Eksponentna moč formule. Eksponentna funkcija, njene lastnosti in graf

1.Eksponentna funkcija je funkcija oblike y(x) = a x, odvisna od eksponenta x, s konstantno vrednostjo osnove stopnje a, kjer je a > 0, a ≠ 0, xϵR (R je množica realnih števil) .

Razmislimo graf funkcije, če baza ne izpolnjuje pogoja: a>0
a) a< 0
Če< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2

Če je a = 0, je funkcija y = definirana in ima konstantno vrednost 0

c) a =1
Če je a = 1, je funkcija y = definirana in ima konstantno vrednost 1

2. Oglejmo si podrobneje eksponentno funkcijo:

0

Funkcijska domena (DOF)

Regija sprejemljive vrednosti funkcije (ODZ)

3. Ničle funkcije (y = 0)

4. Presečišča z ordinatno osjo oy (x = 0)

5. Naraščajoče, padajoče funkcije

Če , potem funkcija f(x) narašča
Če , potem funkcija f(x) pada
Funkcija y= , pri 0 Funkcija y = pri a> 1 monotono narašča
To izhaja iz lastnosti monotonosti potence z realnim eksponentom.

6. Soda, liha funkcija

Funkcija y = ni simetrična glede na os 0y in glede na izhodišče koordinat, zato ni niti soda niti liha. (Splošna funkcija)

7. Funkcija y = nima ekstremov

8. Lastnosti stopnje z realnim eksponentom:

Naj bo a > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Potem za xϵR; yϵR:

Lastnosti stopnje monotonosti:

če, potem
Na primer:

Če je a> 0, potem .
Eksponentna funkcija je zvezna v kateri koli točki ϵ R.

9. Relativni položaj funkcije

Čim večja je osnova a, tem bližje osema x in oy

a > 1, a = 20

Če je a0, ima eksponentna funkcija obliko, ki je blizu y = 0.
Če je a1, potem dlje od osi ox in oy in graf dobi obliko, ki je blizu funkciji y = 1.

Primer 1.
Zgradite graf za y =

Večinska odločitev matematične težave je nekako povezana s pretvorbo numeričnih, algebrskih ali funkcionalnih izrazov. Navedeno velja predvsem za odločitev. V različicah enotnega državnega izpita iz matematike ta vrsta problema vključuje zlasti nalogo C3. Naučiti se reševati naloge C3 ni pomembno le zaradi uspeha opravljanje enotnega državnega izpita, ampak tudi zato, ker bo ta veščina uporabna pri študiju matematike v srednji šoli.

Ko opravljate naloge C3, se morate odločiti različne vrste enačbe in neenačbe. Med njimi so racionalni, iracionalni, eksponentni, logaritmični, trigonometrični, ki vsebujejo module ( absolutne vrednosti), pa tudi kombinirane. Ta članek obravnava glavne vrste eksponentnih enačb in neenačb ter različne metode njihove odločitve. Preberite o reševanju drugih vrst enačb in neenačb v razdelku »« v člankih, posvečenih metodam reševanja problemov C3 iz Možnosti enotnega državnega izpita matematika.

Preden začnemo analizirati specifične eksponentne enačbe in neenačbe, kot mentorica matematike predlagam, da obnovite nekaj teoretičnega gradiva, ki ga bomo potrebovali.

Eksponentna funkcija

Kaj je eksponentna funkcija?

Funkcija obrazca l = a x, Kje a> 0 in a≠ 1 se imenuje eksponentna funkcija.

Osnovno lastnosti eksponentne funkcije l = a x:

Graf eksponentne funkcije

Graf eksponentne funkcije je eksponent:

Grafi eksponentnih funkcij (eksponenti)

Reševanje eksponentnih enačb

Indikativno imenujemo enačbe, v katerih se neznana spremenljivka nahaja le v eksponentih nekaterih potenc.

Za rešitve eksponentne enačbe poznati in znati morate uporabiti naslednji preprost izrek:

1. izrek. Eksponentna enačba a f(x) = a g(x) (Kje a > 0, a≠ 1) je enakovredna enačbi f(x) = g(x).

Poleg tega si je koristno zapomniti osnovne formule in operacije s stopnjami:

Title="Upodobilo QuickLaTeX.com">!}

Primer 1. Reši enačbo:

rešitev: Uporabljamo zgornje formule in zamenjavo:

Enačba potem postane:

Diskriminator prejetega kvadratna enačba pozitivno:

Title="Upodobilo QuickLaTeX.com">!}

To pomeni, da ima ta enačba dva korena. Najdemo jih:

Če preidemo na obratno zamenjavo, dobimo:

Druga enačba je brez korenov, saj je eksponentna funkcija strogo pozitivna skozi celotno domeno definicije. Rešimo drugo:

Ob upoštevanju povedanega v izreku 1 preidemo na ekvivalentno enačbo: x= 3. To bo odgovor na nalogo.

odgovor: x = 3.

Primer 2. Reši enačbo:

rešitev: Enačba nima omejitev glede obsega dovoljenih vrednosti, saj je radikalni izraz smiseln za vsako vrednost x(eksponentna funkcija l = 9 4 -x pozitivno in ni enako nič).

Enačbo rešimo z ekvivalentnimi transformacijami po pravilih množenja in deljenja potenc:

Zadnji prehod je bil izveden v skladu s teoremom 1.

odgovor:x= 6.

Primer 3. Reši enačbo:

rešitev: obe strani prvotne enačbe lahko delimo z 0,2 x. Ta prehod bo enakovreden, saj je ta izraz večji od nič za katero koli vrednost x(eksponentna funkcija je strogo pozitivna v svoji definicijski domeni). Nato ima enačba obliko:

odgovor: x = 0.

Primer 4. Reši enačbo:

rešitev: enačbo poenostavimo na elementarno z ekvivalentnimi transformacijami z uporabo pravil deljenja in množenja potenc, navedenih na začetku članka:

Obe strani enačbe delimo s 4 x, kot v prejšnjem primeru, je enakovredna transformacija, saj ta izraz ni enak nič za nobeno vrednost x.

odgovor: x = 0.

Primer 5. Reši enačbo:

rešitev: funkcijo l = 3x, ki stoji na levi strani enačbe, narašča. funkcija l = —x-2/3 na desni strani enačbe se zmanjšuje. To pomeni, da če se grafi teh funkcij sekajo, potem največ ena točka. IN v tem primeru ni težko uganiti, da se grafa sekata v točki x= -1. Drugih korenin ne bo.

odgovor: x = -1.

Primer 6. Reši enačbo:

rešitev: enačbo poenostavimo z ekvivalentnimi transformacijami, pri čemer povsod upoštevamo, da je eksponentna funkcija strogo večja od nič za vsako vrednost x in z uporabo pravil za izračun zmnožka in kvocienta potenc, podanih na začetku članka:

odgovor: x = 2.

Reševanje eksponentnih neenačb

Indikativno imenujemo neenačbe, v katerih je neznana spremenljivka vsebovana samo v eksponentih nekaterih potenc.

Za rešitve eksponentne neenakosti potrebno je poznavanje naslednjega izreka:

2. izrek.če a> 1, potem neenakost a f(x) > a g(x) je enakovredna neenakosti istega pomena: f(x) > g(x). Če je 0< a < 1, то eksponentna neenakost a f(x) > a g(x) je enakovredna neenakosti z nasprotnim pomenom: f(x) < g(x).

Primer 7. Reši neenačbo:

rešitev: Predstavimo izvirno neenakost v obliki:

Delimo obe strani te neenakosti s 3 2 x, v tem primeru (zaradi pozitivnosti funkcije l= 3 2x) znak neenakosti se ne spremeni:

Uporabimo zamenjavo:

Potem bo neenakost v obliki:

Torej je rešitev neenakosti interval:

če preidemo na obratno zamenjavo, dobimo:

Zaradi pozitivnosti eksponentne funkcije je leva neenakost izpolnjena samodejno. Izkoristiti znana lastnina logaritem, nadaljujemo z enakovredno neenakostjo:

Ker je osnova stopnje število, večje od ena, je enakovreden (po izreku 2) prehod na naslednjo neenakost:

Torej, končno smo dobili odgovor:

Primer 8. Reši neenačbo:

rešitev: Z uporabo lastnosti množenja in deljenja potenc neenakost prepišemo v obliki:

Predstavimo novo spremenljivko:

Ob upoštevanju te zamenjave ima neenakost obliko:

Če pomnožimo števec in imenovalec ulomka s 7, dobimo naslednjo enakovredno neenakost:

Torej, naslednje vrednosti spremenljivke izpolnjujejo neenakost t:

Potem, ko preidemo na obratno zamenjavo, dobimo:

Ker je osnova stopnje tukaj večja od ena, bo prehod na neenakost enakovreden (po izreku 2):

Končno dobimo odgovor:

Primer 9. Reši neenačbo:

rešitev:

Obe strani neenakosti delimo z izrazom:

Vedno je večja od nič (zaradi pozitivnosti eksponentne funkcije), zato predznaka neenakosti ni treba spreminjati. Dobimo:

t, ki se nahaja v intervalu:

Če preidemo na obratno zamenjavo, ugotovimo, da se prvotna neenakost razdeli na dva primera:

Prva neenačba zaradi pozitivnosti eksponentne funkcije nima rešitev. Rešimo drugo:

Primer 10. Reši neenačbo:

rešitev:

Veje parabole l = 2x+2-x 2 je usmerjena navzdol, zato je od zgoraj omejena z vrednostjo, ki jo doseže na svojem vrhu:

Veje parabole l = x 2 -2x+2 v indikatorju je usmerjen navzgor, kar pomeni, da je od spodaj omejen z vrednostjo, ki jo doseže na svojem vrhu:

Hkrati se izkaže, da je funkcija omejena tudi od spodaj l = 3 x 2 -2x+2, kar je na desni strani enačbe. Ona doseže svoj cilj najnižjo vrednost na isti točki kot parabola v eksponentu in ta vrednost je enaka 3 1 = 3. Torej je prvotna neenakost lahko resnična le, če funkcija na levi in ​​funkcija na desni prevzameta vrednost enako 3 na isti točki (s presečiščem. Razpon vrednosti teh funkcij je samo to število). Ta pogoj je izpolnjen v eni sami točki x = 1.

odgovor: x= 1.

Da bi se naučil odločati eksponentne enačbe in neenačbe, v njihovem reševanju se je treba nenehno uriti. Pri tej težki nalogi vam lahko pomagajo različne stvari. metodološki priročniki, naloge za osnovno matematiko, zbirke tekmovalnih nalog, pouk matematike v šoli, pa tudi individualne ure s strokovnim mentorjem. Iskreno vam želim uspešno pripravo in odlične rezultate na izpitu.

Sergej Valerievič

P.S. Dragi gostje! Prosimo, da v komentarjih ne pišete prošenj za rešitev vaših enačb. Na žalost nimam čisto nič časa za to. Takšna sporočila bodo izbrisana. Preberite članek. Morda boste v njej našli odgovore na vprašanja, ki vam niso omogočila, da bi sami rešili svojo nalogo.

Koncentracija pozornosti:

Opredelitev. funkcija vrsta se imenuje eksponentna funkcija .

Komentiraj. Izključitev iz osnovnih vrednosti aštevilke 0; 1 in negativne vrednosti a pojasnjujejo naslednje okoliščine:

Sam analitični izraz a x v teh primerih ohrani svoj pomen in se lahko uporablja pri reševanju problemov. Na primer za izraz x y pika x = 1; l = 1 je v območju sprejemljivih vrednosti.

Zgradite grafe funkcij: in.

Graf eksponentne funkcije
y = a x, a > 1	y = a x , 0< a < 1

Lastnosti eksponentne funkcije

Lastnosti eksponentne funkcije	y = a x, a > 1	y = a x , 0< a < 1
Domena funkcije
2. Obseg funkcij
3. Intervali primerjave z enoto	pri x> 0, a x > 1	pri x > 0, 0< a x < 1
	pri x < 0, 0< a x < 1	pri x < 0, a x > 1
4. Sodo, liho.	Funkcija ni niti soda niti liha (funkcija splošne oblike).
5. Monotonost.	monotono narašča za R	monotono zmanjša za R
6. Ekstremi.	Eksponentna funkcija nima ekstremov.
7.Asimptota	O-os x je horizontalna asimptota.
8. Za vse realne vrednosti x in l;

Ko je tabela izpolnjena, se naloge rešujejo vzporedno z izpolnjevanjem.

Naloga št. 1. (Iskati domeno definicije funkcije).

Katere vrednosti argumentov so veljavne za funkcije:

Naloga št. 2. (Iskati obseg vrednosti funkcije).

Slika prikazuje graf funkcije. Določite domeno definicije in obseg vrednosti funkcije:

Naloga št. 3. (Označiti intervale primerjave z enim).

Primerjajte vsako od naslednjih moči z eno:

Naloga št. 4. (Preučevanje funkcije za monotonost).

Primerjaj realna števila po velikosti m in nče:

Naloga št. 5. (Preučevanje funkcije za monotonost).

Naredite sklep glede osnove a, Če:

y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) - 4x

Kako so med seboj povezani grafi eksponentnih funkcij za x > 0, x = 0, x< 0?

Naslednji grafi funkcij so narisani v eni koordinatni ravnini:

y(x) = (0,1) x; f(x) = (0,5) x; z(x) = (0,8) x.

Kako so med seboj povezani grafi eksponentnih funkcij za x > 0, x = 0, x< 0?

številka ena najpomembnejših konstant v matematiki. Po definiciji je enaka meji zaporedja z neomejenim povečanje n . Imenovanje e vneseno Leonard Euler leta 1736. Izračunal je prvih 23 števk tega števila v decimalnem zapisu, samo število pa je bilo po Napierju poimenovano »ne-Pierrovo število«. številka e ima posebno vlogo v matematični analizi. Eksponentna funkcija z bazo e, imenovan eksponent in je določen y = e x. Prvi znaki številke e enostavno zapomniti: dva, vejica, sedem, leto rojstva Leva Tolstoja - dvakrat, petinštirideset, devetdeset, petinštirideset.

Domača naloga:

Kolmogorov odstavek 35; št. 445-447; 451; 453.

Ponovite algoritem za gradnjo grafov funkcij, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula.

Najprej predstavimo definicijo eksponentne funkcije.

Eksponentna funkcija $f\left(x\desno)=a^x$, kjer je $a >1$.

Predstavimo lastnosti eksponentne funkcije za $a >1$.

\ \[brez korenin\] \

Presek s koordinatnimi osemi. Funkcija ne seka osi $Ox$, ampak seka os $Oy$ v točki $(0,1)$.

$f""\levo(x\desno)=(\levo(a^xlna\desno))"=a^x(ln)^2a$

\ \[brez korenin\] \

Graf (slika 1).

Slika 1. Graf funkcije $f\left(x\desno)=a^x,\ za\ a >1$.

Eksponentna funkcija $f\left(x\right)=a^x$, kjer je $0

Predstavimo lastnosti eksponentne funkcije pri $0

Domena definicije so vsa realna števila.

$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- funkcija ni niti soda niti liha.

$f(x)$ je zvezen v celotni domeni definicije.

Razpon vrednosti je interval $(0,+\infty)$.

$f"(x)=\levo(a^x\desno)"=a^xlna$

\ \[brez korenin\] \ \[brez korenin\] \

Funkcija je konveksna na celotnem definicijskem področju.

Obnašanje na koncih domene:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]

Graf (slika 2).

Primer težave za konstruiranje eksponentne funkcije

Raziščite in narišite funkcijo $y=2^x+3$.

rešitev.

Izvedimo raziskavo z zgornjim primerom diagrama:

Domena definicije so vsa realna števila.

$f\left(-x\desno)=2^(-x)+3$ -- funkcija ni niti soda niti liha.

$f(x)$ je zvezen v celotni domeni definicije.

Razpon vrednosti je interval $(3,+\infty)$.

$f"\levo(x\desno)=(\levo(2^x+3\desno))"=2^xln2>0$

Funkcija narašča na celotnem področju definicije.

$f(x)\ge 0$ skozi celotno domeno definicije.

Presek s koordinatnimi osemi. Funkcija ne seka osi $Ox$, ampak seka os $Oy$ v točki ($0,4)$

$f""\levo(x\desno)=(\levo(2^xln2\desno))"=2^x(ln)^22>0$

Funkcija je konveksna na celotnem definicijskem področju.

Obnašanje na koncih domene:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]

Graf (slika 3).

Slika 3. Graf funkcije $f\left(x\desno)=2^x+3$