द्विघात समीकरणों के साथ भिन्नात्मक असमानताएँ। वर्ग असमानताएँ
विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "वर्ग असमानताएँ, समाधान के उदाहरण"
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दोस्तों, हम पहले से ही जानते हैं कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। आइए अब सीखें कि द्विघात असमिकाओं को कैसे हल किया जाता है।
वर्ग असमानताइस तरह की असमानता कहलाती है:
$ax^2+bx+c>0$।
असमानता का चिह्न कोई भी हो सकता है, गुणांक a, b, c कोई भी संख्या ($a≠0$) हैं।
रैखिक असमानताओं के लिए परिभाषित सभी नियम यहाँ भी काम करते हैं। इन नियमों को स्वयं दोहराएं!
आइए एक और महत्वपूर्ण नियम पेश करते हैं:
यदि ट्रिनोमियल $ax^2+bx+c$ में एक नकारात्मक विभेदक है, तो यदि हम x के किसी भी मान को प्रतिस्थापित करते हैं, तो ट्रिनोमियल का चिन्ह गुणांक a के y के चिन्ह के समान होगा।
द्विघात असमानता को हल करने के उदाहरण
रेखांकन प्लॉट करके या अंतराल प्लॉट करके हल किया जा सकता है। आइए असमानताओं के समाधान के उदाहरण देखें।उदाहरण।
1. असमानता को हल करें: $x^2-2x-8
समाधान:
समीकरण $x^2-2x-8=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।
$x_1=4$ और $x_2=-2$।
चलिए एक द्विघात समीकरण बनाते हैं। भुज अक्ष 4 और -2 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। 2. असमानता को हल करें: $5x-6 समाधान: आइए द्विघात समीकरण का एक ग्राफ बनाते हैं, भुज अक्ष 2 और 3 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। 3. असमानता को हल करें: $2^2+2x+1≥0$। समाधान: 4. असमानता को हल करें: $x^2+x-2 इस लेख में विषय को कवर करने वाली सामग्री है " वर्ग असमानताओं का समाधान"। सबसे पहले, यह दिखाया गया है कि एक चर के साथ द्विघात असमानताएँ क्या हैं, उनके दिए हुए हैं सामान्य फ़ॉर्म. और फिर इसका विस्तार से विश्लेषण किया जाता है कि द्विघात असमानताओं को कैसे हल किया जाए। समाधान के लिए मुख्य दृष्टिकोण दिखाए गए हैं: एक ग्राफिकल विधि, अंतराल विधिऔर असमानता के बाईं ओर द्विपद के वर्ग को हाइलाइट करके। विशिष्ट उदाहरणों के समाधान दिए गए हैं। पेज नेविगेशन। स्वाभाविक रूप से, द्विघात असमानताओं को हल करने के बारे में बात करने से पहले, किसी को स्पष्ट रूप से समझना चाहिए कि द्विघात असमानता क्या है। दूसरे शब्दों में, आपको रिकॉर्ड के प्रकार से वर्ग असमानताओं को अन्य प्रकार की असमानताओं से अलग करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। परिभाषा।
वर्ग असमानता a x 2 +b x+c के रूप की एक असमानता है<0
(вместо знака >कोई अन्य असमानता चिह्न ≤, >, ≥) हो सकता है, जहाँ a, b और c कुछ संख्याएँ हैं, और a≠0, और x एक चर है (चर को किसी अन्य अक्षर से दर्शाया जा सकता है)। आइए तुरंत द्विघात असमिकाओं को दूसरा नाम दें - दूसरी डिग्री की असमानता. इस नाम को इस तथ्य से समझाया गया है कि असमानताओं के बाईं ओर a x 2 +b x+c है<0
находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства». आप कभी-कभी यह भी सुन सकते हैं कि द्विघात असमानताओं को द्विघात असमानताएँ कहा जाता है। यह पूरी तरह से सही नहीं है: "द्विघात" की परिभाषा y=a x 2 +b x+c रूप के समीकरणों द्वारा दिए गए कार्यों को संदर्भित करती है। तो वहाँ द्विघात असमानताएँ हैं और द्विघात कार्य, लेकिन द्विघात असमानताएँ नहीं। वर्ग असमानताओं के कुछ उदाहरण दिखाते हैं: 5 x 2 −3 x+1>0 , यहाँ a=5 , b=−3 और c=1 ; −2.2 z 2 −0.5 z−11≤0, इस द्विघात असमानता के गुणांक हैं a=−2.2 , b=−0.5 और c=−11 ; , इस मामले में ध्यान दें कि द्विघात असमानता की परिभाषा में, x 2 पर गुणांक a को गैर-शून्य माना जाता है। यह समझ में आता है, गुणांक a से शून्य की समानता वास्तव में वर्ग को "हटा" देगी, और हम चर के वर्ग के बिना b x + c>0 के रूप की एक रैखिक असमानता से निपटेंगे। लेकिन गुणांक b और c शून्य के बराबर हो सकते हैं, दोनों अलग-अलग और एक साथ। यहाँ ऐसी वर्ग असमानताओं के उदाहरण दिए गए हैं: x 2 −5≥0, यहाँ चर x के लिए गुणांक b शून्य के बराबर है; −3 x 2 −0.6 x<0
, здесь c=0
; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 और बी और सी शून्य हैं। अब आप इस प्रश्न से भ्रमित हो सकते हैं कि द्विघात असमिकाओं को कैसे हल किया जाए। मूल रूप से, तीन मुख्य विधियों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है: आइए हम तुरंत एक आरक्षण करें कि द्विघात असमानताओं को हल करने की विधि, जिस पर हम विचार करना शुरू कर रहे हैं, को बीजगणित की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में चित्रमय नहीं कहा जाता है। हालाँकि, संक्षेप में, वह यही है। इसके अलावा, के साथ पहला परिचय असमानताओं को हल करने का ग्राफिकल तरीकाआमतौर पर तब शुरू होता है जब प्रश्न उठता है कि द्विघात असमानताओं को कैसे हल किया जाए। द्विघात असमानताओं a x 2 +b x+c को हल करने का ग्राफिकल तरीका<0
(≤, >, ≥) ग्राफ का विश्लेषण करना है द्विघात फंक्शन y=a·x 2 +b·x+c उन अंतरालों को खोजने के लिए जिनमें निर्दिष्ट फ़ंक्शन नकारात्मक, सकारात्मक, गैर-सकारात्मक या गैर-ऋणात्मक मान लेता है। ये अंतराल द्विघात असमानताओं a x 2 +b x+c के समाधान का गठन करते हैं<0
, a·x 2 +b·x+c>0 , a x 2 +b x+c≤0 तथा a x 2 +b x+c≥0 क्रमशः। एक चर के साथ वर्ग असमानताओं को हल करने के लिए, ग्राफिकल विधि के अलावा, अंतराल विधि काफी सुविधाजनक है, जो अपने आप में बहुत बहुमुखी है, और विभिन्न असमानताओं को हल करने के लिए उपयुक्त है, केवल वर्ग वाले नहीं। इसका सैद्धांतिक पक्ष ग्रेड 8, 9 के बीजगणित पाठ्यक्रम के बाहर है, जब वे द्विघात असमानताओं को हल करना सीखते हैं। इसलिए, यहां हम अंतराल पद्धति के सैद्धांतिक औचित्य में नहीं जाएंगे, बल्कि इस बात पर ध्यान देंगे कि इसकी मदद से द्विघात असमानताओं को कैसे हल किया जाता है। वर्ग असमानताओं a x 2 +b x + c के समाधान के संबंध में अंतराल विधि का सार<0
(≤, >, ≥), अर्थ वाले संकेतों को निर्धारित करने में शामिल हैं चौकोर ट्रिनोमियल a·x 2 +b·x+c उन अंतरालों पर जिनमें निर्देशांक अक्ष को इस ट्रिनोमियल (यदि कोई हो) के शून्यों से विभाजित किया गया है। ऋण चिह्नों के साथ रिक्त स्थान द्विघात असमानता a x 2 +b x+c का समाधान बनाते हैं<0
, со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , और गैर-सख्त असमानताओं को हल करते समय, ट्रिनोमियल के शून्य के अनुरूप अंक संकेतित अंतराल में जोड़े जाते हैं। आप इस पद्धति के सभी विवरणों से परिचित हो सकते हैं, इसके एल्गोरिथ्म, अंतराल पर संकेत रखने के नियम और अंतराल विधि द्वारा द्विघात असमानताओं को हल करने वाले लेख की सामग्री का हवाला देकर दिए गए उदाहरणों के लिए तैयार किए गए समाधानों पर विचार कर सकते हैं। . आलेखीय विधि और अंतराल विधि के अतिरिक्त, अन्य दृष्टिकोण भी हैं जो द्विघात असमानताओं को हल करने की अनुमति देते हैं। और हम उनमें से एक पर आते हैं, जो पर आधारित है द्विपद का वर्ग करनाद्विघात असमानता के बाईं ओर। वर्ग असमानताओं को हल करने की इस पद्धति का सिद्धांत असमानता के समकक्ष परिवर्तनों को करना है, जिससे किसी को फॉर्म (x−p) 2 की समकक्ष असमानता के समाधान के लिए पास किया जा सके। और असमानता (x−p) 2 में संक्रमण कैसा है व्यवहार में, बहुत बार किसी को असमानताओं से निपटना पड़ता है जिसे a x 2 +b x + c के रूप की द्विघात असमानताओं के समतुल्य परिवर्तनों की मदद से कम किया जा सकता है।<0
(знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам. आइए सबसे सरल असमानताओं के उदाहरणों से शुरू करें जिन्हें वर्गाकार में घटाया जा सकता है। कभी-कभी, एक द्विघात असमानता को पास करने के लिए, इस असमानता में शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करना या उन्हें एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करना पर्याप्त होता है। उदाहरण के लिए, यदि हम असमानता 5≤2 x−3 x 2 के दाईं ओर से सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, तो हमें 3 x 2 −2 x+5≤0 के ऊपर निर्दिष्ट रूप में द्विघात असमानता मिलती है। . एक अन्य उदाहरण: 5+0.6 x 2 −x असमानता को बायीं ओर पुनर्व्यवस्थित करना<0
слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0
. स्कूल में, बीजगणित के पाठों में, जब वे द्विघात असमानताओं को हल करना सीखते हैं, तो वे साथ-साथ निपटते हैं तर्कसंगत असमानताओं का समाधान, वर्ग में घटाना। उनके समाधान में सभी शर्तों को बाईं ओर स्थानांतरित करना शामिल है, इसके बाद एक्सएक्सएक्स +बी एक्स + सी एक्सएक्सएक्सएक्स एक्सएक्सएक्सएक्स +बी एक्स + सी के रूप में गठित अभिव्यक्ति के बाद के परिवर्तन को क्रियान्वित करके। एक उदाहरण पर विचार करें। उदाहरण। असमानता के समाधान का एक सेट खोजें 3 (x−1) (x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5
तर्कहीन असमानता ग्रंथ सूची। वर्ग असमानता - "FROM और TO"।इस लेख में हम द्विघात असमानताओं के समाधान पर विचार करेंगे, जिसे सूक्ष्मता कहा जाता है। मैं बिना कुछ खोए लेख की सामग्री का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने की सलाह देता हूं। आप तुरंत लेख में महारत हासिल नहीं कर पाएंगे, मैं इसे कई तरीकों से करने की सलाह देता हूं, बहुत सारी जानकारी है। संतुष्ट: परिचय। महत्वपूर्ण! परिचय। महत्वपूर्ण! एक द्विघात असमानता प्रपत्र की एक असमानता है: यदि आप एक द्विघात समीकरण लेते हैं और उपरोक्त में से किसी के साथ समान चिह्न को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको एक द्विघात असमानता मिलती है। किसी असमानता को हल करने का अर्थ है इस प्रश्न का उत्तर देना कि दी गई असमानता x के किन मानों के लिए सत्य होगी। उदाहरण: 10
एक्स 2
– 6
एक्स+12 ≤ 0
2
एक्स 2
+ 5
एक्स –500 > 0
– 15
एक्स 2
– 2
एक्स+13 > 0
8
एक्स 2
– 15
एक्स+45≠ 0
द्विघात असमानता को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए: 10
एक्स 2
– 6
एक्स+14
एक्स 2
–5
एक्स +2≤ 56
2
एक्स 2
> 36
8
एक्स 2
<–15
एक्स 2
– 2
एक्स+13
0> – 15
एक्स 2
– 2
एक्स+13
इस मामले में, बीजगणितीय परिवर्तन करना और इसे मानक रूप (1) में लाना आवश्यक है। * गुणांक आंशिक और अपरिमेय दोनों हो सकते हैं, लेकिन ऐसे उदाहरण स्कूल के पाठ्यक्रम में दुर्लभ हैं, और वे यूएसई असाइनमेंट में बिल्कुल नहीं पाए जाते हैं। लेकिन डरो मत अगर, उदाहरण के लिए, आप मिलते हैं: यह भी एक द्विघात असमानता है। सबसे पहले, एक सरल समाधान एल्गोरिदम पर विचार करें जिसके लिए यह समझने की आवश्यकता नहीं है कि द्विघात फ़ंक्शन क्या है और इसका ग्राफ़ निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष समन्वय तल पर कैसा दिखता है। यदि आप अभ्यास के साथ नियमित रूप से इसे मजबूत करते हुए जानकारी को दृढ़ता से और लंबे समय तक याद रखने में सक्षम हैं, तो एल्गोरिथम आपकी मदद करेगा। इसके अलावा, यदि आप, जैसा कि वे कहते हैं, "एक बार में" ऐसी असमानता को हल करने की आवश्यकता है, तो एल्गोरिथ्म आपकी मदद करेगा। इसका पालन करने से, आप समाधान को आसानी से लागू कर पाएंगे। यदि आप स्कूल में पढ़ते हैं, तो मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं कि आप दूसरे भाग से लेख का अध्ययन करना शुरू करें, जो समाधान का पूरा अर्थ बताता है (पैराग्राफ से नीचे देखें -)। यदि सार की समझ है, तो सीखने के लिए आवश्यक नहीं होगा, निर्दिष्ट एल्गोरिदम को याद न करें, आप किसी भी द्विघात असमानता को आसानी से हल कर सकते हैं। बेशक, किसी को तुरंत द्विघात फ़ंक्शन के ग्राफ के साथ स्पष्टीकरण शुरू करना चाहिए और इसका अर्थ खुद समझाना चाहिए, लेकिन मैंने इस तरह से लेख को "निर्माण" करने का फैसला किया। एक और सैद्धांतिक क्षण! वर्ग ट्रिनोमियल को गुणनखंडों में गुणनखंड करने के सूत्र को देखें: जहाँ x 1 और x 2 द्विघात समीकरण ax 2 के मूल हैं+
bx+ सी = 0
*द्विघात असमानता को हल करने के लिए वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करना आवश्यक होगा। नीचे प्रस्तुत एल्गोरिथ्म को अंतराल विधि भी कहा जाता है। यह प्रपत्र की असमानताओं को हल करने के लिए उपयुक्त है एफ(एक्स)>0,
एफ(एक्स)<0
, एफ(एक्स)≥0 औरएफ(एक्स)≤0
. कृपया ध्यान दें कि दो से अधिक गुणक हो सकते हैं, उदाहरण के लिए: (x-10)(x+5)(x-1)(x+104)(x+6)(x-1)<0
समाधान एल्गोरिथ्म। अंतराल विधि। उदाहरण। असमानता को देखते हुए कुल्हाड़ी 2
+
bx+ सी> 0 (कोई संकेत)।
1. एक द्विघात समीकरण लिखिए कुल्हाड़ी 2
+
bx+ सी = 0
और हम इसे हल करते हैं। हम पाते हैं एक्स 1 और एक्स 2द्विघात समीकरण के मूल हैं। 2. सूत्र (2) गुणांक में स्थानापन्न करें ए
और जड़ें। : एक (एक्स –
एक्स 1
)(एक्स –
एक्स 2)> 0
3. संख्या रेखा पर अंतराल निर्धारित करें (समीकरण की जड़ें संख्या अक्ष को अंतराल में विभाजित करती हैं): 4. हम अभिव्यक्ति में प्रत्येक प्राप्त अंतराल से "x" के मनमाने मूल्य को प्रतिस्थापित करके अंतराल (+ या -) पर "संकेत" निर्धारित करते हैं: एक (एक्स –
एक्स 1
)(एक्स –
x2)
और उन्हें मनाओ। 5. यह केवल हमारे लिए रुचि के अंतराल को लिखने के लिए बनी हुई है, वे चिह्नित हैं: - चिह्न "+" यदि असमानता ">0" या "≥0" थी। - चिह्न "-", यदि असमानता थी "<0» или «≤0».
टिप्पणी!!!
असमानता में स्वयं संकेत हो सकते हैं: सख्त है ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».
यह निर्णय के परिणाम को कैसे प्रभावित करता है? सख्त असमानता के संकेतों के साथ, अंतराल की सीमाओं को समाधान में शामिल नहीं किया जाता है, जबकि उत्तर में अंतराल को स्वयं के रूप में लिखा जाता है ( एक्स 1
;
एक्स 2
) गोल कोष्ठक हैं। गैर-सख्त असमानता के संकेतों के लिए, अंतराल की सीमाएं समाधान में प्रवेश करती हैं, और उत्तर के रूप में लिखा जाता है [ एक्स 1
;
एक्स 2
] - वर्ग कोष्ठक। *यह न केवल वर्ग असमानताओं पर लागू होता है। वर्ग कोष्ठक का अर्थ है कि अंतराल सीमा स्वयं समाधान में शामिल है। आप इसे उदाहरणों में देखेंगे। आइए इस बारे में सभी सवालों को दूर करने के लिए कुछ पर एक नजर डालते हैं। सिद्धांत रूप में, एल्गोरिथ्म कुछ जटिल लग सकता है, वास्तव में, सब कुछ सरल है। उदाहरण 1: निर्णय लें एक्स 2
– 60
एक्स+500 ≤ 0
हम द्विघात समीकरण को हल करते हैं एक्स 2
–60
एक्स+500=0
डी =
बी 2
–4
एसी = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600
जड़ें ढूँढना: हम गुणांक को प्रतिस्थापित करते हैं ए एक्स 2
–60
एक्स+500 = (x-50)(x-10)
हम असमानता को रूप में लिखते हैं (х–50)(х–10) ≤ 0
समीकरण के मूल संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करते हैं। आइए उन्हें संख्या रेखा पर दिखाते हैं: हमें तीन अंतराल (–∞;10), (10;50) और (50;+∞) मिले। हम अंतराल पर "संकेत" निर्धारित करते हैं, प्रत्येक प्राप्त अंतराल के मनमाने मूल्यों को अभिव्यक्ति (x-50) (x-10) में प्रतिस्थापित करके ऐसा करते हैं और प्राप्त "चिह्न" के पत्राचार को देखते हैं असमानता पर हस्ताक्षर करें (х–50)(х–10) ≤ 0:
x=2 (x–50)(x–10) पर =
384> 0 गलत है x=20 (x–50)(x–10) पर =
–300 < 0 верно
x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 पर असत्य है समाधान अंतराल होगा। इस अंतराल से x के सभी मानों के लिए असमिका सत्य होगी। *कृपया ध्यान दें कि हमने वर्ग कोष्ठक शामिल किए हैं। x = 10 और x = 50 के लिए असमिका भी सत्य होगी, अर्थात सीमाएँ हल में शामिल हैं। उत्तर: x∊ दोबारा: - अंतराल की सीमाओं को असमानता के समाधान में शामिल किया जाता है जब स्थिति में चिह्न ≤ या ≥ (गैर-सख्त असमानता) होता है। उसी समय, प्राप्त जड़ों को स्केच में हैशेड सर्कल के साथ प्रदर्शित करने के लिए प्रथागत है। - अंतराल की सीमाओं को असमानता के समाधान में शामिल नहीं किया जाता है जब स्थिति में चिन्ह होता है< или >(सख्त असमानता)। साथ ही, स्केच में रूट को एक अनशेच्ड सर्कल के साथ प्रदर्शित करने के लिए प्रथागत है। उदाहरण 2: हल करें एक्स 2
+ 4
एक्स–21 > 0
हम द्विघात समीकरण को हल करते हैं एक्स 2
+ 4
एक्स–21 = 0
डी =
बी 2
–4
एसी = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100
जड़ें ढूँढना: हम गुणांक को प्रतिस्थापित करते हैं एऔर जड़ें सूत्र (2) में, हम प्राप्त करते हैं: एक्स 2
+ 4
एक्स-21 = (x–3)(x+7)
हम असमानता को रूप में लिखते हैं (х–3)(х+7) > 0.
समीकरण के मूल संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करते हैं। आइए उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित करें: *असमानता सख्त नहीं है, इसलिए जड़ों का अंकन छायांकित नहीं है। हमें तीन अंतराल (–∞;–7), (–7;3) और (3;+∞) मिले। हम अंतराल पर "संकेत" निर्धारित करते हैं, इन अंतरालों के मनमाने मूल्यों को अभिव्यक्ति (x–3) (x + 7) में प्रतिस्थापित करके ऐसा करते हैं और असमानता के पत्राचार को देखते हैं (х–3)(х+7)> 0:
पर x= -10 (-10-3)(-10 +7) = 39 > 0 सत्य x \u003d 0 (0–3) (0 + 7) \u003d -21 पर< 0 неверно
x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 सत्य पर समाधान दो अंतराल (–∞;–7) और (3;+∞) होगा। इन अंतरालों से x के सभी मानों के लिए असमिका सत्य होगी। * कृपया ध्यान दें कि हमने कोष्ठक शामिल किए हैं। x = 3 और x = -7 के लिए, असमानता गलत होगी - सीमाएँ समाधान में शामिल नहीं हैं। उत्तर: x∊(–∞;–7) यू (3;+∞) उदाहरण 3: हल करें –
एक्स 2
–9
एक्स–20 > 0
हम द्विघात समीकरण को हल करते हैं –
एक्स 2
–9
एक्स–20 = 0.
ए = –1
बी = –9
सी = –20
डी =
बी 2
–4
एसी = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.
जड़ें ढूँढना: हम गुणांक को प्रतिस्थापित करते हैं एऔर जड़ें सूत्र (2) में, हम प्राप्त करते हैं: –
एक्स 2
–9
एक्स–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)
हम असमानता को रूप में लिखते हैं –(x+5)(x+4) > 0.
समीकरण के मूल संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करते हैं। संख्या रेखा पर ध्यान दें: *असमानता सख्त है, इसलिए जड़ों के प्रतीक छायांकित नहीं हैं। हमें तीन अंतराल (–∞;–5), (–5; –4) और (–4;+∞) मिले। हम अंतराल पर "संकेत" निर्धारित करते हैं, हम इसे अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करके करते हैं -(एक्स+5)(एक्स+4)इन अंतरालों के मनमाना मूल्य और असमानता के पत्राचार को देखें –(x+5)(x+4)>0:
x= -10 - (-10+5)(-10 +4) = -30 पर< 0 неверно
पर x= -4.5 - (-4.5+5)(-4.5+4) = 0.25 > 0 सत्य x \u003d 0 - (0 + 5) (0 + 4) \u003d -20 पर< 0 неверно
* कृपया ध्यान दें कि सीमाएँ समाधान में शामिल नहीं हैं। x = -5 और x = -4 के लिए, असमानता सत्य नहीं होगी। टिप्पणी! द्विघात समीकरण को हल करते समय, हमें एक मूल प्राप्त हो सकता है या कोई मूल नहीं होगा, तब उपयोग करते समय यह विधिआँख बंद करके, समाधान निर्धारित करना मुश्किल हो सकता है। छोटा सारांश! विधि का उपयोग करना अच्छा और सुविधाजनक है, खासकर यदि आप द्विघात समारोह से परिचित हैं और इसके ग्राफ के गुणों को जानते हैं। यदि नहीं, तो कृपया इसे पढ़ें, अगले भाग पर जाएँ। द्विघात फलन के ग्राफ का उपयोग करना। मेरा सुझाव है! द्विघात रूप का एक कार्य है: इसका ग्राफ एक परवलय है, परवलय की शाखाएँ ऊपर या नीचे निर्देशित होती हैं: ग्राफ को निम्नानुसार स्थित किया जा सकता है: यह एक्स-अक्ष को दो बिंदुओं पर पार कर सकता है, यह इसे एक बिंदु (शीर्ष) पर स्पर्श कर सकता है, यह पार नहीं कर सकता। इस पर और बाद में। अब आइए इस दृष्टिकोण को एक उदाहरण के साथ देखें। संपूर्ण निर्णय प्रक्रिया में शामिल हैं तीन चरण. आइए असमानता को हल करें एक्स 2
+2
एक्स –8 >0.
प्रथम चरण
प्रश्न हल करें एक्स 2
+2
एक्स–8=0.
डी =
बी 2
–4
एसी = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36
जड़ें ढूँढना: हमें x 1 \u003d 2 और x 2 \u003d - 4 मिला। दूसरा चरण
एक परवलय का निर्माण वाई =एक्स 2
+2
एक्स–8
अंकों से: अंक - 4 और 2 परवलय और x-अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। सब कुछ सरल है! वो क्या करते थे? हमने द्विघात समीकरण को हल किया है एक्स 2
+2
एक्स–8=0.
कुछ इस तरह देखें उनका पोस्ट: 0 = x2+2x-8
हमारे लिए शून्य "y" का मान है। जब y = 0, हमें x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेद बिन्दुओं का भुज प्राप्त होता है। हम कह सकते हैं कि "y" का शून्य मान x-अक्ष है। अब देखें कि एक्स एक्सप्रेशन के क्या मूल्य हैं एक्स 2
+2
एक्स – 8
शून्य से बड़ा (या कम)? पैराबोला ग्राफ के अनुसार, यह निर्धारित करना मुश्किल नहीं है, जैसा कि वे कहते हैं, सब कुछ स्पष्ट दृष्टि में है: 1. एक्स पर< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен एक्स 2
+2
एक्स –8
सकारात्मक रहेगा। 2. -4 पर< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен एक्स 2
+2
एक्स –8
नकारात्मक होगा। 3. x > 2 के लिए, परवलय की शाखा x-अक्ष के ऊपर स्थित है। दिए गए x के लिए त्रिपद है एक्स 2
+2
एक्स –8
सकारात्मक रहेगा। तीसरा चरण
पैराबोला से, हम तुरंत एक्स एक्सप्रेशन के लिए देख सकते हैं एक्स 2
+2
एक्स–8
शून्य से अधिक, शून्य के बराबर, शून्य से कम। यह समाधान के तीसरे चरण का सार है, अर्थात् आकृति में सकारात्मक और नकारात्मक क्षेत्रों को देखने और निर्धारित करने के लिए। हम परिणाम की तुलना मूल असमानता से करते हैं और उत्तर लिखते हैं। हमारे उदाहरण में, एक्स के सभी मूल्यों को निर्धारित करना आवश्यक है जिसके लिए अभिव्यक्ति एक्स 2
+2
एक्स–8
शून्य के ऊपर। हमने इसे दूसरे चरण में किया। उत्तर लिखना बाकी है। उत्तर: x∊(–∞;–4) यू (2;∞). सारांशित करने के लिए: पहले चरण में समीकरण की जड़ों की गणना करने के बाद, हम x-अक्ष पर प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित कर सकते हैं (ये x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं)। अगला, हम योजनाबद्ध रूप से एक परवलय का निर्माण करते हैं और हम पहले से ही समाधान देख सकते हैं। अधूरा क्यों? हमें गणितीय रूप से सटीक शेड्यूल की आवश्यकता नहीं है। हां, और कल्पना करें, उदाहरण के लिए, यदि जड़ें 10 और 1500 हो जाती हैं, तो इस तरह के मूल्यों के साथ एक सेल में एक शीट पर एक सटीक ग्राफ बनाने का प्रयास करें। सवाल उठता है! ठीक है, हमें जड़ें मिलीं, ठीक है, हमने उन्हें एक्स-अक्ष पर चिह्नित किया, और परवलय के स्थान को ही स्केच किया - ऊपर या नीचे शाखाओं के साथ? यहाँ सब कुछ सरल है! x 2 पर गुणांक आपको बताएगा: - यदि यह शून्य से अधिक है, तो परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं। - यदि शून्य से कम है, तो परवलय की शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं। हमारे उदाहरण में, यह एक के बराबर है, अर्थात यह सकारात्मक है। *टिप्पणी! यदि असमानता में एक गैर-सख्त चिह्न है, अर्थात ≤ या ≥, तो संख्या रेखा पर जड़ों को छायांकित किया जाना चाहिए, यह सशर्त रूप से इंगित करता है कि अंतराल की सीमा ही असमानता के समाधान में शामिल है। में इस मामले मेंजड़ें छायांकित नहीं हैं (छिद्रित हैं), क्योंकि हमारी असमानता सख्त है (">" चिन्ह है)। उत्तर क्या है, इस मामले में, गोल कोष्ठक लगाएं, वर्गाकार कोष्ठक नहीं (समाधान में सीमाएँ शामिल नहीं हैं)। बहुत कुछ लिखा है, किसी ने भ्रमित किया है, शायद। लेकिन यदि आप कम से कम 5 असमानताओं को परवलय का उपयोग करके हल करते हैं, तो आपकी प्रशंसा की कोई सीमा नहीं होगी। सब कुछ सरल है! तो, संक्षेप में: 1. हम असमानता को लिखते हैं, हम इसे मानक एक पर लाते हैं। 2. हम द्विघात समीकरण लिखते हैं और इसे हल करते हैं। 3. हम एक्स-अक्ष खींचते हैं, प्राप्त जड़ों को चिह्नित करते हैं, योजनाबद्ध रूप से एक पैराबोला बनाते हैं, यदि एक्स 2 पर गुणांक सकारात्मक है, या नकारात्मक होने पर शाखाएं नीचे होती हैं। 4. हम नेत्रहीन सकारात्मक या नकारात्मक क्षेत्रों का निर्धारण करते हैं और मूल असमानता के अनुसार उत्तर लिखते हैं। उदाहरणों पर विचार करें। उदाहरण 1: निर्णय लें एक्स 2
–15
एक्स+50 > 0
प्रथम चरण। हम द्विघात समीकरण को हल करते हैं एक्स 2
–15
एक्स+50=0
डी =
बी 2
–4
एसी = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25
जड़ें ढूँढना: दूसरा चरण। हम एक अक्ष बनाते हैं ओह। आइए प्राप्त जड़ों को चिह्नित करें। चूँकि हमारी असमानता सख्त है, हम उन्हें छाया नहीं देंगे। हम योजनाबद्ध रूप से एक परवलय का निर्माण करते हैं, यह शाखाओं के साथ स्थित है, क्योंकि x 2 पर गुणांक सकारात्मक है: तीसरा चरण। हम नेत्रहीन सकारात्मक और नकारात्मक क्षेत्रों को परिभाषित करते हैं, हमने उन्हें यहां चिह्नित किया है अलग - अलग रंगस्पष्टता के लिए, आप ऐसा नहीं कर सकते। हम उत्तर लिखते हैं। उत्तर: x∊(–∞;5) यू (10;∞). * चिह्न यू एक संघ समाधान को दर्शाता है। आलंकारिक रूप से बोलना, समाधान "यह" और "यह" अंतराल है। उदाहरण 2: हल करें –
एक्स 2
+
एक्स+20 ≤ 0
प्रथम चरण। हम द्विघात समीकरण को हल करते हैं –
एक्स 2
+
एक्स+20=0
डी =
बी 2
–4
एसी = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81
जड़ें ढूँढना: दूसरा चरण। हम एक अक्ष बनाते हैं ओह। आइए प्राप्त जड़ों को चिह्नित करें। चूंकि हमारी असमानता सख्त नहीं है, इसलिए हम जड़ों के अंकन को छायांकित करते हैं। हम योजनाबद्ध रूप से एक परवलय का निर्माण करते हैं, यह नीचे शाखाओं के साथ स्थित है, क्योंकि x 2 पर गुणांक ऋणात्मक है (यह -1 के बराबर है): तीसरा चरण। हम नेत्रहीन सकारात्मक और नकारात्मक क्षेत्रों को परिभाषित करते हैं। मूल असमानता (हमारा चिह्न ≤ 0) से तुलना करें। असमानता x ≤ - 4 और x ≥ 5 के लिए सत्य होगी। हम उत्तर लिखते हैं। उत्तर: x∊(–∞;–4] U ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) या x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 । उदाहरण 3 द्विघात असमानता को हल करें - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов. समाधान
सबसे पहले, आइए असमिका के बाईं ओर से वर्ग त्रिपद की जड़ें ज्ञात करें: डी " \u003d 1 2 - - 1 7 - 7 \u003d 0 x 0 \u003d - 1 - 1 7 x 0 \u003d 7 यह एक सख्त असमानता है, इसलिए हम ग्राफ पर एक "खाली" बिंदु का उपयोग करते हैं। समन्वय 7 के साथ। अब हमें प्राप्त अंतरालों (− ∞ , 7) और (7 , + ∞) पर चिह्न निर्धारित करने की आवश्यकता है। चूँकि वर्ग ट्रिनोमियल का विविक्तकर शून्य के बराबर है, और अग्रणी गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए हम चिह्न − , − डालते हैं: चूंकि हम एक हस्ताक्षरित असमानता को हल कर रहे हैं< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус: इस स्थिति में, समाधान दोनों अंतराल (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) हैं। उत्तर:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) या अन्य संकेतन x ≠ 7 में। उदाहरण 4 क्या द्विघात असमानता x 2 + x + 7 है< 0 решения? समाधान
आइए असमिका के बाईं ओर से त्रिपद वर्ग की जड़ें ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम विविक्तकर पाते हैं: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27। विविक्तकर शून्य से कम है, इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। ग्राफिक छवि उस पर अंकित अंक के बिना एक संख्या रेखा की तरह दिखाई देगी। आइए वर्ग ट्रिनोमियल के मूल्यों का चिह्न निर्धारित करें। डी पर< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + : इस मामले में, हम "-" चिन्ह के साथ अंतराल पर हैचिंग लगा सकते हैं। लेकिन हमारे पास ऐसे अंतराल नहीं हैं। तो ड्राइंग इस तरह दिखती है: गणनाओं के परिणामस्वरूप, हमें एक खाली सेट मिला। इसका मतलब है कि इस द्विघात असमानता का कोई हल नहीं है। उत्तर:नहीं। यदि आप टेक्स्ट में कोई गलती देखते हैं, तो कृपया इसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएं
हमारा वर्ग ट्रिनोमियल शून्य से कम मान लेता है जहां फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक्स-अक्ष के नीचे स्थित होता है।
फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखते हुए, हमें उत्तर मिलता है: $x^2-2x-8 उत्तर: $-2
चलिए असमानता को बदलते हैं: $-x^2+5x-6 असमानता को शून्य से एक से विभाजित करें। चिह्न बदलना न भूलें: $x^2-5x+6>0$।
आइए ट्रिनोमियल की जड़ें खोजें: $x_1=2$ और $x_2=3$।
हमारा वर्ग ट्रिनोमियल शून्य से अधिक मान लेता है जहां फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक्स-अक्ष के ऊपर स्थित होता है। फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखते हुए, हमें उत्तर मिलता है: $5x-6
आइए अपने ट्रिनोमियल की जड़ों को खोजें, इसके लिए हम डिस्क्रिमिनेंट की गणना करते हैं: $D=2^2-4*2=-4 डिस्क्रिमिनेंट शून्य से कम है। आइए उस नियम का उपयोग करें जिसे हमने शुरुआत में पेश किया था। असमिका का चिह्न वर्ग गुणांक के चिह्न के समान ही होगा। हमारे मामले में, गुणांक धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि x के किसी भी मान के लिए हमारा समीकरण धनात्मक होगा।
उत्तर: सभी x के लिए, असमानता शून्य से अधिक है।
समाधान:
आइए ट्रिनोमियल की जड़ें खोजें और उन्हें समन्वय रेखा पर रखें: $x_1=-2$ और $x_2=1$। 
यदि $x>1$ और $x यदि $x>-2$ और $x उत्तर: $x>-2$ और $xद्विघात असमानताओं को हल करने के लिए समस्याएं
असमानताओं को हल करें:
क) $x^2-11x+30 ख) $2x+15≥x^2$।
सी) $3x^2+4x+3 डी) $4x^2-5x+2>0$। एक द्विघात असमानता क्या है?
.द्विघात असमानताओं को कैसे हल करें?
रेखांकन
अंतराल विधि
द्विपद के वर्ग को अलग करके
, ≥), जहाँ p और q कुछ संख्याएँ हैं।
, ≥) और इसे कैसे हल करें, लेख की सामग्री द्विपद के वर्ग को उजागर करके द्विघात असमानताओं के समाधान की व्याख्या करती है। इस तरह से द्विघात असमानताओं को हल करने के उदाहरण भी हैं और आवश्यक ग्राफिक चित्र दिए गए हैं।
द्विघात असमानताएँ
द्विघात असमानता x 2 −6 x−9 के बराबर है<0
, а लघुगणकीय असमानता 
– असमानता x 2 +x−2≥0।
समाधान अंतराल (-5; -4) होगा। इससे संबंधित "एक्स" के सभी मूल्यों के लिए, असमानता सत्य होगी।
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