Y 3x 1 graf. Kvadratne in kubične funkcije

Konstruiranje grafov funkcij, ki vsebujejo module, šolarjem običajno povzroča precejšnje težave. Vendar vse ni tako slabo. Dovolj je, da si zapomnite nekaj algoritmov za reševanje takšnih problemov in zlahka sestavite graf tudi na videz najbolj zapletene funkcije. Ugotovimo, kakšni algoritmi so to.

1. Izris grafa funkcije y = |f(x)|

Upoštevajte, da je niz funkcijskih vrednosti y = |f(x)| : y ≥ 0. Tako se grafi takih funkcij vedno v celoti nahajajo v zgornji polravnini.

Izris grafa funkcije y = |f(x)| je sestavljen iz naslednjih preprostih štirih korakov.

1) Previdno in skrbno sestavite graf funkcije y = f(x).

2) Vse točke na grafu, ki so nad ali na osi 0x, pustite nespremenjene.

3) Prikažite del grafa, ki leži pod osjo 0x simetrično glede na os 0x.

Primer 1. Nariši graf funkcije y = |x 2 – 4x + 3|

1) Zgradimo graf funkcije y = x 2 – 4x + 3. Očitno je, da je graf te funkcije parabola. Poiščimo koordinate vseh točk presečišča parabole s koordinatnimi osemi in koordinate vrha parabole.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Zato parabola seka os 0x v točkah (3, 0) in (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Zato parabola seka os 0y v točki (0, 3).

Koordinate vrha parabole:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Zato je točka (2, -1) oglišče te parabole.

Z dobljenimi podatki narišite parabolo (slika 1)

2) Del grafa, ki leži pod osjo 0x, je prikazan simetrično glede na os 0x.

3) Dobimo graf prvotne funkcije ( riž. 2, prikazano s pikčasto črto).

2. Risanje funkcije y = f(|x|)

Upoštevajte, da so funkcije oblike y = f(|x|) sode:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To pomeni, da so grafi takih funkcij simetrični glede na os 0y.

Risanje grafa funkcije y = f(|x|) je sestavljeno iz naslednje preproste verige dejanj.

1) Narišite graf funkcije y = f(x).

2) Pustimo tisti del grafa, za katerega je x ≥ 0, to je del grafa, ki se nahaja v desni polravnini.

3) Prikažite del grafa, ki je določen v točki (2), simetrično na os 0y.

4) Kot končni graf izberite unijo krivulj, dobljenih v točkah (2) in (3).

Primer 2. Nariši graf funkcije y = x 2 – 4 · |x| + 3

Ker je x 2 = |x| 2, potem lahko izvirno funkcijo prepišete kot naslednji obrazec: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Zdaj lahko uporabimo zgoraj predlagani algoritem.

1) Previdno in skrbno zgradimo graf funkcije y = x 2 – 4 x + 3 (glejte tudi riž. 1).

2) Pustimo tisti del grafa, za katerega je x ≥ 0, to je del grafa, ki se nahaja v desni polravnini.

3) Zaslon desna stran grafika je simetrična glede na os 0y.

(slika 3).

Primer 3. Nariši graf funkcije y = log 2 |x|

Uporabljamo zgoraj navedeno shemo.

1) Zgradite graf funkcije y = log 2 x (slika 4).

3. Risanje funkcije y = |f(|x|)|

Upoštevajte, da so funkcije oblike y = |f(|x|)| so tudi celo. Dejansko je y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), zato so njihovi grafi simetrični glede na os 0y. Niz vrednosti takih funkcij: y ≥ 0. To pomeni, da se grafi takih funkcij nahajajo v celoti v zgornji polravnini.

Če želite narisati funkcijo y = |f(|x|)|, morate:

1) Previdno zgradite graf funkcije y = f(|x|).

2) Pustite nespremenjen del grafa, ki je nad ali na osi 0x.

3) Prikažite del grafa, ki se nahaja pod osjo 0x simetrično glede na os 0x.

4) Kot končni graf izberite unijo krivulj, dobljenih v točkah (2) in (3).

Primer 4. Nariši graf funkcije y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Upoštevajte, da je x 2 = |x| 2. To pomeni, da namesto prvotne funkcije y = -x 2 + 2|x| - 1

lahko uporabite funkcijo y = -|x| 2 + 2|x| – 1, saj njuna grafa sovpadata.

Zgradimo graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Za to uporabljamo algoritem 2.

a) Narišite graf funkcije y = -x 2 + 2x – 1 (slika 6).

b) Pustimo tisti del grafa, ki se nahaja v desni polravnini.

c) Nastali del grafa prikažemo simetrično na os 0y.

d) Dobljeni graf je na sliki prikazan s pikčasto črto (slika 7).

2) Nad 0x osjo ni točk, točke na 0x osi pustimo nespremenjene.

3) Del grafa, ki se nahaja pod osjo 0x, je prikazan simetrično glede na 0x.

4) Nastali graf je na sliki prikazan s pikčasto črto (slika 8).

Primer 5. Graf funkcije y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Najprej morate narisati funkcijo y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Da bi to naredili, se vrnemo k algoritmu 2.

a) Previdno narišite funkcijo y = (2x – 4) / (x + 3) (slika 9).

obvestilo, to to funkcijo je delno linearna in njen graf je hiperbola. Če želite narisati krivuljo, morate najprej najti asimptote grafa. Vodoravno – y = 2/1 (razmerje koeficientov pri x v števcu in imenovalcu ulomka), navpično – x = -3.

2) Tisti del grafa, ki je nad 0x osjo ali na njej, bomo pustili nespremenjen.

3) Del grafa, ki se nahaja pod osjo 0x, bo prikazan simetrično glede na 0x.

4) Končni graf je prikazan na sliki (slika 11).

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Lekcija na temo: "Graf in lastnosti funkcije $y=x^3$. Primeri risanja grafov"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja. Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 7. razred
Elektronski učbenik za 7. razred "Algebra v 10 minutah"
Izobraževalni kompleks 1C "Algebra, razredi 7-9"

Lastnosti funkcije $y=x^3$

Opišimo lastnosti te funkcije:

1. x je neodvisna spremenljivka, y je odvisna spremenljivka.

2. Domena definicije: očitno je, da je za katero koli vrednost argumenta (x) mogoče izračunati vrednost funkcije (y). V skladu s tem je domena definicije te funkcije celotna številska premica.

3. Razpon vrednosti: y je lahko karkoli. V skladu s tem je obseg vrednosti tudi celotna številska premica.

4. Če je x= 0, potem je y= 0.

Graf funkcije $y=x^3$

1. Ustvarimo tabelo vrednosti:

2. Za pozitivne vrednosti x graf funkcije $y=x^3$ je zelo podoben paraboli, katere veje so bolj “pritisnjene” na os OY.

3. Ker ima pri negativnih vrednostih x funkcija $y=x^3$ nasprotne vrednosti, je graf funkcije simetričen glede na izvor.

Zdaj pa označimo točke na koordinatni ravnini in zgradimo graf (glej sliko 1).

Ta krivulja se imenuje kubična parabola.

Primeri

I. Na majhni ladji je bilo popolnoma konec sveža voda. Treba je pripeljati zadostno količino vode iz mesta. Voda se naroča vnaprej in se plača za polno kocko, tudi če jo natočite malo manj. Koliko kock naj naročim, da ne bi preplačal dodatne kocke in popolnoma napolnil rezervoar? Znano je, da ima rezervoar enake dolžine, širine in višine, ki so enake 1,5 m.Rešimo ta problem brez izvajanja izračunov.

rešitev:

1. Narišimo funkcijo $y=x^3$.
2. Poiščite točko A, koordinato x, ki je enaka 1,5. Vidimo, da je koordinata funkcije med vrednostmi 3 in 4 (glej sliko 2). Torej morate naročiti 4 kocke.

Funkcija y=x^2 se imenuje kvadratna funkcija. Urnik kvadratna funkcija je parabola. Splošni obrazec Parabola je prikazana na spodnji sliki.

Kvadratna funkcija

Slika 1. Splošni pogled na parabolo

Kot je razvidno iz grafa, je simetričen glede na os Oy. Os Oy se imenuje simetrijska os parabole. To pomeni, da če na graf narišete ravno črto, ki je vzporedna z osjo Ox nad to osjo. Potem bo presekal parabolo v dveh točkah. Razdalja od teh točk do osi Oy bo enaka.

Simetrijska os deli graf parabole na dva dela. Ti deli se imenujejo veje parabole. In točka parabole, ki leži na simetrični osi, se imenuje vrh parabole. To pomeni, da gre simetrijska os skozi vrh parabole. Koordinate te točke so (0;0).

Osnovne lastnosti kvadratne funkcije

1. Pri x =0, y=0 in y>0 pri x0

2. Kvadratna funkcija doseže najmanjšo vrednost na svojem oglišču. Ymin pri x=0; Upoštevati je treba tudi, da funkcija nima največje vrednosti.

3. Funkcija pada na intervalu (-∞;0] in narašča na intervalu)