Kjer je izpeljanka na grafu negativna. Reševanje izpeljanke za lutke: definicija, kako najti, primeri rešitev

Kaj je izpeljanka?
Definicija in pomen odvodne funkcije

Mnogi bodo presenečeni nad nepričakovano umestitvijo tega članka v moj avtorski tečaj o odvodu funkcije ene spremenljivke in njegovih aplikacijah. Konec koncev, kot že od šole naprej: standardni učbenik najprej poda definicijo derivata, njegov geometrijski, mehanski pomen. Nato učenci najdejo odvode funkcij po definiciji in pravzaprav šele nato izpopolnijo tehniko diferenciacije z uporabo izpeljane tabele.

Toda z mojega vidika je naslednji pristop bolj pragmatičen: najprej je priporočljivo DOBRO RAZUMETI meja funkcije, in še posebej, neskončno majhne količine. Dejstvo je, da definicija derivata temelji na konceptu limita, ki je slabo upoštevan v šolski tečaj. Zato velik del mladih potrošnikov granita znanja ne razume samega bistva derivata. Torej, če ste slabo orientirani v diferencialni račun ali pa so se modri možgani skozi leta uspešno znebili te prtljage, začnite s tem meje delovanja. Hkrati obvladajte/zapomnite si njihovo rešitev.

Isti praktični smisel narekuje, da je najprej ugoden naučiti se iskati izpeljanke, vključno z derivati ​​kompleksnih funkcij. Teorija je teorija, ampak, kot pravijo, vedno hočeš razlikovati. V zvezi s tem je bolje preučiti naštete osnovne lekcije in morda mojster razlikovanja ne da bi se sploh zavedali bistva svojih dejanj.

Priporočam, da po branju članka začnete z gradivi na tej strani. Najenostavnejši problemi z izvedenimi finančnimi instrumenti, kjer je obravnavan predvsem problem tangente na graf funkcije. Ampak lahko počakaš. Dejstvo je, da veliko aplikacij derivata ne zahteva razumevanja in ni presenetljivo, da se je teoretična lekcija pojavila precej pozno - ko sem moral razložiti iskanje naraščajočih/padajočih intervalov in ekstremov funkcije. Poleg tega je bil na temo precej dolgo časa. Funkcije in grafi«, dokler se nisem končno odločil, da ga postavim prej.

Zato, dragi čajniki, ne hitite vsrkavati esence derivata kot lačne živali, saj bo nasičenost neokusna in nepopolna.

Koncept naraščanja, padanja, maksimuma, minimuma funkcije

Mnogi učni pripomočki pripeljal do koncepta izpeljanke z uporabo nekaterih praktičnih problemov in tudi jaz sem se domislil zanimiv primer. Predstavljajte si, da se odpravljamo v mesto, ki je dosegljivo na različne načine. Takoj zavrzimo ovinkaste poti in upoštevajmo le ravne avtoceste. Vendar pa so tudi ravne smeri drugačne: v mesto lahko pridete po gladki avtocesti. Ali po hriboviti avtocesti - gor in dol, gor in dol. Druga cesta gre samo navzgor, druga pa ves čas navzdol. Ekstremni navdušenci bodo izbrali pot skozi sotesko s strmo pečino in strmim vzponom.

Toda ne glede na vaše želje je priporočljivo poznati območje ali ga vsaj locirati topografski zemljevid. Kaj pa, če take informacije manjkajo? Navsezadnje lahko izberete na primer gladko pot, a posledično naletite na smučišče z veselimi Finci. Ni dejstvo, da bo navigator ali celo satelitska slika zagotovila zanesljive podatke. Zato bi bilo lepo formalizirati relief poti z uporabo matematike.

Poglejmo nekaj ceste (stranski pogled):

Za vsak slučaj vas spomnim na osnovno dejstvo: potovanja se zgodijo od leve proti desni. Zaradi poenostavitve predpostavimo, da funkcija neprekinjeno na obravnavanem območju.

Kakšne so značilnosti tega grafa?

V intervalih funkcijo poveča, to je vsaka njegova naslednja vrednost več prejšnji. Grobo rečeno, urnik poteka dol gor(vzpnemo se na hrib). In na intervalu funkcijo zmanjša– vsako naslednjo vrednost manj prejšnji, in naš urnik je vklopljen zgoraj navzdol(gremo po klancu navzdol).

Bodimo pozorni tudi na posebne točke. Na točki, ki jo dosežemo maksimum, to je obstaja tak odsek poti, kjer bo vrednost največja (najvišja). Na isti točki se doseže najmanj, In obstaja njegova soseska, v kateri je vrednost najmanjša (najnižja).

Pri pouku si bomo ogledali strožjo terminologijo in definicije. o ekstremih funkcije, zdaj pa preučimo še enega pomembna lastnost: v intervalih funkcija se poveča, vendar se poveča pri različnih hitrostih. In prva stvar, ki vam pade v oči, je, da se graf med intervalom dvigne veliko bolj kul, kot na intervalu . Ali je mogoče z matematičnimi orodji izmeriti strmino ceste?

Hitrost spremembe funkcije

Ideja je naslednja: vzemimo nekaj vrednosti (beri "delta x"), ki ga bomo poklicali povečanje argumenta, in ga začnimo »preizkušati« na različnih točkah naše poti:

1) Poglejmo skrajno levo točko: ko prečkamo razdaljo, se povzpnemo po pobočju do višine (zelena črta). Količina se imenuje prirast funkcije, in v v tem primeru ta prirastek je pozitiven (razlika v vrednostih vzdolž osi je večja od nič). Ustvarimo razmerje, ki bo merilo strmine naše ceste. Očitno je to zelo specifično število in ker sta oba prirastka pozitivna, potem .

Pozor! Imenovanja so ENA simbol, torej ne morete "odtrgati" "delte" od "X" in teh črk obravnavati ločeno. Seveda se komentar nanaša tudi na simbol za povečanje funkcije.

Bolj smiselno raziščimo naravo nastalega ulomka. Naj bodimo na začetku na višini 20 metrov (na levi črni točki). Po prevoženi razdalji metrov (leva rdeča črta) se znajdemo na nadmorski višini 60 metrov. Potem bo prirastek funkcije metrov (zelena črta) in: . torej na vsakem metru ta odsek ceste višina se poveča povprečje za 4 metre...ste pozabili plezalno opremo? =) Z drugimi besedami, konstruirano razmerje označuje POVPREČNO HITROST SPREMEMBE (v tem primeru rasti) funkcije.

Opomba : številske vrednosti Obravnavani primer le približno ustreza razmerjem risbe.

2) Zdaj pa pojdimo na enako razdaljo od skrajno desne črne točke. Tu je dvig postopnejši, zato je prirastek (rdeča črta) relativno majhen, razmerje v primerjavi s prejšnjim primerom pa bo zelo skromno. Relativno gledano, metrov in stopnja rasti funkcije je . Se pravi, tukaj za vsak meter poti obstajajo povprečje pol metra višine.

3) Majhna pustolovščina na pobočju gore. Poglejmo na vrh črna pika, ki se nahaja na ordinatni osi. Predpostavimo, da je to oznaka 50 metrov. Ponovno premagamo razdaljo, zaradi česar se znajdemo nižje - na nivoju 30 metrov. Ker se gibanje izvaja zgoraj navzdol(v “kontra” smeri osi), nato končni prirast funkcije (višine) bo negativen: metrov (rjav segment na risbi). In v tem primeru že govorimo o stopnja zmanjševanja Lastnosti: , to je, da se za vsak meter poti tega odseka višina zmanjša povprečje za 2 metra. Poskrbite za svoja oblačila na peti točki.

Zdaj pa si zastavimo vprašanje: katero vrednost »merilnega standarda« je najbolje uporabiti? To je povsem razumljivo, 10 metrov je zelo grobo. Na njih se zlahka prilega dober ducat hummocks. Ne glede na grbine je lahko spodaj globoka grapa, po nekaj metrih pa njena druga stran z nadaljnjim strmim vzponom. Tako z desetmercem ne bomo dobili razumljivega opisa takih odsekov poti skozi razmerje .

Iz zgornje razprave sledi naslednji zaključek: kako manjša vrednost , bolj natančno opišemo topografijo ceste. Poleg tega so naslednja dejstva resnična:

– Za kogarkoli dvižne točke lahko izberete vrednost (tudi če je zelo majhna), ki se ujema z mejami določene rasti. To pomeni, da bo ustrezen prirast višine zajamčeno pozitiven, neenakost pa bo pravilno kazala rast funkcije na vsaki točki teh intervalov.

- Prav tako, za katero koli točka naklona obstaja vrednost, ki se popolnoma prilega temu naklonu. Posledično je ustrezno povečanje višine očitno negativno in neenakost bo pravilno pokazala zmanjšanje funkcije na vsaki točki danega intervala.

– Posebej zanimiv je primer, ko je hitrost spreminjanja funkcije nič: . Prvič, ničelni prirast višine () je znak gladke poti. In drugič, obstajajo še druge zanimive situacije, katerih primere vidite na sliki. Predstavljajte si, da nas je usoda pripeljala na sam vrh hriba z vzpenjajočimi se orli ali na dno grape s kvakanjem žab. Če naredite majhen korak v katero koli smer, bo sprememba višine zanemarljiva in lahko rečemo, da je hitrost spremembe funkcije dejansko enaka nič. Prav takšno sliko opazimo na točkah.

Tako smo prišli do neverjetne priložnosti, da popolnoma natančno opredelimo hitrost spremembe funkcije. Navsezadnje matematična analiza omogoča usmeriti prirastek argumenta na nič: , to je, da infinitezimalno.

Posledično se pojavi še eno logično vprašanje: ali je mogoče najti cesto in njen urnik drugo funkcijo, ki bi nas obvestili o vseh ravninskih odsekih, vzponih, spustih, vrhovih, dolinah, pa tudi o hitrosti rasti/zmanjšanja na vsaki točki na poti?

Kaj je izpeljanka? Opredelitev derivata.
Geometrijski pomen odvoda in diferenciala

Preberite pozorno in ne prehitro - gradivo je preprosto in dostopno vsem! Nič hudega, če na nekaterih mestih nekaj ni jasno, lahko se na članek vedno vrnete pozneje. Povedal bom več, koristno je večkrat preučiti teorijo, da bi temeljito razumeli vse točke (nasvet je še posebej pomemben za "tehnične" študente, za katere ima višja matematika pomembno vlogo v izobraževalnem procesu).

Seveda v sami definiciji izpeljanke na točki to nadomestimo z:

Do česa smo prišli? In smo prišli do zaključka, da za funkcijo po zakonu je postavljen v skladu drugo funkcijo, ki se imenuje izvedenka funkcije(ali preprosto derivat).

Izpeljanka označuje stopnja spremembe funkcije kako Ideja se kot rdeča nit vleče že od samega začetka članka. Razmislimo o nekaterih točkah domena definicije funkcije Naj bo funkcija diferenciabilna v dani točki. Nato:

1) Če , potem funkcija narašča v točki . In očitno obstaja interval(tudi zelo majhen), ki vsebuje točko, v kateri funkcija raste, njen graf pa gre "od spodaj navzgor".

2) Če , potem funkcija pada v točki . In obstaja interval, ki vsebuje točko, pri kateri funkcija pada (graf gre »od zgoraj navzdol«).

3) Če , potem neskončno blizu blizu točke funkcija ohranja svojo hitrost konstantno. To se zgodi, kot je navedeno, s konstantno funkcijo in na kritičnih točkah funkcije, še posebej pri minimalnih in maksimalnih točkah.

Malo semantike. Kaj pomeni glagol "razlikovati" v širšem pomenu? Razlikovati pomeni poudariti lastnost. Z diferenciacijo funkcije "izoliramo" hitrost njenega spreminjanja v obliki odvoda funkcije. Kaj, mimogrede, pomeni beseda "derivat"? funkcija zgodilo od funkcije.

Izrazi se zelo uspešno razlagajo z mehanskim pomenom izpeljanke :
Razmislimo o zakonu spreminjanja koordinat telesa v odvisnosti od časa in funkciji hitrosti gibanja danega telesa. Funkcija označuje hitrost spreminjanja koordinat telesa, zato je prvi odvod funkcije glede na čas: . Če v naravi ne bi obstajal koncept »gibanja telesa«, potem ga ne bi bilo izpeljanka koncept "telesne hitrosti".

Pospešek telesa je stopnja spremembe hitrosti, torej: . Če začetni koncepti »gibanja telesa« in »telesne hitrosti« ne bi obstajali v naravi, potem ne bi obstajali izpeljanka koncept "telesnega pospeška".

Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ l na prirastek argumenta Δ x:

Zdi se, da je vse jasno. Toda poskusite uporabiti to formulo za izračun, recimo, odvoda funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x greh x. Če naredite vse po definiciji, potem boste po nekaj straneh izračunov preprosto zaspali. Zato obstajajo enostavnejši in učinkovitejši načini.

Za začetek omenimo, da lahko iz celotne raznolikosti funkcij ločimo tako imenovane elementarne funkcije. To so razmeroma preprosti izrazi, katerih izpeljanke so že dolgo izračunane in tabelarizirane. Takšne funkcije si je precej enostavno zapomniti - skupaj z njihovimi izpeljankami.

Izvodi elementarnih funkcij

Osnovne funkcije so vse tiste, ki so navedene spodaj. Izpeljanke teh funkcij moramo poznati na pamet. Poleg tega si jih sploh ni težko zapomniti - zato so osnovni.

Torej, derivati ​​​​elementarnih funkcij:

Ime	funkcija	Izpeljanka
Konstanta	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, nič!)
Potenca z racionalnim eksponentom	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = greh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	− greh x(minus sinus)
Tangenta	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/greh 2 x
Naravni logaritem	f(x) = dnevnik x	1/x
Poljubni logaritem	f(x) = dnevnik a x	1/(x ln a)
Eksponentna funkcija	f(x) = e x	e x(nič spremenjeno)

Če elementarno funkcijo pomnožimo s poljubno konstanto, potem zlahka izračunamo tudi odvod nove funkcije:

(C · f)’ = C · f ’.

Na splošno lahko konstante vzamemo iz predznaka odvoda. Na primer:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očitno je, da lahko elementarne funkcije dodajamo druga drugi, množimo, delimo - in še veliko več. Tako se bodo pojavile nove funkcije, ne več posebej elementarne, ampak tudi diferencirane po določenih pravilih. Ta pravila so obravnavana spodaj.

Odvod vsote in razlike

Naj bodo funkcije podane f(x) In g(x), katerih izpeljanke so nam znane. Na primer, lahko vzamete osnovne funkcije, ki smo jih obravnavali zgoraj. Nato lahko najdete odvod vsote in razlike teh funkcij:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Torej je odvod vsote (razlike) dveh funkcij enak vsoti (razliki) odvodov. Lahko je več terminov. Na primer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo gledano, v algebri ni pojma "odštevanje". Obstaja koncept "negativnega elementa". Zato razlika f − g lahko prepišemo kot vsoto f+ (−1) g, nato pa ostane samo ena formula - odvod vsote.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

funkcija f(x) je vsota dveh osnovnih funkcij, torej:

f ’(x) = (x 2 + greh x)’ = (x 2)’ + (greh x)’ = 2x+ cos x;

Podobno sklepamo za funkcijo g(x). Samo že obstajajo trije izrazi (z vidika algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

odgovor:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Izpeljanka izdelka

Matematika je logična veda, zato mnogi verjamejo, da če je odvod vsote enak vsoti odvodov, potem odvod produkta stavka">enako zmnožku izpeljank. Ampak jebi se! Izpeljanka zmnožka se izračuna po popolnoma drugi formuli. In sicer:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je preprosta, a se nanjo pogosto pozablja. Pa ne samo šolarji, tudi študenti. Rezultat so nepravilno rešeni problemi.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

funkcija f(x) je produkt dveh osnovnih funkcij, zato je vse preprosto:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− greh x) = x 2 (3 cos x − x greh x)

funkcija g(x) prvi množitelj je nekoliko bolj zapleten, vendar se splošna shema ne spremeni. Očitno prvi faktor funkcije g(x) je polinom in njegov odvod je odvod vsote. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

odgovor:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x greh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Upoštevajte, da je v zadnjem koraku izpeljanka faktorizirana. Formalno tega ni treba storiti, vendar večina izpeljank ni izračunana sama od sebe, temveč za pregled funkcije. To pomeni, da bo nadalje odvod izenačen z nič, določeni bodo njegovi predznaki itd. Za tak primer je bolje imeti izraz faktoriziran.

Če obstajata dve funkciji f(x) In g(x), in g(x) ≠ 0 na množici, ki nas zanima, lahko definiramo novo funkcijo h(x) = f(x)/g(x). Za takšno funkcijo lahko najdete tudi izpeljanko:

Ni slabo, kajne? Od kod minus? zakaj g 2? In takole! To je ena najbolj zapletenih formul - ne morete je ugotoviti brez steklenice. Zato je bolje, da ga preučite naprej konkretni primeri.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij:

Števec in imenovalec vsakega ulomka vsebujeta elementarne funkcije, zato potrebujemo le formulo za odvod količnika:

V skladu s tradicijo faktorizirajmo števec - to bo zelo poenostavilo odgovor:

Kompleksna funkcija ni nujno pol kilometra dolga formula. Na primer, dovolj je, da prevzamete funkcijo f(x) = greh x in zamenjajte spremenljivko x, recimo, naprej x 2 + ln x. Se bo izšlo f(x) = greh ( x 2 + ln x) - to je kompleksna funkcija. Ima tudi izpeljanko, vendar je ne bo mogoče najti z zgoraj obravnavanimi pravili.

Kaj naj naredim? V takih primerih pomaga zamenjava spremenljivke in formule za odvod kompleksne funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', če x se nadomesti z t(x).

Praviloma je situacija z razumevanjem te formule še bolj žalostna kot z izpeljanko količnika. Zato je tudi bolje razložiti s konkretnimi primeri, s natančen opis vsak korak.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = greh ( x 2 + ln x)

Upoštevajte, da če je v funkciji f(x) namesto izraza 2 x+ 3 bo enostavno x, potem dobimo elementarno funkcijo f(x) = e x. Zato naredimo zamenjavo: naj 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Odvod kompleksne funkcije iščemo po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

In zdaj - pozor! Izvedemo obratno zamenjavo: t = 2x+ 3. Dobimo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Zdaj pa poglejmo funkcijo g(x). Očitno ga je treba zamenjati x 2 + ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (greh t)’ · t' = cos t · t ’

Povratna zamenjava: t = x 2 + ln x. Nato:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

To je vse! Kot je razvidno iz zadnjega izraza, se je celoten problem zmanjšal na izračun vsote derivata.

odgovor:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) ker ( x 2 + ln x).

Zelo pogosto v svojih učnih urah namesto izraza "izpeljanka" uporabljam besedo "prime". Na primer, prime iz zneska enaka vsoti kapi. Je to bolj jasno? No, to je dobro.

Tako se izračun derivata zmanjša na to, da se znebimo teh istih udarcev v skladu z zgoraj obravnavanimi pravili. Kot zadnji primer se vrnimo k odpeljani moči z racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ljudi ve, da v vlogi n lahko deluje delno število. Na primer, koren je x 0,5. Kaj pa, če je pod korenino kaj elegantnega? Spet bo rezultat zapletena funkcija - takšne konstrukcije radi dajejo testi in izpiti.

Naloga. Poiščite odvod funkcije:

Najprej zapišimo koren kot potenco z racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Zdaj naredimo zamenjavo: naj x 2 + 8x − 7 = t. Izpeljanko najdemo po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Naredimo obratno zamenjavo: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Za konec pa nazaj h koreninam:

Vsebina članka

IZPELJAVKA– odvod funkcije l = f(x), podan v določenem intervalu ( a, b) na točki x tega intervala imenujemo meja, h kateri stremi razmerje prirastka funkcije f na tej točki do ustreznega prirastka argumenta, ko se prirastek argumenta nagiba k ničli.

Izpeljanka je običajno označena na naslednji način:

Široko se uporabljajo tudi druge oznake:

Takojšnja hitrost.

Naj bistvo M premika v ravni črti. Razdalja s gibljiva točka, šteto od nekega začetnega položaja M 0 , odvisno od časa t, tj. s obstaja funkcija časa t: s= f(t). Naj v nekem trenutku t gibljiva točka M je bil na daljavo s iz začetnega položaja M 0 in pri nekaterih naslednji trenutek t+D t znašla v položaju M 1 - na daljavo s+D s iz začetnega položaja ( glej sliko.).

Tako je v določenem obdobju D t razdalja s spremenili za znesek D s. V tem primeru pravijo, da v časovnem intervalu D t velikost s prejel prirastek D s.

Povprečna hitrost v vseh primerih ne more natančno opredeliti hitrosti gibanja točke M v določenem trenutku t. Če je na primer telo na začetku intervala D t premikal zelo hitro in na koncu zelo počasi, potem povprečna hitrost ne bo mogla odražati navedenih značilnosti gibanja točke in podati predstavo o resnični hitrosti njenega gibanja v tem trenutku t. Če želite natančneje izraziti pravo hitrost s povprečno hitrostjo, morate vzeti krajše časovno obdobje D t. Najbolj v celoti označuje hitrost gibanja točke v tem trenutku t meja, h kateri teži povprečna hitrost pri D t® 0. Ta meja se imenuje trenutna hitrost:

Tako se hitrost gibanja v danem trenutku imenuje meja razmerja prirastka poti D s do časovnega prirastka D t, ko se časovni prirastek nagiba k ničli. Ker

Geometrični pomen izpeljanke. Tangenta na graf funkcije.

Konstrukcija tangentnih črt je eden tistih problemov, ki so pripeljali do rojstva diferencialnega računa. Prvo objavljeno delo v zvezi z diferencialnim računom, ki ga je napisal Leibniz, je bilo naslovljeno Nova metoda maksimumi in minimumi ter tangente, ki jim ne predstavljajo ovire niti frakcijske niti iracionalne količine in za to posebna vrsta računa.

Naj bo krivulja graf funkcije l =f(x) v pravokotnem koordinatnem sistemu ( cm. riž.).

Po neki vrednosti x funkcija je pomembna l =f(x). Te vrednote x in l točka na krivulji ustreza M 0(x, l). Če argument x dati povečanje D x, nato novo vrednost argumenta x+D x ustreza novi vrednosti funkcije y+ D l = f(x + D x). Ustrezna točka krivulje bo točka M 1(x+D x,l+D l). Če narišete sekanto M 0M 1 in označena z j kot, ki ga tvori prečnica s pozitivno smerjo osi Ox, je iz slike takoj jasno, da .

Če zdaj D x teži k ničli, potem je točka M 1 se premika po krivulji in se približuje točki M 0 in kot j spreminja z D x. pri Dx® 0 kot j teži k določeni meji a in premica, ki poteka skozi točko M 0 in komponenta s pozitivno smerjo osi x, kot a, bo želena tangenta. Njegov naklon je:

torej f´( x) = tga

tiste. izvedena vrednost f´( x) za dano vrednost argumenta x je enak tangensu kota, ki ga tvori tangenta na graf funkcije f(x) na ustrezni točki M 0(x,l) s pozitivno smerjo osi Ox.

Diferenciabilnost funkcij.

Opredelitev. Če funkcija l = f(x) ima odvod v točki x = x 0, potem je funkcija na tej točki diferenciacijska.

Zveznost funkcije, ki ima odvod. Izrek.

Če funkcija l = f(x) je na neki točki mogoče razlikovati x = x 0, potem je na tej točki zvezna.

Tako funkcija ne more imeti odvoda na diskontinuitetnih točkah. Napačna je nasprotna ugotovitev, tj. od tega, da v nekem trenutku x = x 0 funkcija l = f(x) je zvezna, ne pomeni, da je na tej točki diferencibilna. Na primer funkcija l = |x| neprekinjeno za vse x(–Ґ x x = 0 nima odvoda. Na tej točki ni tangente na graf. Obstajata desna tangenta in leva, vendar ne sovpadata.

Nekaj ​​izrekov o diferenciabilnih funkcijah. Izrek o korenih odvoda (Rollejev izrek).Če funkcija f(x) je zvezen na segmentu [a,b], je razločljiv na vseh notranjih točkah tega segmenta in na koncih x = a in x = b gre na nič ( f(a) = f(b) = 0), nato znotraj segmenta [ a,b] obstaja vsaj ena točka x= z, a c b, v katerem je izpeljanka fў( x) gre na nič, tj. fў( c) = 0.

Izrek o končnem prirastku (Lagrangeov izrek).Če funkcija f(x) je zvezna na intervalu [ a, b] in je diferencibilna v vseh notranjih točkah tega segmenta, nato znotraj segmenta [ a, b] obstaja vsaj ena točka z, a c b to

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Izrek o razmerju prirastkov dveh funkcij (Cauchyjev izrek).če f(x) In g(x) – dve zvezni funkciji na segmentu [a, b] in razločljiv na vseh notranjih točkah tega segmenta, in gў( x) ne izgine nikjer znotraj tega segmenta, nato znotraj segmenta [ a, b] obstaja taka točka x = z, a c b to

Izpeljanke različnih vrst.

Naj funkcija l =f(x) je diferencibilen na nekem intervalu [ a, b]. Izpeljane vrednosti f ў( x), na splošno odvisno od x, tj. izpeljanka f ў( x) je tudi funkcija x. Pri diferenciranju te funkcije dobimo tako imenovani drugi odvod funkcije f(x), kar je označeno f ўў ( x).

Izpeljanka n- vrstnem redu funkcije f(x) imenujemo izpeljanka (prvega reda) izpeljanke n- 1- th in je označen s simbolom l(n) = (l(n– 1))ў.

Diferenciali različnih naročil.

Funkcijski diferencial l = f(x), Kje x– neodvisna spremenljivka, da dy = f ў( x)dx, nekaj funkcij iz x, ampak od x lahko je odvisen le prvi dejavnik f ў( x), drugi faktor ( dx) je prirastek neodvisne spremenljivke x in ni odvisna od vrednosti te spremenljivke. Ker dy obstaja funkcija iz x, potem lahko določimo diferencial te funkcije. Diferencial diferenciala funkcije imenujemo drugi diferencial ali diferencial drugega reda te funkcije in ga označimo d 2l:

d(dx) = d 2l = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferencial n- prvega reda imenujemo prvi diferencial diferenciala n- 1- vrstni red:

d n y = d(d n–1l) = f(n)(x)dx(n).

Delni derivat.

Če funkcija ni odvisna od enega, ampak od več argumentov x i(jaz variira od 1 do n,jaz= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), potem je v diferencialnem računu uveden koncept delnega odvoda, ki označuje hitrost spremembe funkcije več spremenljivk, ko se spremeni samo en argument, na primer x i. Parcialni odvod 1. reda glede na x i je definiran kot navaden derivat in predpostavlja se, da so vsi argumenti razen x i, ohranite konstantne vrednosti. Za delne odvode je uveden zapis

Tako definirani parcialni odvodi 1. reda (kot funkcije istih argumentov) imajo lahko posledično tudi parcialne odvode, to so delni odvodi drugega reda itd. Takšne izpeljanke, vzete iz različnih argumentov, imenujemo mešane. Zvezni mešani odvodi istega reda niso odvisni od vrstnega reda diferenciacije in so med seboj enaki.

Anna Chugainova

Odločite se telesna opravila ali primeri v matematiki je povsem nemogoče brez poznavanja odvoda in metod njegovega izračunavanja. Odvod je eden najpomembnejših pojmov v matematični analizi. Odločili smo se, da današnji članek posvetimo tej temeljni temi. Kaj je derivat, kakšna je njegova fizična in geometrijski pomen kako izračunati odvod funkcije? Vsa ta vprašanja je mogoče združiti v eno: kako razumeti izpeljanko?

Geometrijski in fizikalni pomen odvoda

Naj bo funkcija f(x) , določene v določenem intervalu (a, b) . Točki x in x0 pripadata temu intervalu. Ko se x spremeni, se spremeni tudi sama funkcija. Spreminjanje argumenta - razlika v njegovih vrednostih x-x0 . Ta razlika je zapisana kot delta x in se imenuje prirast argumenta. Sprememba ali povečanje funkcije je razlika med vrednostmi funkcije na dveh točkah. Opredelitev derivata:

Odvod funkcije v točki je meja razmerja med prirastkom funkcije v dani točki in prirastkom argumenta, ko slednji teži k nič.

Sicer se lahko zapiše takole:

Kakšen smisel ima iskanje takšne meje? In to je:

odvod funkcije v točki je enak tangensu kota med osjo OX in tangento na graf funkcije v dani točki.

Fizični pomen derivata: odvod poti po času je enak hitrosti premokotnega gibanja.

Dejansko že od šolskih dni vsi vedo, da je hitrost posebna pot x=f(t) in čas t . Povprečna hitrost v določenem časovnem obdobju:

Ugotoviti hitrost gibanja v določenem trenutku t0 morate izračunati mejo:

Prvo pravilo: nastavite konstanto

Konstanto lahko vzamemo iz predznaka izpeljanke. Poleg tega je to treba storiti. Pri reševanju primerov v matematiki vzemite pravilo - Če lahko izraz poenostavite, ga obvezno poenostavite .

Primer. Izračunajmo izpeljanko:

Drugo pravilo: odvod vsote funkcij

Odvod vsote dveh funkcij je enak vsoti odvodov teh funkcij. Enako velja za odvod razlike funkcij.

Ne bomo podajali dokaza tega izreka, ampak raje razmislimo o praktičnem primeru.

Poiščite odvod funkcije:

Tretje pravilo: odvod produkta funkcij

Odvod produkta dveh diferenciabilnih funkcij se izračuna po formuli:

Primer: poiščite odvod funkcije:

rešitev:

Tukaj je pomembno govoriti o izračunu odvodov kompleksnih funkcij. Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda te funkcije glede na vmesni argument in odvoda vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

V zgornjem primeru naletimo na izraz:

V tem primeru je vmesni argument 8x na peto potenco. Da bi izračunali odvod takega izraza, najprej izračunamo odvod zunanja funkcija z vmesnim argumentom in nato pomnožite z izpeljanko samega vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

Četrto pravilo: odvod kvocienta dveh funkcij

Formula za določanje odvoda količnika dveh funkcij:

Poskušali smo govoriti o derivatih za lutke iz nič. Ta tema ni tako enostavna, kot se zdi, zato pozor: v primerih so pogosto pasti, zato bodite previdni pri izračunu izpeljank.

Z morebitnimi vprašanji o tej in drugih temah se lahko obrnete na študentski servis. zadaj kratkoročno Pomagali vam bomo rešiti najtežje teste in rešiti probleme, tudi če še nikoli niste delali izračunov izpeljank.

Opredelitev. Naj bo funkcija \(y = f(x) \) definirana v določenem intervalu, ki vsebuje točko \(x_0\) v sebi. Dajmo argumentu prirastek \(\Delta x \), tako da ne zapusti tega intervala. Poiščimo ustrezen prirastek funkcije \(\Delta y \) (pri premikanju iz točke \(x_0 \) v točko \(x_0 + \Delta x \)) in sestavimo relacijo \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Če obstaja omejitev tega razmerja pri \(\Delta x \rightarrow 0\), se podana omejitev imenuje odvod funkcije\(y=f(x) \) v točki \(x_0 \) in označite \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y se pogosto uporablja za označevanje odpeljanke. Upoštevajte, da je y" = f(x) nova funkcija, vendar je naravno povezana s funkcijo y = f(x), definirano v vseh točkah x, v katerih obstaja zgornja meja. Ta funkcija se imenuje takole: odvod funkcije y = f(x).

Geometrijski pomen izpeljanke kot sledi. Če je mogoče na graf funkcije y = f(x) narisati tangento v točki z absciso x=a, ki ni vzporedna z osjo y, potem f(a) izraža naklon tangente :
\(k = f"(a)\)

Ker \(k = tg(a) \), potem velja enakost \(f"(a) = tan(a) \).

Razložimo zdaj definicijo odvoda z vidika približnih enakosti. Naj ima funkcija \(y = f(x)\) odvod v določeni točki \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To pomeni, da blizu točke x velja približna enakost \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), tj. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Smiselni pomen dobljene približne enakosti je naslednji: prirastek funkcije je »skoraj sorazmeren« s prirastkom argumenta, koeficient sorazmernosti pa je vrednost odvoda v dano točko X. Na primer, za funkcijo \(y = x^2\) velja približna enakost \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Če natančno analiziramo definicijo izpeljanke, bomo ugotovili, da vsebuje algoritem za njeno iskanje.

Oblikujmo ga.

Kako najti odvod funkcije y = f(x)?

1. Popravite vrednost \(x\), poiščite \(f(x)\)
2. Povečajte argument \(x\) \(\Delta x\), pojdite na novo točko \(x+ \Delta x \), poiščite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Poiščite prirastek funkcije: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Ustvarite relacijo \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Izračunajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ta meja je odvod funkcije v točki x.

Če ima funkcija y = f(x) odvod v točki x, se imenuje diferencibilna v točki x. Postopek za iskanje odvoda funkcije y = f(x) se imenuje diferenciacija funkcije y = f(x).

Razpravljajmo o naslednjem vprašanju: kako sta zveznost in diferenciabilnost funkcije v točki povezani med seboj?

Naj bo funkcija y = f(x) diferenciabilna v točki x. Nato lahko tangento narišemo na graf funkcije v točki M(x; f(x)) in, spomnimo se, kotni koeficient tangente je enak f "(x). Tak graf se ne more "zlomiti" v točki M, tj. funkcija mora biti zvezna v točki x.

To so bili "praktični" argumenti. Dajmo strožjo utemeljitev. Če je funkcija y = f(x) diferenciabilna v točki x, potem velja približna enakost \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Če v tej enakosti \(\Delta x \) teži k nič, potem bo \(\Delta y \) teži k nič, in to je pogoj za kontinuiteto funkcije v točki.

Torej, če je funkcija diferenciabilna v točki x, potem je v tej točki zvezna.

Obratna trditev ne drži. Na primer: funkcija y = |x| je povsod zvezna, zlasti v točki x = 0, vendar tangenta na graf funkcije v "stičišču" (0; 0) ne obstaja. Če na neki točki ni mogoče potegniti tangente na graf funkcije, potem odvod na tej točki ne obstaja.

Še en primer. Funkcija \(y=\sqrt(x)\) je zvezna na celotni številski premici, tudi v točki x = 0. Tangenta na graf funkcije obstaja v kateri koli točki, tudi v točki x = 0. Toda na tej točki tangenta sovpada z osjo y, to je, da je pravokotna na os abscise, njena enačba ima obliko x = 0. Koeficient naklona take vrstice ni, kar pomeni, da tudi \(f"(0) \) ne obstaja

Tako smo se seznanili z novo lastnostjo funkcije - diferenciabilnostjo. Kako lahko iz grafa funkcije sklepamo, da je diferenciabilna?

Odgovor je dejansko podan zgoraj. Če je na neki točki mogoče narisati tangento na graf funkcije, ki ni pravokotna na abscisno os, potem je na tej točki funkcija diferencibilna. Če na neki točki tangenta na graf funkcije ne obstaja ali je pravokotna na abscisno os, potem funkcija na tej točki ni diferencibilna.

Pravila razlikovanja

Operacija iskanja odvoda se imenuje diferenciacija. Pri izvajanju te operacije morate pogosto delati s količniki, vsotami, zmnožki funkcij, pa tudi s "funkcijami funkcij", to je kompleksnimi funkcijami. Na podlagi definicije izpeljanke lahko izpeljemo pravila razlikovanja, ki olajšajo to delo. Če je C konstantno število in so f=f(x), g=g(x) nekatere diferenciable funkcije, potem velja naslednje pravila razlikovanja:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Izpeljava kompleksne funkcije:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabela odvodov nekaterih funkcij

$$ \left(\frac(1)(x) \desno) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \levo(x^a \desno) " = a x^(a-1) $$ $$ \levo(a^x \desno) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \desno) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $