Ko je minus pred oklepajem. Odpiranje oklepaja: pravila in primeri (7. razred)

Med različnimi izrazi, ki jih obravnavamo v algebri, zavzemajo pomembno mesto vsote monomov. Tu so primeri takih izrazov:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Vsoto monomov imenujemo polinom. Člene v polinomu imenujemo člani polinoma. Mononome imenujemo tudi polinomi, pri čemer monom obravnavamo kot polinom, sestavljen iz enega člena.

Na primer, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
je mogoče poenostaviti.

Vse člene predstavimo kot monome standardne oblike:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

V dobljenem polinomu podamo podobne izraze:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultat je polinom, katerega vsi členi so monomi standardne oblike in med njimi ni podobnih. Takšni polinomi se imenujejo polinomi standardne oblike.

zadaj stopnja polinoma standardni obliki prevzamejo največje pristojnosti svojih članov. Torej ima binom \(12a^2b - 7b \) tretjo stopnjo, trinom \(2b^2 -7b + 6 \) pa drugo.

Običajno so členi polinomov standardne oblike, ki vsebujejo eno spremenljivko, razvrščeni v padajočem vrstnem redu njenih eksponentov. Na primer:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Vsoto več polinomov lahko pretvorimo (poenostavimo) v polinom standardne oblike.

Včasih je treba člane polinoma razdeliti v skupine in vsako skupino zapreti v oklepaj. Ker so oklepaji nasprotje oklepajem, jih je enostavno formulirati pravila odpiranja oklepajev:

Če je pred oklepajem znak +, so izrazi v oklepaju zapisani z istimi znaki.

Če je pred oklepajem znak »-«, so izrazi v oklepaju zapisani z nasprotnimi predznaki.

Transformacija (poenostavitev) produkta monoma in polinoma

Z uporabo distribucijske lastnosti množenja lahko transformiramo (poenostavimo) produkt monoma in polinoma v polinom. Na primer:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produkt monoma in polinoma je identično enak vsoti zmnožkov tega monoma in vsakega od členov polinoma.

Ta rezultat je običajno oblikovan kot pravilo.

Če želimo pomnožiti monom s polinomom, moramo ta monom pomnožiti z vsakim členom polinoma.

To pravilo smo že večkrat uporabili za množenje z vsoto.

Produkt polinomov. Transformacija (poenostavitev) produkta dveh polinomov

Na splošno je zmnožek dveh polinomov identično enak vsoti zmnožka vsakega člena enega polinoma in vsakega člena drugega.

Običajno uporabite naslednje pravilo.

Če želite pomnožiti polinom s polinomom, morate vsak člen enega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega in sešteti nastale produkte.

Formule za skrajšano množenje. Vsota, razlika in diferenčni kvadrati

Nekatere izraze v algebrskih transformacijah je treba obravnavati pogosteje kot druge. Morda sta najpogostejša izraza \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) in \(a^2 - b^2 \), to je kvadrat vsote, kvadrat razlike in kvadrat razlike. Opazili ste, da se imena teh izrazov zdijo nepopolna, zato na primer \((a + b)^2 \) seveda ni samo kvadrat vsote, ampak kvadrat vsote a in b. Vendar pa kvadrat vsote a in b ni tako pogost, praviloma namesto črk a in b vsebuje različne, včasih precej zapletene izraze.

Izraze \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) je enostavno pretvoriti (poenostaviti) v polinome standardne oblike, pravzaprav ste se že srečali s tako nalogo pri množenju polinomov :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Dobljene identitete si je koristno zapomniti in uporabiti brez vmesnih izračunov. K temu pomagajo kratke besedne formulacije.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - vsota na kvadrat je enaka vsoti kvadrati in dvojni produkt.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadrat razlike je vsota kvadratov brez podvojitve produkta.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - razlika kvadratov je enaka zmnožku razlike in vsote.

Te tri identitete omogočajo v preobrazbah zamenjavo svojih levih delov z desnimi in obratno - desne dele z levimi. Najtežje v tem primeru je videti ustrezne izraze in razumeti, kaj sta spremenljivki a in b v njih zamenjani. Oglejmo si nekaj primerov uporabe formul za skrajšano množenje.

Razširitev v oklepaj je vrsta transformacije izraza. V tem razdelku bomo opisali pravila za razširitev oklepajev in razmislili o najpogostejših primerih nalog.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kaj je razširitev oklepaja?

Oklepaji se uporabljajo za označevanje vrstnega reda izvajanja dejanj v številskih in abecednih izrazih ter v izrazih s spremenljivkami. Primeren je prehod z izraza z oklepaji na enako enak izraz brez oklepajev. Na primer, zamenjajte izraz 2 (3 + 4) z izrazom, kot je 2 3 + 2 4 brez oklepajev. Ta tehnika se imenuje odpiranje oklepaja.

Definicija 1

Pod odpiranjem oklepajev mislimo na načine, kako se znebiti oklepajev in se običajno obravnavajo v zvezi z izrazi, ki lahko vsebujejo:

• znaka "+" ali "-" pred oklepajem, ki vsebuje vsote ali razlike;
• zmnožek števila, črke ali več črk in vsote ali razlike, ki je v oklepaju.

Tako smo v tečaju obravnavali postopek razširitve oklepajev šolski kurikulum. Vendar nam nihče ne preprečuje, da bi to dejanje pogledali širše. Razširitev oklepajev lahko imenujemo prehod iz izraza, ki vsebuje negativna števila v oklepajih, na izraz, ki nima oklepajev. Na primer, lahko gremo od 5 + (− 3) − (− 7) do 5 − 3 + 7 . Pravzaprav je to tudi razširitev oklepaja.

Na enak način lahko zmnožek izrazov v oklepajih oblike (a + b) · (c + d) nadomestimo z vsoto a · c + a · d + b · c + b · d . Ta tehnika tudi ni v nasprotju s pomenom razširitve oklepajev.

Tukaj je še en primer. Lahko domnevamo, da lahko v izrazih namesto števil in spremenljivk uporabimo poljubne izraze. Na primer, izraz x 2 1 a - x + sin (b) bo ustrezal izrazu brez oklepajev v obliki x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .

Posebno pozornost si zasluži še ena točka, ki se nanaša na posebnosti pisanja rešitev pri odpiranju oklepaja. Začetni izraz z oklepajem in rezultat, ki ga dobimo po odprtju oklepajev, lahko zapišemo kot enakost. Na primer, po odprtju oklepaja namesto izraza 3 − (5 − 7) dobimo izraz 3 − 5 + 7 . Oba izraza lahko zapišemo kot enakost 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

Izvajanje dejanj z okornimi izrazi lahko zahteva beleženje vmesnih rezultatov. Potem bo imela rešitev obliko verige enačb. na primer 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 oz 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Pravila za odpiranje oklepajev, primeri

Začnimo s pravili za odpiranje oklepajev.

Posamezne številke v oklepaju

V izrazih se pogosto pojavljajo negativna števila v oklepajih. Na primer (− 4) in 3 + (− 4) . Upoštevajo se tudi pozitivna števila v oklepajih.

Oblikujmo pravilo za odpiranje oklepajev, ki vsebujejo posamezna pozitivna števila. Recimo, da je a poljubno pozitivno število. Potem lahko zamenjamo (a) z a, + (a) z + a, - (a) z - a. Če namesto a vzamemo določeno številko, potem po pravilu: številka (5) bo zapisana kot 5 , bo izraz 3 + (5) brez oklepajev dobil obliko 3 + 5 , saj je + (5) nadomeščen z + 5 , izraz 3 + (− 5) pa je enakovreden izrazu 3 − 5 , Ker + (− 5) se nadomesti z − 5 .

Pozitivna števila običajno pišemo brez oklepajev, saj so oklepaji v tem primeru odveč.

Zdaj razmislite o pravilu za odpiranje oklepajev, ki vsebujejo eno negativno število. + (−a) zamenjamo z − a, − (− a) se nadomesti z + a . Če se izraz začne z negativnim številom (-a), ki je zapisan v oklepaju, nato oklepaje izpustimo in namesto (-a) ostanki − a.

Tukaj je nekaj primerov: (− 5) lahko zapišemo kot − 5 , (− 3) + 0 , 5 postane − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) postane 4 − 3 , in − (− 4) − (− 3) po odprtju oklepajev dobi obliko 4 + 3 , saj − (− 4) in − (− 3) se nadomesti z + 4 in + 3 .

Treba je razumeti, da izraza 3 · (− 5) ni mogoče zapisati kot 3 · − 5. O tem bomo govorili v naslednjih odstavkih.

Poglejmo, na čem temeljijo pravila za razširitev oklepajev.

Po pravilu je razlika a − b enaka a + (− b) . Na podlagi lastnosti dejanj s števili lahko sestavimo verigo enačb (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a kar bo pošteno. Ta veriga enakosti na podlagi pomena odštevanja dokazuje, da je izraz a + (− b) razlika a-b.

Na podlagi lastnosti nasprotna števila in pravila za odštevanje negativnih števil, lahko trdimo, da je − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Obstajajo izrazi, ki so sestavljeni iz števila, znakov minus in več parov oklepajev. Uporaba zgornjih pravil vam omogoča, da se zaporedno znebite oklepajev, premikate se od notranjih oklepajev do zunanjih ali v obratna smer. Primer takega izraza bi bil − (− ((− (5)))) . Odprimo oklepaje, premikamo se od znotraj navzven: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Ta primer je mogoče razčleniti tudi obratno: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Spodaj a in b lahko razumemo ne le kot številke, ampak tudi kot poljubne številske oz dobesedni izrazi z "+" spredaj, ki niso vsote ali razlike. V vseh teh primerih lahko pravila uporabite na enak način, kot smo to storili z enojnimi številkami v oklepajih.

Na primer, po odprtju oklepajev izraz − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) ima obliko 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . Kako nam je uspelo? Vemo, da je − (− 2 x) + 2 x, in ker je ta izraz na prvem mestu, lahko + 2 x zapišemo kot 2 x, - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x in − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

V produktih dveh števil

Začnimo s pravilom za razširitev oklepajev v zmnožku dveh števil.

Pretvarjajmo se, da a in b sta dve pozitivni števili. V tem primeru produkt dveh negativnih števil − a in − b oblike (− a) (− b) lahko nadomestimo z (a b) , zmnožke dveh števil z nasprotnimi predznaki oblike (− a) b in a (− b) pa lahko nadomestimo z (− a b). Množenje minusa z minusom daje plus in množenje minusa s plusom, tako kot množenje plusa z minusom, daje minus.

Pravilnost prvega dela zapisanega pravila potrjuje pravilo za množenje negativnih števil. Za potrditev drugega dela pravila lahko uporabimo pravila za množenje števil z različna znamenja.

Poglejmo si nekaj primerov.

Primer 1

Razmislite o algoritmu za odpiranje oklepajev v produktu dveh negativnih števil - 4 3 5 in - 2 , oblike (- 2) · - 4 3 5 . Da bi to naredili, zamenjamo prvotni izraz z 2 · 4 3 5 . Razširimo oklepaje in dobimo 2 · 4 3 5 .

In če vzamemo količnik negativnih števil (− 4) : (− 2) , potem bo zapis po odprtju oklepajev videti kot 4: 2

Namesto negativnih števil − a in − b so lahko katerikoli izrazi z začetnim znakom minus, ki niso vsote ali razlike. To so lahko na primer zmnožki, delci, ulomki, stopinje, koreni, logaritmi, trigonometrične funkcije in tako naprej.

Odprimo oklepaje v izrazu - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . V skladu s pravilom lahko naredimo naslednje transformacije: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .

Izraz (− 3) 2 lahko pretvorimo v izraz (− 3 2) . Po tem lahko odprete oklepaje: − 3 2.

2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

Deljenje števil z različnimi predznaki lahko zahteva tudi predhodno razširitev oklepajev: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 in 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4 : 3 , 5 = - 2 3 4 : 3 , 5 .

Pravilo lahko uporabimo za izvajanje množenja in deljenja izrazov z različnimi predznaki. Navedimo dva primera.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

sin (x) (- x 2) \u003d (- sin (x) x 2) \u003d - sin (x) x 2

V produktih treh ali več številk

Preidimo na produkt in količnike, ki vsebujejo velika količinaštevilke. Za razširitev oklepajev, tukaj deluje naslednje pravilo. Pri sodem številu negativnih števil lahko izpustite oklepaje in številke nadomestite z nasprotnimi. Nato morate nastali izraz zapreti v nove oklepaje. Pri lihem številu negativnih števil, brez oklepajev, številke zamenjajte z nasprotnimi. Po tem je treba dobljeni izraz vzeti v nove oklepaje in pred njim postaviti znak minus.

Primer 2

Za primer vzemimo izraz 5 · (− 3) · (− 2) , ki je produkt treh števil. Obstajata dve negativni števili, zato lahko izraz zapišemo kot (5 3 2) in nato končno odpremo oklepaje, tako da dobimo izraz 5 3 2 .

V zmnožku (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4 : (− 1 , 25) : (− 1) je pet števil negativnih. torej (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3 : 2 4 : 1 , 25 : 1) . Končno odpremo oklepaje, dobimo −2,5 3:2 4:1,25:1.

Zgornje pravilo je mogoče utemeljiti na naslednji način. Prvič, takšne izraze lahko prepišemo kot zmnožek, ki ga nadomestimo z množenjem z recipročno število delitev. Vsako negativno število predstavimo kot zmnožek množitelja in zamenjamo - 1 ali - 1 z (− 1) a.

Z uporabo komutativne lastnosti množenja zamenjamo faktorje in prenesemo vse faktorje, ki so enaki − 1 , na začetek izraza. Produkt sodega števila minus enice je enak 1, liho število pa je enako − 1 , ki nam omogoča uporabo znaka minus.

Če ne bi uporabili pravila, bi bila veriga dejanj za odpiranje oklepajev v izrazu - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 videti takole:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Zgornje pravilo lahko uporabite pri razširitvi oklepajev v izrazih, ki so zmnožki in količniki z znakom minus, ki niso vsote ali razlike. Vzemimo za primer izraz

x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .

Zmanjšamo ga lahko na izraz brez oklepajev x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

Začetni oklepaj, pred katerim je znak +

Razmislite o pravilu, ki ga je mogoče uporabiti za razširitev oklepajev, pred katerimi je znak plus, in "vsebina" teh oklepajev ni pomnožena ali deljena z nobenim številom ali izrazom.

Po pravilu so oklepaji skupaj z znakom pred njimi izpuščeni, znaki vseh pojmov v oklepaju pa se ohranijo. Če pred prvim izrazom v oklepaju ni znaka, morate postaviti znak plus.

Primer 3

Na primer, podajamo izraz (12 − 3 , 5) − 7 . Če oklepaje izpustimo, ohranimo znake izrazov v oklepaju in pred prvi člen postavimo znak plus. Vnos bo videti kot (12 − ​​​​3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . V zgornjem primeru pred prvim izrazom ni treba postaviti znaka, saj je + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.

Primer 4

Poglejmo še en primer. Vzemite izraz x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x in z njim izvedite dejanja x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Tu je še en primer razširitve oklepajev:

Primer 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

Kako razširiti oklepaje, pred katerimi je znak minus

Razmislite o primerih, ko je pred oklepajem znak minus in ki niso pomnoženi (ali deljeni) z nobenim številom ali izrazom. Po pravilu odpiranja oklepaja pred znakom »-« so oklepaji z znakom »-« izpuščeni, predznaki vseh izrazov v oklepajih pa obrnjeni.

Primer 6

Npr.

1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

Spremenljive izraze je mogoče pretvoriti z istim pravilom:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

dobimo x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .

Odpiranje oklepaja pri množenju števila z oklepajem, izrazi z oklepajem

Tukaj bomo obravnavali primere, ko je treba odpreti oklepaje, ki so pomnoženi ali deljeni s poljubnim številom ali izrazom. Tu so formule oblike (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) oz. b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), Kje a 1 , a 2 , … , a n in b so nekatera števila ali izrazi.

Primer 7

Na primer, razširimo oklepaje v izrazu (3 − 7) 2. Po pravilu lahko naredimo naslednje transformacije: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Dobimo 3 · 2 − 7 · 2 .

Če razširimo oklepaje v izrazu 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, dobimo 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Pomnoži oklepaj z oklepajem

Razmislite o produktu dveh oklepajev oblike (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . To nam bo pomagalo dobiti pravilo za razširitev oklepaja pri množenju oklepaja z oklepajem.

Da bi rešili zgornji primer, označimo izraz (b 1 + b 2) kot b. To nam bo omogočilo uporabo pravila množenja izrazov v oklepajih. Dobimo (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Z obratno zamenjavo b na (b 1 + b 2) ponovno uporabite pravilo za množenje izraza z oklepajem: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Zahvaljujoč številnim preprostim trikom lahko pridemo do vsote zmnožkov vsakega izmed členov iz prvega oklepaja in vsakega izmed členov iz drugega oklepaja. Pravilo je mogoče razširiti na poljubno število izrazov znotraj oklepajev.

Oblikujmo pravila za množenje oklepaja z oklepajem: da bi pomnožili dve vsoti med seboj, je treba pomnožiti vsak člen prve vsote z vsakim členom druge vsote in rezultate sešteti.

Formula bo videti tako:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Razširimo oklepaje v izrazu (1 + x) · (x 2 + x + 6) Je produkt dveh vsot. Zapišimo rešitev: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Ločeno se je vredno osredotočiti na tiste primere, ko je v oklepajih poleg znakov plus znak minus. Za primer vzemimo izraz (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Najprej predstavimo izraze v oklepajih kot vsote: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Zdaj lahko uporabimo pravilo: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))

Razširimo oklepaje: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .

Razširitev oklepajev v zmnožkih več oklepajev in izrazov

Če so v izrazu trije ali več izrazov v oklepajih, je treba oklepaje razširiti zaporedno. Preoblikovanje je treba začeti z dejstvom, da sta prva dva dejavnika vzeta v oklepajih. Znotraj teh oklepajev lahko izvajamo transformacije v skladu z zgoraj obravnavanimi pravili. Na primer oklepaji v izrazu (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .

Izraz vsebuje tri dejavnike hkrati (2 + 4) , 3 in (5 + 7 8) . Zaporedoma bomo razširili oklepaje. Prva dva faktorja zapiramo še v en oklepaj, ki ga bomo zaradi jasnosti naredili rdečega: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

V skladu s pravilom množenja oklepaja s številom lahko izvedemo naslednja dejanja: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

Pomnoži oklepaj z oklepajem: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Oklepaj v naravi

Stopnje, katerih osnova so nekateri izrazi, zapisani v oklepajih, z naravnimi indikatorji se lahko obravnavajo kot produkt več oklepajev. Še več, po pravilih iz prejšnjih dveh odstavkov jih je mogoče zapisati brez teh oklepajev.

Razmislite o procesu preoblikovanja izraza (a + b + c) 2 . Zapišemo ga lahko kot produkt dveh oklepajev (a + b + c) (a + b + c). Pomnožimo oklepaj z oklepajem in dobimo a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .

Vzemimo še en primer:

Primer 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

Deljenje oklepaja s številko in oklepaja z oklepajem

Če oklepaj delite s številom, pomeni, da morate vse izraze v oklepajih deliti s številom. Na primer (x 2 - x) : 4 = x 2 : 4 - x : 4 .

Deljenje lahko predhodno nadomestimo z množenjem, nato pa uporabimo ustrezno pravilo za odpiranje oklepajev v zmnožku. Enako pravilo velja pri deljenju oklepaja z oklepajem.

Na primer, odpreti moramo oklepaje v izrazu (x + 2) : 2 3 . Če želite to narediti, najprej zamenjajte deljenje z množenjem z recipročno vrednostjo (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Oklepaj pomnožimo s številom (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .

Tu je še en primer deljenja z oklepaji:

Primer 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Nadomestimo deljenje z množenjem: 1 x + x + 1 1 x + 2 .

Pomnožimo: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .

Vrstni red razširitve nosilca

Zdaj razmislite o vrstnem redu uporabe zgoraj obravnavanih pravil v izrazih splošni pogled, tj. v izrazih, ki vsebujejo vsote z razlikami, produkte s količniki, oklepaje v naravi.

Vrstni red dejanj:

• prvi korak je dvig oklepaja na naravno potenco;
• na drugi stopnji se odprejo oklepaji v delu in zasebno;
• zadnji korak je odpiranje oklepajev v seštevkih in razlikah.

Razmislimo o vrstnem redu dejanj na primeru izraza (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Transformirajmo iz izrazov 3 (− 2) : (− 4) in 6 (− 7) , ki naj dobita obliko (3 2:4) in (− 6 7) . Če dobljene rezultate zamenjamo v izvirni izraz, dobimo: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2 : 4) − (− 6 7 ). Razširimo oklepaje: − 5 + 3 2 : 4 + 6 7 .

Ko imate opravka z izrazi, ki vsebujejo oklepaje znotraj oklepajev, je priročno izvajati transformacije od znotraj navzven.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

oblikovati sposobnost odpiranja oklepajev ob upoštevanju znaka pred oklepaji;

razvoj:

razvijati logično razmišljanje, pozornost, matematični govor, sposobnost analize, primerjave, posploševanja, sklepanja;

vzgojitelji:

oblikovanje odgovornosti, kognitivni interes za predmet

Med poukom

I. Organizacijski trenutek.

Poglej to prijatelj
Ste pripravljeni na lekcijo?
Je vse na mestu? Vse je vredu?
Pero, knjiga in zvezek.
Ali vsi pravilno sedijo?
Ali vsi pozorno opazujejo?

Lekcijo želim začeti z vprašanjem za vas:

Kaj je po vašem mnenju najbolj dragoceno na zemlji? (Odgovori otrok.)

To vprašanje muči človeštvo že tisočletja. Tu je odgovor slavnega znanstvenika Al-Birunija: »Znanje je najboljša lastnina. Vsak si prizadeva za to, a ne pride samo od sebe.”

Naj bodo te besede moto naše lekcije.

II. Aktualizacija predhodnega znanja, spretnosti, veščin:

Verbalno štetje:

1.1. Kateri je danes datum?

2. Kaj veš o številu 20?

3. In kje na koordinatni premici se nahaja ta številka?

4. Poimenuj številko njegove hrbtne strani.

5. Poimenuj nasprotno število.

6. Kako se imenuje število - 20?

7. Katera števila imenujemo nasprotja?

8. Katera števila imenujemo negativna?

9. Kolikšen je modul števila 20? - 20?

10. Kolikšna je vsota nasprotnih števil?

2. Pojasnite naslednje vnose:

a) Genialni starodavni matematik Arhimed je bil rojen leta 0 287 pr.

b) Briljantni ruski matematik N. I. Lobačevski se je rodil leta 1792.

prvi olimpijske igre leta 776 v Grčiji.

d) Prve mednarodne olimpijske igre so bile leta 1896.

e) Leta 2014 so potekale XXII. zimske olimpijske igre.

3. Ugotovite, katere številke se vrtijo na "matematičnem vrtiljaku" (vsa dejanja se izvajajo ustno).

II. Oblikovanje novih znanj, veščin in spretnosti.

Naučili ste se delati različne akcije s celimi števili. Kaj bomo naredili naslednjič? Kako bomo reševali primere in enačbe?

Poiščimo pomen teh izrazov

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

Kakšen je postopek v 1 primeru? Koliko je v oklepajih? Vrstni red dejanj v drugem primeru? Rezultat prve akcije? Kaj lahko rečemo o teh izrazih?

Seveda sta rezultata prvega in drugega izraza enaka, zato lahko med njima postavite znak enačaja: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

Kaj smo naredili z oklepaji? (Izgubljeno.)

Kaj mislite, kaj bomo počeli danes v razredu? (Otroci oblikujejo temo lekcije.) V našem primeru, kateri znak je pred oklepajem. (Plus.)

In tako pridemo do naslednjega pravila:

Če je pred oklepajem znak +, lahko oklepaje in ta znak + izpustite, pri čemer ohranite znake izrazov v oklepajih. Če je prvi izraz v oklepaju zapisan brez predznaka, mora biti zapisan z znakom +.

Kaj pa, če je pred oklepajem znak minus?

V tem primeru morate razmišljati na enak način kot pri odštevanju: dodati morate število, ki je nasprotno tistemu, ki ga odštevate:

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

- Torej smo odprli oklepaje, ko je bil pred njimi znak minus.

Pravilo za razširitev oklepajev, ko je pred oklepajem znak "-".

Če želite odpreti oklepaje, pred katerimi je znak -, morate ta znak zamenjati s +, spremeniti znake vseh izrazov v oklepajih v nasprotne in nato odpreti oklepaje.

Poslušajmo pravila za odpiranje oklepajev v verzih:

Pred oklepajem je plus.
On govori o tem
Kaj spuščaš oklepaje
Izpusti vse znake!
Pred oklepajem minus strogo
Zaprl nam bo pot
Za odstranitev oklepajev
Moramo spremeniti znake!

Ja, fantje, znak minus je zelo zahrbten, je "stražar" ​​na vratih (oklepaji), številke in spremenljivke sprosti le, ko spremenijo svoje "potne liste", to je svoje znake.

Zakaj sploh morate odpirati oklepaje? (Ko so oklepaji, je trenutek nekega elementa nedokončanosti, nekakšne skrivnostnosti. Je kot zaprta vrata, za katerimi se nahaja nekaj zanimivega.) Danes smo doživeli to skrivnostnost.

Majhna digresija v zgodovino:

Zavit oklepaj se pojavlja v spisih Vieta (1593). Oklepaji so bili razširjeni šele v prvi polovici 18. stoletja, zahvaljujoč Leibnizu in še bolj Eulerju.

Fizkultminutka.

III. Utrjevanje novih znanj, spretnosti in spretnosti.

Delo z učbenikom:

št. 1234 (oklepaj) - ustno.

št. 1236 (oklepaj) - ustno.

št. 1235 (poiščite pomen izraza) - pisno.

št. 1238 (poenostavite izraze) - delo v parih.

IV. Povzetek lekcije.

1. Rezultati so objavljeni.

2. Hiša. telovadba. 39 št. 1254 (a, b, c), 1255 (a, b, c), 1259.

3. Kaj smo se danes naučili?

Kaj ste se naučili?

In želim končati lekcijo z željami za vsakega od vas:

"Pokaži sposobnost matematike,
Ne bodite leni, ampak se vsak dan razvijajte.
Množi, deli, delaj, razmišljaj,
Ne pozabite biti prijatelji z matematiko.

V tej lekciji se boste naučili, kako pretvoriti izraz, ki vsebuje oklepaje, v izraz, ki ne vsebuje oklepajev. Naučili se boste odpreti oklepaje, pred katerimi sta znaka plus in minus. Spomnili se bomo, kako odpreti oklepaje z uporabo distribucijskega zakona množenja. Obravnavani primeri bodo omogočili povezavo novega in predhodno preučenega gradiva v eno celoto.

Tema: Reševanje enačb

Lekcija: Razširitev oklepajev

Kako odpreti oklepaje, pred katerimi je znak "+". Uporaba asociativnega zakona seštevanja.

Če morate številu dodati vsoto dveh števil, lahko temu številu dodate prvi člen in nato drugega.

Levo od enačaja je izraz z oklepajem, desno pa izraz brez oklepaja. To pomeni, da so se pri prehodu z leve strani enakosti na desno stran odprli oklepaji.

Razmislite o primerih.

Primer 1

Z razširitvijo oklepajev smo spremenili vrstni red operacij. Štetje je postalo bolj priročno.

Primer 2

Primer 3

Upoštevajte, da smo v vseh treh primerih preprosto odstranili oklepaje. Oblikujmo pravilo:

Komentiraj.

Če je prvi člen v oklepaju nepredznačen, mora biti zapisan z znakom plus.

Lahko sledite primeru korak za korakom. Najprej dodajte 445 k 889. To mentalno dejanje je mogoče izvesti, vendar ni zelo enostavno. Odprimo oklepaje in ugotovimo, da bo spremenjen vrstni red operacij močno poenostavil izračune.

Če sledite navedenemu vrstnemu redu dejanj, morate od 512 najprej odšteti 345 in nato rezultatu dodati 1345. Z razširitvijo oklepajev bomo spremenili vrstni red dejanj in močno poenostavili izračune.

Ilustrativen primer in pravilo.

Razmislite o primeru: . Vrednost izraza lahko najdete tako, da seštejete 2 in 5, nato pa dobljeno število vzamete z nasprotnim predznakom. Dobimo -7.

Po drugi strani pa lahko enak rezultat dobimo s seštevanjem nasprotnih števil.

Oblikujmo pravilo:

Primer 1

Primer 2

Pravilo se ne spremeni, če v oklepaju nista dva, ampak trije ali več izrazov.

Primer 3

Komentiraj. Predznaki so obrnjeni le pred izrazi.

Če želite odpreti oklepaje, ta primer spomnite se distribucijske lastnosti.

Najprej pomnožite prvi oklepaj z 2 in drugega s 3.

Pred prvim oklepajem je znak “+”, kar pomeni, da morata znaka ostati nespremenjena. Pred drugim je znak "-", zato morajo biti vsi znaki obrnjeni

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stranmi učbenika matematike. - Razsvetljenje, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Naloge za tečaj matematike 5-6 razred - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priročnik za učence 6. razreda dopisne šole MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Učbenik-sogovornik za 5.-6. razred gimnazije. Knjižnica učitelja matematike. - Razsvetljenje, 1989.

1. Spletni testi matematike ().
2. Prenesete lahko tiste, ki so navedeni v členu 1.2. knjige().

Domača naloga

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (glej povezavo 1.2)
2. Domača naloga: št. 1254, št. 1255, št. 1256 (b, d)
3. Druge dodelitve: št. 1258(c), št. 1248

Glavna funkcija oklepajev je spreminjanje vrstnega reda dejanj pri izračunu vrednosti. Na primer, V v številčnem smislu Najprej bo izračunano \(5 3+7\) množenje in nato seštevanje: \(5 3+7 =15+7=22\). Toda v izrazu \(5·(3+7)\) bo najprej izračunan seštevek v oklepajih in šele nato množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Primer. Razširite oklepaj: \(-(4m+3)\).
rešitev : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Primer. Razširite oklepaj in podajte podobne izraze \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
rešitev : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Primer. Razširite oklepaje \(5(3-x)\).
rešitev : V oklepaju imamo \(3\) in \(-x\), pred oklepajem pa pet. To pomeni, da je vsak člen v oklepaju pomnožen z \ (5 \) - na to vas spominjam znaka za množenje med številom in oklepajem v matematiki ne pišejo zaradi zmanjšanja velikosti zapisov.

Primer. Razširite oklepaje \(-2(-3x+5)\).
rešitev : Kot v prejšnjem primeru se oklepaja \(-3x\) in \(5\) pomnožita z \(-2\).

Primer. Poenostavite izraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
rešitev : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Ostaja še razmisliti o zadnji situaciji.

Pri množenju oklepaja z oklepajem se vsak člen prvega oklepaja pomnoži z vsakim členom drugega:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Primer. Razširite oklepaje \((2-x)(3x-1)\).
rešitev : Imamo produkt oklepajev in ga je mogoče takoj odpreti z uporabo zgornje formule. Da pa se ne bi zmedli, naredimo vse korak za korakom.
Korak 1. Odstranite prvi oklepaj - vsak njegov član se pomnoži z drugim oklepajem:

Korak 2. Razširite izdelke nosilca s faktorjem, kot je opisano zgoraj:
- prva prva...

Potem drugi.

Korak 3. Zdaj pomnožimo in prinesemo podobne izraze:

Vseh transformacij ni treba podrobno slikati, lahko jih takoj pomnožite. Če pa se šele učiš odpirati oklepaje - piši podrobno, bo manj možnosti, da se zmotiš.

Opomba k celotnemu razdelku. Pravzaprav vam ni treba zapomniti vseh štirih pravil, zapomniti si morate samo eno, tole: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zakaj? Ker če namesto c zamenjamo eno, dobimo pravilo \((a-b)=a-b\) . In če nadomestimo minus ena, dobimo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . No, če zamenjate drug oklepaj namesto c, lahko dobite zadnje pravilo.

oklepaj znotraj oklepaja

Včasih se v praksi pojavijo težave z oklepaji, ugnezdenimi znotraj drugih oklepajev. Tukaj je primer takšne naloge: poenostaviti izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Če želite biti uspešni pri teh nalogah, morate:
- natančno razumeti gnezdenje oklepajev - kateri je v katerem;
- odprite oklepaje zaporedno, začenši na primer z najbolj notranjim.

Pomembno je pri odpiranju enega od oklepajev ne dotikaj se preostalega izraza, samo prepišem, kot je.
Vzemimo za primer zgornjo nalogo.

Primer. Odprite oklepaje in podajte podobne izraze \(7x+2(5-(3x+y))\).
rešitev:

Primer. Razširite oklepaje in podajte podobne izraze \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
rešitev :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		To je trojno gnezdenje oklepajev. Začnemo z najbolj notranjim (označeno z zeleno). Pred oklepajem je plus, zato ga preprosto odstranimo.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Zdaj morate odpreti drugi nosilec, vmesni. Pred tem pa bomo izraz poenostavili tako, da bomo podobne izraze dodali v ta drugi oklepaj.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Zdaj odpremo drugi oklepaj (označen z modro). Pred oklepajem je množitelj - torej je vsak člen v oklepaju pomnožen z njim.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		In odprite zadnji oklepaj. Pred oklepajem minus - torej so vsi predznaki obrnjeni.

Odpiranje oklepajev je osnovna veščina pri matematiki. Brez te veščine je v 8. in 9. razredu nemogoče imeti oceno nad tri. Zato priporočam dobro razumevanje te teme.