Osrednji kot je enak loku, na katerem sloni. Krožnica in včrtan kot. Vizualni vodnik (2019)

Danes si bomo ogledali drugo vrsto nalog 6 - tokrat s krogom. Mnogi učenci jih ne marajo in se jim zdijo težke. In popolnoma zaman, saj so takšne težave rešene osnovno, če poznate nekaj izrekov. Ali pa si sploh ne upajo, če jih ne poznate.

Preden govorim o glavnih lastnostih, naj vas spomnim na definicijo:

Včrtan kot je tisti, katerega oglišče leži na samem krogu in njegove stranice sekajo tetivo na tem krogu.

Središčni kot je vsak kot, katerega vrh je v središču kroga. Njegove stranice prav tako sekajo ta krog in na njem vrezujejo tetivo.

Torej, koncepti vpisanega in središčni kot so neločljivo povezani s krogom in akordi v njem. In zdaj glavna izjava:

Izrek. Središčni kot je vedno dvakrat večji od včrtanega kota, ki temelji na istem loku.

Kljub preprostosti izjave obstaja cel razred problemov 6, ki jih je mogoče rešiti z njo - in nič drugega.

Naloga. Poiščite ostri včrtani kot, ki ga sega tetiva, enaka polmeru krogih.

Naj bo AB obravnavana tetiva, O središče kroga. Dodatna konstrukcija: OA in OB sta polmera kroga. Dobimo:

Razmislite o trikotniku ABO. V njem je AB = OA = OB - vse stranice so enake polmeru kroga. Zato je trikotnik ABO enakostranični in vsi koti v njem merijo 60°.

Naj bo M oglišče včrtanega kota. Ker kota O in M ležita na istem loku AB, je pričrtani kot M 2-krat manjši od središčnega kota O. Imamo:

M = O: 2 = 60: 2 = 30

Naloga. Središčni kot je za 36° večji od včrtanega kota, ki ga sega enak krožni lok. Poiščite včrtani kot.

Vstavimo naslednji zapis:

AB je tetiva kroga;
Točka O je središče kroga, torej je kot AOB središčni kot;
Točka C je oglišče pričrtanega kota ACB.

Ker iščemo včrtan kot ACB, ga označimo z ACB = x. Potem je središčni kot AOB x + 36. Po drugi strani pa je središčni kot 2-krat večji od včrtanega kota. Imamo:

AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.

Tako smo našli včrtan kot AOB - enak je 36°.

Krog je kot 360°

Ob prebranem podnaslovu bodo poznavalci verjetno rekli: "Uf!" Dejansko primerjava kroga s kotom ni povsem pravilna. Da bi razumeli, o čem govorimo, si oglejte klasični trigonometrični krog:

Čemu služi ta slika? In poleg tega je popolna rotacija kot 360 stopinj. In če to delite z, recimo, 20 enake dele, potem bo velikost vsakega od njih 360: 20 = 18 stopinj. Točno to je potrebno za rešitev problema B8.

Točke A, B in C ležijo na krožnici in jo delijo na tri loke, katerih stopinjske mere so v razmerju 1 : 3 : 5. Poišči večji kot trikotnika ABC.

Najprej poiščimo stopinjsko mero vsakega loka. Naj bo manjši x. Na sliki je ta lok označen z AB. Potem lahko preostale loke - BC in AC - izrazimo z AB: lok BC = 3x; AC = 5x. Skupaj ti loki dajejo 360 stopinj:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.

Zdaj razmislite o velikem loku AC, ki ne vsebuje točke B. Ta lok, tako kot ustrezni središčni kot AOC, je 5x = 5 40 = 200 stopinj.

Kot ABC je največji izmed vseh kotov v trikotniku. Je včrtan kot, ki ga sega isti lok kot središčni kot AOC. To pomeni, da je kot ABC 2-krat manjši od AOC. Imamo:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

To bo stopinjska mera večjega kota v trikotniku ABC.

Okrog pravokotnega trikotnika obkrožen krog

Mnogi ljudje pozabijo na ta izrek. A zaman, saj nekaterih težav z B8 brez njega sploh ni mogoče rešiti. Natančneje, rešeni so, a s tolikšnim obsegom izračunov, da bi raje zaspal, kot da bi prišel do odgovora.

Izrek. Središče kroga, opisanega okoli pravokotnega trikotnika, leži na sredini hipotenuze.

Kaj sledi iz tega izreka?

Razpolovišče hipotenuze je enako oddaljeno od vseh oglišč trikotnika. To je neposredna posledica izreka;
Mediana, potegnjena na hipotenuzo, deli prvotni trikotnik na dva enakokraka trikotnika. Točno to je potrebno za rešitev problema B8.

V trikotnik ABC narišemo sredino CD. Kot C je 90°, kot B pa 60°. Poiščite kot ACD.

Ker je kot C 90°, je trikotnik ABC pravokoten trikotnik. Izkaže se, da je CD mediana, potegnjena na hipotenuzo. To pomeni, da sta trikotnika ADC in BDC enakokraka.

Še posebej upoštevajte trikotnik ADC. V njem AD = CD. Toda v enakokrakem trikotniku so koti pri dnu enaki - glejte "Problem B8: Odseki in koti v trikotnikih." Zato je želeni kot ACD = A.

Torej, še vedno je treba ugotoviti, čemu je enak kot A. Če želite to narediti, se spet obrnemo na prvotni trikotnik ABC. Označimo kot A = x. Ker je vsota kotov v katerem koli trikotniku 180°, imamo:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.

Seveda je zadnji problem mogoče rešiti drugače. Na primer, enostavno je dokazati, da trikotnik BCD ni le enakokrak, ampak enakostranični. Torej je kot BCD 60 stopinj. Zato je kot ACD 90 − 60 = 30 stopinj. Kot lahko vidite, lahko uporabite različne enakokrake trikotnike, vendar bo odgovor vedno enak.

To je kot, ki ga tvorita dva akordi, ki izvira iz ene točke na krogu. Včrtani kot se imenuje počiva na loku, zaprtem med njegovimi stranicami.

Včrtani kot enaka polovici loka, na katerem sloni.

Z drugimi besedami, vpisan kot vključuje toliko kotnih stopinj, minut in sekund ločnih stopinj, minute in sekunde so v polovici loka, na katerem leži. Da bi to utemeljili, analizirajmo tri primere:

Prvi primer:

Središče O se nahaja ob strani vpisan kot ABC. Če narišemo polmer AO, dobimo ΔABO, v njem pa OA = OB (kot polmeri) in v skladu s tem ∠ABO = ∠BAO. V zvezi s tem trikotnik, kot AOC - zunanji. In to pomeni on enaka vsoti kota ABO in BAO ali enak dvojnemu kotu ABO. Torej je ∠ABO enako polovici središčni kot AOC. Toda ta kot se meri z lokom AC. To pomeni, da se včrtani kot ABC meri s polovico loka AC.

Drugi primer:

Središče O se nahaja med stranicama vpisan kot ABC Ko narišemo premer BD, razdelimo kot ABC na dva kota, od katerih je v prvem primeru eden merjen za polovico loki AD, druga polovica loka pa CD. In v skladu s tem se izmeri kot ABC (AD+DC) /2, tj. 1/2 AC.

Tretji primer:

Center O se nahaja zunaj vpisan kot ABC. Če narišemo premer BD, bomo imeli:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Toda kota ABD in CBD sta izmerjena na podlagi predhodno poravnane polovice lok AD in CD. In ker se ∠ABC meri z (AD-CD)/2, to je polovica loka AC.

Posledica 1. Vsi, ki temeljijo na istem loku, so enaki, to je enaki drug drugemu. Ker se vsak od njih meri s polovico enakega loki .

Posledica 2. Včrtani kot, glede na premer - pravi kot. Ker se vsak tak kot meri s polovico polkroga in zato vsebuje 90°.

Navodila

Če sta znana polmer (R) kroga in dolžina loka (L), ki ustrezata želenemu središčnemu kotu (θ), ga lahko izračunamo tako v stopinjah kot v radianih. Skupna vrednost je določena s formulo 2*π*R in ustreza središčnemu kotu 360° ali dvema številoma Pi, če namesto stopinj uporabimo radiane. Zato izhajaj iz razmerja 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Iz njega izrazite središčni kot v radianih θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R ali stopinjah θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) in izračunajte z dobljeno formulo.

Na podlagi dolžine tetive (m), ki povezuje točke, ki določajo središčni kot (θ), lahko izračunamo tudi njeno vrednost, če poznamo polmer (R) krožnice. Če želite to narediti, razmislite o trikotniku, ki ga tvorita dva polmera in . To je enakokraki trikotnik, vsi poznajo, vendar morate najti kot nasproti osnove. Sinus njegove polovice je enak razmerju dolžine osnove - tetive - do dvakratne dolžine stranice - polmera. Zato za izračune uporabite inverzno sinusno funkcijo - arcsinus: θ = 2*arcsin(½*m/R).

Osrednji kot je lahko določen v delcih vrtljajev ali iz zasukanega kota. Na primer, če morate najti središčni kot, ki ustreza četrtini polnega vrtljaja, delite 360° s štiri: θ = 360°/4 = 90°. Ista vrednost v radianih bi morala biti 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Raztegnjeni kot je enak polovici polnega obrata, zato bo na primer središčni kot, ki ustreza njegovi četrtini, polovica vrednosti, izračunanih zgoraj v stopinjah in radianih.

Inverzna sinusna funkcija se imenuje trigonometrična funkcija arcsinus. Lahko sprejme vrednosti znotraj polovice Pi, tako pozitivne kot negativne, če jih merimo v radianih. Če jih merimo v stopinjah, bodo te vrednosti v območju od -90 ° do +90 °.

Navodila

Nekaterih "okroglih" vrednosti ni treba izračunati, lažje si jih je zapomniti. Na primer: - če je argument funkcije enak nič, potem je tudi njegov arcsinus nič; - od 1/2 je enako 30° ali 1/6 Pi, če je izmerjeno; - arcsinus od -1/2 je -30° ali -1/6 od števila Pi v; - arksinus 1 je enak 90° ali 1/2 števila Pi v radianih; - arksinus -1 je enak -90° ali -1/2 od število Pi v radianih;

Za merjenje vrednosti te funkcije iz drugih argumentov je najlažji način, da uporabite standardni kalkulator Windows, če ga imate pri roki. Za začetek odprite glavni meni na gumbu »Start« (ali s pritiskom na tipko WIN), pojdite na razdelek »Vsi programi« in nato na pododdelek »Pripomočki« in kliknite »Kalkulator«.

Vmesnik kalkulatorja preklopite v način delovanja, ki vam omogoča izračun trigonometrične funkcije. Če želite to narediti, odprite razdelek »Pogled« v njegovem meniju in izberite »Inženiring« ali »Znanstveno« (odvisno od vrste operacijski sistem).

Vnesite vrednost argumenta, iz katerega naj se izračuna arktangens. To lahko storite tako, da z miško kliknete gumbe na vmesniku kalkulatorja ali pritisnete tipke na , ali pa kopirate vrednost (CTRL + C) in jo nato prilepite (CTRL + V) v vnosno polje kalkulatorja.

Izberite merske enote, v katerih morate dobiti rezultat izračuna funkcije. Pod poljem za vnos so tri možnosti, med katerimi morate izbrati (s klikom z miško) eno - , radiani ali radi.

Označite potrditveno polje, ki obrne funkcije, navedene na gumbih vmesnika kalkulatorja. Ob njem je kratek napis Inv.

Kliknite gumb za greh. Kalkulator bo obrnil z njim povezano funkcijo, izvedel izračun in vam predstavil rezultat v določenih enotah.

Video na temo

Eden od pogostih geometrijskih problemov je izračun površine krožnega segmenta - dela kroga, ki ga omejuje tetiva, in ustrezne tetive s krožnim lokom.

Površina krožnega segmenta je enaka razliki med površino ustreznega krožnega sektorja in površino trikotnika, ki ga tvorijo polmeri sektorja, ki ustreza segmentu, in tetive, ki omejuje segment.

Primer 1

Dolžina tetive, ki zajema krog, je enaka vrednosti a. Stopinjska mera loka, ki ustreza tetivi, je 60°. Poiščite območje krožnega segmenta.

rešitev

Trikotnik, ki ga sestavljata dva polmera in tetiva, je enakokrak, zato bo višina, potegnjena iz oglišča središčnega kota na stranico trikotnika, ki ga tvori tetiva, tudi simetrala središčnega kota, ki ga deli na pol, in mediana, ki deli tetivo na pol. Če vemo, da je sinus kota enak razmerju med nasprotnim krakom in hipotenuzo, lahko izračunamo polmer:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, kjer je h višina, narisana iz oglišča središčnega kota na tetivo. Po Pitagorovem izreku je h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

V skladu s tem je S▲=√3/4*a².

Površina segmenta, izračunana kot Sreg = Sc - S▲, je enaka:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Nadomeščanje številčna vrednost Namesto vrednosti a lahko preprosto izračunate številsko vrednost površine segmenta.

Primer 2

Polmer kroga je enak a. Stopinjska mera loka, ki ustreza segmentu, je 60°. Poiščite območje krožnega segmenta.

rešitev:

Območje sektorja, ki ustreza danemu kotu, se lahko izračuna z naslednjo formulo:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Površina trikotnika, ki ustreza sektorju, se izračuna na naslednji način:

S▲=1/2*ah, kjer je h višina, narisana iz oglišča središčnega kota na tetivo. Po Pitagorovem izreku je h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

V skladu s tem je S▲=√3/4*a².

In končno, površina segmenta, izračunana kot Sreg = Sc - S▲, je enaka:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a².

Rešitve so v obeh primerih skoraj enake. Tako lahko sklepamo, da je za izračun površine segmenta v najpreprostejšem primeru dovolj poznati vrednost kota, ki ustreza loku segmenta, in enega od dveh parametrov - bodisi polmer kroga ali dolžina tetive, ki zajema lok kroga, ki tvori segment.

Viri:

Segment - geometrija

V tem članku vam bom povedal, kako rešiti težave, ki uporabljajo .

Najprej se, kot običajno, spomnimo definicij in izrekov, ki jih morate poznati za uspešno reševanje problemov v .

1.Včrtani kot je kot, katerega vrh leži na krogu in njegove stranice sekajo krog:

2.Osrednji kot je kot, katerega vrh sovpada s središčem kroga:

Stopinjska vrednost krožnega loka merjeno z velikostjo središčnega kota, ki leži na njem.

IN v tem primeru stopinjska vrednost loka AC je enaka vrednosti kota AOS.

3. Če včrtani in središčni kot temeljita na istem loku, potem pričrtani kot je za polovico manjši od središčnega kota:

4. Vsi včrtani koti, ki ležijo na enem loku, so med seboj enaki:

5. Včrtani kot, ki ga sega premer, je 90°:

Rešimo več problemov.

1. Naloga B7 (št. 27887)

Poiščimo vrednost središčnega kota, ki leži na istem loku:

Očitno je kot AOC enak 90°, zato je kot ABC enak 45°

Odgovor: 45°

2. Naloga B7 (št. 27888)

Poiščite velikost kota ABC. Podajte svoj odgovor v stopinjah.

Očitno je kot AOC 270°, potem je kot ABC 135°.

Odgovor: 135°

3. Naloga B7 (št. 27890)

Poiščite stopinjsko vrednost loka AC krožnice, ki je pod kotom ABC. Podajte svoj odgovor v stopinjah.

Poiščimo vrednost središčnega kota, ki se naslanja na lok AC:

Velikost kota AOS je 45°, zato je stopinjska mera loka AC 45°.

Odgovor: 45°.

4. Naloga B7 (št. 27885)

Poiščite kot ACB, če včrtana kota ADB in DAE počivata na krožnih lokih, katerih vrednosti stopinj so enake oz. Podajte svoj odgovor v stopinjah.

Kot ADB leži na loku AB, zato je vrednost središčnega kota AOB enaka 118°, zato je kot BDA enak 59°, sosednji kot ADC pa 180°-59° = 121°

Podobno je kot DOE 38°, ustrezen včrtan kot DAE pa 19°.

Razmislite o trikotniku ADC:

Vsota kotov trikotnika je 180°.

Kot ACB je enak 180°- (121°+19°)=40°

Odgovor: 40°

5. Naloga B7 (št. 27872)

Stranice štirikotnika ABCD AB, BC, CD in AD segajo med loki opisanih krogov, katerih stopinjske vrednosti so enake , , oziroma . Poiščite kot B tega štirikotnika. Podajte svoj odgovor v stopinjah.

Kot B leži na loku ADC, katerega vrednost je enaka vsoti vrednosti lokov AD in CD, to je 71°+145°=216°

Včrtani kot B je enak polovici velikosti loka ADC, to je 108°

Odgovor: 108°

6. Naloga B7 (št. 27873)

Točke A, B, C, D, ki se nahajajo na krogu, razdelijo ta krog na štiri loke AB, BC, CD in AD, katerih vrednosti stopinj so v razmerju 4: 2: 3: 6. Poiščite kot A štirikotnika ABCD. Podajte svoj odgovor v stopinjah.

(glej risbo prejšnje naloge)

Ker smo podali razmerje velikosti lokov, uvedemo enotski element x. Nato bo velikost vsakega loka izražena z naslednjim razmerjem:

AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x. Vsi loki tvorijo krog, to pomeni, da je njihova vsota 360°.

4x+2x+3x+6x=360°, torej x=24°.

Kot A nosita loka BC in CD, ki imata skupaj vrednost 5x=120°.

Zato je kot A 60°

Odgovor: 60°

7. Naloga B7 (št. 27874)

Štirikotnik ABCD vpisan v krog. Kotiček ABC enako , kot CAD