Tangens naklonskega kota premice, če je enačba znana. Kako najti naklon enačbe

Odvod funkcije je ena težjih tem v šolski kurikulum. Vsak diplomant ne bo odgovoril na vprašanje, kaj je derivat.

Ta članek na preprost in jasen način pojasnjuje, kaj je izpeljanka in zakaj je potrebna.. Zdaj ne bomo težili k matematični strogosti v predstavitvi. Najpomembneje je razumeti pomen.

Spomnimo se definicije:

Odvod je hitrost spremembe funkcije.

Slika prikazuje grafe treh funkcij. Kaj mislite, katera raste hitreje?

Odgovor je očiten - tretji. Ima najvišjo stopnjo spremembe, to je največji derivat.

Tukaj je še en primer.

Kostya, Grisha in Matvey so hkrati dobili službo. Poglejmo, kako so se njihovi prihodki spreminjali med letom:

Graf prikazuje vse naenkrat, kajne? Kostyev dohodek se je v šestih mesecih več kot podvojil. In Grishin dohodek se je prav tako povečal, vendar le malo. In Matvejev dohodek se je zmanjšal na nič. Začetni pogoji so enaki, toda hitrost spreminjanja funkcije, tj izpeljanka, - drugačen. Kar zadeva Matveya, je njegov derivat dohodka na splošno negativen.

Intuitivno enostavno ocenimo hitrost spremembe funkcije. Toda kako naj to naredimo?

V resnici gledamo, kako strmo gre graf funkcije navzgor (ali navzdol). Z drugimi besedami, kako hitro se spreminja y, ko se spreminja x? Očitno je ista funkcija v različne točke lahko drugačen pomen izpeljanka – torej se lahko spreminja hitreje ali počasneje.

Odvod funkcije je označen.

Pokazali vam bomo, kako ga najdete z grafom.

Narisan je bil graf neke funkcije. Vzemimo točko z absciso na njej. V tej točki narišimo tangento na graf funkcije. Oceniti želimo, kako strmo gre graf funkcije navzgor. Primerna vrednost za to je tangens tangentnega kota.

Odvod funkcije v točki je enak tangensu tangentnega kota, narisanega na graf funkcije v tej točki.

Upoštevajte, da kot naklon tangente vzamemo kot med tangento in pozitivno smerjo osi.

Včasih učenci vprašajo, kaj je tangenta na graf funkcije. To je ravna črta, ki ima samo enega skupna točka z grafom in kot je prikazano na naši sliki. Videti je kot tangenta na krog.

Poiščimo ga. Spomnimo se, da je tangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku enak razmerju med nasprotno in sosednjo stranico. Iz trikotnika:

Izpeljanko smo našli z uporabo grafa, ne da bi sploh poznali formulo funkcije. Takšne težave pogosto najdemo v Enotnem državnem izpitu iz matematike pod številko.

Obstaja še eno pomembno razmerje. Spomnimo se, da je premica podana z enačbo

Količina v tej enačbi se imenuje naklon ravne črte. Enak je tangensu kota naklona premice na os.

.

To razumemo

Zapomnimo si to formulo. Ona izraža geometrijski pomen izpeljanka.

Odvod funkcije v točki je enak naklonu tangente, narisane na graf funkcije v tej točki.

Z drugimi besedami, odvod je enak tangensu tangentnega kota.

Rekli smo že, da ima ista funkcija lahko različne odvode na različnih točkah. Poglejmo, kako je odvod povezan z obnašanjem funkcije.

Narišimo graf neke funkcije. Naj se ta funkcija poveča na nekaterih področjih in zmanjša na drugih in z različnimi stopnjami. In naj ima ta funkcija maksimalne in minimalne točke.

V določenem trenutku se funkcija poveča. Tangenta na graf, narisana v točki, tvori oster kot; s pozitivno smerjo osi. To pomeni, da je odvod v točki pozitiven.

Na točki se naša funkcija zmanjša. Tangenta na tej točki tvori top kot; s pozitivno smerjo osi. Ker je tangens topega kota negativen, je odvod v točki negativen.

Takole se zgodi:

Če funkcija narašča, je njen odvod pozitiven.

Če se zmanjša, je njegov odvod negativen.

Kaj se bo zgodilo na najvišji in najnižji točki? Vidimo, da je v točkah (maksimalna točka) in (minimalna točka) tangenta vodoravna. Zato je tangenta tangente v teh točkah enaka nič in tudi odvod je nič.

Točka - najvišja točka. Na tej točki se povečanje funkcije nadomesti z zmanjšanjem. Posledično se predznak derivata spremeni v točki iz "plus" v "minus".

V točki - minimalni točki - je derivat tudi nič, vendar se njegov znak spremeni iz "minus" v "plus".

Sklep: z odvodom lahko ugotovimo vse, kar nas zanima o obnašanju funkcije.

Če je odvod pozitiven, potem funkcija narašča.

Če je odvod negativen, potem funkcija pada.

Na najvišji točki je odvod enak nič in spremeni predznak iz "plus" v "minus".

V točki minimuma je tudi derivat enak nič in spremeni predznak iz "minus" v "plus".

Zapišimo te zaključke v obliki tabele:

	poveča	največja točka	zmanjša	najmanjša točka	poveča
+	0	-	0	+

Naredimo dve majhni pojasnili. Enega od njih boste potrebovali pri reševanju težave. Drugo - v prvem letniku, z resnejšim študijem funkcij in derivatov.

Možno je, da je odvod funkcije na neki točki enak nič, vendar funkcija na tej točki nima niti maksimuma niti minimuma. To je t.i :

V točki je tangenta na graf vodoravna in odvod enak nič. Toda pred točko se je funkcija povečala - in po točki še naprej narašča. Predznak odvoda se ne spremeni - ostane pozitiven, kot je bil.

Zgodi se tudi, da na točki maksimuma ali minimuma izpeljanka ne obstaja. Na grafu to ustreza ostremu prelomu, ko na določeni točki ni mogoče narisati tangente.

Kako najti odvod, če funkcija ni podana z grafom, ampak s formulo? V tem primeru velja

Naučite se jemati odvode funkcij. Izvod označuje hitrost spremembe funkcije na določeni točki, ki leži na grafu te funkcije. IN v tem primeru Graf je lahko ravna ali ukrivljena črta. To pomeni, da odvod označuje hitrost spremembe funkcije v določenem trenutku. Ne pozabite splošna pravila, s katerim se vzamejo izpeljanke, in šele nato nadaljujte z naslednjim korakom.

• Preberi članek.
• Opisano je, kako vzeti najpreprostejše odvode, na primer odvod eksponentne enačbe. Izračuni, predstavljeni v naslednjih korakih, bodo temeljili na tam opisanih metodah.

Naučite se razlikovati naloge, pri katerih je treba koeficient naklona izračunati preko odvoda funkcije. Težave od vas ne zahtevajo vedno, da poiščete naklon ali odvod funkcije. Na primer, morda boste morali poiskati stopnjo spremembe funkcije v točki A(x,y). Morda boste morali poiskati tudi naklon tangente v točki A(x,y). V obeh primerih je treba vzeti odvod funkcije.

Vzemite izpeljanko funkcije, ki vam je dana. Tukaj ni treba graditi grafa - potrebujete samo enačbo funkcije. V našem primeru vzemite odvod funkcije. Vzemite derivat v skladu z metodami, opisanimi v zgoraj omenjenem članku:

• Izpeljanka:

Koordinate točke, ki vam je bila dana, nadomestite z najdenim odvodom, da izračunate naklon. Odvod funkcije je enak naklonu v določeni točki. Z drugimi besedami, f"(x) je naklon funkcije v kateri koli točki (x,f(x)). V našem primeru:

• Poiščite naklon funkcije f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) v točki A(4,2).
• Izpeljanka funkcije:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• Nadomestite vrednost koordinate "x" te točke:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• Poiščite naklon:
• Faktor naklona funkcije f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) v točki A(4,2) je enako 22.

Če je mogoče, preverite svoj odgovor na grafu. Ne pozabite, da naklona ni mogoče izračunati na vsaki točki. Diferencialni račun preučuje kompleksne funkcije in kompleksne grafe, kjer naklona ni mogoče izračunati v vsaki točki, v nekaterih primerih pa točke sploh ne ležijo na grafih. Če je mogoče, uporabite grafični kalkulator, da preverite, ali je naklon dane funkcije pravilen. V nasprotnem primeru narišite tangento na graf v točki, ki vam je dana, in razmislite, ali se vrednost naklona, ​​ki ste jo našli, ujema s tem, kar vidite na grafu.

• Tangenta bo imela enak naklon kot graf funkcije na določeni točki. Če želite na določeni točki narisati tangento, se premaknite levo/desno na osi X (v našem primeru 22 vrednosti v desno) in nato eno navzgor na osi Y. Označite točko in jo povežite z točka, ki vam je bila dana. V našem primeru povežite točki s koordinatama (4,2) in (26,3).

Premica y=f(x) bo tangentna na graf, prikazan na sliki, v točki x0, če poteka skozi točko s koordinatami (x0; f(x0)) in ima kotni koeficient f"(x0). Poišči tak koeficient, Poznavanje značilnosti tangente ni težko.

Boste potrebovali

• - matematični priročnik;
• - preprost svinčnik;
• - zvezek;
• - kotomer;
• - kompas;
• - pero.

Navodila

Če vrednost f‘(x0) ne obstaja, potem bodisi ni tangente ali pa poteka navpično. Glede na to je prisotnost odvoda funkcije v točki x0 posledica obstoja nenavpične tangente, ki se dotika grafa funkcije v točki (x0, f(x0)). V tem primeru bo kotni koeficient tangente enak f "(x0). Tako postane geometrijski pomen izpeljanke jasen - izračun kotnega koeficienta tangente.

Narišite dodatne tangente, ki bi bile v stiku z grafom funkcije v točkah x1, x2 in x3, ter označite kote, ki jih tvorijo te tangente, z osjo x (ta kot se šteje v pozitivni smeri od osi do osi). tangenta). Na primer, kot, to je α1, bo oster, drugi (α2) bo top, tretji (α3) pa nič, ker je tangenta vzporedna z osjo OX. V tem primeru je tangens topega kota negativen, tangens ostrega kota pozitiven, pri tg0 pa je rezultat enak nič.

Opomba

Pravilno določite kot, ki ga tvori tangenta. Če želite to narediti, uporabite kotomer.

Koristen nasvet

Dve nagnjeni črti bosta vzporedni, če sta njuna kotna koeficienta enaka drug drugemu; pravokotno, če je produkt kotnih koeficientov teh tangent enak –1.

Viri:

• Tangenta na graf funkcije

Kosinus je tako kot sinus razvrščen kot "neposredna" trigonometrična funkcija. Tangens (skupaj s kotangensom) je razvrščen kot drug par, imenovan "derivati". Obstaja več definicij teh funkcij, ki omogočajo iskanje tangente, podane z znana vrednost kosinus enake vrednosti.

Navodila

Odštejte količnik enote za vrednost, dvignjeno na kosinus danega kota, in iz rezultata izvlecite kvadratni koren - to bo vrednost tangensa kota, izražena z njegovim kosinusom: tan(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . Upoštevajte, da je v formuli kosinus v imenovalcu ulomka. Nezmožnost deljenja z ničlo onemogoča uporabo tega izraza za kote, enake 90 °, kot tudi tiste, ki se od te vrednosti razlikujejo za števila, ki so večkratniki 180 ° (270 °, 450 °, -90 ° itd.).

Obstaja alternativni način za izračun tangensa iz znane vrednosti kosinusa. Lahko se uporablja, če ni omejitev uporabe drugih. Za izvedbo te metode najprej določite vrednost kota iz znane vrednosti kosinusa – to lahko storite s funkcijo arc kosinus. Nato preprosto izračunajte tangens za kot dobljene vrednosti. IN splošni pogled ta algoritem lahko zapišemo na naslednji način: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Obstaja tudi eksotična možnost z uporabo definicije kosinusa in tangente ostri koti pravokotni trikotnik. V tej definiciji kosinus ustreza razmerju med dolžino noge, ki meji na obravnavani kot, in dolžino hipotenuze. Če poznate vrednost kosinusa, lahko izberete ustrezne dolžine teh dveh strani. Na primer, če je cos (α) = 0,5, se lahko sosednji del vzame za 10 cm, hipotenuza pa za 20 cm. Določene številke tukaj niso pomembne - dobili boste enake in pravilne številke z vsemi vrednostmi, ki imajo enake vrednosti. Nato s pomočjo Pitagorovega izreka določi dolžino manjkajoče stranice - nasprotnega kraka. Enako bo kvadratni koren iz razlike med dolžinami kvadrata hipotenuze in znanega kraka: √(20²-10²)=√300. Po definiciji tangenta ustreza razmerju dolžin nasproti in sosednje noge(√300/10) - izračunajte in pridobite vrednost tangensa, ki jo najdete s klasično definicijo kosinusa.

Viri:

• kosinus skozi formulo tangensa

Eden od trigonometrične funkcije, najpogosteje označen s črkama tg, čeprav najdemo tudi oznake tan. Najlažji način za predstavitev tangente je sinusno razmerje kota na njegov kosinus. To je liha periodična in nezvezna funkcija, katere vsak cikel je enak številu Pi, prelomna točka pa ustreza polovici tega števila.

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate zahtevo, lahko zbiramo razne informacije, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo in vas obveščamo edinstvene ponudbe, promocije in drugi dogodki ter prihajajoči dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabimo tudi za interne namene, kot so revizija, analiza podatkov in razne študije da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

V prejšnjem poglavju je bilo pokazano, da lahko z izbiro določenega koordinatnega sistema na ravnini izrazimo geometrijske lastnosti, ki označujejo točke obravnavane premice, analitično z enačbo med trenutnimi koordinatami. Tako dobimo enačbo premice. V tem poglavju bomo obravnavali enačbe ravnih črt.

Če želite ustvariti enačbo za ravno črto v kartezičnih koordinatah, morate nekako nastaviti pogoje, ki določajo njen položaj glede na koordinatne osi.

Najprej bomo predstavili koncept kotnega koeficienta premice, ki je ena od količin, ki označuje položaj premice na ravnini.

Kot naklona premice na os Ox imenujemo kot, za katerega je treba os Ox zasukati, da sovpada z dano premico (ali je z njo vzporedna). Kot običajno bomo upoštevali kot ob upoštevanju predznaka (znak je določen s smerjo vrtenja: v nasprotni ali v smeri urinega kazalca). Ker bo dodatni zasuk osi Ox za kot 180° ponovno poravnal s premico, kota naklona premice na os ni mogoče izbrati nedvoumno (točno znotraj člena, večkratnika ).

Tangens tega kota je določen enolično (saj sprememba kota ne spremeni njegovega tangenta).

Tangens kota naklona premice na os Ox se imenuje kotni koeficient premice.

Kotni koeficient označuje smer premice (tu ne razlikujemo dveh med seboj nasprotnih smeri premice). Če je naklon premice enak nič, je premica vzporedna z osjo x. S pozitivnim kotnim koeficientom bo kot naklona ravne črte na os Ox oster (tukaj upoštevamo najmanjši pozitivna vrednost kot nagiba) (slika 39); Poleg tega večji ko je kotni koeficient, večji je kot njegovega naklona na os Ox. Če je kotni koeficient negativen, bo kot naklona ravne črte na os Ox top (slika 40). Upoštevajte, da premica, pravokotna na os Ox, nima kotnega koeficienta (tangens kota ne obstaja).