Sistemi linearnih enačb z modulom. Kaj je modul števila v matematiki

Modul je absolutna vrednost izraza. Da bi nekako označili modul, je običajno uporabiti ravne oklepaje. Vrednost, ki je v sodih oklepajih, je vrednost, ki je vzeta po modulu. Postopek reševanja katerega koli modula je sestavljen iz odpiranja tistih zelo ravnih oklepajev, ki se v matematičnem jeziku imenujejo modularni oklepaji. Njihovo razkritje poteka v skladu z določenim številom pravil. Tudi v vrstnem redu reševanja modulov najdemo nize vrednosti tistih izrazov, ki so bili v modularnih oklepajih. V večini primerov se modul razširi tako, da izraz, ki je bil podmodularen, prejme pozitivne in negativne vrednosti, vključno z vrednostjo nič. Če izhajamo iz ugotovljenih lastnosti modula, potem se pri tem sestavijo različne enačbe ali neenačbe iz prvotnega izraza, ki jih je nato treba rešiti. Ugotovimo, kako rešiti module.

Postopek rešitve

Reševanje modula se začne s pisanjem izvirne enačbe z modulom. Če želite odgovoriti na vprašanje, kako rešiti enačbe z modulom, ga morate popolnoma odpreti. Za rešitev takšne enačbe se modul razširi. Upoštevati je treba vse modularne izraze. Treba je ugotoviti, pri katerih vrednostih neznanih količin, vključenih v njegovo sestavo, modularni izraz v oklepajih postane nič. Da bi to naredili, je dovolj, da izraz v modularnih oklepajih enačimo z nič in nato izračunamo rešitev dobljene enačbe. Najdene vrednosti je treba zabeležiti. Na enak način morate določiti tudi vrednost vseh neznanih spremenljivk za vse module v tej enačbi. Nato morate začeti definirati in upoštevati vse primere obstoja spremenljivk v izrazih, ko so drugačne od vrednosti nič. Če želite to narediti, morate zapisati nek sistem neenakosti, ki ustreza vsem modulom v prvotni neenakosti. Neenakosti morajo biti sestavljene tako, da zajemajo vse razpoložljive in možne vrednosti za spremenljivko, ki se nahaja na številski premici. Nato morate za vizualizacijo narisati to isto številsko premico, na katero kasneje narišete vse dobljene vrednosti.

Na internetu je zdaj mogoče narediti skoraj vse. Modul ni izjema od pravila. Lahko ga rešite na spletu na enem od številnih sodobnih virov. Vse tiste vrednosti spremenljivke, ki so v ničelnem modulu, bodo posebna omejitev, ki bo uporabljena v procesu reševanja modularne enačbe. V prvotni enačbi morate odpreti vse razpoložljive modularne oklepaje, medtem ko spremenite znak izraza, tako da vrednosti želene spremenljivke sovpadajo s tistimi vrednostmi, ki so vidne na številski premici. Nastalo enačbo je treba rešiti. Vrednost spremenljivke, ki jo bomo pridobili pri reševanju enačbe, je treba preveriti glede na omejitev, ki jo določa sam modul. Če vrednost spremenljivke v celoti izpolnjuje pogoj, potem je pravilna. Vse korenine, ki jih bomo dobili med reševanjem enačbe, vendar ne bodo ustrezale omejitvam, je treba zavreči.

Ena najtežjih tem za študente je reševanje enačb, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula. Najprej ugotovimo, s čim je to povezano? Zakaj na primer večina otrok razbija kvadratne enačbe kot orehe, vendar ima toliko težav s tako daleč od zapletenega koncepta, kot je modul?

Po mojem mnenju so vse te težave povezane s pomanjkanjem jasno oblikovanih pravil za reševanje enačb z modulom. Torej, odločanje kvadratna enačba, učenec zagotovo ve, da mora najprej uporabiti diskriminantno formulo, nato pa še formule za korenine kvadratne enačbe. Kaj storiti, če je v enačbi najden modul? Poskušali bomo jasno opisati potreben akcijski načrt za primer, ko enačba vsebuje neznanko pod znakom modula. Za vsak primer bomo podali več primerov.

Toda najprej se spomnimo definicija modula. Torej, modulo števila a sama ta številka se imenuje, če a nenegativno in -a, če št a manj kot nič. Lahko zapišete takole:

|a| = a, če je a ≥ 0 in |a| = -a če a< 0

Govoriti o geometrijski smisel modulu, ne smemo pozabiti, da vsako realno število ustreza določeni točki na številski osi - njenemu koordinirati. Torej, modul oz absolutna vrednostštevilo je razdalja od te točke do izhodišča številske osi. Razdalja je vedno navedena kot pozitivno število. Tako modul katerega koli negativno število je pozitivno število. Mimogrede, tudi na tej stopnji se mnogi učenci začnejo zmedati. Modul lahko vsebuje poljubno število, vendar je rezultat uporabe modula vedno pozitivno število.

Zdaj pa pojdimo neposredno k reševanju enačb.

1. Razmislite o enačbi oblike |x| = c, kjer je c realno število. To enačbo je mogoče rešiti z uporabo definicije modula.

Vsa realna števila razdelimo v tri skupine: tista, ki so večja od nič, tista, ki so manjša od nič, tretja skupina pa je število 0. Rešitev zapišemo v obliki diagrama:

(±c, če je c > 0

Če |x| = c, potem je x = (0, če je c = 0

(brez korenin, če z< 0

1) |x| = 5, ker 5 > 0, potem je x = ±5;

2) |x| = -5, ker -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, potem je x = 0.

2. Enačba oblike |f(x)| = b, kjer je b > 0. Za rešitev te enačbe se je potrebno znebiti modula. To naredimo tako: f(x) = b ali f(x) = -b. Zdaj morate rešiti vsako od nastalih enačb posebej. Če je v prvotni enačbi b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, ker 4 > 0, torej

x + 2 = 4 ali x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, ker 11 > 0, torej

x 2 – 5 = 11 ali x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 brez korenin

3) |x 2 – 5x| = -8, ker -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Enačba oblike |f(x)| = g(x). Glede na pomen modula bo taka enačba imela rešitve, če je desni del večja ali enaka nič, tj. g(x) ≥ 0. Potem bomo imeli:

f(x) = g(x) oz f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Ta enačba bo imela korene, če je 5x – 10 ≥ 0. Tu se začne reševanje takih enačb.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Rešitev:

2x – 1 = 5x – 10 ali 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Kombiniramo O.D.Z. in rešitev, dobimo:

Koren x = 11/7 se ne ujema z O.D.Z., je manjši od 2, vendar x = 3 izpolnjuje ta pogoj.

Odgovor: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Rešimo to neenačbo z intervalno metodo:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Rešitev:

x – 1 = 1 – x 2 ali x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 ali x = 1 x = 0 ali x = 1

3. Kombiniramo raztopino in O.D.Z.:

Primerna sta samo korena x = 1 in x = 0.

Odgovor: x = 0, x = 1.

4. Enačba oblike |f(x)| = |g(x)|. Takšna enačba je enakovredna naslednjima enačbama f(x) = g(x) ali f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Ta enačba je enakovredna naslednjima dvema:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ali x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 ali x = 4 x = 2 ali x = 1

Odgovor: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Enačbe rešene z metodo substitucije (zamenjava spremenljivke). Ta metoda rešitve je najlažje razložiti v konkreten primer. Torej, dobimo kvadratno enačbo z modulom:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Po lastnosti modula x 2 = |x| 2, tako da lahko enačbo prepišemo na naslednji način:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Naredimo zamenjavo |x| = t ≥ 0, potem bomo imeli:

t 2 – 6t + 5 = 0. Pri reševanju te enačbe ugotovimo, da je t = 1 ali t = 5. Vrnimo se k zamenjavi:

|x| = 1 ali |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Odgovor: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Poglejmo še en primer:

x 2 + |x| – 2 = 0. Po lastnosti modula x 2 = |x| 2 torej

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Naredimo zamenjavo |x| = t ≥ 0, potem:

t 2 + t – 2 = 0. Če rešimo to enačbo, dobimo t = -2 ali t = 1. Vrnimo se k zamenjavi:

|x| = -2 ali |x| = 1

Ni korenin x = ± 1

Odgovor: x = -1, x = 1.

6. Druga vrsta enačb so enačbe s "kompleksnim" modulom. Take enačbe vključujejo enačbe, ki imajo »module znotraj modula«. Enačbe te vrste je mogoče rešiti z uporabo lastnosti modula.

1) |3 – |x|| = 4. Ravnali bomo enako kot pri enačbah druge vrste. Ker 4 > 0, potem dobimo dve enačbi:

3 – |x| = 4 ali 3 – |x| = -4.

Zdaj izrazimo modul x v vsaki enačbi, nato pa |x| = -1 ali |x| = 7.

Rešimo vsako od nastalih enačb. V prvi enačbi ni korenin, ker -1< 0, а во втором x = ±7.

Odgovori x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. To enačbo rešimo na podoben način:

3 + |x + 1| = 5 ali 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ali x + 1 = -2. Brez korenin.

Odgovor: x = -3, x = 1.

Obstaja tudi univerzalna metoda za reševanje enačb z modulom. To je intervalna metoda. Vendar si ga bomo ogledali kasneje.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Reševanje enačb in neenačb z modulom pogosto povzroča težave. Vendar, če dobro razumete, kaj je absolutna vrednost števila, In kako pravilno razširiti izraze, ki vsebujejo znak modula, potem prisotnost v enačbi izraz pod znakom modula, preneha biti ovira za njegovo rešitev.

Malo teorije. Vsako število ima dve značilnosti: absolutno vrednost števila in njegov predznak.

Na primer, število +5 ali preprosto 5 ima znak "+" in absolutno vrednost 5.

Število -5 ima znak "-" in absolutno vrednost 5.

Absolutni vrednosti števil 5 in -5 sta 5.

Absolutno vrednost števila x imenujemo modul števila in jo označujemo z |x|.

Kot vidimo, je modul števila enak samemu številu, če je to število večje ali enako nič, in temu številu z nasprotnim predznakom, če je to število negativno.

Enako velja za vse izraze, ki se pojavijo pod znakom modula.

Pravilo razširitve modula izgleda takole:

|f(x)|= f(x), če je f(x) ≥ 0, in

|f(x)|= - f(x), če je f(x)< 0

Na primer |x-3|=x-3, če je x-3≥0 in |x-3|=-(x-3)=3-x, če je x-3<0.

Če želite rešiti enačbo, ki vsebuje izraz pod znakom modula, morate najprej razširite modul v skladu s pravilom razširitve modula.

Nato postane naša enačba ali neenakost v dve različni enačbi, ki obstajata na dveh različnih numeričnih intervalih.

Ena enačba obstaja na numeričnem intervalu, na katerem je izraz pod znakom modula nenegativen.

In druga enačba obstaja na intervalu, na katerem je izraz pod znakom modula negativen.

Poglejmo preprost primer.

Rešimo enačbo:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Odprimo modul.

|x-3|=x-3, če je x-3≥0, tj. če je x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, če je x-3<0, т.е. если х<3

2. Dobili smo dva številska intervala: x≥3 in x<3.

Razmislimo, v katere enačbe se pretvori izvirna enačba na posameznem intervalu:

A) Za x≥3 |x-3|=x-3 ima naša poškodba obliko:

Pozor! Ta enačba obstaja le na intervalu x≥3!

Odprimo oklepaje in predstavimo podobne izraze:

in reši to enačbo.

Ta enačba ima korenine:

x 1 =0, x 2 =3

Pozor! ker enačba x-3=-x 2 +4x-3 obstaja samo na intervalu x≥3, nas zanimajo le tisti koreni, ki pripadajo temu intervalu. Ta pogoj je izpolnjen le pri x 2 =3.

B) Pri x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Pozor! Ta enačba obstaja le na intervalu x<3!

Odprimo oklepaje in predstavimo podobne izraze. Dobimo enačbo:

x 1 =2, x 2 =3

Pozor! saj enačba 3-x=-x 2 +4x-3 obstaja le na intervalu x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Torej: iz prvega intervala vzamemo samo koren x=3, iz drugega - koren x=2.

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Med primerov na modul Pogosto morate najti enačbe korenine modula v modulu, to je enačba oblike
||a*x-b|-c|=k*x+m .
Če je k=0, torej je desna stran enaka konstanti (m), potem je lažje iskati rešitev enačbe z moduli grafično. Spodaj je metoda odpiranje dvojnih modulov z uporabo običajnih primerov v praksi. Dobro razumejte algoritem za izračun enačb z moduli, da ne boste imeli težav pri kvizih, testih in samo na znanje.

Primer 1. Rešite enačbo po modulu |3|x|-5|=-2x-2.
Rešitev: Vedno začnite odpirati enačbe iz notranjega modula
|x|=0 <->x=0.
V točki x=0 se enačba z modulom deli z 2.
Pri x< 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
Za x>0 ali enako, razširitev modula dobimo
|3x-5|=-2x-2 .
Rešimo enačbo za negativne spremenljivke (x< 0) . Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

Iz prve enačbe dobimo, da rešitev ne sme preseči (-1), tj.

Ta omejitev v celoti sodi v področje, ki ga rešujemo. Premaknimo spremenljivke in konstante na nasprotne strani enakosti v prvem in drugem sistemu

in našli bomo rešitev


Obe vrednosti pripadata intervalu, ki se obravnava, to je, da sta korenini.
Razmislite o enačbi z moduli za pozitivne spremenljivke
|3x-5|=-2x-2.
Z razširitvijo modula dobimo dva sistema enačb

Iz prve enačbe, ki je skupna obema sistemoma, dobimo znani pogoj

ki v preseku z množico, na kateri iščemo rešitev, da prazno množico (presečišč ni). Torej so edine korenine modula z modulom vrednosti
x=-3; x=-1,4.

Primer 2. Rešite enačbo z modulom ||x-1|-2|=3x-4.
Rešitev: Začnimo z odpiranjem notranjega modula
|x-1|=0 <=>x=1.
Submodularna funkcija spremeni predznak pri enem. Za manjše vrednosti je negativen, za večje pa pozitiven. V skladu s tem dobimo pri razširitvi notranjega modula dve enačbi z modulom
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Ne pozabite preveriti desne strani enačbe modula; ta mora biti večja od nič.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
To pomeni, da prve enačbe ni treba reševati, saj je bila zapisana za x< 1, что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 ali x-3=4-3x;
4-3=3x-x ali x+3x=4+3;
2x=1 ali 4x=7;
x=1/2 ali x=7/4.
Prejeli smo dve vrednosti, od katerih je prva zavrnjena, ker ne spada v zahtevani interval. Končno ima enačba eno rešitev x=7/4.

Primer 3. Rešite enačbo z modulom ||2x-5|-1|=x+3.
Rešitev: Odprimo notranji modul
|2x-5|=0 <=>x=5/2=2,5.
Točka x=2,5 razdeli številsko premico na dva intervala. Oziroma submodularno funkcijo spremeni predznak pri prehodu skozi 2.5. Zapišimo pogoj za rešitev z desna stran enačbe z modulom.
x+3>=0 -> x>=-3.
Torej je rešitev lahko vrednosti, ki niso manjše od (-3) . Razširimo modul za negativno vrednost notranjega modula
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Ta modul bo dal tudi 2 enačbi, ko bo razširjen
-2x+4=x+3 ali 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 ali 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 ali x=7.
Vrednost x=7 zavrnemo, saj smo rešitev iskali v intervalu [-3;2,5]. Zdaj odpremo notranji modul za x>2,5. Dobimo enačbo z enim modulom
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
Pri razširitvi modula dobimo naslednje linearne enačbe
-2x+6=x+3 ali 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 ali 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 ali x=9.
Prva vrednost x=1 ne zadošča pogoju x>2,5. Na tem intervalu imamo torej en koren enačbe z modulom x=9, skupaj pa sta dva (x=1/3).S substitucijo lahko preverite pravilnost izvedenih izračunov
Odgovor: x=1/3; x=9.

Primer 4. Poiščite rešitve za dvojni modul ||3x-1|-5|=2x-3.
Rešitev: Razširimo notranji modul enačbe
|3x-1|=0 <=>x=1/3.
Točka x=2,5 deli številsko premico na dva intervala in dano enačbo na dva primera. Zapišemo pogoj za rešitev glede na obliko enačbe na desni strani
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Iz tega sledi, da nas zanimajo vrednosti >=1,5. torej modularna enačba upoštevajte dva intervala
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Nastali modul, ko je razširjen, je razdeljen na 2 enačbi
-3x-4=2x-3 ali 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 ali 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 ali x=-7.
Obe vrednosti ne spadata v interval, to pomeni, da nista rešitvi enačbe z moduli. Nato bomo razširili modul za x>2,5. Dobimo naslednjo enačbo
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Z razširitvijo modula dobimo 2 linearni enačbi
3x-6=2x-3 oz –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 ali 2x+3x=6+3;
x=3 ali 5x=9; x=9/5=1,8.
Druga ugotovljena vrednost ne ustreza pogoju x>2,5, zato jo zavrnemo.
Končno imamo en koren enačbe z moduli x=3.
Izvajanje preverjanja
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
Koren enačbe z modulom je bil pravilno izračunan.
Odgovor: x=1/3; x=9.