Formule za raztezanje sinusov in kosinusov. Kupite visokošolsko diplomo poceni

Nadaljujemo pogovor o najpogosteje uporabljenih formulah v trigonometriji. Najpomembnejše med njimi so formule za seštevanje.

Opredelitev 1

Formule seštevanja vam omogočajo, da izrazite funkcije razlike ali vsote dveh kotov z uporabo trigonometričnih funkcij teh kotov.

Za začetek bomo predstavili celoten seznam formule seštevanja, potem jih bomo dokazali in analizirali nekaj ilustrativnih primerov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Osnovne formule seštevanja v trigonometriji

Obstaja osem osnovnih formul: sinus vsote in sinus razlike dveh kotov, kosinus vsote in razlike, tangente in kotangense vsote in razlike. Spodaj so njihove standardne formulacije in izračuni.

1. Sinus vsote dveh kotov lahko dobimo na naslednji način:

Izračunamo produkt sinusa prvega kota s kosinusom drugega;

Pomnožite kosinus prvega kota s sinusom prvega;

Seštejte nastale vrednosti.

Grafično pisanje formule izgleda takole: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2. Sinus razlike se izračuna na skoraj enak način, le da dobljenih produktov ne smemo seštevati, temveč odštevati drug od drugega. Tako izračunamo produkte sinusa prvega kota s kosinusom drugega in kosinusom prvega kota s sinusom drugega in poiščemo njuno razliko. Formula je zapisana takole: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β

3. Kosinus vsote. Zanj najdemo produkte kosinusa prvega kota s kosinusom drugega in sinusom prvega kota s sinusom drugega in poiščemo njihovo razliko: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4. Kosinusna razlika: kot prej izračunamo produkte sinusov in kosinusov danih kotov in jih seštejemo. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangent vsote. Ta formula je izražena kot ulomek, v števcu katerega je vsota tangent želenih kotov, v imenovalcu pa enota, od katere se odšteje produkt tangent želenih kotov. Vse je jasno iz njenega grafičnega zapisa: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β

6. Tangenta razlike. Izračunamo vrednosti razlike in produkt tangent teh kotov in jih obravnavamo na podoben način. V imenovalcu dodamo enemu in ne obratno: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

7. Kotangens vsote. Za izračune po tej formuli potrebujemo zmnožek in vsoto kotangensov teh kotov, pri čemer nadaljujemo na naslednji način: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β

8. Kotangens razlike . Formula je podobna prejšnji, vendar v števcu in imenovalcu - minus in ne plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.

Verjetno ste opazili, da so te formule parno podobne. Z uporabo znakov ± (plus-minus) in ∓ (minus-plus) ju lahko združimo zaradi lažjega zapisovanja:

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ g t g α β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

V skladu s tem imamo eno snemalno formulo za vsoto in razliko vsake vrednosti, le v enem primeru smo pozorni na zgornji znak, v drugem - na spodnji.

2. opredelitev

Vzamemo lahko poljubne kote α in β, zanje pa bodo delovale formule seštevanja za kosinus in sinus. Če lahko pravilno določimo vrednosti tangent in kotangensov teh kotov, potem bodo zanje veljale tudi formule za seštevanje tangente in kotangensa.

Kot večina pojmov v algebri je mogoče dokazati formule za seštevanje. Prva formula, ki jo bomo dokazali, je formula kosinusa razlike. Iz nje potem zlahka razbereš preostale dokaze.

Pojasnimo osnovne pojme. Potrebujemo enotni krog. Izkazalo se bo, če vzamemo določeno točko A in zasukamo okoli središča (točke O) kota α in β. Potem bo kot med vektorjema O A 1 → in O A → 2 enak (α - β) + 2 π z ali 2 π - (α - β) + 2 π z (z je poljubno celo število). Nastali vektorji tvorijo kot, ki je enak α - β ali 2 π - (α - β) , ali pa se od teh vrednosti razlikuje za celo število popolnih vrtljajev. Poglejte si sliko:

Uporabili smo formule redukcije in dobili naslednje rezultate:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Pod črto: kosinus kota med vektorjema O A 1 → in O A 2 → je enak kosinsu kota α - β, torej cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .

Spomnimo se definicij sinusa in kosinusa: sinus je funkcija kota, ki je enak razmerju med krakom nasprotnega kota in hipotenuzo, kosinus je sinus dodatnega kota. Zato točke A 1 in A2 imajo koordinate (cos α , sin α) in (cos β , sin β) .

Dobimo naslednje:

O A 1 → = (cos α , sin α) in O A 2 → = (cos β , sin β)

Če ni jasno, si oglejte koordinate točk, ki se nahajajo na začetku in koncu vektorjev.

Dolžine vektorjev so enake 1, ker imamo en sam krog.

Analizirajmo zdaj skalarni produkt vektorjev O A 1 → in O A 2 → . V koordinatah izgleda takole:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β

Iz tega lahko razberemo enakost:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Tako je formula za kosinus razlike dokazana.

Zdaj bomo dokazali naslednjo formulo - kosinus vsote. To je lažje, ker lahko uporabimo prejšnje izračune. Vzemite predstavitev α + β = α - (- β) . Imamo:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

To je dokaz formule za kosinus vsote. Zadnja vrstica uporablja lastnost sinusa in kosinusa nasprotnih kotov.

Formulo za sinus vsote lahko izpeljemo iz formule za kosinus razlike. Za to vzemimo formulo za zmanjšanje:

v obliki sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Torej
sin (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

In tukaj je dokaz formule za sinus razlike:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Upoštevajte uporabo lastnosti sinusa in kosinusa nasprotnih kotov v zadnjem izračunu.

Nato potrebujemo dokaze o formulah seštevanja za tangento in kotangens. Spomnimo se osnovnih definicij (tangenta je razmerje med sinusom in kosinusom, kotangens pa obratno) in vzemimo formule, ki so že izpeljane vnaprej. Uspelo nam je:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Imamo ga sestavljena frakcija. Nato moramo njegov števec in imenovalec deliti s cos α cos β , glede na to, da sta cos α ≠ 0 in cos β ≠ 0 , dobimo:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos α β cos β - sin α sin β cos α cos β

Zdaj zmanjšamo ulomke in dobimo formulo naslednje vrste: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β .
Dobili smo t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . To je dokaz formule za dodajanje tangente.

Naslednja formula, ki jo bomo dokazali, je formula tangente razlike. Vse je jasno prikazano v izračunih:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Formule za kotangens so dokazane na podoben način:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
Nadalje:
c t g (α - β) = c t g   (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g

Referenčni podatki za tangento (tg x) in kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, lastnosti, grafi, formule. Tabela tangent in kotangens, odvodov, integralov, serijskih raztezkov. Izrazi skozi kompleksne spremenljivke. Povezava s hiperboličnimi funkcijami.

Geometrijska definicija

|BD| - dolžina loka kroga s središčem v točki A.
α je kot, izražen v radianih.

Tangenta ( tgα) je trigonometrična funkcija, ki je odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, enaka razmerju dolžine nasprotnega kraka |BC| na dolžino sosednjega kraka |AB| .

kotangens ( ctgα) je trigonometrična funkcija, ki je odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, enaka razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotne noge |BC| .

Tangenta

Kje n- cela.

V zahodni literaturi je tangenta označena na naslednji način:
.
;
;
.

Graf tangentne funkcije, y = tg x

Kotangens

Kje n- cela.

V zahodni literaturi je kotangens označen na naslednji način:
.
Sprejet je bil tudi naslednji zapis:
;
;
.

Graf kotangensne funkcije, y = ctg x

Lastnosti tangente in kotangensa

Periodičnost

Funkcije y= tg x in y= ctg x so periodične z obdobjem π.

Pariteta

Funkciji tangent in kotangens sta lihi.

Področja definicij in vrednosti, naraščajoče, padajoče

Funkciji tangenta in kotangens sta neprekinjeni na svoji domeni definicije (glej dokaz kontinuitete). Glavne lastnosti tangente in kotangensa so predstavljene v tabeli ( n- celo število).

	y= tg x	y= ctg x
Obseg in kontinuiteta
Razpon vrednosti	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Naraščajoče		-
Padajoče	-
Ekstremi	-	-
Ničele, y= 0
Točke presečišča z osjo y, x = 0	y= 0	-

Formule

Izrazi v obliki sinusa in kosinusa

; ;
; ;
;

Formule za tangente in kotangense vsote in razlike

Preostale formule je na primer enostavno dobiti

Produkt tangent

Formula za vsoto in razliko tangent

Ta tabela prikazuje vrednosti tangentov in kotangensov za nekatere vrednosti argumenta.

Izrazi v obliki kompleksnih števil

Izrazi v smislu hiperboličnih funkcij

;
;

Odvod

; .

.
Izpeljanka n-toga reda glede na spremenljivko x funkcije:
.
Izpeljava formul za tangento >> > ; za kotangens >> >

Integrali

Razširitve v serije

Če želite dobiti razširitev tangente po potencih x, morate vzeti več členov razširitve v potenčnem nizu za funkcije greh x in cos x in razdeli te polinome drug v drugega , . Rezultat tega so naslednje formule.

Ob .

pri .
kje B n- Bernoullijeve številke. Določijo se bodisi iz razmerja ponavljanja:
;
;
kje .
Ali po Laplaceovi formuli:

Inverzne funkcije

Inverzni funkciji tangenti in kotangensu sta arktangens oziroma arkkotangens.

Arktangent, arctg

, kje n- cela.

Arc tangenta, arcctg

, kje n- cela.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik za matematiko za inženirje in študente visokošolskih zavodov, Lan, 2009.
G. Korn, Priročnik za matematiko za raziskovalce in inženirje, 2012.

Koncepti sinus (), kosinus (), tangenta (), kotangens () so neločljivo povezani s konceptom kota. Da bi dobro razumeli te na prvi pogled zapletene koncepte (ki pri mnogih šolarjih povzročajo grozo) in se prepričali, da "hudič ni tako strašen, kot je naslikan", začnimo od samega začetka in razumemo koncept kota.

Koncept kota: radian, stopinja

Poglejmo si sliko. Vektor se je glede na točko "obrnil" za določeno količino. Torej bo mera te rotacije glede na začetni položaj injekcija.

Kaj še morate vedeti o pojmu kota? No, enote kota, seveda!

Kot, tako v geometriji kot trigonometriji, je mogoče meriti v stopinjah in radianih.

Imenuje se kot (ena stopinja). osrednji kotiček v krogu, ki temelji na krožnem loku, ki je enak delu kroga. Tako je celoten krog sestavljen iz "kosov" krožnih lokov ali pa je kot, ki ga opisuje krog, enak.

To pomeni, da zgornja slika prikazuje kot, ki je enak, to pomeni, da ta kot temelji na krožnem loku velikosti oboda.

Kot v radianih se imenuje osrednji kot v krogu, ki temelji na krožnem loku, katerega dolžina je enaka polmeru kroga. No, si razumel? Če ne, potem poglejmo sliko.

Torej, slika prikazuje kot, enak radianu, to pomeni, da ta kot temelji na krožnem loku, katerega dolžina je enaka polmeru kroga (dolžina je enaka dolžini ali je polmer enak dolžina loka). Tako se dolžina loka izračuna po formuli:

Kje je osrednji kot v radianih.

No, če to veste, lahko odgovorite, koliko radianov vsebuje kot, ki ga opisuje krog? Da, za to si morate zapomniti formulo za obseg kroga. tukaj je:

No, zdaj pa povejmo ti dve formuli in dobimo, da je kot, ki ga opisuje krog, enak. To pomeni, da koreliramo vrednost v stopinjah in radianih, dobimo to. Oziroma, . Kot lahko vidite, je za razliko od "stopinj" beseda "radian" izpuščena, saj je merska enota običajno jasna iz konteksta.

Koliko je radianov? Tako je!

Razumem? Nato pritrdite naprej:

Kakšne težave? Potem poglej odgovori:

Pravokotni trikotnik: sinus, kosinus, tangenta, kotangens kota

Torej, z ugotovljenim konceptom kota. Toda kaj je sinus, kosinus, tangenta, kotangens kota? Ugotovimo. Pri tem nam bo pomagal pravokoten trikotnik.

Kako se imenujejo stranice pravokotnega trikotnika? Tako je, hipotenuza in kraki: hipotenuza je stran, ki leži nasproti pravega kota (v našem primeru je to stranica); noge sta dve preostali strani in (tisti, ki mejijo na pravi kot), poleg tega, če upoštevamo noge glede na kot, potem je noga sosednja noga, noga pa je nasprotna. Torej, zdaj odgovorimo na vprašanje: kaj so sinus, kosinus, tangent in kotangens kota?

Sinus kota je razmerje med nasprotnim (daljnim) krakom in hipotenuzo.

v našem trikotniku.

Kosinus kota- to je razmerje med sosednjim (tesnim) krakom in hipotenuzo.

v našem trikotniku.

Kotna tangenta- to je razmerje nasprotne (daljne) noge do sosednje (bližnje).

v našem trikotniku.

Kotangens kota- to je razmerje med sosednjo (bližnjo) nogo in nasprotno (daleč).

v našem trikotniku.

Te opredelitve so potrebne spomni se! Da si boste lažje zapomnili, katero nogo deliti s čim, morate to jasno razumeti tangenta in kotangens samo noge sedijo, hipotenuza pa se pojavi samo v sinus in kosinus. In potem lahko ustvarite verigo asociacij. Na primer tale:

kosinus→ dotik→ dotik→ sosednji;

Kotangens→ dotik→ dotik→ sosednji.

Najprej se je treba spomniti, da sinus, kosinus, tangenta in kotangens kot razmerja stranic trikotnika niso odvisni od dolžin teh stranic (pod enim kotom). Ne verjemi? Nato se prepričajte s pogledom na sliko:

Upoštevajte na primer kosinus kota. Po definiciji iz trikotnika: , lahko pa iz trikotnika izračunamo kosinus kota: . Vidite, dolžine stranic so različne, vendar je vrednost kosinusa enega kota enaka. Tako so vrednosti sinusa, kosinusa, tangenta in kotangensa odvisne izključno od velikosti kota.

Če razumete definicije, jih popravite!

Za trikotnik, prikazan na spodnji sliki, najdemo.

No, si ga dobil? Nato poskusite sami: enako izračunajte za vogal.

Enotni (trigonometrični) krog

Pri razumevanju konceptov stopinj in radianov smo upoštevali krog s polmerom enakim. Tak krog se imenuje samski. Zelo uporaben je pri študiju trigonometrije. Zato se na njem ustavimo nekoliko podrobneje.

Kot lahko vidite, je ta krog zgrajen v kartezijanskem koordinatnem sistemu. Polmer kroga je enak eni, medtem ko središče kroga leži v izhodišču, je začetni položaj vektorja polmera fiksiran vzdolž pozitivne smeri osi (v našem primeru je to polmer).

Vsaki točki kroga ustrezata dve številki: koordinata vzdolž osi in koordinata vzdolž osi. Kakšne so te koordinatne številke? In na splošno, kaj imajo oni opraviti z obravnavano temo? Če želite to narediti, se spomnite obravnavanega pravokotnega trikotnika. Na zgornji sliki lahko vidite dva cela pravokotna trikotnika. Razmislite o trikotniku. Je pravokotna, ker je pravokotna na os.

Čemu je enako iz trikotnika? Tako je. Poleg tega vemo, da je polmer enote kroga, in zato, . To vrednost nadomestimo v formulo kosinusa. Evo, kaj se zgodi:

In koliko je enako iz trikotnika? No, seveda,! V to formulo nadomestite vrednost polmera in dobite:

Torej, mi lahko poveš, kakšne so koordinate točke, ki pripada krogu? No, nikakor? In če se tega zavedaš in so le številke? Kateri koordinati ustreza? No, seveda, koordinata! Kateri koordinati ustreza? Tako je, koordinacija! Torej, točka.

In kaj sta potem enaka in? Tako je, uporabimo ustrezne definicije tangente in kotangensa in dobimo to, a.

Kaj pa, če je kot večji? Tukaj, na primer, kot na tej sliki:

Kaj se je spremenilo v tem primeru? Ugotovimo. Če želite to narediti, se ponovno obrnemo na pravokoten trikotnik. Razmislite o pravokotnem trikotniku: kotu (kot sosednji kotu). Kakšna je vrednost sinusa, kosinusa, tangenta in kotangensa kota? Tako je, držimo se ustreznih definicij trigonometričnih funkcij:

No, kot lahko vidite, vrednost sinusa kota še vedno ustreza koordinati; vrednost kosinusa kota - koordinata; in vrednosti tangenta in kotangensa na ustrezna razmerja. Tako so te relacije uporabne za vse rotacije vektorja polmera.

Omenjeno je bilo že, da je začetni položaj vektorja polmera vzdolž pozitivne smeri osi. Doslej smo ta vektor vrteli v nasprotni smeri urinega kazalca, kaj pa se zgodi, če ga zavrtimo v smeri urinega kazalca? Nič izrednega, dobili boste tudi kot določene velikosti, vendar bo le ta negativen. Tako dobimo pri vrtenju vektorja polmera v nasprotni smeri urinega kazalca pozitivni koti in pri vrtenju v smeri urinega kazalca - negativno.

Torej, vemo, da je cela revolucija polmernega vektorja okoli kroga oz. Ali je mogoče zasukati radij vektor za ali za? No, seveda lahko! V prvem primeru bo torej vektor polmera naredil en popoln obrat in se ustavil na položaju oz.

V drugem primeru, to je, bo vektor polmera naredil tri popolne vrtljaje in se ustavil na položaju oz.

Tako lahko iz zgornjih primerov sklepamo, da koti, ki se razlikujejo za ali (kjer je katero koli celo število), ustrezajo enakemu položaju polmernega vektorja.

Spodnja slika prikazuje kot. Ista slika ustreza kotu itd. Ta seznam se lahko nadaljuje v nedogled. Vse te kote lahko zapišemo s splošno formulo ali (kjer je katero koli celo število)

Zdaj, ko poznate definicije osnovnih trigonometričnih funkcij in uporabite enotni krog, poskusite odgovoriti, čemu so vrednosti enake:

Tukaj je krog enote, ki vam bo v pomoč:

Kakšne težave? Potem pa ugotovimo. Torej vemo, da:

Od tu določimo koordinate točk, ki ustrezajo določenim merilom kota. No, začnimo po vrsti: vogal pri ustreza točki s koordinatami, torej:

Ne obstaja;

Nadalje, po isti logiki, ugotovimo, da vogali v ustrezajo točkam s koordinatami. Če to poznamo, je enostavno določiti vrednosti trigonometričnih funkcij na ustreznih točkah. Najprej poskusite sami, nato preverite odgovore.

odgovori:

Ne obstaja

Ne obstaja

Ne obstaja

Ne obstaja

Tako lahko naredimo naslednjo tabelo:

Vseh teh vrednot si ni treba zapomniti. Dovolj je, da se spomnite ujemanja med koordinatami točk na enotnem krogu in vrednostmi trigonometričnih funkcij:

Toda vrednosti trigonometričnih funkcij kotov v in, podane v spodnji tabeli, se je treba spomniti:

Ne bojte se, zdaj bomo pokazali enega od primerov precej preprosto zapomnitev ustreznih vrednosti:

Za uporabo te metode je ključnega pomena, da si zapomnite vrednosti sinusa za vse tri mere kota (), kot tudi vrednost tangenta kota v. Če poznamo te vrednosti, je precej enostavno obnoviti celotno tabelo - kosinusne vrednosti se prenesejo v skladu s puščicami, to je:

Če to veste, lahko obnovite vrednosti za. Števec " " se bo ujemal in imenovalec " " se bo ujemal. Vrednosti kotangensa se prenesejo v skladu s puščicami, prikazanimi na sliki. Če to razumete in se spomnite diagrama s puščicami, bo dovolj, da si zapomnite celotno vrednost iz tabele.

Koordinate točke na krogu

Ali je mogoče najti točko (njene koordinate) na krogu, poznavanje koordinat središča kroga, njegovega polmera in kota vrtenja?

No, seveda lahko! Dajmo ven splošna formula za iskanje koordinat točke.

Tukaj imamo na primer tak krog:

Dano nam je, da je točka središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem točke za stopinje.

Kot je razvidno iz slike, koordinata točke ustreza dolžini segmenta. Dolžina segmenta ustreza koordinati središča kroga, torej je enaka. Dolžino segmenta lahko izrazimo z definicijo kosinusa:

Potem imamo to za točko koordinato.

Po isti logiki najdemo vrednost koordinate y za točko. tako,

Torej notri splošni pogled koordinate točke se določijo po formulah:

Koordinate središča kroga,

polmer kroga,

Kot vrtenja polmernega vektorja.

Kot lahko vidite, so za enotni krog, ki ga obravnavamo, te formule znatno zmanjšane, saj so koordinate središča nič, polmer pa je enak eni:

No, poskusimo te formule za okus, vadimo iskanje točk na krogu?

1. Poišči koordinate točke na enotnem krogu, ki jih dobimo z vrtenjem točke.

2. Poišči koordinate točke na enotnem krogu, ki jih dobimo z vrtenjem točke na.

3. Poišči koordinate točke na enotnem krogu, ki jih dobimo z vrtenjem točke.

4. Točka - središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem začetnega vektorja polmera za.

5. Točka - središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem začetnega vektorja polmera za.

Imate težave pri iskanju koordinat točke na krogu?

Rešite teh pet primerov (ali dobro razumete rešitev) in naučili se boste, kako jih najdete!

1.

To se vidi. In vemo, kaj ustreza popolnemu obratu izhodišča. Tako bo želena točka v enakem položaju kot pri obračanju na. Če to poznamo, najdemo želene koordinate točke:

2. Krog je enota s središčem v točki, kar pomeni, da lahko uporabimo poenostavljene formule:

To se vidi. Vemo, kaj ustreza dvema popolnima rotacijama izhodiščne točke. Tako bo želena točka v enakem položaju kot pri obračanju na. Če to poznamo, najdemo želene koordinate točke:

Sinus in kosinus sta vrednosti v tabeli. Zapomnimo si njihove vrednosti in dobimo:

Tako ima želena točka koordinate.

3. Krog je enota s središčem v točki, kar pomeni, da lahko uporabimo poenostavljene formule:

To se vidi. Oglejmo si obravnavani primer na sliki:

Polmer tvori kote z osjo enake in. Če vemo, da sta tabelarni vrednosti kosinusa in sinusa enaki, in ko smo ugotovili, da ima kosinus tukaj negativno vrednost, sinus pa je pozitiven, imamo:

Podobni primeri so podrobneje analizirani pri preučevanju formul za redukcijo trigonometričnih funkcij v temi.

Tako ima želena točka koordinate.

4.

Kot vrtenja vektorja polmera (po pogoju)

Za določitev ustreznih znakov sinusa in kosinusa zgradimo enotni krog in kot:

Kot lahko vidite, je vrednost, torej pozitivna, vrednost, torej negativna. Če poznamo tabelarne vrednosti ustreznih trigonometričnih funkcij, dobimo, da:

Dobljene vrednosti nadomestimo v našo formulo in poiščemo koordinate:

Tako ima želena točka koordinate.

5. Za rešitev tega problema uporabljamo formule v splošni obliki, kjer

Koordinate središča kroga (v našem primeru,

Polmer kroga (po pogoju)

Kot vrtenja polmernega vektorja (po pogoju).

Vse vrednosti zamenjajte v formulo in dobite:

in - vrednosti tabele. Zapomnimo si in jih nadomestimo v formulo:

Tako ima želena točka koordinate.

POVZETEK IN OSNOVNA FORMULA

Sinus kota je razmerje med nasprotnim (daljnim) krakom in hipotenuzo.

Kosinus kota je razmerje med sosednjim (bližnjim) krakom in hipotenuzo.

Tangent kota je razmerje med nasprotnim (daljnim) krakom in sosednjim (bližnjim).

Kotangens kota je razmerje med sosednjim (bližnjim) krakom in nasprotnim (dalečnim).

Najpogosteje zastavljena vprašanja

Ali je možno narediti pečat na dokumentu po priloženem vzorcu? Odgovori Ja, možno je. Predajte se našemu email naslov skenirana kopija ali fotografija dobra kakovost in izdelali bomo potrebno kopijo.

Katere vrste plačil sprejemate? Odgovori Dokument lahko plačate ob prejemu pri kurirju, potem ko preverite pravilnost izpolnjevanja in kakovost diplome. To lahko storite tudi v pisarnah poštnih podjetij, ki ponujajo storitve po povzetju.
Vsi pogoji dostave in plačila dokumentov so opisani v razdelku »Plačilo in dostava«. Pripravljeni smo prisluhniti tudi vašim predlogom glede pogojev dostave in plačila dokumenta.

Ali sem lahko prepričan, da po oddaji naročila ne boste izginili z mojim denarjem? Odgovori Imamo kar dolgoletne izkušnje na področju izdelave diplom. Imamo več spletnih mest, ki se nenehno posodabljajo. Naši strokovnjaki delajo v različni vogali držav, ki dnevno izdelajo več kot 10 dokumentov. V preteklih letih so naši dokumenti številnim ljudem pomagali pri reševanju zaposlitvenih težav ali prehodu na bolje plačana delovna mesta. Prislužili smo si zaupanje in priznanje med strankami, zato za to ni nobenega razloga. Poleg tega je to preprosto nemogoče narediti fizično: naročilo plačate v trenutku, ko ga prejmete v roke, predplačila ni.

Ali lahko naročim diplomo katere koli univerze? Odgovori Na splošno ja. Na tem področju delujemo že skoraj 12 let. V tem času se je oblikovala skoraj popolna baza dokumentov, ki so jih izdale skoraj vse univerze doma in v tujini. različnih let izdaja. Vse kar potrebujete je izbrati univerzo, specialnost, dokument in izpolniti naročilnico.

Kaj naj storim, če v dokumentu najdem tipkarske in napake? Odgovori Pri prejemu dokumenta od naše kurirske ali poštne družbe priporočamo, da natančno preverite vse podrobnosti. Če se ugotovi tipkarska napaka, napaka ali netočnost, imate pravico, da diplome ne prevzamete, ugotovljene pomanjkljivosti pa morate osebno sporočiti kurirju ali pisno po e-pošti.
AT takoj, ko bo možno Dokument bomo popravili in ga ponovno poslali na navedeni naslov. Seveda bo poštnino plačalo naše podjetje.
Da bi se izognili takšnim nesporazumom, pred izpolnitvijo prvotnega obrazca pošljemo postavitev prihodnjega dokumenta na pošto naročnika v preverjanje in potrditev končne različice. Preden dokument pošljemo po kurirju ali pošti, posnamemo tudi dodatno fotografijo in video (tudi v ultravijolični svetlobi), da imate vizualno predstavo, kaj boste na koncu dobili.

Kaj morate storiti, da naročite diplomo v vašem podjetju? Odgovori Za naročilo dokumenta (certifikat, diploma, akademsko spričevalo itd.) morate na naši spletni strani izpolniti spletni obrazec za naročilo ali posredovati svoj e-mail, da vam pošljemo vprašalnik, ki ga morate izpolniti in poslati nazaj k nam.
Če ne veste, kaj bi označili v katerem koli polju naročilnice/vprašalnika, pustite prazno. Zato bomo vse manjkajoče podatke razjasnili po telefonu.

Najnovejše ocene

Aleksej:

Da bi se zaposlil kot vodja, sem moral pridobiti diplomo. In kar je najpomembneje, imam tako izkušnje kot veščine, a brez dokumenta ne morem, službo bom dobil kjerkoli. Ko sem bil na vaši strani, sem se vseeno odločil za nakup diplome. Diploma je bila narejena v 2 dneh! Zdaj imam službo, o kateri prej nisem niti sanjal!! Hvala vam!

Trigonometrične identitete so enakosti, ki vzpostavljajo razmerje med sinusom, kosinusom, tangentom in kotangensom enega kota, kar vam omogoča, da najdete katero koli od teh funkcij, pod pogojem, da je katera koli druga znana.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Ta identiteta pravi, da je vsota kvadrata sinusa enega kota in kvadrata kosinusa enega kota enaka eni, kar v praksi omogoča izračun sinusa enega kota, če je njegov kosinus znan in obratno. .

Pri pretvorbi trigonometričnih izrazov se zelo pogosto uporablja ta identiteta, ki vam omogoča, da vsoto kvadratov kosinusa in sinusa enega kota zamenjate z enim in izvedete tudi operacijo zamenjave v obratnem vrstnem redu.

Iskanje tangente in kotangensa skozi sinus in kosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Te identitete so oblikovane iz definicij sinusa, kosinusa, tangenta in kotangensa. Konec koncev, če pogledate, potem je po definiciji ordinata y sinus, abscisa x pa kosinus. Potem bo tangenta enaka razmerju \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), in razmerje \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bo kotangens.

Dodamo, da se bodo identitete zgodile samo za takšne kote \alpha, za katere so trigonometrične funkcije, vključene v njih, smiselne, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Na primer: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) velja za kote \alfa, ki se razlikujejo od \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- za kot \alpha, ki ni \pi z , je z celo število.

Razmerje med tangento in kotangensom

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Ta identiteta velja samo za kote \alpha, ki se razlikujejo od \frac(\pi)(2) z. V nasprotnem primeru kotangens ali tangens ne bosta določena.

Na podlagi zgornjih točk dobimo to tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Iz tega sledi tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tako sta tangenta in kotangens enega kota, pri katerem sta smiselna, medsebojno vzajemni števili.

Relacije med tangento in kosinusom, kotangensom in sinusom

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- vsota kvadrata tangente kota \alpha in 1 je enaka inverznemu kvadratu kosinusa tega kota. Ta identiteta velja za vse \alfa razen \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- vsota 1 in kvadrata kotangensa kota \alpha , je enaka inverznemu kvadratu sinusa danega kota. Ta identiteta je veljavna za vse \alfa razen \pi z.

Primeri z rešitvami problemov z uporabo trigonometričnih identitet

Primer 1

Poiščite \sin \alpha in tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 in \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Pokaži rešitev

Odločitev

Funkciji \sin \alpha in \cos \alpha sta povezani s formulo \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Zamenjava v tej formuli \cos \alpha = -\frac12, dobimo:

\sin^(2)\alpha + \levo (-\frac12 \desno)^2 = 1

Ta enačba ima 2 rešitvi:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Glede na pogoje \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V drugi četrtini je sinus pozitiven, torej \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Za iskanje tg \alpha uporabimo formulo tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Primer 2

Poiščite \cos \alpha in ctg \alpha, če in \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Pokaži rešitev

Odločitev

Nadomestitev v formulo \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 pogojno število \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dobimo \levo (\frac(\sqrt3)(2)\desno)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ta enačba ima dve rešitvi \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Glede na pogoje \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V drugi četrtini je kosinus negativen, torej \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Za iskanje ctg \alpha uporabimo formulo ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Poznamo ustrezne vrednosti.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).