कोसाइन धनात्मक किस तिमाही में है। त्रिकोणमितीय वृत्त। त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल अर्थ

यदि आप पहले से परिचित हैं त्रिकोणमितीय वृत्त , और आप केवल व्यक्तिगत तत्वों की अपनी स्मृति को ताज़ा करना चाहते हैं, या आप पूरी तरह से अधीर हैं, तो यह यहाँ है:

यहां हम हर चीज का चरण दर चरण विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

त्रिकोणमितीय वृत्त एक विलासिता नहीं है, बल्कि एक आवश्यकता है

त्रिकोणमिति अगम्य मोटी के साथ कई सहयोगी। त्रिकोणमितीय कार्यों के अचानक इतने सारे मूल्य, इतने सारे सूत्र ...

यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप अपना हाथ न हिलाएं त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्य, - वे कहते हैं, आप हमेशा मूल्यों की तालिका के साथ प्रेरणा देख सकते हैं।

यदि आप त्रिकोणमितीय सूत्रों के मूल्यों के साथ तालिका को लगातार देख रहे हैं, तो आइए इस आदत से छुटकारा पाएं!

हमारी मदद करेंगे! आप इसके साथ कई बार काम करेंगे, और फिर यह आपके दिमाग में आ जाएगा। यह टेबल से बेहतर क्यों है? हां, तालिका में आपको सीमित संख्या में मान मिलेंगे, लेकिन सर्कल पर - सब कुछ!

उदाहरण के लिए में देख कर बताओ त्रिकोणमितीय सूत्र मानों की मानक तालिका जो कि 300 डिग्री या -45 की ज्या है।

बिलकुल नहीं? .. आप निश्चित रूप से कनेक्ट कर सकते हैं कमी सूत्र... और त्रिकोणमितीय वृत्त को देखकर ऐसे प्रश्नों का उत्तर आसानी से दिया जा सकता है। और आपको जल्द ही पता चल जाएगा कि कैसे!

और जब त्रिकोणमितीय वृत्त के बिना त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते हैं - सामान्य तौर पर, कहीं नहीं।

त्रिकोणमितीय वृत्त का परिचय

चलो क्रम में चलते हैं।

सबसे पहले, आइए संख्याओं की निम्नलिखित श्रृंखला लिखें:

और अब यह:

और अंत में, इस तरह:

बेशक, यह स्पष्ट है कि, वास्तव में, यह पहले स्थान पर है, दूसरे स्थान पर है, और अंतिम में -। यानी हम चेन में ज्यादा दिलचस्पी लेंगे।

लेकिन यह कितना सुंदर निकला! इस मामले में, हम इस "चमत्कारी सीढ़ी" को पुनर्स्थापित करेंगे।

और हमें इसकी आवश्यकता क्यों है?

यह श्रृंखला पहली तिमाही में साइन और कोसाइन का मुख्य मूल्य है।

आइए एक आयताकार समन्वय प्रणाली में इकाई त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं (अर्थात, हम लंबाई के साथ किसी भी त्रिज्या को लेते हैं, और इसकी लंबाई को इकाई घोषित करते हैं)।

"0-प्रारंभ" किरण से, कोणों को तीर की दिशा में अलग रखें (चित्र देखें)।

हमें वृत्त पर संगत बिंदु मिलते हैं। इसलिए यदि हम प्रत्येक अक्ष पर बिंदुओं को प्रक्षेपित करते हैं, तो हम उपरोक्त श्रृंखला के मूल्यों पर ही सामने आएंगे।

आपने ऐसा क्यों पूछा?

हम हर चीज का विश्लेषण नहीं करेंगे। विचार करना सिद्धांत, जो आपको अन्य समान स्थितियों से निपटने की अनुमति देगा।

त्रिभुज AOB - आयताकार, इसमें। और हम जानते हैं कि कोण b के विपरीत एक पैर कर्ण के आकार का आधा है (हमारा कर्ण = वृत्त की त्रिज्या, अर्थात 1)।

अत: AB = (और इसलिए OM =)। और पाइथागोरस प्रमेय द्वारा

उम्मीद है, पहले से ही कुछ स्पष्ट हो रहा है?

तो बिंदु B मान के अनुरूप होगा, और बिंदु M - मान के अनुरूप होगा

इसी तरह पहली तिमाही के बाकी मूल्यों के साथ।

जैसा कि आप समझते हैं, हमसे परिचित अक्ष (बैल) होगा कोज्या अक्षऔर (ओए) अक्ष है ज्या अक्ष ... बाद में।

कोज्या अक्ष पर शून्य के बाईं ओर (साइन अक्ष पर शून्य से नीचे) निश्चित रूप से नकारात्मक मान होंगे।

तो, वह यहाँ है, सर्वशक्तिमान, जिसके बिना त्रिकोणमिति में कहीं नहीं है।

लेकिन त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग कैसे करें, हम बात करेंगे।

यह लेख त्रिकोणमितीय कार्यों के तीन मुख्य गुणों का पता लगाएगा: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट।

पहली संपत्ति फ़ंक्शन का संकेत है, जिसके आधार पर कोण α संबंधित इकाई सर्कल के किस तिमाही से संबंधित है। दूसरी संपत्ति आवधिकता है। इस गुण के अनुसार, जब कोण को पूर्णांकों की एक पूर्णांक संख्या द्वारा बदल दिया जाता है, तो टिगोनोमेट्रिक फ़ंक्शन अपना मान नहीं बदलता है। तीसरा गुण यह निर्धारित करता है कि sin, cos, tg, ctg के फलनों के मान विपरीत कोणों α और - α पर कैसे बदलते हैं।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

अक्सर गणितीय पाठ में या किसी समस्या के संदर्भ में, आप वाक्यांश पा सकते हैं: "पहले, दूसरे, तीसरे या चौथे निर्देशांक का कोण"। यह क्या है?

आइए यूनिट सर्कल की ओर मुड़ें। इसे चार तिमाहियों में बांटा गया है। हम सर्कल पर शुरुआती बिंदु A 0 (1, 0) को चिह्नित करते हैं और, इसे बिंदु O के चारों ओर कोण α से घुमाते हुए, हम बिंदु A 1 (x, y) पर पहुंचेंगे। किस तिमाही बिंदु A 1 (x, y) के आधार पर, कोण α को क्रमशः पहले, दूसरे, तीसरे और चौथे क्वार्टर का कोण कहा जाएगा।

स्पष्टता के लिए, हम एक उदाहरण प्रस्तुत करते हैं।

कोण α = 30 ° पहली तिमाही में स्थित है। कोण - 210 ° दूसरा चौथाई कोण है। कोण 585° तीसरी तिमाही का कोण है। 45° का कोण चौथा चौथाई कोण है।

इस मामले में, कोण ± 90 डिग्री, ± 180 डिग्री, ± 270 डिग्री, ± 360 डिग्री किसी भी तिमाही से संबंधित नहीं हैं, क्योंकि वे समन्वय अक्ष पर स्थित हैं।

अब उन संकेतों पर विचार करें जो साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट लेते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि कोण किस तिमाही में है।

तिमाहियों द्वारा साइन संकेतों को निर्धारित करने के लिए, आइए परिभाषा को याद करें। ज्या बिंदु A 1 (x, y) की कोटि है। आंकड़ा दर्शाता है कि पहली और दूसरी तिमाही में यह सकारात्मक है, और तीसरी और चौगुनी में यह नकारात्मक है।

कोज्या बिंदु A 1 (x, y) का भुज है। इसके अनुसार, हम सर्कल पर कोसाइन के संकेतों का निर्धारण करते हैं। पहली और चौथी तिमाही में कोसाइन सकारात्मक है और दूसरी और तीसरी तिमाही में नकारात्मक है।

तिमाहियों में स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के संकेतों को निर्धारित करने के लिए, हम इन त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को भी याद करते हैं। स्पर्शरेखा एक बिंदु की भुजिका के कोटि का अनुपात है। इसका मतलब यह है कि अलग-अलग संकेतों के साथ संख्याओं को विभाजित करने के नियम के अनुसार, जब कोर्डिनेट और एब्सिसा के समान संकेत होते हैं, तो सर्कल पर टेंगेंट का संकेत सकारात्मक होगा, और जब कोर्डिनेट और एब्सिसा के अलग-अलग संकेत होंगे, तो यह नकारात्मक होगा . तिमाहियों में कोटैंजेंट के संकेत इसी तरह से निर्धारित होते हैं।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

1. कोण की ज्या α का 1 और 2 तिमाहियों में धन चिह्न होता है, 3 और 4 तिमाहियों में ऋण चिह्न होता है।
2. कोण α की कोज्या का 1 और 4 तिमाहियों में धन चिह्न है, 2 और 3 तिमाहियों में ऋण चिह्न है।
3. कोण α की स्पर्शरेखा में 1 और 3 तिमाहियों में धन चिह्न होता है, 2 और 4 तिमाहियों में ऋण चिह्न होता है।
4. कोण α के कोटैंजेंट में 1 और 3 क्वार्टर में प्लस साइन होता है, 2 और 4 क्वार्टर में माइनस साइन होता है।

आवधिक संपत्ति

आवर्त गुण त्रिकोणमितीय फलनों के सबसे स्पष्ट गुणों में से एक है।

आवधिक संपत्ति

जब कोण को पूर्ण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदल दिया जाता है, तो इस कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के मान अपरिवर्तित रहते हैं।

वास्तव में, जब कोणों में परिक्रमणों की पूर्णांक संख्या में परिवर्तन होता है, तो हम हमेशा इकाई वृत्त के प्रारंभिक बिंदु A से समान निर्देशांक वाले बिंदु A 1 तक पहुंचेंगे। तदनुसार, साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटेंजेंट के मान भी नहीं बदलेंगे।

गणितीय रूप से, यह गुण इस प्रकार लिखा जाता है:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

इस संपत्ति का व्यावहारिक अनुप्रयोग क्या है? आवर्तता गुण, कास्ट फ़ार्मुलों की तरह, अक्सर बड़े कोणों के साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटेंजेंट के मूल्यों की गणना के लिए उपयोग किया जाता है।

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

पाप 13 π 5 = पाप 3 5 + 2 π = पाप 3 5

तन (- 689 °) = तन (31 ° + 360 ° (- 2)) = तन 31 ° तन (- 689 °) = तन (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = तन (- 329 °)

आइए यूनिट सर्कल को फिर से देखें।

बिंदु A 1 (x, y) प्रारंभिक बिंदु A 0 (1, 0) को वृत्त के केंद्र के चारों ओर α कोण से घुमाने का परिणाम है। बिंदु A 2 (x, - y) - प्रारंभिक बिंदु को कोण से मोड़ने का परिणाम - α।

बिन्दु A 1 और A 2 भुज अक्ष के परितः सममित हैं। मामले में जब α = 0 °, ± 180 °, ± 360 ° अंक A 1 और A 2 मेल खाते हैं। मान लीजिए कि एक बिंदु के निर्देशांक (x, y) हैं, और दूसरे में - (x, - y) हैं। आइए साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट की परिभाषाओं को याद करें और लिखें:

sin α = y, cos α = x, t g α = y x, c t g α = x y sin - α = - y, cos - α = x, t g - α = - y x, c t g - α = x - y

इसका तात्पर्य विपरीत कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा के गुण हैं।

विपरीत कोणों की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा के गुण

पाप - α = - पाप α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

इस संपत्ति के अनुसार, समानताएं सत्य हैं

पाप - 48 ° = - पाप 48 °, c t g 9 = - c t g - 9, cos 18 ° = cos - 18 °

माना गया गुण अक्सर उन मामलों में व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में उपयोग किया जाता है जब त्रिकोणमितीय कार्यों के तर्कों में कोणों के नकारात्मक संकेतों से छुटकारा पाना आवश्यक होता है।

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कई विशिष्ट परिणाम स्थापित करने की अनुमति देता है - साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के गुण... इस लेख में, हम तीन मुख्य गुणों को देखेंगे। उनमें से पहला कोण α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के संकेतों को इंगित करता है, जिसके आधार पर समन्वय चौथाई कोण α है। इसके बाद, हम आवधिकता की संपत्ति पर विचार करेंगे, जो कोण α के साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट के मूल्यों की स्थिरता स्थापित करता है जब इस कोण को क्रांति की पूर्णांक संख्या से बदल दिया जाता है। तीसरा गुण विपरीत कोणों α और −α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों के बीच संबंध को व्यक्त करता है।

यदि आप ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और सहस्पर्शी फलनों के गुणों में रुचि रखते हैं, तो उनका अध्ययन लेख के संगत भाग में किया जा सकता है।

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क्वार्टर में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट साइन्स

नीचे इस पैराग्राफ में वाक्यांश "I, II, III और IV समन्वय तिमाही का कोण" मिलेगा। आइए बताते हैं कि ये कोण क्या हैं।

चलो ले लो यूनिट सर्कल, उस पर प्रारंभिक बिंदु A (1, 0) को चिह्नित करें, और इसे बिंदु O के चारों ओर कोण α से घुमाएं, जबकि हम मानते हैं कि हम बिंदु A 1 (x, y) पर पहुंचेंगे।

वे कहते हैं कि कोण α I, II, III, IV निर्देशांक तिमाही का कोण हैयदि बिंदु А 1 क्रमशः I, II, III, IV तिमाहियों में स्थित है; यदि कोण α ऐसा है कि बिंदु A 1 किसी भी समन्वय रेखा ऑक्स या ओए पर स्थित है, तो यह कोण चार तिमाहियों में से किसी से संबंधित नहीं है।

स्पष्टता के लिए, हम एक ग्राफिक चित्रण प्रस्तुत करते हैं। नीचे दिए गए चित्र दिखाते हैं घूर्णन कोण 30, −210, 585, और −45 डिग्री, जो क्रमशः I, II, III और IV निर्देशांक क्वार्टर के कोण हैं।

कोने 0, ± 90, ± 180, ± 270, ± 360, ...डिग्री किसी भी समन्वय तिमाही से संबंधित नहीं हैं।

अब आइए जानें कि किन चिह्नों में α रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के मान हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि कौन सा क्वार्टर α है।

साइन और कोसाइन के लिए, यह करना आसान है।

परिभाषा के अनुसार, कोण α की ज्या बिंदु A 1 की कोटि होती है। यह स्पष्ट है कि I और II निर्देशांक तिमाहियों में यह सकारात्मक है, और III और IV तिमाहियों में यह नकारात्मक है। इस प्रकार, कोण α की ज्या I और II तिमाहियों में धन चिह्न और III और VI तिमाहियों में ऋण चिह्न है।

बदले में, कोण α की कोज्या बिंदु A 1 का भुज है। पहली और चौथी तिमाही में यह सकारात्मक है, और दूसरी और तीसरी तिमाही में यह नकारात्मक है। नतीजतन, I और IV तिमाहियों में कोण α के कोसाइन का मान सकारात्मक है, और II और III तिमाहियों में - नकारात्मक।

स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के क्वार्टर द्वारा संकेतों को निर्धारित करने के लिए, आपको उनकी परिभाषाओं को याद रखने की आवश्यकता है: स्पर्शरेखा बिंदु ए 1 के एब्सिसा के कोटि का अनुपात है, और कोटेंजेंट बिंदु ए 1 के एब्सिसा का अनुपात है। . फिर से संख्याओं को विभाजित करने के नियमसमान और अलग-अलग संकेतों के साथ, यह इस प्रकार है कि स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट में प्लस चिह्न होता है जब बिंदु ए 1 के एब्सिस्सा और कोर्डिनेट के संकेत समान होते हैं, और एक माइनस साइन होता है - जब एब्सिस्सा के संकेत और बिंदु के कोटि ए 1 अलग हैं। इसलिए, कोण के स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट में I और III निर्देशांक क्वार्टर में + चिह्न होता है, और II और IV क्वार्टर में ऋण चिह्न होता है।

वास्तव में, उदाहरण के लिए, पहली तिमाही में, बिंदु A 1 का भुज x और कोटि y दोनों धनात्मक हैं, तो भागफल x / y और भागफल y / x दोनों धनात्मक हैं, इसलिए स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट में + संकेत। और दूसरी तिमाही में, भुज x ऋणात्मक है, और कोटि y धनात्मक है, इसलिए x/y और y/x दोनों ऋणात्मक हैं, जहां से स्पर्शरेखा और cotangent में ऋण चिह्न होता है।

हम साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की अगली संपत्ति पर जाते हैं।

आवधिक संपत्ति

अब हम किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के सबसे स्पष्ट गुणधर्म का विश्लेषण करेंगे। इसमें निम्नलिखित शामिल हैं: जब पूर्ण क्रांतियों की एक पूर्णांक संख्या द्वारा कोण को बदल दिया जाता है, तो इस कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के मान नहीं बदलते हैं।

यह समझ में आता है: जब कोण एक पूर्णांक संख्या के चक्करों से बदलता है, तो हम हमेशा यूनिट सर्कल पर शुरुआती बिंदु ए से बिंदु ए 1 तक पहुंचेंगे, इसलिए, साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट के मान अपरिवर्तित रहते हैं, क्योंकि बिंदु A 1 के निर्देशांक अपरिवर्तित रहते हैं।

सूत्रों का उपयोग करते हुए, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की मानी गई संपत्ति को निम्नानुसार लिखा जा सकता है: sin (α + 2 π z) = sinα, cos (α + 2 π z) = cosα, tg (α + 2 π z) ) = tgα, ctg (α + 2 z) = ctgα, जहां α रेडियन में रोटेशन का कोण है, z कोई भी है, जिसका निरपेक्ष मान पूर्ण क्रांतियों की संख्या को इंगित करता है जिसके द्वारा कोण α बदलता है, और संकेत संख्या z मोड़ की दिशा को इंगित करता है।

यदि रोटेशन का कोण α डिग्री में दिया जाता है, तो इन सूत्रों को sin (α + 360 ° z) = sinα, cos (α + 360 ° z) = cosα, tg (α + 360 ° z) = tgα के रूप में फिर से लिखा जाएगा। , सीटीजी (α + 360 ° z) = ctgα।

इस संपत्ति का उपयोग करने के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं। उदाहरण के लिए, , चूंकि , ए ... यहाँ एक और उदाहरण है: या।

यह संपत्ति एक साथ कमी सूत्रबहुत बार के लिए उपयोग किया जाता है साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट मानों की गणना करना"बड़े" कोण।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के माने गए गुणों को कभी-कभी आवधिकता की संपत्ति कहा जाता है।

विपरीत कोणों की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा के गुण

मान लीजिए 1 प्रारंभिक बिंदु А (1, 0) के बिंदु O के चारों ओर एक कोण α से घूमने के परिणामस्वरूप प्राप्त हुआ बिंदु है, और बिंदु А 2 बिंदु के कोण −α के माध्यम से घूमने का परिणाम है, जो इसके विपरीत है कोण α।

विपरीत कोणों की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा का गुण एक स्पष्ट तथ्य पर आधारित है: ऊपर वर्णित बिंदु A1 और A2 या तो मेल खाते हैं (पर) या ऑक्स अक्ष के बारे में सममित रूप से स्थित हैं। अर्थात्, यदि बिंदु A1 में निर्देशांक (x, y) हैं, तो बिंदु A2 में निर्देशांक (x, -y) होंगे। यहाँ से sine, cosine, tangent और cotangent की परिभाषाओं के अनुसार हम समानताएँ और लिखते हैं।
उनकी तुलना करने पर, हम रूप के α और −α के विपरीत कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा के बीच संबंधों पर आते हैं।
यह सूत्रों के रूप में विचाराधीन संपत्ति है।

इस संपत्ति का उपयोग करने के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं। उदाहरण के लिए, समानताएं सत्य हैं और .

यह केवल ध्यान देने योग्य है कि पिछली संपत्ति की तरह, विपरीत कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की संपत्ति का उपयोग अक्सर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के मूल्यों की गणना करते समय किया जाता है, और आपको पूरी तरह से दूर होने की अनुमति देता है नकारात्मक कोणों से।

ग्रंथ सूची।

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पाठ प्रकार:ज्ञान और मध्यवर्ती नियंत्रण का व्यवस्थितकरण।

उपकरण:त्रिकोणमितीय वृत्त, परीक्षण, कार्य के साथ कार्ड।

पाठ मकसद:एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा की परिभाषाओं पर अध्ययन की गई सैद्धांतिक सामग्री को व्यवस्थित करने के लिए; इस विषय पर ज्ञान को आत्मसात करने की डिग्री और व्यवहार में आवेदन की जाँच करें।

कार्य:

• एक कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की अवधारणाओं को सामान्य और समेकित करना।
• त्रिकोणमितीय कार्यों की एक व्यापक समझ तैयार करें।
• त्रिकोणमितीय सामग्री का अध्ययन करने के लिए छात्रों की इच्छाओं और जरूरतों के विकास को बढ़ावा देना; संचार की संस्कृति, समूहों में काम करने की क्षमता और स्व-शिक्षा की आवश्यकता को बढ़ावा देना।

"जो कोई छोटी उम्र से खुद को करता और सोचता है, वह है
तब, अधिक विश्वसनीय, मजबूत, होशियार हो जाता है।

(वी। शुक्शिन)

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण

वर्ग का प्रतिनिधित्व तीन समूहों द्वारा किया जाता है। प्रत्येक समूह में एक सलाहकार होता है।
शिक्षक पाठ के विषय, लक्ष्यों और उद्देश्यों को संप्रेषित करता है।

द्वितीय. ज्ञान अद्यतन (कक्षा के साथ ललाट कार्य)

1) असाइनमेंट पर समूह कार्य:

1. पाप कोण की परिभाषा बनाइए।

- प्रत्येक समन्वय तिमाही में sin α के क्या संकेत हैं?
- अभिव्यक्ति पाप α किन मूल्यों के लिए समझ में आता है, और यह किन मूल्यों को ले सकता है?

2. दूसरा समूह वही है - cos α के लिए वही प्रश्न।

3. तीसरा समूह tg α और ctg α के समान प्रश्नों के उत्तर तैयार करता है।

इस समय, तीन छात्र स्वतंत्र रूप से कार्ड (विभिन्न समूहों के प्रतिनिधि) पर ब्लैकबोर्ड पर काम करते हैं।

कार्ड नंबर 1.

व्यावहारिक कार्य।
यूनिट सर्कल का उपयोग करके, 50, 210 और - 210 कोणों के लिए sin α, cos α और tan α की गणना करें।

कार्ड नंबर 2.

अभिव्यक्ति का संकेत निर्धारित करें: टीजी 275; क्योंकि 370; पाप 790; टीजी 4.1 और पाप 2.

कार्ड नंबर 3.

1) गणना करें:
2) तुलना करें: cos 60 और cos 2 30 - sin 2 30

2) मौखिक रूप से:

क) कई संख्याएं प्रस्तावित की गई हैं: 1; 1.2; 3; ,0,-1. इनमें से कुछ फालतू हैं। पाप α या cos α क्या गुण व्यक्त कर सकते हैं (चाहे sin α या cos α ये मान ले सकते हैं)।
बी) क्या अभिव्यक्ति समझ में आती है: क्योंकि (-); पाप 2; टीजी 3: सीटीजी (- 5); ; सीटीजी0;
सीटीजी (- )। क्यों?
c) क्या sin या cos, tg, ctg का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान है।
घ) क्या यह सच है?
1) α = 1000 द्वितीय तिमाही का कोण है;
2) α = - 330 चतुर्थ तिमाही का कोण है।
ई) संख्याएं इकाई सर्कल पर एक ही बिंदु के अनुरूप होती हैं।

3) ब्लैकबोर्ड पर काम करें

567 (2; 4) - व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए
संख्या 583 (1-3) व्यंजक का चिह्न ज्ञात कीजिए

होम वर्क:एक नोटबुक में तालिका। नंबर 567 (1, 3) नंबर 578

III. अतिरिक्त ज्ञान का आत्मसात। आपके हाथ की हथेली में त्रिकोणमिति

शिक्षक:यह पता चला है कि आपके हाथ की हथेली में साइन और कोसाइन के मान "हैं"। अपने हाथ (दोनों हाथ) तक पहुंचें और अपनी उंगलियों को जितना संभव हो उतना दूर फैलाएं (जैसे पोस्टर पर)। एक छात्र को आमंत्रित किया जाता है। हम अपनी उंगलियों के बीच के कोणों को मापते हैं।
एक त्रिभुज लें जिसमें 30, 45 और 60 90 का कोण हो और अपने हाथ की हथेली में कोण के शीर्ष को चंद्रमा की पहाड़ी पर लगाएं। चंद्रमा की पहाड़ी छोटी उंगली और अंगूठे के विस्तार के चौराहे पर स्थित है। हम एक तरफ को छोटी उंगली से जोड़ते हैं, और दूसरी तरफ दूसरी उंगलियों में से एक के साथ।
यह पता चला है कि छोटी उंगली और अंगूठे के बीच 90, छोटी उंगली और अनामिका के बीच 30, छोटी उंगली और मध्यमा उंगली के बीच 45, छोटी उंगली और तर्जनी के बीच 60 का कोण होता है। और यह बिना किसी अपवाद के सभी लोगों के लिए है।

छोटी उंगली # 0 - 0 से मेल खाती है,
अनाम संख्या 1 - 30 से मेल खाती है,
मध्य संख्या 2 - 45 से मेल खाती है,
सूचकांक संख्या 3 - 60 से मेल खाती है,
बड़ी संख्या 4 - 90 से मेल खाती है।

इस प्रकार, हमारे हाथ पर 4 उंगलियां हैं और सूत्र याद रखें:

फिंगर नंबर	इंजेक्शन	अर्थ

यह सिर्फ एक स्मरक नियम है। सामान्य तौर पर, sin α या cos α का मूल्य दिल से जाना चाहिए, लेकिन कभी-कभी यह नियम कठिन समय में मदद करेगा।
कॉस के लिए एक नियम के साथ आओ (बिना बदलाव के कोण, लेकिन अंगूठे से गिनती)। साइन α या cos α के संकेतों से जुड़ा एक भौतिक विराम।

चतुर्थ। ZUN . के आत्मसात की जाँच करना

फीडबैक के साथ स्वतंत्र कार्य

प्रत्येक छात्र को एक परीक्षा (4 विकल्प) और सभी के लिए एक उत्तर पत्रक प्राप्त होता है।

परीक्षण

विकल्प 1

1) रोटेशन के किस कोण पर, त्रिज्या 50 के कोण के माध्यम से मुड़ने पर समान स्थिति ले लेगी।
2) व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 4cos 60 - 3sin 90.
3) कौन सी संख्या शून्य से कम है: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50।

विकल्प 2

1) घूर्णन के किस कोण पर त्रिज्या 10 के कोण से मुड़ने पर वही स्थिति ले लेगी।
2) व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 4cos 90 - 6sin 30.
3) कौन सी संख्या शून्य से बड़ी है: sin 340, cos 340, sin 240, tg (- 240)।

विकल्प 3

1) व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 2ctg 45 - 3cos 90.
2) कौन सी संख्या शून्य से कम है: sin 40, cos (- 10), tg 210, sin 140।
3) किस तिमाही का कोण कोण α है, यदि sin α> 0, cos α< 0.

विकल्प 4

1) व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: tg 60 - 6ctg 90।
2) कौन सी संख्या शून्य से कम है: sin (- 10), cos 140, tg 250, cos 250।
3) किस तिमाही का कोण कोण α है, यदि ctg α< 0, cos α> 0.

ए 0	बी पाप 50	वी 1	जी – 350	डी – 1	इ क्योंकि(– 140)
एफ 3	जेड 310	तथा क्योंकि 140		ली 350	एम 2
एन क्योंकि 340	हे – 3	पी कॉस 250	आर	साथ पाप 140	टी – 310
पास होना – 2	एफ 2	एक्स टीजी 50	श्री टीजी 250	यू पाप 340	मैं हूं 4

(शब्द - त्रिकोणमिति कुंजी)

V. त्रिकोणमिति के इतिहास से जानकारी

शिक्षक:त्रिकोणमिति किसी व्यक्ति के जीवन के लिए गणित की काफी महत्वपूर्ण शाखा है। त्रिकोणमिति का आधुनिक रूप 18वीं सदी के महानतम गणितज्ञ लियोनार्ड यूलर द्वारा दिया गया था, जो मूल रूप से एक स्विस थे, जिन्होंने कई वर्षों तक रूस में काम किया और सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य थे। उन्होंने त्रिकोणमितीय फलनों की सुप्रसिद्ध परिभाषाएँ प्रस्तुत कीं, सुप्रसिद्ध सूत्र बनाए और सिद्ध किए, हम उन्हें बाद में जानेंगे। यूलर का जीवन बहुत दिलचस्प है और मैं आपको सलाह देता हूं कि इसे याकोवलेव की पुस्तक "लियोनार्ड यूलर" से जानें।

(इस विषय पर दोस्तों का संदेश)

वी.आई. पाठ सारांश

खेल "नॉट्स एंड क्रॉस"

दो सबसे सक्रिय छात्र भाग ले रहे हैं। उन्हें समूहों द्वारा समर्थित किया जाता है। कार्यों का समाधान एक नोटबुक में लिखा जाता है।

कार्य

1) त्रुटि का पता लगाएं

ए) पाप 225 = - 1.1 सी) पाप 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (- 115)> 0

2) कोण को डिग्री में व्यक्त करें
3) 300 के कोण को रेडियन में व्यक्त करें
4) व्यंजक का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान क्या हो सकता है: 1+ sin α;
5) अभिव्यक्ति का चिन्ह निर्धारित करें: sin 260, cos 300।
6) संख्या वृत्त के किस चौथाई में बिंदु है
7) अभिव्यक्ति के संकेत निर्धारित करें: cos 0.3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) गणना करें:
9) तुलना करें: पाप 2 और पाप 350

vii. पाठ का प्रतिबिंब

शिक्षक:हम त्रिकोणमिति कहाँ मिल सकते हैं?
कक्षा 9 में क्या पाठ, और अब भी, क्या आप sin α, cos α की अवधारणाओं का उपयोग करते हैं; टीजी α; सीटीजी α और किस उद्देश्य के लिए?