Konstruiranje tangente na graf funkcije. Tangenta na graf funkcije v točki. Tangentna enačba. Geometrijski pomen izpeljanke

Vklopljeno moderni oder razvoj izobraževanja, je ena njegovih glavnih nalog oblikovanje ustvarjalno misleče osebnosti. Sposobnost za ustvarjalnost pri študentih je mogoče razviti le, če se sistematično ukvarjajo z osnovami raziskovalne dejavnosti. Osnova za uporabo študentov ustvarjalne sile, sposobnosti in talenti se oblikujejo v polno znanje in spretnosti. V zvezi s tem je problem oblikovanja sistema osnovnih znanj in veščin za vsako temo šolski tečaj matematika ni majhnega pomena. Hkrati bi morale biti popolne spretnosti didaktični cilj ne posameznih nalog, temveč njihovega skrbno premišljenega sistema. V najširšem smislu sistem razumemo kot niz medsebojno povezanih elementov, ki delujejo celovito in imajo stabilno strukturo.

Oglejmo si tehniko za učenje študentov, kako napisati enačbo za tangento na graf funkcije. V bistvu se vsi problemi pri iskanju tangentne enačbe zmanjšajo na to, da je treba iz nabora (svežnja, družine) črt izbrati tiste, ki izpolnjujejo določeno zahtevo - se dotikajo grafa določene funkcije. V tem primeru je nabor vrstic, iz katerih se izvaja izbor, mogoče določiti na dva načina:

a) točka, ki leži na ravnini xOy (osrednji svinčnik premic);
b) kotni koeficient (vzporedni žarek ravnih črt).

V zvezi s tem smo pri preučevanju teme "Tangenta na graf funkcije", da bi izolirali elemente sistema, identificirali dve vrsti težav:

1) težave s tangento, ki jo določa točka, skozi katero poteka;
2) težave na tangenti, ki jo določa njen naklon.

Usposabljanje reševanja tangentnih problemov je potekalo z uporabo algoritma, ki ga je predlagal A.G. Mordkovič. Njegovo temeljna razlika od že znanih je, da je abscisa tangentne točke označena s črko a (namesto z x0), zato ima enačba tangente obliko

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(primerjaj z y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Ta metodološka tehnika po našem mnenju študentom omogoča hitro in enostavno razumevanje, kje so zapisane koordinate trenutne točke. splošno tangentno enačbo in kje so stične točke.

Algoritem za sestavljanje tangentne enačbe na graf funkcije y = f(x)

1. Absciso tangentne točke označimo s črko a.
2. Poiščite f(a).
3. Poiščite f "(x) in f "(a).
4. Najdene številke a, f(a), f "(a) zamenjajte v splošno tangentno enačbo y = f(a) = f "(a)(x – a).

Ta algoritem je mogoče sestaviti na podlagi študentovega neodvisnega prepoznavanja operacij in zaporedja njihovega izvajanja.

Praksa je pokazala, da vam zaporedna rešitev vsakega od ključnih problemov z uporabo algoritma omogoča razvoj spretnosti pisanja enačbe tangente na graf funkcije v stopnjah, koraki algoritma pa služijo kot referenčne točke za dejanja. . Ta pristop ustreza teoriji postopnega oblikovanja miselnih dejanj, ki jo je razvil P.Ya. Galperin in N.F. Talyzina.

Pri prvem tipu nalog sta bili identificirani dve ključni nalogi:

• tangenta poteka skozi točko, ki leži na krivulji (problem 1);
• tangenta poteka skozi točko, ki ne leži na krivulji (problem 2).

Naloga 1. Zapišite enačbo za tangento na graf funkcije v točki M(3; – 2).

rešitev. Točka M(3; – 2) je tangentna točka, saj

1. a = 3 – abscisa tangentne točke.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangentna enačba.

Naloga 2. Zapišite enačbe vseh tangent na graf funkcije y = – x 2 – 4x + 2, ki potekajo skozi točko M(– 3; 6).

rešitev. Točka M(– 3; 6) ni tangentna točka, saj je f(– 3) 6 (slika 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangentna enačba.

Tangenta poteka skozi točko M(– 3; 6), zato njene koordinate zadoščajo enačbi tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Če je a = – 4, je enačba tangente y = 4x + 18.

Če je a = – 2, ima tangentna enačba obliko y = 6.

Pri drugi vrsti bodo ključne naloge naslednje:

• tangenta je vzporedna z neko premico (problem 3);
• tangenta poteka pod določenim kotom na dano premico (naloga 4).

Naloga 3. Zapišite enačbe vseh tangent na graf funkcije y = x 3 – 3x 2 + 3, vzporedne s premico y = 9x + 1.

1. a – abscisa tangentne točke.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Po drugi strani pa je f "(a) = 9 (pogoj vzporednosti). To pomeni, da moramo rešiti enačbo 3a 2 – 6a = 9. Njene korenine so a = – 1, a = 3 (slika 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – tangentna enačba;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – tangentna enačba.

Naloga 4. Zapišite enačbo tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 – 3x + 1, ki poteka pod kotom 45° na premico y = 0 (slika 4).

rešitev. Iz pogoja f "(a) = tan 45° najdemo a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – abscisa tangentne točke.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – tangentna enačba.

Zlahka je pokazati, da se rešitev katerega koli drugega problema zmanjša na rešitev enega ali več ključnih problemov. Razmislite o naslednjih dveh težavah kot primeru.

1. Zapišite enačbe tangent na parabolo y = 2x 2 – 5x – 2, če se tangenti sekata pod pravim kotom in se ena od njiju dotika parabole v točki z absciso 3 (slika 5).

rešitev. Ker je abscisa tangente podana, se prvi del rešitve skrči na ključni problem 1.

1. a = 3 – abscisa dotične točke ene od stranic pravi kot.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – enačba prve tangente.

Naj bo a naklonski kot prve tangente. Ker sta tangenti pravokotni, je naklonski kot druge tangente. Iz enačbe y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Poiščemo

To pomeni, da je naklon druge tangente enak .

Nadaljnja rešitev se skrči na ključno nalogo 3.

Naj bo B(c; f(c)) točka dotika druge premice

1. – abscisa druge dotične točke.
2.
3.
4.
– enačba druge tangente.

Opomba. Kotni koeficient tangente je lažje najti, če učenci poznajo razmerje koeficientov pravokotnic k 1 k 2 = – 1.

2. Zapišite enačbe vseh skupnih tangent na grafe funkcij

rešitev. Problem se spusti v iskanje abscis dotičnih točk skupnih tangent, torej v rešitev ključnega problema 1 v splošni pogled, sestavljanje sistema enačb in njegova kasnejša rešitev (slika 6).

1. Naj bo a abscisa tangente, ki leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Naj bo c abscisa tangente, ki leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Ker so tangente splošne, torej

Torej sta y = x + 1 in y = – 3x – 3 skupni tangenti.

Glavni cilj obravnavanih nalog je pripraviti študente na samostojno prepoznavanje vrste ključnega problema pri reševanju kompleksnejših problemov, ki zahtevajo določene raziskovalne sposobnosti (sposobnost analiziranja, primerjanja, posploševanja, postavljanja hipotez ipd.). Takšne naloge vključujejo vse naloge, v katere je ključna naloga vključena kot komponenta. Vzemimo za primer problem (obraten problemu 1) iskanja funkcije iz družine njenih tangent.

3. Za koliko b in c se premici y = x in y = – 2x dotikata grafa funkcije y = x 2 + bx + c?

Naj bo t abscisa dotične točke premice y = x s parabolo y = x 2 + bx + c; p je abscisa dotične točke premice y = – 2x s parabolo y = x 2 + bx + c. Takrat bo tangentna enačba y = x imela obliko y = (2t + b)x + c – t 2 , tangentna enačba y = – 2x pa bo imela obliko y = (2p + b)x + c – p 2 .

Sestavimo in rešimo sistem enačb

odgovor:

Razmislite o naslednji sliki:

Upodablja določeno funkcijo y = f(x), ki je diferenciabilna v točki a. Označena je točka M s koordinatami (a; f(a)). Skozi poljubno točko P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafa narišemo sekanto MR.

Če zdaj točko P premaknemo vzdolž grafa do točke M, se bo premica MR vrtela okoli točke M. V tem primeru bo ∆x težil k ničli. Od tu lahko oblikujemo definicijo tangente na graf funkcije.

Tangenta na graf funkcije

Tangenta na graf funkcije je mejni položaj sekansa, ko se prirastek argumenta nagiba k nič. Treba je razumeti, da obstoj odvoda funkcije f v točki x0 pomeni, da na tej točki grafa obstaja tangenta njemu.

V tem primeru bo kotni koeficient tangente enak odvodu te funkcije v tej točki f’(x0). To je geometrijski pomen izpeljanke. Tangenta na graf funkcije f, ki jo je mogoče diferencirati v točki x0, je določena premica, ki poteka skozi točko (x0;f(x0)) in ima kotni koeficient f’(x0).

Tangentna enačba

Poskusimo dobiti enačbo tangente na graf neke funkcije f v točki A(x0; f(x0)). Enačba premice z naklonom k ​​ima naslednji pogled:

Ker je naš koeficient naklona enak odvodu f'(x0), potem bo enačba imela naslednjo obliko: y = f'(x0)*x + b.

Zdaj pa izračunajmo vrednost b. Za to uporabimo dejstvo, da funkcija prehaja skozi točko A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, od tu izrazimo b in dobimo b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Dobljeno vrednost nadomestimo v tangentno enačbo:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Razmislite o naslednjem primeru: poiščite enačbo tangente na graf funkcije f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 v točki x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Dobljene vrednosti nadomestimo s formulo tangente, dobimo: y = 1 + 4*(x - 2). Če odpremo oklepaje in dodamo podobne izraze, dobimo: y = 4*x - 7.

Odgovor: y = 4*x - 7.

Splošna shema za sestavo tangentne enačbe na graf funkcije y = f(x):

1. Določite x0.

2. Izračunajte f(x0).

3. Izračunajte f’(x)

V tem članku bomo analizirali vse vrste težav, ki jih je treba najti

Spomnimo se geometrijski pomen izpeljanke: če na graf funkcije v točki narišemo tangento, potem je koeficient naklona tangente (enak tangensu kota med tangento in pozitivno smerjo osi) enak odvodu funkcije na točki.

Vzemimo poljubno točko na tangenti s koordinatami:

In razmislite o pravokotnem trikotniku:

V tem trikotniku

Od tod

To je enačba tangente, narisane na graf funkcije v točki.

Za pisanje enačbe tangente moramo poznati le enačbo funkcije in točko, v kateri je tangenta narisana. Potem lahko najdemo in.

Obstajajo tri glavne vrste problemov tangentne enačbe.

1. Glede na kontaktno točko

2. Podan je koeficient nagiba tangente, to je vrednost odvoda funkcije v točki.

3. Dane so koordinate točke, skozi katero poteka tangenta, ki pa ni tangentna točka.

Oglejmo si vsako vrsto naloge.

1. Napišite enačbo tangente na graf funkcije na točki .

.

b) Poiščite vrednost odvoda v točki . Najprej poiščimo odvod funkcije

Zamenjajmo najdene vrednosti v tangentno enačbo:

Odprimo oklepaje na desni strani enačbe. Dobimo:

odgovor: .

2. Poiščite absciso točk, v katerih se funkcije dotikajo grafa vzporedno z osjo x.

Če je tangenta vzporedna z osjo x, je torej kot med tangento in pozitivno smerjo osi enak nič, zato je tangens kota tangente enak nič. To pomeni, da je vrednost odvoda funkcije na stičnih točkah je nič.

a) Poiščite odvod funkcije .

b) Izenačimo odvod na nič in poiščemo vrednosti, v katerih je tangenta vzporedna z osjo:

Če vsak faktor enačimo z nič, dobimo:

Odgovor: 0;3;5

3. Napišite enačbe za tangente na graf funkcije , vzporedno naravnost .

Tangenta je vzporedna s premico. Naklon te premice je -1. Ker je tangenta vzporedna s to premico, je torej tudi naklon tangente -1. To je poznamo naklon tangente, in s tem, vrednost izpeljanke v točki dotika.

To je druga vrsta problema za iskanje tangentne enačbe.

Torej imamo funkcijo in vrednost odvoda v točki dotika.

a) Poiščite točke, v katerih je odvod funkcije enak –1.

Najprej poiščimo izpeljano enačbo.

Izenačimo odvod s številom -1.

Poiščimo vrednost funkcije v točki.

(pogojno)

.

b) Poiščite enačbo tangente na graf funkcije v točki .

Poiščimo vrednost funkcije v točki.

(pogojno).

Zamenjajmo te vrednosti v tangentno enačbo:

.

odgovor:

4. Zapišite enačbo tangente na krivuljo , ki poteka skozi točko

Najprej preverimo, ali je točka tangentna točka. Če je točka tangentna točka, potem pripada grafu funkcije, njene koordinate pa morajo zadoščati enačbi funkcije. Nadomestimo koordinate točke v enačbo funkcije.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} negativno število, enakost ne velja in točka ne pripada grafu funkcije in ni kontaktna točka.

To je zadnja vrsta problema za iskanje tangentne enačbe. Prva stvar najti moramo absciso tangentne točke.

Poiščimo vrednost.

Naj bo kontaktna točka. Točka pripada tangenti na graf funkcije. Če koordinate te točke nadomestimo v enačbo tangente, dobimo pravilno enakost:

.

Vrednost funkcije v točki je .

Poiščimo vrednost odvoda funkcije v točki.

Najprej poiščimo odvod funkcije. ta .

Odvod v točki je enak .

Zamenjajmo izraza za in v enačbo tangente. Dobimo enačbo za:

Rešimo to enačbo.

Zmanjšajte števec in imenovalec ulomka za 2:

Dajmo desna stran enačbe za skupni imenovalec. Dobimo:

Poenostavimo števec ulomka in obe strani pomnožimo z – ta izraz je strogo večji od nič.

Dobimo enačbo

Rešimo to. Če želite to narediti, kvadriramo oba dela in nadaljujemo s sistemom.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 )))( )">!}

Rešimo prvo enačbo.

Odločimo se kvadratna enačba, dobimo

Drugi koren ne izpolnjuje pogoja title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Zapišimo enačbo tangente na krivuljo v točki. Če želite to narediti, zamenjajte vrednost v enačbo - Posneli smo ga že.

odgovor:
.

Navodila

Določimo kotni koeficient tangente na krivuljo v točki M.
Krivulja, ki predstavlja graf funkcije y = f(x), je zvezna v določeni okolici točke M (vključno s samo točko M).

Če vrednost f‘(x0) ne obstaja, potem bodisi ni tangente ali pa poteka navpično. Glede na to je prisotnost odvoda funkcije v točki x0 posledica obstoja nenavpične tangente, ki se dotika grafa funkcije v točki (x0, f(x0)). V tem primeru bo kotni koeficient tangente enak f "(x0). Tako postane geometrijski pomen izpeljanke jasen - izračun kotnega koeficienta tangente.

Poiščite vrednost abscise tangentne točke, ki je označena s črko "a". Če sovpada z dano tangentno točko, bo "a" njena x-koordinata. Določite vrednost funkcije f(a) s substitucijo v enačbo funkcije abscisna vrednost.

Določite prvi odvod enačbe funkcije f’(x) in vanjo nadomestite vrednost točke “a”.

Vzemite splošno tangentno enačbo, ki je definirana kot y = f (a) = f (a) (x – a), in vanjo nadomestite najdene vrednosti a, f (a), f "(a). Posledično bo rešitev grafa najdena in tangentna.

Nalogo reši drugače, če podana tangentna točka ne sovpada s tangentno točko. V tem primeru je treba namesto števil v enačbi tangente nadomestiti "a". Nato namesto črk "x" in "y" nadomestite vrednost koordinate dano točko. Rešite nastalo enačbo, v kateri je "a" neznanka. Dobljeno vrednost vstavite v enačbo tangente.

Napišite enačbo za tangento s črko »a«, če trditev o nalogi določa enačbo funkcije in enačbo vzporedne premice glede na želeno tangento. Po tem potrebujemo izpeljanko funkcije

Pomembne opombe!
1. Če namesto formul vidite gobbledygook, počistite predpomnilnik. Kako to storiti v vašem brskalniku je napisano tukaj:
2. Preden začnete brati članek, bodite pozorni na naš navigator za najbolj uporabne vire za

Ali že veste, kaj je izpeljanka? Če ne, najprej preberi temo. Torej pravite, da poznate izpeljanko. Preverimo zdaj. Poiščite prirastek funkcije, ko je prirastek argumenta enak. Vam je uspelo? Moralo bi delovati. Zdaj poiščite odvod funkcije v točki. Odgovor: . Se je zgodilo? Če imate kakršne koli težave s katerim od teh primerov, toplo priporočam, da se vrnete k temi in jo ponovno preučite. Vem, da je tema zelo velika, sicer pa nima smisla iti dlje. Razmislite o grafu neke funkcije:

Izberimo določeno točko na premici grafa. Pustimo njeno absciso, potem je ordinata enaka. Nato izberemo točko z absciso blizu točke; njegova ordinata je:

Skozi te točke narišimo ravno črto. Imenuje se sekans (tako kot v geometriji). Kot naklona premice na os označimo kot. Kot v trigonometriji se ta kot meri od pozitivne smeri osi x v nasprotni smeri urinega kazalca. Kakšne vrednosti lahko sprejme kot? Ne glede na to, kako nagnete to ravno črto, bo ena polovica še vedno štrlela navzgor. Zato je največji možni kot , najmanjši možni kot pa . Pomeni,. Kot ni vključen, saj položaj ravne črte v tem primeru natančno sovpada in je bolj logično izbrati manjši kot. Vzemimo točko na sliki, tako da je premica vzporedna z abscisno osjo in a je ordinatna os:

Iz slike je razvidno, da je a. Potem je razmerje prirastka:

(ker je pravokoten).

Zmanjšajmo zdaj. Potem se bo točka približala točki. Ko postane infinitezimalno, postane razmerje enako odvodu funkcije v točki. Kaj se bo zgodilo s sekantom? Točka bo neskončno blizu točke, tako da ju lahko štejemo za isto točko. Ampak ravna črta, ki ima samo eno s krivuljo skupna točka- to ni nič več kot tangenta(V v tem primeru ta pogoj je izpolnjen le na majhnem območju - blizu točke, vendar je to dovolj). Pravijo, da v tem primeru sekant vzame mejni položaj.

Imenujmo kot naklona sekante na os. Potem se izkaže, da je derivat

to je odvod je enak tangensu naklonskega kota tangente na graf funkcije v dani točki.

Ker je tangenta premica, se zdaj spomnimo enačbe premice:

Za kaj je odgovoren koeficient? Za naklon ravne črte. Tako se imenuje: naklon. Kaj to pomeni? In dejstvo, da je enak tangensu kota med premico in osjo! Tako se zgodi tole:

Toda to pravilo smo dobili z upoštevanjem naraščajoče funkcije. Kaj se bo spremenilo, če se funkcija zmanjšuje? Pa poglejmo:
Sedaj so koti topi. In prirastek funkcije je negativen. Razmislimo še enkrat: . Na drugi strani, . Dobimo: , to pomeni, da je vse enako kot zadnjič. Ponovno usmerimo točko v točko in sekanta bo zavzela omejevalni položaj, torej se bo spremenila v tangento na graf funkcije v točki. Torej, oblikujmo končno pravilo:
Odvod funkcije v dani točki je enak tangensu naklonskega kota tangente na graf funkcije v tej točki ali (kar je enako) naklonu te tangente:

Tako je geometrijski pomen izpeljanke. V redu, vse to je zanimivo, ampak zakaj ga potrebujemo? Tukaj primer:
Slika prikazuje graf funkcije in tangento nanjo na abscisni točki. Poiščite vrednost odvoda funkcije v točki.
rešitev.
Kot smo nedavno ugotovili, je vrednost odvoda v tangentni točki enaka naklonu tangente, ta pa tangensu naklonskega kota te tangente na abscisno os: . To pomeni, da moramo za iskanje vrednosti odvoda najti tangens tangentnega kota. Na sliki smo označili dve točki, ki ležita na tangenti, katerih koordinate so nam znane. Torej dokončajmo konstrukcijo pravokotnega trikotnika, ki poteka skozi te točke, in poiščimo tangento tangentnega kota!

Kot naklona tangente na os je. Poiščimo tangens tega kota: . Tako je odvod funkcije v točki enak.
odgovor:. Zdaj poskusite sami:

odgovori:

Vedeti geometrijski pomen izpeljanke, lahko zelo preprosto razložimo pravilo, da je odvod v točki lokalnega maksimuma ali minimuma enak nič. Dejansko je tangenta na graf v teh točkah "vodoravna", to je vzporedna z osjo x:

zakaj kot je enak med vzporednima črtama? Seveda, nič! In tangens ničle je prav tako nič. Torej je odvod enak nič:

Več o tem v temi “Monotonost funkcij. Ekstremne točke."

Zdaj pa se osredotočimo na poljubne tangente. Recimo, da imamo neko funkcijo, na primer . Narisali smo njegov graf in želimo na neki točki narisati tangento. Na primer v točki. Vzamemo ravnilo, ga pritrdimo na graf in narišemo:

Kaj vemo o tej liniji? Kaj je najpomembnejše vedeti o premici na koordinatni ravnini? Ker ravna črta je slika linearna funkcija, bi bilo zelo priročno poznati njeno enačbo. To so koeficienti v enačbi

Ampak že vemo! To je naklon tangente, ki je enak odvodu funkcije v tej točki:

V našem primeru bo takole:

Zdaj ga preostane le še najti. Preprosto kot lupljenje hrušk: konec koncev – vrednost. Grafično je to koordinata presečišča črte z ordinatno osjo (navsezadnje na vseh točkah osi):

Narišimo ga (da bo pravokoten). Nato (na isti kot med tangento in osjo x). Čemu sta in enaka? Slika jasno prikazuje, da a. Potem dobimo:

Vse dobljene formule združimo v enačbo ravne črte:

Zdaj se odločite sami:

1. Najti tangentna enačba na funkcijo v točki.
2. Tangenta na parabolo seka os pod kotom. Poiščite enačbo te tangente.
3. Premica je vzporedna s tangento na graf funkcije. Poiščite absciso tangentne točke.
4. Premica je vzporedna s tangento na graf funkcije. Poiščite absciso tangentne točke.

Rešitve in odgovori:

ENAČBA TANGENTE NA GRAF FUNKCIJE. KRATEK OPIS IN OSNOVNE FORMULE

Odvod funkcije v določeni točki je enak tangenti tangente na graf funkcije v tej točki ali naklonu te tangente:

Enačba tangente na graf funkcije v točki:

Algoritem za iskanje tangentne enačbe:

Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.

Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!

Zdaj pa najpomembnejše.

Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...

Za kaj?

Za uspešno opravljanje enotnega državnega izpita, za proračunski vpis na fakulteto in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.

Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...

Ljudje, ki so prejeli dobra izobrazba, zaslužijo veliko več kot tisti, ki tega niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da smo prepričani, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?

PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.

Med izpitom ne boste zahtevali teorije.

Boste potrebovali reševanje težav s časom.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.

To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.

Poiščite zbirko kjer koli želite, nujno z rešitvami, podrobna analiza in odločaj se, odločaj se!

Uporabite lahko naše naloge (izbirno) in jih seveda priporočamo.

Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

kako Obstajata dve možnosti:

1. Odklenite vse skrite naloge v tem članku -
2. Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - Kupite učbenik - 499 RUR

Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.

Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.

V zaključku...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.

"Razumem" in "lahko rešim" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.

Poiščite težave in jih rešite!