वेक्टर प्रक्षेपण। समायोजन ध्रुव। बिंदु प्रक्षेपण। बिंदु अक्ष पर निर्देशांक करता है। एक अक्ष पर एक सदिश का प्रक्षेपण (ज्यामितीय, बीजगणितीय)। अनुमानों के गुण अंतरिक्ष में एक अक्ष पर एक सदिश का प्रक्षेपण

एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य भी होंगे, जिनके उत्तर आप देख सकते हैं।

वेक्टर अवधारणा

इससे पहले कि आप सभी सदिशों और उन पर होने वाली कार्रवाइयों के बारे में जानें, एक साधारण समस्या को हल करने के लिए ट्यून करें। आपके उद्यम का एक वेक्टर और आपकी नवीन क्षमताओं का एक वेक्टर है। उद्यमिता का वेक्टर आपको लक्ष्य 1 की ओर ले जाता है, और नवीन क्षमताओं का वेक्टर - लक्ष्य 2 तक। खेल के नियम ऐसे हैं कि आप इन दो वैक्टरों की दिशा में एक साथ नहीं जा सकते हैं और एक ही बार में दो लक्ष्यों को प्राप्त कर सकते हैं। वेक्टर इंटरैक्ट करते हैं, या, गणितीय रूप से बोलते हुए, वैक्टर पर कुछ ऑपरेशन किए जाते हैं। इस ऑपरेशन का परिणाम "परिणाम" सदिश है, जो आपको लक्ष्य 3 तक ले जाता है।

अब मुझे बताओ: वैक्टर "उद्यम" और "अभिनव क्षमताओं" पर किस ऑपरेशन का परिणाम वेक्टर "परिणाम" है? यदि आप तुरंत नहीं कह सकते हैं, तो निराश मत होइए। जैसा कि आप इस पाठ का अध्ययन करते हैं, आप इस प्रश्न का उत्तर देने में सक्षम होंगे।

जैसा कि हमने ऊपर देखा है, सदिश आवश्यक रूप से किसी बिंदु से आता है एकिसी बिंदु पर एक सीधी रेखा में बी. नतीजतन, प्रत्येक वेक्टर का न केवल एक संख्यात्मक मूल्य - लंबाई है, बल्कि एक भौतिक और ज्यामितीय - दिशा भी है। इससे सदिश की पहली, सबसे सरल परिभाषा प्राप्त होती है। तो, एक वेक्टर एक बिंदु से जाने वाला एक निर्देशित खंड है एमुद्दे पर बी. यह इस तरह चिह्नित है:

और अलग शुरुआत करने के लिए वेक्टर संचालन , हमें सदिश की एक और परिभाषा से परिचित होने की आवश्यकता है।

एक वेक्टर एक बिंदु का एक प्रकार का प्रतिनिधित्व है जिस पर किसी शुरुआती बिंदु से पहुंचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक त्रि-आयामी वेक्टर आमतौर पर लिखा जाता है (एक्स, वाई, जेड) . सीधे शब्दों में कहें तो ये संख्याएं दर्शाती हैं कि बिंदु तक पहुंचने के लिए आपको तीन अलग-अलग दिशाओं में कितनी दूर जाना है।

एक सदिश दिया जाए। जिसमें एक्स = 3 (दाहिना हाथ दाईं ओर इंगित करता है) वाई = 1 (बायां हाथ आगे की ओर इशारा करता है) जेड = 5 (बिंदु के नीचे एक सीढ़ी है जो ऊपर जाती है)। इस डेटा से, आप दाहिने हाथ से बताई गई दिशा में 3 मीटर चलकर, फिर बाएं हाथ से बताई गई दिशा में 1 मीटर चलकर, और फिर एक सीढ़ी आपका इंतजार कर रही है और 5 मीटर चढ़ते हुए, आप अंत में पाएंगे अपने आप को अंतिम बिंदु पर।

अन्य सभी शब्द ऊपर प्रस्तुत स्पष्टीकरण के परिशोधन हैं, जो वैक्टर पर विभिन्न कार्यों के लिए आवश्यक हैं, अर्थात व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए। आइए विशिष्ट सदिश समस्याओं पर विचार करते हुए इन अधिक कठोर परिभाषाओं को देखें।

भौतिक उदाहरणसदिश राशियाँ अंतरिक्ष में गतिमान किसी भौतिक बिंदु का विस्थापन, इस बिंदु की गति और त्वरण, साथ ही उस पर कार्य करने वाला बल हो सकती हैं।

ज्यामितीय वेक्टररूप में द्वि-आयामी और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में प्रतिनिधित्व किया निर्देशित खंड. यह एक ऐसा खंड है जिसकी शुरुआत और अंत है।

अगर एवेक्टर की शुरुआत है, और बीइसका अंत है, तो वेक्टर को प्रतीक या एक छोटे अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है। चित्र में, वेक्टर के अंत को एक तीर (चित्र 1) द्वारा इंगित किया गया है।

लंबाई(या मापांकएक ज्यामितीय वेक्टर का ) उस खंड की लंबाई है जो इसे उत्पन्न करता है

दो वैक्टर कहलाते हैं बराबर , अगर उन्हें समानांतर अनुवाद द्वारा जोड़ा जा सकता है (जब दिशाएं मेल खाती हैं), यानी। यदि वे समानांतर हैं, तो एक ही दिशा में इंगित करें और उनकी लंबाई समान हो।

भौतिकी में, इसे अक्सर माना जाता है पिन किए गए वैक्टर, आवेदन बिंदु, लंबाई और दिशा द्वारा दिया गया। यदि वेक्टर के आवेदन का बिंदु कोई मायने नहीं रखता है, तो इसे अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु की लंबाई और दिशा को ध्यान में रखते हुए स्थानांतरित किया जा सकता है। इस मामले में, वेक्टर कहा जाता है मुक्त. हम केवल विचार करने के लिए सहमत हैं मुक्त वैक्टर.

ज्यामितीय वैक्टर पर रैखिक संचालन

एक सदिश को एक संख्या से गुणा करें

वेक्टर उत्पाद प्रति संख्याएक सदिश एक सदिश से प्राप्त एक सदिश कहलाता है (पर) या सिकुड़कर (पर) बार, और सदिश की दिशा को संरक्षित किया जाता है, और यदि उलटा होता है। (अंक 2)

यह परिभाषा से अनुसरण करता है कि वैक्टर और = हमेशा एक या समांतर रेखाओं पर स्थित होते हैं। ऐसे सदिश कहलाते हैं समरेख. (आप यह भी कह सकते हैं कि ये सदिश समांतर हैं, लेकिन सदिश बीजगणित में इसे "संरेख" कहने की प्रथा है।) इसका विलोम भी सत्य है: यदि सदिश और संरेख हैं, तो वे संबंध से संबंधित हैं

इसलिए, समानता (1) दो सदिशों की संरेखता की स्थिति को व्यक्त करती है।

वेक्टर जोड़ और घटाव

वैक्टर जोड़ते समय, आपको यह जानना होगा जोड़वैक्टर और एक वेक्टर कहा जाता है जिसकी शुरुआत वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाती है, और अंत वेक्टर के अंत के साथ मेल खाता है, बशर्ते कि वेक्टर की शुरुआत वेक्टर के अंत से जुड़ी हो। (चित्र 3)

यह परिभाषा सदिशों की किसी भी परिमित संख्या में वितरित की जा सकती है। जगह में रहने दो एनमुक्त वैक्टर। कई वैक्टर जोड़ते समय, उनका योग समापन वेक्टर के रूप में लिया जाता है, जिसकी शुरुआत पहले वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाती है, और अंतिम वेक्टर के अंत के साथ अंत होता है। यही है, यदि वेक्टर की शुरुआत वेक्टर के अंत से जुड़ी हुई है, और वेक्टर की शुरुआत वेक्टर के अंत तक है, आदि। और, अंत में, वेक्टर के अंत तक - वेक्टर की शुरुआत, फिर इन वैक्टरों का योग क्लोजिंग वेक्टर है , जिसकी शुरुआत पहले वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाती है, और जिसका अंत अंतिम वेक्टर के अंत के साथ मेल खाता है। (चित्र 4)

शर्तों को वेक्टर के घटक कहा जाता है, और तैयार नियम है बहुभुज नियम. यह बहुभुज समतल नहीं हो सकता है।

जब एक सदिश को संख्या -1 से गुणा किया जाता है, तो विपरीत सदिश प्राप्त होता है। सदिश और समान लंबाई और विपरीत दिशाएँ हैं। उनका योग देता है अशक्त वेक्टर, जिसकी लंबाई शून्य है। अशक्त वेक्टर की दिशा परिभाषित नहीं है।

वेक्टर बीजगणित में, घटाव के संचालन पर अलग से विचार करने की आवश्यकता नहीं है: एक वेक्टर से एक वेक्टर को घटाना मतलब वेक्टर के विपरीत वेक्टर को जोड़ना है, अर्थात।

उदाहरण 1अभिव्यक्ति को सरल करें:

.

,

अर्थात, सदिशों को संख्याओं से उसी तरह जोड़ा और गुणा किया जा सकता है जैसे बहुपद (विशेष रूप से, व्यंजकों को सरल बनाने की समस्याएँ)। आमतौर पर, वैक्टर के उत्पादों की गणना करने से पहले वैक्टर के साथ रैखिक समान भावों को सरल बनाने की आवश्यकता उत्पन्न होती है।

उदाहरण 2वैक्टर और समांतर चतुर्भुज ABCD (चित्र 4a) के विकर्ण के रूप में कार्य करते हैं। सदिशों , , और , के संदर्भ में व्यक्त करें, जो इस समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।

समाधान। समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु प्रत्येक विकर्ण को समद्विभाजित करता है। समस्या की स्थिति में आवश्यक वैक्टर की लंबाई या तो वैक्टर के आधे योग के रूप में पाई जाती है जो वांछित लोगों के साथ एक त्रिकोण बनाती है, या आधे अंतर के रूप में (विकर्ण के रूप में कार्य करने वाले वेक्टर की दिशा के आधार पर), या, जैसा कि बाद के मामले में, आधा योग एक ऋण चिह्न के साथ लिया गया। नतीजा समस्या की स्थिति में आवश्यक वैक्टर है:

यह विश्वास करने का हर कारण है कि अब आपने इस पाठ की शुरुआत में "उद्यम" और "अभिनव क्षमताओं" वैक्टर के बारे में प्रश्न का सही उत्तर दिया है। सही उत्तर: ये सदिश एक अतिरिक्त संक्रिया के अधीन हैं।

वैक्टर पर समस्याओं को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

वैक्टरों के योग की लंबाई कैसे पता करें?

यह समस्या वैक्टर के साथ संचालन में एक विशेष स्थान रखती है, क्योंकि इसमें त्रिकोणमितीय गुणों का उपयोग शामिल है। मान लें कि आपके पास निम्न जैसा कार्य है:

वैक्टर की लंबाई को देखते हुए और इन सदिशों के योग की लंबाई। इन सदिशों के अंतर की लंबाई ज्ञात कीजिए।

इस और इसी तरह की अन्य समस्याओं के समाधान और उन्हें कैसे हल किया जाए - इस पाठ में " सदिश जोड़: सदिशों के योग की लंबाई और कोज्या प्रमेय ".

और आप इस तरह की समस्याओं के समाधान की जाँच कर सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर "त्रिभुज की अज्ञात भुजा (वेक्टर जोड़ और कोज्या प्रमेय)" .

वैक्टर के उत्पाद कहां हैं?

वेक्टर द्वारा वेक्टर के उत्पाद रैखिक संचालन नहीं होते हैं और इन्हें अलग से माना जाता है। और हमारे पास "डॉट प्रोडक्ट ऑफ़ वेक्टर्स" और "वेक्टर और मिक्स्ड प्रोडक्ट ऑफ़ वेक्टर्स" पाठ हैं।

एक अक्ष पर एक सदिश का प्रक्षेपण

एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण अनुमानित वेक्टर की लंबाई और वेक्टर और अक्ष के बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर है:

जैसा कि जाना जाता है, एक बिंदु का प्रक्षेपण एलाइन (प्लेन) पर इस बिंदु से लाइन (प्लेन) पर गिराए गए लंब का आधार है।

चलो - एक मनमाना वेक्टर (चित्र। 5), और - इसकी शुरुआत के अनुमान (अंक ए) और अंत (अंक बी) प्रति एक्सल एल. (एक बिंदु के प्रक्षेपण का निर्माण करने के लिए ए) बिंदु से सीधे ड्रा करें एरेखा के लंबवत समतल। एक रेखा और एक समतल का प्रतिच्छेदन आवश्यक प्रक्षेपण का निर्धारण करेगा।

वेक्टर का घटक एल अक्ष परइस अक्ष पर पड़ा हुआ ऐसा सदिश कहा जाता है, जिसकी शुरुआत शुरुआत के प्रक्षेपण के साथ होती है, और अंत - सदिश के अंत के प्रक्षेपण के साथ।

अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण एलएक नंबर कॉल किया

,

इस अक्ष पर घटक वेक्टर की लंबाई के बराबर, एक प्लस चिह्न के साथ लिया जाता है यदि घटक की दिशा अक्ष की दिशा से मेल खाती है एल, और ऋण चिह्न के साथ यदि ये दिशाएँ विपरीत हैं।

अक्ष पर वेक्टर अनुमानों के मुख्य गुण:

1. एक ही अक्ष पर समान सदिशों के प्रक्षेप एक दूसरे के बराबर होते हैं।

2. जब किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके प्रक्षेपण को उसी संख्या से गुणा किया जाता है।

3. किसी अक्ष पर सदिशों के योग का प्रक्षेपण सदिशों की शर्तों के समान अक्ष पर प्रक्षेपों के योग के बराबर होता है।

4. एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण अनुमानित वेक्टर की लंबाई और वेक्टर और धुरी के बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर है:

.

समाधान। चलो वैक्टर को अक्ष पर प्रोजेक्ट करते हैं एलजैसा कि ऊपर सैद्धांतिक संदर्भ में परिभाषित किया गया है। Fig.5a से यह स्पष्ट है कि सदिशों के योग का प्रक्षेपण सदिशों के अनुमानों के योग के बराबर है। हम इन अनुमानों की गणना करते हैं:

हम वैक्टर के योग का अंतिम प्रक्षेपण पाते हैं:

अंतरिक्ष में एक आयताकार कार्तीय समन्वय प्रणाली के साथ एक वेक्टर का संबंध

साथ परिचित अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली इसी पाठ में हुई, अधिमानतः इसे एक नई विंडो में खोलें।

समन्वय अक्षों की एक आदेशित प्रणाली में 0xyzएक्सिस बैलबुलाया X- अक्ष, एक्सिस 0y – शाफ़्ट, और अक्ष 0z – अक्ष लागू करें.

मनमाने बिंदु के साथ एमअंतरिक्ष टाई वेक्टर

बुलाया त्रिज्या वेक्टरअंक एमऔर इसे प्रत्येक समन्वय अक्ष पर प्रोजेक्ट करें। आइए हम संबंधित अनुमानों के मूल्यों को निरूपित करें:

नंबर एक्स, वाई, जेडबुलाया बिंदु एम के निर्देशांक, क्रमश सूच्याकार आकृति का भुज, तालमेलऔर अधिरोपण, और संख्याओं के क्रमित बिंदु के रूप में लिखे गए हैं: एम (एक्स; वाई; जेड)(चित्र 6)।

इकाई लंबाई का एक सदिश जिसकी दिशा अक्ष की दिशा के साथ मेल खाती है, कहलाती है इकाई वेक्टर(या ortom) कुल्हाड़ियों। द्वारा निरूपित करें

तदनुसार, समन्वय अक्षों की इकाई वैक्टर बैल, ओए, आउंस

प्रमेय।किसी भी सदिश को निर्देशांक अक्षों के इकाई सदिशों में विघटित किया जा सकता है:

(2)

समानता (2) को निर्देशांक अक्षों के साथ सदिश का विस्तार कहा जाता है। इस विस्तार के गुणांक समन्वय अक्षों पर वेक्टर के अनुमान हैं। इस प्रकार, समन्वय अक्षों के साथ सदिश के विस्तार गुणांक (2) सदिश के निर्देशांक हैं।

अंतरिक्ष में एक निश्चित समन्वय प्रणाली का चयन करने के बाद, वेक्टर और उसके निर्देशांक के ट्रिपल एक दूसरे को विशिष्ट रूप से निर्धारित करते हैं, इसलिए वेक्टर को फॉर्म में लिखा जा सकता है

(2) और (3) के रूप में सदिश निरूपण समान हैं।

निर्देशांकों में संरेख सदिशों की स्थिति

जैसा कि हम पहले ही नोट कर चुके हैं, सदिश संरेख कहलाते हैं यदि वे संबंध द्वारा संबंधित हों

चलो वैक्टर . यदि सदिशों के निर्देशांक संबंध द्वारा संबंधित हैं तो ये सदिश समरेख हैं

,

अर्थात्, सदिशों के निर्देशांक समानुपाती होते हैं।

उदाहरण 6दिए गए वैक्टर . क्या ये सदिश संरेख हैं?

समाधान। आइए जानें इन सदिशों के निर्देशांकों का अनुपात:

.

सदिशों के निर्देशांक समानुपाती होते हैं, इसलिए सदिश संरेखी होते हैं, या, जो समान है, समानांतर होते हैं।

वेक्टर लंबाई और दिशा कोसाइन

निर्देशांक अक्षों की परस्पर लंबवतता के कारण सदिश की लंबाई

सदिशों पर बने आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई के बराबर है

और समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है

(4)

एक वेक्टर पूरी तरह से दो बिंदुओं (शुरुआत और अंत) को निर्दिष्ट करके परिभाषित किया गया है, इसलिए वेक्टर के निर्देशांक इन बिंदुओं के निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं।

मान लीजिए कि दिए गए समन्वय प्रणाली में वेक्टर की शुरुआत बिंदु पर है

और अंत बिंदु पर है

समानता से

उसका अनुसरण करता है

या समन्वय रूप में

इस तरह, वेक्टर के निर्देशांक वेक्टर के अंत और शुरुआत के समान नाम के निर्देशांक के अंतर के बराबर हैं . इस मामले में सूत्र (4) रूप लेता है

वेक्टर की दिशा निर्धारित है दिशा कोसाइन . ये उन कोणों की कोसाइन हैं जो वेक्टर अक्षों के साथ बनाता है बैल, ओएऔर आउंस. आइए इन कोणों को क्रमशः निरूपित करें α , β और γ . फिर इन कोणों के कोसाइन को सूत्रों द्वारा पाया जा सकता है

एक सदिश की दिशा कोसाइन सदिश के सदिश के निर्देशांक भी हैं और इस प्रकार सदिश के सदिश हैं

.

यह मानते हुए कि सदिश सदिश की लंबाई एक इकाई के बराबर है, अर्थात,

,

हमें दिशा कोसाइन के लिए निम्नलिखित समानता मिलती है:

उदाहरण 7सदिश की लंबाई ज्ञात कीजिए एक्स = (3; 0; 4).

समाधान। वेक्टर की लंबाई है

उदाहरण 8दिए गए अंक:

ज्ञात कीजिए कि क्या इन बिन्दुओं पर बना त्रिभुज समद्विबाहु है।

समाधान। सदिश लंबाई सूत्र (6) का उपयोग करते हुए, हम भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं और पता लगाते हैं कि क्या उनमें से दो समान हैं:

दो समान भुजाएँ पाई गई हैं, इसलिए तीसरी भुजा की लंबाई देखने की आवश्यकता नहीं है, और दिया गया त्रिभुज समद्विबाहु है।

उदाहरण 9एक वेक्टर की लंबाई और इसकी दिशा कोसाइन ज्ञात करें यदि .

समाधान। वेक्टर निर्देशांक दिए गए हैं:

.

वेक्टर की लंबाई वेक्टर के निर्देशांक के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर है:

.

दिशा कोसाइन ढूँढना:

वैक्टर पर समस्या को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

सदिशों पर संक्रियाएँ निर्देशांक रूप में दी गई हैं

चलो दो वैक्टर और उनके अनुमानों द्वारा दिए गए हैं:

आइए हम इन सदिशों पर क्रियाओं का संकेत दें।

उत्तर:

प्रोजेक्शन गुण:

वेक्टर प्रक्षेपण गुण

संपत्ति 1.

एक अक्ष पर दो सदिशों के योग का प्रक्षेपण एक ही अक्ष पर सदिशों के प्रक्षेपणों के योग के बराबर है:

यह संपत्ति आपको वैक्टरों के योग के प्रक्षेपण को उनके अनुमानों के योग और इसके विपरीत बदलने की अनुमति देती है।

संपत्ति 2.यदि किसी सदिश को संख्या λ से गुणा किया जाता है, तो अक्ष पर उसके प्रक्षेपण को भी इस संख्या से गुणा किया जाता है:

संपत्ति 3।

एल-अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण वेक्टर के मापांक और वेक्टर और अक्ष के बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर है:

ऑर्थ अक्ष। निर्देशांक सदिशों के संदर्भ में एक सदिश का अपघटन। वेक्टर निर्देशांक। समन्वय गुण

उत्तर:

कुल्हाड़ियों के हॉर्ट्स।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली (किसी भी आयाम का) भी समन्वय अक्षों के साथ गठबंधन इकाई वैक्टरों के एक सेट द्वारा वर्णित है। ओर्ट्स की संख्या समन्वय प्रणाली के आयाम के बराबर है, और वे सभी एक दूसरे के लंबवत हैं।

त्रि-आयामी मामले में, ऑर्ट्स को आमतौर पर निरूपित किया जाता है

तथा प्रतीक तीर के साथ और भी इस्तेमाल किया जा सकता है।

इसके अलावा, एक सही समन्वय प्रणाली के मामले में, सदिशों के सदिश उत्पादों के साथ निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

निर्देशांक सदिशों के संदर्भ में एक सदिश का अपघटन।

निर्देशांक अक्ष का कोण , अक्ष - द्वारा , अक्ष - द्वारा (चित्र 1) द्वारा निरूपित किया जाता है।

किसी भी सदिश के लिए जो एक तल में स्थित है, निम्नलिखित अपघटन होता है:

यदि वेक्टर अंतरिक्ष में स्थित है, तो समन्वय अक्षों के इकाई वैक्टर के संदर्भ में विस्तार का रूप है:

वेक्टर निर्देशांक:

एक वेक्टर के निर्देशांक की गणना करने के लिए, इसकी शुरुआत ए के निर्देशांक (x1; y1) और इसके अंत बी के निर्देशांक (x2; y2) को जानने के लिए, आपको शुरुआत के निर्देशांक को अंत निर्देशांक से घटाना होगा: (x2 - x1; y2 - y1)।

समन्वय गुण।

बिंदु O पर मूल के साथ एक समन्वय रेखा और एक इकाई वेक्टर i पर विचार करें। फिर इस रेखा पर किसी सदिश a के लिए: a = axi।

संख्या ax को निर्देशांक अक्ष पर सदिश a का निर्देशांक कहा जाता है।

संपत्ति 1.अक्ष पर वैक्टर जोड़ते समय, उनके निर्देशांक जोड़े जाते हैं।

संपत्ति 2.जब किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके निर्देशांक को उस संख्या से गुणा किया जाता है।

सदिशों का अदिश गुणनफल। गुण।

उत्तर:

दो शून्येतर सदिशों का अदिश गुणनफल एक संख्या है,

उनके बीच के कोण के कोसाइन द्वारा इन वैक्टरों के उत्पाद के बराबर।

गुण:

1. अदिश गुणनफल में क्रमविनिमेय गुण होता है: ab=ba

निर्देशांक सदिशों का अदिश गुणनफल। उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए सदिशों के अदिश गुणनफल का निर्धारण।

उत्तर:

डॉट उत्पाद (×) orts

(एक्स)	मैं	जे	क
मैं
जे
क

उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए सदिशों के अदिश गुणनफल का निर्धारण।

दो सदिशों के अदिश गुणनफल और उनके निर्देशांकों द्वारा दिए गए सूत्र की गणना की जा सकती है

दो वैक्टर का वेक्टर उत्पाद। वेक्टर उत्पाद गुण।

उत्तर:

तीन गैर-समतलीय सदिश एक सम त्रिक बनाते हैं, यदि तीसरे सदिश के अंत से, पहले सदिश से दूसरे सदिश तक का घुमाव वामावर्त है। यदि दक्षिणावर्त - तो बाएँ।, यदि नहीं, तो विपरीत ( दिखाएँ कि उसने "हैंडल" के साथ कैसे दिखाया)

एक वेक्टर का क्रॉस उत्पाद एप्रति वेक्टर बीवेक्टर कहा जाता है जिसके साथ:

1. सदिशों के लंबवत एऔर बी

2. लंबाई संख्यात्मक रूप से समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है एऔर बीवैक्टर

3. वैक्टर, ए, बी, और सीसदिशों का सही त्रिक बनाएँ

गुण:

1.

3.

4.

निर्देशांक सदिशों का सदिश गुणनफल। उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए वैक्टर के वेक्टर उत्पाद का निर्धारण।

उत्तर:

निर्देशांक सदिशों का सदिश गुणनफल।

उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए वैक्टर के वेक्टर उत्पाद का निर्धारण।

वैक्टर a = (x1; y1; z1) और b = (x2; y2; z2) आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली O, i, j, k, और ट्रिपल i, j, k में उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए हैं सही।

हम आधार सदिशों के संदर्भ में a और b का विस्तार करते हैं:

ए = एक्स 1 आई + वाई 1 जे + जेड 1 के, बी = एक्स 2 आई + वाई 2 जे + जेड 2 के।

वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

[ए; बी] ==

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2। (1)

वेक्टर उत्पाद की परिभाषा से, हम पाते हैं

= 0, = के, = - जे,

= - के, = 0, = मैं,

= जे, = - मैं। = 0।

इन समानताओं को देखते हुए सूत्र (1) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

[ए; बी] = एक्स 1 वाई 2 के - एक्स 1 जेड 2 जे - वाई 1 एक्स 2 के + वाई 1 जेड 2 आई + जेड 1 एक्स 2 जे - जेड 1 वाई 2 आई

[ए; बी] = (वाई 1 जेड 2 - जेड 1 वाई 2) आई + (जेड 1 एक्स 2 - एक्स 1 जेड 2) जे + (एक्स 1 वाई 2 - वाई 1 एक्स 2) के। (2)

सूत्र (2) उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद के लिए अभिव्यक्ति देता है।

परिणामी सूत्र बोझिल है। निर्धारकों के अंकन का उपयोग करके, आप इसे दूसरे रूप में लिख सकते हैं जो याद रखने के लिए अधिक सुविधाजनक है:

आमतौर पर सूत्र (3) को और भी छोटा लिखा जाता है:

बंद बल बहुभुजों का निर्माण करके अभिसारी बलों के संतुलन पर समस्याओं को हल करना बोझिल निर्माणों से जुड़ा है। ऐसी समस्याओं को हल करने का एक सार्वभौमिक तरीका समन्वय अक्षों पर दिए गए बलों के अनुमानों को निर्धारित करने और इन अनुमानों के साथ काम करने के लिए संक्रमण है। अक्ष को एक सीधी रेखा कहा जाता है, जिसे एक निश्चित दिशा दी जाती है।

एक अक्ष पर एक सदिश का प्रक्षेपण एक अदिश मान है, जो कि सदिश के आरंभ और अंत से उस पर गिराए गए लंबों द्वारा काटे गए अक्ष के खंड द्वारा निर्धारित किया जाता है।

एक सदिश के प्रक्षेपण को सकारात्मक माना जाता है यदि प्रक्षेपण की शुरुआत से उसके अंत तक की दिशा अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ मेल खाती है। एक सदिश के प्रक्षेपण को नकारात्मक माना जाता है यदि प्रक्षेपण की शुरुआत से उसके अंत तक की दिशा अक्ष की सकारात्मक दिशा के विपरीत है।

इस प्रकार, समन्वय अक्ष पर बल का प्रक्षेपण बल के मापांक के गुणनफल और बल वेक्टर और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच के कोण के कोसाइन के बराबर होता है।

अक्ष पर प्रोजेक्टिंग बलों के कई मामलों पर विचार करें:

बल वेक्टर एफ(चित्र 15) x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ न्यून कोण बनाता है।

प्रक्षेपण का पता लगाने के लिए, बल सदिश के आरंभ और अंत से हम अक्ष के लंब को कम करते हैं ओह; हम पाते हैं

1. एफएक्स = एफ cosα

इस मामले में वेक्टर का प्रक्षेपण सकारात्मक है

ताकत एफ(चित्र 16) अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ है एक्सअधिक कोण α.

तब एफएक्स = एफ cos α, लेकिन चूँकि α = 180 0 - φ,

एफएक्स = एफ cosα = एफ cos180 0 - φ = - एफकॉस फाई।

बल प्रक्षेपण एफप्रति एक्सल ओहइस मामले में नकारात्मक है।

ताकत एफ(अंजीर। 17) अक्ष के लंबवत ओह.

अक्ष पर बल F का प्रक्षेपण एक्सशून्य

एफएक्स = एफ cos 90° = 0.

एक विमान पर स्थित बल कैसे(चित्र 18), दो समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपित किया जा सकता है ओहऔर कहां.

ताकत एफघटकों में विभाजित किया जा सकता है: एफएक्स और एफवाई। वेक्टर मापांक एफ x सदिश प्रक्षेपण के बराबर है एफप्रति एक्सल बैल, और सदिश का मापांक एफ y सदिश के प्रक्षेपण के बराबर है एफप्रति एक्सल ओए.

डी से ओएबी: एफएक्स = एफ cosα, एफएक्स = एफ sinα।

डी से एसएलए: एफएक्स = एफकॉस फाई, एफएक्स = एफपाप फी।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके बल का मापांक पाया जा सकता है:

सदिश योग या परिणामी का किसी भी अक्ष पर प्रक्षेपण उसी अक्ष पर सदिशों की शर्तों के अनुमानों के बीजगणितीय योग के बराबर है।

अभिसारी बलों पर विचार करें एफ 1 , एफ 2 , एफ 3, और एफ 4, (चित्र 19, ए)। इन बलों का ज्यामितीय योग, या परिणामी एफबल बहुभुज के समापन पक्ष द्वारा निर्धारित

बल बहुभुज के शीर्ष से अक्ष पर गिराएँ एक्सलंबवत।

पूर्ण निर्माण से सीधे बलों के प्राप्त अनुमानों को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है

एफ= एफ 1x+ एफ 2x+ एफ 3x+ एफ 4 एक्स

जहाँ n सदिशों के पदों की संख्या है। उनके अनुमान उपयुक्त चिह्न के साथ उपरोक्त समीकरण में प्रवेश करते हैं।

एक विमान में, बलों के ज्यामितीय योग को दो समन्वय अक्षों पर और अंतरिक्ष में क्रमशः तीन पर प्रक्षेपित किया जा सकता है।

अनुमानकिसी अक्ष पर सदिश को सदिश कहते हैं, जो इस अक्ष पर सदिश के अदिश प्रक्षेप तथा इस अक्ष के इकाई सदिश को गुणा करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि एक एक्स है अदिश प्रक्षेपणवेक्टर एएक्स-अक्ष पर, फिर एक एक्स मैं- इस अक्ष पर इसका वेक्टर प्रक्षेपण।

निरूपित वेक्टर प्रक्षेपणसदिश की ही तरह, लेकिन उस अक्ष के सूचकांक के साथ जिस पर सदिश प्रक्षेपित होता है। तो, वेक्टर का वेक्टर प्रक्षेपण एएक्स-अक्ष पर निरूपित करें एएक्स ( तेल काएक वेक्टर को दर्शाने वाला अक्षर और अक्ष नाम का एक सबस्क्रिप्ट) या (एक गैर-बोल्ड अक्षर एक वेक्टर को दर्शाता है, लेकिन शीर्ष पर एक तीर के साथ (!) और अक्ष नाम का एक सबस्क्रिप्ट)।

अदिश प्रक्षेपणवेक्टर प्रति अक्ष कहा जाता है संख्या, जिसका निरपेक्ष मान प्रारंभ बिंदु के अनुमानों और वेक्टर के अंत बिंदु के बीच संलग्न अक्ष के खंड (चयनित पैमाने में) की लंबाई के बराबर है। आमतौर पर अभिव्यक्ति के बजाय अदिश प्रक्षेपणसीधे शब्दों में कहें - अनुमान. प्रोजेक्शन को प्रक्षेपित वेक्टर (सामान्य, गैर-बोल्ड लेखन) के रूप में उसी अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, जिस अक्ष पर इस वेक्टर को प्रक्षेपित किया जाता है, उसके नाम का एक सबस्क्रिप्ट (आमतौर पर) होता है। उदाहरण के लिए, यदि एक वेक्टर को एक्स-अक्ष पर प्रक्षेपित किया जाता है ए,तब इसके प्रक्षेपण को x निरूपित किया जाता है। उसी सदिश को किसी अन्य अक्ष पर प्रक्षेपित करते समय, यदि अक्ष Y है, तो इसके प्रक्षेपण को y के रूप में निरूपित किया जाएगा।

प्रक्षेपण की गणना करने के लिए वेक्टरअक्ष पर (उदाहरण के लिए, एक्स अक्ष) प्रारंभिक बिंदु के समन्वय को उसके अंत बिंदु के समन्वय से घटाना आवश्यक है, अर्थात
और एक्स \u003d एक्स के - एक्स एन।
एक अक्ष पर एक सदिश का प्रक्षेपण एक संख्या है।इसके अलावा, यदि x k का मान x n के मान से अधिक है, तो प्रक्षेपण धनात्मक हो सकता है।

ऋणात्मक यदि x k का मान x n के मान से कम है

और शून्य के बराबर अगर x k बराबर x n है।

एक अक्ष पर एक सदिश का प्रक्षेपण सदिश के मापांक और उस अक्ष के साथ बनने वाले कोण को जानकर भी पाया जा सकता है।

यह चित्र से देखा जा सकता है कि a x = a Cos α

अर्थात्, अक्ष पर सदिश का प्रक्षेपण सदिश के मापांक और अक्ष की दिशा के बीच कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर है और वेक्टर दिशा. यदि कोण तीव्र है, तो
Cos α > 0 और a x > 0, और यदि अधिक कोण है, तो एक अधिक कोण का कोसाइन ऋणात्मक है, और अक्ष पर सदिश का प्रक्षेपण भी ऋणात्मक होगा।

अक्ष से वामावर्त गिने जाने वाले कोणों को धनात्मक माना जाता है, और दिशा में - ऋणात्मक। हालाँकि, चूंकि कोसाइन एक समान कार्य है, अर्थात, Cos α = Cos (- α), अनुमानों की गणना करते समय, कोणों को दक्षिणावर्त और वामावर्त दोनों में गिना जा सकता है।

एक अक्ष पर एक वेक्टर के प्रक्षेपण को खोजने के लिए, इस वेक्टर के मॉड्यूल को अक्ष की दिशा और वेक्टर की दिशा के बीच के कोण के कोसाइन से गुणा किया जाना चाहिए।

वेक्टर निर्देशांकदिए गए वेक्टर के बराबर चुने गए समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर के एकमात्र संभावित रैखिक संयोजन के गुणांक हैं।

वेक्टर के निर्देशांक कहाँ हैं।

वैक्टर का डॉट उत्पाद

वैक्टर का स्कोल उत्पाद[- परिमित-आयामी में सदिश स्थलगुणा के समान घटकों के उत्पादों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है वैक्टर.

उदाहरण के लिए, एस पी। ए = (ए 1 , ..., एक) और बी = (बी 1 , ..., बी एन):

(ए , बी ) = ए 1 बी 1 + ए 2 बी 2 + ... + ए एन बी एन

एक। अक्ष PQ (चित्र 4) पर बिंदु A का प्रक्षेपण एक दिए गए बिंदु से दिए गए अक्ष पर गिराए गए लंब का आधार है। जिस अक्ष पर हम प्रोजेक्ट करते हैं उसे प्रक्षेपण अक्ष कहा जाता है।

बी। मान लीजिए दो अक्ष और एक सदिश A B दिया हुआ है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 5.

जिस सदिश की शुरुआत शुरुआत और अंत का प्रक्षेपण है - इस वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण, पीक्यू अक्ष पर वेक्टर ए बी का प्रक्षेपण कहा जाता है, इसे इस तरह लिखा जाता है;

कभी-कभी पीक्यू संकेतक नीचे नहीं लिखा जाता है, यह उन मामलों में किया जाता है जहां पीक्यू के अलावा कोई अन्य धुरी नहीं होती है जिसे प्रक्षेपित किया जा सकता है।

साथ। प्रमेय I. एक ही अक्ष पर स्थित सदिशों के मान किसी अक्ष पर उनके अनुमानों के मान के रूप में संबंधित होते हैं।

चित्र 6 में दिखाए गए अक्षों और सदिशों को दें। त्रिभुजों की समानता से, यह देखा जा सकता है कि सदिशों की लंबाई उनके अनुमानों की लंबाई के रूप में संबंधित हैं, अर्थात

चूंकि ड्राइंग में वैक्टर अलग-अलग दिशाओं में निर्देशित होते हैं, इसलिए उनके परिमाण के अलग-अलग मान होते हैं, इसलिए,

जाहिर है, प्रक्षेपण मूल्यों का भी एक अलग संकेत है:

(2) को (3) से (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

संकेतों को उलट कर, हम प्राप्त करते हैं

यदि वैक्टर समान रूप से निर्देशित हैं, तो एक दिशा और उनके अनुमान होंगे; सूत्र (2) और (3) में कोई ऋण चिह्न नहीं होगा। समानता (1) में (2) और (3) को प्रतिस्थापित करने पर, हम तुरंत समानता (4) प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, प्रमेय सभी मामलों के लिए सिद्ध होता है।

डी। प्रमेय द्वितीय। किसी अक्ष पर एक सदिश के प्रक्षेपण का मान, प्रक्षेपणों के अक्ष और सदिश के अक्ष के बीच के कोण के कोज्या से गुणा किए गए सदिश के मान के बराबर होता है। चित्र में दिखाए अनुसार सदिश को अक्ष को दिया जाए . 7. आइए अपनी धुरी के साथ समान रूप से निर्देशित एक वेक्टर का निर्माण करें और स्थगित करें, उदाहरण के लिए, अक्षों के चौराहे के बिंदु से। इसकी लंबाई एक के बराबर होने दें। फिर उसका मूल्य