Včrtani kot nosilnega polmera je enak. Kotiček. Včrtani kot

Pojem včrtanega in središčnega kota

Najprej predstavimo koncept središčni kot.

Opomba 1

Upoštevajte to stopinjska mera središčnega kota je enaka stopinjski meri loka, na katerem leži.

Predstavimo zdaj koncept včrtanega kota.

Definicija 2

Kot, katerega oglišče leži na krožnici in njegove stranice sekajo isto krožnico, imenujemo včrtan kot (slika 2).

Slika 2. Včrtani kot

Izrek o včrtanem kotu

1. izrek

Stopinska mera včrtanega kota je enaka polovici stopinjske mere loka, na katerem leži.

Dokaz.

Naj imamo krožnico s središčem v točki $O$. Označimo včrtani kot $ACB$ (slika 2). Možni so naslednji trije primeri:

Žarek $CO$ sovpada s katero koli stranjo kota. Naj bo to stranica $CB$ (slika 3).

Slika 3.

V tem primeru je lok $AB$ manjši od $(180)^(()^\circ )$, zato je središčni kot $AOB$ enako loku$AB$. Ker je $AO=OC=r$, je trikotnik $AOC$ enakokrak. To pomeni, da sta osnovna kota $CAO$ in $ACO$ med seboj enaka. Po izreku o zunanjem kotu trikotnika imamo:

Žarek $CO$ deli notranji kot na dva kota. Naj seka krožnico v točki $D$ (slika 4).

Slika 4.

Dobimo

Žarek $CO$ ne deli notranjega kota na dva kota in ne sovpada z nobeno od njegovih stranic (slika 5).

Slika 5.

Ločeno obravnavajmo kota $ACD$ in $DCB$. Glede na dokazano v točki 1 dobimo

Dobimo

Izrek je dokazan.

Dajmo posledice iz tega izreka.

Posledica 1: Včrtana kota, ki ležita na istem loku, sta med seboj enaka.

Posledica 2: Včrtan kot, ki se ujema s premerom, je pravi kot.

Povprečna raven

Krožnica in včrtan kot. Vizualni vodnik (2019)

Osnovni pojmi.

Kako dobro se spomnite vseh imen, povezanih s krogom? Za vsak slučaj naj vas spomnimo – poglejte slike – osvežite znanje.

Prvič - Središče kroga je točka, od katere so razdalje od vseh točk kroga enake.

Drugič - polmer - daljica, ki povezuje središče in točko na krogu.

Polmerov je veliko (kolikor je točk na krožnici), vendar Vsi polmeri imajo enako dolžino.

Včasih na kratko polmer točno temu pravijo dolžina segmenta"središče je točka na krogu," in ne segment sam.

In tukaj se zgodi če povežete dve točki na krožnici? Tudi segment?

Torej, ta segment se imenuje "akord".

Tako kot v primeru polmera je premer pogosto dolžina segmenta, ki povezuje dve točki na krogu in poteka skozi središče. Mimogrede, kako sta povezana premer in polmer? Pazljivo poglejte. Seveda, polmer je enak polovici premera.

Poleg akordov še sekante.

Se spomnite najpreprostejše stvari?

Središčni kot je kot med dvema polmeroma.

In zdaj - včrtani kot

Včrtani kot - kot med dvema tetivama, ki se sekata v točki na krožnici.

V tem primeru pravijo, da včrtani kot leži na loku (ali na tetivi).

Poglej sliko:

Meritve lokov in kotov.

Obseg. Loki in koti se merijo v stopinjah in radianih. Najprej o stopinjah. Za kote ni težav - naučiti se morate meriti lok v stopinjah.

Stopinjska mera (velikost loka) je vrednost (v stopinjah) ustreznega središčnega kota

Kaj tukaj pomeni beseda "primerno"? Pazljivo poglejmo:

Ali vidite dva loka in dva osrednja kota? No, večji lok ustreza večjemu kotu (in prav je, da je večji), manjši lok pa manjšemu kotu.

Torej smo se strinjali: lok vsebuje enako število stopinj kot pripadajoči središčni kot.

In zdaj o strašnem - o radianih!

Kakšna zver je ta "radian"?

Predstavljajte si tole: Radiani so način merjenja kotov... v radijih!

Radianski kot je središčni kot, katerega ločna dolžina je enaka polmeru kroga.

Potem se pojavi vprašanje - koliko radianov je v ravnem kotu?

Z drugimi besedami: koliko radijev se "prilega" v pol kroga? Ali drugače: kolikokrat je dolžina polovice kroga večja od polmera?

Znanstveniki so to vprašanje postavili že v stari Grčiji.

In tako so po dolgem iskanju ugotovili, da se razmerje med obsegom in polmerom noče izraziti v “človeških” številkah, kot je itd.

In tega odnosa sploh ni mogoče izraziti skozi korenine. Se pravi, izkaže se, da je nemogoče reči, da je polovica kroga krat ali krat večja od polmera! Si lahko predstavljate, kako neverjetno je bilo za ljudi, ko so to odkrili prvič?! Za razmerje med dolžino polkroga in polmerom »normalne« številke niso bile dovolj. Moral sem vnesti črko.

Torej, - to je število, ki izraža razmerje med dolžino polkroga in polmerom.

Zdaj lahko odgovorimo na vprašanje: koliko radianov je v ravnem kotu? Vsebuje radiane. Prav zato, ker je polovica kroga krat večja od polmera.

Starodavni (in manj starodavni) ljudje skozi stoletja (!) poskušal natančneje izračunati to skrivnostno število, ga bolje izraziti (vsaj približno) skozi »navadna« števila. In zdaj smo neverjetno leni - dva znaka po napornem dnevu sta nam dovolj, navajeni smo

Pomislite, to na primer pomeni, da je dolžina kroga s polmerom ena približno enaka, toda to točno dolžino preprosto ni mogoče zapisati s "človeško" številko - potrebujete črko. In potem bo ta obseg enak. In seveda, obseg polmera je enak.

Vrnimo se k radianom.

Ugotovili smo že, da ravni kot vsebuje radiane.

Kaj imamo:

To pomeni, da sem vesel, se pravi, vesel sem. Na enak način dobimo ploščo z najbolj priljubljenimi koti.

Razmerje med vrednostmi vpisanih in središčnih kotov.

Obstaja neverjetno dejstvo:

Včrtani kot je za polovico manjši od ustreznega središčnega kota.

Poglejte, kako je ta izjava videti na sliki. »Ustrezen« središčni kot je tisti, katerega konci sovpadajo s koncema včrtanega kota, oglišče pa je v središču. In hkrati mora "ustrezni" osrednji kot "gledati" na isto tetivo () kot včrtani kot.

Zakaj je temu tako? Najprej ugotovimo preprost primer. Naj ena od tetiv poteka skozi sredino. Včasih se zgodi tako, kajne?

Kaj se zgodi tukaj? Razmislimo. Je enakokrak - navsezadnje in - polmeri. Torej (jih je označil).

Zdaj pa poglejmo. To je zunanji kotiček za! Spomnimo se, da je zunanji kot enak vsoti dveh notranjih kotov, ki mu ne mejita, in zapišemo:

To je! Nepričakovan učinek. Obstaja pa tudi središčni kot za vpisano.

To pomeni, da so za ta primer dokazali, da je središčni kot dvakrat večji od včrtanega kota. Toda to je boleče poseben primer: ali ni res, da tetiva ne gre vedno naravnost skozi središče? Ampak nič hudega, zdaj nam bo ta konkreten primer zelo pomagal. Poglejte: drugi primer: središče naj leži znotraj.

Naredimo tole: narišite premer. In potem ... vidimo dve sliki, ki sta bili analizirani že v prvem primeru. Torej to že imamo

To pomeni (na risbi a)

No, ostane še zadnji primer: središče je zunaj vogala.

Naredimo isto stvar: narišemo premer skozi točko. Vse je enako, a namesto vsote je razlika.

To je vse!

Iz trditve, da je včrtani kot polovica središčnega kota, oblikujmo zdaj dve glavni in zelo pomembni posledici.

Posledica 1

Vsi včrtani koti, ki temeljijo na enem loku, so med seboj enaki.

Ponazarjamo:

Obstaja nešteto včrtanih kotov, ki temeljijo na istem loku (imamo ta lok), morda so videti povsem drugače, vendar imajo vsi enak središčni kot (), kar pomeni, da so vsi ti včrtani koti med seboj enaki.

Posledica 2

Kot, ki ga zajema premer, je pravi kot.

Poglejte: kateri kot je v središču?

Vsekakor,. Ampak on je enak! No, torej (kot tudi veliko več včrtanih kotov, ki počivajo na) in je enako.

Kot med dvema tetivama in sekante

Kaj pa, če kot, ki nas zanima, NI včrtan in NI osrednji, ampak na primer tak:

ali takole?

Ali je to mogoče nekako izraziti skozi neke sredinske kote? Izkazalo se je, da je to mogoče. Poglejte: zanima nas.

a) (kot zunanji vogal za). Toda - vpisan, počiva na loku -. - vpisana, počiva na loku - .

Za lepoto pravijo:

Kot med tetivama je enak polovici vsote kotnih vrednosti lokov, zaprtih v tem kotu.

To pišejo zaradi kratkosti, seveda pa morate pri uporabi te formule upoštevati središčne kote

b) In zdaj - "zunaj"! Kako biti? Da, skoraj enako! Šele zdaj (spet uporabimo lastnost zunanjega kota za). To je zdaj.

In to pomeni... Vnesite lepoto in jedrnatost v opombe in besedilo:

Kot med sekanti je enak polovici razlike v kotnih vrednostih lokov, zaprtih v tem kotu.

No, zdaj ste oboroženi z vsem osnovnim znanjem o kotih, povezanih s krogom. Pojdi naprej, sprejmi izzive!

KROG IN VKROBLJENI KOT. POVPREČNA STOPNJA

Tudi petletni otrok ve, kaj je krog, kajne? Matematiki imajo, kot vedno, nejasno definicijo o tej temi, vendar je ne bomo podali (glej), ampak se spomnimo, kako se imenujejo točke, črte in koti, povezani s krogom.

Pomembni pogoji

Prvič:

središče kroga- točka, od katere so vse točke na krožnici enako oddaljene.

Drugič:

Obstaja še en sprejet izraz: "tetiva skrči lok." Tukaj na sliki, na primer, tetiva pokriva lok. In če tetiva nenadoma prehaja skozi središče, potem ima posebno ime: "premer".

Mimogrede, kako sta povezana premer in polmer? Pazljivo poglejte. Seveda,

In zdaj - imena za vogale.

Naravno, kajne? Stranice kota segajo iz središča - kar pomeni, da je kot središčen.

Tu se včasih pojavijo težave. Bodite pozorni - NOBEN kot znotraj kroga ni vpisan, ampak samo tisti, katerega vrh "sedi" na samem krogu.

Poglejmo razliko na slikah:

Drugače pravijo:

Tukaj je ena težavna točka. Kaj je »ustrezen« ali »lasten« središčni kot? Samo kot z ogliščem v središču kroga in konci na koncih loka? Zagotovo ne na ta način. Poglej risbo.

Eden od njih pa niti ne izgleda kot vogal - večji je. Toda trikotnik ne more imeti več kotov, krog pa lahko! Torej: manjši lok AB ustreza manjšemu kotu (oranžno), večji lok pa večjemu. Kar tako, kajne?

Razmerje med velikostmi včrtanega in središčnega kota

Zapomnite si to zelo pomembno izjavo:

V učbenikih to isto dejstvo radi zapišejo takole:

Ali ni res, da je formulacija enostavnejša s središčnim kotom?

A vseeno poiščimo ujemanje med obema formulacijama in se hkrati naučimo najti na risbah »ustrezen« osrednji kot in lok, na katerem »sloni« včrtani kot.

Poglejte: tukaj sta krog in včrtan kot:

Kje je njegov "ustrezni" središčni kot?

Poglejmo še enkrat:

Kakšno je pravilo?

Ampak! V tem primeru je pomembno, da vpisani in osrednji kot "gledata" na lok z ene strani. Na primer:

Nenavadno, modra! Ker je lok dolg, daljši od polovice kroga! Zato se nikoli ne zmedite!

Kakšno posledico lahko razberemo iz »polovičnosti« včrtanega kota?

Toda na primer:

Kot s premerom

Opazili ste že, da matematiki radi govorijo o istih stvareh. z različnimi besedami? Zakaj jim je to treba? Vidite, jezik matematike, čeprav je formalen, je živ in zato, kot v običajnem jeziku, vsakič, ko ga želite povedati na način, ki je bolj udoben. No, videli smo že, kaj pomeni "kot počiva na loku". In predstavljajte si, ista slika se imenuje "kot počiva na tetivi." Na čem? Ja, seveda, tistemu, ki ta lok zategne!

Kdaj je primerneje zanašati se na tetivo kot na lok?

No, še posebej, ko je ta tetiva premer.

Za takšno situacijo obstaja presenetljivo preprosta, lepa in uporabna izjava!

Poglejte: tukaj je krog, premer in kot, ki leži na njem.

KROG IN VKROBLJENI KOT. NA KRATKO O GLAVNEM

1. Osnovni pojmi.

3. Meritve lokov in kotov.

Radianski kot je središčni kot, katerega ločna dolžina je enaka polmeru kroga.

To je število, ki izraža razmerje med dolžino polkroga in njegovim polmerom.

Obseg polmera je enak.

4. Razmerje med vrednostmi vpisanih in osrednjih kotov.

Navodila

Če sta znana polmer (R) kroga in dolžina loka (L), ki ustrezata želenemu središčnemu kotu (θ), ga lahko izračunamo tako v stopinjah kot v radianih. Skupna vrednost je določena s formulo 2*π*R in ustreza središčnemu kotu 360° ali dvema številoma Pi, če namesto stopinj uporabimo radiane. Zato izhajaj iz razmerja 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Iz njega izrazite središčni kot v radianih θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R ali stopinjah θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) in izračunajte z dobljeno formulo.

Na podlagi dolžine tetive (m), ki povezuje točke, ki določajo središčni kot (θ), lahko izračunamo tudi njeno vrednost, če poznamo polmer (R) krožnice. Če želite to narediti, razmislite o trikotniku, ki ga tvorita dva polmera in . To je enakokraki trikotnik, vsi poznajo, vendar morate najti kot nasproti osnove. Sinus njegove polovice je enak razmerju dolžine osnove - tetive - do dvakratne dolžine stranice - polmera. Zato za izračune uporabite inverzno sinusno funkcijo - arcsinus: θ = 2*arcsin(½*m/R).

Osrednji kot je lahko določen v delcih vrtljajev ali iz zasukanega kota. Na primer, če morate najti središčni kot, ki ustreza četrtini polnega vrtljaja, delite 360° s štiri: θ = 360°/4 = 90°. Ista vrednost v radianih bi morala biti 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Raztegnjeni kot je enak polovici polnega obrata, zato bo na primer središčni kot, ki ustreza njegovi četrtini, polovica vrednosti, izračunanih zgoraj v stopinjah in radianih.

Inverzna sinusna funkcija se imenuje trigonometrična funkcija arcsinus. Lahko sprejme vrednosti znotraj polovice Pi, tako pozitivne kot negativne, če jih merimo v radianih. Če jih merimo v stopinjah, bodo te vrednosti v območju od -90 ° do +90 °.

Navodila

Nekaterih "okroglih" vrednosti ni treba izračunati, lažje si jih je zapomniti. Na primer: - če je argument funkcije enak nič, potem je tudi njegov arcsinus nič; - od 1/2 je enako 30° ali 1/6 Pi, če je izmerjeno; - arcsinus od -1/2 je -30° ali -1/6 od števila Pi v; - arksinus 1 je enak 90° ali 1/2 števila Pi v radianih; - arksinus -1 je enak -90° ali -1/2 od število Pi v radianih;

Za merjenje vrednosti te funkcije iz drugih argumentov je najlažji način, da uporabite standardni kalkulator Windows, če ga imate pri roki. Za začetek odprite glavni meni na gumbu »Start« (ali s pritiskom na tipko WIN), pojdite na razdelek »Vsi programi« in nato na pododdelek »Pripomočki« in kliknite »Kalkulator«.

Vmesnik kalkulatorja preklopite v način delovanja, ki vam omogoča izračun trigonometrične funkcije. Če želite to narediti, odprite razdelek »Pogled« v njegovem meniju in izberite »Inženiring« ali »Znanstveno« (odvisno od vrste operacijski sistem).

Vnesite vrednost argumenta, iz katerega naj se izračuna arktangens. To lahko storite tako, da z miško kliknete gumbe na vmesniku kalkulatorja ali pritisnete tipke na , ali pa kopirate vrednost (CTRL + C) in jo nato prilepite (CTRL + V) v vnosno polje kalkulatorja.

Izberite merske enote, v katerih morate dobiti rezultat izračuna funkcije. Pod poljem za vnos so tri možnosti, med katerimi morate izbrati (s klikom z miško) eno - , radiani ali radi.

Označite potrditveno polje, ki obrne funkcije, navedene na gumbih vmesnika kalkulatorja. Ob njem je kratek napis Inv.

Kliknite gumb za greh. Kalkulator bo obrnil z njim povezano funkcijo, izvedel izračun in vam predstavil rezultat v določenih enotah.

Video na temo

Eden od pogostih geometrijskih problemov je izračun površine krožnega segmenta - dela kroga, ki ga omejuje tetiva, in ustrezne tetive s krožnim lokom.

Površina krožnega segmenta je enaka razliki med površino ustreznega krožnega sektorja in površino trikotnika, ki ga tvorijo polmeri sektorja, ki ustreza segmentu, in tetive, ki omejuje segment.

Primer 1

Dolžina tetive, ki zajema krog, je enaka vrednosti a. Stopinjska mera loka, ki ustreza tetivi, je 60°. Poiščite območje krožnega segmenta.

rešitev

Trikotnik, ki ga sestavljata dva polmera in tetiva, je enakokrak, zato bo višina, potegnjena iz oglišča središčnega kota na stranico trikotnika, ki ga tvori tetiva, tudi simetrala središčnega kota, ki ga deli na pol, in mediana, ki deli tetivo na pol. Če vemo, da je sinus kota enak razmerju med nasprotnim krakom in hipotenuzo, lahko izračunamo polmer:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

Površina trikotnika, ki ustreza sektorju, se izračuna na naslednji način:

S▲=1/2*ah, kjer je h višina, narisana iz oglišča središčnega kota na tetivo. Po Pitagorovem izreku je h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

V skladu s tem je S▲=√3/4*a².

Površina segmenta, izračunana kot Sreg = Sc - S▲, je enaka:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Nadomeščanje številčna vrednost Namesto vrednosti a lahko preprosto izračunate številsko vrednost površine segmenta.

Primer 2

Polmer kroga je enak a. Stopinjska mera loka, ki ustreza segmentu, je 60°. Poiščite območje krožnega segmenta.

rešitev:

Območje sektorja, ki ustreza danemu kotu, se lahko izračuna z naslednjo formulo:

Kot ABC je včrtan kot. Leži na loku AC, zaprtem med njegovimi stranicami (slika 330).

Izrek. Včrtani kot se meri s polovico loka, na katero sega.

To je treba razumeti takole: včrtani kot vsebuje toliko kotnih stopinj, minut in sekund, kolikor ločnih stopinj, minut in sekund vsebuje polovica loka, na kateri sloni.

Pri dokazovanju tega izreka je treba upoštevati tri primere.

Prvi primer. Središče kroga leži na strani včrtanega kota (slika 331).

Naj bo ∠ABC včrtan kot in središče krožnice O leži na strani BC. Potrebno je dokazati, da se meri s pol loka AC.

Povežimo točko A s središčem kroga. Dobimo enakokraki $\Delta$AOB, v katerem je AO = OB, kot polmere istega kroga. Zato je ∠A = ∠B.

∠AOC je zunaj trikotnika AOB, zato je ∠AOC = ∠A + ∠B, in ker sta kota A in B enaka, je ∠B 1/2 ∠AOC.

Toda ∠AOC se meri z lokom AC, zato se ∠B meri s polovico loka AC.

Na primer, če $\breve(AC)$ vsebuje 60°18', potem ∠B vsebuje 30°9'.

Drugi primer. Središče kroga leži med stranicama včrtanega kota (slika 332).

Naj bo ∠ABD včrtan kot. Središče kroga O leži med njegovima stranicama. Dokazati moramo, da se ∠ABD meri s polovico loka AD.

Da bi to dokazali, narišimo premer BC. Kot ABD je razdeljen na dva kota: ∠1 in ∠2.

∠1 se meri s polovico loka AC, ∠2 pa s polovico loka CD, zato se celoten ∠ABD meri z 1 / 2 $\breve(AC)$ + 1 / 2 $\breve (CD)$, tj. pol loka AD.

Na primer, če $\breve(AD)$ vsebuje 124°, potem ∠B vsebuje 62°.

Tretji primer. Središče kroga leži zunaj včrtanega kota (slika 333).

Naj bo ∠MAD včrtan kot. Središče kroga O je zunaj vogala. Dokazati moramo, da se ∠MAD meri s polovico loka MD.

Da bi to dokazali, narišimo premer AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Toda ∠MAB meri 1/2 $\breve(MB)$, ∠DAB pa meri 1/2 $\breve(DB)$.

Zato ∠MAD meri 1 / 2 ($\breve(MB) - \breve(DB))\, tj. 1 / 2 \(\breve(MD)$.

Na primer, če $\breve(MD)$ vsebuje 48° 38", potem ∠MAD vsebuje 24° 19' 8".

Posledice
1. Vsi včrtani koti, ki segajo v isti lok, so med seboj enaki, saj se merijo s polovico istega loka. (Slika 334, a).

2. Včrtan kot, ki ga sestavlja premer, je pravi kot, saj se nahaja na polovici kroga. Pol kroga vsebuje 180 ločnih stopinj, kar pomeni, da kot, ki temelji na premeru, vsebuje 90 ločnih stopinj (slika 334, b).

Včrtani kot, teorija problema. prijatelji! V tem članku bomo govorili o nalogah, za katere morate poznati lastnosti včrtanega kota. To je cela skupina nalog, vključene so v enotni državni izpit. Večino jih je mogoče rešiti zelo preprosto, v eni akciji.

Obstajajo težji problemi, vendar vam ne bodo predstavljali veliko težav, poznati morate lastnosti včrtanega kota. Postopoma bomo analizirali vse prototipe nalog, vabim vas na blog!

Zdaj pa potrebna teorija. Spomnimo se, kaj je središčni in včrtani kot, tetiva, lok, na katerega slonijo ti koti:

Središčni kot v krogu je ravninski kot zvrh v njegovem središču.
Del kroga, ki se nahaja znotraj ravninskega kotaimenujemo krožni lok.
Stopinjska mera krožnega loka se imenuje stopinjska meraustreznega središčnega kota.
Pravimo, da je kot vpisan v krog, če leži oglišče kotana krogu, stranice kota pa sekajo ta krog.

Odsek, ki povezuje dve točki na krožnici, se imenujeakord. Največja tetiva poteka skozi središče kroga in se imenujepremer.

Za reševanje problemov, ki vključujejo kote, včrtane v krog,morate poznati naslednje lastnosti:

1. Včrtani kot je enak polovici središčnega kota, ki temelji na istem loku.

2. Vsi včrtani koti, ki segajo v isti lok, so enaki.

3. Vsi včrtani koti, ki temeljijo na isti tetivi in katerih oglišča ležijo na isti strani te tetive, so enaki.

4. Vsak par kotov, ki temeljijo na isti tetivi, katerih oglišča ležijo vzdolž različne strani akordi seštejejo do 180°.

Posledica: nasprotni koti štirikotnika, včrtanega v krog, znašajo 180 stopinj.

5. Vsi včrtani koti, ki jih sega premer, so pravi koti.

Na splošno je ta lastnost posledica lastnosti (1), to je njen poseben primer. Poglejte - središčni kot je enak 180 stopinjam (in ta razgrnjeni kot ni nič drugega kot premer), kar pomeni, da je po prvi lastnosti včrtani kot C enak njegovi polovici, to je 90 stopinj.

Poznavanje te lastnosti pomaga pri reševanju številnih težav in vam pogosto omogoča, da se izognete nepotrebnim izračunom. Ko jo boste dobro obvladali, boste več kot polovico tovrstnih nalog rešili ustno. Dva zaključka, ki ju je mogoče potegniti:

Posledica 1: če je trikotnik vpisan v krog in ena od njegovih stranic sovpada s premerom tega kroga, potem je trikotnik pravokoten (vrh pravi kot leži na krogu).

Posledica 2: središče kroga, urejenega okrog pravokotnega trikotnika, sovpada s sredino njegove hipotenuze.

Številni prototipi stereometričnih problemov so prav tako rešeni z uporabo te lastnosti in teh posledic. Zapomnite si samo dejstvo: če je premer kroga stranica včrtanega trikotnika, potem je ta trikotnik pravokoten (kot nasproti premera je 90 stopinj). Vse druge zaključke in posledice lahko potegnete sami, ni vam jih treba učiti.

Praviloma je polovica nalog o včrtanem kotu podana s skico, vendar brez simbolov. Za razumevanje postopka sklepanja pri reševanju problemov (spodaj v članku) so uvedeni zapisi za oglišča (kote). Tega vam ni treba opraviti na enotnem državnem izpitu.Razmislimo o nalogah:

Kolikšna je vrednost ostrega včrtanega kota, ki ga sega tetiva, ki je enaka polmeru kroga? Podajte svoj odgovor v stopinjah.

Konstruirajmo središčni kot za dani včrtani kot in označimo oglišča:

Glede na lastnost kota, vpisanega v krog:

Kot AOB je enak 60 0, ker je trikotnik AOB enakostranični, v enakostraničnem trikotniku pa so vsi koti enaki 60 0. Stranici trikotnika sta enaki, saj pogoj pravi, da je tetiva enaka polmeru.

Tako je včrtani kot ACB enak 30 0.

Odgovor: 30

Poiščite tetivo, ki jo podpira kot 30 0, včrtan v krog s polmerom 3.

To je v bistvu inverzni problem (prejšnjega). Konstruirajmo središčni kot.

Je dvakrat večji od včrtanega, to pomeni, da je kot AOB enak 60 0. Iz tega lahko sklepamo, da je trikotnik AOB enakostranični. Tako je tetiva enaka polmeru, to je tri.

Odgovor: 3

Polmer krožnice je 1. Poiščite velikost topega včrtanega kota, ki ga sega tetiva, ki je enaka korenu iz dva. Podajte svoj odgovor v stopinjah.

Konstruirajmo središčni kot:

Če poznamo polmer in tetivo, lahko najdemo središčni kot ASV. To lahko storimo z uporabo kosinusnega izreka. Če poznamo središčni kot, zlahka najdemo včrtan kot ACB.

Kosinusni izrek: kvadrat poljubne stranice trikotnika enaka vsoti kvadrata drugih dveh strani, ne da bi podvojili produkt teh strani s kosinusom kota med njima.

Zato je drugi središčni kot 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Kot ACB je po lastnosti včrtanega kota enak njegovi polovici, to je 135 stopinj.

Odgovor: 135

Poiščite tetivo, ki je pod kotom 120 stopinj, včrtana v krog polmera korena tri.

Povežimo točki A in B s središčem kroga. Označimo ga z O:

Poznamo polmer in včrtani kot ASV. Najdemo lahko središčni kot AOB (večji od 180 stopinj), nato pa najdemo kot AOB v trikotniku AOB. In nato z uporabo kosinusnega izreka izračunajte AB.

Glede na lastnost včrtanega kota bo središčni kot AOB (ki je večji od 180 stopinj) enak dvakratniku včrtanega kota, to je 240 stopinj. To pomeni, da je kot AOB v trikotniku AOB enak 360 0 – 240 0 = 120 0.

Glede na kosinusni izrek:

Odgovor:3

Poiščite včrtani kot, ki ga sega lok, ki je 20 % kroga. Podajte svoj odgovor v stopinjah.

Glede na lastnost včrtanega kota je polovica velikosti središčnega kota, ki temelji na istem loku, v v tem primeru Govorimo o loku AB.

Rečeno je, da lok AB obsega 20 odstotkov obsega. To pomeni, da je tudi središčni kot AOB 20 odstotkov od 360 0.*Krog je kot 360 stopinj. pomeni,

Tako je včrtani kot ACB 36 stopinj.

Odgovor: 36

Krožni lok A.C., ki ne vsebuje točke B, je 200 stopinj. In krožni lok BC, ki ne vsebuje točke A, je 80 stopinj. Poišči pričrtan kot ACB. Podajte svoj odgovor v stopinjah.

Zaradi jasnosti označimo loke, katerih kotne mere so podane. Lok, ki ustreza 200 stopinjam – Modra barva, lok, ki ustreza 80 stopinjam, je rdeč, preostali del kroga je rumena.

Tako je stopinjska mera loka AB (rumena) in torej središčni kot AOB: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Včrtani kot ACB je polovica središčnega kota AOB, to je enak 40 stopinj.

Odgovor: 40

Kolikšen je črtani kot, ki ga razteza premer kroga? Podajte svoj odgovor v stopinjah.

Treba je poznati lastnost včrtanega kota; razumeti, kdaj in kako uporabiti kosinusni izrek, izvedeti več o njem.

To je vse! Želim ti uspeh!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh

Učiteljica matematike v šoli v tretjem razredu:
- Otroci, povejte mi, koliko je 6*6?
Otroci odgovarjajo v en glas:
- 76!
- No, kaj pravite, otroci! Šest krat šest bo šestintrideset ... no, morda še 37, 38, 39 ... no, največ 40 ... ne pa šestinsedemdeset!

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.