मुख्य संख्या: इतिहास और तथ्य। प्राइम नंबर कैसे पाएं

प्रमेय।

असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं।

साक्ष्य।

चलो मान लिया कि यह नहीं है। यही है, मान लीजिए कि केवल n अभाज्य संख्याएँ हैं, और ये primes p 1, p 2, ..., p n हैं। हमें दिखाते हैं कि हम हमेशा संकेतित लोगों के अलावा एक अभाज्य संख्या पा सकते हैं।

P 1 · p 2 ·… · p n +1 के बराबर संख्या p पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि यह संख्या प्रत्येक अभाज्य संख्या p 1, p 2,…, p n से भिन्न है। यदि पी प्रमुख है, तो प्रमेय साबित होता है। यदि यह संख्या समग्र है, तो, पिछले प्रमेय के आधार पर, इस संख्या का एक प्रमुख भाजक है (हम इसे p n + 1 द्वारा निरूपित करते हैं)। हम बताते हैं कि यह भाजक किसी भी संख्या p 1, p 2,…, p n के साथ मेल नहीं खाता है।

यदि ऐसा नहीं था, तो विभाज्यता के गुणों द्वारा उत्पाद p 1 · p 2 ·… · p n, p n + 1 द्वारा विभाज्य होगा। लेकिन संख्या p भी p n + 1 से विभाज्य है, जो p 1 · p 2 ·… · p n +1 के योग के बराबर है। यह इस प्रकार है कि इस राशि का दूसरा शब्द, जो एक के बराबर है, को p n + 1 से विभाजित किया जाना चाहिए, लेकिन यह असंभव है।

यह साबित हो गया है कि एक नया प्राइम हमेशा पाया जा सकता है जो किसी भी पूर्व-नियत अभाज्य संख्याओं में समाहित नहीं है। इसलिए, असीम रूप से कई अपराध हैं।

इसलिए, इस तथ्य के कारण कि असीम रूप से कई प्राइम हैं, जब प्राइम्स के टेबल को संकलित करते हैं, तो वे हमेशा खुद को ऊपर से कुछ संख्या तक सीमित करते हैं, आमतौर पर 100, 1,000, 10,000, आदि।

एराटोस्थनीज की छलनी

अब हम अभाज्य संख्याओं के तालिकाओं के संकलन के तरीकों पर चर्चा करेंगे। मान लीजिए कि हमें 100 तक की एक तालिका को संकलित करने की आवश्यकता है।

इस समस्या को हल करने के लिए सबसे स्पष्ट तरीका सकारात्मक पूर्णांक की जांच करना है, 2 से शुरू करना, और 100 के साथ समाप्त होना, एक सकारात्मक विभाजक की उपस्थिति के लिए जो 1 से अधिक है और परीक्षण संख्या (विभाजन गुणों से कम) में, हम जानते हैं कि विभाजक का निरपेक्ष मान लाभांश के निरपेक्ष मान से अधिक नहीं है, अशून्य)। यदि ऐसा कोई विभाजक नहीं मिला है, तो जाँच की गई संख्या अभाज्य है, और इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में दर्ज किया जाता है। यदि ऐसा कोई विभाजक पाया जाता है, तो जाँच की गई संख्या समग्र है, यह अभाज्य संख्याओं की तालिका में दर्ज नहीं किया गया है। उसके बाद, अगले नंबर पर संक्रमण होता है, जो एक विभाजक की उपस्थिति के लिए समान रूप से जांचा जाता है।

पहले कुछ चरणों का वर्णन करते हैं।

हम नंबर 2 से शुरू करते हैं। संख्या 2 में कोई सकारात्मक विभाजक नहीं है, सिवाय 1 और 2 के। इसलिए, यह सरल है, इसलिए, हम इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में दर्ज करते हैं। यहाँ यह कहा जाना चाहिए कि 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है। 3 नंबर पर चल रहा है। 1 और 3 के अलावा इसका संभावित सकारात्मक विभाजक 2 है। लेकिन 3 2 से विभाज्य नहीं है, इसलिए, 3 एक अभाज्य संख्या है, और इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में दर्ज करने की भी आवश्यकता है। 4 नंबर पर चल रहा है। 1 और 4 के अलावा इसके पॉजिटिव डिवाइडर नंबर 2 और 3 हो सकते हैं, आइए इनकी जांच करें। संख्या 4 2 से विभाज्य है, इसलिए 4 एक संयुक्त संख्या है और इसे मुख्य तालिका में दर्ज करने की आवश्यकता नहीं है। इस तथ्य पर ध्यान दें कि 4 सबसे छोटी मिश्रित संख्या है। 5 नंबर पर चल रहा है। जांचें कि क्या संख्या 2, 3, 4 में से कम से कम एक इसका विभाजक है। चूंकि 5 2, 3 या 4 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह सरल है और इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में लिखा जाना चाहिए। फिर संख्या 6, 7 और इसी तरह 100 तक संक्रमण होता है।

Primes की तालिका संकलित करने का यह तरीका आदर्श से बहुत दूर है। एक तरह से या किसी अन्य, यह अस्तित्व का अधिकार है। ध्यान दें कि पूर्णांक की तालिका बनाने की इस पद्धति के साथ, आप विभाज्यता मानदंड का उपयोग कर सकते हैं, जो विभाजक खोजने की प्रक्रिया को थोड़ा गति देगा।

अभाज्य संख्याओं की तालिका संकलित करने का एक और अधिक सुविधाजनक तरीका है, जिसे कहा जाता है। नाम में मौजूद "छलनी" शब्द आकस्मिक नहीं है, क्योंकि इस विधि की कार्रवाई से मदद मिलती है, क्योंकि यह समग्र से प्रमुख को अलग करने के लिए, इरेटोस्थनीज पूरे संख्याओं, बड़ी इकाइयों की छलनी के माध्यम से "झारना" था।

आइए 50 की प्राइम्स की तालिका को संकलित करते समय एराटोस्थनीज की छलनी को कार्रवाई में दिखाएं।

सबसे पहले, हम क्रम में 2, 3, 4,…, 50 लिखते हैं।

पहला दर्ज नंबर 2 अभाज्य है। अब संख्या 2 से हम क्रमिक रूप से दो संख्याओं के दाईं ओर बढ़ते हैं और इन संख्याओं को पार करते हैं जब तक कि हम संख्याओं की तालिका के अंत तक संकलित नहीं हो जाते। यह सभी विभाज्य संख्याओं को पार कर जाएगा।

2 के बाद पहली बिना संख्या वाली संख्या 3 है। यह संख्या प्रधान है। अब नंबर 3 से हम क्रमिक रूप से दाईं ओर तीन संख्याओं को ध्यान में रखते हुए (पहले से ही पार हो चुकी संख्याओं को ध्यान में रखते हुए) और उन्हें पार करते हैं। यह तीन के सभी गुणकों को पार कर जाएगा।

3 के बाद पहली बिना संख्या वाली संख्या 5 है। यह संख्या प्रधान है। अब, संख्या 5 से, हम क्रमिक रूप से दाईं ओर 5 संख्याओं की ओर बढ़ते हैं (हम पहले पार किए गए संख्याओं को ध्यान में रखते हैं) और उन्हें पार करते हैं। यह पांच के सभी गुणकों को पार कर जाएगा।

फिर संख्याओं को पार करें जो 7 के गुणक हैं, फिर 11 के गुणक और इसी तरह। यह प्रक्रिया तब समाप्त होती है जब कोई संख्या पार करने के लिए शेष नहीं रह जाती है। नीचे 50 तक की primes की एक पूरी तालिका है, एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करके प्राप्त किया गया है। सभी अटूट संख्याएँ प्रधान हैं, और सभी स्ट्राइकथ्रू संख्याएँ संयुक्त हैं।

आइए एक प्रमेय तैयार करते हैं और साबित करते हैं कि एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करके अपराधों की एक तालिका तैयार करने की प्रक्रिया को गति देगा।

प्रमेय।

एक संयुक्त संख्या का सबसे छोटा धनात्मक और गैर-एक भाजक एक से अधिक नहीं होता है, जहां एक से होता है।

साक्ष्य।

बी को एक संयुक्त संख्या के सबसे छोटे और गैर-एक भाजक को निरूपित करें (संख्या बी अभाज्य है, जो पिछले खंड की शुरुआत में सिद्ध की गई प्रमेय से निम्न है)। फिर एक पूर्णांक q होता है जैसे कि a \u003d b q (यहाँ q एक धनात्मक पूर्णांक होता है, जो पूर्णांक को गुणा करने के नियमों से अनुसरण करता है), और (b\u003e q के लिए शर्त यह है कि b, a का सबसे कम विभाजक है, क्योंकि q। समानता के आधार पर संख्या का एक भाजक भी है a \u003d q b)। असमानता के दोनों पक्षों को एक से अधिक एक सकारात्मक पूर्णांक b से गुणा करना (हमें यह करने की अनुमति है), हम प्राप्त करते हैं, और।

एराटोस्थनीज की छलनी के विषय में सिद्ध प्रमेय हमें क्या देता है?

सबसे पहले, संयुक्त संख्याओं को पार करना जो एक प्रमुख बी के गुणक हैं, को एक संख्या के बराबर से शुरू करना चाहिए (यह असमानता से निम्नानुसार है)। उदाहरण के लिए, दो से गुणा करने वाली संख्याओं को पार करते हुए 4 से शुरू होना चाहिए, तीन के 9 से गुणा करना चाहिए, पांच के 25 से गुणा करना चाहिए, और इसी तरह।

दूसरे, Eratosthenes की छलनी का उपयोग करते हुए संख्या n तक primes की एक तालिका का संकलन तब पूरा माना जा सकता है जब सभी मिश्रित संख्या जो कि अभाज्य संख्याओं के गुणकों से अधिक हो, नष्ट नहीं होती हैं। हमारे उदाहरण में, n \u003d 50 (चूँकि हम 50 से अधिक primes की तालिका संकलित कर रहे हैं) और इसलिए, Eratosthenes की छलनी को सभी मिश्रित संख्याओं से बाहर निकालना चाहिए जो कि 2, 3, 5 और 7 के गुणक हैं और 50 के अंकगणितीय वर्गमूल से अधिक नहीं हैं। यही है, हमें अब उन संख्याओं की खोज करने और उन्हें पार करने की आवश्यकता नहीं है जो कि प्रधान संख्या 11, 13, 17, 19, 23 और इतने पर 47 तक हैं, क्योंकि वे पहले से ही छोटे अपराधों 2, 3, 5 और 7 के गुणकों के रूप में पार हो जाएंगे। ...

क्या यह संख्या प्रधान या समग्र है?

कुछ कार्यों के लिए यह पता लगाना आवश्यक है कि क्या दी गई संख्या प्रधान या समग्र है। सामान्य स्थिति में, यह कार्य आसान है, विशेष रूप से संख्याओं के लिए, जिनमें से एक महत्वपूर्ण संख्या में वर्णों की रिकॉर्डिंग शामिल है। ज्यादातर मामलों में, आपको इसे हल करने के लिए कुछ विशिष्ट तरीके की तलाश करनी होगी। हालांकि, हम सरल मामलों के लिए विचार की ट्रेन को एक दिशा देने की कोशिश करेंगे।

निस्संदेह, आप यह साबित करने के लिए विभाज्यता मानदंड का उपयोग करने की कोशिश कर सकते हैं कि दी गई संख्या समग्र है। यदि, उदाहरण के लिए, विभाज्यता के कुछ संकेत से पता चलता है कि दी गई संख्या एक से अधिक कुछ सकारात्मक पूर्णांक से विभाज्य है, तो मूल संख्या समग्र है।

उदाहरण।

साबित करें कि संख्या 898 989 898 989 898 989 समग्र है।

फेसला।

इस संख्या के अंकों का योग ९ 9 + ९ ९ \u003d ९ १s है। चूंकि 9 · 17 के बराबर संख्या 9 से विभाज्य है, इसलिए, 9 द्वारा विभाज्यता के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि मूल संख्या भी 9 से विभाज्य है। इसलिए, यह समग्र है।

इस दृष्टिकोण का एक महत्वपूर्ण दोष यह है कि विभाज्यता मानदंड किसी को यह साबित करने की अनुमति नहीं देते हैं कि एक संख्या प्रमुख है। इसलिए, जब यह सरल है या समग्र के लिए एक संख्या की जाँच करते हैं, तो आपको अलग तरह से कार्य करने की आवश्यकता होती है।

सबसे तार्किक दृष्टिकोण किसी दिए गए संख्या के सभी संभावित विभाजकों पर पुनरावृति करना है। यदि कोई भी संभावित विभाजक किसी दिए गए नंबर का वास्तविक विभाजक नहीं है, तो यह संख्या अभाज्य होगी, अन्यथा यह समग्र होगी। पिछले उप-धारा में सिद्ध किए गए प्रमेयों से, यह निम्नानुसार है कि किसी दिए गए नंबर के विभाजक को उन अपराधों के बीच खोजा जाना चाहिए जो अधिक नहीं हैं। इस प्रकार, एक दी गई संख्या को क्रमिक रूप से अभाज्य संख्याओं (जो कि अपराधों की तालिका से लेना सुविधाजनक हो) द्वारा विभाजित किया जा सकता है, संख्या के विभाजक को खोजने की कोशिश कर रहा है। यदि भाजक पाया जाता है, तो संख्या a संयुक्त है। यदि, अधिक नहीं होने वाले अपराधों में, संख्या a का कोई विभाजक नहीं है, तो संख्या a अभाज्य है।

उदाहरण।

संख्या 11 723 सरल या यौगिक?

फेसला।

आइए जानें कि संख्या 11 723 के भाजक किस प्राइम संख्या में हो सकते हैं। इसके लिए हम अनुमान लगाएंगे।

यह काफी स्पष्ट है कि , चूंकि 200 2 \u003d 40 000, और 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью संख्याओं की तुलना)। इस प्रकार, 11,723 के लिए संभावित प्रमुख कारक 200 से कम हैं। यह पहले से ही हमारे कार्य को बहुत सुविधाजनक बनाता है। अगर हमें यह पता नहीं था, तो हमें 200 से अधिक नहीं, बल्कि 11 723 नंबर तक के सभी अपराधों पर चलना होगा।

यदि वांछित है, तो आप अधिक सटीक अनुमान लगा सकते हैं। चूंकि 108 2 \u003d 11 664, और 109 2 \u003d 11 881, फिर 108 2<11 723<109 2 , следовательно, ... इस प्रकार, 109 से कम किसी भी अपराध में संभावित रूप से दी गई संख्या 11,723 का एक प्रमुख विभाजक है।

अब हम क्रमांक 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 द्वारा क्रमांक 11 723 को विभाजित करेंगे। , 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107। यदि संख्या 11,723 पूरी तरह से एक दर्ज की गई प्रमुख संख्याओं से विभाजित होती है, तो यह समग्र होगी। यदि यह किसी भी लिखित अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है, तो मूल संख्या अभाज्य है।

हम विभाजन की इस पूरी नीरस और नीरस प्रक्रिया का वर्णन नहीं करेंगे। ठीक है कि 11 723 कहते हैं

अभाज्य संख्या

एक प्राकृतिक संख्या जो एक से अधिक होती है और जिसमें स्वयं के अलावा कोई अन्य विभाजक नहीं होता है और एक: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... अपराधों की संख्या अनंत है।

अभाज्य संख्या

एक से अधिक धनात्मक पूर्णांक, स्वयं के अलावा कोई अन्य विभाजक नहीं है: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... एक पी। संख्या की अवधारणा प्राकृतिक की विभाज्यता के अध्ययन में मौलिक है (सकारात्मक पूर्णांक) संख्या; अर्थात्, विभाज्यता के सिद्धांत का मुख्य प्रमेय यह स्थापित करता है कि 1 के अलावा प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक एक पी। संख्या के गुणनखंड में अनियंत्रित रूप से विघटित हो सकता है (कारकों का क्रम इस मामले में ध्यान में नहीं लिया जाता है)। असीम रूप से कई संख्याएँ हैं (यह प्रस्ताव पहले से ही प्राचीन यूनानी गणितज्ञों को ज्ञात था, इसका प्रमाण यूक्लिड के तत्वों की 9 वीं पुस्तक में है)। प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के प्रश्न, और परिणामस्वरूप, समूहों के अध्ययन में आंशिक संख्या से संबंधित प्रश्न महत्वपूर्ण हैं; विशेष रूप से, तत्वों की एक सीमित संख्या के साथ एक समूह की संरचना उस तरह से संबंधित है जिसमें तत्वों की यह संख्या (समूह का क्रम) मुख्य कारकों में विघटित हो जाती है। बीजीय संख्याओं के सिद्धांत में, अभिन्न बीजीय संख्याओं की विभाज्यता के प्रश्नों पर विचार किया जाता है; विभाज्यता के सिद्धांत के निर्माण के लिए एक आंशिक संख्या की अवधारणा अपर्याप्त हो गई - इससे एक आदर्श की अवधारणा का निर्माण हुआ। P.G.L.Dirichlet की स्थापना 1837 में हुई थी कि अंकगणितीय प्रगति a + bx के लिए x \u003d 1, 2, ... के साथ कोमप्राइम पूर्णांक a और b में असीम रूप से कई P. h होते हैं। P। H के वितरण का निर्धारण स्वाभाविक रूप से होता है। संख्याओं की संख्या संख्या सिद्धांत में एक बहुत ही कठिन समस्या है। इसे फ़ंक्शन p (x) के एसिम्प्टोटिक व्यवहार के अध्ययन के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जो सकारात्मक संख्या x से अधिक नहीं पी नंबर की संख्या को दर्शाता है। इस दिशा में पहला परिणाम पी। एल। चेबीशेव के कारण हुआ, जिन्होंने 1850 में यह साबित कर दिया कि ए और ए दो ऐसे हैं< p(x) < ═при любых x ³ 2 [т. е., что p(х) растет, как функция ]. Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотический закон распределения П. ч. (Ж. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения p(х) к ═равен

इसके बाद, गणितज्ञों के महत्वपूर्ण प्रयासों को पी। संख्याओं के वितरण के स्पर्शोन्मुख नियम को स्पष्ट करने के लिए निर्देशित किया गया था। पी। संख्याओं के वितरण के सवालों का प्रारंभिक तरीकों और गणितीय विश्लेषण के तरीकों से दोनों का अध्ययन किया जाता है। विशेष रूप से उपयोगी पहचान के उपयोग के आधार पर विधि है

(कार्य सभी P. भागों p \u003d 2, 3, ...) तक फैला हुआ है, सबसे पहले L. Euler ने संकेत दिया था; यह पहचान एक से अधिक वास्तविक भाग के साथ सभी जटिल s के लिए मान्य है। इस पहचान के आधार पर, P. नंबरों के वितरण के प्रश्न विशेष फ़ंक्शन के अध्ययन में कम हो जाते हैं function zeta-function x (s), जिसे श्रृंखला द्वारा Res\u003e 1 के लिए परिभाषित किया गया है।

इस समारोह का उपयोग पी। एच। के वितरण के प्रश्नों में किया गया था। चेबीशेव द्वारा वास्तविक एस के लिए; बी। रीमैन ने s के जटिल मूल्यों के लिए x (s) के अध्ययन का महत्व बताया। रीमैन ने अनुमान लगाया कि समीकरण की सभी जड़ें x (s) \u003d दाएं आधे तल में स्थित हैं, जिसका वास्तविक भाग 1 / / के बराबर है

यह परिकल्पना आज तक (1975) सिद्ध नहीं हुई है; इसका प्रमाण पी। संख्याओं के वितरण की समस्या को हल करने में बहुत हद तक मदद करेगा। पी। संख्याओं के वितरण के प्रश्न "जुड़वाँ" की अभी तक अनसुलझी समस्या और विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की अन्य समस्याओं के साथ, गोल्डबैक समस्या से निकटता से जुड़े हैं। "जुड़वाँ" की समस्या का पता लगाना है, निश्चित रूप से या असीम रूप से, पी। एच। की संख्या, 2 से भिन्न (जैसे, उदाहरण के लिए, 11 और 13 के रूप में)। पी। एच। के टेबल्स, पहले 11 मिलियन प्राकृतिक संख्याओं के भीतर स्थित, बहुत बड़े "जुड़वाँ" (उदाहरण के लिए, 10006427 और 10006429) की उपस्थिति दर्शाते हैं, लेकिन यह उनकी संख्या के अनंतता का प्रमाण नहीं है। संकलित तालिकाओं के बाहर, व्यक्तिगत पी। एच। ज्ञात हैं, एक सरल अंकगणितीय अभिव्यक्ति को स्वीकार करते हैं [उदाहरण के लिए, यह स्थापित किया गया था (1965) कि 12211213 iled1 पी। एच है; इसमें 3376 अंक हैं]।

लिट ।: विनोग्रादोव IM।, मूल सिद्धांतों की संख्या सिद्धांत, 8 वां संस्करण। मास्को, 1972; हस जी, नंबर थ्योरी पर व्याख्यान, ट्रांस। इससे ;, एम।, 1953; इनगैम ए.ई., वितरण का वितरण, ट्रांस। अंग्रेजी से, एम।। एल।, 1936; प्रहार के।, अभाज्य संख्याओं का वितरण, ट्रांस। इससे, एम।, 1967; ट्रॉस्ट ई।, प्राइम नंबर, लेन, इसके साथ।, एम।, 1959।

विकिपीडिया

अभाज्य संख्या

अभाज्य संख्या - एक प्राकृतिक संख्या जिसमें दो अलग-अलग प्राकृतिक विभाजक हैं - और स्वयं। दूसरे शब्दों में, संख्या एक्स सरल है अगर यह 1 से अधिक है और केवल 1 से विभाज्य है एक्स... उदाहरण के लिए, 5 एक अभाज्य संख्या है, और 6 एक संयुक्त संख्या है, क्योंकि, 1 और 6 के अलावा, यह 2 और 3 से विभाज्य भी है।

प्राकृतिक संख्याएँ जो एक से अधिक हैं और अभाज्य नहीं हैं, उन्हें मिश्रित संख्याएँ कहा जाता है। इस प्रकार, सभी प्राकृतिक संख्याओं को तीन वर्गों में विभाजित किया जाता है: इकाई। संख्या सिद्धांत प्रमुख संख्याओं के गुणों के अध्ययन से संबंधित है। रिंग थ्योरी में, irreducible तत्व अभाज्य संख्याओं के अनुरूप होते हैं।

इस तरह शुरू होता है अपराधों का एक क्रम:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 …

• स्थानांतरण

प्राइम नंबरों के गुणों का अध्ययन सबसे पहले प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों द्वारा किया गया था। पायथागॉरियन स्कूल (500 - 300 ईसा पूर्व) के गणितज्ञ मुख्य रूप से अभाज्य संख्याओं के रहस्यमय और संख्यात्मक गुणों में रुचि रखते थे। वे सही और मैत्रीपूर्ण संख्याओं के विचार के साथ आने वाले पहले व्यक्ति थे।

एक पूर्ण संख्या में अपने स्वयं के बराबर के भाजक होते हैं। उदाहरण के लिए, 6 के उचित भाजक 1, 2 और 3.1 + 2 + 3 \u003d 6. संख्या 28 में 1, 2, 4, 7 और 14 के भाजक हैं। इसके अलावा, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 \u003d 28।

संख्याओं को अनुकूल कहा जाता है यदि एक संख्या के समुचित विभाजकों का योग दूसरे के बराबर है, और इसके विपरीत - उदाहरण के लिए, 220 और 284। हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण संख्या स्वयं के लिए अनुकूल है।

यूक्लिड के काम की शुरुआत तक 300 ईसा पूर्व में "शुरुआत"। अभाज्य संख्याओं के बारे में कई महत्वपूर्ण तथ्य पहले ही सिद्ध हो चुके हैं। शुरुआत के बुक IX में, यूक्लिड ने साबित किया कि अनंत संख्या में प्राइम हैं। यह, संयोग से, विरोधाभास द्वारा सबूत के उपयोग के पहले उदाहरणों में से एक है। वह अंकगणित के मुख्य सिद्धांत को भी सिद्ध करता है - प्रत्येक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है।

उन्होंने यह भी दिखाया कि यदि संख्या 2 n -1 अभाज्य है, तो संख्या 2 n-1 * (2 n -1) परिपूर्ण होगी। एक और गणितज्ञ, ईयुलर, 1747 में यह दिखाने में सक्षम था कि सभी पूर्ण संख्याओं को इस रूप में भी लिखा जा सकता है। आज तक, यह अज्ञात है कि क्या विषम संख्याएं मौजूद हैं।

वर्ष 200 ई.पू. ग्रीक इरेटोस्थनीज प्राइम नंबर की खोज के लिए एक एल्गोरिथ्म के साथ आया था जिसे "सेवोस्टेनीज की छलनी" कहा जाता है।

और फिर मध्य युग से जुड़े अभाज्य संख्याओं के अध्ययन के इतिहास में एक बड़ा विराम था।

निम्नलिखित खोजें 17 वीं शताब्दी की शुरुआत में गणितज्ञ फ़र्मेट द्वारा बनाई गई थीं। उन्होंने अल्बर्ट गिरार्ड के अनुमान को साबित किया कि फॉर्म 4n + 1 के किसी भी अभाज्य संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है, और एक प्रमेय भी तैयार किया गया है कि किसी भी संख्या को चार वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उन्होंने बड़ी संख्याओं को स्पष्ट करने के लिए एक नई पद्धति विकसित की, और इसे संख्या 2027651281 \u003d 44021 × 46061 पर प्रदर्शित किया। उन्होंने फ़र्मेट के लिटिल प्रमेय को भी सिद्ध किया: यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो किसी भी पूर्णांक के लिए यह a p \u003d modulo p होगा।

यह कथन "चीनी परिकल्पना" के रूप में जाना जाता है का आधा साबित होता है और 2000 साल पहले की तारीखें: एक पूर्णांक n अभाज्य है अगर केवल और केवल 2 n -2 n द्वारा विभाज्य है। परिकल्पना का दूसरा हिस्सा गलत निकला - उदाहरण के लिए, 2341 - 2 341 से विभाज्य है, हालांकि 341 समग्र है: 341 \u003d 31 × 11।

फ़र्म के लिटिल प्रमेय ने संख्या सिद्धांत में कई अन्य परिणामों के आधार के रूप में कार्य किया और अभाज्य संख्याओं के परीक्षण के लिए विधियों की संख्या - जिनमें से कई आज भी उपयोग में हैं।

फर्मेट ने अपने समकालीनों के साथ बहुत मेल किया, विशेष रूप से मरीन मेर्सेन नामक एक भिक्षु के साथ। अपने एक पत्र में, उन्होंने कहा कि फॉर्म 2 n +1 की संख्या हमेशा अभाज्य होगी यदि n दो की शक्ति है। उन्होंने n \u003d 1, 2, 4, 8, और 16 के लिए यह जाँच की, और आश्वस्त थे कि जिस स्थिति में n दो की शक्ति नहीं है, संख्या आवश्यक रूप से सरल नहीं है। इन नंबरों को फ़र्मेट की संख्या कहा जाता है, और केवल 100 साल बाद यूलर ने दिखाया कि अगली संख्या, 2 32 + 1 \u003d 4294967297 641 से विभाज्य है, और इसलिए यह प्रमुख नहीं है।

फॉर्म 2 एन - 1 की संख्या भी शोध का विषय थी, क्योंकि यह दिखाना आसान है कि यदि एन समग्र है, तो संख्या खुद भी समग्र है। इन नंबरों को मेरसेन नंबर कहा जाता है क्योंकि उन्होंने सक्रिय रूप से उनका अध्ययन किया था।

लेकिन फॉर्म 2 एन - 1 के सभी नंबर, जहां एन प्राइम है, प्राइम हैं। उदाहरण के लिए, 2 11 - 1 \u003d 2047 \u003d 23 * 89. यह पहली बार 1536 में खोजा गया था।

कई वर्षों के लिए, इस तरह की संख्या ने गणितज्ञों को सबसे बड़ी ज्ञात प्रमुख संख्या दी है। कैटरी द्वारा 1588 में एम 19 की संख्या साबित हुई थी, और 200 साल तक सबसे बड़ी ज्ञात संख्या थी जब तक कि यूलर ने यह साबित नहीं किया कि एम 31 भी प्रमुख था। यह रिकॉर्ड एक और सौ साल तक चला, और फिर लुकास ने दिखाया कि एम 127 सरल है (और यह पहले से ही 39 अंकों की संख्या है), और इसके बाद, कंप्यूटर के आगमन के साथ अनुसंधान जारी रहा।

1952 में, एम 521, एम 607, एम 1279, एम 2203 और एम 2281 संख्याओं की सादगी साबित हुई थी।

2005 तक, 42 मेर्सेन प्राइम्स पाए गए हैं। उनमें से सबसे बड़ा, एम 25964951, 7,816,230 अंकों के होते हैं।

ईयूलर के काम का प्रमुख संख्याओं सहित संख्या के सिद्धांत पर बहुत प्रभाव पड़ा। उन्होंने Fermat की लिटिल प्रमेय को बढ़ाया और function-function की शुरुआत की। फैक्टरटेड फ़र्मैट के 5 वें नंबर 2 32 +1 में 60 जोड़े अनुकूल संख्या में पाए गए, और द्विघात पारस्परिकता कानून तैयार (लेकिन साबित नहीं कर सके)।

वह गणितीय विश्लेषण के तरीकों को पेश करने वाले पहले व्यक्ति थे और संख्याओं के विश्लेषणात्मक सिद्धांत को विकसित किया। उन्होंने साबित किया कि न केवल एक हार्मोनिक श्रृंखला ∑ (1 / n), बल्कि रूप की एक श्रृंखला भी

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

अभाज्य संख्याओं के विलोम द्वारा प्राप्त योग भी विचलन करता है। हार्मोनिक श्रृंखला के एन शब्दों का योग लगभग लॉग (एन) की तरह बढ़ता है, और दूसरी श्रृंखला लॉग की तरह अधिक धीरे-धीरे विचलन करती है, जैसे लॉग (एन (एन))। इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, तिथि करने के लिए पाए गए सभी अपराधों के लिए प्रतिफल का योग केवल 4 देगा, हालांकि श्रृंखला अभी भी विचलन कर रही है।

पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि पूर्णांकों के बीच बेतरतीब ढंग से वितरण वितरित किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, १०,०००,००० से ठीक पहले के १०० नंबरों में से ९ प्राइम हैं, और इस मान के तुरंत बाद १०० नंबरों में से केवल २ हैं। लेकिन बड़े सेगमेंट पर, प्राइम्स काफी समान रूप से वितरित किए जाते हैं। लीजेंड्रे और गॉस ने अपने वितरण से निपटा। गॉस ने एक बार एक मित्र को बताया कि किसी भी 15 मिनट में वह हमेशा अगले 1000 नंबरों की संख्या की गिनती करता है। अपने जीवन के अंत तक, उन्होंने 3 मिलियन तक की सभी प्रमुख संख्याओं को गिना। लीजेंड्रे और गॉस ने समान रूप से गणना की कि बड़े एन के लिए प्रमुख घनत्व 1 / लॉग (एन) है। लीजेंड्रे ने अनुमान लगाया कि 1 से लेकर n तक की रेंज में कितने अपराध हैं

\u003d (एन) \u003d एन / (लॉग (एन) - 1.08366)

और गॉस - एक लघुगणक अभिन्न के रूप में

∫ (एन) \u003d \u003d 1 / लॉग (टी) डीटी

2 से n तक एकीकरण अंतराल के साथ।

अभाज्य संख्या 1 / log (n) के घनत्व के बारे में कथन को अभाज्य संख्या प्रमेय के रूप में जाना जाता है। उन्होंने इसे पूरे 19 वीं शताब्दी में साबित करने की कोशिश की, और चेबीशेव और रीमैन ने प्रगति की। उन्होंने इसे रीमैन की परिकल्पना से जोड़ा, रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य के वितरण पर अभी भी अप्रमाणित परिकल्पना। अभाज्य संख्याओं का घनत्व एक साथ 1896 में हदामर्ड और डे ला वाल्सी-पोस्पिन द्वारा सिद्ध किया गया था।

प्राइम नंबर थ्योरी में अभी भी कई अनसुलझे सवाल हैं, जिनमें से कुछ सैकड़ों साल पुराने हैं:

• जुड़वां अपराधों के बारे में अनुमान - एक दूसरे से भिन्न होने वाले दो जोड़े जोड़े के बारे में
• गोल्डबैक का अनुमान: कोई भी संख्या, जिसकी शुरुआत 4 से होती है, को दो अपराधों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है
• क्या प्रपत्र n 2 + 1 की अनंत संख्या है?
• क्या हमेशा n 2 और (n + 1) 2 के बीच की अभाज्य संख्या ज्ञात करना संभव है? (तथ्य यह है कि हमेशा n और 2n के बीच एक प्रमुख संख्या होती है जो चेबिशेव द्वारा सिद्ध की गई थी)
• क्या Fermat के प्राइम अनंत हैं? क्या 4 के बाद कोई फ़र्मैट प्राइम हैं?
• क्या किसी दी गई लंबाई के लिए लगातार प्राइम की अंकगणितीय प्रगति है? उदाहरण के लिए, लंबाई 4: 251, 257, 263, 269 के लिए। अधिकतम लंबाई 26 मिली है।
• क्या अंकगणितीय प्रगति में लगातार तीन अपराधों के सेट की एक अनंत संख्या है?
• n 2 - n + 41 0 ≤ n Is 40 के लिए एक प्रमुख संख्या है। क्या इस तरह के अपराधों की अनंत संख्या है? सूत्र n 2 - 79 n + 1601 के लिए एक ही प्रश्न। ये संख्या 0 ≤ n। 79 के लिए अभाज्य हैं।
• क्या असीम रूप से कई अपराध हैं जैसे n # + 1? (n # सभी primes को n से कम गुणा करने का परिणाम है)
• क्या n # -1 जैसे असीम रूप से कई अपराध हैं?
• क्या n की तरह अनंत संख्या में primes है! + 1?
• क्या n की तरह अनंत संख्या में primes है! - 1?
• यदि p अभाज्य है, तो 2 p -1 हमेशा कारकों के बीच कोई अभाज्य संख्या नहीं रखता है
• क्या फिबोनाची अनुक्रम में अनंत संख्या में अपराध होते हैं?

Primes के बीच सबसे बड़े जुड़वाँ 2003663613 × 2 195000 pr 1. वे 58711 अंक हैं और 2007 में पाए गए थे।

सबसे बड़ा भाज्य प्रधान (प्रपत्र n का! Is 1) 147855 है! - 1. इसमें 142,891 अंक होते हैं और यह 2002 में पाया गया था।

सबसे बड़ा प्राइम प्राइम (संख्या # n # is 1 की तरह) 1098133 # + 1 है।

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विभाजकों की गणना। परिभाषा के अनुसार, संख्या n केवल तभी सरल है जब यह 2 और पूर्णांक 1 और स्वयं के अलावा अन्य विभाज्य नहीं है। उपरोक्त सूत्र आपको अनावश्यक चरणों को हटाने और समय बचाने की अनुमति देता है: उदाहरण के लिए, यह जांचने के बाद कि क्या संख्या 3 से विभाज्य है, यह जाँचने की आवश्यकता नहीं है कि क्या यह 9 से विभाज्य है।

• मंजिल (x) x के निकटतम x पूर्णांक से x के बराबर या उसके बराबर गोल है।

मॉड्यूलर अंकगणित के बारे में जानें। ऑपरेशन "x mod y" (आधुनिक लैटिन शब्द "modulo" के लिए छोटा है, अर्थात, "मॉड्यूल") का अर्थ है "x को y से विभाजित करें और शेष ढूंढें।" दूसरे शब्दों में, मॉड्यूलर अंकगणित में, एक निश्चित मूल्य तक पहुंचने पर, जिसे कहा जाता है मापांकसंख्या फिर से "शून्य" हो जाती है। उदाहरण के लिए, घड़ी मॉड्यूल 12 के साथ नीचे गिना जाता है: यह 10, 11 और 12 बजे दिखाता है और फिर 1 पर लौटता है।

• कई कैलकुलेटरों में एक आधुनिक कुंजी होती है। इस अनुभाग का अंत आपको दिखाता है कि बड़ी संख्या के लिए मैन्युअल रूप से इस फ़ंक्शन की गणना कैसे करें।