Najdemo srednjo črto formule trapeza. Območje trapezija

Območje trapezija. Pozdravi! V tej objavi si bomo ogledali določeno formulo. Zakaj je povsem enaka in kako jo razumeti. Če obstaja razumevanje, se vam tega ni treba učiti. Če želite videti samo to formulo in kaj je nujno, se lahko takoj pomaknete po strani navzdol))

Zdaj podrobno in po vrstnem redu.

Trapez je štirikotnik, dve strani tega štirikotnika sta vzporedni, drugi dve pa nista. Tiste, ki niso vzporedne, so osnove trapeza. Druga dva se imenujeta strani.

Če sta strani enaki, se trapez imenuje izosceles. Če je ena od stranskih strani pravokotna na podlage, potem se tak trapez imenuje pravokoten.

V klasični obliki je trapez prikazan na naslednji način - večja je osnova na dnu, manjša je na vrhu. Toda nihče ji ne prepoveduje upodobiti in obratno. Tu so skice:

Naslednji pomemben koncept.
Srednja črta trapeza je linijski odsek, ki povezuje srednje točke strani. Srednja črta je vzporedna z osnovami trapeza in je enaka njihovi polovični vsoti.

Zdaj poglejmo globlje. Zakaj je tako?

Razmislite o trapezu z osnovami a in b in s srednjo črto l in izvedli bomo nekaj dodatnih konstrukcij: skozi podlage narišemo ravne črte, pravokotne pa skozi konce srednje črte, dokler se ne sekajo z osnovami:

* Oznake o črkah in drugih točkah niso namerno uvedene, da bi se izognili nepotrebnim poimenovanjem.

Poglejte, trikotnika 1 in 2 sta enaka drugemu znaku enakosti trikotnikov, trikotnika 3 in 4 sta enaka. Iz enakosti trikotnikov sledi enakost elementov, in sicer noge (označene so z modro in rdečo barvo).

Zdaj pa pozornost! Če miselno "odrežemo" modri in rdeči segment od spodnje podlage, bomo imeli segment (to je stran pravokotnika), enak srednji črti. Nadalje, če "prilepimo" odrezano modro in rdečo črto na zgornjo podlago trapeza, potem bomo dobili tudi segment (to je tudi stran pravokotnika), ki je enak srednji črti trapeza.

Razumem? Izkazalo se je, da bo vsota baz enaka dvema srednjima trapezoma:

Glej še eno pojasnilo

Naredimo naslednje - zgradimo ravno črto, ki poteka skozi spodnjo podlago trapeza, in ravno črto, ki poteka skozi točki A in B:

Dobimo trikotnike 1 in 2, enaka sta na strani in koti ob njej (drugi znak enakosti trikotnikov). To pomeni, da je dobljeni segment (na skici je označen z modro barvo) enak zgornji podlagi trapeza.

Zdaj razmislite o trikotniku:

* Srednja črta tega trapeza in srednja črta trikotnika sovpadata.

Znano je, da je trikotnik enak polovici njegove vzporedne osnove, to je:

Ok, razvrsti. Zdaj pa o območju trapeza.

Formula območja trapeza:

Pravijo: površina trapeza je enaka produktu polovične vsote njegovih osnov in višine.

To pomeni, da je enako izdelku srednje črte in višine:

Verjetno ste do zdaj že opazili, da je to očitno. Geometrično lahko to izrazimo takole: če miselno odrežemo trikotnike 2 in 4 s trapeza in jih postavimo na trikotnike 1 in 3:

Nato dobimo pravokotnik, ki je enak površini površini našega trapeza. Površina tega pravokotnika bo enaka izdelku srednje črte in višine, torej lahko zapišemo:

Toda poanta ni v snemanju, seveda, ampak v razumevanju.

Prenesite (oglejte) gradivo v obliki * pdf

To je vse. Uspeh vam!

Lep pozdrav, Aleksander.

V tem članku bomo poskušali čim bolj v celoti odraziti lastnosti trapeza. Še posebej bomo govorili o splošnih znakih in lastnostih trapeza, pa tudi o lastnostih vpisanega trapeza in o krogu, vpisanem v trapez. Dotaknili se bomo tudi lastnosti enakih in pravokotnega trapeza.

Primer reševanja težave z uporabo upoštevanih lastnosti vam bo pomagal razvrstiti mesta v glavi in \u200b\u200bsi bolje zapomniti gradivo.

Trapez in vse-vse-vse

Za začetek se na kratko spomnimo, kaj je trapez in kateri drugi koncepti so z njim povezani.

Torej, trapez je štirikotna figura, katere dve strani sta vzporedni drug drugemu (to sta podstavki). In dve nista vzporedni - to sta strani.

V trapezu se lahko višina spušča - pravokotno na podlage. Narisana je srednja črta in diagonala. In tudi iz katerega koli vogala trapeza je mogoče narisati bisektor.

Zdaj bomo govorili o različnih lastnostih, povezanih z vsemi temi elementi in njihovih kombinacijah.

Lastnosti diagonale trapeza

Da bi bilo bolj jasno, ko berete, na kos papirja skicirajte trapez AKME in v njem narišite diagonale.

Če najdete vmesne točke vsake diagonale (te točke označite z X in T) in jih povežete, dobite segment. Ena od lastnosti diagonale trapeza je, da segment XT leži na srednji črti. In njegovo dolžino lahko dobite, če osnovno razliko delite z dvema: XT \u003d (a - b) / 2.
Pred nami je isti trapez AKME. Diagonale se sekajo v točki O. Razmislimo o trikotniku AOE in MOC, ki jih tvorita segmenta diagonale skupaj z osnovami trapeza. Ti trikotniki so si podobni. Koeficient podobnosti k trikotnikov je izražen s pomočjo razmerja osnov trapeza: k \u003d AE / KM.
Razmerje površin trikotnikov AOE in MOC je opisano s koeficientom k 2.
Vsi isti trapez, iste diagonale, ki se sekajo v točki O. Šele tokrat bomo upoštevali trikotnike, ki so segmente diagonale tvorili skupaj s stranskimi stranmi trapeza. Področja trikotnikov AKO in EMO sta enaki - njihovi območji sta enaki.
Druga lastnost trapeza vključuje gradnjo diagonale. Če torej nadaljujemo stranski strani AK in ME v smeri manjše podlage, se slej ko prej sekata do neke točke. Nadalje po sredinah osnov trapeza narišite ravno črto. Seka podlage v točkah X in T.
Če zdaj podaljšamo črto XT, potem bo ta povezala točko presečišča diagonal trapeza O, točko, na kateri se preseki stranskih strani in središč baz X in T sekajo.
Skozi točko presečišča diagonale narišite segment, ki povezuje osnove trapeza (T leži na manjši podlagi CM, X - na večji AE). Točka presečišča diagonale deli ta odsek v naslednjem razmerju: TO / OX \u003d KM / AE.
In zdaj skozi točko presečišča diagonale narišite odsek, vzporeden z osnovami trapeza (a in b). Križišče ga bo razdelilo na dva enaka dela. Dolžino segmenta najdete s formulo 2ab / (a \u200b\u200b+ b).

Lastnosti središčne črte trapeza

Narišite srednjo črto v trapezu, vzporedno z njegovimi osnovami.

Dolžino srednje črte trapeza lahko izračunamo tako, da dodamo dolžine podstavkov in jih razdelimo na polovico: m \u003d (a + b) / 2.
Če narišete kateri koli segment (na primer višino) skozi obe osnovi trapeza, ga bo srednja črta razdelila na dva enaka dela.

Lastnost bisektorja trapeza

Izberite kateri koli vogal trapeza in narišite bisektor. Vzemimo za primer kot KAE trapeza AKME. Ko gradite sami, lahko enostavno poskrbite, da bo bisektor odrezal od podnožja (ali njegovega nadaljevanja na ravni črti zunaj same slike) segment iste dolžine kot stran.

Lastnosti kota trapeza

Ne glede na dva para vogalov, ki mejijo na stransko stran, ki je izbrana, je vsota kotov v paru vedno 180 0: α + β \u003d 180 0 in γ + δ \u003d 180 0.
Povežite srednje točke trapeznih podstavkov s TX segmentom. Zdaj si oglejmo vogale na dnu trapeza. Če je vsota kotov na katerem koli od njih 90 0, lahko dolžino TX segmenta enostavno izračunamo na podlagi razlike v dolžinah osnov, razdeljenih na polovico: TX \u003d (AE - KM) / 2.
Če skozi stranice vogala trapeza potegnemo vzporedne ravne črte, bodo stranice vogala razdelile na sorazmerne segmente.

Lastnosti izosceles (isosceles) trapeza

V isosceles trapezu so koti enaki na kateri koli podlagi.
Zdaj narišite trapez, da si boste lažje predstavljali, za kaj gre. Poglej natančno bazo AE - vrh nasprotne baze M je projiciran na točko na premici, ki vsebuje AE. Razdalja med vrhovom A do projekcijske točke vrha M in srednjo črto izoscele trapeza sta enaka.
Nekaj \u200b\u200bbesed o lastnosti enakomernih diagonal trapezov - njihove dolžine so enake. In tudi koti nagiba teh diagonalov na podlago trapeza so enaki.
Krog krožišča lahko opišemo le z enakomernim trapezom, saj je predpogoj za to vsota nasprotnih kotov štirikotnika 180 0.
Lastnost izoscele trapez izhaja iz prejšnjega odstavka - če je mogoče opisati krog v bližini trapeza, je to izosceles.
Iz značilnosti izoscelesnega trapeza izhaja lastnost višine trapeza: če se njegove diagonale sekajo pod pravim kotom, potem je dolžina višine enaka polovici vsote podstavkov: h \u003d (a + b) / 2.
Ponovno narišite segment TX skozi sredičke podlage trapeza - v enakomernem trapezu je pravokoten na podlage. In hkrati je TX os simetrije enakostranskega trapeza.
Tokrat se spustite na večjo osnovo (označimo jo z a) višino od nasprotne vrvice trapeza. Obstajala bosta dva segmenta. Dolžino ene najdemo, če so dolžine podstavkov zložene in razdeljene na polovico: (a + b) / 2... Drugi dobimo, če odštejemo manjšega od večje baze in dobljeno razliko delimo z dvema: (a - b) / 2.

Lastnosti trapeza, vpisanega v krog

Ker smo že govorili o trapezu, vpisanem v krog, se podrobneje pogovorimo o tem vprašanju. Zlasti tam, kjer je središče kroga glede na trapez. Tudi tukaj je priporočljivo, da ne boste preveč leni, da vzamete svinčnik v roke in narišete tisto, o čemer bomo govorili spodaj. Tako boste hitreje razumeli in se bolje spomnili.

Lokacija središča kroga je določena s kotom naklona diagonale trapeza na njegovo stransko stran. Na primer, diagonala se lahko razprostira od vrha trapeza pod pravim kotom v stran. V tem primeru večja osnova preseka središče opisanega kroga točno na sredini (R \u003d ½AE).
Diagonala in stran se lahko srečata tudi pod ostrim kotom - takrat je središče kroga znotraj trapeza.
Središče opisanega kroga je lahko zunaj trapeza, onstran njegovega velikega podstavka, če je med diagonalo trapeza in stransko stranjo moten kot.
Kot, ki ga tvorita diagonala in velika osnova trapeza AKME (vpisan kot), je polovica osrednjega kota, ki mu ustreza: MAE \u003d ½MOE.
Na kratko o dveh načinih, kako najti polmer opisanega kroga. Prva metoda: natančno poglejte svojo risbo - kaj vidite? Zlahka boste opazili, da diagonala razdeli trapez na dva trikotnika. Polmer lahko najdemo kot razmerje strani trikotnika in sinusa nasprotnega kota krat dva. Na primer R \u003d AE / 2 * sinAME... Podobno lahko formulo napišemo za obe strani obeh trikotnikov.
Druga metoda: poiščite polmer opisanega kroga skozi območje trikotnika, ki ga tvorita diagonala, stran in osnova trapeza: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Lastnosti trapeza opisane okoli kroga

Krog v trapez lahko vpišemo, če je izpolnjen en pogoj. Več o tem spodaj. In skupaj ima ta kombinacija oblik številne zanimive lastnosti.

Če je v trapezu zapisan krog, je dolžino njegove srednje črte mogoče najti tako, da seštejemo dolžine stranskih strani in dobljeno vsoto razdelimo na polovico: m \u003d (c + d) / 2.
V trapezu AKME, obkroženem okoli kroga, je vsota dolžin baz enaka vsoti dolžin stranic: AK + ME \u003d KM + AE.
Iz te lastnosti podlag trapeza sledi nasproten stavek: v ta trapez lahko vpišemo krog, katerega vsota osnov je enaka vsoti stranic.
Tangenta točka kroga z polmerom r, vpisan v trapez, razdeli stransko stran na dva segmenta, imenujemo ju a in b. Polmer kroga je mogoče izračunati po formuli: r \u003d √ab.
In še ena lastnina. Da se ne bi zmedli, narišite ta primer sami. Imamo dober stari trapez AKME, ki je narisan okoli kroga. V njej so narisane diagonale, ki se sekajo v točki O. Trikotnika AOK in EOM, ki ju tvorita segmenta diagonale in stranice, sta pravokotna.
Višine teh trikotnikov, spuščenih na hipotenuse (t.j. stranske stranice trapeza), sovpadajo s polmerom vpisanega kroga. In višina trapeza sovpada s premerom vpisanega kroga.

Pravokotne lastnosti trapeza

Imenuje se pravokotni trapez, katerega eden vogalov je pravi. In njegove lastnosti izhajajo iz te okoliščine.

Pri pravokotnem trapezu je ena od stranskih strani pravokotna na podlage.
Višina in bočna stran trapezija, ki meji na pravi kot, sta enaki. To vam omogoča izračun površine pravokotnega trapeza (splošna formula S \u003d (a + b) * h / 2) ne samo skozi višino, ampak tudi skozi stran, ki meji na pravi kot.
Za pravokotni trapez so pomembne splošne lastnosti že opisanih diagonalov trapeza.

Dokazi o nekaterih lastnostih trapeza

Enakost kotov na dnu izoscele trapeza:

Verjetno ste že uganili, da tukaj spet potrebujemo trapez AKME - narišite enake oster trapez. Narišite z vrha M ravno črto MT, vzporedno s stranico AK (MT || AK).

Nastali štirikotnik AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Ker je ME \u003d KA \u003d MT, je TE MTE izosceles in MET \u003d MTE.

AK || MT, torej MTE \u003d KAE, MET \u003d MTE \u003d KAE.

Od tod AKM \u003d 180 0 - MET \u003d 180 0 - KAE \u003d KME.

Q.E.D.

Zdaj na podlagi lastnosti izoscele trapez (enakost diagonal) dokazujemo, da trapezni AKME je izosceles:

Za začetek narišite ravno črto MX - MX || KE. Dobimo paralelogram KMXE (osnova - MX || KE in KM || EX).

∆AMX je izosceles, saj je AM \u003d KE \u003d MX in MAX \u003d MEA.

MX || KE, KEA \u003d MXE, torej MAE \u003d MXE.

Izkazalo se je, da sta trikotnika AKE in EMA enaka drug drugemu, saj sta AM \u003d KE in AE skupna stran dveh trikotnikov. In tudi MAE \u003d MXE. Sklepamo lahko, da je AK \u200b\u200b\u003d ME, in iz tega sledi, da je trapezni AKME izosceles.

Naloga za ponovitev

Osnova trapeza AKME je 9 cm in 21 cm, stranska stran vesoljskega plovila, enaka 8 cm, tvori kot 150 0 z manjšim podstavkom. Potrebno je najti območje trapeza.

Rešitev: Z vrha K višino znižamo na večje podnožje trapeza. In začnimo gledati vogale trapeza.

Kotna AEM in KAN sta enostranska. To pomeni, da skupaj dajejo 180 0. Zato je KAN \u003d 30 0 (glede na lastnost kota trapeza).

Zdaj razmislite o pravokotnem znaku (mislim, da je ta točka bralcem očitna brez dodatnih dokazov). Iz nje najdemo višino trapeza KN - v trikotniku je noga, ki leži nasproti kota 30 0. Zato je KH \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Površino trapeza najdemo s formulo: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Pogovor

Če ste natančno in premišljeno preučili ta članek, niste bili preveč leni, da bi s svinčnikom v rokah narisali trapeze za vse zgoraj omenjene lastnosti in jih razstavili v praksi, bi vas material moral dobro razumeti.

Seveda je tukaj veliko informacij, raznolikih in včasih celo zmedenih: lastnosti opisanega trapeza ni tako težko zamenjati z lastnostmi vpisanega. A sami ste videli, da je razlika ogromna.

Zdaj imate podroben oris vseh običajnih lastnosti trapeza. Kot tudi posebne lastnosti in značilnosti enake in pravokotne trapezije. Zelo priročno jih je uporabiti za pripravo na teste in izpite. Poskusite sami in delite povezavo s prijatelji!

spletnega mesta, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je potrebna povezava do vira.

Odsek ravne črte, ki povezuje srednji del strani trapeza, se imenuje srednja črta trapeza. Kako najti srednjo črto trapeza in kako se nanaša na druge elemente te oblike, bomo razpravljali v nadaljevanju.

Središčni izrek

Narišimo trapez, pri katerem je AD večja osnova, BC je manjša osnova, EF je srednja črta. Razširite bazo AD za točko D. Narišite črto BF in jo v točki O. razširite na križišče s podaljškom baze AD. Razmislite o trikotniku ∆BCF in ∆DFO. Koti ∟BCF \u003d ∟DFO kot navpični. CF \u003d DF, ∟BCF \u003d ∟FDO, ker VS // JSC. Zato trikotniki ∆BCF \u003d ∆DFO. Zato so stranice BF \u003d FO.

Zdaj razmislite ∆ABO in ∆EBF. ∟ABO je skupna za oba trikotnika. BE / AB \u003d ½ pod pogojem, BF / BO \u003d ½, ker je ∆BCF \u003d ∆DFO. Zato sta si trikotnika ABO in EFB podobna. Od tod razmerje strank EF / AO \u003d ½, kot tudi razmerje drugih strank.

Poišči EF \u003d ½ AO. Iz risbe je razvidno, da je AO \u003d AD + DO. DO \u003d BC kot strani enakih trikotnikov, torej AO \u003d AD + BC. Od tod EF \u003d ½ AO \u003d ½ (AD + BC). Tiste. dolžina srednje črte trapeza je enaka polovici vsote podstavkov.

Ali je srednja črta trapeza vedno polovica vsote podlag?

Recimo, da obstaja poseben primer, kjer EF ≠ ½ (AD + BC). Potem VС DO, torej ,BCF ≠ ∆DCF. Toda to je nemogoče, saj imata enaka dva kota in stranice med seboj. Torej izrek velja v vseh pogojih.

Problem s srednjo črto

Recimo, da je v našem trapezu ABCD AD // BC, ∟A \u003d 90 °, ∟C \u003d 135 °, AB \u003d 2 cm, diagonala AC pravokotna na stransko stran. Poiščite srednjo črto trapeza EF.

Če je ∟A \u003d 90 °, potem je ∟В \u003d 90 °, potem je ∆ABS pravokoten.

∟BCA \u003d ∟BCD - ∟ACD. ConditionACD \u003d 90 ° pod pogojem, zato je CBCA \u003d ∟BCD - ∟ACD \u003d 135 ° - 90 ° \u003d 45 °.

Če je v pravokotnem trikotniku ∆ABS en kot 45 °, so noge v njem enake: AB \u003d BC \u003d 2 cm.

Hipotenuza AC \u003d √ (AB² + BC²) \u003d √8 cm.

Razmislite o ∆ACD. ∟ACD \u003d pogoj 90 °. ∟CAD \u003d ∟BCA \u003d 45 ° kot kotov, ki jih tvori sekant vzporednih podlag trapeza. Zato so noge AC \u003d CD \u003d √8.

Hipotenuza AD \u003d √ (AC² + CD²) \u003d √ (8 + 8) \u003d √16 \u003d 4 cm.

Srednja črta trapeza EF \u003d ½ (AD + BC) \u003d ½ (2 + 4) \u003d 3 cm.

V tem članku smo za vas pripravili še en izbor težav s trapezi. Pogoji so nekako povezani z njegovo srednjo črto. Vrste nalog so vzete iz odprte banke tipičnih nalog. Če želite, lahko osvežite svoje teoretično znanje. Blog je že zajel naloge, s katerimi so povezani tudi pogoji. Na kratko o srednji črti:

Srednja črta trapeza povezuje srednji del strani. Je vzporedna z osnovami in enaka njihovi polovični vsoti.

Preden rešimo težave, si oglejmo teoretični primer.

Glede na trapez ABCD. Diagonala AC, ki seka s srednjo črto, tvori točko K, diagonala BD pa tvori točko L. Dokažite, da je odsek KL enak polovici razlike med osnovami.

Naj najprej upoštevamo dejstvo, da srednja črta trapeza razpolovi vsak segment, katerega konci ležijo na njegovih osnovah. Ta sklep nakazuje sam. Predstavljajte si linijski odsek, ki povezuje dve osnovni točki, ta trapez bo razdelil na dve drugi. Izkaže se, da bo odsek, ki je vzporeden s osnovami trapeza in ki sega na sredini strani na drugi strani, prešel skozi njegovo sredino.

Temelji tudi na Thalesovem izreku:

Če na eni od dveh ravnih črt zaporedoma odložimo več enakih segmentov in skozi njihove konce narišemo vzporedne ravne črte, ki sekajo drugo ravno črto, potem bodo na drugi ravni premici odrezali enake odseke.

To pomeni, da je v tem primeru K sredina AC in L sredina BD. Zato je EK srednja črta trikotnika ABC, LF je srednja črta trikotnika DCB. Po lastnosti srednje črte trikotnika:

Zdaj lahko izraz KL izrazimo z osnovami:

Dokazano!

Ta primer je naveden z razlogom. V težavah za samostojno rešitev je ravno tak problem. Samo, da ne piše, da segment, ki povezuje srednje točke diagonale, leži na srednji črti. Upoštevajte naloge:

27819. Poiščite srednjo črto trapeza, če sta njegovi podlagi 30 in 16.

Izračunamo po formuli:

27820. Srednja črta trapeza je 28, manjša osnova pa 18. Poiščite večjo os trapeza.

Izrazimo večjo osnovo:

Tako:

27836. Pravokotnik, spuščen od vrha obtipajočega kota do večje podlage enakomernega trapeza, ga deli na dele z dolžino 10 in 4. Poiščite srednjo črto tega trapeza.

Če želite najti srednjo črto, morate poznati bazo. Podnožje AB je enostavno najti: 10 + 4 \u003d 14. Poiščite DC.

Sestavimo drugi pravokotni DF:

Segmenti AF, FE in EB bodo 4, 6 in 4. Zakaj?

V enakomernem trapezu ga pravokotne črte, spuščene na večjo osnovo, delijo na tri segmente. Dve izmed njih, ki sta kraki odrezanih desnih trikotnikov, sta enaki drug drugemu. Tretji segment je enak manjši podlagi, saj pri konstruiranju navedenih višin nastane pravokotnik, v pravokotniku pa sta nasprotni strani enaki. V tej nalogi:

Tako je DC \u003d 6. Izračunamo:

27839. Osnove trapeza so 2: 3, srednja črta pa 5. Poiščite manjšo osnovo.

Uvedimo koeficient sorazmernosti x. Potem je AB \u003d 3x, DC \u003d 2x. Lahko napišemo:

Zato je manjša osnova 2 ∙ 2 \u003d 4.

27840. Obod izosceles trapezija je 80, njegova srednja črta je enaka bočni strani. Poiščite stran trapeza.

Glede na stanje lahko zapišemo:

Če srednjo črto označite z vrednostjo x, dobite:

Drugo enačbo lahko že zapišemo kot:

27841. Srednja črta trapeza je 7, ena od podstavkov pa je večja od druge za 4. Poiščite večjo os trapeza.

Manjšo osnovo (DC) označimo kot x, potem bo večja (AB) enaka x + 4. Lahko pišemo

Razumeli smo, da je spodnja osnova zgodnja pet, torej večja 9.

27842. Srednja črta trapeza je 12. Ena diagonala jo deli na dva segmenta, katerih razlika je 2. Poiščite večjo os trapeza.

Večjo osnovo trapeza zlahka najdemo, če izračunamo odsek EO. To je srednja črta v trikotniku ADB in AB \u003d 2 ∙ EO.

Kaj imamo? Rečeno je, da je srednja vrstica 12, razlika med odsekoma EO in OF pa 2. Lahko zapišemo dve enačbi in rešimo sistem:

Jasno je, da je v tem primeru mogoče izbrati par številk brez izračunov, to sta 5 in 7. Toda kljub temu bomo sistem rešili:

Zato je EO \u003d 12–5 \u003d 7. Tako je večja osnova enaka AB \u003d 2 ∙ EO \u003d 14.

27844. V enakomeličnem trapezu so diagonale pravokotne. Višina trapeza je 12. Poiščite njegovo srednjo črto.

Takoj opazimo, da višina, vrisana skozi točko presečišča diagonale v enakomernem trapezu leži na osi simetrije in trapezoid razdeli na dva enaka pravokotna trapeza, to je, da so osnove te višine razdeljene na polovico.

Zdi se, da moramo za izračun srednje črte najti podlage. Tu nastane majhen zastoj ... Kako, če vemo višino, v tem primeru izračunati podlage? In ne kako! Obstaja veliko takih trapezov s fiksno višino in diagonalami, ki se sekajo pod kotom 90 stopinj. Kako biti?

Poglejte formulo srednje črte trapeza. Navsezadnje nam ni treba poznati razlogov, dovolj je poznati njihovo vsoto (ali polovico vsote). To lahko storimo.

Ker se diagonale sekajo pod pravim kotom, se z višino EF oblikujejo enakokotni pravokotni trikotniki.

Iz zgoraj navedenega izhaja, da je FO \u003d DF \u003d FC in OE \u003d AE \u003d EB. Zdaj zapišemo, kakšna je višina, izražena v segmentih DF in AE:

Torej srednja črta je 12.

* Na splošno je to naloga, kot razumete, za verbalno štetje. Prepričan pa sem, da je potrebna podrobna obrazložitev. In tako ... Če pogledate sliko (pod pogojem, da je med gradnjo opaziti kot med diagonalama), vam enakost takoj uide enakost FO \u003d DF \u003d FC in OE \u003d AE \u003d EB.

Kot del prototipov obstajajo tudi vrste nalog s trapezoidi. Zgrajena je na listu v celici in morate poiskati srednjo črto, stran celice je ponavadi 1, lahko pa je drugačna vrednost.

27848. Poiščite srednjo črto trapeza ABCDče so stranice kvadratnih celic 1.

Preprosto je, izračunamo osnove po celicah in uporabimo formulo: (2 + 4) / 2 \u003d 3

Če so podlage zgrajene pod kotom do celične mreže, potem obstajata dva načina. Na primer!

Koncept srednje črte trapeza

Najprej se spomnimo, katero obliko imenujemo trapez.

Opredelitev 1

Trapez je štirikotnik, pri katerem sta dve strani vzporedni, drugi dve pa ne vzporedni.

V tem primeru se vzporedne strani imenujejo osnove trapeza, in ne vzporedne - stranice trapeza.

Opredelitev 2

Srednja črta trapeza je linijski odsek, ki povezuje srednji del strani trapeza.

Teorem o središčni črti trapeza

Zdaj predstavimo izrek o srednji črti trapeza in ga dokažemo z vektorsko metodo.

Izrek 1

Srednja črta trapeza je vzporedna z osnovami in enaka njihovi polovični vsoti.

Dokazi.

Dovolite nam, da trapez $ ABCD $ z osnovama $ AD \\ in \\ BC $. In naj bo $ MN $ srednja črta tega trapeza (slika 1).

Slika 1. Srednja črta trapeza

Dokažimo, da sta $ MN || AD \\ in \\ MN \u003d \\ frac (AD + BC) (2) $.

Razmislite o vektorju $ \\ overrightarrow (MN) $. Nato za dodajanje vektorjev uporabimo pravilo mnogokotnika. Po eni strani to dobimo

Po drugi strani

Seštejemo zadnji dve enakosti, ki jih dobimo

Ker sta $ M $ in $ N $ vmesni točki stranskih strani trapeza, bomo imeli

Dobimo:

Od tod tudi

Iz iste enakosti (ker sta $ \\ overrightarrow (BC) $ in $ \\ overrightarrow (AD) $ koderna in s tem kolinearna) dobimo, da je $ MN || AD $.

Izrek je dokazan.

Primeri nalog na konceptu srednje črte trapeza

Primer 1

Strani trapeza sta 15 $ cm in $ 17 \\ cm $. Obod trapeza je 52 $ \\ cm $. Poiščite dolžino srednje črte trapeza.

Odločba.

Označimo srednjo črto trapeza z $ n $.

Vsota strani je

Ker je obod 52 $ cm, je vsota baz

Torej s teoremom 1 dobimo

Odgovor: 10 $ cm cm.

Primer 2

Konci premera kroga so 9 $ cm in 5 $ cm od njegove tangence, poiščite premer tega kroga.