व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ। कार्य

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में समस्याओं का एक समूह शामिल है जिसके समाधान के लिए व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ को जानना और समझना आवश्यक है। विशेष रूप से, ऐसी समस्याएं होती हैं जहां एक निश्चित बिंदु (वस्तु) की गति का नियम दिया जाता है, एक समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है और गति के समय में एक निश्चित क्षण में इसकी गति का पता लगाना आवश्यक होता है, या जिस समय के बाद वस्तु होगी एक निश्चित गति प्राप्त करें।कार्य बहुत सरल हैं, उन्हें एक क्रिया में हल किया जा सकता है। इसलिए:

मान लीजिए कि निर्देशांक अक्ष के अनुदिश एक भौतिक बिंदु x (t) की गति का नियम दिया गया है, जहाँ x गतिमान बिंदु का निर्देशांक है, t समय है।

समय में एक निश्चित क्षण पर गति समन्वय का समय व्युत्पन्न है। यह व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ है।

इसी तरह, त्वरण गति का समय व्युत्पन्न है:

इस प्रकार, व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ गति है। यह गति की गति, एक प्रक्रिया के परिवर्तन की गति (उदाहरण के लिए, बैक्टीरिया की वृद्धि), काम करने की गति (और इसी तरह, कई लागू समस्याएं हैं) हो सकती हैं।

इसके अलावा, आपको डेरिवेटिव की तालिका (आपको इसे और साथ ही गुणन तालिका को भी जानना होगा) और भेदभाव के नियमों को जानना होगा। विशेष रूप से, निर्दिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए, पहले छह डेरिवेटिव (तालिका देखें) को जानना आवश्यक है:

कार्यों पर विचार करें:

एक्स (टी) = टी 2 - 7t - 20

जहां x t गति की शुरुआत से मापा गया सेकंड में समय है। समय t = 5 s पर इसकी चाल (मीटर प्रति सेकंड में) ज्ञात कीजिए।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ गति (गति की गति, प्रक्रिया के परिवर्तन की दर, कार्य की गति आदि) है।

आइए गति परिवर्तन का नियम खोजें: v (t) = x (t) = 2t - 7 m / s।

टी = 5 के लिए हमारे पास है:

उत्तर: 3

अपने लिए तय करें:

भौतिक बिंदु नियम के अनुसार एक सीधी रेखा में चलता है x (t) = 6t 2 - 48t + 17, जहाँ एक्स- मीटर में संदर्भ बिंदु से दूरी, टी- सेकंड में समय, आंदोलन की शुरुआत से मापा जाता है। समय t = 9 s पर इसकी चाल (मीटर प्रति सेकंड में) ज्ञात कीजिए।

भौतिक बिंदु नियम के अनुसार एक सीधी रेखा में चलता है x (t) = 0.5t 3 - 3t 2 + 2t, जहां एक्सटी- सेकंड में समय, आंदोलन की शुरुआत से मापा जाता है। समय t = 6 s पर इसकी चाल (मीटर प्रति सेकंड में) ज्ञात कीजिए।

भौतिक बिंदु नियम के अनुसार एक सीधी रेखा में गति करता है

एक्स (टी) = -टी 4 + 6टी 3 + 5टी + 23

कहां एक्स- मीटर में संदर्भ बिंदु से दूरी,टी- सेकंड में समय, आंदोलन की शुरुआत से मापा जाता है। समय t = 3 s पर इसकी चाल (मीटर प्रति सेकंड में) ज्ञात कीजिए।

भौतिक बिंदु नियम के अनुसार एक सीधी रेखा में गति करता है

एक्स (टी) = (1/6) टी 2 + 5t + 28

जहां x मीटर में संदर्भ बिंदु से दूरी है, t गति की शुरुआत से मापा गया सेकंड में समय है। किस समय (सेकंड में) इसकी गति 6 मीटर/सेकेंड के बराबर थी?

आइए गति परिवर्तन का नियम खोजें:

समय में किस बिंदु पर खोजने के लिएटीगति 3 m / s के बराबर थी, समीकरण को हल करना आवश्यक है:

उत्तर: 3

अपने लिए तय करें:

भौतिक बिंदु नियम के अनुसार एक सीधी रेखा में चलता है x (t) = t 2 - 13t + 23, जहाँ एक्स- मीटर में संदर्भ बिंदु से दूरी, टी- सेकंड में समय, आंदोलन की शुरुआत से मापा जाता है। किस समय (सेकंड में) इसकी गति 3 मीटर/सेकेंड के बराबर थी?

भौतिक बिंदु नियम के अनुसार एक सीधी रेखा में गति करता है

एक्स (टी) = (1/3) टी 3 - 3 टी 2 - 5 टी + 3

कहां एक्स- मीटर में संदर्भ बिंदु से दूरी, टी- सेकंड में समय, आंदोलन की शुरुआत से मापा जाता है। किस समय (सेकंड में) इसकी गति 2 मीटर/सेकेंड के बराबर थी?

मैं ध्यान देता हूं कि परीक्षा में केवल इस प्रकार के कार्यों पर ध्यान केंद्रित करना उचित नहीं है। वे प्रस्तुत किए गए लोगों के लिए अप्रत्याशित रूप से विपरीत समस्याओं का परिचय दे सकते हैं। जब गति परिवर्तन का नियम दिया जाता है और गति के नियम को खोजने का प्रश्न उठता है।

संकेत: इस स्थिति में, आपको वेग फलन का समाकल ज्ञात करना होगा (ये भी एक चरण में कार्य हैं)। यदि आपको किसी निश्चित समय पर तय की गई दूरी का पता लगाना है, तो आपको समय को परिणामी समीकरण में बदलना होगा और दूरी की गणना करनी होगी। हालाँकि, हम ऐसे कार्यों का विश्लेषण भी करेंगे, इसे याद न करें!मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

सादर, अलेक्जेंडर क्रुत्सिख।

पुनश्च: यदि आप हमें सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बता सकते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।

ज्यामिति, यांत्रिकी, भौतिकी और ज्ञान की अन्य शाखाओं की विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, इस फ़ंक्शन से उसी विश्लेषणात्मक प्रक्रिया का उपयोग करना आवश्यक हो गया। वाई = एफ (एक्स)नामक एक नया फ़ंक्शन प्राप्त करें व्युत्पन्न कार्य(या केवल इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न) f (x)और प्रतीक द्वारा निरूपित किए जाते हैं

वह प्रक्रिया जिसके द्वारा दिए गए फ़ंक्शन से च (एक्स)एक नया कार्य प्राप्त करें एफ "(एक्स)कहा जाता है भेदभावऔर इसमें निम्नलिखित तीन चरण होते हैं: 1) हम तर्क देते हैं एक्सवेतन वृद्धि  एक्सऔर फ़ंक्शन की संगत वृद्धि निर्धारित करें  वाई = एफ (एक्स + एक्स) -एफ (एक्स); 2) संबंध बनाना

3) विचार करना एक्सस्थिर, और  एक्स 0, हम पाते हैं
, जिसे हम द्वारा निरूपित करते हैं एफ "(एक्स), मानो इस बात पर बल देते हुए कि परिणामी फलन केवल मान पर निर्भर करता है एक्सजिस पर हम सीमा तक जाते हैं। परिभाषा: व्युत्पन्न y "= f" (x) यह फ़ंक्शन y = f (x) किसी दिए गए x . के लिएतर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा कहा जाता है, बशर्ते कि तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है, यदि, निश्चित रूप से, यह सीमा मौजूद है, अर्थात। परिमित है। इस प्रकार,
, या

ध्यान दें कि अगर कुछ मूल्य के लिए एक्स, उदाहरण के लिए एक्स = ए, रवैया
पर  एक्स 0 एक सीमित सीमा तक नहीं जाता है, तो इस मामले में यह कहा जाता है कि फलन च (एक्स)पर एक्स = ए(या बिंदु पर एक्स = ए) का कोई व्युत्पन्न नहीं है या बिंदु पर भिन्न नहीं है एक्स = ए.

2. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ।

बिंदु x 0 . के पड़ोस में अवकलनीय फलन y = f (x) के ग्राफ पर विचार करें

च (एक्स)

फ़ंक्शन के ग्राफ पर एक बिंदु से गुजरने वाली एक मनमानी सीधी रेखा पर विचार करें - बिंदु A (x 0, f (x 0)) और किसी बिंदु B (x; f (x)) पर ग्राफ को काटती है। ऐसी सीधी रेखा (AB) को छेदक कहा जाता है। ABS से: AC = x; = у; tgβ = y / x।

चूंकि एसी || ऑक्स, तो ALO = BAC = β (समानांतर के लिए संगत)। लेकिन ALO, छेदक AB के ऑक्‍स-अक्ष की धनात्मक दिशा के झुकाव का कोण है। अत: tgβ = k सरल रेखा AB का ढाल है।

अब हम ∆х घटाएंगे, अर्थात। → 0. इस स्थिति में, बिंदु B, ग्राफ़ के अनुसार बिंदु A पर पहुंचेगा, और छेदक AB घूमेगा। x → 0 पर छेदक AB की सीमित स्थिति सीधी रेखा (a) होगी, जिसे बिंदु A पर फलन y = f (x) के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा कहा जाता है।

यदि हम tanβ = y / ∆x की समानता में → 0 के रूप में सीमा तक जाते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं
या tg = f "(x 0), क्योंकि
-ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के लिए स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण
, व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार। लेकिन tg = k स्पर्शरेखा का ढाल है, जिसका अर्थ है कि k = tg = f "(x 0)।

तो, व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ इस प्रकार है:

बिंदु x . पर फलन का अवकलज 0 भुज x . के साथ बिंदु पर खींचे गए फलन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है 0 .

3. व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ।

एक सीधी रेखा के अनुदिश एक बिंदु की गति पर विचार करें। मान लीजिए किसी बिंदु का निर्देशांक किसी भी समय x (t) पर दिया गया है। यह ज्ञात है (भौतिकी पाठ्यक्रम से) कि समय की अवधि में औसत गति समय-समय पर तय की गई दूरी के अनुपात के बराबर होती है, अर्थात।

वाव = x / t। आइए हम अंतिम समानता की सीमा को ∆t → 0 के रूप में पास करें।

लिम वाव (टी) = (टी 0) - समय टी 0, ∆t → 0 पर तात्कालिक गति।

और लिम = ∆x / ∆t = x "(t 0) (व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार)।

तो, (टी) = एक्स "(टी)।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्नआप = एफ(एक्स) बिंदु परएक्स 0 फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर हैएफ(एक्स) बिंदु परएक्स 0

व्युत्पन्न का उपयोग भौतिकी में समय से समन्वय के ज्ञात कार्य से गति, समय से गति के ज्ञात कार्य से त्वरण को खोजने के लिए किया जाता है।

(टी) = एक्स "(टी) - गति,

ए (एफ) =  "(टी) - त्वरण, या

यदि किसी वृत्त में किसी भौतिक बिंदु की गति का नियम ज्ञात हो, तो आप घूर्णी गति के दौरान कोणीय वेग और कोणीय त्वरण ज्ञात कर सकते हैं:

= (टी) - समय के साथ कोण में परिवर्तन,

= φ "(टी) - कोणीय वेग,

ε = φ "(टी) - कोणीय त्वरण, या ε = φ" (टी)।

यदि एक अमानवीय छड़ के द्रव्यमान के वितरण का नियम ज्ञात हो, तो अमानवीय छड़ का रैखिक घनत्व ज्ञात किया जा सकता है:

एम = एम (एक्स) - द्रव्यमान,

एक्स , एल - बार की लंबाई,

पी = एम "(एक्स) - रैखिक घनत्व।

व्युत्पन्न का उपयोग लोच और हार्मोनिक कंपन के सिद्धांत से समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। तो, हुक के नियम के अनुसार

F = -kx, x एक चर निर्देशांक है, k वसंत की लोच का गुणांक है। 2 = k / m रखने पर, हमें स्प्रिंग लोलक x "(t) + 2 x (t) = 0, का अवकल समीकरण प्राप्त होता है।

जहाँ = k / m कंपन आवृत्ति (l / c) है, k वसंत की कठोरता (H / m) है।

फॉर्म का एक समीकरण у "+ 2 y = 0 हार्मोनिक कंपन (यांत्रिक, विद्युत, विद्युत चुम्बकीय) का समीकरण कहा जाता है। ऐसे समीकरणों का समाधान कार्य है

आप = असिन (ωt + 0) या आप = एकोस (ωt + 0), जहां

- दोलनों का आयाम, ω - चक्रीय आवृत्ति,

0 - प्रारंभिक चरण।

गणितीय समस्याएं कई विज्ञानों में अपना आवेदन पाती हैं। इनमें न केवल भौतिकी, रसायन विज्ञान, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र, बल्कि चिकित्सा, पारिस्थितिकी और अन्य विषय भी शामिल हैं। महत्वपूर्ण दुविधाओं के समाधान खोजने के लिए जिन महत्वपूर्ण अवधारणाओं में महारत हासिल होनी चाहिए, उनमें से एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है। इसका भौतिक अर्थ समझाना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है क्योंकि यह प्रश्न के सार में एकतरफा लग सकता है। वास्तविक जीवन और सामान्य रोजमर्रा की स्थितियों में इसके उपयुक्त उदाहरण खोजने के लिए पर्याप्त है। वास्तव में, कोई भी मोटर चालक हर दिन एक समान कार्य का सामना करता है जब वह स्पीडोमीटर को देखता है, एक निश्चित समय के एक निश्चित समय पर अपनी कार की गति का निर्धारण करता है। दरअसल, यह इस पैरामीटर में है कि व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ का सार निहित है।

गति कैसे प्राप्त करें

कोई भी पाँचवाँ-ग्रेडर, तय की गई दूरी और यात्रा के समय को जानकर, सड़क पर किसी व्यक्ति की गति की गति को आसानी से निर्धारित कर सकता है। ऐसा करने के लिए, दिए गए मानों में से पहले को दूसरे से विभाजित करें। लेकिन हर युवा गणितज्ञ यह नहीं जानता कि इस समय वह एक फलन और तर्क के वेतन वृद्धि का अनुपात ज्ञात कर रहा है। वास्तव में, यदि हम एक ग्राफ के रूप में आंदोलन का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो पथ को कोर्डिनेट और समय के साथ एब्सिस्सा के साथ प्लॉट करते हैं, ठीक यही स्थिति होगी।

हालाँकि, एक पैदल यात्री या किसी अन्य वस्तु की गति, जिसे हम पथ के एक बड़े हिस्से पर निर्धारित करते हैं, आंदोलन को एक समान मानते हुए, अच्छी तरह से भिन्न हो सकते हैं। भौतिकी में गति के कई रूप ज्ञात हैं। यह न केवल निरंतर त्वरण के साथ किया जा सकता है, बल्कि मनमाना तरीके से धीमा और बढ़ सकता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस मामले में, आंदोलन का वर्णन करने वाली रेखा अब सीधी रेखा नहीं होगी। ग्राफिक रूप से, यह सबसे जटिल विन्यास को स्वीकार कर सकता है। लेकिन ग्राफ़ पर किसी भी बिंदु के लिए, हम हमेशा एक स्पर्शरेखा खींच सकते हैं, जिसे एक रैखिक फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है।

समय के आधार पर विस्थापन में परिवर्तन के पैरामीटर को स्पष्ट करने के लिए, मापा खंडों को छोटा करना आवश्यक है। जब वे असीम रूप से छोटे हो जाते हैं, तो गणना की गई गति तात्कालिक होगी। यह अनुभव हमें व्युत्पत्ति को परिभाषित करने में मदद करता है। इसका भौतिक अर्थ भी इस तरह के तर्क से तार्किक रूप से अनुसरण करता है।

ज्यामितीय

यह ज्ञात है कि शरीर की गति जितनी अधिक होती है, समय पर विस्थापन की निर्भरता का ग्राफ उतना ही तेज होता है, और इसलिए एक निश्चित बिंदु पर स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण। ऐसे परिवर्तनों का एक संकेतक भुज अक्ष और स्पर्शरेखा रेखा के बीच के कोण की स्पर्शरेखा हो सकता है। यह वह है जो व्युत्पन्न के मूल्य को निर्धारित करता है और एब्सिस्सा अक्ष पर किसी बिंदु से गिराए गए लंबवत द्वारा गठित समकोण त्रिभुज में आसन्न पैर के विपरीत लंबाई के अनुपात द्वारा गणना की जाती है।

यह पहले व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ है। भौतिक एक इस तथ्य में प्रकट होता है कि हमारे मामले में विपरीत पैर का आकार यात्रा किए गए पथ का प्रतिनिधित्व करता है, और आसन्न एक बार। इस मामले में, उनका अनुपात गति है। और फिर से हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि तात्कालिक गति, जब दोनों अंतराल असीम रूप से छोटे होते हैं, निर्धारित किया जाता है, जो इसके भौतिक अर्थ की ओर इशारा करता है। इस उदाहरण में दूसरा व्युत्पन्न शरीर का त्वरण होगा, जो बदले में गति में परिवर्तन की दर को प्रदर्शित करता है।

भौतिकी में व्युत्पन्न खोजने के उदाहरण

एक व्युत्पन्न किसी भी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का एक संकेतक है, भले ही वह शब्द के शाब्दिक अर्थ में एक आंदोलन न हो। इसे स्पष्ट करने के लिए, हम कुछ विशिष्ट उदाहरण देंगे। मान लीजिए कि वर्तमान ताकत, समय के आधार पर, निम्नलिखित कानून के अनुसार बदलती है: मैं= 0.4t 2.प्रक्रिया के 8वें सेकंड के अंत में यह पैरामीटर जिस दर पर बदलता है उसका मान ज्ञात करना आवश्यक है। ध्यान दें कि वांछित मूल्य, जैसा कि समीकरण से आंका जा सकता है, लगातार बढ़ रहा है।

इसे हल करने के लिए, पहले व्युत्पन्न को खोजना आवश्यक है, जिसका भौतिक अर्थ पहले माना जाता था। यहां डि/ डीटी = 0,8 टी... इसके बाद, हम इसे ढूंढते हैं टी=8 , हम प्राप्त करते हैं कि जिस दर पर वर्तमान ताकत बदलती है वह बराबर है 6,4 ए/ सी. यहां यह माना जाता है कि वर्तमान ताकत को एम्पीयर में और समय को क्रमशः सेकंड में मापा जाता है।

सब कुछ परिवर्तनशील है

पदार्थ से युक्त दृश्य आसपास की दुनिया लगातार परिवर्तन के दौर से गुजर रही है, इसमें होने वाली विभिन्न प्रक्रियाओं की गति में है। उनका वर्णन करने के लिए विभिन्न मापदंडों का उपयोग किया जा सकता है। यदि वे निर्भरता से एकजुट होते हैं, तो उन्हें गणितीय रूप से एक फ़ंक्शन के रूप में लिखा जाता है जो उनके परिवर्तनों को नेत्रहीन रूप से दर्शाता है। और जहां गति होती है (किसी भी रूप में इसे व्यक्त किया जाता है), वहां एक व्युत्पन्न भी मौजूद होता है, जिसका भौतिक अर्थ हम वर्तमान समय में विचार कर रहे हैं।

इस संबंध में, निम्नलिखित उदाहरण। मान लीजिए शरीर का तापमान नियम के अनुसार बदलता है टी=0,2 टी 2 ... वह दर ज्ञात कीजिए जिस पर यह 10वें सेकंड के अंत में गर्म होता है। समस्या को पिछले मामले में वर्णित तरीके से हल किया जाता है। यही है, हम व्युत्पन्न पाते हैं और इसके लिए मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं टी= 10 , हम पाते हैं टी= 0,4 टी= 4. इसका मतलब है कि अंतिम उत्तर 4 डिग्री प्रति सेकंड है, यानी हीटिंग प्रक्रिया और तापमान में परिवर्तन, डिग्री में मापा जाता है, ठीक इसी दर पर होता है।

व्यावहारिक समस्याओं का समाधान

बेशक, वास्तविक जीवन में, सैद्धांतिक समस्याओं की तुलना में सब कुछ बहुत अधिक जटिल है। व्यवहार में, मात्राओं का मूल्य आमतौर पर प्रयोग के दौरान निर्धारित किया जाता है। इस मामले में, उपकरणों का उपयोग किया जाता है जो एक निश्चित त्रुटि के साथ माप के दौरान रीडिंग देते हैं। इसलिए, गणना करते समय, किसी को मापदंडों के अनुमानित मूल्यों से निपटना होगा और असुविधाजनक संख्याओं के साथ-साथ अन्य सरलीकरण का सहारा लेना होगा। इसे ध्यान में रखते हुए, हम फिर से व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ की समस्याओं पर आगे बढ़ते हैं, यह ध्यान में रखते हुए कि वे प्रकृति में होने वाली सबसे जटिल प्रक्रियाओं का केवल एक प्रकार का गणितीय मॉडल हैं।

विस्फोट

कल्पना कीजिए कि एक ज्वालामुखी विस्फोट हुआ है। वह कितना खतरनाक हो सकता है? इस मुद्दे को स्पष्ट करने के लिए, कई कारकों पर विचार किया जाना चाहिए। हम उनमें से एक को ध्यान में रखने की कोशिश करेंगे।

"उग्र राक्षस" के मुंह से पत्थरों को लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है, जिस क्षण से वे बाहर आते हैं, प्रारंभिक वेग होता है। यह गणना करना आवश्यक है कि वे किस अधिकतम ऊंचाई तक पहुंच सकते हैं।

वांछित मान ज्ञात करने के लिए, हम अन्य मात्राओं पर मीटर में मापी गई ऊँचाई H की निर्भरता के लिए समीकरण बनाते हैं। इनमें प्रारंभिक गति और समय शामिल हैं। हम त्वरण मान को ज्ञात और लगभग 10 m/s 2 के बराबर मानते हैं।

आंशिक व्युत्पन्न

आइए अब हम दूसरी तरफ से एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ पर विचार करें, क्योंकि समीकरण में स्वयं एक नहीं, बल्कि कई चर शामिल हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, पिछली समस्या में, ज्वालामुखी के मुंह से निकाले गए पत्थरों के उदय की ऊंचाई की निर्भरता न केवल अस्थायी विशेषताओं में परिवर्तन से निर्धारित होती है, बल्कि प्रारंभिक वेग के मूल्य से भी निर्धारित होती है। उत्तरार्द्ध को एक स्थिर, निश्चित मूल्य माना जाता था। लेकिन अन्य कार्यों में पूरी तरह से अलग परिस्थितियों में, सब कुछ अलग हो सकता है। यदि कई मात्राएँ हैं जिन पर एक जटिल कार्य निर्भर करता है, तो गणना नीचे दिए गए सूत्रों के अनुसार की जाती है।

आंशिक व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ सामान्य मामले की तरह निर्धारित किया जाना चाहिए। यह चर के पैरामीटर में वृद्धि के साथ एक निश्चित बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है। इसकी गणना इस तरह की जाती है कि अन्य सभी घटकों को स्थिरांक के रूप में लिया जाता है, केवल एक को एक चर माना जाता है। फिर सब कुछ सामान्य नियमों के अनुसार होता है।

व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ को समझना, जटिल और जटिल समस्याओं को हल करने के उदाहरण देना मुश्किल नहीं है, जिसका उत्तर किसी को समान ज्ञान प्राप्त करने की अनुमति देता है। यदि हमारे पास एक फ़ंक्शन है जो कार की गति के आधार पर ईंधन की खपत का वर्णन करता है, तो हम गणना कर सकते हैं कि अंतिम गैसोलीन की खपत किन मापदंडों पर सबसे कम होगी।

चिकित्सा में, आप भविष्यवाणी कर सकते हैं कि डॉक्टर द्वारा निर्धारित दवा पर मानव शरीर कैसे प्रतिक्रिया करेगा। दवा लेना विभिन्न शारीरिक संकेतकों को प्रभावित करता है। इनमें रक्तचाप, हृदय गति, शरीर के तापमान और बहुत कुछ में परिवर्तन शामिल हैं। वे सभी ली गई दवा की खुराक पर निर्भर करते हैं। ये गणना अनुकूल अभिव्यक्तियों और अवांछनीय दुर्घटनाओं में, जो रोगी के शरीर में होने वाले परिवर्तनों को घातक रूप से प्रभावित कर सकती हैं, उपचार के पाठ्यक्रम का अनुमान लगाने में मदद करती हैं।

निस्संदेह, तकनीकी मुद्दों में व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ को समझना महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, इलेक्ट्रॉनिक्स, डिजाइन और निर्माण में।

ब्रेकिंग दूरी

आइए अगले कार्य पर विचार करें। निरंतर गति से चलते हुए, पुल के पास आने वाली कार को प्रवेश द्वार से 10 सेकंड पहले ब्रेक लगाना पड़ा, क्योंकि चालक ने 36 किमी / घंटा से अधिक की गति से सड़क पर चलने पर रोक लगाने वाला एक संकेत देखा। यदि ब्रेकिंग दूरी को सूत्र S = 26t - t 2 द्वारा वर्णित किया जा सकता है, तो क्या ड्राइवर ने नियम तोड़े?

पहले व्युत्पन्न की गणना करने के बाद, हम गति के लिए सूत्र पाते हैं, हमें v = 28 - 2t मिलता है। इसके बाद, हम मान t = 10 को निर्दिष्ट व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं।

चूंकि यह मान सेकंड में व्यक्त किया गया था, इसलिए गति 8 मीटर / सेकंड हो जाती है, जिसका अर्थ है 28.8 किमी / घंटा। इससे यह समझना संभव हो जाता है कि चालक ने समय पर ब्रेक लगाना शुरू कर दिया और यातायात नियमों का उल्लंघन नहीं किया, और इसलिए गति सीमा संकेत पर इंगित की गई।

यह व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ के महत्व को साबित करता है। इस समस्या को हल करने का एक उदाहरण जीवन के विभिन्न क्षेत्रों में इस अवधारणा के उपयोग की व्यापकता को दर्शाता है। रोजमर्रा की स्थितियों में शामिल हैं।

अर्थशास्त्र में व्युत्पन्न

19वीं शताब्दी तक, अर्थशास्त्री मुख्य रूप से औसत मूल्यों पर काम करते थे, चाहे वह श्रम उत्पादकता हो या उत्पादों की कीमत। लेकिन कुछ बिंदु से, इस क्षेत्र में प्रभावी पूर्वानुमान लगाने के लिए सीमा मान अधिक आवश्यक हो गए हैं। इनमें सीमांत उपयोगिता, आय या लागत शामिल हैं। इसे समझने से आर्थिक अनुसंधान में एक पूरी तरह से नए उपकरण के निर्माण को प्रोत्साहन मिला, जो सौ से अधिक वर्षों से अस्तित्व में है और विकसित हुआ है।

ऐसी गणनाओं को संकलित करने के लिए, जहां न्यूनतम और अधिकतम जैसी अवधारणाएं प्रबल होती हैं, व्युत्पन्न के ज्यामितीय और भौतिक अर्थ को समझना आवश्यक है। इन विषयों के सैद्धांतिक आधार के रचनाकारों में ऐसे प्रमुख अंग्रेजी और ऑस्ट्रियाई अर्थशास्त्री कहे जा सकते हैं जैसे यूएस जेवन्स, के। मेंगर और अन्य। बेशक, आर्थिक गणना में सीमित मूल्यों का उपयोग करना हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। और, उदाहरण के लिए, त्रैमासिक रिपोर्ट जरूरी नहीं कि मौजूदा योजना में फिट हों, लेकिन फिर भी, कई मामलों में इस तरह के सिद्धांत का आवेदन उपयोगी और प्रभावी हो सकता है।

बिंदु x0 पर फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न बिंदु x0 पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा (यदि यह मौजूद है) तर्क Δx की वृद्धि के लिए है, यदि तर्क की वृद्धि की प्रवृत्ति है शून्य और f'(x0) द्वारा निरूपित किया जाता है। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की क्रिया को विभेदन कहा जाता है।
किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का निम्नलिखित भौतिक अर्थ है: किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है।

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ... बिंदु x0 पर अवकलज इस बिंदु पर फलन y = f (x) के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ।यदि कोई बिंदु x-अक्ष के अनुदिश चलता है और उसका निर्देशांक नियम x (t) के अनुसार बदलता है, तो उस बिंदु का तात्क्षणिक वेग है:

विभेदक अवधारणा, इसके गुण। विभेदन नियम। उदाहरण।

परिभाषा।किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का अंतर x फ़ंक्शन की वृद्धि का मुख्य, रैखिक भाग है। फ़ंक्शन का अंतर y = f (x) इसके व्युत्पन्न के उत्पाद और स्वतंत्र चर x की वृद्धि के बराबर है ( तर्क)।

यह इस प्रकार लिखा गया है:

या

या


विभेदक गुण
अंतर में व्युत्पन्न के समान गुण होते हैं:





प्रति भेदभाव के बुनियादी नियमशामिल:
1) अवकलज के चिह्न से एक स्थिर गुणनखंड निकालना
2) योग का व्युत्पन्न, अंतर का व्युत्पन्न
3) कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न
4) दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न (एक अंश का व्युत्पन्न)

उदाहरण।
आइए हम सूत्र को सिद्ध करें: व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

एक मनमाना कारक मार्ग के संकेत के बाहर सीमा तक ले जाया जा सकता है (यह सीमा के गुणों से जाना जाता है), इसलिए

उदाहरण के लिए:किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
समाधान:हम अवकलज के चिह्न से गुणनखंड निकालने के नियम का प्रयोग करेंगे :

अक्सर, आपको डेरिवेटिव की तालिका और डेरिवेटिव खोजने के नियमों का उपयोग करने के लिए सबसे पहले विभेदित फ़ंक्शन के रूप को सरल बनाना होगा। निम्नलिखित उदाहरण स्पष्ट रूप से इसकी पुष्टि करते हैं।

विभेदन सूत्र। अनुमानित गणना में विभेदक अनुप्रयोग। उदाहरण।

अनुमानित गणना में अंतर का उपयोग आपको फ़ंक्शन के मूल्यों की अनुमानित गणना के लिए अंतर का उपयोग करने की अनुमति देता है।
के उदाहरण.
अंतर का उपयोग करके, लगभग गणना करें
इस मान की गणना करने के लिए, हम सिद्धांत से सूत्र लागू करते हैं
आइए हम फ़ंक्शन पर विचार करें और दिए गए मान को रूप में प्रस्तुत करें
फिर गणना करें

सब कुछ को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम अंत में प्राप्त करते हैं
उत्तर:

16. फॉर्म 0/0 या / की अनिश्चितताओं को प्रकट करने के लिए L'Hpital का नियम। उदाहरण।
दो अपरिमित या दो अपरिमित रूप से बड़ी मात्राओं के अनुपात की सीमा उनके व्युत्पन्नों के अनुपात की सीमा के बराबर होती है।

1)

17. कार्य में वृद्धि और कमी। चरम समारोह। एकरसता और चरम सीमा के लिए एक समारोह की जांच के लिए एल्गोरिदम। उदाहरण।

समारोह यह बढ़ रहा हैअंतराल पर यदि असमानता संबंध से संबंधित इस अंतराल के किन्हीं दो बिंदुओं के लिए है। अर्थात्, तर्क का एक बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है, और इसका ग्राफ़ "नीचे से ऊपर तक" जाता है। डेमो फ़ंक्शन अंतराल पर बढ़ता है

इसी प्रकार, समारोह कम हो जाती हैअंतराल पर, यदि दिए गए अंतराल के किन्हीं दो बिंदुओं के लिए, जैसे कि, असमानता सत्य है। यही है, तर्क का एक बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है, और इसका ग्राफ "ऊपर से नीचे तक" जाता है। अंतराल पर हमारा घटता है अंतराल पर घटता है .

चरमएक बिंदु को फ़ंक्शन y = f (x) का अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि असमानता उसके पड़ोस से सभी x के लिए होती है। अधिकतम बिंदु पर फलन का मान कहलाता है अधिकतम कार्यऔर निरूपित करें।
एक बिंदु को फ़ंक्शन y = f (x) का न्यूनतम बिंदु कहा जाता है यदि असमानता उसके पड़ोस से सभी x के लिए होती है। न्यूनतम बिंदु पर फलन का मान कहलाता है न्यूनतम कार्यऔर निरूपित करें।
एक बिंदु के पड़ोस को अंतराल के रूप में समझा जाता है , जहां पर्याप्त रूप से छोटी सकारात्मक संख्या है।
न्यूनतम और अधिकतम बिंदुओं को चरम बिंदु कहा जाता है, और चरम बिंदुओं के अनुरूप फ़ंक्शन के मूल्यों को कहा जाता है समारोह की चरम सीमा.

समारोह की जांच करने के लिए एकरसता पर, निम्नलिखित योजना का उपयोग करें:
- फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें;
- फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और व्युत्पन्न के डोमेन का पता लगाएं;
- व्युत्पन्न के शून्य खोजें, अर्थात। तर्क का मूल्य जिसके लिए व्युत्पन्न शून्य है;
- संख्यात्मक किरणों पर, फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के सामान्य भाग और इसके व्युत्पन्न की परिभाषा के क्षेत्र को चिह्नित करें, और उस पर - व्युत्पन्न के शून्य;
- प्राप्त प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेतों का निर्धारण करें;
- व्युत्पन्न के संकेतों से, निर्धारित करें कि किस अंतराल पर फ़ंक्शन बढ़ता है और किस पर घटता है;
- अर्धविराम द्वारा अलग किए गए उपयुक्त स्थानों को लिखिए।

एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए एक सतत कार्य y = f (x) का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम:
1) अवकलज f (x) ज्ञात कीजिए।
2) फ़ंक्शन y = f (x) के स्थिर (f (x) = 0) और महत्वपूर्ण (f ′ (x) मौजूद नहीं है) बिंदु खोजें।
3) संख्या रेखा पर स्थिर और महत्वपूर्ण बिंदुओं को चिह्नित करें और परिणामी अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें।
4) फलन की एकरसता और उसके चरम बिंदुओं के बारे में निष्कर्ष निकालें।

18. किसी फलन की उत्तलता। विवर्तन अंक। उत्तलता (अवतलता) के लिए एक फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम उदाहरण.

उत्तल नीचेअंतराल X पर, यदि इसका ग्राफ अंतराल X के किसी भी बिंदु पर इसके लिए स्पर्शरेखा से कम नहीं स्थित है।

विभेदित किया जाने वाला फलन कहलाता है उत्तल ऊपरअंतराल X पर, यदि इसका ग्राफ अंतराल X के किसी भी बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा से अधिक नहीं स्थित है।

सूत्र का बिंदु कहलाता है संक्रमण का बिन्दुफ़ंक्शन y = f (x), यदि किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए एक स्पर्शरेखा है (यह अक्ष ओए के समानांतर हो सकता है) और बिंदु सूत्र का ऐसा पड़ोस है, जिसके भीतर का ग्राफ फ़ंक्शन में बिंदु M के बाईं ओर और दाईं ओर उत्तलता की अलग-अलग दिशाएं हैं।

उत्तलता के लिए अंतराल ढूँढना:

यदि फलन y = f (x) का अंतराल X पर एक परिमित द्वितीय अवकलज है और यदि असमानता है (), तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ में X पर नीचे (ऊपर) निर्देशित एक उभार होता है।
यह प्रमेय हमें किसी फ़ंक्शन की अवतलता और उत्तलता के अंतरालों को खोजने की अनुमति देता है; यह केवल मूल फ़ंक्शन के डोमेन पर क्रमशः असमानताओं को हल करने के लिए आवश्यक है।

उदाहरण: उन अंतरालों का पता लगाएं जिन पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ उन अंतरालों का पता लगाता है जिन पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ ऊपर की ओर उभार और नीचे की ओर उभार है। ऊपर की ओर उभार और नीचे की ओर उभार है।
समाधान:इस फ़ंक्शन का डोमेन वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण समूह है।
आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें।

दूसरे व्युत्पन्न की परिभाषा का क्षेत्र मूल कार्य की परिभाषा के क्षेत्र के साथ मेल खाता है, इसलिए, अंतराल और उत्तलता के अंतराल का पता लगाने के लिए, यह क्रमशः हल करने के लिए पर्याप्त है। इसलिए, फ़ंक्शन अंतराल सूत्र पर नीचे की ओर उत्तल होता है और अंतराल सूत्र पर ऊपर की ओर उत्तल होता है।

19) किसी फ़ंक्शन के स्पर्शोन्मुख। उदाहरण।

सीधी रेखा कहलाती है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटफ़ंक्शन ग्राफ़ यदि कम से कम एक सीमा मान या तो बराबर है या।

टिप्पणी।यदि फलन एक बिंदु पर निरंतर है तो एक सीधी रेखा एक लंबवत स्पर्शोन्मुख नहीं हो सकती है। इसलिए, फ़ंक्शन के विच्छेदन के बिंदुओं पर लंबवत स्पर्शोन्मुख की तलाश की जानी चाहिए।

सीधी रेखा कहलाती है समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखाफ़ंक्शन ग्राफ़ यदि कम से कम एक सीमा मान या बराबर है।

टिप्पणी।फ़ंक्शन ग्राफ़ में केवल दायां क्षैतिज अनंतस्पर्शी या केवल बायां हो सकता है।

सीधी रेखा कहलाती है तिरछा स्पर्शोन्मुखफंक्शन ग्राफ अगर

उदाहरण:

व्यायाम।किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें

समाधान।समारोह का दायरा:

क) ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: सीधी रेखा - ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख, चूंकि

बी) क्षैतिज अनंतस्पर्शी: हम अनंत पर फ़ंक्शन की सीमा पाते हैं:

अर्थात्, कोई क्षैतिज स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

ग) तिरछा स्पर्शोन्मुख:

इस प्रकार, तिरछा स्पर्शोन्मुख है:।

उत्तर।ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख सीधा है।

तिरछा स्पर्शोन्मुख सीधा है।

20) फ़ंक्शन के अध्ययन और ग्राफ के निर्माण की सामान्य योजना। उदाहरण।

ए।
फ़ंक्शन के ODZ और असंततता बिंदु खोजें।

बी। निर्देशांक अक्षों के साथ फलन के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

2. पहले अवकलज का प्रयोग करते हुए फलन का अध्ययन करें, अर्थात् फलन के चरम बिंदु और बढ़ते और घटते अंतरालों का पता लगाएं।

3. दूसरे कोटि के अवकलज का प्रयोग करते हुए फलन का अन्वेषण करें, अर्थात् फलन के ग्राफ के विभक्ति बिंदु और उसकी उत्तलता और अवतलता के अंतराल ज्ञात कीजिए।

4. फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनंतस्पर्शी खोजें: a) लंबवत, b) तिरछा।

5. अध्ययन के आधार पर फलन का आलेख बनाइए।

ध्यान दें कि आलेख को आलेखित करने से पहले, यह निर्धारित करना उपयोगी होता है कि दिया गया फलन विषम है या सम।

याद रखें कि एक फ़ंक्शन को तब भी कहा जाता है, जब तर्क चिह्न में परिवर्तन होने पर फ़ंक्शन का मान नहीं बदलता है: एफ (-एक्स) = च (एक्स)और एक फ़ंक्शन को विषम कहा जाता है यदि एफ (-एक्स) = -एफ (एक्स).

इस मामले में, ओडीजेड से संबंधित तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए फ़ंक्शन की जांच करने और इसके ग्राफ का निर्माण करने के लिए पर्याप्त है। तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए, ग्राफ़ को इस आधार पर पूरा किया जाता है कि एक सम फ़ंक्शन के लिए यह अक्ष के बारे में सममित है ओए, और मूल के विषम सापेक्ष के लिए।

उदाहरण।फ़ंक्शंस का अन्वेषण करें और उनके ग्राफ़ प्लॉट करें।

फंक्शन स्कोप डी (वाई) = (-∞; + )।कोई विराम बिंदु नहीं हैं।

अक्ष चौराहा ऑक्स: एक्स = 0,वाई = 0.

फलन विषम है, इसलिए इसकी जांच केवल अंतराल में की जा सकती है)