Kaj je seštevanje naprej ali množenje? Izobraževalno in metodološko gradivo iz matematike (3. razred) na temo: Primeri vrstnega reda dejanj

V petem stoletju pred našim štetjem je starogrški filozof Zenon iz Eleje oblikoval svoje znamenite aporije, med katerimi je najbolj znana aporija »Ahil in želva«. Takole zveni:

Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga Ahil potrebuje, da preteče to razdaljo, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, se želva plazi še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval ad infinitum, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.

To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače obravnavali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ... razprave se nadaljujejo še danes, znanstvena skupnost še ni uspela priti do enotnega mnenja o bistvu paradoksov ... v preučevanje problematike so bili vključeni matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi ; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, v čem je prevara.

Z matematičnega vidika je Zenon v svoji aporiji jasno prikazal prehod od kvantitete k . Ta prehod pomeni uporabo namesto stalnih. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen pri Zenonovi aporiji. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Mi pa zaradi vztrajnosti mišljenja na recipročno vrednost dodajamo stalne časovne enote. S fizičnega vidika je to videti kot upočasnjevanje časa, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.

Če obrnemo našo običajno logiko, se vse postavi na svoje mesto. Ahil teče s konstantno hitrostjo. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo Ahil dohitel želvo neskončno hitro."

Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v stalnih časovnih enotah in ne preklopite na recipročne enote. V Zenonovem jeziku je to videti takole:

V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče tisoč korakov, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, ki je enak prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.

Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Vendar to ni popolna rešitev problema. Einsteinova izjava o neustavljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.

Druga zanimiva Zenonova aporija govori o leteči puščici:

Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.

V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba opozoriti na drugo točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Če želite ugotoviti, ali se avto premika, potrebujete dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ne morete določiti razdalje od njiju. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji različne točke prostora v eni točki časa, vendar je iz njih nemogoče ugotoviti dejstvo gibanja (seveda so za izračune še vedno potrebni dodatni podatki, trigonometrija vam bo pomagala). Posebno pozornost želim opozoriti na to, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo mešati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.

Sreda, 4. julij 2018

Razlike med množico in množico so zelo dobro opisane na Wikipediji. Pa poglejmo.

Kot lahko vidite, »v nizu ne moreta biti dva enaka elementa«, če pa so v nizu enaki elementi, se tak niz imenuje »multiset«. Razumna bitja ne bodo nikoli razumela takšne absurdne logike. To je raven govoreče papige in trenirane opice, ki nimajo nobene inteligence iz besede "popolnoma". Matematiki delujejo kot navadni trenerji in nam pridigajo svoje absurdne ideje.

Nekoč so bili inženirji, ki so gradili most, v čolnu pod mostom, medtem ko so preizkušali most. Če se je most zrušil, je povprečen inženir umrl pod ruševinami svoje stvaritve. Če je most zdržal obremenitev, je nadarjeni inženir zgradil druge mostove.

Ne glede na to, kako se matematiki skrivajo za besedno zvezo »pozor, jaz sem v hiši« ali bolje rečeno »matematika preučuje abstraktne pojme«, obstaja ena popkovina, ki jih neločljivo povezuje z realnostjo. Ta popkovina je denar. Uporabimo matematično teorijo množic za same matematike.

Zelo dobro smo se učili matematiko in zdaj sedimo za blagajno in delimo plače. Matematik torej pride k nam po svoj denar. Celoten znesek mu preštejemo in ga razporedimo po svoji mizi v različne kupčke, v katere damo bankovce enakih vrednosti. Nato iz vsakega kupa vzamemo po en račun in damo matematiku njegov »matematični nabor plače«. Pojasnimo matematiku, da bo preostale račune prejel šele, ko bo dokazal, da množica brez enakih elementov ni enaka množici z enakimi elementi. Tu se začne zabava.

Najprej bo delovala logika poslancev: "To lahko velja za druge, zame pa ne!" Potem nas bodo začeli prepričevati, da imajo bankovci istega apoena različne številke bankovcev, kar pomeni, da jih ni mogoče šteti za iste elemente. V redu, preštejmo plače v kovancih - na kovancih ni številk. Tu se bo matematik začel mrzlično spominjati fizike: različni kovanci imajo različno količino umazanije, kristalna struktura in razporeditev atomov je edinstvena za vsak kovanec ...

In zdaj imam največ zanimanje Vprašaj: kje je črta, za katero se elementi multimnožice spremenijo v elemente množice in obratno? Takšna linija ne obstaja – o vsem odločajo šamani, znanost tu niti približno ne laže.

Poglej tukaj. Izberemo nogometne stadione z enako površino igrišča. Območja polj so enaka – kar pomeni, da imamo multimnožico. Če pa pogledamo imena teh istih stadionov, jih dobimo veliko, saj so imena različna. Kot lahko vidite, je ista množica elementov hkrati množica in multimnožica. Katera je pravilna? In tu matematik-šaman-oštar potegne iz rokava asa adutov in nam začne pripovedovati ali o množici ali multimnožici. V vsakem primeru nas bo prepričal, da ima prav.

Da bi razumeli, kako sodobni šamani operirajo s teorijo množic in jo povezujejo z realnostjo, je dovolj odgovoriti na eno vprašanje: kako se elementi enega sklopa razlikujejo od elementov drugega? Pokazal vam bom, brez kakršnih koli "predstavljivo kot enotna celota" ali "ni predstavljivo kot ena sama celota."

Nedelja, 18. marec 2018

Vsota števk števila je ples šamanov s tamburinom, ki nima nobene zveze z matematiko. Da, pri pouku matematike nas učijo najti vsoto števk števila in jo uporabiti, a zato so šamani, da svoje potomce učijo svojih veščin in modrosti, sicer bodo šamani preprosto izumrli.

Potrebujete dokaz? Odprite Wikipedijo in poskusite najti stran "Vsota števk števila." Ona ne obstaja. V matematiki ni formule, s katero bi lahko našli vsoto števk katerega koli števila. Navsezadnje so številke grafični znaki, s katerimi pišemo števila, v matematičnem jeziku pa naloga zveni takole: »Poišči vsoto grafičnih znakov, ki predstavljajo poljubno število.« Matematiki tega problema ne morejo rešiti, šamani pa to z lahkoto.

Ugotovimo, kaj in kako naredimo, da bi našli vsoto števk danega števila. In tako imamo številko 12345. Kaj je treba storiti, da bi našli vsoto števk tega števila? Razmislimo o vseh korakih po vrstnem redu.

1. Zapišite številko na list papirja. Kaj smo storili? Število smo pretvorili v grafični številski simbol. To ni matematična operacija.

2. Eno nastalo sliko razrežemo na več slik, ki vsebujejo posamezne številke. Rezanje slike ni matematična operacija.

3. Posamezne grafične znake pretvorite v številke. To ni matematična operacija.

4. Seštej dobljena števila. Zdaj je to matematika.

Vsota števk števila 12345 je 15. To so »tečaji krojenja in šivanja«, ki jih poučujejo šamani, uporabljajo pa jih matematiki. A to še ni vse.

Z matematičnega vidika ni vseeno, v katerem številskem sistemu zapišemo število. Torej, v različne sisteme V računstvu bo vsota števk istega števila drugačna. V matematiki je številski sistem označen kot indeks na desni strani števila. Z veliko število 12345 Nočem si delati glave, poglejmo številko 26 iz članka o . Zapišimo to število v dvojiškem, osmiškem, decimalnem in šestnajstiškem številskem sistemu. Vsakega koraka ne bomo gledali pod mikroskopom; to smo že storili. Poglejmo rezultat.

Kot lahko vidite, je v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. Ta rezultat nima nobene zveze z matematiko. To je enako, kot če bi določili površino pravokotnika v metrih in centimetrih, bi dobili popolnoma drugačne rezultate.

Ničla je videti enako v vseh številskih sistemih in nima vsote števk. To je še en argument v prid dejstvu, da. Vprašanje za matematike: kako se v matematiki označi nekaj, kar ni številka? Kaj, za matematike ne obstaja nič razen številk? Šamanom to lahko dovolim, znanstvenikom pa ne. Realnost niso samo številke.

Dobljeni rezultat je treba obravnavati kot dokaz, da so številski sistemi merske enote za števila. Navsezadnje ne moremo primerjati števil z različnimi merskimi enotami. Če enaka dejanja z različnimi merskimi enotami iste količine po primerjavi privedejo do različnih rezultatov, potem to nima nobene zveze z matematiko.

Kaj je prava matematika? To je takrat, ko rezultat matematične operacije ni odvisen od velikosti števila, uporabljene merske enote in od tega, kdo to dejanje izvaja.

Znak na vratih Odpre vrata in reče:

Oh! Ali ni to žensko stranišče?
- Mlada ženska! To je laboratorij za preučevanje nedefilske svetosti duš med njihovim vnebovzetjem v nebesa! Halo na vrhu in puščica navzgor. Kakšno drugo stranišče?

Ženska... Avreol na vrhu in puščica navzdol sta moški.

Če se vam takšno umetniško delo večkrat na dan zasveti pred očmi,

Potem ni presenetljivo, da nenadoma najdete čudno ikono v svojem avtomobilu:

Osebno se trudim, da pri kakajočem človeku vidim minus štiri stopinje (ena slika) (kompozicija večih slik: znak minus, številka štiri, oznaka stopinj). In mislim, da to dekle ni bedak, ki ne pozna fizike. Samo ima močan stereotip dojemanja grafičnih podob. In tega nas matematiki ves čas učijo. Tukaj je primer.

1A ni "minus štiri stopinje" ali "en a". To je "človek, ki se pokaka" ali številka "šestindvajset" v šestnajstiškem zapisu. Tisti ljudje, ki nenehno delajo v tem sistemu številk, samodejno zaznajo številko in črko kot en grafični simbol.

Ko delamo z različnimi izrazi, ki vključujejo številke, črke in spremenljivke, moramo delovati veliko število aritmetične operacije. Ko izvajamo pretvorbo ali izračunamo vrednost, je zelo pomembno, da sledimo pravilnemu vrstnemu redu teh dejanj. Z drugimi besedami, aritmetične operacije imajo svoj poseben vrstni red izvajanja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

V tem članku vam bomo povedali, katera dejanja je treba izvesti najprej in katera pozneje. Najprej si poglejmo nekaj preprostih izrazov, ki vsebujejo le spremenljivke oz številske vrednosti, pa tudi znake za deljenje, množenje, odštevanje in seštevanje. Nato vzemimo primere z oklepaji in razmislimo, v kakšnem vrstnem redu jih je treba izračunati. V tretjem delu bomo podali potreben vrstni red transformacij in izračunov v tistih primerih, ki vključujejo znake korenov, potence in druge funkcije.

Definicija 1

V primeru izrazov brez oklepajev je vrstni red dejanj določen nedvoumno:

Vsa dejanja se izvajajo od leve proti desni.
Najprej izvedemo deljenje in množenje, nato pa odštevanje in seštevanje.

Pomen teh pravil je lahko razumeti. Tradicionalni vrstni red pisanja od leve proti desni določa osnovno zaporedje izračunov, potreba po množenju ali deljenju pa je razložena s samim bistvom teh operacij.

Vzemimo nekaj nalog za jasnost. Uporabili smo le najpreprostejše številske izraze, da smo lahko vse izračune naredili miselno. Tako si lahko hitro zapomnite želeno naročilo in hitro preverite rezultate.

Primer 1

Pogoj: izračunajte koliko bo 7 − 3 + 6 .

rešitev

V našem izrazu ni oklepajev, prav tako ni množenja in deljenja, zato vsa dejanja izvajamo v določenem vrstnem redu. Od sedem najprej odštejemo tri, nato preostanku dodamo šest in na koncu dobimo deset. Tukaj je prepis celotne rešitve:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

odgovor: 7 − 3 + 6 = 10 .

Primer 2

Pogoj: v kakšnem vrstnem redu je treba izvesti izračune v izrazu? 6:2 8:3?

rešitev

Da odgovorimo na to vprašanje, ponovno preberimo pravilo za izraze brez oklepajev, ki smo ga formulirali prej. Tu imamo samo množenje in deljenje, kar pomeni, da se držimo zapisanega vrstnega reda računanja in štejemo zaporedno od leve proti desni.

odgovor: Najprej šest delimo z dva, rezultat pomnožimo z osem in dobljeno število delimo s tri.

Primer 3

Pogoj: izračunaj, koliko bo to 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2.

rešitev

Najprej določimo pravilen vrstni red operacij, saj imamo tu vse osnovne vrste računskih operacij – seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje. Prva stvar, ki jo moramo storiti, je deliti in pomnožiti. Ta dejanja nimajo prednosti eno pred drugim, zato jih izvajamo v zapisanem vrstnem redu od desne proti levi. To pomeni, da je treba 5 pomnožiti s 6, da dobimo 30, nato pa 30 deliti s 3, da dobimo 10. Nato delite 4 z 2, to je 2. Zamenjajmo najdene vrednosti v prvotni izraz:

17 − 5 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Tukaj ni več deljenja ali množenja, zato preostale izračune naredimo po vrsti in dobimo odgovor:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

odgovor:17 − 5 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 7.

Dokler se vrstni red izvajanja dejanj ne zapomni, lahko nad znaki aritmetičnih operacij postavite številke, ki označujejo vrstni red izračuna. Na primer, za zgornji problem bi lahko zapisali takole:

Če imamo dobesedni izrazi, potem z njimi storimo enako: najprej množimo in delimo, nato seštevamo in odštevamo.

Katera so dejanja prve in druge stopnje?

Včasih so v referenčnih knjigah vse aritmetične operacije razdeljene na dejanja prve in druge stopnje. Oblikujmo potrebno definicijo.

Operacije prve stopnje vključujejo odštevanje in seštevanje, drugo - množenje in deljenje.

Če poznamo ta imena, lahko zapišemo prej dano pravilo glede vrstnega reda dejanj, kot sledi:

Definicija 2

V izrazu, ki ne vsebuje oklepajev, morate najprej izvesti dejanja druge stopnje v smeri od leve proti desni, nato dejanja prve stopnje (v isti smeri).

Vrstni red izračunov v izrazih z oklepaji

Sami oklepaji so znak, ki nam pove želeni vrstni red dejanj. V tem primeru pravo pravilo lahko zapišemo takole:

Definicija 3

Če so v izrazu oklepaji, potem je prvi korak, da v njih izvedemo operacijo, nato pa pomnožimo in delimo ter nato seštevamo in odštevamo od leve proti desni.

Kar zadeva izraz v oklepaju, ga lahko obravnavamo kot sestavni del glavnega izraza. Pri izračunu vrednosti izraza v oklepajih ohranimo enak postopek, ki ga poznamo. Ponazorimo našo idejo s primerom.

Primer 4

Pogoj: izračunajte koliko bo 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

rešitev

V tem izrazu so oklepaji, zato začnimo z njimi. Najprej izračunajmo, koliko bo 7 − 2 · 3. Tukaj moramo pomnožiti 2 s 3 in rezultat odšteti od 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Izračunamo rezultat v drugem oklepaju. Tam imamo samo eno dejanje: 6 − 4 = 2 .

Zdaj moramo dobljene vrednosti nadomestiti z izvirnim izrazom:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Začnimo z množenjem in deljenjem, nato izvedemo odštevanje in dobimo:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

S tem so izračuni zaključeni.

odgovor: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

Naj vas ne skrbi, če naš pogoj vsebuje izraz, v katerem nekateri oklepaji obdajajo druge. Zgornje pravilo moramo le dosledno uporabiti za vse izraze v oklepajih. Vzemimo ta problem.

Primer 5

Pogoj: izračunajte koliko bo 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

rešitev

Imamo oklepaj znotraj oklepaja. Začnemo s 3 + 1 + 4 · (2 + 3), in sicer 2 + 3. To bo 5. Vrednost bo treba nadomestiti v izraz in izračunati, da je 3 + 1 + 4 · 5. Spomnimo se, da moramo najprej pomnožiti in nato sešteti: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Če nadomestimo najdene vrednosti v prvotni izraz, izračunamo odgovor: 4 + 24 = 28 .

odgovor: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28.

Z drugimi besedami, pri izračunu vrednosti izraza, ki vključuje oklepaje znotraj oklepajev, začnemo z notranjimi oklepaji in nadaljujemo do zunanjih.

Recimo, da moramo ugotoviti, koliko bo (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1. Začnemo z izrazom v notranjih oklepajih. Ker je 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1, lahko izvirni izraz zapišemo kot (4 + (4 + 1) − 1) − 1. Če ponovno pogledamo notranje oklepaje: 4 + 1 = 5. Prišli smo do izraza (4 + 5 − 1) − 1 . Štejemo 4 + 5 − 1 = 8 in kot rezultat dobimo razliko 8 - 1, katere rezultat bo 7.

Vrstni red računanja v izrazih s potencami, koreni, logaritmi in drugimi funkcijami

Če naš pogoj vsebuje izraz s stopnjo, korenom, logaritmom oz trigonometrična funkcija(sinus, kosinus, tangens in kotangens) ali druge funkcije, potem najprej izračunamo vrednost funkcije. Po tem ravnamo v skladu s pravili, določenimi v prejšnjih odstavkih. Z drugimi besedami, funkcije so po pomembnosti enake izrazu v oklepajih.

Poglejmo primer takšnega izračuna.

Primer 6

Pogoj: poišči, koliko je (3 + 1) · 2 + 6 2 : 3 − 7.

rešitev

Imamo izraz z diplomo, katerega vrednost je treba najprej najti. Štejemo: 6 2 = 36. Sedaj nadomestimo rezultat v izraz, po katerem bo prevzel obliko (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7.

(3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

odgovor: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

V ločenem članku, posvečenem izračunu vrednosti izrazov, ponujamo druge, bolj zapletene primere izračunov v primeru izrazov s koreninami, stopinjami itd. Priporočamo, da se z njim seznanite.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter