Kolikšna je vsota katerega koli trikotnika? Vsota kotov trikotnika. Izrek o vsoti kotov trikotnika

Dejstvo, da je "vsota kotov katerega koli trikotnika v evklidski geometriji 180 stopinj", si lahko preprosto zapomnimo. Če si ni enostavno zapomniti, lahko izvedete nekaj poskusov za boljše pomnjenje.

Poskus ena

Na list papirja narišite več poljubnih trikotnikov, npr.

• s poljubnimi stranicami;
• enakokraki trikotnik;
• pravokotni trikotnik.

Bodite prepričani, da uporabite ravnilo. Zdaj morate izrezati nastale trikotnike in to narediti natančno vzdolž narisanih črt. Pobarvajte vogale vsakega trikotnika z barvnim svinčnikom ali markerjem. Na primer, v prvem trikotniku bodo vsi vogali rdeči, v drugem - modri, v tretjem - zeleni. http://bit.ly/2gY4Yfz

Iz prvega trikotnika odrežite vse 3 vogale in jih na eni točki povežite s svojimi oglišči, tako da sta najbližji stranici vsakega vogala povezani. Kot lahko vidite, so trije vogali trikotnika tvorili razširjeni kot, ki je enak 180 stopinj. Enako storite z ostalima dvema trikotnikoma – rezultat bo enak. http://bit.ly/2zurCrd

Poskus dva

Nariši poljuben trikotnik ABC. Izberite poljubno oglišče (na primer C) in skozenj narišite premico DE, vzporedno z nasprotno stranjo (AB). http://bit.ly/2zbYNzq

Dobimo naslednje:

1. Kota BAC in ACD sta enaka kot notranja kota, pravokotna na AC;
2. Kota ABC in BCE sta enaka kot notranja kota, pravokotna na BC;
3. Vidimo, da so koti 1, 2 in 3 koti trikotnika, povezani v eni točki, da tvorijo razvit kot DCE, ki je enak 180 stopinj.

Izrek o vsoti kotov trikotnika pravi, da je vsota vseh notranjih kotov katerega koli trikotnika 180°.

Naj bodo notranji koti trikotnika a, b in c, potem:

a + b + c = 180°.

Iz te teorije lahko sklepamo, da je vsota vseh zunanjih kotov katerega koli trikotnika enaka 360°. Ker zunanji kot meji na notranji kot, je njuna vsota 180°. Naj bodo notranji koti trikotnika a, b in c, potem so zunanji koti pri teh kotih 180° - a, 180° - b in 180° - c.

Poiščimo vsoto zunanjih kotov trikotnika:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Odgovor: vsota notranjih kotov trikotnika je 180°; vsota zunanjih kotov trikotnika je 360°.

Vrsta lekcije: učenje nove snovi.

Cilji lekcije:

Izobraževalni:

• skupaj s fanti »odkrijte« in dokažite izrek o vsoti kotov trikotnika;
• povzeti in sistematizirati preučeno gradivo o tej temi;
• študente seznaniti z zgodovinskim gradivom o obravnavani temi;
• vzbujati zanimanje za matematiko z vključitvijo igralnih tehnologij v lekcijo;
• razvijati spretnosti in sposobnosti pri reševanju geometrijskih problemov;

Izobraževalni:

• razvija pozornost, spomin, govor, logično razmišljanje, neodvisnost;
• razmislite o več načinih za dokazovanje izreka, posplošite z uporabo elementov raziskovanja, razvijete matematični govor;
• razvijati zmožnost primerjanja in posploševanja dejstev in pojmov;
• razvijati sodelovanje pri delu v parih.

Izobraževalni:

• gojiti željo po doseganju cilja; občutek odgovornosti, samozavest, sposobnost timskega dela;
• gojiti značajske lastnosti, kot so vztrajnost, odločnost, trdo delo in disciplina;
• vzgajati veščine natančnosti pri konstruiranju risb;

• oblikovati humane odnose v razredu.

Oprema: PC, multimedijska oprema, tablice, delovni listi z Domača naloga, kartonski trikotniki, izročki.

Uporabne oblike usposabljanja:čelni, individualno delo učenci in delo v parih. Za aktiviranje pozornosti in domišljije so bili uvedeni igralni trenutki.

Struktura lekcije:

1. Organizacija začetka pouka – 2 min.
2. Določitev ciljev lekcije – 1 min.
3. Priprava na glavno fazo lekcije -5 min.
4. Posodabljanje predhodno preučene snovi – 4 min.
5. Uvod v novo snov – 10 min
6. Minuta telesne vzgoje – 1 min
7. Začetno preverjanje razumevanja – 5 min.
8. Asimilacija znanja. Reševanje problemov – 13 min.
9. Povzetek lekcije. Razmislek – 2 min.
10. Informacije o Domača naloga- 2 minuti.

Med poukom

1. Organizacijski trenutek.

Pozdravi. Preverjanje pripravljenosti učencev na pouk. Na tabli je tema lekcije in rek:

... Kot je resnica jasna smrtnikom,
Da se dva neumna človeka ne moreta umestiti v trikotnik.
Dante A.

2. Določitev ciljev lekcije.

Fantje, kakšna postava se vam zdi? se bomo pogovorili v tej lekciji? Kakšni so cilji lekcije?

• »odkriti« in dokazati izrek o vsoti kotov trikotnika;
• naučiti reševanja problemov z uporabo pridobljenega znanja.

3. Priprava na glavno fazo lekcije.

Oblikujte definicijo trikotnika. (Trikotnik je geometrijski lik, ki ga tvorijo tri točke, ki ne ležijo na isti premici, in segmenti, ki te točke povezujejo v parih.)

Poimenuj elemente trikotnika. (Koti, stranice, oglišča.)

Navedite imena trikotnikov na straneh. (Enakostranični, enakokraki, lestvica.)

Eden od učencev izbere in pokaže razredne trikotnike, ki so pripravljeni in ležijo na učiteljevi mizi.

Trikotniki se razlikujejo tudi po kotih. Poskusimo poimenovati trikotnike glede na njihove kote. (Drugi učenec izbere: ostrokotni, topokotni in pravokotni trikotnik.)

Odgovorimo na nekaj vprašanj:

Ali ima lahko trikotnik:

1. dva prava kota;
2. dva tupa kota;
3. en pravi in ​​en top kot?

En učenec je povabljen k tabli in riše naslednje:

Sledi "kolektivna razprava". Konstruirani žarki se ne sekajo, kar pomeni, da trikotnik ne bo deloval. Vsota enostranskih kotov je v prvem primeru enaka 180°, v drugem in tretjem primeru pa je večja od 180°. V prvem primeru sta premici vzporedni, v drugem in tretjem primeru pa se premici razhajata. Sklepamo: trikotniki ne morejo imeti dveh ravnih črt in dveh topih. Prav tako trikotnik ne more imeti enega topega in enega pravega kota hkrati. Diapozitiv 3.

Ponovno si oglejmo modele trikotnikov in naredimo sklep: v pravokotnem trikotniku je en kot pravi in ​​dva kota ostra; v tupokotnem trikotniku je en kot topi in dva ostra; v ostrokotnem trikotniku so vsi koti akutna. Toda teoretično na to vprašanje ne moremo odgovoriti, dokler ne vemo, kakšna je vsota kotov trikotnika.

Torej, o trikotniku že vemo precej. Kaj misliš, kakšna je vsota kotov katerega koli trikotnika? (Poslušaj odgovore). Ali so vaše domneve pravilne, preverimo s praktičnim delom.

Praktično delo(spodbuja posodabljanje znanja in veščin samospoznavanja). (Delo v parih.) Diapozitivi 4-5.

Vsak od vas ima na mizi en trikotnik različne barve. Fantje, v 5. razredu smo merili kote s kotomerjem in ugotovili njihovo vsoto. Vsota kotov je bila za vsakogar drugačna (lahko se je to zgodilo, ker je bil kotomer napačen, malomaren izračun ipd.).

Predlagam, da vsoto kotov trikotnika poiščete na dva druga načina: vzemite trikotnika, ki sta na vaši mizi. Ali so rumeni oz Roza barva. Označi kote trikotnika s številkami 1, 2, 3.

Rumeni trikotnik učenci: odtrgajte dva vogala trikotnika in ju pritrdite na stranice tretjega vogala tako, da so vsa oglišča na isti točki. Opazimo, da vsi koti trikotnika seštejejo in tvorijo ravni kot.

Učenci roza trikotnika: vogale zložite v notranjost trikotnika. Upoštevajte, da mora biti trikotnik upognjen vzdolž ravne črte, vzporedne s stranjo kota, ki ga bomo najprej upognili, in ta kot se mora dotikati te strani. Opazimo, da vsi koti trikotnika seštejejo in tvorijo ravni kot.

Kakšna je stopinjska mera razvitega kota?

Do kakšnega zaključka smo prišli?

Vsota kotov trikotnika je 180 stopinj.

Po opravljenem praktičnem delu smo ugotovili, da je vsota kotov trikotnika 180 stopinj.

Pri matematiki praktično delo Omogoča samo nekakšno izjavo, ki pa jo je treba dokazati. Trditev, katere veljavnost je dokazana, se imenuje izrek.

Kateri izrek moramo dokazati?

Vsota kotov trikotnika je 180 stopinj.

4. Stopnja priprave študentov na aktivno in zavestno asimilacijo novega znanja.

Diapozitivi 6-7.

Pred dokazovanjem tega izreka ustno rešimo dve nalogi, ki nam bosta v pomoč pri dokazovanju izreka:

5. Stopnja asimilacije novega znanja, veščin, sposobnosti.

Diapozitivi 8-9

(Obstajajo trije možni načini dokazovanja.)

Dokaz izreka(razvija sposobnost analiziranja, posploševanja in logičnega sklepanja z uporabo predhodno preučenega gradiva).

En študent dokazuje izrek za tablo in med potjo komentira svoja dejanja. Ostali učenci delajo v zvezkih. V primeru netočnosti jih učitelj prilagodi.

Učitelj: Kaj smo dobili?

Študent: Podan je trikotnik.

Učitelj: V zvezkih sestavi poljuben trikotnik in mu označi oglišča A, B in C. Kaj moraš dokazati?

Učenec: Da je vsota kotov trikotnika 180°.

Dano: ∆ ABC Dokaži: A+B+C=180° Dokazni načrt: 1) Skozi oglišče B potegnemo premico DE || A.C. 2) Dokaži, da je 4 = 1, 5 = 3 3) Dokaži, da če je 4+2+5=180°, potem je 1+2+3=180° ali v ∆ ABC A+B+C=180°

A ta način dokazovanja ni edini. Prvi dokaz je podal Pitagora (5. stoletje pr. n. št.), Evklid pa v prvi knjigi Elementov poda še en dokaz izreka o vsoti kotov trikotnika. Diapozitiv 10.

Fantje ustno dokazujejo:

Dokaz: 1) Skozi oglišče B narišemo žarek BD|| AC. 2) 4 in 3 - ležita navzkrižno pod BD||AC in sekanto BC. 3) BD|| AC in AB sta sekanti, potem sta 1+ABD=180° enostranski kot. 4) potem 1+2+4=180°, ker je 4=3, potem 1+2+3=180° ali A+B+C=180°

Poskusite doma dokazati ta izrek z risbo Pitagorovih učencev. (Fantje dobijo list z risbami vseh treh dokazov, da jih odnesejo domov.) Diapozitiv 11.

6. Minuta telesne vzgoje.

Diapozitivi 12-14.

7. Utrjevanje preučenega gradiva.

Zdaj lahko s pomočjo izreka utemeljimo, zakaj trikotnik ne more imeti dveh pravih kotov, dveh topih kotov, dveh kotov, od katerih je eden top in drugi pravi.

Posledica izreka o vsoti kotov trikotnika (učenci izpeljejo samostojno; to prispeva k razvoju zmožnosti oblikovanja lastnega stališča, izražanja in argumentiranja).

V katerem koli trikotniku so vsi koti ostri ali pa sta dva ostra in tretji je top ali pravi..

Če ima trikotnik vse ostre kote, se imenuje ostrokoten. Če je eden od kotov trikotnika tup, se imenuje topokoten. Če je eden od kotov trikotnika pravi, se imenuje pravokotne.

Ustno delo: (tablete) Diapozitiv 15.

Odgovorite na vprašanja: diapozitiv 16.

1. Če je eden od kotov trikotnika pravi, kakšna sta druga dva kota?
2. Kolikšna je vsota ostrih kotov trikotnika, če je trikotnik pravokoten?
3. Če je eden od kotov trikotnika top, kakšna je vsota drugih dveh kotov trikotnika?

9. Domača naloga.

1. Izroček: tri risbe kot dokaz. ( Priloga 1)
2. Str. 30-31, str. 70, št. 223(a,b), 224, 225, 230

10. Povzetek lekcije.

odsev:

Nadaljuj stavek:

• "Danes sem se v razredu naučil ..."
• "Danes sem se v razredu naučil ..."
• "Danes sem v razredu srečal ..."
• "Danes sem v razredu ponavljal ..."
• “Danes sem pri pouku utrjeval...”

>>Geometrija: Vsota kotov trikotnika. Popolne lekcije

TEMA LEKCIJE: Vsota kotov trikotnika.

Cilji lekcije:

• Utrjevanje in preverjanje znanja študentov na temo: "Vsota kotov trikotnika";
• Dokaz o lastnostih kotov trikotnika;
• Uporaba te lastnosti pri reševanju preprostih problemov;
• Uporaba zgodovinskega gradiva za razvoj kognitivne dejavnosti učencev;
• Vzgajanje spretnosti natančnosti pri konstruiranju risb.

Cilji lekcije:

• Preizkusite sposobnosti študentov za reševanje problemov.

Učni načrt:

1. Trikotnik;
2. Izrek o vsoti kotov trikotnika;
3. Primeri nalog.

Trikotnik.

Datoteka: O.gif Trikotnik- najpreprostejši mnogokotnik, ki ima 3 oglišča (kote) in 3 stranice; del ravnine, ki ga omejujejo tri točke in trije odseki, ki povezujejo te točke v parih.
Tri točke v prostoru, ki ne ležijo na isti premici, ustrezajo eni in samo eni ravnini.
Vsak poligon lahko razdelimo na trikotnike - ta postopek se imenuje triangulacija.
Obstaja del matematike, ki je v celoti posvečen preučevanju zakonov trikotnikov - Trigonometrija.

Izrek o vsoti kotov trikotnika.

File:T.gif Izrek o vsoti kotov trikotnika je klasičen izrek evklidske geometrije, ki pravi, da je vsota kotov trikotnika 180°.

Dokaz" :

Naj bo podan Δ ABC. Skozi oglišče B nariši premico vzporedno z (AC) in na njej označi točko D tako, da bosta točki A in D ležali vzdolž različne strani iz neposrednega pr. Tedaj sta kot (DBC) in kot (ACB) enaka kot notranji križno ležeči z vzporednima premicama BD in AC ter sekanto (BC). Tedaj je vsota kotov trikotnika pri ogliščih B in C enaka kotu (ABD). Toda kot (ABD) in kot (BAC) pri oglišču A trikotnika ABC sta notranji enostranici z vzporednima premicama BD in AC ter sekanto (AB), njuna vsota pa je 180°. Zato je vsota kotov trikotnika 180°. Izrek je dokazan.

Posledice.

Zunanji kot trikotnika enaka vsoti dva kota trikotnika, ki mu ne mejita.

Dokaz:

Naj bo podan Δ ABC. Točka D leži na premici AC tako, da A leži med C in D. Potem je BAD zunanja glede na kot trikotnika pri oglišču A in A + BAD = 180°. Toda A + B + C = 180°, zato je B + C = 180° – A. Zato je BAD = B + C. Posledica je dokazana.

Posledice.

Zunanji kot trikotnika je večji od katerega koli kota trikotnika, ki mu ni soseden.

Naloga.

Zunanji kot trikotnika je kot, ki meji na kateri koli kot tega trikotnika. Dokaži, da je zunanji kot trikotnika enak vsoti dveh kotov trikotnika, ki mu ne mejita.
(slika 1)

rešitev:

Naj bo v Δ ABC ∠DAС zunanji (slika 1). Potem je ∠DAC=180°-∠BAC (glede na lastnost sosednji vogali), po izreku o vsoti kotov trikotnika ∠B+∠C = 180°-∠BAC. Iz teh enakosti dobimo ∠DAС=∠В+∠С

Zanimivost:

Vsota kotov trikotnika" :

V geometriji Lobačevskega je vsota kotov trikotnika vedno manjša od 180. V evklidski geometriji je vedno enaka 180. V Riemannovi geometriji je vsota kotov trikotnika vedno večja od 180.

Iz zgodovine matematike:

Evklid (3. stoletje pr. n. št.) v svojem delu "Elementi" daje naslednjo definicijo: "Vzporedne črte so črte, ki so v isti ravnini in se neskončno raztezajo v obe smeri in se ne srečajo na nobeni strani."
Posidonij (1. stoletje pr. n. št.) "Dve ravni črti, ki ležita v isti ravnini, enako oddaljeni druga od druge"
Starogrški znanstvenik Pappus (III. stoletje pred našim štetjem) je uvedel simbol vzporednice ravni znak=. Pozneje je angleški ekonomist Ricardo (1720-1823) ta simbol uporabil kot znak enačaja.
Šele v 18. stoletju so začeli uporabljati simbol za vzporedne črte - znak ||.
Ne ustavi se niti za trenutek povezava v živo med generacijami se vsak dan učimo izkušenj, ki so si jih nabrali naši predniki. Stari Grki podlagi opazovanj in iz praktične izkušnje delali so zaključke, izražali hipoteze in nato na srečanjih znanstvenikov - simpozijih (dobesedno "praznik") - poskušali te hipoteze utemeljiti in dokazati. Takrat se je pojavila izjava: "Resnica se rodi v sporu."

vprašanja:

1. Kaj je trikotnik?
2. Kaj pravi izrek o vsoti kotov trikotnika?
3. Kolikšen je zunanji kot trikotnika?

Izrek o vsoti notranjih kotov trikotnika

Vsota kotov trikotnika je 180°.

Dokaz:

• Dan je trikotnik ABC.
• Skozi oglišče B potegnemo premico DK vzporedno z osnovo AC.
• \kotnik CBK= \kotnik C kot notranji navzkrižno leži z vzporednicama DK in AC ter sekanto BC.
• \angle DBA = \angle Notranja navzkrižno leži z DK \vzporednikom AC in sekanto AB. Kot DBK je obrnjen in enak
• \kot DBK = \kot DBA + \kot B + \kot CBK
• Ker je raztegnjeni kot enak 180 ^\circ , \angle CBK = \angle C in \angle DBA = \angle A , dobimo 180 ^\circ = \kot A + \kot B + \kot C.

Izrek je dokazan

Posledice izreka o vsoti kotov trikotnika:

1. Vsota ostrih kotov pravokotnega trikotnika je enaka 90°.
2. V enakokrakem pravokotnem trikotniku vsak oster kot enako 45°.
3. V enakostraničnem trikotniku je vsak kot enak 60°.
4. V katerem koli trikotniku so vsi koti ostri ali pa sta dva kota ostra, tretji pa top ali pravi.
5. Zunanji kot trikotnika je enak vsoti dveh notranjih kotov, ki mu ne mejita.

Izrek o zunanjem kotu trikotnika

Zunanji kot trikotnika je enak vsoti dveh preostalih kotov trikotnika, ki ne mejita na ta zunanji kot

Dokaz:

• Podan je trikotnik ABC, kjer je BCD zunanji kot.
• \kot BAC + \kot ABC +\kot BCA = 180^0
• Iz enakosti kot \kot BCD + \kot BCA = 180^0
• Dobimo \kotnik BCD = \kotnik BAC+\kotnik ABC.