Formule za površine in prostornine volumetričnih figur. Formule za iskanje volumna paralelopipeda

In stari Egipčani so uporabljali metode za izračun površin različnih figur, podobne našim metodam.

V mojih knjigah "Začetki" slavni starogrški matematik Evklid opisal precej velika številka metode za izračun površin mnogih geometrijske oblike. Prvi rokopisi v Rusiji, ki vsebujejo geometrijske informacije, so bili napisani v 16. stoletju. Opisujejo pravila za iskanje ploščin likov različnih oblik.

Danes s pomočjo sodobne metode lahko najdete površino katere koli figure z veliko natančnostjo.

Razmislimo o eni najpreprostejših figur - pravokotniku - in formuli za iskanje njegove površine.

Formula za površino pravokotnika

Oglejmo si sliko (slika 1), ki je sestavljena iz $8$ kvadratov s stranicami $1$ cm.Ploščina enega kvadrata s stranico $1$ cm se imenuje kvadratni centimeter in se zapiše $1\ cm^2 $.

Površina te figure (slika 1) bo enaka $8\cm^2$.

Površina figure, ki jo lahko razdelimo na več kvadratov s stranico $1\ cm$ (na primer $p$), bo enaka $p\ cm^2$.

Z drugimi besedami, površina figure bo enaka toliko $cm^2$, na koliko kvadratov s stranico $1\ cm$ lahko razdelimo ta lik.

Oglejmo si pravokotnik (slika 2), ki je sestavljen iz $3$ črt, od katerih je vsaka razdeljena na $5$ kvadratov s stranico $1\ cm$. celoten pravokotnik je sestavljen iz $5\cdot 3=15$ takih kvadratov, njegova ploščina pa je $15\cm^2$.

Slika 1.

Slika 2.

Območje številk je običajno označeno s črko $S$.

Če želite najti površino pravokotnika, morate njegovo dolžino pomnožiti s širino.

Če njegovo dolžino označimo s črko $a$, širino pa s črko $b$, potem bo formula za površino pravokotnika videti takole:

Definicija 1

Številke se imenujejo enakače številke sovpadajo, ko se nanesejo ena na drugo. Enake številke imajo enake površine in enake obode.

Območje figure je mogoče najti kot vsoto površin njegovih delov.

Primer 1

Na sliki $3$ je na primer pravokotnik $ABCD$ razdeljen na dva dela s črto $KLMN$. Ploščina enega dela je $12\ cm^2$, drugega pa $9\ cm^2$. Potem bo ploščina pravokotnika $ABCD$ enaka $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Poiščite površino pravokotnika s formulo:

Kot lahko vidite, sta območja, najdena z obema metodama, enaka.

Slika 3.

Slika 4.

Odsek $AC$ deli pravokotnik na dva enaka trikotnika: $ABC$ in $ADC$. To pomeni, da je površina vsakega trikotnika enaka polovici površine celotnega pravokotnika.

Definicija 2

Pravokotnik z enake stranice klical kvadrat.

Če stran kvadrata označimo s črko $a$, bo površina kvadrata najdena po formuli:

Od tod tudi imenski kvadrat števila $a$.

Primer 2

Na primer, če je stranica kvadrata $5$ cm, potem je njegova ploščina:

Zvezki

Z razvojem trgovine in gradbeništva v času starih civilizacij se je pojavila potreba po iskanju količin. V matematiki obstaja veja geometrije, ki se ukvarja s preučevanjem prostorskih likov, imenovana stereometrija. Omembe te ločene veje matematike so bile najdene že v $IV$ stoletju pred našim štetjem.

Starodavni matematiki so razvili metodo za izračun prostornine preprostih figur - kocke in paralelepipeda. Vse stavbe tistega časa so bile takšne oblike. Kasneje pa so bile odkrite metode za izračun prostornine figur bolj zapletenih oblik.

Prostornina pravokotnega paralelepipeda

Če kalup napolnite z mokrim peskom in ga nato obrnete, boste dobili tridimenzionalno figuro, za katero je značilen volumen. Če naredite več takih figur po istem kalupu, boste dobili figure enake prostornine. Če kalup napolnite z vodo, bosta tudi prostornina vode in prostornina peščene figure enaki.

Slika 5.

Prostornini dveh posod lahko primerjaš tako, da eno napolniš z vodo in jo natočiš v drugo. Če je druga posoda popolnoma napolnjena, sta posodi enaki prostornini. Če voda ostane v prvi, potem je prostornina prve posode večja od prostornine druge. Če pri izlivanju vode iz prve posode druge posode ni mogoče popolnoma napolniti, je prostornina prve posode manjša od prostornine druge.

Prostornina se meri z uporabo naslednjih enot:

$mm^3$ -- kubični milimeter,

$cm^3$ -- kubični centimeter,

$dm^3$ -- kubični decimeter,

$m^3$ -- kubični meter,

$km^3$ -- kubični kilometer.

Vsako geometrijsko telo lahko označimo s površino (S) in prostornino (V). Površina in prostornina sploh nista ista stvar. Predmet ima lahko relativno majhno črko V in veliko črko S, na primer, tako delujejo človeški možgani. Te kazalnike je veliko lažje izračunati za preproste geometrijske oblike.

Paralelepiped: definicija, vrste in lastnosti

Paralelepiped je štirikotna prizma s paralelogramom na dnu. Zakaj morda potrebujete formulo za iskanje prostornine figure? Knjige, embalažne škatle in še marsikaj iz Vsakdanje življenje. Prostori v stanovanjskih in poslovnih stavbah so običajno pravokotni paralelopipedi. Za vgradnjo prezračevanja, klimatizacije in določitev števila grelnih elementov v prostoru je potrebno izračunati prostornino prostora.

Figura ima 6 ploskev - paralelogramov in 12 robov; dve naključno izbrani ploskvi imenujemo osnove. Paralelepiped je lahko več vrst. Razlike so posledica kotov med sosednjimi robovi. Formule za iskanje V različnih mnogokotnikov so nekoliko drugačne.

Če je 6 obrazov geometrijske figure pravokotnikov, potem se imenuje tudi pravokotna. Kocka je poseben primer paralelepipeda, v katerem je vseh 6 ploskev enakih kvadratov. V tem primeru, da bi našli V, morate ugotoviti dolžino samo ene strani in jo dvigniti na tretjo potenco.

Za reševanje problemov boste potrebovali znanje ne le o že pripravljenih formulah, ampak tudi o lastnostih figure. Seznam osnovnih lastnosti pravokotne prizme je majhen in zelo enostaven za razumevanje:

1. Nasprotni stranici figure sta enaki in vzporedni. To pomeni, da so nasprotna rebra enaka po dolžini in kotu naklona.
2. Vse stranski obrazi pravi paralelopiped - pravokotniki.
3. Štiri glavne diagonale geometrijskega lika se sekajo v eni točki in so z njo razdeljene na pol.
4. Kvadrat diagonale paralelepipeda je enak vsoti kvadratov dimenzij figure (izhaja iz Pitagorovega izreka).

Pitagorov izrek pravi, da je vsota površin kvadratov, zgrajenih na straneh pravokotnega trikotnika, enaka površini trikotnika, zgrajenega na hipotenuzi istega trikotnika.

Dokaz zadnje lastnosti je viden na spodnji sliki. Postopek reševanja problema je preprost in ne zahteva podrobnih razlag.

Formula za prostornino pravokotnega paralelopipeda

Formula za iskanje za vse vrste geometrijskih likov je enaka: V = S * h, kjer je V zahtevana prostornina, S je površina osnove paralelopipeda, h je višina, spuščena z nasprotnega vrha in pravokotno na podlago. V pravokotniku h sovpada z eno od stranic figure, zato morate, da bi našli prostornino pravokotne prizme, pomnožiti tri dimenzije.

Prostornina je običajno izražena v cm3. Če poznamo vse tri vrednosti a, b in c, iskanje volumna figure sploh ni težko. Najpogostejša vrsta težave pri Enotnem državnem izpitu je iskanje volumna ali diagonale paralelopipeda. Rešite veliko tipičnih Naloge za enotni državni izpit Nemogoče je brez formule za prostornino pravokotnika. Primer naloge in zasnova njene rešitve je prikazan na spodnji sliki.

Opomba 1. Površino pravokotne prizme lahko najdemo tako, da pomnožimo z 2 vsoto površin treh ploskev figure: osnove (ab) in dveh sosednjih stranskih ploskev (bc + ac).

Opomba 2. Površino stranskih ploskev je mogoče enostavno določiti tako, da pomnožimo obseg podlage z višino paralelepipeda.

Glede na prvo lastnost paralelepipeda AB = A1B1 in ploskve B1D1 = BD. Po posledicah Pitagorovega izreka je vsota vseh kotov v pravokotnem trikotniku 180°, krak nasproti kota 30° pa je enaka hipotenuzi. Če to znanje uporabimo za trikotnik, zlahka najdemo dolžini stranic AB in AD. Nato dobljene vrednosti pomnožimo in izračunamo prostornino paralelopipeda.

Formula za iskanje prostornine nagnjenega paralelopipeda

Da bi našli prostornino nagnjenega paralelopipeda, je treba površino osnove figure pomnožiti z višino, spuščeno na dano osnovo iz nasprotnega kota.

Tako lahko zahtevani V predstavimo v obliki h - število listov z osnovno površino S, tako da je prostornina krova sestavljena iz Vs vseh kart.

Primeri reševanja problemov

Naloge enotnega izpita morajo biti opravljene v določenem času. Tipične naloge praviloma ne vsebujejo velika količina računalništvo in kompleksni ulomki. Študenta pogosto vprašajo, kako najti prostornino nepravilne geometrijske figure. V takih primerih si morate zapomniti preprosto pravilo, da skupna prostornina enaka vsoti V-jeve komponente.

Kot lahko vidite iz primera na zgornji sliki, pri reševanju takšnih težav ni nič težkega. Naloge iz zahtevnejših sklopov zahtevajo poznavanje Pitagorovega izreka in njegovih posledic ter formule za dolžino diagonale lika. Za uspešno reševanje testnih nalog je dovolj, da se vnaprej seznanite z vzorci tipičnih problemov.

In stari Egipčani so uporabljali metode za izračun površin različnih figur, podobne našim metodam.

V mojih knjigah "Začetki" Slavni starogrški matematik Evklid je opisal dokaj veliko načinov za izračun površin številnih geometrijskih likov. Prvi rokopisi v Rusiji, ki vsebujejo geometrijske informacije, so bili napisani v 16. stoletju. Opisujejo pravila za iskanje ploščin likov različnih oblik.

Danes lahko z uporabo sodobnih metod z veliko natančnostjo najdete območje katere koli figure.

Razmislimo o eni najpreprostejših figur - pravokotniku - in formuli za iskanje njegove površine.

Formula za površino pravokotnika

Oglejmo si sliko (slika 1), ki je sestavljena iz $8$ kvadratov s stranicami $1$ cm.Ploščina enega kvadrata s stranico $1$ cm se imenuje kvadratni centimeter in se zapiše $1\ cm^2 $.

Površina te figure (slika 1) bo enaka $8\cm^2$.

Površina figure, ki jo lahko razdelimo na več kvadratov s stranico $1\ cm$ (na primer $p$), bo enaka $p\ cm^2$.

Z drugimi besedami, površina figure bo enaka toliko $cm^2$, na koliko kvadratov s stranico $1\ cm$ lahko razdelimo ta lik.

Oglejmo si pravokotnik (slika 2), ki je sestavljen iz $3$ črt, od katerih je vsaka razdeljena na $5$ kvadratov s stranico $1\ cm$. celoten pravokotnik je sestavljen iz $5\cdot 3=15$ takih kvadratov, njegova ploščina pa je $15\cm^2$.

Slika 1.

Slika 2.

Območje številk je običajno označeno s črko $S$.

Če želite najti površino pravokotnika, morate njegovo dolžino pomnožiti s širino.

Če njegovo dolžino označimo s črko $a$, širino pa s črko $b$, potem bo formula za površino pravokotnika videti takole:

Definicija 1

Številke se imenujejo enakače številke sovpadajo, ko se nanesejo ena na drugo. Enake figure imajo enake ploščine in enak obseg.

Območje figure je mogoče najti kot vsoto površin njegovih delov.

Primer 1

Na sliki $3$ je na primer pravokotnik $ABCD$ razdeljen na dva dela s črto $KLMN$. Ploščina enega dela je $12\ cm^2$, drugega pa $9\ cm^2$. Potem bo ploščina pravokotnika $ABCD$ enaka $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Poiščite površino pravokotnika s formulo:

Kot lahko vidite, sta območja, najdena z obema metodama, enaka.

Slika 3.

Slika 4.

Odsek $AC$ deli pravokotnik na dva enaka trikotnika: $ABC$ in $ADC$. To pomeni, da je površina vsakega trikotnika enaka polovici površine celotnega pravokotnika.

Definicija 2

Pravokotnik z enakimi stranicami se imenuje kvadrat.

Če stran kvadrata označimo s črko $a$, bo površina kvadrata najdena po formuli:

Od tod tudi imenski kvadrat števila $a$.

Primer 2

Na primer, če je stranica kvadrata $5$ cm, potem je njegova ploščina:

Zvezki

Z razvojem trgovine in gradbeništva v času starih civilizacij se je pojavila potreba po iskanju količin. V matematiki obstaja veja geometrije, ki se ukvarja s preučevanjem prostorskih likov, imenovana stereometrija. Omembe te ločene veje matematike so bile najdene že v $IV$ stoletju pred našim štetjem.

Starodavni matematiki so razvili metodo za izračun prostornine preprostih figur - kocke in paralelepipeda. Vse stavbe tistega časa so bile takšne oblike. Kasneje pa so bile odkrite metode za izračun prostornine figur bolj zapletenih oblik.

Prostornina pravokotnega paralelepipeda

Če kalup napolnite z mokrim peskom in ga nato obrnete, boste dobili tridimenzionalno figuro, za katero je značilen volumen. Če naredite več takih figur po istem kalupu, boste dobili figure enake prostornine. Če kalup napolnite z vodo, bosta tudi prostornina vode in prostornina peščene figure enaki.

Slika 5.

Prostornini dveh posod lahko primerjaš tako, da eno napolniš z vodo in jo natočiš v drugo. Če je druga posoda popolnoma napolnjena, sta posodi enaki prostornini. Če voda ostane v prvi, potem je prostornina prve posode večja od prostornine druge. Če pri izlivanju vode iz prve posode druge posode ni mogoče popolnoma napolniti, je prostornina prve posode manjša od prostornine druge.

Prostornina se meri z uporabo naslednjih enot:

$mm^3$ -- kubični milimeter,

$cm^3$ -- kubični centimeter,

$dm^3$ -- kubični decimeter,

$m^3$ -- kubični meter,

$km^3$ -- kubični kilometer.

Za reševanje geometrijskih problemov morate poznati formule - kot je ploščina trikotnika ali ploščina paralelograma - kot tudi preproste tehnike, ki jih bomo pokrivali.

Najprej se naučimo formule za površine likov. Posebej smo jih zbrali v priročni tabeli. Natisnite, naučite se in uporabite!

Seveda v naši tabeli niso vse geometrijske formule. Na primer za reševanje nalog iz geometrije in stereometrije v drugem delu profil Enotni državni izpit V matematiki se uporabljajo tudi druge formule za območje trikotnika. Zagotovo vam bomo povedali o njih.

Kaj pa, če morate najti ne območje trapeza ali trikotnika, temveč območje neke kompleksne figure? Obstajajo univerzalni načini! Prikazali jih bomo na primerih iz zbirke nalog FIPI.

1. Kako najti območje nestandardne figure? Na primer poljuben štirikotnik? Preprosta tehnika - razdelimo to figuro na tiste, o katerih vemo vse, in poiščemo njeno ploščino - kot vsoto ploščin teh figur.

Razdelite ta štirikotnik z vodoravno črto na dva trikotnika s skupno osnovo enako. Višine teh trikotnikov so enake in . Potem je površina štirikotnika enaka vsoti ploščin obeh trikotnikov: .

Odgovor: .

2. V nekaterih primerih je lahko območje figure predstavljeno kot razlika nekaterih območij.

Čemu sta enaki osnovnica in višina tega trikotnika, ni tako lahko izračunati! Lahko pa rečemo, da je njegova ploščina enaka razliki ploščin kvadrata s stranico in treh pravokotnih trikotnikov. Jih vidite na sliki? Dobimo: .

Odgovor: .

3. Včasih morate v nalogi najti območje ne celotne figure, ampak njenega dela. Običajno govorimo o območju sektorja - dela kroga Poiščite območje sektorja kroga s polmerom, katerega dolžina loka je enaka .

Na tej sliki vidimo del kroga. Površina celotnega kroga je enaka. Še vedno je treba ugotoviti, kateri del kroga je upodobljen. Ker je dolžina celotnega kroga enaka (ker) in je dolžina loka danega sektorja enaka, je dolžina loka faktor, ki je manjši od dolžine celotnega kroga. Kot, pod katerim leži ta lok, je tudi faktor, manjši od polnega kroga (to je stopinj). To pomeni, da bo površina sektorja večkrat manjša od površine celotnega kroga.

Splošni pregled. Stereometrične formule!

Zdravo, dragi prijatelji! V tem članku sem se odločil narediti splošni pregled stereometrične naloge, ki bodo na Enotni državni izpit iz matematike e) Povedati je treba, da so naloge iz te skupine precej raznolike, vendar ne težke. To so naloge za iskanje geometrijskih veličin: dolžine, koti, ploščine, prostornine.

Upoštevani: kocka, kvader, prizma, piramida, sestavljeni polieder, valj, stožec, krogla. Žalostno dejstvo je, da se nekateri maturanti tovrstnih problemov sploh ne lotijo ​​na samem izpitu, čeprav jih več kot 50% rešijo preprosto, skoraj ustno.

Ostalo zahteva malo truda, znanja in posebnih tehnik. V prihodnjih člankih bomo upoštevali te naloge, ne zamudite, naročite se na posodobitve spletnega dnevnika.

Za rešitev morate vedeti formule za površine in prostornine paralelepiped, piramida, prizma, valj, stožec in krogla. Težkih težav ni, vse se rešijo v 2-3 korakih, pomembno je "videti", katero formulo je treba uporabiti.

Vse potrebne formule so predstavljene spodaj:

Žoga ali krogla. Krogla ali sferična ploskev (včasih preprosto krogla) je geometrično mesto točk v prostoru, ki so enako oddaljene od ene točke - središča krogle.

Volumen žoge enaka prostornini piramide, katere osnova ima enako ploščino kot površina krogle, višina pa je polmer krogle

Prostornina krogle je eninpolkrat manjša od prostornine okrog nje opisanega valja.

Krožni stožec lahko dobimo tako, da pravokotni trikotnik zavrtimo okoli enega od njegovih krakov, zato se krožnemu stožcu reče tudi vrtilni stožec. Glej tudi Površina krožnega stožca

Prostornina okroglega stožca enak tretjini zmnožka osnovne ploskve S in višine H:

(H je višina roba kocke)

Paralelepiped je prizma, katere osnova je paralelogram. Paralelepiped ima šest ploskev in vse so paralelogrami. Paralelepiped, katerega štiri stranske ploskve so pravokotniki, se imenuje ravni paralelopiped. Pravilni paralelepiped, katerega šest ploskev je pravokotnikov, se imenuje pravokotnik.

Prostornina pravokotnega paralelepipeda enak zmnožku površine osnove in višine:

(S je površina osnove piramide, h je višina piramide)

Piramida je polieder, ki ima eno ploskev - osnovo piramide - poljuben mnogokotnik, ostalo pa stranske ploskve - trikotnike s skupnim vrhom, imenovanim vrh piramide.

Odsek, ki je vzporeden z vznožjem piramide, deli piramido na dva dela. Del piramide med njenim vznožjem in tem delom je prisekana piramida.

Prostornina prisekane piramide enak tretjini produkta višine h(OS) z vsoto ploščin zgornje baze S1 (abcde), spodnja osnova prisekane piramide S2 (ABCDE) in povprečni proporcionalni delež med njima.

1.

V=

n - število strani pravilnega mnogokotnika - osnove redna piramida
a - stranica pravilnega mnogokotnika - osnova pravilne piramide
h - višina pravilne piramide

Pravilna trikotna piramida je polieder, ki ima eno stran - osnovo piramide - pravilni trikotnik, ostalo - stranske ploskve - enaki trikotniki s skupnim vrhom. Višina se z vrha spusti do središča baze.

Glasnost pravilna trikotna piramida enak tretjini produkta površine navaden trikotnik, ki je osnova S (ABC) do višine h(OS)

a - stranica pravilnega trikotnika - osnova pravilne trikotne piramide
h - višina pravilne trikotne piramide

Izpeljava formule za prostornino tetraedra

Prostornina tetraedra se izračuna po klasični formuli za prostornino piramide. Treba je nadomestiti višino tetraedra in površino pravilnega (enakostraničnega) trikotnika.

Prostornina tetraedra- je enako ulomku, v števcu katerega je kvadratni koren iz dva v imenovalcu dvanajst, pomnožen s kubom dolžine roba tetraedra

(h je dolžina stranice romba)

Obseg str je približno tri cele in ena sedmina dolžine premera kroga. Natančno razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom je označeno z grško črko π

Posledično se obseg kroga ali obsega izračuna po formuli

π r n

(r - polmer loka, n - središčni kot loki v stopinjah.)