Več primerov racionalnih števil najdete v članku.

Enaka racionalna števila

Razne frakcije lahko predstavlja eno racionalno število.

Razmislite o racionalnem številu 3/5. To racionalno število je enako

Zmanjšajmo števec in imenovalec s skupnim faktorjem 2:

6	=	2 * 3	=	3
10		2 * 5		5

Dobili smo ulomek 3/5, kar pomeni to

Cela števila

Definicija naravnih števil so pozitivna cela števila. Naravna števila se uporabljajo za štetje predmetov in za številne druge namene. To so številke:

To je naravni niz števil.
Ali je nič naravno število? Ne, ničla ni naravno število.
Koliko naravnih števil obstaja? Naravnih števil je neskončno veliko.
Katero je najmanjše naravno število? Ena je najmanjše naravno število.
Katero je največje naravno število? Nemogoče ga je določiti, ker je naravnih števil neskončno veliko.

Vsota naravnih števil je naravno število. Torej, seštevanje naravnih števil a in b:

Zmnožek naravnih števil je naravno število. Torej produkt naravnih števil a in b:

c je vedno naravno število.

Razlika naravnih števil Ni vedno naravnega števila. Če je manjšec večji od odštevanca, je razlika naravnih števil naravno število, sicer pa ni.

Kvocient naravnih števil ni vedno naravno število. Če za naravna števila a in b

kjer je c naravno število, to pomeni, da je a deljivo z b. V tem primeru je a dividenda, b je delitelj, c je količnik.

Delitelj naravnega števila je naravno število, s katerim je prvo število deljivo s celoto.

Vsako naravno število je deljivo z ena in samim seboj.

Pranaravna števila so deljiva samo z ena in sama s seboj. Tu mislimo na razdeljeno v celoti. Primer, številke 2; 3; 5; 7 je deljivo samo z ena in samim seboj. To so preprosta naravna števila.

Ena se ne šteje za praštevilo.

Števila, ki so večja od ena in niso praštevila, imenujemo sestavljena števila. Primeri sestavljena števila:

Ena se ne šteje za sestavljeno število.

Množica naravnih števil je ena, praštevila in sestavljena števila.

Množica naravnih števil je označena latinska črka n.

Lastnosti seštevanja in množenja naravnih števil:

komutativna lastnost seštevanja

asociativna lastnost seštevanja

(a + b) + c = a + (b + c);

komutativna lastnost množenja

asociativna lastnost množenja

(ab) c = a (bc);

razdelilna lastnost množenja

A (b + c) = ab + ac;

Cela števila

Cela števila so naravna števila, ničla in nasprotja naravnih števil.

Nasprotje naravnih števil so negativna cela števila, na primer:

1; -2; -3; -4;...

Množica celih števil je označena z latinično črko Z.

Racionalna števila

Racionalna števila so cela števila in ulomki.

Vsako racionalno število je mogoče predstaviti kot periodični ulomek. Primeri:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Iz primerov je razvidno, da je vsako celo število periodični ulomek s periodo nič.

Vsako racionalno število je mogoče predstaviti kot ulomek m/n, kjer je m celo število,n naravno število. Kot tak ulomek si predstavljajmo število 3,(6) iz prejšnjega primera.

Na to vprašanje bodo verjetno z lahkoto odgovorili starejši šolarji in študenti matematike. Toda za tiste, ki so po poklicu daleč od tega, bo težje. Kaj je v resnici?

Bistvo in poimenovanje

Racionalna števila so tista, ki jih lahko predstavimo kot navaden ulomek. V ta niz so vključeni tudi pozitivni, negativni in ničelni. Števec ulomka mora biti celo število, imenovalec pa mora biti

Ta niz v matematiki je označen kot Q in se imenuje "polje racionalnih števil". Vključuje vsa cela in naravna števila, označena z Z oziroma N. Sama množica Q je vključena v množico R. Prav ta črka označuje tako imenovano realno oz.

Izvedba

Kot smo že omenili, so racionalna števila množica, ki vključuje vse cele in delne vrednosti. Predstavijo se lahko v različne oblike. Najprej v obliki navadnega ulomka: 5/7, 1/5, 11/15 itd. Seveda lahko cela števila zapišemo tudi v podobni obliki: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 itd. Drugič, druga vrsta predstavitve je decimalni ulomek s končnim delnim delom: 0,01, -15,001006 itd. To je morda ena najpogostejših oblik.

Obstaja pa še tretji - periodični ulomek. Ta vrsta ni zelo pogosta, vendar se še vedno uporablja. Na primer, ulomek 10/3 lahko zapišemo kot 3,33333... ali 3,(3). pri čemer različni pogledi bodo obravnavane kot podobne številke. Tudi ulomki, ki so med seboj enaki, se imenujejo enako, na primer 3/5 in 6/10. Zdi se, da je postalo jasno, kaj so racionalna števila. Toda zakaj se zanje uporablja ta izraz?

izvor imena

Beseda »racionalno« ima v sodobni ruščini na splošno nekoliko drugačen pomen. To je bolj kot "razumno", "premišljeno". Toda matematični izrazi so blizu neposrednemu pomenu tega.V latinščini je "razmerje" "razmerje", "ulomek" ali "delitev". Tako ime zajame bistvo racionalnih števil. Vendar pa drugi pomen

ni daleč od resnice.

Dejanja z njimi

Pri odločanju matematične težave Nenehno se srečujemo z racionalnimi številkami, ne da bi se tega sami zavedali. In blizu so zanimive lastnosti. Vsi izhajajo bodisi iz definicije množice bodisi iz dejanj.

Prvič, racionalna števila imajo lastnost razmerja reda. To pomeni, da je med dvema številoma lahko le eno razmerje – ali sta med seboj enaki ali pa je eno večje ali manjše od drugega. To je:

oz a = b; oz a > b, oz a< b.

Poleg tega iz te lastnosti izhaja tudi tranzitivnost relacije. To je, če a več b, b več c, To a več c. V matematičnem jeziku je to videti takole:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Drugič, tu so aritmetične operacije z racionalnimi števili, torej seštevanje, odštevanje, deljenje in seveda množenje. Hkrati je v procesu preoblikovanja mogoče identificirati tudi številne lastnosti.

• a + b = b + a (menjava mest členov, komutativnost);
• 0 + a = a + 0;
• (a + b) + c = a + (b + c) (asociativnost);
• a + (-a) = 0;
• ab = ba;
• (ab)c = a(bc) (distributivnost);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (v tem primeru a ni enako 0);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Kdaj govorimo o glede navadnih števil, ne celih, lahko operacije z njimi povzročijo določene težave. Seštevanje in odštevanje je torej možno le, če sta imenovalca enaka. Če sta na začetku različni, bi morali najti skupno tako, da celoten ulomek pomnožite z določenimi številkami. Tudi primerjava je največkrat možna le, če je ta pogoj izpolnjen.

Deljenje in množenje navadnih ulomkov se izvajata v skladu z zadostnim preprosta pravila. Vodi k skupni imenovalec ni potrebno. Števci in imenovalci se pomnožijo ločeno, v procesu izvajanja dejanja pa je treba ulomek čim bolj zmanjšati in poenostaviti.

Kar zadeva delitev, je to dejanje podobno prvemu z majhno razliko. Za drugi ulomek bi morali najti obratno, tj

"obrniti". Tako bo treba števec prvega ulomka pomnožiti z imenovalcem drugega in obratno.

Nazadnje, še ena lastnost racionalnih števil se imenuje Arhimedov aksiom. Pogosto v literaturi najdemo tudi ime "princip". Velja za celoten komplet realna števila, vendar ne povsod. Tako to načelo ne velja za nekatere nize racionalnih funkcij. V bistvu ta aksiom pomeni, da glede na obstoj dveh količin a in b lahko vedno vzamete dovolj a, da presežete b.

Področje uporabe

Torej tistim, ki so se naučili ali spomnili, kaj so racionalna števila, postane jasno, da se uporabljajo povsod: v računovodstvu, ekonomiji, statistiki, fiziki, kemiji in drugih vedah. Seveda imajo svoje mesto tudi v matematiki. Ker ne vemo vedno, da imamo opravka z njimi, nenehno uporabljamo racionalna števila. Z njimi se srečujejo celo majhni otroci, ki se učijo šteti predmete, rezati jabolko na koščke ali izvajati druga preprosta dejanja. Dobesedno nas obkrožajo. In vendar niso dovolj za rešitev nekaterih problemov; zlasti na primeru Pitagorovega izreka je mogoče razumeti potrebo po uvedbi koncepta