Izraz zlati rez. Zlati rez, kaj je to? Zlati rez: kako deluje

Pravijo, da je "božansko razmerje" neločljivo povezano z naravo in mnogimi stvarmi okoli nas. Najdete ga v rožah, panjih, školjkah in celo v našem telesu.

To božansko razmerje, znano tudi kot zlati rez, božansko razmerje ali zlati rez, je mogoče uporabiti za različne vrste umetnost in učenje. Znanstveniki pravijo, da čim bližje je predmet zlatemu rezu, bolje ga zaznavajo človeški možgani.

Odkar je bilo to razmerje odkrito, ga je veliko umetnikov in arhitektov uporabljalo v svojih delih. Zlati rez lahko najdete v številnih renesančnih mojstrovinah, arhitekturi, slikarstvu itd. Rezultat je lepa in estetsko prijetna mojstrovina.

Malokdo ve, v čem je skrivnost zlatega reza, ki je tako prijeten za naše oči. Mnogi verjamejo, da nas dejstvo, da se pojavlja povsod in je v »univerzalnem« razmerju, sili, da ga sprejmemo kot nekaj logičnega, harmoničnega in organskega. Z drugimi besedami, preprosto »začuti«, kaj potrebujemo.

Kaj je torej zlati rez?

Zlati rez, v grščini znana tudi kot "phi", je matematična konstanta. Lahko se izrazi z enačbo a/b=a+b/a=1,618033987, kjer je a večji od b. To je mogoče razložiti tudi s Fibonaccijevim zaporedjem, drugim božanskim razmerjem. Fibonaccijevo zaporedje se začne z 1 (nekateri pravijo 0) in ji prišteje prejšnje število, da dobimo naslednje (tj. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...)

Če poskušate najti količnik dveh zaporednih Fibonaccijevih števil (tj. 8/5 ali 5/3), je rezultat zelo blizu zlatemu rezu 1,6 ali fi.

Zlata spirala je ustvarjena z uporabo zlatega pravokotnika. Če imate pravokotnik kvadratov 1, 1, 2, 3, 5 in 8, kot je prikazano na zgornji sliki, lahko začnete graditi zlati pravokotnik. Če kot polmer uporabite stranico kvadrata, ustvarite lok, ki se diagonalno dotika točk kvadrata. Ta postopek ponovite z vsakim kvadratom v zlatem trikotniku in na koncu boste dobili zlato spiralo.

Kje ga lahko vidimo v naravi

Zlati rez in Fibonaccijevo zaporedje je mogoče najti v cvetnih listih. Pri večini cvetov je število cvetnih listov zmanjšano na dva, tri, pet ali več, kar je podobno zlatemu rezu. Na primer, lilije imajo 3 cvetne liste, maslenice 5, cvetovi radiča 21, marjetice pa 34. Tudi semena cvetov verjetno sledijo zlatemu rezu. Na primer, sončnična semena kalijo iz središča in rastejo proti zunanjosti ter zapolnijo glavo semena. Običajno so spiralne oblike in spominjajo na zlato spiralo. Poleg tega je število semen običajno zmanjšano na Fibonaccijeva števila.

Roke in prsti so tudi primer zlatega reza. Poglej bližje! Dno dlani in konica prsta sta razdeljena na dele (kosti). Razmerje enega dela v primerjavi z drugim je vedno 1,618! Tudi podlahti in roke so v enakem razmerju. In prsti, obraz in seznam se nadaljuje ...

Uporaba v umetnosti in arhitekturi

Partenon v Grčiji naj bi bil zgrajen z zlatimi proporci. Menijo, da so dimenzijska razmerja višine, širine, stebrov, razdalje med stebri in celo velikost portika blizu zlatemu rezu. To je mogoče, ker je zgradba videti proporcionalno popolna in je taka že od antičnih časov.

Tudi Leonardo Da Vinci je bil oboževalec zlatega reza (in mnogih drugih zanimivosti, pravzaprav!). Čudovita lepota Mona Lise je morda posledica dejstva, da njen obraz in telo predstavljata zlati rez, tako kot pravi človeški obrazi v življenju. Poleg tega so številke na sliki "Zadnja večerja" Leonarda Da Vincija urejene v vrstnem redu, ki se uporablja v zlatem rezu. Če na platno narišete zlate pravokotnike, bo Jezus točno v osrednjem režnju.

Aplikacija pri oblikovanju logotipa

Ni presenetljivo, da lahko najdete uporabo zlatega reza v številnih sodobnih projektih, zlasti v dizajnu. Za zdaj se osredotočimo na to, kako je to mogoče uporabiti pri oblikovanju logotipa. Najprej si poglejmo nekaj najbolj znanih svetovnih blagovnih znamk, ki so za izpopolnitev svojih logotipov uporabile zlati rez.

Očitno je Apple uporabil kroge iz Fibonaccijevih števil, združevanje in rezanje oblik, da bi ustvaril logotip Apple. Ni znano, ali je bilo to storjeno namerno ali ne. Vendar pa je rezultat popoln in vizualno estetski dizajn logotipa.

Toyotin logotip uporablja razmerje med a in b in tvori mrežo, v kateri so oblikovani trije obroči. Opazite, kako ta logotip uporablja pravokotnike namesto krogov za ustvarjanje zlatega reza.

Logotip Pepsi je sestavljen iz dveh sekajočih se krogov, eden večji od drugega. Kot je prikazano na zgornji sliki, je večji krog sorazmeren z manjšim krogom – uganili ste! Njihov najnovejši logotip brez reliefa je preprost, učinkovit in lep!

Poleg Toyote in Appla naj bi tudi logotipi več drugih podjetij, kot so BP, iCloud, Twitter in Grupo Boticario, uporabljali zlati rez. In vsi vemo, kako slavni so ti logotipi – vse zato, ker se slika takoj spomni!

Evo, kako ga lahko uporabite v svojih projektih

Skicirajte zlat pravokotnik, kot je prikazano zgoraj rumena. To lahko dosežemo tako, da iz števil, ki pripadajo zlatemu rezu, sestavimo kvadrate z višino in širino. Začnite z enim blokom in postavite drugega poleg njega. In nad njimi postavite še en kvadrat, katerega ploščina je enaka tema dvema. Samodejno boste prejeli stran 3 blokov. Ko zgradite to strukturo s 3 bloki, boste na koncu dobili stran 5 štirikolesnikov, iz katerih lahko naredite še eno (območje 5 blokov) polje. To lahko traja, kolikor želite, dokler ne najdete velikosti, ki jo potrebujete!

Pravokotnik se lahko premika v katero koli smer. Izberite majhne pravokotnike in uporabite vsakega, da sestavite postavitev, ki bo služila kot mreža za oblikovanje logotipa.

Če je logotip bolj zaobljen, boste potrebovali okroglo različico zlatega pravokotnika. To lahko dosežete tako, da narišete kroge, ki so sorazmerni s Fibonaccijevim številom. Ustvarite zlati pravokotnik samo s krogi (to pomeni največ velik krog bo imel premer 8, manjši krog pa bo imel premer 5 in tako naprej). Zdaj ločite te kroge in jih postavite tako, da boste lahko oblikovali osnovni obris vašega logotipa. Tukaj je primer logotipa Twitter:

Opomba: Ni vam treba narisati vseh krogov ali pravokotnikov zlatega reza. Enako velikost lahko uporabite tudi večkrat.

Kako ga uporabiti pri oblikovanju besedila

Lažje je kot oblikovati logotip. Preprosto pravilo za uporabo zlatega reza v besedilu je, da mora naslednje večje ali manjše besedilo ustrezati Phi. Poglejmo ta primer:

Če je moja velikost pisave 11, naj bo podnaslov napisan z večjo pisavo. Pisavo besedila pomnožim s številko zlatega reza, da dobim večje število (11*1,6=17). To pomeni, da mora biti podnaslov napisan v velikosti pisave 17. In zdaj naslov ali naslov. Podnaslov bom pomnožil z deležem in dobil 27 (1*1,6=27). Takole! Vaše besedilo je zdaj sorazmerno z zlatim rezom.

Kako ga uporabiti v spletnem oblikovanju

Toda tukaj je malo bolj zapleteno. Tudi pri oblikovanju spletnih strani lahko ostanete zvesti zlatemu rezu. Če ste izkušen spletni oblikovalec, ste že uganili, kje in kako ga je mogoče uporabiti. Da, lahko učinkovito uporabimo zlati rez in ga uporabimo za naše mreže spletnih strani in postavitve uporabniškega vmesnika.

Vzemi skupno število mrežo slikovnih pik za širino ali višino in jo uporabite za izdelavo zlatega pravokotnika. Največjo širino ali dolžino razdelite, da dobite manjša števila. To je lahko širina ali višina vaše glavne vsebine. Kar ostane, je lahko stranska vrstica (ali spodnja vrstica, če ste jo uporabili za višino). Zdaj nadaljujte z uporabo zlatega pravokotnika, da ga dodatno uporabite za okna, gumbe, plošče, slike in besedilo. Prav tako lahko zgradite celotno mrežo, ki temelji na majhnih različicah zlatega pravokotnika, postavljenega vodoravno in navpično, da ustvarite manjše vmesniške predmete, ki so sorazmerni z zlatim pravokotnikom. Za izračun razmerij lahko uporabite ta kalkulator.

Spirala

Zlato spiralo lahko uporabite tudi za določanje, kam na svojem spletnem mestu umestiti vsebino. Če se vaša domača stran naloži z grafično vsebino, kot je spletna stran spletne trgovine ali fotografski blog, lahko uporabite metodo zlate spirale, ki jo mnogi umetniki uporabljajo pri svojem delu. Ideja je postaviti najbolj dragoceno vsebino v središče spirale.

Vsebino z združenim gradivom lahko postavite tudi z uporabo zlatega pravokotnika. To pomeni, da čim bližje se spirala približuje osrednjim kvadratom (k enemu kvadratnemu bloku), bolj »gosta« je vsebina tam.

S to tehniko lahko označite postavitev glave, slik, menijev, orodne vrstice, iskalnega polja in drugih elementov. Twitter ni znan le po uporabi zlatega pravokotnika v oblikovanju logotipa, ampak tudi po uporabi v spletnem oblikovanju. kako Z uporabo zlatega pravokotnika ali z drugimi besedami koncepta zlate spirale na strani profila uporabnikov.

Toda to ne bo enostavno narediti na platformah CMS, kjer avtor vsebine določi postavitev namesto spletnega oblikovalca. Golden Ratio je primeren za WordPress in druge dizajne blogov. To je verjetno zato, ker je v oblikovanju bloga skoraj vedno prisotna stranska vrstica, ki se lepo prilega zlatemu pravokotniku.

Lažji način

Zelo pogosto oblikovalci preskočijo zapleteno matematiko in uporabijo tako imenovano »pravilo tretjin«. To lahko dosežemo tako, da območje razdelimo na tri enake dele vodoravno in navpično. Rezultat je devet enake dele. Črta presečišča se lahko uporabi kot osrednja točka oblike in oblikovanja. Na eno ali vse osrednje točke lahko postavite ključno temo ali glavne elemente. Fotografi uporabljajo ta koncept tudi za plakate.

Bližje kot so pravokotniki razmerju 1:1,6, prijetnejša je slika človeški možgani(ker je bližje zlatemu rezu).

Vsakdo, ki se je vsaj posredno srečal z geometrijo prostorskih objektov v notranjem oblikovanju in arhitekturi, verjetno dobro pozna načelo zlatega reza. Do nedavnega, pred nekaj desetletji, je bila priljubljenost zlatega reza tako velika, da ga številni zagovorniki mističnih teorij in zgradbe sveta imenujejo univerzalno harmonično pravilo.

Bistvo univerzalnega razmerja

Presenetljivo drugačen. Razlog za pristranski, skoraj mističen odnos do tako preproste numerične odvisnosti je bilo nekaj nenavadnih lastnosti:

• Veliko število predmetov v živem svetu, od virusov do človeka, ima osnovna razmerja telesa ali okončin zelo blizu vrednosti zlatega reza;
• Odvisnost 0,63 ali 1,62 je značilna samo za biološka bitja in nekatere vrste neživih predmetov, od mineralov do krajinskih elementov, imajo geometrijo zlatega reza izjemno redko;
• Zlata razmerja v strukturi telesa so se izkazala za najbolj optimalna za preživetje resničnih bioloških objektov.

Danes zlati rez najdemo v strukturi telesa živali, lupinah in lupinah mehkužcev, razmerjih listov, vej, debla in koreninskega sistema precej veliko število grmovnice in zelišča.

Mnogi privrženci teorije univerzalnosti zlatega reza so vedno znova poskušali dokazati, da so njegova razmerja najbolj optimalna za biološki organizmi v pogojih njihovega obstoja.

Kot primer običajno navajamo strukturo lupine Astreae Heliotropium, enega od morskih mehkužcev. Školjka je zvita kalcitna lupina z geometrijo, ki praktično sovpada z razmerji zlatega reza.

Bolj razumljiv in očiten primer je navadno piščančje jajce.

Razmerje glavnih parametrov, in sicer velikega in majhnega žarišča ali razdalje od enako oddaljenih točk površine do težišča, bo prav tako ustrezalo zlatemu rezu. Hkrati je oblika lupine ptičjega jajca najbolj optimalna za preživetje ptice kot biološke vrste. V tem primeru trdnost lupine ne igra glavne vloge.

V vednost! Kot rezultat je bil pridobljen zlati rez, imenovan tudi univerzalni delež geometrije ogromno

praktične meritve in primerjave velikosti resničnih rastlin, ptic, živali.

Izvor univerzalnega razmerja Starogrška matematika Evklid in Pitagora sta poznala zlati rez preseka. V enem od spomenikov starodavna arhitektura

- Keopsova piramida ima razmerje stranic in baze, posamezni elementi in stenski reliefi so izdelani v skladu z univerzalnim razmerjem.

Tehniko zlatega reza so v srednjem veku pogosto uporabljali umetniki in arhitekti, medtem ko je bistvo univerzalnega proporca veljalo za eno od skrivnosti vesolja in je bilo skrbno skrito pred navadnim človekom. Kompozicija številnih slik, kipov in zgradb je bila zgrajena strogo v skladu z razmerji zlatega reza. Bistvo univerzalne proporcije je leta 1509 prvi dokumentiral frančiškanski menih Luca Pacioli, ki je imel briljantne matematične sposobnosti. Toda pravo priznanje je sledilo potem, ko je nemški znanstvenik Zeising izvedel obsežno študijo proporcev in geometrije.človeško telo

Pri večini živih teles so nekatere dimenzije telesa podvržene enakim razmerjem. Leta 1855 so znanstveniki ugotovili, da so razmerja zlatega reza nekakšen standard za harmonijo telesa in oblike. V prvi vrsti govorimo o živih bitjih, za mrtvo naravo je zlati rez veliko manj pogost.

Kako pridobiti zlati rez

Zlati rez si najlažje predstavljamo kot razmerje dveh delov enega predmeta različne dolžine, ločeno s piko.

Preprosto povedano, koliko dolžin majhen segment se prilega velikemu ali razmerje med največjim delom in celotno dolžino linearnega predmeta. V prvem primeru je zlati rez 0,63, v drugem primeru pa je razmerje stranic 1,618034.

V praksi je zlati rez samo razmerje, razmerje med segmenti določene dolžine, stranicami pravokotnika ali geometrijske oblike, povezane ali povezane dimenzijske značilnosti realnih predmetov.

Sprva so bili zlati proporci izpeljani empirično z uporabo geometrijskih konstrukcij. Obstaja več načinov za sestavo ali izpeljavo harmoničnega razmerja:

V vednost!

Za razliko od klasičnega zlatega reza arhitekturna različica predvideva razmerje stranic 44:56. če standardna možnost

Medtem ko je bil zlati rez za živa bitja, slike, grafike, kipe in starodavne zgradbe izračunan kot 37:63, se je začel v arhitekturi od konca 17. stoletja vse pogosteje uporabljati razmerje 44:56. Večina strokovnjakov meni, da je sprememba v korist bolj "kvadratnih" razmerij širjenje visokih gradenj.

Glavna skrivnost zlatega reza Če so naravne manifestacije univerzalnega odseka v razmerjih teles živali in ljudi, je osnovo stebla rastlin še vedno mogoče razložiti z evolucijo in prilagodljivostjo vplivom zunanje okolje

, potem je bilo odkritje zlatega reza pri gradnji hiš 12.-19. stoletja nekaj presenečenja. Poleg tega je bil znameniti starogrški Partenon zgrajen v skladu z univerzalnimi proporci; številne hiše in gradovi bogatih plemičev in bogatašev v srednjem veku so bili namenoma zgrajeni s parametri, zelo blizu zlatemu rezu.

Številne zgradbe, ki so se ohranile do danes, kažejo, da so srednjeveški arhitekti vedeli za obstoj zlatega reza in seveda so jih pri gradnji hiše vodili njihovi primitivni izračuni in odvisnosti, s pomočjo od katerih so poskušali doseči največjo moč. Želja po gradnji čim lepših in skladnejših hiš je bila še posebej očitna v zgradbah rezidenc vladarskih oseb, cerkvah, mestnih hišah in zgradbah posebnega družbenega pomena v družbi.

Na primer, znamenita katedrala Notre Dame v Parizu ima v svojih razmerjih veliko odsekov in dimenzijskih verig, ki ustrezajo zlatemu rezu.

Še preden je profesor Zeising leta 1855 objavil svoje raziskave, so bili ob koncu 18. stoletja zgrajeni znameniti arhitekturni kompleksi bolnišnice Golicina in stavbe senata v Sankt Peterburgu, hiše Paškova in palače Petrovski v Moskvi. proporci zlatega reza.

Seveda so bile hiše že prej zgrajene ob strogem upoštevanju pravila zlatega reza. Omeniti velja starodavni arhitekturni spomenik cerkve priprošnje na Nerlu, ki je prikazan na diagramu.

Vse jih združuje ne le harmonična kombinacija oblik in visoke kakovosti gradnjo, ampak tudi, najprej, prisotnost zlatega reza v proporcih stavbe. Osupljiva lepota stavbe postane še bolj skrivnostna, če upoštevamo njeno starost, sega v 13. stoletje, moderno arhitekturno podobo pa je stavba dobila na prehodu v 17. stoletje. rezultat obnove in rekonstrukcije.

Značilnosti zlatega reza za ljudi

Starodavna arhitektura stavb in hiš srednjega veka ostaja privlačna in zanimiva za sodobni človek iz več razlogov:

• Posameznik umetniški slog pri oblikovanju fasad se izogiba sodobnim klišejem in dolgočasnosti; vsaka stavba je umetnina;
• Masivna uporaba za dekoracijo in dekoracijo kipov, skulptur, štukatur, nenavadnih kombinacij gradbenih rešitev iz različnih obdobij;
• Pogled najbolj pritegnejo proporci in kompozicija stavbe pomembne elemente zgradbe.

Pomembno! Pri načrtovanju doma in razvoju videz srednjeveški arhitekti so uporabili pravilo zlatega reza, nezavedno pa so uporabili posebnosti dojemanja človeške podzavesti.

Sodobni psihologi so eksperimentalno dokazali, da je zlati rez manifestacija človekove nezavedne želje ali reakcije na harmonično kombinacijo ali razmerje velikosti, oblik in celo barv. Izveden je bil eksperiment, v katerem so skupini ljudi, ki se med seboj niso poznali, niso imeli skupnih interesov, različnih poklicev in starostnih kategorij, ponudili vrsto testov, med katerimi je bila naloga, da list papirja najbolj upogibajo. optimalno razmerje stranic. Na podlagi rezultatov testiranja je bilo ugotovljeno, da so preizkušanci v 85 od 100 primerov list upognili skoraj natančno po zlatem rezu.

zato moderna znanost meni, da je fenomen univerzalnih razsežnosti psihološki pojav in ne delovanje kakršnih koli metafizičnih sil.

Uporaba univerzalnega faktorja prereza v sodobnem dizajnu in arhitekturi

Načela uporabe zlatega deleža so v zadnjih nekaj letih postala izjemno priljubljena pri gradnji zasebnih hiš. Ekologijo in varnost gradbenih materialov sta nadomestila skladna zasnova in pravilna porazdelitev energije v hiši.

Sodobna interpretacija pravila univerzalne harmonije je že dolgo presegla običajno geometrijo in obliko predmeta. Danes pravilo velja ne le za dimenzijske verige dolžine portika in pedimenta, posameznih elementov fasade in višine stavbe, temveč tudi za površino prostorov, okenskih in vratnih odprtin ter celo barvna shema notranjosti prostora.

Najlažji način za gradnjo harmonične hiše je na modularni osnovi. V tem primeru je večina oddelkov in prostorov izdelanih v obliki samostojnih blokov ali modulov, zasnovanih v skladu s pravilom zlatega reza. Gradnja zgradbe v obliki niza harmoničnih modulov je veliko lažja kot gradnja ene škatle, v kateri mora biti večina fasade in notranjosti v strogem okviru proporcev zlatega reza.

Mnoga gradbena podjetja, ki načrtujejo zasebna gospodinjstva, uporabljajo načela in koncepte zlatega reza, da povečajo oceno stroškov in dajo strankam vtis, da je bila zasnova hiše temeljito izdelana. Takšna hiša je praviloma razglašena za zelo udobno in harmonično za uporabo. Pravilno izbrano razmerje površin prostorov zagotavlja duhovno udobje in odlično zdravje lastnikov.

Če je bila hiša zgrajena brez upoštevanja optimalnih razmerij zlatega reza, lahko prostore preoblikujete tako, da bodo razmerja prostora ustrezala razmerju sten v razmerju 1:1,61. Da bi to naredili, je mogoče premakniti pohištvo ali namestiti dodatne predelne stene znotraj prostorov. Na enak način se spremenijo dimenzije okenskih in vratnih odprtin, tako da je širina odprtine 1,61-krat manjša od višine vratnega krila. Načrtovanje pohištva poteka na enak način, gospodinjski aparati, zaključna obdelava sten in tal.

Težje je izbrati barvno shemo. V tem primeru so sledilci zlatega pravila namesto običajnega razmerja 63:37 sprejeli poenostavljeno razlago - 2/3. To pomeni, da bi moralo glavno barvno ozadje zavzemati 60% prostora sobe, največ 30% naj bi bilo namenjeno barvi senčenja, preostanek pa je dodeljen različnim sorodnim tonom, namenjenim izboljšanju zaznavanja barvne sheme. .

Notranje stene prostora so razdeljene z vodoravnim pasom ali obrobo na višini 70 cm; nameščeno pohištvo mora biti sorazmerno z višino stropov v skladu z zlatim rezom. Enako pravilo velja za porazdelitev dolžin, na primer velikost kavča ne sme presegati 2/3 dolžine predelne stene, skupna površina, ki jo zaseda pohištvo, pa se nanaša na površino prostora kot 1. :1,61.

Zlati delež je težko uporabiti v praksi v velikem obsegu zaradi samo ene presečne vrednosti, zato se pri načrtovanju skladnih zgradb pogosto zatečejo k nizu Fibonaccijevih števil. To vam omogoča, da razširite število možnih možnosti razmerij in geometrijskih oblik glavnih elementov hiše. V tem primeru se vrsta Fibonaccijevih števil, ki so med seboj povezana z jasnim matematičnim odnosom, imenuje harmonična ali zlata.

IN sodobne metode pri načrtovanju stanovanj, ki temelji na načelu zlatega reza, se poleg Fibonaccijeve serije pogosto uporablja načelo, ki ga je predlagal slavni francoski arhitekt Le Corbusier. V tem primeru je kot izhodiščna merska enota izbrana višina bodočega lastnika ali povprečna višina osebe, s katero se izračunajo vsi parametri zgradbe in notranjosti. Ta pristop vam omogoča, da oblikujete hišo, ki ni le harmonična, ampak tudi resnično individualna.

Zaključek

V praksi se po ocenah tistih, ki so se odločili za gradnjo hiše po pravilu zlatega reza, dobro zgrajena zgradba dejansko izkaže za precej udobno za bivanje. Toda stroški stavbe zaradi individualne zasnove in uporabe gradbenih materialov nestandardnih velikosti se povečajo za 60-70%. In v tem pristopu ni nič novega, saj je bila večina stavb prejšnjega stoletja zgrajena posebej za posamezne značilnosti njihovih bodočih lastnikov.

Več v stari Egipt je bilo znano Zlati rez, Leonardo da Vinci in Evklid so proučevali njegove lastnosti.Vizualna percepcija osebe je zasnovana tako, da po obliki razlikuje vse predmete, ki ga obkrožajo. Njegovo zanimanje za predmet ali njegovo obliko včasih narekuje nujnost ali pa je to zanimanje lahko posledica lepote predmeta. Če je v sami osnovi konstrukcije oblike uporabljena kombinacija zlati rez in zakoni simetrije, potem to najboljša kombinacija za vizualno zaznavo osebe, ki čuti harmonijo in lepoto. Celotna celota je sestavljena iz delov, velikih in majhnih, in ti različno veliki deli imajo določeno razmerje med seboj in s celoto. In najvišja manifestacija funkcionalne in strukturne popolnosti v naravi, znanosti, umetnosti, arhitekturi in tehnologiji je Načelo zlati rez. Koncept zlati rez v znanstveno uporabo uvedel starogrški matematik in filozof (VI. stol. pr. n. št.) Pitagora. Toda že samo znanje o zlati rez si je izposodil od starih Egipčanov. Razmerja vseh tempeljskih stavb, Keopsove piramide, nizkih reliefov, gospodinjskih predmetov in okraskov iz grobnic kažejo, da je razmerje zlati rez aktivno uporabljali stari mojstri že dolgo pred Pitagoro. Kot primer: relief iz templja Setija I. v Abidosu in relief Ramzesa sta uporabljala princip zlati rez v razmerjih figur. To je ugotovil arhitekt Le Corbusier. Na leseni plošči, najdeni iz grobnice arhitekta Khesirja, je reliefna risba, na kateri je viden sam arhitekt, ki v rokah drži merilne instrumente, ki so upodobljeni v položaju, ki določa načela zlati rez. Vedel o načelih zlati rez in Platon (427...347 pr. n. št.). Dialog "Timaeus" je dokaz za to, saj je posvečen vprašanjem zlata divizija, estetski in matematični pogledi pitagorejske šole. Načela Zlati rez starogrški arhitekti so ga uporabili za fasado templja Partenona. Kompasi, ki so jih starodavni arhitekti in kiparji starodavnega sveta uporabljali pri svojem delu, so bili odkriti med izkopavanji templja Partenona.

Partenon, Akropola, Atene V Pompejih (muzej v Neaplju) razmerja zlata divizija tudi na voljo.V starodavni literaturi, ki je prišla do nas, je načelo zlati rez prvič omenjen v Evklidovih Elementih. V knjigi "Začetki" je v drugem delu podan geometrijski princip zlati rez. Privrženci Evklida so bili Papus (III. stoletje n. št.), Hipsik (II. stol. pr. n. št.) in drugi. srednjeveška Evropa z načelom zlati rez Spoznala sva se ob prevodih iz arabščine Evklidovih Elementov. Načela zlati rez so bile poznane le ozkemu krogu posvečencev, so jih ljubosumno varovale in držale v strogi tajnosti. Prišla je doba renesanse in zanimanja za načela zlati rez narašča med znanstveniki in umetniki, saj je to načelo uporabno v znanosti, arhitekturi in umetnosti. In Leonardo Da Vinci je začel uporabljati ta načela v svojih delih, še več, začel je pisati knjigo o geometriji, toda takrat se je pojavila knjiga meniha Luce Paciolija, ki je pred njim izdal knjigo "Božanska proporcija", po katerem je Leonardo pustil svoje delo nedokončano. Po mnenju zgodovinarjev znanosti in sodobnikov je bil Luca Pacioli prava svetilka, briljanten italijanski matematik, ki je živel v obdobju med Galilejem in Fibonaccijem. Luca Pacioli je kot učenec umetnika Piera della Francesca napisal dve knjigi, »O perspektivi v slikarstvu«, naslov ene od njiju. Mnogi ga imajo za tvorca opisne geometrije. Luca Pacioli je na povabilo vojvode Moro leta 1496 prišel v Milano in tam predaval matematiko. Leonardo da Vinci je takrat delal na dvoru Moro. Knjiga Luce Paciolija The Divine Proportion, ki je izšla v Benetkah leta 1509, je postala navdušena slavospev. zlati rez, s čudovito izdelanimi ilustracijami, obstajajo vsi razlogi za domnevo, da je ilustracije naredil sam Leonardo da Vinci. Menih Luca Pacioli, kot ena od vrlin zlati rez poudarila njegovo »božansko bistvo«. Ker je razumel znanstveno in umetniško vrednost zlatega reza, je Leonardo da Vinci posvetil veliko časa njegovemu preučevanju. Z izrezom stereometričnega telesa, sestavljenega iz peterokotnikov, je dobil pravokotnike z razmerji stranic v skladu z zlati rez. In dal mu je ime " zlati rez" Kar drži še danes. Albrecht Dürer, tudi študira zlati rez v Evropi se sreča z menihom Luco Paciolijem. Johannes Kepler, največji astronom svojega časa, je prvi opozoril na pomen zlati rez za botaniko, ki jo imenuje zaklad geometrije. Zlati delež je imenoval samonadaljevalni. »Strukturiran je tako,« je rekel, »vsota dveh mlajših členov neskončnega deleža daje tretji člen, katera koli zadnja člena, če ju seštejemo, dajeta naslednji člen. in enako razmerje se ohranja ad infinitum.«

Zlati trikotnik:: Zlati rez in Zlati rez:: Zlati pravokotnik:: Zlata spirala

Zlati trikotnik

Za iskanje odsekov zlatega deleža padajočih in naraščajočih vrstic bomo uporabili pentagram.

riž. 5. Konstrukcija pravilnega peterokotnika in pentagrama

Če želite zgraditi pentagram, morate narisati pravilen peterokotnik po konstrukcijski metodi, ki jo je razvil nemški slikar in grafik Albrecht Durer. Če je O središče kroga, je A točka na krogu in E središče odseka OA. Navpičnica na polmer OA, obnovljena v točki O, seka krožnico v točki D. S šestilom označimo odsek na premeru CE = ED. Tedaj je stranska dolžina pravilnega peterokotnika, včrtanega v krog, enaka DC. Na krog narišemo odseke DC in dobimo pet točk za naris pravilnega peterokotnika. Nato skozi en vogal povežemo vogale peterokotnika z diagonalami in dobimo pentagram. Vse diagonale peterokotnika se med seboj delijo na segmente, povezane z zlatim rezom.

Vsak konec peterokotne zvezde predstavlja zlati trikotnik. Njegove stranice na vrhu tvorijo kot 36°, osnova pa na strani, ga razdeli sorazmerno z zlatim rezom. Narišemo premico AB. Iz točke A na njej trikrat položimo segment O poljubne velikosti, skozi nastalo točko P narišemo pravokotno na črto AB, na pravokotnici desno in levo od točke P položimo segmente O. Povežemo nastale točke d in d1 z ravnimi črtami do točke A. Odsek dd1 odložimo na črto Ad1 in dobimo točko C. Črto Ad1 je razdelila sorazmerno z zlatim rezom. Vrstici Ad1 in dd1 se uporabljata za sestavo "zlatega" pravokotnika.

riž. 6. Gradnja zlata

trikotnik

Zlati rez in zlati rez

V matematiki in umetnosti sta dve količini v zlatem rezu, če je razmerje med vsoto teh količin in večjo enako razmerju med večjo in manjšo. Izraženo algebraično: Zlati rez se pogosto označuje z grško črko fi (? ali?). Slika zlatega reza ponazarja geometrijska razmerja, ki določajo to konstanto. Zlati rez je iracionalna matematična konstanta, približno 1,6180339887.

zlati pravokotnik

Zlati pravokotnik je pravokotnik, katerega dolžine stranic so v zlatem razmerju 1:? (ena proti fi), to je 1: ali približno 1:1,618. Zlati pravokotnik je mogoče sestaviti samo z ravnilom in kompas: 1. Sestavite preprost kvadrat 2. Narišite črto od sredine ene strani območja do nasprotnega kota 3. Uporabite to črto kot polmer za risanje loka, ki določa višino pravokotnika 4. Dokončajte zlati pravokotnik

Zlata spirala

V geometriji je zlata spirala logaritmična spirala, s katero je povezan rastni faktor b? , zlati rez. Zlasti zlata spirala postane širša (dlje od svojega izvora) za faktor ? za vsako četrtino obrata, ki ga naredi.

Zaporedne točke delitve zlatega pravokotnika na kvadrate ležijo na logaritemsko spiralo, ki je včasih znana tudi kot zlata spirala.

Zlati rez v arhitekturi in umetnosti.

Številni arhitekti in umetniki so svoja dela izvajali v skladu z razmerji zlatega reza, predvsem v obliki zlatega pravokotnika, pri katerem ima razmerje med večjo in manjšo stranico razmerje zlatega reza, saj so verjeli, da je to razmerje bi bilo estetsko prijetno. [Vir: Wikipedia.org ]

Tukaj je nekaj primerov:

Partenon, Akropola, Atene . Ta starodavni tempelj se skoraj natančno prilega zlatemu pravokotniku.

Vitruvijev človek Leonarda da Vincija na tej sliki lahko naredite veliko črt pravokotnikov. Nato so na voljo trije različni nizi zlatih pravokotnikov: Vsak komplet je namenjen predelu glave, trupa in nog. Risbo Vitruvijskega človeka Leonarda Da Vincija včasih zamenjujejo z načeli zlatega pravokotnika, vendar temu ni tako. Konstrukcija Vitruvijskega človeka temelji na risanju kroga s premerom, ki je enak diagonali kvadrata, njegovem premikanju navzgor, tako da se dotika dna kvadrata, in risanju zadnjega kroga med osnovo kvadrata in središčem med območje središča kvadrata in središča kroga: Podrobna razlaga o geometrijski konstrukciji >>

Zlati rez v naravi.

Adolf Zeising, čigar glavna zanimanja sta bili matematika in filozofija, je našel zlati delež v razporeditvi vej vzdolž stebla rastline in žil v listih. Svoje raziskave je razširil in od rastlin prešel k živalim, preučeval okostja živali in veje njihovih žil in živcev ter razmerja. kemične spojine in geometrije kristalov, vse do uporabe zlatega reza v likovni umetnosti. V teh pojavih je videl, da se zlati rez povsod uporablja kot univerzalni zakon, je Zeising zapisal leta 1854: Zlati rez je univerzalni zakon, ki vsebuje osnovno načelo, ki oblikuje željo po lepoti in popolnosti na področjih, kot sta narava in umetnost, ki kot primarni duhovni ideal prežema vse strukture, oblike in proporce, naj bodo kozmične oz. posameznika, organski ali anorganski, akustični ali optični, vendar načelo zlatega reza najde svojo najbolj popolno izvedbo v človeški obliki.

Primeri:

Rezanje skozi školjko Nautilus razkrije zlati princip spiralne konstrukcije.

Mozart je svoje sonate razdelil na dva dela, katerih dolžine odražajo zlati rez, čeprav obstaja veliko razprav o tem, ali je to storil namerno. V sodobnejšem času sta madžarski skladatelj Bela Bartok in francoski arhitekt Le Corbusier v svoja dela načrtno vključila načelo zlatega reza. Še danes zlati rez nas obdaja povsod v umetnih predmetih. Poglej skoraj vse krščanski križ, je razmerje med navpičnim in vodoravnim delom zlati rez. Če želite najti zlati pravokotnik, poglejte v svojo denarnico in tam boste našli kreditne kartice. Kljub tem številnim dokazom iz umetniških del, ustvarjenih skozi stoletja, med psihologi trenutno poteka razprava o tem, ali ljudje dejansko dojemajo zlate proporce, zlasti zlati pravokotnik, kot lepše od drugih oblik. V članku iz revije iz leta 1995 profesor Christopher Green z univerze York v Torontu razpravlja o številnih poskusih v preteklih letih, ki niso pokazali nobene preference do oblike zlatega pravokotnika, vendar ugotavlja, da je več drugih predložilo dokaze, da takšna preferenca ne obstajati. Školjke Nautilus so presenetljivo blizu zlati rez, in razmerje dolžine prsni koš in trebuh večine čebel je skoraj zlati rez. Celo prerez najpogostejših oblik človeške DNK se popolnoma prilega zlatemu deseterokotniku. Zlati rez in njegovi sorodniki se pojavljajo tudi v številnih nepričakovanih kontekstih v matematiki in še naprej pritegnejo zanimanje matematičnih skupnosti. Dr. Stephen Marquardt, nekdanji plastični kirurg, uporabil ta skrivnostni delež zlati rez, v svojem delu, ki je že dolgo zaslužno za lepoto in harmonijo, je izdelal masko, ki je bila po njegovem mnenju najlepša oblika človeškega obraza, kar jih je.

Maska popoln človeški obraz

Egipčanska kraljica Nefertiti (1400 pr. n. št.)

Jezusov obraz je kopija Torinskega prta in popravljen, da se ujema z masko dr. Stephena Marquardta.

"Povprečen" (sintetiziran) obraz slavnih. S proporci zlatega reza.

Uporabljeno spletno mesto: http://blog.world-mysteries.com/

"Zlati rez"že dolgo sinonim za besedo "harmonija". Kolokacija "zlati rez" Ima preprosto čaroben učinek. Če izvajate nekakšno umetniško naročilo (ni pomembno, ali gre za sliko, kip ali dizajn), stavek »delo je bilo opravljeno v celoti v skladu s pravili zlati rez»je lahko odličen argument v vašo korist - stranka najverjetneje ne bo mogla preveriti, vendar zveni trdno in prepričljivo. Hkrati le redki razumejo, kaj se skriva pod temi besedami. Medtem pa ugotovi, kaj je zlati rez in kako deluje je precej preprosto.

Zlati rez je delitev odseka na 2 sorazmerna dela, pri čemer se celota nanaša na večji del tako, kot je večji na manjši. . Matematično je ta formula videti takole: : z = z : b : z = z : a ali a.

c

Rezultat algebraične rešitve tega razmerja bo iracionalno število Ф (Ф v čast starogrškega kiparja Phidiasa). Ne bom dajal same enačbe, da ne obremenjujem besedila. Po želji ga je mogoče enostavno najti na internetu. Rekel bom le, da bo F približno enak 1,618. Zapomni si to številko, to je zlati rez.

številski izraz zlati rez Torej,

– to je pravilo sorazmerja, kaže razmerje med deli in celoto. Na katerem koli segmentu lahko najdete " zlata točka

Razmerje med večjo stranjo nastalega pravokotnika in manjšo bo približno 1,6 (upoštevajte, da bo tudi manjši pravokotnik, ki izhaja iz konstrukcije, zlat).

Na splošno v člankih, ki pojasnjujejo načelo zlati rez, obstaja veliko podobnih risb. To je preprosto razloženo: dejstvo je, da je iskanje "zlate točke" s konvencionalnimi meritvami problematično, saj je število F, kot se spomnimo, iracionalno. Toda takšne težave je enostavno rešiti z geometrijskimi metodami, z uporabo kompasa in ravnila.

Vendar pa prisotnost kompasa sploh ni potrebna za uporabo zakona v praksi. Obstaja več števil, ki veljajo za aritmetični izraz zlatega reza. to Fibonaccijeva serija . To je vrstica:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 itd.

Tega zaporedja si ni treba zapomniti; mogoče ga je enostavno izračunati: vsako število v Fibonaccijevem nizu je enako vsoti prejšnjih dveh 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 itd., razmerje sosednjih števil v nizu pa se približa razmerju zlatega razdelka. Torej, 21: 34 = 0,617 in 34: 55 = 0,618.

Eden najstarejših (in še vedno privlačnih) simbolov, pentagram, je odlična ilustracija načela zlati rez.

V navadni petokraki zvezdi je vsak segment razdeljen z segmentom, ki ga seka zlati rez(na zgornji sliki je razmerje med rdečim segmentom in zelenim, kot tudi med zelenim in modrim ter modrim in vijoličnim enako). (citat iz Wikipedije).

Zakaj se "zlati delež" zdi tako harmoničen?

Teorija zlati rez veliko je tako zagovornikov kot nasprotnikov. Na splošno ideja, da je lepoto mogoče izmeriti in izračunati z matematično formulo, ni privlačna za vsakogar. In morda bi se ta koncept res zdel kot namišljena matematična estetika, če ne bi bilo številnih primerov naravnega oblikovanja oblik, ki ustrezajo zlati rez.

Sam izraz zlati rez"uvedel Leonardo da Vinci. Da Vinci je kot matematik iskal tudi harmonično razmerje med proporci človeškega telesa.

»Če človeško figuro - najpopolnejšo stvaritev vesolja - zavežemo s pasom in nato izmerimo razdaljo od pasu do nog, potem se bo ta vrednost nanašala na razdaljo od istega pasu do vrha glave, tako kot se celotna višina človeka nanaša na dolžino od pasu do stopal.”

Delitev telesa s točko popka je najpomembnejši pokazatelj zlati rez. Proporci moškega telesa nihajo v povprečnem razmerju 13:8 = 1,625 in so nekoliko bližje zlatemu rezu kot proporci žensko telo, glede na katerega je povprečna vrednost deleža izražena v razmerju 8: 5 = 1,6. Pri novorojenčku je razmerje 1:1, do 13. leta starosti 1,6, do 21. leta pa je enako kot pri moškem. Proporcije zlati rez se manifestirajo glede na druge dele telesa - dolžino rame, podlakti in roke, roke in prstov itd.

postopoma, zlati rez spremenila v akademski kanon, in ko je v umetnosti dozorel upor proti akademizmu, ca. zlati rez za nekaj časa pozabljen. Vendar pa je sredi 19. stoletja ta koncept ponovno postal priljubljen zahvaljujoč delom nemškega raziskovalca Zeisinga. Opravil je veliko meritev (približno 2000 ljudi) in ugotovil, da zlati rez izraža povprečni statistični zakon. Poleg ljudi , Zeising je preučeval arhitekturne strukture, vaze, rastline in favna, poetični metri in glasbeni ritmi. Po njegovi teoriji je zlati rez je absolutno, univerzalno pravilo za vse pojave narave in umetnosti.

Načelo zlatega razmerja se uporablja na različnih področjih, ne le v umetnosti, ampak tudi v znanosti in tehnologiji. Ker je tako univerzalna, je seveda predmet številnih dvomov. Pogosto manifestacije zlati rez so razglašeni za rezultat napačnih izračunov ali preprostega naključja (ali celo goljufije). V vsakem primeru je treba vse pripombe tako zagovornikov teorije kot nasprotnikov obravnavati kritično.

Preberite si, kako to načelo uporabiti v praksi.

20.05.2017

Zlati rez je nekaj, kar bi moral poznati vsak oblikovalec. Razložili vam bomo, kaj je to in kako ga lahko uporabite.

V naravi obstaja splošno matematično razmerje, ki ga je mogoče uporabiti pri oblikovanju za ustvarjanje prijetnih kompozicij naravnega videza. Imenuje se zlati rez ali grška črka "phi". Če ste ilustrator, umetniški vodja ali grafični oblikovalec, morate vsekakor uporabiti zlati rez pri vsakem projektu.

V tem članku vam bomo razložili, kako ga uporabljati, in delili nekaj odličnih orodij za nadaljnji navdih in učenje.

Tesno povezano s Fibonaccijevim zaporedjem, ki se ga morda spomnite pri pouku matematike ali Da Vincijevi šifri Dana Browna, zlati rez opisuje popolnoma simetrično razmerje med dvema razmerjema.

Zlati rez, ki je približno enak razmerju 1:1,61, lahko ponazorimo kot zlati pravokotnik: velik pravokotnik, ki vsebuje kvadrat (pri katerem so stranice enake dolžini najkrajše stranice pravokotnika) in manjši pravokotnik.

Če kvadrat odstranite iz pravokotnika, vam bo ostal drug, majhen zlati pravokotnik. Ta proces se lahko nadaljuje v nedogled, tako kot Fibonaccijeva števila, ki delujejo obratno. (Če dodate kvadrat s stranicami, enakimi dolžini najdaljše stranice pravokotnika, se približate zlatemu pravokotniku in zlatemu rezu.)

Zlati rez v akciji

Zlati rez naj bi se v umetnosti in oblikovanju uporabljal že okoli 4000 let. Vendar se marsikdo strinja, da pri gradnji Egiptovske piramide ta princip je bil tudi uporabljen.

V sodobnejšem času lahko to pravilo opazimo v glasbi, umetnosti in oblikovanju okoli nas. Z uporabo podobne delovne metodologije lahko v svoje delo vključite enake oblikovne značilnosti. Oglejmo si nekaj navdihujočih primerov.

Grška arhitektura

V starogrški arhitekturi je bil zlati rez uporabljen za določitev prijetnega prostorskega razmerja med širino zgradbe in njeno višino, velikostjo portika in celo položajem stebrov, ki podpirajo strukturo.

Rezultat je popolnoma proporcionalna struktura. Neoklasično arhitekturno gibanje je prav tako uporabljalo ta načela.

zadnja večerja

Leonardo Da Vinci je tako kot mnogi drugi umetniki nekdaj pogosto uporabljal zlati rez za ustvarjanje prijetnih kompozicij.

V Zadnji večerji se figure nahajajo v spodnjih dveh tretjinah (večji od dveh delov zlatega reza), Jezus pa je popolnoma skiciran med zlatima pravokotnikoma.

Zlati rez v naravi

V naravi je veliko primerov zlatega reza – najdete jih okoli sebe. Enako razmerje kažejo rože, školjke, ananas in celo satovje.

Kako izračunati zlati rez

Izračun zlatega reza je precej preprost in se začne s preprostim kvadratom:

01. Nariši kvadrat

Tvori dolžino krajše stranice pravokotnika.

02. Razdelite kvadrat

Z navpično črto razdelite kvadrat na pol in ustvarite dva pravokotnika.

03. Nariši diagonalo

V enem od pravokotnikov narišite črto od enega kota do nasprotnega.

04. Obrni

Zasukajte to črto tako, da bo ležala vodoravno glede na prvi pravokotnik.

05. Ustvarite nov pravokotnik

Ustvarite pravokotnik z novo vodoravno črto in prvim pravokotnikom.

Kako uporabljati zlati rez

Uporaba tega principa je lažja, kot si mislite. Obstaja nekaj hitrih trikov, ki jih lahko uporabite pri svojih postavitvah, ali pa si vzemite malo več časa in v celoti izpopolnite koncept.

Hiter način

Če ste se kdaj srečali s pravilom tretjin, vam je zamisel o razdelitvi prostora na enake tretjine navpično in vodoravno, kjer se črte sekajo, da ustvarite naravne točke za predmete.

Fotograf postavi ključni subjekt na eno od teh sekajočih se črt, da ustvari prijetno kompozicijo. To načelo lahko uporabite tudi pri postavitvi strani in oblikovanju plakatov.

Pravilo tretjin lahko uporabimo za katero koli obliko, če pa ga uporabimo za pravokotnik s približno razmerjem 1:1,6, se bomo na koncu zelo približali zlatemu pravokotniku, zaradi česar bo kompozicija bolj prijetna za oko.

Popolna izvedba

Če želite v svojem dizajnu v celoti implementirati zlati rez, preprosto razporedite glavno vsebino in stransko vrstico (v spletnem dizajnu) v razmerju 1: 1,61.

Vrednosti lahko zaokrožite navzdol ali navzgor: če je območje vsebine 640 slikovnih pik in stranska vrstica 400 slikovnih pik, potem je ta oznaka povsem primerna za zlati rez.

Seveda lahko razdelite tudi področja vsebine in stranske vrstice v isto razmerje, razmerje med glavo spletne strani, področjem vsebine, nogo in navigacijo pa je mogoče oblikovati po istem principu.

Uporabna orodja

Tukaj je nekaj orodij, ki vam bodo v pomoč pri uporabi zlatega reza pri oblikovanju in ustvarjanju proporcionalnih modelov.

GoldenRATIO je aplikacija za ustvarjanje dizajnov spletnih strani, vmesnikov in predlog, primernih za Zlati rez. Na voljo v trgovini Mac App Store za 2,99 USD. Vključuje vizualni kalkulator zlatega reza.

Aplikacija ima tudi funkcijo »Favorites«, ki shrani nastavitve za ponavljajoča se opravila in način »Click-thru«, ki vam omogoča minimiziranje aplikacije v Photoshopu.

Ta kalkulator zlatega reza podjetja Pearsonified vam pomaga ustvariti popolno tipografijo za vaše spletno mesto. V polje vnesite velikost pisave, širino posode in kliknite gumb Določi moj tip!Če morate optimizirati število črk na vrstico, lahko dodatno vnesete vrednost CPL.

Je preprost, uporaben in brezplačna aplikacija na voljo za Mac in PC. Vnesite poljubno število in aplikacija bo izračunala drugo števko po principu zlatega reza.

Ta aplikacija vam omogoča oblikovanje z zlatimi proporci, kar prihrani veliko časa pri izračunih.

Spremenite lahko oblike in velikosti, da se osredotočite na svoj projekt. Trajna licenca stane 49 $, vendar jo lahko prenesete brezplačna različica za en mesec.

Trening zlatega reza

Tukaj je nekaj uporabnih vadnic o zlatem rezu (angleščina):

V tej vadnici o digitalni umetnosti Roberto Marras pokaže, kako uporabiti zlati rez v umetniškem delu.

Vadnica Tuts+, ki prikazuje, kako uporabljati zlata načela v projektih spletnega oblikovanja.

Vadnica iz revije Smashing o razmerjih in pravilu tretjin.